线性代数行列式计算习题课
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12345 1 1 1 02 02 A34 A35 0 0 0 1 1 2 2 2 10 10 43150 0
第13页
与代数余子式有关的计算
5. 已知某4阶行列式的第2行元素依次是2, 1, m,6，第3行 元素的余子式的值依次是3,9, 3, 1，则m 7
第3行元素代数余子式的值依次是： 3, 9, (3), (1)
行列式某一行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式 乘积之和等于零：
ai1Aj1 ai2 Aj2 L ain Ajn 0 a1i A1 j a2i A2 j L ani Anj 0，i j
第6页
几类特殊行列式的值
a11 1.
a12 L a22 L
O
a1n a11 a2n a21 a22 M M MO
第12页
与代数余子式有关的计算
1 2 3 4 5 3A31 2A32 A33 A34 A35 D5
11122 4. 设D5 3 2 1 4 6 ，求A31 A32 A33和A34 A35.
22211
43150
12345 10 10 10 2 2 A31 A32 A33 1 1 1 0 0 02 02 02 1 1 43150
由代数余子式的性质得 23 (1)(9) m(3) 61 0
解得 m 7.
第14页
计算行列式
① 利用行列式定义计算
x1 1 2 6. 函数f (x) 1 x 1 1 中x3的系数是 1
32 x 1 1 1 2x 1
f (x) (1)ta1p1a2 p2 a3p3 a4 p4 ax3 bx2 cx d
1、D DT 2、两行（列）互换，行列式变号 ri rj (ci c j )
*
*
3、 kai1 L kain k ai1 L ain
*
*
ri k (ci k) ri k (ci k)
4、若有两行(列)元素相同或对应成比例，行列式等于零
Βιβλιοθήκη Baidu
*
*
*
5、 bi1 ci1 L bin cin bi1 L bin ci1 L cin
依次计算排列中每个元素前比它大的元素个数，然后求和
奇排列（偶排列）：逆序数为奇（偶）数的排列
第3页
行列式的定义
二阶行列式：a11
a21
a12 a22
a11a22 a12a21
三阶行列式：a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
i、j只能分别取4或7：
213486759 213786459
：t 6 ：t 9
第11页
计算排列的逆序数
3. 求排列13L (2n 1)2n(2n 2)L 42的逆序数 解 1,3,L ,2n 1是递增的，没有逆序；
2n 是最大数，逆序数为 0； 2n 2前比它大的数有 2n 1 , n2，逆序数为 2； 2n 4 前比它大的数有 2n 3, 2n 1, 2n, 2n 2 ，逆序数为 4； …… 2 除了 1 和 2 外都比它大，逆序数为 2n 2。 故排列的逆序数 t 0 2 4 (2n 2) n(n 1) 。
a11 L a1k c011 L c01k
M
MM
M
3. ak1 L c011 L
akk c0n1 L c01k b11 L
c0nk
a11 L
b1n M
a1k b11 L MM
b1n M
M
MM
M ak1 L akk bn1 L bnn
c0n1 L c0nk bn1 L bnn
1 1L
x1 4. x12
M
x2 L x22 L M
xn1 1
xn1 2
L
1
xn
xn2 M
(xi xj )
ni j1
1 1 M
x1 x2 M
xn1 n
1 xn
x12 x22 M xn2
L L
L
xn1 1
xn1 2 M
xn1 n
第8页
学习要求
➢ 计算排列的逆序数 ➢ 代数余子式的相关计算 ➢ 计算行列式
第9页
典型习题
a11
a22
O
ann an1 an2 L ann
ann
a11a22 L ann
a11 L a1,n1 a1n
2. a21 L a2,n1 MN
N
an1
an1 L
n(n1)
(1) 2 a1na2,n1L ann
a2,n1 M
an,n1
a1n
a2n
M
N
ann an1
a1n a2,n1
第7页
几类特殊行列式的值
(1)t(1234) x x x 1 ＋(1)t(1243) x x 1 2x
第15页
计算行列式
② 化三角形法
利用性质化行列式为三角形行列式。
③ 造零降阶法
利用性质将某行（列）中大部分元素化为零，然后
按该行（列）展开，降低行列式的阶数。
2 3 8 1
2 1 3 1
3
1
0 1
2 31；
*
*
*
6、某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式值不变 ri krj (ci kc j )
第5页
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式 乘积之和：
Dn ai1Ai1 ai2 Ai2 L ain Ain a1i A1i a2i A2i L ani Ani
a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
n阶行列式： a11 a12 L a1n
p1 p2 L pn
Dn
det(aij )
a21 L
a22 L LL
a2n L
(1)t a1p1 a2 p2 L anpn
an1 an2 L ann
n!项
第4页
行列式的性质
第一章 行列式
小结与习题
第1页
知识点
➢ 全排列及其逆序数 ➢ 行列式的定义 ➢ 行列式的性质 ➢ 行列式按行（列）展开 ➢ 几类特殊行列式的值
第2页
全排列及其逆序数
全排列（排列）：若干连续自然数排成一列 3412 排列的逆序数：排列中所有逆序的总和 逆序：两个元素的先后次序与标准次序不同 31 42 逆序数的计算方法： t 0 0 2 2 4
➢ 计算排列的逆序数 ➢ 代数余子式的相关计算 ➢ 计算行列式
第10页
计算排列的逆序数
1. 对于n个自然数组成的排列，则逆序数
tmin
0
，tmax
n ( n 1) 2
123L n n(n 1)L 21 ：t 0 1 2 L (n 1)
2. 已知排列213i86 j59是偶排列，则i 4 ，j 7
12345 1 1 1 02 02 A34 A35 0 0 0 1 1 2 2 2 10 10 43150 0
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与代数余子式有关的计算
5. 已知某4阶行列式的第2行元素依次是2, 1, m,6，第3行 元素的余子式的值依次是3,9, 3, 1，则m 7
第3行元素代数余子式的值依次是： 3, 9, (3), (1)
行列式某一行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式 乘积之和等于零：
ai1Aj1 ai2 Aj2 L ain Ajn 0 a1i A1 j a2i A2 j L ani Anj 0，i j
第6页
几类特殊行列式的值
a11 1.
a12 L a22 L
O
a1n a11 a2n a21 a22 M M MO
第12页
与代数余子式有关的计算
1 2 3 4 5 3A31 2A32 A33 A34 A35 D5
11122 4. 设D5 3 2 1 4 6 ，求A31 A32 A33和A34 A35.
22211
43150
12345 10 10 10 2 2 A31 A32 A33 1 1 1 0 0 02 02 02 1 1 43150
由代数余子式的性质得 23 (1)(9) m(3) 61 0
解得 m 7.
第14页
计算行列式
① 利用行列式定义计算
x1 1 2 6. 函数f (x) 1 x 1 1 中x3的系数是 1
32 x 1 1 1 2x 1
f (x) (1)ta1p1a2 p2 a3p3 a4 p4 ax3 bx2 cx d
1、D DT 2、两行（列）互换，行列式变号 ri rj (ci c j )
*
*
3、 kai1 L kain k ai1 L ain
*
*
ri k (ci k) ri k (ci k)
4、若有两行(列)元素相同或对应成比例，行列式等于零
Βιβλιοθήκη Baidu
*
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5、 bi1 ci1 L bin cin bi1 L bin ci1 L cin
依次计算排列中每个元素前比它大的元素个数，然后求和
奇排列（偶排列）：逆序数为奇（偶）数的排列
第3页
行列式的定义
二阶行列式：a11
a21
a12 a22
a11a22 a12a21
三阶行列式：a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
i、j只能分别取4或7：
213486759 213786459
：t 6 ：t 9
第11页
计算排列的逆序数
3. 求排列13L (2n 1)2n(2n 2)L 42的逆序数 解 1,3,L ,2n 1是递增的，没有逆序；
2n 是最大数，逆序数为 0； 2n 2前比它大的数有 2n 1 , n2，逆序数为 2； 2n 4 前比它大的数有 2n 3, 2n 1, 2n, 2n 2 ，逆序数为 4； …… 2 除了 1 和 2 外都比它大，逆序数为 2n 2。 故排列的逆序数 t 0 2 4 (2n 2) n(n 1) 。
a11 L a1k c011 L c01k
M
MM
M
3. ak1 L c011 L
akk c0n1 L c01k b11 L
c0nk
a11 L
b1n M
a1k b11 L MM
b1n M
M
MM
M ak1 L akk bn1 L bnn
c0n1 L c0nk bn1 L bnn
1 1L
x1 4. x12
M
x2 L x22 L M
xn1 1
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L
1
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(xi xj )
ni j1
1 1 M
x1 x2 M
xn1 n
1 xn
x12 x22 M xn2
L L
L
xn1 1
xn1 2 M
xn1 n
第8页
学习要求
➢ 计算排列的逆序数 ➢ 代数余子式的相关计算 ➢ 计算行列式
第9页
典型习题
a11
a22
O
ann an1 an2 L ann
ann
a11a22 L ann
a11 L a1,n1 a1n
2. a21 L a2,n1 MN
N
an1
an1 L
n(n1)
(1) 2 a1na2,n1L ann
a2,n1 M
an,n1
a1n
a2n
M
N
ann an1
a1n a2,n1
第7页
几类特殊行列式的值
(1)t(1234) x x x 1 ＋(1)t(1243) x x 1 2x
第15页
计算行列式
② 化三角形法
利用性质化行列式为三角形行列式。
③ 造零降阶法
利用性质将某行（列）中大部分元素化为零，然后
按该行（列）展开，降低行列式的阶数。
2 3 8 1
2 1 3 1
3
1
0 1
2 31；
*
*
*
6、某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式值不变 ri krj (ci kc j )
第5页
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式 乘积之和：
Dn ai1Ai1 ai2 Ai2 L ain Ain a1i A1i a2i A2i L ani Ani
a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
n阶行列式： a11 a12 L a1n
p1 p2 L pn
Dn
det(aij )
a21 L
a22 L LL
a2n L
(1)t a1p1 a2 p2 L anpn
an1 an2 L ann
n!项
第4页
行列式的性质
第一章 行列式
小结与习题
第1页
知识点
➢ 全排列及其逆序数 ➢ 行列式的定义 ➢ 行列式的性质 ➢ 行列式按行（列）展开 ➢ 几类特殊行列式的值
第2页
全排列及其逆序数
全排列（排列）：若干连续自然数排成一列 3412 排列的逆序数：排列中所有逆序的总和 逆序：两个元素的先后次序与标准次序不同 31 42 逆序数的计算方法： t 0 0 2 2 4
➢ 计算排列的逆序数 ➢ 代数余子式的相关计算 ➢ 计算行列式
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计算排列的逆序数
1. 对于n个自然数组成的排列，则逆序数
tmin
0
，tmax
n ( n 1) 2
123L n n(n 1)L 21 ：t 0 1 2 L (n 1)
2. 已知排列213i86 j59是偶排列，则i 4 ，j 7