14第十四讲 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

数学分析第十二章数项级数

阿贝尔判别法狄利克雷判别法

第十四讲

数学分析第十二章数项级数

引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.

=,(1,2,,),,i i v i n ε 设两组实数若令

=+++=12(1,2,,),

k k v v v k n σ 121232111

()()().(18)

n

i i

n n n n n i v

εεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑则有如下分部求和公式成立:

证-==-=111,(2,3,,)k k k v v k n σσσ 以分别乘以

=(1,2,,),k k n ε 整理后就得到所要证的公式(18).

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推论（阿贝尔引理）

=12(i),,,max{};n k k

εεεεε 是单调数组,记(ii)(1),k k k n A σ对任一正整数有则有

≤≤≤=≤∑1

3.(19)

n

k k

k v A ε

ε12231,,,n n εεεεεε ----若证由(i)知都是同号的.

121232111

()()()n

k k

n n n n n

k v ε

εεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑12231()()()n n n A A εεεεεεε-≤-+-++-+1n n A A εεε=-+1(2)n A εε≤+3.

A ε≤于是由分部求和公式及条件(ii)推得

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定理12.15（阿贝尔判别法）

且级数∑n b 收敛, {}n a 0,.

n M a M 使>≤证由于数列单调有界,使当n >N 时,对任一正整数p ,都有

+=<∑.

n p k

k n

b

ε若{}n a 为单调有界数列,故存在,收敛又由于∑n b ,ε数依柯西准则，对任意正存在

正数N ,n n a b ∑则级数收敛.

+=≤∑3.

n p k k

k n

a b

M ε(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到这就说明级数收敛.

n n a b ∑

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定理12.16（狄利克雷判别法）

若数列{a n }单调递减, →∞

=lim 0,n n a 且∑n b 又级数的部分和数列有界, ∑n b 1

n n n k V b ==∑证由于部分和数列有界,数M , 使||,n V M ≤因此当n , p 为任何正整数时,

故存在正n n a b ∑则级数收敛.

12||||2.

n n n p n p n b b b V V M +++++++=-≤ {}n a →∞

=lim 0,n n a 又由于数列单调递减, 且0,

ε∀>对++++++11|| n n n p n p a b a b 6.

M ε=,N ∃.n n N a ε><当时，有(19)于是根据式得到

32M ε≤⋅

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有了阿贝尔判别法就知道: 若级数∑n u 收敛, 则

(0),1n n

p u u p n n >+∑∑

级数都收敛.例3 若数列{a n }具有性质:

12,lim 0n n n a a a a ，

→∞

≥≥≥≥= sin cos (0,2π)n n a nx a nx x 则和对任何收敛.

∈∑∑112sin cos 22n

k x kx =⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

∑11sin sin 22n x n x ⎡⎤⎛⎫⎛

⎫++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎣⎦解因为

1sin ,

2n x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin sin sin 222x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭

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(0,2π),sin 0,2

x

x 当时故得到

∈≠1

1sin 12cos .(21)22sin

2

n

k n x kx x =⎛

⎫+ ⎪⎝⎭=-∑∑cos nx (0,2π)x ∈所以级数的部分和数列当时有sin .

n a nx ∑理可证级数也是收敛的(0,2π).

x 都收敛∈sin cos nx nx

n n

和对一切∑∑作为例3 的特例, 级数界，cos .n a nx ∑由狄利克雷判别法得级数收敛同

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*例4 级数2

1

sin (1)

n

n n

n ∞

=-∑收敛但不绝对收敛. 解由于2

1

sin (1)

n

n n

n ∞

=-∑的绝对值级数为2

1

1sin 11cos2,2n n n n n n n ∞

∞

==⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

∑

∑∞

=∑

2

1

sin n n n

发散.2

1sin (1cos2),2n n =-又因得

11n n ∞

=∑其中发散，1

cos23n n

n ∞

=∑收敛(根据例结论),故