二次根式的乘法和除法
二次根式的运算知识点总结
二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。
在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以更好地理解和利用二次根式。
下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。
一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。
例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。
2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行同类项相加减，并进行化简。
例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。
二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。
例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。
2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。
有理化的方法有两种：(1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。
例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。
《二次根式的乘法和除法》 知识清单
《二次根式的乘法和除法》知识清单一、二次根式的乘法1、法则二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
即：＄＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＄（＄a\geq 0$，＄b\geq 0$）例如：＄＼sqrt{2} ＼times ＼sqrt{3} ＝＼sqrt{2×3} ＝＼sqrt{6}＄2、乘法法则的推广多个二次根式相乘时，此法则同样适用。
例如：＄＼sqrt{2}×＼sqrt{3}×＼sqrt{5} ＝＼sqrt{2×3×5} ＝＼sqrt{30}＄3、乘法法则的逆用＄＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＄（＄a\geq 0$，＄b\geq 0$）这一逆用常用于将一个二次根式化简为两个或多个二次根式的乘积形式。
例如：＄＼sqrt{18} ＝＼sqrt{9×2} ＝＼sqrt{9}×＼sqrt{2} ＝3\sqrt{2}＄4、二次根式乘法运算的步骤（1）先将被开方数进行因数分解或质因数分解。
（2）把可以开得尽方的因数或因式开出来。
（3）应用乘法法则进行计算。
二、二次根式的除法1、法则二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
即：＄＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＄（＄a\geq 0$，＄b>0$）例如：＄＼dfrac{＼sqrt{8}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{8}｛2}｝＝＼sqrt{4} ＝ 2$2、除法法则的推广多个二次根式相除时，此法则同样适用。
例如：＄＼dfrac{＼sqrt{12}｝｛＼sqrt{2}｝÷＼sqrt{3} ＝＼dfrac{＼sqrt{6}｝｛＼sqrt{3}｝＝＼sqrt{2}＄3、除法法则的逆用＄＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＝＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＄（＄a\geq 0$，＄b>0$）这一逆用常用于将一个二次根式的除法运算转化为乘法运算，以简化计算。
16.3(2)二次根式乘法和除法
（2） ab 4b
（3）
abc 2 abc
2
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数
结果必须化为最简二次根式.
问题2
你会计算 ：
0.03 1 10 3
a b
有简便的方法吗?根据什么?
商的二次根式的性质:
a b
（a ≥0 ， b＞0）
反过来:
二次根式相除运算法则 a a （a ≥0 ， b＞0） b b
问题1
你会计算 ：
0.4 10
2
（a ≥0 ， b≥0）
有简便的方法吗?根据什么? 积的二次根式的性质:
ab a b
反过来:
二次根式相乘运算法则
a b ab
（a ≥0 ， b≥0）
两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.
例题1 计算：
(1)
12 32 不必马上乘出来,分解素因数,找平方的项开出.
两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.
例题2
计算：
(1) 2a
（2）
2
3b
3
6u 10u v
2 2
考虑能否约分
(3) a b a c b c
结果必须化为最简二次根式.
多项式先因式分解 （a&g如果圆的面积与正方形的面积相等， 那么圆的周长与正方形的周长的比值是多少？
人教版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.3（2） 二次根式乘法和除法
复习归纳
二次根式的性质：
（1） （2）
( a) a
2
（a≥0）
当a≥0时，=
a |a|
2
当a≤0时，=
二次根式的乘除法-知识讲解(提高)
二次根式的乘除法—知识讲解（提高）【学习目标】1、掌握二次根式的乘除法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1。
乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：;≥0，≥0，…..≥0）;(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除1. 计算：（1）（2014秋•闵行区校级期中）×（﹣2）÷．（2）221282aa a a a a ÷⨯【答案与解析】解：（1）×（﹣2）÷=×（﹣2）×=﹣=﹣=﹣．(2)原式=221282aa a a a a ÷⨯222222222222224 2.a aa a a aa a a a a =÷⨯=⨯⨯=【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.举一反三：【变式】b ba b a x x b a -÷+⋅-5433622222【答案】原式=22225214633a b x a b x a b b --⨯⨯⋅÷+=225()()552 263()21812a b a b x b bb x a b a b-+⋅⋅==+-2.计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()× (a＞0).【思路点拨】复杂的二次根式计算，要注意在化简过程中运用幂的乘除运算和因式分解运算.【答案与解析】(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练.举一反三：【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．类型二、最简二次根式3.已知0<a<b,化简2232232a b b ab aa b a b a b+-+-+.【答案与解析】原式=222()()a b b aa b a b a b+--+=1()()()a b b a a ba b ab a b a b+-⨯+⨯-++=1a b ab-+【总结升华】2a a=成立的条件是a>0;若a<0,则2a a=-.4. 观察下列等式：第1个等式：a 1==﹣1， 第2个等式：a 2==﹣， 第3个等式：a 3==2﹣， 第4个等式：a 4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n 个等式：a n = ；（2）a 1+a 2+a 3+…+a n = ．【思路点拨】（1）根据题意可知，a 1==﹣1，a 2==﹣，a 3==2﹣，a 4==﹣2，…由此得出第n 个等式：a n ==﹣； （2）将每一个等式化简即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵第1个等式：a 1==﹣1， 第2个等式：a 2==﹣， 第3个等式：a 3==2﹣， 第4个等式：a 4==﹣2， ∴第n 个等式：a n ==﹣； （2）a 1+a 2+a 3+…+a n=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣） =﹣1． 故答案为=﹣；﹣1．【总结升华】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．举一反三： 【变式】若2323+-的整数部分是a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值. 【答案】2(23)(23)==2+3=7+43(23)(23)++-+原式（） 又因为整数部分是a ，小数部分是b-则a=13，b=4362222∴-+=-⨯-+-=33110031313(436)(436)a ab b-。
二次根式的乘法和除法
二次根式的乘法和除法二次根式的乘法和除法，听起来是不是有点高大上，其实没那么复杂。
我们生活中到处都有二次根式的影子，就像你早上喝的咖啡，表面看着简单，喝下去却让人振奋。
你有没有注意到，数学其实跟生活也挺像的，都是需要点技巧、点脑子。
今天就聊聊这个二次根式的乘法和除法，保证让你听完之后觉得简单又有趣。
咱们得明白什么是二次根式。
简单来说，就是那些看上去有点神秘的根号，比如√2、√3之类的。
就像是藏在神秘箱子里的宝藏，你得打开才能看看里面的东西。
乘法的时候，根号里可以直接“相乘”，比如√2乘√3，结果就是√(2×3)=√6。
这就像你在超市买水果，两个苹果放在一起，合起来就是两个苹果。
不仅能合，还能拆。
比如√8就能变成√(4×2)=√4×√2，结果就是2√2。
嘿，这不就跟做菜一样，配料可以随意搭配，最后煮出来的味道更丰富吗？接着说说除法。
除法也差不多，跟乘法有异曲同工之妙。
比如说，√8除以√2，咱们可以把它看成√(8÷2)=√4，最后得出答案是2。
这就像分蛋糕，你有8块蛋糕，给了2块，剩下的就是6块。
不知道你有没有发现，数学跟生活的道理真是千丝万缕，紧密相连。
再说说一些小技巧。
很多时候，咱们做题会碰到复杂的根号，不要慌，先试着把它简化。
比如，√18可以变成√(9×2)，最后结果就是3√2。
这样一来，计算起来就容易多了。
你可以想象成，把复杂的事情拆分成简单的步骤，一步一步来，最后问题就迎刃而解。
就像爬山，一步一个脚印，总能到达山顶。
得注意一些细节。
有时候咱们会碰到负数的根号，比如√(1)。
这可就有点意思了，这种情况在数学里是“虚数”，大家可能觉得这很神秘，但实际上只是需要另一种思维方式。
就像你遇到一个不喜欢的菜，可能尝试换个方式烹饪，结果大变样。
数学的美妙之处就在于，它能教会我们换个角度去看待问题。
说到这里，我得提一提根号的性质。
比如，√a × √b = √(ab)，这个公式在计算时特别好用。
二次根式的乘除法
1.二次根式的乘法
运算法则： a • b a • b, (其中a 0,b 0) 逆用： a • b a • b, (其中a 0, b 0)
例1.计算
（1）. 2 3 6 （2）. 1 18
2
（3）. 27 3
（4）. 2a 18a （5）.6 2 2
2
2.二次根式的除法
运算法则：a b a b或者 a a（, 其中a 0,b>0）
bb
逆用：a b a b或者 a a（, 其中a 0,b>0）
bb
例2.计算
（1）. 2 1 2
（2）. 12 3 （3）. 63
7 （4）. a3
a
例3.计算
（1）. 2+ 3 2 3;
（2）. 3 2 2 3 3 2 2 3 ;
（3）.
3
Hale Waihona Puke 22; （4）.
2
52 .
3.二次根式的化简
(1).最简二次根式：不能再化简的二次根式叫 做最简二次根式。
当被开方数中含有分数或者小数时，二次根式要化简。
(2).同类二次根式：化简后被开方数相同的二次 根式叫做同类二次根式
（2）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. 12 B. 27 C. 0.2 D. 30
（3）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A. x2 1 B. x2 y2 C. x+y D. 1
x2
例4.化简
（1）. 24 （2）. 48 （3）. 45 （4）. 1000 （5）. 1
3 （6）. 3
二次根式的乘法与除法法则
探究发 现
那么，两个二次根式相除又如何 计算呢？
a？ b
讨论发 现
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
93
93
(3) 16 4 ( 4) 16 4
25 5
பைடு நூலகம்
25 5
4 4 99
16 16 25 25
归纳新 知
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
次根式一般要写成最简二次根式的形式。
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
把下列二次根式化成最简二次根式．
（1） 32 ；（2） 40 ；（3） 1.5 ；（4）
一起放飞理想的翅膀 在知识的天空中自由翱翔
武威三中 严兴菊
知识回 顾
1.二次根式的定义 ：
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根
式。
2.二次根式的性质：
（1）
2
a a (a 0)
（2） a2 a(a 0).
知识回 顾
3.二次根式的乘法：
a b ab (a≥0,b≥0) ab a b (a≥0,b≥0)
拓展提升
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 （ 2）＝ 4
（2）2 5 （ 5 ）＝ 10
（3） a－1 （ a－1 ）＝ a－1
（4）3
2
3
＝
6
2.化简下列二次根式，使得分母中不含有根号：
数与代数中的二次根式与其运算
数与代数中的二次根式与其运算二次根式是数学中重要的概念之一，它在数与代数中具有广泛的运用。
本文将探讨二次根式及其运算，并介绍其在实际生活和学术研究中的应用。
一、二次根式的定义与性质二次根式是指形如√a的代数表达式，其中a为非负实数。
二次根式的定义有以下几个重要性质：1. 非负实数的二次根式是唯一存在的，即√a表示的是非负实数。
2. 二次根式可以通过乘法和除法进行运算。
例如，√a * √b = √(ab)。
3. 二次根式可以通过加法和减法进行运算。
例如，√a + √b 和√a - √b 不能进行简化。
4. 二次根式可以与有理数相加减，但无法与有理数相乘除。
例如，√a + b 和√a - b 可以进行简化。
二、二次根式的运算二次根式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面以具体的例子进行说明：例1：计算√2 + √3。
解：这个二次根式无法进行简化，所以结果为√2 + √3。
例2：计算√5 - √2。
解：这个二次根式也无法进行简化，所以结果为√5 - √2。
例3：计算(√3 + √2) * (√3 - √2)。
解：利用公式(a + b)(a - b) = a^2 - b^2，可将运算式转化为(√3)^2 - (√2)^2，即3 - 2，结果为1。
例4：计算(√5 + √2) / (√5 - √2)。
解：为了简化运算，可将分子和分母同时乘以(√5 + √2)，得到(√5 + √2)^2 / (√5 - √2)(√5 + √2)。
利用公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，将分子展开得到5 + 2√10 + 2，将分母展开得到5 - 2，最终结果为(7 + 2√10) / 3。
三、二次根式的应用领域二次根式在数学和实际生活中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 几何学：二次根式在几何学中用于计算图形的周长、面积和体积。
例如，计算一个边长为2的正方形的对角线长度可以使用√2。
2. 物理学：二次根式在物理学中用于描述运动的速度、加速度以及能量的传递和转化。
二次根式的混合运算
1 −1
2
应用练习
3.3 计算： − 2 × 6 +
3−2 −
1 −1
2
课 堂 小 结
−
− >0
− =0
绝对值的化简： − = ቐ 0
− − − <0
例题讲解四
4.计算： 12 −
1 −1
2
+
1
3−1
− − 3.14
0
+ 2 3−4
应用练习
4.1 计算：
2012 − 1
− − 2
0
+ −
1 −1
3
+ 3 − 12
课 堂 小 结
1. 完全平方公式： +
2
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
2. 平方差公式： + − = 2 − 2
课堂大总结
1.二次根式的混合运算依据：有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、
3.二次根式的除法法则： ÷ =
4.二次根式除法法则的逆用：
5.完全平方公式： +
2
≥ 0, > 0
= ÷ ≥ 0, > 0
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
6.平方差公式： + − = 2 − 2
应用练习
5.2
2
计算：
3
9 − 6
4
+
1
例题讲解六
6. 计算：
二次根式的乘除法学习要点
二次根式的乘除法学习要点二次根式的乘法和除法学习二次根式加减的基础.那么如何才能熟练掌握二次根式乘除法的运算呢？笔者以为应注意掌握以下几个问题：一、正确理解二次根式乘法的意义＝4，所以，a ≥0，b ≥0).观察这一式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积仍是二次根式.由此二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数.利用二次根式乘法的这个法则应注意：（1）要注意a ≥0、b ≥0的条件，因为只有a 、b 都是非负数公式才能成立.（2）从运算顺序看，等号左边是先分别求a 、b 的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a 、b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根.（3a ≥0，b ≥0)可以推广到三个二次根式、四个二次根式等相乘的情况.（4）根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.例1 计算：（12；（3；（4.分析 利用二次根式的乘法法则，对于第（3）小题，应视x +2y 为一个整体.解 （1＝（2；（3＝(x +2y（4＝6x 2y 2.说明 在进行二次根式乘法的过程中，应注意不能随便丢掉负号，其结果一定要化简.例2 计算：（12）×32分析 第（1）小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第（2）小题 的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法.解 （10.4×3＝1.2.（2）×325×32152152说明 对于二次根式的被开方数或式中，若满足两个相同因数或因式即移到根号外面来，从而达到化简的目的.a ≥0，b ≥0)的反向运用a ≥0，b ≥0)a ≥0，b ≥0).利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的.例3 化简：（1（2（3（4.分析 我们可以直接化简，对于2000可以通过分解因数，对于第（4）小题可以利用平方差公式使之转化成乘积的形式，再运用公式.解（135；（24×9＝36；（3（4＝9×5＝45. 说明 通过求解可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以逆向运用二次根式乘法的法则，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简.三、熟练掌握二次根式除法的意义4÷2＝22=a≥0，b＞0). 观察这一式子的左边和右边，从运算顺序看，等号左边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，等号右边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根.利用二次根式这一除法法则可以进行简单的二次根式的化简与运算.值得注意的是二次根式除法的法则中a≥0，b＞0，这是因为当b＝0时，分母为0，没有意义.和二次根式乘法的法则一样，二次根式除法的法则也可以反过来运用，即(a≥0，b＞0)，同样可以利用这一公式化简二次根式.例4计算：（12分析=.解（1（2 3.说明注意本例中第（2）小题的书写格式，以便降低求解的难度.例5 化简：（12；（3分析利用公式.解（1＝87；（2＝253xy；（3＝0.3110.610⨯⨯＝1120.说明如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数.，在进行第（3）小题的运算时，也可以先对被开方数的分子与分母同时扩大100倍，从而化小数为整数.通过上述两道例题的化简与运算，我们知道二次根式的除法，有两种基本方法：①把除法先写成分式的形式；②直接套用公式a≥0，b＞0).四、正确理解最简二次根式的意义有关二次根式的化简与运算的结果一般化成最简单的式子，即结果要化成最简二次根式.最简二次根式必须满足：一是被开方数不含有分母；二是被开方数不含有开得尽方的因数或因式，二者缺一不可.例6计算：（12分析第（1）小题先做括号里的，第（2）小题先做乘法，再做除法.解（1；（2说明通过本题的运算，我们能从中体会到如何化去分母中含有根号的因数或因式.。
二次根式的乘除和最简二次根式知识点
1。乘法法则： （ ≥0， ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
2.积的算术平方根
（ ≥0， ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足 ≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有 形式的a移到根号外面.
知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则： （ ≥0， >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意， ≥0， >0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质
（ ≥0， >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式
二次根式性质与运算
（1） 2(a 1) 2a 4
xy y2 （2）
x y
（3） 1 2 1
（4） 3 5 2 3 3 52 3
【例7】 若最简二次根式 2 3
3m2 2 与 n21 4m2 10 是同类二次根式，求 m、n 的值．
计算：
【例8】
化简
1
1
1
n2 (n 1)2
，所得的结果为（
）
A．1 1 1 n n1
C．1 1 1 n n1
B． 1 1 1 n n1
D．1 1 1 n n1
1.【难度】1 星
【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或
0．
【答案】二次根式有： 2 、 x(x 0) 、 0 、 x y （x≥0，y≥0）；不是二次根式的
(3 5 2 3)2
19 4 15
3 5 2 3 (3 5 2 3) (3 5 2 3)
11
【答案】（1） (a 1) 2a 4 ；（2） y x y ；（3） 2 1；（4） 19 4 15 ．
a2
11
.7【难度】2 星
【解析】依题意，得
3m2 2 n2 1
或
m
2
2．
n 3 n 3 n 3
n 3
8..【难度】1 星 【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
(1
1 )2 n
2 n
(n
1 1)2
(
n 1)2 n
2 n
(n
1 1)2
二次根式的乘法和除法
二次根式的乘法和除法对于二次根式的乘法和除法，我们需要掌握一些基本的规则和技巧。
在本文中，我们将介绍这些规则，并提供一些例子来帮助读者更好地理解和运用。
1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘的结果仍然是一个二次根式。
具体的乘法规则如下：(a√b) * (c√d) = ac√(bd)这里，a和c是系数，b和d是被开方数。
我们将两个系数相乘，并将两个被开方数相乘。
最后，将乘积放在根号下，并将根号外的系数化简。
下面是一些具体的例子：(2√3) * (5√2) = 2 * 5 * √(3 * 2) = 10√6(3√5) * (4√5) = 3 * 4 * √(5 * 5) = 12√25 = 12 * 5 = 60这些例子展示了如何将两个二次根式相乘，并将结果化简到最简形式。
2. 二次根式的除法两个二次根式相除同样可以得到一个二次根式。
具体的除法规则如下：(a√b) / (c√d) = (a / c) * √(b / d)这里，a和c是系数，b和d是被开方数。
我们将两个系数相除，并将两个被开方数相除。
最后，将商放在根号外，并将根号内的两个数相除。
下面是一些具体的例子：(8√6) / (2√3) = 8 / 2 * √(6 / 3) = 4√2(12√5) / (3√2) = 12 / 3 * √(5 / 2) = 4√(5 / 2)这些例子展示了如何将两个二次根式相除，并将结果化简到最简形式。
3. 乘法和除法的综合运用在实际应用中，我们通常需要将乘法和除法结合使用。
为了方便计算和简化结果，我们可以先将二次根式进行乘法，再进行除法。
具体的步骤如下：a. 先将要相乘的二次根式进行乘法，得到一个新的二次根式。
b. 再将得到的结果与要除的二次根式进行除法，得到最终结果。
下面是一个例子：(2√3) * (5√2) / (4√5) = (2 * 5 * √(3 * 2)) / (4 * √5) = 10√6 / (4√5)接下来，我们可以进行除法运算：10√6 / (4√5) = 10 / 4 * √(6 / 5) = 5 / 2 * √(6 / 5)最终结果是：5 / 2 * √(6 / 5)通过这个例子，我们可以看到如何将乘法和除法结合使用，并将结果化简到最简形式。
9.3 二次根式的乘法与除法
9.3 二次根式的乘法与除法（1）一、学习目标1、了解二次根式的乘除法法则，会运用法则化简二次根式。
2、会根据法则进行二次根式的运算，进一步提高学生的运算能力。
3、学会独立思考并能与同学交流。
二、学习重点、难点重点、难点：了解二次根式的乘除法法则，会运用法则化简二次根式。
课前预习案（一）复习：（1）什么是二次根式？（2）已学过二次根式的哪些性质？ （3）什么是最简二次根式？（4）计算二次根式加减法要注意哪些问题？ （二）预习课本解决问题1、=∙b a ()0,0≥≥b a2、=ba )0,0(>≥b a课内探究（一）交流发现1、（1；（2=_______。
比较左右两边的等式，可得出规律：你能用字母表示你发现的规律吗？总结归纳二次根式乘除法法则： 思考：看到这个公式你觉得它与二次根式的基本性质有什么联系？2、例题讲解:注意：1、二次根式相乘除，先按照法则进行运算，如果积或商中含有二次根式，要将它化成最简二次根式.2、系数不是1的二次根式的乘法，其法则是系数与系数相乘，被开方式与被开方式相乘，并将结果化成最简二次根式. 跟踪练习：计算：（1）147⨯ （2）624 （3）81611⨯ （4）)5(45-÷（二）合作探究 例2、计算: (1) )275(15⋅÷ (2)a ab 324÷跟踪练习：计算：（1）3345÷ （2）3063÷∙ aa 334)3(2÷（三）课堂小结 （四）达标测试1、计算：(1) )25()16(-⨯- (2)（3）÷ay 2（4）123 （5）8126⨯ （6）x y x xy y 32322÷⋅2、已知直角三角形两直角边边长分别为6，3，求该三角形斜边上的高．9.3 二次根式的乘法与除法（2）一、学习目标1、会进行简单的二次根式的混合运算。
2、混合运算中实数的运算律、整式的四则运算法则、运算顺序以及乘法公式的应用。
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算一、混合运算的定义混合运算是指将不同类型的运算在同一个表达式中进行计算的过程。
在数学中，混合运算常常涉及到加法、减法、乘法、除法等基本运算规则。
二、二次根式的定义二次根式是指具有平方根的数学表达式。
一般情况下，二次根式的形式为√(a × b)或√(a / b)，其中a和b为实数。
需要注意的是，a和b不能是负数。
三、二次根式的混合运算规则在进行二次根式的混合运算时，需要按照以下规则进行计算：1.二次根式的加法运算：当两个二次根式具有相同的根数和次方数时，可以进行加法运算。
例如：√2 + √3 = √(2 + 3) = √52.二次根式的减法运算：当两个二次根式具有相同的根数和次方数时，可以进行减法运算。
例如：√5 - √3 = √(5 - 3) = √23.二次根式的乘法运算：可以将二次根式的根数和次方数相乘。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √64.二次根式的除法运算：可以将二次根式的根数和次方数相除。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √35.二次根式的乘方运算：可以将二次根式的根数和次方数进行乘方计算。
例如：(√2)² = √(2²) = √4 = 2四、二次根式混合运算的示例示例一：计算√3 + √5 - √2根据混合运算的规则，我们可以首先进行加法运算，然后再进行减法运算。
即：√3 + √5 - √2 = √(3 + 5) - √2 = √8 - √2由于√8不能继续简化，最后的结果为√8 - √2。
示例二：计算√2 × √3 ÷ √5根据混合运算的规则，我们可以先进行乘法运算，然后再进行除法运算。
即：√2 × √3 ÷ √5 = √(2 × 3) ÷ √5 = √6 ÷ √5由于√6不能被√5整除，所以最后的结果为√6÷ √5。
2.7(3)二次根式的混合运算(教案)
3.二次根式混合运算的步骤：
a.先进行乘除运算，再进行加减运算。
b.化简二次根式，使其尽可能简单。
c.合并同类二次根式。
4.应用二次根式的混合运算解决实际问题。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生以下学科核心素养：
1.教学重点
（1）掌握二次根式的乘法×c)√b
-除法法则：a√b ÷ c√b = (a÷c)√b（其中c≠0）
（2）能够将二次根式的混合运算化简，并合并同类项。
-例如：2√3 + 3√3 = 5√3
（3）运用二次根式的混合运算解决实际问题。
2.7（3）二次根式的混合运算（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章第七节（3）二次根式的混合运算。主要内容包括：
1.掌握二次根式的乘法、除法法则。
2.熟练运用二次根式的乘法、除法法则进行混合运算。
3.能够解决实际问题中涉及的二次根式混合运算。
教学内容如下：
1.二次根式的乘法法则：a√b × c√d = (a×c)√(b×d)（其中a、b、c、d为正实数）。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的混合运算》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或体积的情况？”（如计算长方形地的面积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式混合运算的奥秘。
-例题2：计算(4√5) ÷ (2√5)。
-例题3：化简并计算2√3 + 3√3 - √3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.2 二次根式的乘法和除法
5.2.1 二次根式的乘法
（第5课时）
教学目标
1、 使学生会逆用算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算。
2、 通过逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算培养学生逆向思维
能力.
重点、难点
重点：逆用积的算式平方根的性质进行二次根式的乘法运算。
难点：二次根式乘法结果的化简
教学过程
一 、创设情景，导入新课
1 复习：
1
米的长方形空地上种草皮，如果草皮每平方米a 元，那么这块空地铺满草皮需要多少元？（学生独立作）
估计学生会用下面方法：
（1
元，（2
≈7.3×2.4=17.52a,（元）
(元
)
18a ===
分析：方法1的结果还不明朗，方法2的结果是近似值，方法3的结果是准确
是什么运算？（二次根式的乘法），这节课我们来学习---4.2.1
二次根式的乘法。
二 合作交流，探究新知
1 二次根式乘法的法则
（1）
，这样计算对吗？你是根据什么法
则想到这样计算的呢？
吗？
二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘。
2 二次根式乘法的初步应用
例 1 计算：（1
（2）
解：
(2)
点评：二次根式相乘，把被开方数相乘后，一定要将被开方数化简，化简的方法是把每个因数分解质因数，写成的形式，再用积的算式平方根的性质和进行化简。
例2 计算下列各式，其中a ≥0,b ≥
解：（1
00)00)ab a b a b =≥≥=≥≥，，00)a b =≥≥，==210=⨯==⨯=2a b (0)a a =≥3==
（2）
三 应用迁移，巩固提高
1 二次根式乘法在实际问题中的应用
例3 如图矩形ABCD 的两条对称轴为EF ，MN ，其中E,F ，
M ，N 分别在边AB,DC ，AD ，BC 上，连接ME ，EN ，NF ，FM ，
则四边形ENFM 是菱形，设
，试问：
菱形
ABCD 的周长和面积是多少？
(1)交流解题方法，求周长先要求出边长，可用勾股定理
求面积可用菱形的面积等于对角线的积的一半。
（2） 学生独立完成，教师点评
解：∵四边形MENF 是菱形，
∴MO=MN=
AB=,OF=EF=BC=,MN ⊥EF,
Rt △MOF 中， ∴菱形ABCD
的周长为：，
面积为： 2 二次根式乘法在比较大小中的应用
例4 不求值比较的大小 （1）
（2
214570=⨯==⨯=,BC =12121212121232MF ====3462⨯=12MN EF ⋅===
， 变式：比较
（2）∵
四 课堂练习，巩固提高1 P162 练习 1, 2
补充：2计算：（
1）, (2)
3 等腰梯形
ABCD
底角为60
cm,求等腰梯形的面积。
五 反思小结，拓展提高 这节课你有什么收获？（二次根式相乘，就是逆用积的二次根式的性质，注意结果要化简）
六、作业P 165 习题5.2 A 组 1,
(22224520==⨯=((2222399218===⨯=--222=(222=<<(（(D C B A。