14第十四讲 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
级数的Abel+Dirichilet判别法证明
1n n n a b∞=∑的Abel 判别法若（1）数列{}n a 为单调有界，（2）级数1n n b ∞=∑收敛，则级数1n n n a b ∞=∑一定收敛.【证明】利用Cauchy 准则，只需证明112233||n n n n n n n p n p a b a b a b a b ++++++++++⋅⋅⋅+0→ 先记11n n b σ++=212n n n b b σ+++=+3123n n n n b b b σ++++=++……12n p n n n p b b b σ++++=++⋅⋅⋅+因为级数1n n b ∞=∑收敛⇔0ε∀>，()N ε∃，当n N >时，0p ∀>，有12||n n n p b b b ε+++++⋅⋅⋅+<所以有1||n σε+<，2||n σε+<，……，||n p σε+< 0ε∀>，当n 充分大时，0p ∀>，有112233||n n n n n n n p n p a b a b a b a b ++++++++++⋅⋅⋅+=11221332|()()n n n n n n n n a a a σσσσσ+++++++++-+-+⋅⋅⋅1()|n p n p n p a σσ+++-+- =121232343|()())()n n n n n n n n n a a a a a a σσσ+++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11()|n p n p n p n p n p a a a σσ+-++-+++-+≤121232343||||||||||||n n n n n n n n n a a a a a a σσσ+++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11||||||||n p n p n p n p n p a a a σσ+-++-+++-+ ≤122334||||||n n n n n n a a a a a a εεε++++++-+-+-+⋅⋅⋅1||||n p n p n p a a a εε+-+++-+ =12231(||||||)n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-ε||n p a ε++【说明1】 =12231|()()()|n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-ε||n p a ε++ =1||n n p a a ++-ε||n p a ε++≤1(||||)n n p a a +++ε||n p a ε++=1(||2||)n n p a a +++ε【说明2】≤3M ε所以，根据Cauchy 准则可知，级数1n n n a b ∞=∑收敛.【说明1】由{}n a 是单调数列⇒数组12n n a a ++-，23n n a a ++-，……，1n p n p a a +-+-都是同号的，于是12231||||||n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-=12231|()()()|n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-=1||n n p a a ++-【说明2】由{}n a 是有界数列⇒0M ∃>，0n ∀>，有||n a M <1n n n a b∞=∑的Dirichilet 判别法若（1）数列{}n a 为单调递减，且lim 0n n a →∞=，（2）级数1n n b ∞=∑的部分和数列有界，则级数1n n n a b ∞=∑一定收敛. 【证明】利用Cauchy 准则，只需证明112233||n n n n n n n p n p a b a b a b a b ++++++++++⋅⋅⋅+0→ 先记级数1n n b ∞=∑的部分和数列为{}n S ，即12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，根据已知条件：{}n S 有界⇒0M ∃>，n ∀，有||n S M < 0ε∀>，当n 充分大时，0p ∀>，有112233||n n n n n n n p n p a b a b a b a b ++++++++++⋅⋅⋅+=11221332|()()()n n n n n n n n n a S S a S S a S S ++++++++-+-+-+⋅⋅⋅1()|n p n p n p a S S +++-+- =1|n n a S +-121232343()())()n n n n n n n n n a a S a a S a a S ++++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11()|n p n p n p n p n p a a S a S +-++-+++-+ ≤1||||n n a S ++121232343||||||||||||n n n n n n n n n a a S a a S a a S +++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11||||||||n p n p n p n p n p a a S a S +-++-+++-+ ≤1||n a M ++122334||||||n n n n n n a a M a a M a a M ++++++-+-+-+⋅⋅⋅1||||n p n p n p a a M a M +-+++-+ =1||n a M ++12231(||||||)n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-M ||n p a M ++【说明1】 =1||n a M ++12231|()()()|n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-M ||n p a M ++=1||n a M ++1||n n p a a ++-M ||n p a M ++≤1||n a M ++1(||||)n n p a a +++M ||n p a M ++=12(||||)n n p a a +++M 【说明2】≤4M ε所以，根据Cauchy 准则可知，级数1n n n a b ∞=∑收敛.【说明1】由{}n a 是单调数列⇒数组12n n a a ++-，23n n a a ++-，……，1n p n p a a +-+-都是同号的， 于是12231||||||n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-=12231|()()()|n n n n n p n p a a a a a a +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-=1||n n p a a ++-【说明2】由lim 0n n a →∞=⇒0ε∀>，0N ∃>，当n N >时，有||n a ε<1()()n nn u x v x ∞=∑的Abel 判别法 若（1）x I ∀∈，函数列{()}n v x 关于n 是单调的，（2）函数列{()}n v x 在I 上一致有界，即0M ∃>，n ∀，x I ∀∈，有|()|n v x M <，（3）函数项级数1()n n u x ∞=∑在区间I 上一致收敛，则 函数项级数1()()n n n u x v x ∞=∑在区间I 上也一致收敛.【证明】利用Cauchy 准则，只需证明1122|()()()()n n n n u x v x u x v x +++++33()()n n u x v x +++()()|n p n p u x v x +++⋅⋅⋅+0→u u r先记11()()n n x u x σ++=212()()()n n n x u x u x σ+++=+3123()()()()n n n n x u x u x u x σ++++=++……12()()()()n p n n n p x u x u x u x σ++++=++⋅⋅⋅+因为函数项级数1()n n u x ∞=∑一致收敛⇔0ε∀>，()N ε∃，当n N >时，0p ∀>，x I ∀∈，有12|()()()|n n n p u x u x u x ε+++++⋅⋅⋅+<所以有1|()|n x σε+<，2|()|n x σε+<，……，|()|n p x σε+<0ε∀>，当n 充分大时，0p ∀>，有1122|()()()()n n n n u x v x u x v x +++++33()()n n u x v x +++()()|n p n p u x v x +++⋅⋅⋅+ =11221332|()()n n n n n n n n v v v σσσσσ+++++++++-+-+⋅⋅⋅1()|n p n p n p v σσ+++-+- =121232343|()())()n n n n n n n n n v v v v v v σσσ+++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11()|n p n p n p n p n p v v v σσ+-++-+++-+ ≤121232343||||||||||||n n n n n n n n n v v v v v v σσσ+++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11||||||||n p n p n p n p n p v v v σσ+-++-+++-+ ≤122334||||||n n n n n n v v v v v v εεε++++++-+-+-+⋅⋅⋅1||||n p n p n p v v v εε+-+++-+ =12231(||||||)n n n n n p n p v v v v v v +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-ε||n p v ε++【说明1】 =12231|()()()|n n n n n p n p v v v v v v +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-ε||n p v ε++ =1||n n p v v ++-ε||n p v ε++≤1(||||)n n p v v +++ε||n p v ε++=1(|()|2|()|)n n p v x v x +++ε【说明2】≤3M ε所以，根据Cauchy 准则可知，函数子项级数1()()n n n u x v x ∞=∑在区间I 上一致收敛.【说明1】x I ∀∈，函数列{()}n v x 关于n 是单调的，⇒函数组12n n v v ++-，23n n v v ++-，……，1n p n p v v +-+-都是同号的，【说明2】函数列{()}n v x 在I 上一致有界，⇒0M ∃>，n ∀，x I ∀∈，有|()|n v x M <1()()n nn u x v x ∞=∑的Dirichilet 判别法 若（1）x I ∀∈，函数列{()}n v x 关于n 是单调的，（2）函数列{()}n v x 在I 上一致收敛于0，即0ε∀>，()N ε∃，当n N >时，x I ∀∈，有|()|n v x ε<，（3）函数项级数1()n n u x ∞=∑的部分和函数列{()n S x }在区间I 上一致有界，即0M ∃>，n ∀，x I ∀∈，有|()|n S x M <则 函数项级数1()()n n n u x v x ∞=∑在区间I 上也一致收敛.【证明】利用Cauchy 准则，只需证明1122|()()()()n n n n u x v x u x v x +++++33()()n n u x v x +++()()|n p n p u x v x +++⋅⋅⋅+0→u u r先记11()()()n n n u x S x S x ++=-221()()()n n n u x S x S x +++=-332()()()n n n u x S x S x +++=-……1()()()n p n p n p u x S x S x +++-=-由函数项级数1()n n u x ∞=∑的部分和函数列{()n S x }在区间I 上一致有界，⇒ 0M ∃>，n ∀，x I ∀∈，有|()|n S x M <0ε∀>，当n 充分大时，0p ∀>，x I ∀∈，有1122|()()()()n n n n u x v x u x v x +++++33()()n n u x v x +++()()|n p n p u x v x +++⋅⋅⋅+ =11221332|()()()n n n n n n n n n v S S v S S v S S ++++++++-+-+-+⋅⋅⋅1()|n p n p n p v S S +++-+- =1|n n v S +-121232343()())()n n n n n n n n n v v S v v S v v S ++++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11()|n p n p n p n p n p v v S v S +-++-+++-+ ≤1||||n n v S ++121232343||||||||||||n n n n n n n n n v v S v v S v v S +++++++++-+-+-+⋅⋅⋅11||||||||n p n p n p n p n p v v S v S +-++-+++-+ ≤1||n v M ++122334||||||n n n n n n v v M v v M v v M ++++++-+-+-+⋅⋅⋅1||||n p n p n p v v M v M +-+++-+ =1||n v M ++12231(||||||)n n n n n p n p v v v v v v +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-M ||n p v M ++【说明1】 =1||n v M ++12231|()()()|n n n n n p n p v v v v v v +++++-+-+-+⋅⋅⋅+-M ||n p v M ++ =1||n v M ++1||n n p v v ++-M ||n p v M ++≤1||n v M ++1(||||)n n p v v +++M ||n p v M ++=21(|()||()|)n n p v x v x +++M 【说明2】≤4M ε所以，根据Cauchy 准则可知，函数子项级数1()()n n n u x v x ∞=∑在区间I 上一致收敛.【说明1】x I ∀∈，函数列{()}n v x 关于n 是单调的，⇒函数组12n n v v ++-，23n n v v ++-，……，1n p n p v v +-+-都是同号的，【说明2】函数列{()}n v x 在I 上一致收敛于0，⇒即0ε∀>，()N ε∃，当n N >时，x I ∀∈，有|()|n v x ε<。
广义积分阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法是微积分中重要的判定法则，它们主要被用来判定数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及反常含参积分的一致收敛等。
它们都以数学家的名字命名，分别是尼尔斯·阿贝尔和约翰·彼得·狄利克雷。
阿贝尔判别法是说：如果∫baf(x,y)dx关于x一致收敛，g(x,y)对每一个x都单调（方向可以不同）且关于y一致有界，那么整体就一致收敛。
狄利克雷判别法则稍微有些不同：如果∫baf(x,y)dx关于y一致有界，g(x,y)对每一个x都单调（方向可以不同）且在x→b时一致收敛于0，那么整体也是一致收敛的。
请注意，这里的一致收敛性是一个非常重要的概念，在微积分理论中有着广泛的应用。
一致收敛的函数序列或函数项级数可以保持很多重要的分析性质，比如连续性、可积性等等。
总的来说，阿贝尔判别法和狄利克雷判别法为我们提供了判断广义积分收敛性的有效工具。
但是，它们的使用需要一定的数学知识和技巧，特别是在判断函数或函数序列的一致有界性、单调性和一致收敛性时。
一般项级数
vn 收敛, 即级数(7)是绝对收敛的.
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第三步 证明绝对收敛级数(7)的和也等于S. 根据第 一步的证明, 收敛的正项级数重排后和不变, 所以先
要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 为此令
pn
un
un , 2
qn
un
un . 2
(8)
当 un 0 时, pn un 0,qn 0;
一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
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一、交错级数
若级数的各项符号正负相间, 即
u1 u2 u3 u4 (1)n1 un
(1)
(un 0, n 1, 2, ), 则称为交错级数.
定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足:
n 1
n 1
推论 :当 un 时, n 1
un的和数s 它的所有正项组成的级数的和数,
n 1
减去它的所有负项的绝对值组成的级数的和数.
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例1 级数
n 2
n1 n!
2!
n
n!
的各项绝对值所组成的级数是
n
2
n
.
n!
2!
n!
应用比式判别法,对于任意实数 ,都有
lim un1 lim 0,
u n n
n n 1
因此, 所考察的级数对任何实数 都绝对收敛.
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注: (1).定理12.12的作用,
一般项级数
正项级数
(2)定理12.12的逆定理不真, 例如 :
一致收敛判别法总结
学年论文题目：一致收敛判别法总结学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：***学号：************指导教师：***一致收敛判别法总结学生姓名：张学玉 指导教师：陶菊春摘要： 函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点，为了开阔思路，更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳、总结。
首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究,介绍了函数项级数一致收敛的充要条件,近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。
同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。
并通过例题的讨论说明这些判别法的可行性及特点。
Abstract ：Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysisof the difficulties, in order to broaden their thinking, to better understand and master the functions Seies Convergence approach, this paper uniformly convergent series of functions of several discriminant method were analyzed, summarized, summary. First, determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied, introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions, while providing nearly proved uniformly convergent series of functions of the general method. Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act. And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics.关键词： 函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法Keywords: series of functions; function sequence; uniform convergence; Criterion引言： 函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点，教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。
交错级数
( −1) n −1un 的部分和数列为 {Sn }, ∑
n =1
∞
其奇数项子列为 {S2m-1 }, 偶数项子列为 {S2m }, 于是有
S 2 m −1 = u1 − u2 + u3 − L − u2 m − 2 + u2 m −1
= u1 − ( u2 − u3 ) − L − ( u2 m − 2 − u2 m −1 )
∑ cosnx
的部分和数列当 x ∈(0,2π ) 时
有界, 有界,由狄利克雷判别法推得级数 ∑ an cos nx 收敛 收敛. 也是收敛的. 同理可证级数 ∑ an sin nx 也是收敛的 特别地, 特别地, 级数
sin nx ∑ n
和
x ∈(0,2π ) 都收敛. 都收敛.
cos nx ∑ n
u1v1 + u1v2 + u2v2 + u2v1 + u1v3 + u2v3 + u3v3 + L +L
和
u1v1 + u1v2 + u2v1 + u1v3 + u2v2 + u3v1 + L +L
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×
∑u ∑v
n
= u1 + u2 + L + un + L = A
= v1 + v 2 + L + v n + L = B
n
证 由 （ 1） 知
ε1 − ε2 ,ε2 − ε3 ,L,εn−1 − εn
k =1
都是
同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得同号的，于是由分部求和公式及条件（
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01-阿贝尔判别法,狄利克雷判别法
又由于bn收敛, 依柯西准则，对任意正数 , 存在
正数N, 使当 n >N 时,对任一正整数 p,都有
n p
bk .
kn
n p
(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到 akbk 3M .
这就说明级数 anbn 收敛.
kn
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
复习思考题
1. 假设级数 un 绝对收敛, 级数 vn条件收敛, 问
级数 (un vn )是绝对收敛还是条件收敛?
2.对于一般项级数
un与
vn ,
从 lim un v n
n
l
0, 能
否得出 un与 vn 同敛散?
3. 总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步骤.
k (k 1,2,, n), 整理后就得到所要证的公式(18).
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
推论（阿贝尔引理）
若 (i) 1 , 2 ,, n 是单调数组,记 max{ k }; k
(ii) 对任一正整数 k(1 k n) 有 k A, 则有
设 i ,vi (i 1,2,, n), 两组实数, 若令 k v1 v2 vk (k 1,2,, n),
则有如下分部求和公式成立:
n
ivi (1 2 )1 (2 3 ) 2 (n1 n ) n1 n n . (18)
i1
证 以 v1 1 ,vk k k1(k 2, 3,, n) 分别乘以
2
《高等数学教学课件汇编》abel判别法与dirichlet判别法.ppt
2n
;
(2) (1
n1
1 )n n
bn ;
n
(3)
n1
n
1
bn ;
(4)
n1
1 n bn .
证明 : (1)由于
(3n 1)(2n 2) 6n2 8n 2 6n2 8n 2n3(n 1) 1
于是
3n 1 3(n 1) 1 ln 3n 1 ln 3(n 1) 1
).由于 bn收敛, 0,N , n1
对n N 及p N ，有
由Abel引理，可得
n p
bk
k n1
n p
akbk ( an1
k n1
由Cauchy原理，知 anbn收敛. n1
2 an p ) 3M
例：设 bn收敛收敛，证明如下级数收敛：
n1
3n 1
(1) bn ln
k 1
k 1
于是得到
p
akbk M ( a p a p a1 ) M ( a1 2 a p )
k 1
1. Abel判别法
定理( Abel判别法).设 anbn满足 n1
(1) an单调有界； (2) bn收敛. n1
则 anbn收敛. n1
证明：由(1)有，an M ,(n 1、2、3
2n 2(n 1)
2n
2(n 1)
故
ln
3n 2n
1
单调, 又
3n 1 ln
2n
ln
3n 2n
ln 3 ,由Abel判别法知 2
类似地可证(2)(3)(4)
n1
bn
ln
3n 2n
1
收敛.
2. Dirichlet判别法
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法
狄利克雷判别法和阿贝尔判别法是数学分析中常用的两种判别法。
它们主要用于判断无穷级数的收敛性或发散性，是处理级数问题时的重要工具。
本文将分别介绍这两种判别法的原理和应用，帮助读者更好地理解和掌握这两种方法。
一、狄利克雷判别法1. 狄利克雷判别法的基本原理狄利克雷判别法是判断无穷级数收敛性的一种方法，主要适用于交错级数或者交替级数。
该判别法的基本原理是：若无穷级数\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n\)满足以下两个条件：1）\(a_n\)严格单调趋于0，即\(a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \ldots \geq 0\)且\(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)；2）\(b_n\)的部分和\(S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n\)有界，即存在常数\(M\)使得对任意正整数\(n\)都有\(|S_1| \leq M\)。
2. 狄利克雷判别法的应用以交错调和级数\(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}/n\)为例，根据狄利克雷判别法，可以将\(a_n = 1/n\)，\(b_n = (-1)^{n+1}\)，显然\(a_n\)严格单调趋于0，\(b_n\)的部分和\(S_n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \ldots\)是交错有界数列，因此根据狄利克雷判别法，该级数收敛。
二、阿贝尔判别法1. 阿贝尔判别法的基本原理阿贝尔判别法是判断无穷级数收敛性的另一种方法，主要适用于幂级数。
该判别法的基本原理是：若幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\)满足以下两个条件：1）\(a_n\)是一个关于\(n\)的数列，且有界，即存在常数\(M\)使得对任意正整数\(n\)都有\(|a_n| \leq M\)；2）对于固定的\(x\)，幂级数的部分和\(S_n = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n\)是有界的。
阿贝尔判别法
1 2x
22 t
法条件, 是收敛的；
而 dx 发散，因此
1 2x
1
sin x xp
dx
发散.
总之,
当 0
p
1时,
sin x 1 xp
dx
条件收敛;
当 1
p
时， 1
sin x xp
dx
绝对收敛.
类似可证:
性质1
若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
k2
为任意常数,则
也收敛 ,且
a
k1
f1(
x)
k2
f2
(
x)dx
a
k1
f1(
x)
k2
f2
(
x)
dx
k1 a f1( x)dx k2 a f2( x)dx.
性质2 若 f 在任何有限区间 [a, u] 上可积,则
u a,
u
f ( x)dx
u f ( x) dx, 于是
a
a
u
f ( x)dx lim f ( x)dx f ( x) dx.
a
u a
a
例5 判别 sin x dx (a 0) 的收敛性. 1 x(a x)
解 由于
sin x
x(a x)
1 ,而 xx
1
1 x3
2
dx
存在 G 满足a, f ( x) g( x), x [G,),
则当 g( x)dx 收敛时, f ( x)dx 亦收敛;
a
a
当 f ( x)dx 发散时, g( x)dx 亦发散.
项级 数
上午9时42分29秒
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27
例如级数 (1)n1 1 是条件收敛的, 设其和为A,
n1
n
将级数的项重排为:
1 1 1 1 1 1 32574
下面说明重排后的级数收敛于: 3 A 2
即
1 1 1 1 1 1 3 A
32574
2
上午9时42分29秒
的收敛性.
解
因为
sinn 1 n2 n2 ,
而
n1
1 n2
收 敛,
所以级数 sinn
n2
n1
收敛，
故原级数绝对收敛．
上午9时42分29秒
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20
例4 级数
n 2
n1 n!
2!
n
n!
的各项绝对值所组成的级数是
n
2
n
.
n!
2!
n!
应用比式判别法
n1
提示：易见，当n充分大时，an 1 0, an1
an an1 0 an单调递减有下界0,
an A( n ),且an A 0.
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例6 级数的敛散性证明(大连理工04五10分）
A
0,否则由an an1 an1
c
0,而 （an
n1
an1）
n
1. 级数的重排
定义:把正整数列 { 1, 2, , n, } 到它自身的 一一映射 f : n k(n) 称为正整数列的重排,相应地对 于数列 { un } 按映射 F : un uk(n) 所得到的数列{ uk(n) } 称为原数列的重排,相应也称级数 ∑uk(n) 是级数 ∑un 的重排．
狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究
狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究以《狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究》为标题，本文旨在从教学角度分析狄利克雷与阿贝尔收敛判别法，研究它们在实际教学中如何发挥作用。
狄利克雷（Dillow）和阿贝尔（Abel）收敛判别法是一种概念运用法，它是由美国教育家狄利克雷（Dillow）和阿贝尔（Abel）二人发展而来，并在1965被正式提出。
狄利克雷与阿贝尔收敛判别法在教学实践中有着重要作用，它同时兼具收敛和判别的功能，有利于把学生从个人学习经验中发掘出知识，让学习得以继续发展。
首先，狄利克雷与阿贝尔收敛判别法有助于帮助学生以更完整的有序的方式学习。
这种法能够帮助学生将新知识融入自己的现有知识世界，从而形成更丰富的教学轨迹。
学生在学习新概念时，可以通过对现有知识的收敛，把新知识融入自己的知识体系；而在将这些知识融入自己知识体系中时，又可以发挥判别功能，运用已有知识进行比较，得出正确结论。
其次，狄利克雷与阿贝尔收敛判别法有利于提升学习效率。
通过利用这种方法，学生可以根据自己的现有知识和收敛判断，主动发现问题，从而更有效率的学习。
此外，学生还可以利用收敛知识的判断来检验自己的推理，并根据判断结果来调整自己的推理方式，以求在学习过程中达到最高效率。
最后，狄利克雷与阿贝尔收敛判别法能够提高学习者的学习能力和能力提升。
通过学习使用狄利克雷和阿贝尔的收敛判断，学生能够认识到自己现有的知识的有限性，并从不同的视角看待问题，从而发现新的解决方法。
因此，运用这种法可以让学生在学习过程中发现问题，发挥创新能力，提高自身的学习能力和能力提升。
综上所述，狄利克雷与阿贝尔收敛判别法可以有效地帮助学生在学习中获得更多新知识，提升学习效率，同时也能提高学习者的学习能力和能力提升。
因此，我们可以看出，在现代教学实践中，应该更多地运用狄利克雷与阿贝尔收敛判别法，以求在教学中发挥更大的作用。
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法的关系
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法的关系1. 引言阿贝尔判别法（Abel’s test）和狄利克雷判别法（Dirichlet’s test）是数学中常见的两种判别法，用于研究级数的敛散性。
这两个方法从不同的角度出发，对级数进行分析和判别。
本文将深入探讨阿贝尔判别法和狄利克雷判别法的关系，并从它们的原理、适用范围和应用举例等方面进行详细介绍。
2. 阿贝尔判别法2.1 原理阿贝尔判别法是由挪威数学家阿贝尔于1828年提出的，用于判别无界函数项级数的敛散性。
该判别法的基本思想是通过对级数进行变换，将原级数转化为易于判断的形式。
2.2 适用范围阿贝尔判别法主要适用于满足以下条件的级数： - 级数中的项为实数或复数。
- 级数中的部分和序列有界。
- 级数中的部分和序列单调。
2.3 应用举例以下是一个应用阿贝尔判别法的例子：例1： 考虑级数∑(−1)n n p ∞n=1，其中p >0。
通过阿贝尔判别法，我们可以先观察到该级数的部分和序列{S n }满足以下条件： - 部分和序列有界，即存在正数M ，使得对于任意n ，有|S n |≤M 。
- 部分和序列单调递减，即对于任意n ，有S n ≥S n+1。
根据阿贝尔判别法的结论，当满足以上条件时，级数∑(−1)n n p ∞n=1收敛。
3. 狄利克雷判别法3.1 原理狄利克雷判别法是由德国数学家狄利克雷于1837年提出的，也用于判别级数的敛散性。
该判别法的基本思想是通过对级数的部分和序列进行分析，利用部分和序列的某种特性来判断级数的敛散性。
3.2 适用范围狄利克雷判别法主要适用于满足以下条件的级数： - 级数中的项为实数或复数。
- 级数中的部分和序列有界。
- 级数中的项满足单调性或趋于零。
3.3 应用举例以下是一个应用狄利克雷判别法的例子：例2： 考虑级数∑sinnx n ∞n=1，其中x 为实数。
通过狄利克雷判别法，我们可以观察到该级数的部分和序列{S n }满足以下条件： - 部分和序列有界，即存在正数M ，使得对于任意n ，有|S n |≤M 。
含参量的反常积分中的阿贝尔判别法及狄利克雷判别法的证明
阿贝尔判别法（Abel ）（1）(),cf x y dy +∞⎰在I 上一致收敛；（2）对x I ∀∈，函数(),g x y 关于y 单调，且对x ，(),g x y 在I 上一致有界，则含参量的反常积分()(),,cf x yg x y dy +∞⎰在I 上一致收敛.狄利克雷判别法（Dirichlet ）（1）对一切N c >，(),N cf x y dy ⎰对x 在I 上一致有界；（2）对x I ∀∈函数(),g x y 关于y 单调，且当y →+∞时，对x ，(),g x y 一致收敛于0，则含参量的反常积分()(),,cf x yg x y dy +∞⎰在I 上一致收敛.引理：（积分第二中值定理的推论）见数学分析上册P.227设函数()f x 在[],a b 上可积.若()g x 单调，则[],,..a b s tξ∃∈()()()()()().b b a a f x g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰阿贝尔判别法的证明证明：由于对参量x ，(),g x y 在I 上一致有界，于是'0M ∃>，对,x I y c ∀∈>，有(,)'g x y M ≤.因为(),cf x y dy +∞⎰在I 上一致收敛，由一致收敛的柯西准则对0,M c ε∀>∃>，当21A A M >>时，对x I ∀∈，有()21,2('1)A A f x y dy M ε<+⎰.又对x I ∀∈，函数(),g x y 关于y 单调，根据积分第二中值定理，对x I ∀∈，[]12,,..A A s tξ∃∈()()()()()()221112,,,,,,.A A A A f x y g x y dy g x A f x y dy g x A f x y dy ξξ=+⎰⎰⎰于是()()()()()()212112,,,,,,A A A A f x y g x y dyg x A f x y dy g x A f x y dy ξξ=+⎰⎰⎰()()()()()()2112,,,,'''.2'12'1'1A A g x A f x y dy g x A f x y dy M M M M M M ξξεεεε≤+≤⋅+⋅=<+++⎰⎰由一致收敛的柯西准则()(),,cf x yg x y dy +∞⎰在I 上一致收敛.狄利克雷判别法的证明证明：由于对一切N c >，(),N cf x y dy ⎰对x 在I 上一致有界，于是'0M ∃>，对,N c x I ∀>∈，有(),'.Ncf x y dy M ≤⎰由当y →+∞时，对x ，(),g x y 一致收敛于0，有对0,,M c ε∀>∃>当y M >时，对x I ∀∈，有(,).4('1)g x y M ε<+又对x I ∀∈函数(),g x y 关于y 单调，当21A A M >>时，由积分第二中值定理，[]12,A A ξ∃∈，使得()()()()()()221112,,,,,,.A A A A f x y g x y dy g x A f x y dy g x A f x y dy ξξ=+⎰⎰⎰于是()()()()()()212112,,,,,,A A A A f x y g x y dyg x A f x y dy g x A f x y dy ξξ=+⎰⎰⎰()()()()2112,,,,A A g x A f x y dy g x A f x y dy ξξ≤+⎰⎰()()()()()()()()()()211212,,4('1),,,,4('1),,,,4('1)'4'.4('1)'1A A A A c c c c A A c c c c f x y dy f x y dy M f x y dy f x y dy f x y dy f x y dy M f x y dy f x y dy f x y dy f x y dy M M M M M ξξξξξξεεεεεε⎛⎫ ⎪≤+ ⎪+⎝⎭⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪+⎝⎭≤⋅=<++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据一致收敛的柯西准则()(),,c f x y g x y dy +∞⎰在I 上一致收敛.。
一致收敛判别法
(2) M判别法是绝对收敛的判 别法, 凡是能用M判别法判别函数项级数 一致收敛的, 此函数项级数一定是绝对收敛.
例6 讨论函数项级数
的一致收敛性
例7
定理12 狄利克雷判别法
若级数 anbn满足下列条件, 则级数 anbn收敛.
n 1 n 1
(1)数列{an }单调减少，且lim an 0.
i 1 n 1
y
a1 a2
3
ai bi
i 1
5
表示以bi 为底,以ai 为高的所有 竖条矩形面积之和 .
a a
a5
4
1 2
3
(ai ai 1 ) i a5 5
i 1
51
b1 b2 b3 b4
4
b5
5
x
推论(阿贝尔引理) 若 (i)a , a ,, a , 是单调数组
定理3 狄利克雷判别法
若函数项级数 an ( x)bn ( x)满足下列两个条件,
n 1
则函数项级数 an ( x)bn ( x)在区间一致收敛 .
n 1
(1)函数列{an ( x)}对每一个x I是单调的， 且在区间I一致收敛于0(an ( x) 0).
( 2)函数项级数 bn ( x) 的部分和函数列
u n ( x ) an ,
n 1
则称函数项 级数 un ( x)在 区间I上一致收敛.
注:魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法
注 : (1)满足不等式un ( x) an的数项级数 an ,
n 1
称为函数项级数 un ( x)在 区间I上的
n 1
狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究
狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究以《狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究》为标题，本文将研究和探讨狄利克雷与阿贝尔收敛判别法在教学中的应用。
狄利克雷（Dikler）是一位著名的现代心理学家，他提出了学习原理的假设，Deprive Principle，表明学习者学习的思考方式取决于其经验。
阿贝尔（Abeel）的收敛判别法是根据狄利克雷（Dikler）的相关理论发展起来的，它是一种经过组织和结构化的学习系统，指导学习者以狄利克雷假设所提出的方式进行思考和解决问题。
狄利克雷（Dikler）的学习原理认为，思维是一种被经历组织和结构化的过程，也是一种反应，通过接触外部刺激来塑造它。
狄利克雷（Dikler）提出，思维是一个可以改变的行为模式，它由先前的学习经历和当前环境的反射构成。
狄利克雷原理的核心是，学习者的思考方式取决于学习者经历的深度和宽度。
狄利克雷（Dikler）的原理和阿贝尔（Abeel）的收敛判别法有共同之处，但是也有不同之处。
阿贝尔（Abeel）主张，教育者应该运用有效的学习方法来辅助学习者，激发其发展学习思维的活力，以便学习者能够以狄利克雷（Dikler）的学习原理所提出的方式进行思考和解决问题。
阿贝尔（Abeel）收敛判别法的教学，包括四个组成部分：收敛阶段，概念定义阶段，判断阶段和扩展阶段。
收敛阶段，教师首先介绍主题，发表观点，让学生们了解和分析提出的问题。
然后，教师提出关于主题的概念定义，让学生们理解概念的定义，并能够建立概念类型的关系。
接着，判断阶段，教师给学生们一系列的问题来测试学生们的理解程度，帮助他们判断他们的结论是否正确和完整。
最后，扩展阶段，教师会分析和讨论学生们提出的问题，帮助学生们扩展自己的思维和形成新的视角。
狄利克雷（Dikler）原理和阿贝尔（Abeel）收敛判别法在实际操作中，能够让学生更好地理解知识，形成更有利的思维习惯。
通过学习主题，学生不仅能够理解和掌握主题知识，而且也能够培养更强大的思考能力，这直接影响他们的学习和生活表现。
几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较
《数学与应用数学》学年论文题目几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较学号姓名教师评语：成绩指导教师摘要：级数理论在实际生活中的运用极为广泛，正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断，正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍. 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢?下面就对正项级数的各种判别法强弱比较进行了讨论与分析。
1 正项级数相关概念 1.1正项级数的定义如果级数1n n x ∞=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,n x n ≥=则称此级数为正项级数1.2正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理： 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i ,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.例级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑是正项级数。
它的部分和数列的通项2112212ln ln ln 2ln ln 2(1)(1)11n n n k k k k k n s k k k k n ++==⎤++⎡⎤=<-=-<⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎦∑∑，所以正项级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑收敛。
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数学分析第十二章数项级数
阿贝尔判别法狄利克雷判别法
第十四讲
数学分析第十二章数项级数
引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.
=,(1,2,,),,i i v i n ε 设两组实数若令
=+++=12(1,2,,),
k k v v v k n σ 121232111
()()().(18)
n
i i
n n n n n i v
εεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑则有如下分部求和公式成立:
证-==-=111,(2,3,,)k k k v v k n σσσ 以分别乘以
=(1,2,,),k k n ε 整理后就得到所要证的公式(18).
数学分析第十二章数项级数
推论（阿贝尔引理）
=12(i),,,max{};n k k
εεεεε 是单调数组,记(ii)(1),k k k n A σ对任一正整数有则有
≤≤≤=≤∑1
3.(19)
n
k k
k v A ε
ε12231,,,n n εεεεεε ----若证由(i)知都是同号的.
121232111
()()()n
k k
n n n n n
k v ε
εεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑12231()()()n n n A A εεεεεεε-≤-+-++-+1n n A A εεε=-+1(2)n A εε≤+3.
A ε≤于是由分部求和公式及条件(ii)推得
数学分析第十二章数项级数
定理12.15（阿贝尔判别法）
且级数∑n b 收敛, {}n a 0,.
n M a M 使>≤证由于数列单调有界,使当n >N 时,对任一正整数p ,都有
+=<∑.
n p k
k n
b
ε若{}n a 为单调有界数列,故存在,收敛又由于∑n b ,ε数依柯西准则，对任意正存在
正数N ,n n a b ∑则级数收敛.
+=≤∑3.
n p k k
k n
a b
M ε(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到这就说明级数收敛.
n n a b ∑
数学分析第十二章数项级数
定理12.16（狄利克雷判别法）
若数列{a n }单调递减, →∞
=lim 0,n n a 且∑n b 又级数的部分和数列有界, ∑n b 1
n n n k V b ==∑证由于部分和数列有界,数M , 使||,n V M ≤因此当n , p 为任何正整数时,
故存在正n n a b ∑则级数收敛.
12||||2.
n n n p n p n b b b V V M +++++++=-≤ {}n a →∞
=lim 0,n n a 又由于数列单调递减, 且0,
ε∀>对++++++11|| n n n p n p a b a b 6.
M ε=,N ∃.n n N a ε><当时，有(19)于是根据式得到
32M ε≤⋅
数学分析第十二章数项级数
有了阿贝尔判别法就知道: 若级数∑n u 收敛, 则
(0),1n n
p u u p n n >+∑∑
级数都收敛.例3 若数列{a n }具有性质:
12,lim 0n n n a a a a ，
→∞
≥≥≥≥= sin cos (0,2π)n n a nx a nx x 则和对任何收敛.
∈∑∑112sin cos 22n
k x kx =⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
∑11sin sin 22n x n x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦解因为
1sin ,
2n x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin sin sin 222x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭
数学分析第十二章数项级数
(0,2π),sin 0,2
x
x 当时故得到
∈≠1
1sin 12cos .(21)22sin
2
n
k n x kx x =⎛
⎫+ ⎪⎝⎭=-∑∑cos nx (0,2π)x ∈所以级数的部分和数列当时有sin .
n a nx ∑理可证级数也是收敛的(0,2π).
x 都收敛∈sin cos nx nx
n n
和对一切∑∑作为例3 的特例, 级数界，cos .n a nx ∑由狄利克雷判别法得级数收敛同
数学分析第十二章数项级数
*例4 级数2
1
sin (1)
n
n n
n ∞
=-∑收敛但不绝对收敛. 解由于2
1
sin (1)
n
n n
n ∞
=-∑的绝对值级数为2
1
1sin 11cos2,2n n n n n n n ∞
∞
==⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
∑
∑∞
=∑
2
1
sin n n n
发散.2
1sin (1cos2),2n n =-又因得
11n n ∞
=∑其中发散，1
cos23n n
n ∞
=∑收敛(根据例结论),故
数学分析第十二章数项级数
∞
=-∑1
1(1),n n n 由于级数收敛而11
cos 2cos(2π)(1),n n n n n n n ∞∞
==+-=∑∑21
sin (1)n n n n ∞
=-∑所以级数为条件收敛.
2
1
1sin 11cos2(1)(1)2n
n n n n n n n n ∞
∞
==⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭∑∑，也收敛，根据例321
sin (1).
n n n n 因此级数收敛∞
=-∑
复习思考题
数学分析第十二章数项级数
n u ∑n v ∑1.假设级数绝对收敛, 级数条件收敛, 问级数()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛?lim 0,2,n
n n n n
u u v l v →∞=≠∑∑对于一般项级数与从.能
?
n n u v ∑∑否得出与同敛散3.总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步骤.。