西安电子科技大学纠错码课件6.卷积码

国家重点实验室
基本生成矩阵
101 000 001 000 000 g 011 001 000 000 000
子生成元
g
1,1
100
g
1, 2
000
g 1,3 101
g 2,1 000 g 2, 2 100
u u0 , u1 ,, uK * 1 v v0 , v1 ,, vN 1
r r0 , r1 ,, rN 1
ˆ DMC上的最大似然译码器，就是选择最大化对数似然函数 log P r v 的 v
作为码字，由于在DMC信道，有

Pr v
h m 1 l 0
生成矩阵
101 011 G
000 001 000 000 001 000 000 000 101 000 001 000 011 001 000 000 101 000 001 011 001 000

国家重点实验室
g 2,1 D D g 2,2 D 1
g 2,3 D 1
1 画出该码的编码器 2 写出G(D)
3已知M(D)=[1+D+D3,1+D2+D3]， 求出C(1)(D)， C(2)(D)和C(3)(D)，并写出C(D)
国家重点实验室
卷积码的一致校验矩阵(P386)
G
1 画出该码的编码器
2 写出G(D) GD 1 D D 3 求H(D)和 h
H D 1 D 2 1 D D 2 h0 11
2
1 D2



h1 01
h2 11
h h2
h1
h0 11 01 11
国家重点实验室
初始截段码(p390)
基本校验矩阵
国家重点实验室
第2节 码的树图描述(P402)
国家重点实验室
卷积码的树图表示(P402)
(2,1,2)卷积编码示意图
国家重点实验室
00/0
00/0
11/1 00/0 11/0
10/0
11/1
01/1 11/0 10/0

00/1 11/1
01/0 01/1
10/1
国家重点实验室
编码过程的实质
T p 0 I n0 k0 T p m 1 0 T p m 1 0 T p0 0

T p m 1 0

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Example
Mi(1)
ci(1)
ci(2)
Mi(2)
ci(3)
(3,2,2) 卷积编码器
国家重点实验室
1,1
3 求出相应于信息序列M=(11001)的码序列
4 判断此码是否是系统码
国家重点实验室
生成矩阵和生成多项式矩阵(P380)
Mi(1)
ci(1)
ci(2)
Mi(2)
ci(3)
(3,2,2) 卷积编码器
国家重点实验室
生成矩阵
101 011 G
000 001 000 000 001 000 000 000 101 000 001 000 011 001 000 000 101 000 001 011 001 000
汉明距离定义为卷积码的自由距离， 用于衡量概率译码的性能 在实际计算自由距离时，不需要计算所有半无限长码序列 之间的汉明距离，只要在有限段上的截段码树上计算。
国家重点实验室
第3节 卷积码的状态图表示(P410)
(2,1,2)卷积编码示意图
国家重点实验室
10 S3 11 01 S1 10 11 S0 00 00 10 00 01 S2 01 11
T H
0
G D H D 0
T
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H
h0 h1 h 2 hm 0 0
n0 k 0 n0
h0 h1 hm 1 hm 0 h0 h0 h1

h 100 010 111 000
国家重点实验室
1 0 1 D G(D) 0 1 1 D
2

H (D) 1 D

2
1 D 1

国家重点实验室
Example 3
g 1, 2 D 1 D 2
已知(2,1,2)码的子生成元为 g1,1 D 1 D D 2
g
2,3
110
国家重点实验室
生成多项式矩阵
1 0 1 D G D 0 1 1 D
2

国家重点实验室
生成矩阵和生成多项式矩阵(P380)
Mi(1)
ci(1)
ci(2)
Mi(2)
Leabharlann Baidu
ci(3)
(3,2,2) 卷积编码器
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Example 2
g 1,1 D 1 D g 1, 2 D D g 1,3 D 1 D 已知(3,2,1)码的子生成元为
111 左移n0位 010 100 H 右移n0位 000 000
000 000 000 000 111 000 000 000 010 111 000 000 100 010 111 000 000 100 010 111
• 码率
k0/n0
国家重点实验室
生成矩阵和生成多项式矩阵(P380)
pi2 pi1 mi (3,1,2) 卷积编码器
国家重点实验室
生成矩阵
111 000 G 000
基本生成矩阵
001 000 000 111 010 001 000 000 111 010 001 g 010
国家重点实验室
生成矩阵和生成多项式矩阵(P380)
pi2 pi1 mi (3,1,2) 卷积编码器
g 子生成元 GD 编码电路
国家重点实验室
Example 1
1101 g 1, 2 1111
已知(2,1,3)码的子生成元为 g 1 求出该码的G(D)和G矩阵 2 画出该码的编码器
国家重点实验室
第六章 卷积码
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国家重点实验室
要求掌握的内容
• 卷积码的编码：会由生成矩阵画编码电路； 会由编码电路写生成矩阵，生成多项式矩 阵 • 理解卷积码的Trellis描述方法，掌握卷积码 的Viterbi译码算法
国家重点实验室
Viterbi译码基本原理(1)
假设二进制输入、Q进制输出的离散无记忆信道上，长为 K * kh 的信息序列
u u0 , u1 ,, uh1 被编码成长为N=n(h+m)的码字 v v0 , v1 ,, v h m1
接收的Q进制序列为 r r0 , r1 ,, rh m1 上述序列还可写成
定义：编码器初始状态全为0时，编码器输出码序列
的前m+1段子码所组成的码字，称为卷积码的初始 截段码字
C 00 c 0 c1 D c 2 D c m D
2
m
M 00 m 0 m1 D m 2 D 2 m m D m
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基本生成矩阵
I k0 p0 G
在输入序列的控制下，编码器沿码树通过某 一特定路径的过程
译码过程的实质
根据接收序列，在码树上选择一条路径的过程
国家重点实验室
卷积码的距离度量
最小汉明距离(p406)：初始截段码字子集之间的最小
汉明距离，用于衡量代数译码的性能
——第0子组为非零的初始截短码字的最小重量
自由距离(p407) ：在所有半无限长码序列之间的最小
0p1 I k0 p0
0p2 0p1
0pm 0pm1 I k0 p0
国家重点实验室
p I n0 k0 T p1 0 H T pm 0
T 0
p I n0 k0
T 0
p
T m 1
0
T p0 I n0 k0
Pr v Pr v
l l l l l 0 h m 1 l 0
N 1
log Pr v
log Pr v log Pr v
l l l 0 l l
N 1
国家重点实验室
Viterbi译码基本原理(2)
假设二进制输入、Q进制输出的离散无记忆信道上，长为 K * kh 的信息序列
国家重点实验室
描述卷积码的参数
pi2 pi1 mi (n0, k0, m) mipi1pi2称为卷积码的一个子码， (3,1,2)
mi(或pi1或pi2)为卷积码的一个码元，子码中的一个比特称为一个码元
国家重点实验室
几个基本概念
• 编码约束度
编码过程中互相约束的子码个数 m+1
• 编码约束长度 编码过程中互相约束的码元个数n0 (m+1)
基本校验矩阵
国家重点实验室
系统卷积码
I k0 p0 G
0p1 I k0 p0
0p2 0p1 I k0 p0
0p2 0p1
0pm 0p2 0pm
0pm
国家重点实验室
对应校验矩阵为
T p0 I n k 0 0 T p1 0 H T pm 0
u u0 , u1 ,, uh1 被编码成长为N=n(h+m)的码字 v v0 , v1 ,, v h m1
接收的Q进制序列为 r r0 , r1 ,, rh m1
定义与码字v有关的路径度量为
定义分支度量为

M r v log Pr v
00/1
01/0 10/1
01/0 10/1
01/0 10/1
01/0 10/1
01/0 10/1
01/0 10/1
01/0 10/1
国家重点实验室
第4节 卷积码的Viterbi译码(443)
Viterbi译码基本原理
硬判决Viterbi译码 软判决Viterbi译码 卷积码的增信删余
国家重点实验室
第1节 卷积码基本概念 Convolutional Code
国家重点实验室
卷积码的提出
• Encoding：1955，Elias • Decoding： Threshold Decoding —— Massey(1963) List Decoding —— Wozencraft(1961) Viterbi Decoding —— Viterbi (1967)
国家重点实验室
卷积码的Trellis图表示(1)
00/0 11/1 10/0 01/1 11/0
00/1
01/0
(2,1,2)卷积编码示意图
10/1
国家重点实验室
卷积码的Trellis图表示(2)
若编码信息序列为 1011100， 则编码过程即为在Trellis图上寻找一条路径
00/0 11/1 10/0 01/1 11/0 10/0 00/1 01/1 00/0 11/1 11/0 10/0 00/1 01/1 00/0 11/1 11/0 10/0 00/1 01/1 00/0 11/1 11/0 10/0 00/1 01/1 00/0 11/1 11/0 10/0 00/1 01/1 00/0 11/1 11/0 10/0 00/1 01/1 00/0 11/1 11/0

M rl vl log Prl vl M rl vl log Prl vl

h m 1 l 0
g 111 010 001 000 000
国家重点实验室
基本生成矩阵
g 111 010 001 000 000
g
1,3
子生成元
g 1,1 100 g 1, 2 110
101
生成多项式矩阵
G D 1 1 D 1 D

2

G(D) k0 n0 描述的卷积码码字中，每一段子码的 n0个码元与k0个信息位之间的关系