(完整)初中数学最短路径问题典型题型复习

初中数学《最短路径问题》典型题型

知识点：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题” ，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线” 转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧

例：已知：如图，A，B在直线L 的两侧，在L上求一点P，使得

PA+PB 最小。

解：连接AB, 线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.）

二、两点在一条直线同侧

例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短．

解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+ BC最小．作点A

关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A′B，交“街道”于

点C，则点C 就是所求的点．

三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠ MON内部任意一点，

在∠ MON的两边OM，ON 上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长

最小.

解：分别作点 A 关于 OM，ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A′， A ″，分别

交 OM，ON 于点 B、点 C，则点 B、点 C 即为所求

分析：当 AB、BC和 AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长

最小

例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能

使从A 到B 的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与

河垂直）

解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，

2.连接 AE 交河对岸与点 M,

则点 M 为建桥的位置， MN 为所建的桥。

证明：由平移的性质，得BN∥EM 且 BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, B

所以 A.B 两地的距 :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：

AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,

在△ ACE 中，∵ AC+CE >AE, ∴ AC+CE+MN > AE+MN, 即 AC+CD+DB > AM+MN+BN 所以桥的位置建在 CD 处， AB 两地的路程最短。

例：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B 两地，问该站建在河边什么地

方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。

作法：作点 B 关于直线 a 的对称点点 C,连接 AC 交直线 a 于点 D，则

点 D 为建抽水站的位置。

证明：在直线 a 上另外任取一点 E，连接 AE.CE.BE.BD, ∵点 B.C 关于

直线 a 对称 ,点 D.E 在直线 a 上，∴ DB=DC,EB=EC,

∴AD+DB=AD+DC=AC,

AE+EB=AE+EC 在△ ACE 中， AE+EC >AC, 即 AE+EC > AD+DB

所以抽水站应建在河边的点 D 处，

例：某班举行晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB 桌面上

摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

作法： 1.作点 C 关于直线 OA 的对称点点 D,

2. 作点 C 关于直线 OB 的对称点点 E,

3.连接 DE 分别交直线 OA.OB 于点 M.N ，

则 CM+MN+CN 最短

例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，到

河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

作法： 1.作点 C 关于直线 OA 的对称点点 F,

先到草地边某一处牧马，再

2. 作点 D 关于直线 OB 的对称点点 E,

3.连接 EF 分别交直线 OA.OB 于点 G.H，

则 CG+GH+DH 最短

四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计

在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最

优

例 : 一点到圆上的点的最大距离为 9，最短距离为 1，则圆的半

径为多少？（ 5 或 4）

四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程

将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的 宽．可求出最短路程

例：如图所示，是一个圆柱体， ABCD 是它的一个横截

面， 蚂蚁，要从 A 点爬行到 C 点，那么，最近的路程长为

（

） A ．7 B ． C ． D ．5

分析： 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进

而根据 解：将圆柱体展开，连接 A 、 C ，

∵ = = ?π? =4，BC=3 ， 根据两点之间线段最短，

AC=

=5． 故选

D ． 五、在长方体（正方体）中，求最短路程

1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程

2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程

3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了 然后进行比较大小，即可得到最短路程 .

例：有一长、宽、高分别是 5cm ， 4cm ， 3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长 方体的一个顶点 A 处沿长方体的表面爬到长方体上和 A 相对的顶点 B 处，则 需要爬行的最短路径长为（ ）

A ．5 cm

B ． cm

C ．4 cm

D ．3 cm

分析： 把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点 即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于

长方体的高，另一条直角边长等于长 方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．

解：因为平面展开图不唯一， 故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面、右面，由勾股定理得 （2）展开前面、上面，由勾股定理得

（3）展开左面、上面，由勾股定理得 所以最短路径长为 cm ．

例：如图是一个长 4m ，宽 3m ，高 2m 的有盖仓库，在其内壁的 A 处

（长的 四等分）有一只壁虎， B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁

虎爬到蚊子处 最短距离为（ ）

A ．4.8

B ．

C ．5

D ．

分析： 先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知． 解：有两种展开方

法：

① 将长方体展开成如图所示，连接 A 、 B ， 根据两点之间

线段最短， AB= =；

A 和

B 点间的线段长， AB 2=（5+4）2+32=90；

2 2 2 AB 2=（3+4）2+52=74； 2 2 2 两点之间线段最短 ”得出