2010届江苏省高三数学综合练习二(含答案)

B

2010届高三数学综合练习二 姓名 ．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.

1. 若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B = ，则实数a = ．

2. 函数)3

(sin 12π

+

-=x y 的最小正周期是 ．

3. 已知椭圆的中心在原点、焦点在y 轴上，若其离心率是

12

，焦距是8，则该椭圆的方程为 ．

4. 若复数i a i z 3)1(+=- (i 是虚数单位，a 是实数)，且z z =（的共轭复数）为z z ，则=a ．

5. 已知数列-1，a 1，a 2，-4成等差数列,-1，b 1,b 2,b 3,-4成等比数列，则2

1

2b a a -的值为_____________．

6. 已知抛物线y 2

=4x 的准线与双曲线

22

2

x

y 1a

-=交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直

角三角形，则双曲线的离心率是 _____________．

7. 函数2cos y x x =+在区间[0,]2

π

上的最大值是 ．

8. 设()22f x x =-，若0

3a f x x

=，则“ )(x f y =在[0，4]上至少有5个零点”的概率

是 ．

10. 在△ABC 中，已知向量4

10==⋅+

BC AC AB 且

满足与，若△ABC 的面积是

BC 边的长是 ．

11. 如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，1=BC ，以 A 为圆心，1为半

径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是 ．

12. 已知关于x 的方程x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0的三个实根可作为一个椭圆，一个

双曲线，一个抛物线的离心率，则

11

b a －＋的取值范围是__________.

13. 已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C

分别在l

1和l 2上，且BC =A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为 .

14. 用γβα,,三个字母组成一个长度为1+n *)(N n ∈个字母的字符串，要求由α开始，相邻两个字母不

同. 例如1=n 时，排出的字符串可能是αβ或αγ；2=n 时排出的字符串可能是αβγαβα，，

αγβαγα，(如图).若记这种1+n 个字符串中，

排在最后一个的字母仍是α的所有字符串的种数为n a ， 可知，2,021==a a ；数列{}n a 的前n 2项之和=+⋅⋅⋅+++n a a a a 2321 ▲ ．

二、解答题

15. （本小题满分14分） 已知A B C ∆中，(tan 1)(tan 1)2,2A B AB ++==，求：

（1）角C 的度数； （2）求三角形ABC 面积的最大值

16. （本小题满分14分）如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB

中点， 且△PMB 为正三角形。 （1）求证：DM ∥平面APC ；

（2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；

（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D —BCM 的体积。

17. 设椭圆222

2

:

1(0)x y C a b a

b

+

=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和

右焦点2F ，直线PQ 的斜率为3

2

，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．

(1)求椭圆的离心率； (2)直线2

13404

x y a ++

=与圆M 相交于,E F 两点，且2

1

2

M E M F a

⋅=-

，求椭圆方程；

(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N

的最远距离不大于C 的短轴长的取

值范围．

18. 已知函数5

55

)(+=

x

x f ，m 为正整数．

（Ⅰ）求)0()1(f f +和)1()(x f x f -+的值；

（Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为)(m

n f a n =（m n ,,2,1 =）

，求数列}{n a 的前m 项和m S ； （Ⅲ）设数列}{n b 满足：2

11=

b ，n n n b b b +=+2

1，设1

11

11

121++

+++

+=

n n b b b T ，若（Ⅱ）中的m S 满足

对任意不小于3的正整数n ，57774+

19. 为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y 与时间t 满足关系式：

⎪⎭

⎫

⎝⎛<<-=为常数a a at y ,34041，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y 与时间t 满足关系

式：

()()

⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤-<<=312

3102t t t t y 。现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。

（1）若1=a ，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值 （2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a 的取值范围

20. 已知函数f (x )=ax 2+ax 和g (x )=x -a ,其中a ∈R 且a ≠0．

（1）若函数f (x )与g (x )的图像的一个公共点恰好在x 轴上,求a 的值；

（2）若函数f (x )与g (x )图像相交于不同的两点A 、B,O 为坐标原点,试问：△OAB 的面积S 有没有最值?如果有,求出最值及所对应的a 的值；如果没有,请说明理由．

（3）若p 和q 是方程f (x )=g (x )的两根,且满足0

a

,证明：当x ∈(0,p )时,g (x )