(完整)初中数学最短路径问题典型题型复习
初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法
初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法
两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。
步骤：
①找到A（或B）关于直线的对称点P
②连接PB（PA）交直线于O，点O就是所要找的点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。
步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。
则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。
步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。
③交点就是动点的位置
例题：
（2015，广西玉林、防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．
思路：。
(word完整版)初二数学最短路径问题知识归纳+练习,推荐文档
初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【问题1】作法图形原理AlB在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．连AB，与l 交点即为P．AP lB两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【问题2】“将军饮马”作法图形原理ABl在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．ABlP两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．B'【问题3】作法图形原理l1Pl2在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P＇和P＇连，P＇P＇＇与，两直线交点即为M，N．P' l1MPNl2P''两点之间线段最短．PM+MN+PN 的最小值为线段P＇P＇＇的长．【问题4】作法图形原理l1QPl2在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN 分别作点Q 、P 关于直线l1、l2的对称点Q＇和Q'l1M QP两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最P＇连Q＇P＇，与两直线交l2N 小值为线段P＇P＇＇的长．点即为M，N．P'PE3在直线 l 上求一点 P ，使 直线 l 的交点即为 P ．端点的距离相等．PA - PB ＝0．PA - PB 的值最小．【问题 10】作法图形原理ABl在直线 l 上求一点 P ，使PA - PB 的值最大．作直线 AB ，与直线 l 的交点即为 P ．ABPl三角形任意两边之差小于第三边． PA - PB ≤AB ．PA - PB 的最大值＝AB ．【问题 11】作法图形原理AlB在直线 l 上求一点 P ，使PA - PB 的值最大．三角形任意两边之差小于A第三作 B 关于 l 的对称点 B ＇ 作直线 A B ＇，与 l 交点B'Pl边． PA - PB ≤AB ＇．即为 P ．BPA - PB 最大值＝AB ＇．【问题 12】“费马点”作法 图形原理A所求点为“费马点”，即满足DBC∠APB ＝∠BPC ＝∠APC＝120°．以 AB 、AC 为APE两点之间线段最短． PA +PB +PC 最小值△ABC 中每一内角都小于 边向外作等边△ABD 、△ BC＝CD ．120°，在△ABC 内求一 ACE ，连 CD 、BE 相交于 点 P ，使 PA +PB +PC 值最 P ，点 P 即为所求．小．【精品练习】1. 如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A. 2B. 2 ADC ．3D ．BC2. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD- 3 -662 EDM3交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（）A ．2B ． 2C ． 2 +D ．43. 四边形 ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在 BC 、CD 上分别找一点 M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°A DBNC4. 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，M 、N 分别是 AD 和AB 上的动点，则 BM +MN 的最小值是 ．A5. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点 B 、C 重合），且 ED ＝AE ，则线段 AE 的取值范围是 ．ACB6. 如图，∠AOB ＝30°，点 M 、N 分别在边 OA 、OB 上，且 OM ＝1，ON ＝3，点 P 、Q 分别在边 OB 、OA 上，则 MP ＋PQ ＋QN 的最小值是 ．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有 AC 2 + BC 2 = AB 2 ）- 4 -D M33 yABOxyBA OCDx7. 如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B ( 6 ，0)．OC 平分∠AOB ，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA ＋MN 的最小值是．8. 已知 A （2，4）、B （4，2）．C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为．9．已知 A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为 x 轴上一动点，求 PA +PB 的最小值和此时 P 点的坐标；（2）P 为 x 轴上一动点，求 PA PB 的值最大时 P 点的坐标；（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD ＝1，求当 AC +CD +DB 的最小值和此时 C 点的坐标；10. 点 C 为∠AOB 内一点．（1） 在 OA 求作点 D ，OB 上求作点 E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2） 在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．A- 5 -yBA OxyBA OxCO BAF11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于 F ，连 AF ，求证：AF +BF +CF ＝CD ；（2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝6，BC ＝8，∠A ，∠C 均小于 120°，求作一点 P ，使 PA +PB +PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．DEBC① ①① ①12．荆州护城河在 CC ＇处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥 DD ＇、EE ＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？- 6 -- 7 -“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24张PPT)
【例题分层探究】 问题 1：边 CD 是定值，此问题可转化为计算 CE＋DE 的最小值问题． 问题 2：线段 CD，EF 均为定值，此问题可借助轴对称 求最短路径的方法计算出 DE＋CF 的最小值．
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT） 初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
(完整)初中数学最短路径问题典型题型复习.doc
初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图， A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB 最小。
解：连接 AB, 线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短 .）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短．解：只有 A、C、B 在一直线上时，才能使AC+ BC 最小．作点 A关于直线“街道”的对称点 A ′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则点 C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图 A 是锐角∠ MON内部任意一点，在∠ MON的两边OM，ON上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小 .解：分别作点 A 关于 OM ，ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A ′， A ″，分别交 OM ，ON 于点B 、点 C，则点 B、点C 即为所求分析：当 AB 、 BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图， A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂A·直）解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接 AE 交河对岸与点M,则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
证明：由平移的性质，得BN ∥ EM且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,MNEB所以 A.B 两地的距 :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ ACE 中，∵ AC+CE ＞AE, ∴ AC+CE+MN ＞ AE+MN, 即 AC+CD+DB ＞ AM+MN+BN所以桥的位置建在CD 处， AB 两地的路程最短。
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形 原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD MABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。
中考数学《最短路径问题2》专题复习
中考压轴题（5）最短路径问题2【典型例题】1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．2．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．点A、B、M、N均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中的线段MN上确定一点P，使PA+PB的值最小．（2）在图②中的线段MN上确定两点C、D，使CD=2，且AC+CD+DB的值最小．知识点思想方法步骤其他【对应练习】3．如图，在Rt ABC中，90ACB∠︒＝，6AC=，8BC=，AD平分CAB∠交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，求CE EF+的最小值．4．如图，在锐角ABC中，7AC cm=，221ABCS cm=，AD平分BAC∠，M N、分别是AD和AB 上的动点，求BM MN+的最小值并说明理由.5．如图1，△ABC中AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB，AC于点D，E．（1）若∠C=70°，则∠A的大小为；（2）若AE=BC，求∠A的度数；（3）如图2，点M是边BC上的一个定点，若点N在直线DE上，当BN+MN最小时，点N在何处？请用无刻度直尺作出点N的位置．（不需要说明理由，保留作图痕迹）6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点(0,6)B ，AB AC =，AB AC ⊥，30BAO ∠=︒．（1）如图①，若点D 为AB 的中点，求OD 的长；（2）如图②，若点E 在x 轴上，且45OEB ∠=︒，求ACE ∠的度数；（3）如图③，设BF 平分ABO ∠交x 轴于点P ，点M 是射线BF 上一动点，点N 是射线PA 上一动点，OM MN -的最大值为m ，判断是否存在这样点M ，N ，使m 的值最小？若存在，请在答题卷上作出点M ，N ，并直接写出作法和m 的最小值；若不存在，请说明理由．7．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点()11,A x y ，()22,B x y 之间的位置关系有以下三种情形； ①如果ABx 轴，则12y y =，12AB x x =-②如果AB y ∥轴，则12x x =，12AB y y =-③如果AB 与x 轴、y 轴均不平行，如图，过点A 作与x 轴的平行线与过点B 作与y 轴的平行线相交于点C ，则点C 坐标为()21,x y ，由①得12AC x x =-；由②得12BC y y =-；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式()()221212AB x x y y =-+-． （1）若点A 坐标为(4,6)，点B 坐标为(1,2)则AB =________； （2）若点A 坐标为(3,3)，点B 坐标为(6,6)，点P 是x 轴上的动点，直接写出AP PB +最小值=_______；（3）已知22(6)16(3)4M x x =-++-+，22(6)16(3)4N x x =-+--+根据数形结合，求出M的最小值？N 的最大值？。
(完整)初二数学最短路径问题知识归纳+练习(2),推荐文档
初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形 原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD MABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。
初中数学《最短路径问题》典型题型复习
初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB 最小。
解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、 两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短．解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A ′B ，交“街道”于点C ，则点C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
A· BMNE证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
(完整版)初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形 原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD MABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。
最短路径问题(中考复习)
m的函数关系式，s是否存在最大值，若存在，求出最大值，若
不存在，说明理由。
y
A
O
Bx
P
C
一点两线型：
例：如图，∠AOB=45，角内有一动点P ，
PO=10，在AO，BO上有两动点QR，求
△PQR周长的最小值。
.
P1
A
P Q
45°
O
R
B
P2
两点两线型：
饮马模型: 如图牧马人从A地出发，先到草地边 某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画 出最短路径。
一所候车亭P，要使候车亭到村庄A到公路的距离 最短，试确定候车亭P的位置。
A
∟
P P′
l
★理论依据： 垂线段最短.
。
1.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2
上运动,过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩
形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为
.
∟
H
2、如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴
距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN
上运动,则｜PA-PB ｜的最大值为：
。
H P
2线（、1已 ）y2 知求点反12 x比A 12（例1函与，数双a）解曲是析线反式交比于例B函、数D两y点1 ，mx 且上B一（点3，，直-1） （2）求点D的坐标，并直接写出y1<y2时的取值范围。 （3）动点P在x轴正半轴上运动，当线段PA与PB之差 最大时求P点坐标。
AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针
转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF
的最小值是
．
【初二】最短路径问题归纳(最新整理)
最短路径问题专题学习【基本问题】【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．B ．C ．3D2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（）A ．2B ．C ．D ．43232 3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小 时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD2和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (，0)．36DEABC ADE PBCAB第2题 第3题 第4题 第5题第6题 第7题OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在轴上，D 在轴上，则四边形ABCD 的周长最小值y x 为 ，此时 C 、D 两点的坐标分别为．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；x （2）P 为轴上一动点，求的值最大时P 点的坐标；x PB PA （3）CD 为轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；x 10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．。
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题.②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径.【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”.【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.【十二个基本问题】A・*B l在直线l上求一点P,使|PA—PB|的值最大. 作直线AB，与直线l的交点即为P.--^^lP三角形任意两边之差小于第三边.pA^i - PB W AB.|PA- PB|的最大值一AB .【问题11]作法图形原理Al■B在直线l上求一点P,使|PA—PB|的值最大. 作B关于l的对称点B' 作直线A B"与l交点即为P.—r^lB三角形任意两边之差小于第三边.pA^i - PB\ W AB ;|PA—PB| 最大值一AB【问题12]“费马点”作法图形原理A zAB C△ ABC中每一内角都小于120°,在4ABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小. 所求点为“费马点”，即满足N APB =N BPC =NAPC =120° .以AB、AC 为边向外作等边^ ABD、△ACE，连CD、BE相交于P,点P即为所求.D"一B C两点之间线段最短.PA+PB+PC最小值一CD.【精品练习】1.如图所示，正方形ABCD的面积为12,八ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点尸，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2V3B.2V16C. 3D. v162.如图，在边长为2的菱形ABCD中，N ABC=60°, 交于点E、F，则△ CEF的周长的最小值为（）A. 2B. 2t3C. 2 + J3D. 4若将^ACD绕点A旋转，当AC、AD，分别与BC、CD3.四边形ABCD 中，N B =/D = 90°,N C =70°,在BC 、CD 上分别找一点M 、乂使^ AMN 的周长最小时，上的动点，则BM +MN 的最小值是5 .如图，Rt △ ABC 中，N C =90°,N B = 30°, AB = 6,点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED =AE ，则线段AE 的取值范围是6 .如图，N AOB = 30°,点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =1, ON =3,点P 、Q 分别在边OB 、OA 上， 则MP +PQ + QN 的最小值是.（注”勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 Rt △ ABC 中，N C =90°,则有 AC 2 + BC 2 = AB 2 )7 .如图，三角形"BC 中，N OAB =N AOB = 15°,点B 在％轴的正半轴，坐标为B （6<3 , 0）.OC 平分N AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA +MN 的最小值是/AMN +N ANM 的度数为( A . 120°B . 130°)C . 110°D . 140°4.如图，在锐角^ABC 中，AB = 4v2 ,N BAC =45°,N BAC 的平分线交BC 于点D , M 、N 分别是AD 和AB8.已知A (2, 4)、B (4, 2). C在y轴上，D在％轴上，则四边形ABCD的周长最小值为此时C、D两点的坐标分别为9.已知A (1, 1)、B (4, 2).(1)P为％轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标;(2)P为％轴上一动点，求|PA PB|的值最大时P点的坐标;(3)CD为％轴上一条动线段，D在C点右边且CD =1,求当AC + CD+DB的最小值和此时C点的坐标;10.点C为N AOB内一点.(1)在OA求作点D, OB上求作点E，使△ CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若N AOB = 30°, OC =10,求4CDE周长的最小值和此时N DCE的度数.如图①，△ ABD 和^ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于凡连AF ，求证：AF +BF + CF = CD ；在^ABC 中，N ABC =30°, AB = 6, BC =8,N A ,N C 均小于 120°,求作一点尸，使 PA+PB+PC 的12.荆州护城河在CC '处直角转弯，河宽相等，从A 处到达B 处，需经过两座桥DD '、EE '，护城河及两桥 都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，11. (1) (2) 值最小， 试求出最小值并说明理由.图①。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：最短路径问题
专题13.4最短路径问题1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点川，万分别是直线2异侧的两个点，在2上找一个点G使CA^CB最短，这时点Q是直线』与初的交点.⑵求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条宜线的对称点, 连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点月，万分别是直线2同侧的两个点，在』上找一个点G使CA+CB最短，这时先作点〃关为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接EG、BC「、证明M -\-CB<AC f +C* 3 如下：证明：由作图可知，点万和万‘关于直线/对称，所以直线/是线段宓’的垂直平分线.因为点Q与C'在直线上，所以BC=B' G BC =B f r C f・在G 中,AB' <AC r +B f C ,所以AC+B' C<AC r +B f C ,所以AC+BC<AC f+C‘ B.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点「到直线上某点的距离和最小越个核心，所有作法都相同.利用轴对称解决最值问题应注意题目要球根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，「审题不淸导致答非所问.3.利用平移确左最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸「的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.4.生活中的距离最短问题由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜而反射的方式转化成一条线段，如图，AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.Cy __-7 B5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.对点例题解析【例题1】在图中直线/上找到一点M使它到儿万两点的距离和最小.A【例题2】如图，小河边有两个村庄出B.要在河边建一自来水厂向川村与万村供水.(1)若要使厂部到心万村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到川，万两村的水管最短，应建在什么地方？【例题3】如图，从川地到万地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到万地的路程最短？【例题4】如图所示，A, 3两点在直线2的两侧，在/上找一点G使点C到点月、万的距离之差最大.如JII练题1 •直线』左侧有两点只Q，试在直线上确左一点Q使得防％最短.2•如图，△月氏与△处关于某条直线对称，请画岀对称轴.A DC F3•如图，A.万为重庆市内两个较大的商圈，现需要在主要交通干道』上修建一个轻轨站只问如何修建,4•如图，四边形ABCD 中，ZBAD=120° , ZB=ZD=90°,在BC、CD ±分别找一点M、N,使Z\AMN 周长最小时，则ZAMN+ZANM的度数为（）C. 110°D. 100°5•如图，两条公路0A. 0B相交，在两条公路的中间有一个汕库，设为点P,如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运汕车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加汕站，最后回到汕库所走的路程最短.专题13.4最短路径问题1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求. 如图所示，点川，万分别是直线2异侧的两个点，在2上找一个点G使CA^CB最短，这时点Q是直线』与初的交点.⑵求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条宜线的对称点, 连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点月，万分别是直线2同侧的两个点，在』上找一个点G使CA+CB最短，这时先作点〃关为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C',连接EG、BC「、证明M -\-CB<AC f +C* 3 如下：证明：由作图可知，点万和万‘关于直线/对称，所以直线/是线段宓’的垂直平分线.因为点Q与C'在直线上，所以BC=B' G BC =B f r C f・在G 中,AB' <AC r +B f C ,所以AC+B' C<AC r +B f C ,所以AC+BC<AC f+C‘ B.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点「到直线上某点的距离和最小越个核心，所有作法都相同.利用轴对称解决最值问题应注意题目要球根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，「审题不淸导致答非所问.3.利用平移确左最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸「的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.4.生活中的距离最短问题由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜而反射的方式转化成一条线段，如图，AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.Cy __-7 B5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.对点例题解析【例题1】在图中直线/上找到一点M使它到儿万两点的距离和最小.A【答案】见解析。
初中数学中考复习专题 最短路径问题 24张
●
A' ●
P
B ● l
最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算 法问题，旨在寻找图（有结点和路径组成的）中两 结点之间的最短路径算法形式包括：
一、确定起点的最短路径问题
二、确定终点的最短路径问题
三、确定起点、终点的最短路径问题
四、全局最短路径问题
问题原型 “将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”
作B关于l 的对称点B ＇,作直线 A B＇与l 交点即为P
．
图形
原理
三角形任意两边 之差小于第三边 ︱PA-PB︱≤AB＇． ︱PA-PB︱最大值 ＝AB＇
问题12 “费马点”
作法
图形
原理
所求点为“费马点”，
既满足
△ABC中每一 内角都小于
∠APB=∠BPC=∠ APC=1200.以AB、
1200，在 △ABC内求一
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
长
问题9
作法
A
B l
在直线l上求一 点P，使︱PAPB︱的值最小
连AB， 作AB的 中垂线与 直线l的交 点即为P
AC为边向外作等边 △ABD、△ACE,连
点P，使
CD、BE相交于P，
PA+PB+PC最 点P即为所求点.
小．
两点之间 线段最
短.PA+PB+ PC最小值
=CD.
随堂练习一
如图,已知正方形ABCD，点M为BC边的中点，
初中最短路径问题例题
初中最短路径问题例题一、初中最短路径问题例题1. 例题1如图，A、B两个村庄位于一条小河的两侧，现要在小河上建一座桥，使得从A村到B村的路程最短，桥应建在何处？（假设小河两岸平行）解题思路：我们可以把小河的宽度平移，将A点沿垂直于河岸的方向平移小河的宽度到A'点，然后连接A'B，A'B与靠近B村的河岸交点为建桥的位置。
因为两点之间线段最短，我们通过平移把折线转化为直线，就找到了最短路径。
2. 例题2在一个正方形ABCD中，E为AB中点，F为AD上一点，且AF = 1/4AD，P为对角线BD上一动点，求PE+PF的最小值。
解题思路：利用正方形的对称性。
因为正方形关于对角线BD对称，所以点F关于BD的对称点F'在CD上，且CF'=AF。
连接EF'，则EF'的长度就是PE + PF的最小值。
根据勾股定理可求出EF'的长度。
3. 例题3已知平面直角坐标系中有A(1,3)、B(5, - 1)两点，在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求P点坐标。
解题思路：作A点关于x轴的对称点A'(1, - 3)，连接A'B，设A'B所在直线的解析式为y = kx + b，把A'(1, - 3)和B(5, - 1)代入可求出解析式，令y = 0，即可求出P点坐标。
因为A'和A 关于x轴对称，所以PA = PA'，那么PA+PB = PA'+PB，当A'、P、B三点共线时，值最小。
4. 答案与解析例题1答案：按上述方法确定建桥位置。
解析：平移是关键，把实际的折线路程转化为直线的两点间距离问题，利用两点之间线段最短的原理。
例题2答案：先求出EF'的长度。
根据E为AB中点，AB = AD，AF = 1/4AD，可得AE = 1/2AD，CF'=1/4AD，DF'=3/4AD。
初中数学《最短路径问题》典型题型复习(K12教育文档)
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初中数学《最短路径问题》典型题型复习(word版可编辑修改)初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”,“点关于线对称"，“线段的平移”。
“饮马问题”,“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”,出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直"，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧,在L上求一点P,使得PA+PB最小.解:连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据:两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM,ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。
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初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题” ，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线” 转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L 的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。
解：连接AB, 线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+ BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠ MON内部任意一点，在∠ MON的两边OM，ON 上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点 A 关于 OM，ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A′， A ″，分别交 OM，ON 于点 B、点 C，则点 B、点 C 即为所求分析：当 AB、BC和 AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接 AE 交河对岸与点 M,则点 M 为建桥的位置， MN 为所建的桥。
证明：由平移的性质，得BN∥EM 且 BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, B所以 A.B 两地的距 :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ ACE 中，∵ AC+CE >AE, ∴ AC+CE+MN > AE+MN, 即 AC+CD+DB > AM+MN+BN 所以桥的位置建在 CD 处， AB 两地的路程最短。
例：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B 两地，问该站建在河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
作法：作点 B 关于直线 a 的对称点点 C,连接 AC 交直线 a 于点 D，则点 D 为建抽水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点 E，连接 AE.CE.BE.BD, ∵点 B.C 关于直线 a 对称 ,点 D.E 在直线 a 上，∴ DB=DC,EB=EC,∴AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC 在△ ACE 中， AE+EC >AC, 即 AE+EC > AD+DB所以抽水站应建在河边的点 D 处，例：某班举行晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法： 1.作点 C 关于直线 OA 的对称点点 D,2. 作点 C 关于直线 OB 的对称点点 E,3.连接 DE 分别交直线 OA.OB 于点 M.N ，则 CM+MN+CN 最短例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
作法： 1.作点 C 关于直线 OA 的对称点点 F,先到草地边某一处牧马，再2. 作点 D 关于直线 OB 的对称点点 E,3.连接 EF 分别交直线 OA.OB 于点 G.H，则 CG+GH+DH 最短四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优例 : 一点到圆上的点的最大距离为 9，最短距离为 1，则圆的半径为多少？（ 5 或 4）四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的 宽．可求出最短路程例：如图所示，是一个圆柱体， ABCD 是它的一个横截面， 蚂蚁，要从 A 点爬行到 C 点，那么，最近的路程长为（） A ．7 B ． C ． D ．5分析： 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据 解：将圆柱体展开，连接 A 、 C ，∵ = = ?π? =4，BC=3 ， 根据两点之间线段最短，AC==5． 故选D ． 五、在长方体（正方体）中，求最短路程1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了 然后进行比较大小，即可得到最短路程 .例：有一长、宽、高分别是 5cm ， 4cm ， 3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长 方体的一个顶点 A 处沿长方体的表面爬到长方体上和 A 相对的顶点 B 处，则 需要爬行的最短路径长为（ ）A ．5 cmB ． cmC ．4 cmD ．3 cm分析： 把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点 即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长 方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．解：因为平面展开图不唯一， 故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面、右面，由勾股定理得 （2）展开前面、上面，由勾股定理得（3）展开左面、上面，由勾股定理得 所以最短路径长为 cm ．例：如图是一个长 4m ，宽 3m ，高 2m 的有盖仓库，在其内壁的 A 处（长的 四等分）有一只壁虎， B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处 最短距离为（ ）A ．4.8B ．C ．5D ．分析： 先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知． 解：有两种展开方法：① 将长方体展开成如图所示，连接 A 、 B ， 根据两点之间线段最短， AB= =；A 和B 点间的线段长， AB 2=（5+4）2+32=90；2 2 2 AB 2=（3+4）2+52=74； 2 2 2 两点之间线段最短 ”得出② 将长方体展开成如图所示，连接 A 、 B ，则 AB==5< ；所以最短距离 5 例：有一棵 9米高的大树，树下有一个 1 米高的小孩，如果大树在距地面 4 米处折断（未完 全折断），则小孩至少离开大树 米之外才是安全的． 分析： 根据题意构建直角三角形 ABC ，利用勾股定理解答．解：如图， BC 即为大树折断处 4m 减去小孩的高 1m ，则 BC=4﹣ 1=3m ， AB=9 ﹣ 4=5m ，在 Rt △ABC 中， AC= = =4．例：如图，在一个长为 2 米，宽为 1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体 的木块，它的棱长和场地宽 AD 平行且> AD ，木块的正视图是边长为 0.2 米的 正方形，一只蚂蚁从点 A 处，到达 C 处需要走的最短路程是 米．（精确到 0.01 米） 分析： 解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 解：由题意可知，将木块展开，相当于是 AB+2 个正方形的宽， ∴长为2+0.2 ×2=2.4 米；宽为 1 米． 于是最短路径为： =2.60 米． 例：如图， AB 为⊙O 直径， AB=2 ，OC 为半径， OC ⊥AB,D 为 AC 三等分点，点 P 为 OC 上的动点，求 AP+PD 的最小值。
分折：作 D 关于 OC 的对称点 D '，于是有 PA+PD '≥AD ', （当且仅当 P 运动到 P o 处，等号成立，易求 AD '= 3。
六、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程 将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案例：如图，一直圆锥的母线长为 QA=8 ，底面圆的半径 r=2 ，若一 只小蚂蚁从 A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点，则蚂蚁 爬行的最短路线长是 （结果保留根式） 小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长，根据题意可得出： 2πr=n.π.OA,/180 则， 则 2×π× 2= n×π×8 ， 180 解得： n=90 °， 由勾股定理求得它的弦长 AA 一、题中出现一个动点。
当题中只出现一个动点时 ,可作定点关于动点所在直的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值例：如图，在正方形ABCD中，点E为AB 上一定点，且BE=10,CE=14,P 为BD 上一动点，求PE+PC 最小值。
分析：作E关于BD对称点E'，E'在AB上，有PE+PC=PE '+PC≥E'C 易求E'C=26 。
二、题中出现两个动点当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值例：如图，在直角坐标系中有四个点A(-8,3),B(-4,5)C(0 ，n),D(m,0), 当四边形ABCD周长最短时,求m。
n分折:因AB 长为定值,四边形周长最短时有BC+CD+DA 最短,作B关于y轴对称点B',A 关于x 轴对称点A 'DA+DC+BC=DA '+DC+B 'C≥B' A '(当D,C 运动到AB 和x 轴y 轴的交2 7 7 7 mx 点时等号成立),易求直线A'B'解折式y= 3+ 3 ,C0(0, 3 ),D0(- 2 ,0),此时n=-23三、题中出现三个动点时。
在求解时应注意两点：(1) 作定点关于动点所在直线的对称点,(2) 同时要考虑点点, 点线,线线之间的最短问题例：如图，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点, 求PE+PF最小值分折:作E关于AC所直线的对称点E',于是有,PE+PF=PF+P'E≥E'F,又因为E在AB上运动,故当EF和AD,BC垂直时，E0F 最短,易求E0F= 3例：如图，∠ AOB=4，5 角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△ PQR周长的最小值。