步步高初高中衔接教材数学暑假作业：第10课一元二次方程根与系数的关系答案和解析

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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0，解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0，（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ，则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值．解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43；（2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。

2020年初升高数学衔接辅导之一元二次方程(含答案)

03一元二次方程高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=．①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．典型考题【典型例题】关于的一元二次方程，其根的判别式为，求的值．【变式训练】已知关于的一元二次方程若方程的一个根为，求的值及另一个根；若该方程根的判别式的值等于，求的值．【能力提升】方程（x ﹣5）（2x ﹣1）=3的根的判别式b 2﹣4ac = ．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根2142b b ac x a --=，2242b b acx a--=，则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a------+=+==-；2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+-----=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．典型考题【典型例题】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值．【变式训练】求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值．【能力提升】已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2＝0有两根α，β (1)求m 的取值范围； (2)若α+β+αβ＝0．求m 的值．专题验收测试题1．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（） A ．x 1+x 2＞0B ．x 1≠x 2C ．x 1•x 2＞0D ．x 1＜0，x 2＜02．已知关于x 的一元二次方程2x 2+mx ﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（） A ．1B ．﹣1C ．23D ．32-3．用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣5＝0，此方程可变形为（） A ．（x +2）2＝9B ．（x ﹣2）2＝9C ．（x +2）2＝1D ．（x ﹣2）2＝14．有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了90场，每两队之间都比赛2场，则下列方程中符合题意的是（） A ．12x （x ﹣1）＝90 B ．12x （x +1）＝90 C ．x （x ﹣1）＝90 D ．x （x +1）＝905．关于x 的一元二次方程x 2﹣x +m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（） A ．m ≤3B ．m ＞3C ．m ＜3D ．m ≥36．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣m -3x +14＝0有实数根，则m 的取值范围（）A．m≤52且m≠2B．m＞52C．m≤52D．m≤3且m≠27．关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x2+3＝0 B．x2＝2x C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0 9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝2a，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝2a．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长10．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣311．一元二次方程x（x+5）＝x+5的解为_____．12．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值为_____．13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2+m＝0无实数根，则m的取值范围是_____．14．已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根，那么直线y＝（1211x x）x﹣（x12+x22）不经过第_____象限．15．已知x=-1是关于x的一元二次方程x2+(m+ 1)x-m2=0的一个实数根,则m=_____. 16．已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根．18．四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 19．解方程或不等式：（1）解方程：；（2）解不等式．20．关于x 的一元二次方程x 2﹣(2k ﹣1)x +k 2+1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． (1)求实数k 的取值范围；(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1|+|x 2|＝x 1•x 2，求k 的值．21．关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2+1=0有两个不等实根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根x 1，x 2满足x 1+x 2=－x 1x 2，求k 的值． 22．已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k 的取值范围；若k 为负整数，求此时方程的根．专题03一元二次方程高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=．①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．典型考题【典型例题】关于的一元二次方程，其根的判别式为，求的值．【答案】．【解析】由题意得，，整理得，，解得：．【变式训练】已知关于的一元二次方程若方程的一个根为，求的值及另一个根；若该方程根的判别式的值等于，求的值．【答案】(1)；即原方程的另一根是．【解析】（1）设方程的另一根是x2．∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3，∴x=3是原方程的解，∴9m﹣（m+2）×3+2=0，解得m=；又由韦达定理，得3×x2=，∴x2=1，即原方程的另一根是1；（2）∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3．【能力提升】方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式b2﹣4ac= ．【答案】105【解析】先把方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣11x+2=0，故△=b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×2×2=105．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =，则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．典型考题【典型例题】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值．【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时， b ＝﹣3，c ＝2；当方程根为2，4时b ＝﹣6，c ＝8．【解析】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x 2﹣6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4， ∴x 2＝2x 1，∴一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程；（2）∵方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2， ∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b ＝1+2，解得b ＝﹣3，c ＝1×2＝2；当方程根为2，4时﹣b ＝2+4，解得b ＝﹣6，c ＝2×4＝8．【变式训练】求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值．【答案】6 【解析】方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2，∴211220x x --=，.221=+x x∴()112122222222262.22x x x x x x =++=++=⨯+=+【能力提升】已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2＝0有两根α，β (1)求m 的取值范围； (2)若α+β+αβ＝0．求m 的值．【答案】(1)m ≥﹣；(2)m 的值为3．【解析】(1)由题意知，(2m +3)2﹣4×1×m 2≥0，解得：m ≥﹣；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m +3)，αβ＝m 2， ∵α+β+αβ＝0， ∴﹣(2m +3)+m 2＝0，解得：m 1＝﹣1，m 1＝3，由(1)知m ≥﹣，所以m 1＝﹣1应舍去， m 的值为3．专题验收测试题1．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（） A ．x 1+x 2＞0 B ．x 1≠x 2C ．x 1•x 2＞0D ．x 1＜0，x 2＜0【答案】B 【解析】解：∵△＝（﹣m ）2﹣4×1×（﹣3）＝m 2+4＞0， ∴方程x 2﹣mx ﹣3＝0有两个不相等的实数根， ∴x 1≠x 2．故选：B ．2．已知关于x 的一元二次方程2x 2+mx ﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（） A ．1 B ．﹣1C ．23D ．32【答案】C 【解析】设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系可得：﹣1•x 1＝﹣32，解得x 1＝32．故选：C ．3．用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣5＝0，此方程可变形为（） A ．（x +2）2＝9 B ．（x ﹣2）2＝9 C ．（x +2）2＝1 D ．（x ﹣2）2＝1【答案】A 【解析】解：x 2+4x ﹣5＝0， x 2+4x ＝5，x2+4x+22＝5+22，（x+2）2＝9，故选：A．4．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了90场，每两队之间都比赛2场，则下列方程中符合题意的是（）A．12x（x﹣1）＝90 B．12x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x+1）＝90【答案】C【解析】解：由题意可得，x（x﹣1）＝90，故选：C．5．关于x的一元二次方程x2﹣23x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≤3B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3【答案】C【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣23x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣23）2﹣4×1×m＞0，解得m＜3．故选：C．6．关于x的方程（m﹣2）x2﹣m3x+14＝0有实数根，则m的取值范围（）A．m≤52且m≠2B．m＞52C．m≤52D．m≤3且m≠2【答案】C 【解析】当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+14＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+14＝0有实数根，∴△＝3﹣m ﹣4（m ﹣2）•14≥0，解得：m ≤52， ∴m 的取值范围是m ≤52，故选：C ．7．关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +2）x +m ＝0根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】A【解析】由关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +2）x +m ＝0，得到a ＝1，b ＝﹣（m +2），c ＝m ，△＝（m +2）2﹣4m ＝m 2+4m +4﹣4m ＝m 2+4＞0，则方程有两个不相等的实数根，故选A ．8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A ．2x 2+3＝0B ．x 2＝2xC ．x 2+4x ﹣1＝0D ．x 2﹣8x +16＝0 【答案】A【解析】A 、△＝0﹣24＝﹣24＜0，即方程没有实数根，符合题意；B 、△＝4﹣0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C 、△＝16+4＝20＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D 、△＝64﹣64＝0，方程有两个相等的实数根，不符合题意，故选：A ．9．欧几里得的《原本》记载，形如x 2+ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝2a ，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝2a ．则该方程的一个正根是（）A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长【答案】B【解析】欧几里得的《原本》记载，形如x 2+ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝2a ，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝2a ，设AD ＝x ，根据勾股定理得：（x +2a ）2＝b 2+（2a ）2，整理得：x 2+ax ＝b 2，则该方程的一个正根是AD 的长，故选：B ．10．若关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a 的取值范围是（）A ．a ＜3B ．a ＞3C ．a ＜﹣3D ．a ＞﹣3【答案】B【解析】试题分析：当x =0时，y =－5；当x =1时，y =a －3，函数与x 轴在0和1之间有一个交点，则a －3＞0，解得：a ＞3．考点：一元二次方程与函数11．一元二次方程x （x +5）＝x +5的解为_____．【答案】x 1＝﹣5，x 2＝1【解析】解：方程整理得：x （x +5）﹣（x +5）＝0，分解因式得：（x +5）（x ﹣1）＝0，解得：x 1＝﹣5，x 2＝1，故答案为：x 1＝﹣5，x 2＝112．一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值为_____．【答案】7【解析】解：∵一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，∴x 12＝3x 1+2，x 1x 2＝﹣2，x 1+x 2＝3，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3x 1+2＝3（x 1+x 2）+x 1x 2＝7，故答案为：7．13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2+m ＝0无实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】14m >【解析】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4（2+m ）＜0，解得m ＞14．故答案为m ＞14． 14．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2+3x ﹣6＝0的两个实数根，那么直线y ＝（1211x x +）x ﹣（x 12+x 22）不经过第_____象限．【答案】二【解析】∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+3x ﹣6＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣3，x 1•x 2＝﹣6， ∴121112x x +=， x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝32﹣2×（﹣6）＝21，∴y ═221212111()()212x x x x x x +-+=-， ∴该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二．15．已知x =-1是关于x 的一元二次方程x 2+(m + 1)x -m 2=0的一个实数根,则m =_____.【答案】0或－1【解析】由题意可知：将1x =-代入方程()22 10x m x m ++-=可得22(1)(1)(1)0m m -++⨯--= 整理可得：20m m +=(1)0m m += ，即01m m ==-或故答案为：01-或16．已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．【答案】1【解析】∵α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，∴α2﹣2019α＝﹣1，β2﹣2019β＝﹣1，αβ＝1，2019＝1．∴（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+2故答案为：1．17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根．【答案】（1）见解析；（2）x1＝，x2＝．【解析】（1）证明：因为△＝k2﹣4（﹣k﹣2）＝k2+4k+8＝（k+2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．（2）由题意，得﹣k＝3，所以k＝﹣3．当k＝﹣3时，方程为x2﹣3x+1＝0．所以x1＝，x2＝．根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式．18．四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【答案】(1)捐款增长率为10%；(2)第四天该单位能收到13310元捐款．【解析】(1)设第二天、第三天的增长率为x，由题意，得10000(1+x)2＝12100，解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1(舍去)．则x＝0.1＝10%．答：捐款增长率为10%；(2)第四天收到的捐款为12100×(1+10%)＝13310(元)．答：第四天该单位能收到13310元捐款．19．解方程或不等式：（1）解方程：；（2）解不等式．【答案】（1）；（2）【解析】（1）解：（2）解：由①得，由②得，故20．关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．【答案】(1)k＜﹣34；(2)-2．【解析】解：(1)根据题意得△＝(2k﹣1)2﹣4(k2+1)＞0，解得k＜﹣34；(2)x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，∵k＜﹣34，∴x1+x2＝2k﹣1＜0，而x1x2＝k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∵|x1|+|x2|＝x1•x2，∴﹣(x1+x2)＝x1•x2，即﹣(2k﹣1)＝k2+1，整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣2，而k＜﹣34，∴k＝﹣2．21．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2=－x1x2，求k的值．【答案】（1）k>；（2）2.【解析】（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2-4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=-（2k+1），x1•x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1•x2，∴-（2k+1）=-（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2．22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围；若k为负整数，求此时方程的根．【答案】（；（时，．【解析】(1)由题意得Δ＞0，即9－4(1－k)＞0，解得k＞.(2)若k为负整数，则k＝－1，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.。

《一元二次方程的根与系数的关系》资料习题配答案

一元二次方程根与系数的关系习题6、已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ，若有一个根为0，则m =7，这时方程的另一个根是1；若两根之和为－35 ，则m =9-，这时方程的两个根为15821=-=x x ，. 07)3(10)1(2=-++-m x m x 设方程解：，则：、设原方程两根为b a )2(，则：另一根为1x 107103-=+=+m ab m b a ，10301+=+m x ① 53-原方程两根之和为 10701-=•m x ② 53103-=+=+m b a 由②，得：7=m 9-=∴m 代入将7=m ①，得： 08352=-+∴x x 原方程可化为：11=x 0)1)(85(=-+∴x x0171时，方程一根为，==∴x m 158=-=∴x x 或 7、如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，则m =2； 05)1(222=+++-m x m x 解：令 0204)12(422=--++∴m m m是完全平方式5)1(222+++-m x m x 0168=-∴m有两个相等实根方程05)1(222=+++-∴m x m x 2=∴m0)5(4)]1(2[22=+-+-=∆∴m m8、方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根，则最小的整数m =2; 6)4(22-=-x mx x 解：将方程 08848<+-∴m068)12(2=+--x x m 化简，得： 611>∴m 原方程没有实数根 2为最小整数m ∴0)12(2464<--=∆∴m9、已知方程)4()3)(1(2-=--m x m x x 两根的和与两根的积相等，则m =2;)4()3)(1(2-=--m x m x x 解：将方程 m m 3227=-∴ 06)27(22=+--m x m x 化简，得： 2=∴m，则：，设方程两根为21x x 048)]27([22>---=∆=m m m 时，当m x x m x x 32272121=-=+， 2=∴m 积相等方程两根的和与两根的10、设关于x 的方程062=+-k x x 的两根是m 和n ，且2023=+n m ，则k 值为16-; 是方程的两根、解：n m 代入将8=m ①，得：6=+n m ① 2-=nk mn = ② 代入，将28-==n m ③，得： 2023=+n m ③ 16)2(8-=-⨯=k①×2-③，得： 043616>-=∆-=k k 时，当8-=-m 16-=∴k8=∴m11、若方程01)12(22=++--m x m x 有实数根，则m 的取值范围是43-≤m ; 原方程有实数根解： 34≥-∴m0)1(4)]12([22≥+---=∆∴m m 43-≤∴m 04414422≥--+-∴m m m 根。

完整版一元二次方程根与系数的关系的关系含答案

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系-， B重难点解读—————————根据方程中两根的关系确定方程中字母的值☆重难点的取值范围；1）求实数k○随堂例题（2222的kx=16+x满足、2）若xxx+x?，求实数（-1=0）（xx1例已知关于的方程+2k-1x+k有211212．、x两个实数根x值． 21．）则m的值为（自主解答：（1）∵关于x的方程x+（2k-1）x+k-1=0的两个根，且x+x=1-xx，22D21121．-2 D．1或-2 C．A．有两个实数根x，x， -1或2 B21222，+（m+2）x+m=02.已知关于x的一元二次方程x 0，-1∴△=（2k-1）-4（k）=-4k+5≥取何值，原方程总有两个不相m（1）求证：无论55等的实数根；11?，是原方程的两根，x且（=-22）若x，21xx22有两（2）∵关于x的方程x+（2k-1）x+k-1=021.求m的值2．?，∴x+x=1-2k，xx=k-1个实数根x，x22111222取0，∴无论m解：（1）△=（m+2）-4m=m+4＞222，+x）-2x?x=16+x?x=∵x+x（x22211112何值，原方程总有两个不相等的实数根；2222 -4k-12=0，即，k（∴1-2k-1）-2×（k）=16+（k-1），x是原方程的两根，（2）∵x 或解得k=-2k=6（不符合题意，舍去）．21 =m．+x∴x=-（m+2），xx ．∴实数k的值为-22211xxm?112?题目中提到两个实数根，即隐【一中名师点拨】21? =-2，=∵=-xxxxm当根据方程中两根的；含着根的判别式大于等于02211是分式方程的解，且符合，经检验，m=2解得m=2关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式的值为2．题意，∴m +x转化为含x及x.x的形式2211○随堂训练22-m-1=0x-2mx+m是方程，20171.（烟台）若xx21课后达标基础训练22的值x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a呼和浩特）2017关于x的一元二次方程x+（a-2a）1.（ B ）为（0．2或．2 B．0 C．1 DA2） A 已知关于x的方程x+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（2.（2017新疆）6．3 DA．-3 B．-2 C．2 D ）x-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ 3.已知m，n是一元二次方程2D．-6 B．-2 C．0 A．）x，x为根的一元二次方程是（ A =30，4.已知实数xx满足x+x=11，xx，则以2121112222+11x+30=0．Ax-11x+30=0 B．x22-11x-30=0．x+11x-30=0 D．xC3311222x=+ 2 ；+=；x=+ 是方程、5.已知xx2x+3x-4=0的两根，那么xx=；x·x??2212111242xx12237. ；=??xx?21442 -1 .的值为，则a+b+ax+b+1=0的解为x=x=26.已知关于x的方程x21323232x+1=0 .x-7.以-2+和为两根的一元二次方程是2. 的值-5，求方程的另一根及m8.已知方程5x+mx-10=0的一根是，解：设方程的另一个根为km2?k?，得，解得则-5k=-2m=23. ，又k-5=55已知关于x的一元二次方程kx+x-2=0有两个不相等的实数根．29.的取值范围；k）求实数1（．，求k的值．x，x，且满足x+x+3x?x（2）设方程两个实数根分别为212121112-，解得k＞且△22 =30=1-4k?（-2）＞0解：（1且k≠0；（2）根据题意得x+x=-，）根据题意得k≠21k8221122222，k=-）-=3，整理得3k+2k-1=0，解得?+xxx=-，∵x+3x?x=3，∴（x+x）+xx=3，∴，k=-，2m-x+=有两个实数10已知关的一元二次方x21的取值范围；1）求实数m（2-5+3xx的值．=6-xx，求（x-x）（2）若x+x2112112232222≤；，∴m2m-3）-4m=4m-12m+9-4m=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0解：（1）△=（4222，∴-2m-3=03-2m=6-m，∴mx+x=6-xx，∴+x=-（2m-3）=3-2m，xx=m，又∵（2）由题意可得x22111122322+x）-4xxx+3xx-5==1，∴（x-x）+3xx-5=m=3，m=-1，又∵m≤（，，∴m=-1，∴x+x=5xx2111112122221122422（x+x）-xx-5=5-1-5=19．2211能力提升（2017仙桃）若α、β为方程2x-5x-1=0的两个实数根，则2α+3αβ+5β的值为（ B ）2211.A．-13 B．12 C．14 D．1511221. ，则= ≠0）满足a-a-2018=0,b-b-2018=0（12.若非零实数a，ba??ba2018 1522，的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为k+1）x+k+1=013.已知关于x的方程x-（4求k= 2 .已知关于x的一元二次方程x+(2k+1)x+k-2=0的两根为x和x，且(x-2)(x-x)=0，则k的值2214.是 -2211219 .或-422=0. -4x-m已知关于x的一元二次方程x15.（2017黄石））求证：该方程有两个不等的实根；（1 ，求m的值．满足x、xx+2x=9（2）若该方程的两实根211222222，）-m=16+4m ＞0（=0中，△=-4）-4×1×（-4x-m解：（1）∵在方程x ∴该方程有两个不等的实根；，x、x（2）∵该方程的两个实数根分别为212=-m②．=4+x①，x?xx∴2211=5，，③，∴联立①③解得+2x ∵x=9x=-1x211252．±?x∴xm=，解得=-5=-m21．。

一元二次方程根与系数的关系含答案

1 一元二次方程根与系数的关系一、学习要求：一元二次方程根与系数的关系作为观察与猜想提供给同学们，同学们还是应认真研究，交流体会，它能更深入地认识和理解一元二次方程．学有余力的同学还可以学习它在其它方面的应用．二、同步训练：(一)填空题： 1．如果x 1，x 2是方程2x 2＋4x －1＝0的两根，那么x 1＋x 2＝______，x 1·x 2＝______．2．若α，β是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则11αβ+=______． 3．若α，β是方程x 2－3x ＝5的两根，则α2＋β2－αβ的值是______4．若x 1，x 2是方程2x 2＋ax －c ＝0的两个根，则x 1＋x 2－2x 1x 2等于______(结果用a ，c 表示)．(二)选择题：5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是零的条件是( )(A)b 2－4ac ＝0 (B)b ＝0 (C)c ＝0(D)c ≠0 6．若α，β是方程2x 2＋3x －4＝0的两根，则＋＋的值是( ) (A)－7 (B)213- (C)21- (D)7 7．已知一元二次方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，则方程的另一个根为( )(A)53(B)53- (C)－3 (D)38．已知一元二次方程2x 2－3x ＋3＝0，下列说法中正确的是( )(A)两个实数根的和为23-(B)两个实数根的和为23 (C)两个实数根的积为23 (D)以上说法都不正确2(三)解答题：9．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系计算下列各式的值：(1);221221x x x x (2)(x 1－x 2)2．10．若关于x 的方程2x 2＋(k ＋1)x ＋k ＋2＝0的一个根是2，求它的另一个根．11. 已知关于x 的方程x 2－2(m －2)x ＋m 2＝0．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．3参考答案1．－2，21-2．23- 3．244．c a +-25．C6．B7．B8．D9．(1)29 (2)3 10．21- 11. m ＝－2，提示：由,562221=+x x ，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝56，所以有[2(m －2)]2－2m 2＝56 解之m 1＝－2，m ＝10，检验可知m ＝10不合题意。

历年初三数学一元二次方程根与系数之间的关系一及答案

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的关系从暑假开始,我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中的第六章解直角三角形.一、基本内容1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数的次数最高是2的整式方程叫一元二次方程.2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0)3.解法:①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)的形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得:513±=-x 513±=x 351,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x解:1232=-x x 31322=-x x 913191322+=+-x x 94)31(2=-x 3231±=-x 3231±=x 31,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式的推导用这种方法.③公式法:)0(2)0(02≥∆∆±-=≠=++ab x ac bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0的形式,变成两个一元一次方程来解.4.根的判别式:△=b 2-4acb 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根.b 2-4ac<0 方程无实根.b 2-4ac ≥0 方程有实根.有三种应用:①不解方程确定方程的根的情况.②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等)利用Δ建立不等式求m 或k 的取值范围.③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.5.根与系数间的关系,某x 1,x 2是ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根,则ac x x a b x x =⋅-=+2121,. 应用:①不解方程,求方程中m 或k 的值或另一根.②不解方程,求某些代数式的值.③利用两根的关系,求方程中m 或k 的取值范围.④建立一个方程,使它与原方程有某些关系.⑤一些杂题.二、本次练习:(一)填空题:1.关于x 的方程mx mx m x x -=-+2223是一元二次方程,则m=____.2.将方程4x 2-kx+k=2x-1化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是____,常数项是____.3.代数式(x+2)2+(x-2)2的值与8(x 2-2)的值相等,则x=____.4.x x 252-+( )=(x- )2 5.方程2x 2+(k-1)x-6=0的一个根是2,则k=____.6.已知方程3x 2-2x-1=0的两根是x 1,x 2,则2221x x +=____;2112x x x x +=____; 3231x x +=____;2111x x +=____;||21x x -=____. 7.已知2x 2-(2m+1)x+m+1=0的两根之比是2:3,则m=____.8.以3和32-为根的方程是____. 9.以235,235-+为根的方程是____. 10.以2x 2-3x-1=0的两根平方和及倒数和为根的方程是____.11.以2x 2-5x+1=0的两根平方根的方程是____.12.以比3x 2-2x-4=0的两根大3的数为根的方程是____.13.以2x 2-3x-1=0的两根的相反数为根的方程是____.14.已知8x 2-(m-1)x+m-7=0的两根异号,且正根的绝对值大,则m 的取值范围是____.若它的两根互为相反数,则m=____.若m 互为倒数,则m=____.15.关于x 的一元二次方程x 2+2x+m=0的两根差的平方是16,则m=____.16.已知关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2=1有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.17.关于x 的方程(k-2)x 2-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.18.已知方程kx 2-2kx+k=x 2-x+3有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.19.关于x 的方程2x(kx-4)-x 2+6=0无实根,则k 的最小整数值是____.20.已知2x 2+(2m+1)x-m=0的两根平方和是413,则m=____.21.设x 1,x 2是关于x 的方程x 2+4k+3=0的两实根.y 1,y 2是关于y 的方程y 2-k 2y+p=0的根.若x 1-y 1=2,x 2-y 2=2则k=____,p=____.22.已知关于x 的方程2x 2+2x+c=0的根是x 1,x 2,则3||21=-x x ,那么c 的值是____.(二)解下列方程 1.030222=-+x x2.0532=--x x3.)5(2)5(32x x -=-4.8)12(212=-x 5.)(02722用配方法=+-x x6.0432=+-x x7.04)(22=--+ab x b a x 8.013482=--x x 9.)1(2322+=x x10.0)(222=---ab x b a abx11.0)23(22=-+--n n m x m x。

步步高初高中衔接教材数学暑假作业：第10课一元二次方程根与系数的关系答案和解析

步步高初高中衔接教材数学暑假作业：第10课一元二次方程根与系数的关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若1x ，2x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为________． 2．若12x x ，是方程22210x mx m m -+--=的两个根，且12121x x x x +=-，则m 的值为 ______．3．已知,αβ是方程22740x mx m -+=的两根，且()()113αβ--=，则m 的值______．4．已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______．二、解答题5．设12x x ，是方程22630x x -+=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．(1) 221212x x x x ；(2) 212()x x -； (3) 122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (4) 221211x x +. 6．(1)如果－5是方程25100x bx +-=的一个根，求方程的另一个根及b 的值；(2)如果2+是方程240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值． 7．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12x x ，.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．8．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=.(1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程两根为12x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．参考答案1．2【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，然后对1211x x +进行通分，代入韦达定理即可得出答案.【详解】解：因为1x ，2x 是方程22630x x -+=的两个根所以1212332x x x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩所以121212113232x x x x x x ++=== 故答案为：2.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，韦达定理的应用，属于基础题.2．1【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，然后解出m ，并结合根的判别式进行取舍即可.【详解】解：因为12x x ，是方程22210x mx m m -+--=的两个根所以1221221x x m x x m m +=⎧⎨=--⎩，()()2224144m m m m =---=+，又因为12121x x x x +=-所以()2211m m m =---，即220m m +-=解得2m =-或1m =又因为440m =+≥，即1m ≥-所以1m =故答案为：1.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，注意一元二次方程有解需要验证0≥，属于基础题.3．2或14-【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，化简()()113αβ--=，代入韦达定理，解出m 即可.【详解】解：因为,αβ是方程22740x mx m -+=的两根所以274m mαβαβ+=⎧⎨=⎩，()222744330m m m =-⨯=≥ 又因为()()113αβ--=，即()αα20ββ-+-=所以24720m m --=，解得2m =或14m =-故答案为：2或14-【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，韦达定理得应用，属于基础题.4．3【解析】【分析】设直角三角形的两条直角边的长分别为,a b ，斜边为c ，由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，然后由勾股定理求出斜边长即可.【详解】解：设直角三角形的两条直角边的长分别为,a b ，斜边为c由,a b 是方程22870x x -+=的两根，得472a b ab +=⎧⎪⎨=⎪⎩所以3c ===故答案为：3.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，韦达定理得应用，勾股定理，属于基础题. 5．（1）92（2）3 （3）256（4）83 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，然后将各小问所求代数式化简处理，代入韦达定理即可.【详解】解：∵12x x ，是方程22630x x -+=的两个根，∴1212332x x x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩ (1)原式()121239322x x x x =+=⨯=； (2)原式()21212349432x x x x =+-=-⨯=； (3)原式12121322522236x x x x =++=++=； (4)原式()()212122122938934x x x x x x +--===. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，韦达定理得应用，代数式的化简求值，属于基础题.6．（1）25，b 的值为23.（2）2，c 的值为1. 【分析】由两问中一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，分别列出方程组解出答案即可；【详解】解:(1)设x 为方程的另一个根，则2355210555b b x x x ⎧=-+=-⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪-⨯=⎩⎪⎩，当23b =时，>0∆成立， ∴方程的另一根为25，b 的值为23. (2)设y为方程的另一个根，则24,21(2y y c y c⎧⎧+==-⎪⎪⇒⎨⎨=⎪+=⎪⎩⎩当1225时，>0∆成立，∴方程的另一根为2，c 的值为1.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，韦达定理得应用，属于基础题.7．（1）13<12k 且1k ≠.（2）见解析【分析】(1)由判别式>0∆和二项式系数不为0，得到不等式组，解出k 的范围即可；(2)由方程的两实根互为相反数，得120x x +=，结合韦达定理解出k ，结合第(1)问中k 的范围可判断是否存在.【详解】解:(1)由题意知210(23)4(1)(1)0k k k k -≠⎧⎨∆=---+>⎩ 11312k k ≠⎧⎪⇒⎨<⎪⎩ ∴13<12k 且1k ≠. (2)若120x x +=，即2301k k --=-，32k ，由(1)可知：这样的k 不存在．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，属于基础题.8．（1）见证明；（2）12m =-【解析】【分析】(1)方程总有两个不相等的实数根，只需根的判别式>0∆即可；(2)由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，化简121112x x +=-，代入韦达定理即可解出m 的值．【详解】解：(1)∵22(41)4(21)1650m m m ∆=+--=+>，∴方程有两个不相等的实根．(2)∵12(41)x x m +=-+，1221x x m =-， 1212121112x x x x x x ++==-， ∴(41)1212m m -+=--，∴12m =-. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，韦达定理得应用，属于基础题.。

一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)

初高中衔接第3讲：一元二次方程根与系数的关系

第三讲一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：____________________(1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：_______________(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：___________________(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．把24b ac -【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+= (2) 24912y y += (3) 25(3)60x x +-=【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：______________________________ 所以：12_______________x x +=；12_______________x x ⋅=说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．【例3】已知方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．【例5】已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．【例6】已知两个数的和为4，积为-12，求这两个数.练习1．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______2．以－3和1为根的一元二次方程是．3．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．12D ．92 4．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是．5．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于() A ．3- B ．5 C ．53-或D ．53-或 6．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．7．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n的值．8．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．9．判断直线12y +=x 与抛物线13-y 2+=x x 的交点个数.10．已知关于x 的二次函数22-4)3(2m -y m x x +++=的图象与x 轴交于A 、B 两点.（1）若AB=7，求这个二次函数的解析式；（2）若点A 在原点O 的左边，点B 在原点O 的右边，且OB AO AO OB ⋅=-3)4(，求这个二次函数的解析式。

初高中数学衔接教材 §2.1 一元二次方程(含答案)

初高中数学衔接教材 2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根： (1)0322=-+x x ；(2)0122=++x x ；(3)0322=++x x 。

} 用配方法可把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）变为2224()24b b ac x a a -+=①a ≠0，∴4a 2＞0。

于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。

由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。

综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根。

例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。

（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0。

解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根。

（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x +=，22a x -=（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1。

(完整版)一元二次方程根与系数关系(附答案)

一元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人得分一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣13．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．65．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3评卷人得分二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．评卷人得分三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=4+4m≥0，解得：m≥﹣1．故选：A．3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1）=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=2，x1x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=22﹣2×（﹣）=5．故选：C．5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5．故选：B．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（c+1）=12﹣4c=0，解得：c=3．故选：D．二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为﹣5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p、q，∴p+q=3，pq=a，∵p2﹣pq+q2=（p+q）2﹣3pq=18，即9﹣3a=18，∴a=﹣3，∴pq=﹣3，∴+====﹣5．故答案为：﹣5．三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=4k﹣3＞0，∴k＞．（2）当k=2时，原方程为x2﹣5x+5=0，设方程的两个为m、n，∴m+n=5，mn=5，∴==．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．【解答】（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，解得：m1=3，m2=1．∴m的值为3或1．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．【解答】解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；（2）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得；（3）∵是方程的两个实数根，，∴．∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴，把代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣412．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=，∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣，若2﹣=﹣成立，解上述方程得，k=，∵△=16k2﹣4×4k（k+1）=﹣16k＞0，∴k＜0，∵k=，∴矛盾，∴不存在这样k的值；（2）原式=﹣2=﹣2=﹣4=﹣，∴k+1=1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4解得k=0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5．∵k＜0．∴k=﹣2，﹣3或﹣5；（3）∵k=﹣2，λ=，x1+x2=1，∴λx2+x2=1，x2=，x1=，∵x1x2==，∴=，∴λ=3±3．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠﹣1．（2）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2=，x1x2=．∵x1+x2=x1x2+2，即=+2，解得：k=﹣4，经检验，k=﹣4是原分式方程的解，∴k=﹣4．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．【解答】解：（1）△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．。

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练(含答案)

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。

一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。

学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。

下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。

解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。

因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。

完整版一元二次方程根与系数关系附答案

一元二次方程根与系数的关系〔附答案〕评卷人得分一 .选择题〔共6小题〕1.关丁x的一元二次方程3x2+4x-5=0,下歹0说法正确的选项是〔〕A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定2.关丁x的一元二次方程x2+2x - m=0有实数根,贝U m的取值范围是〔A. m> - 1B. m>- 1C. m< - 1D. m< - 13.关丁x的一元二次方程x2+3x - 1=0的根的情况是〔〕A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定4.设x〔、x2是一元二次方程2x2- 4x- 1=0的两实数根,那么x12+x22的值是〔A. 2B. 4C. 5D. 65.假设a、6是一元二次方程x2 - 5x- 2=0的两个实数根,贝U a+6的值为〔A. - 5B. 5C. - 2D.56.关丁x的方程x2- 4x+c+1=.有两个相等的实数根,贝U常数c的值为〔A. - 1B. 0C. 1D. 3评卷人得分二.填空题〔共1小题〕7.假设关丁x的一元二次方程x2-3x+a=0 〔a^0〕的两个不等实数根分别为p, q, 且p2-pq+q2=18,那么丑产的值为.P Q评卷人得分三.解做题(共8小题)8 .关丁x 的方程x2- (2k+1) x+k2+1=0.(1)假设方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围；(2)假设方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L 的长.9 .关丁x的方程x2+ax+a - 2=0.(1)假设该方程的一个根为1,求a的值；(2)求证：不管a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.10.关丁x的一元二次方程(x- m) 2 - 2 (x-m) =0 (m为常数).(1)求证：不管m为何值,该方程总有两个不相等的实数根；(2)假设该方程一个根为3,求m的值.11.关丁x的一元二次方程x2-x+a- 1=0.(1)当a=- 11时,解这个方程；(2)假设这个方程有两个实数根x〔,x2,求a的取值范围；(3)假设方程两个实数根x〔,x2满足[2+x1 (1 - x〔)][ 2+x2 (1 - x2)] =9,求a的值. 12.x〔,x2是关丁x的一元二次方程4kx2 - 4kx+k+1= 0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2x1 - x2) (x1 - 2x2)=-音成立？假设存在,求出k的值；假设不存在,说明理由；(2)求使打+挡-2的值为整数的实数k的整数值；七(3)假设k=- 2,入机,试求入的值.s213.关丁x的方程(k+1) x2 - 2 (k- 1) x+k=0有两个实数根x〔,x2.(1)求k的取值范围；(2)假设x〔+x2=x1x2+2,求k 的值.14.关丁x 的方程x2 - 2 (m+1) x+m2-3=0.(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？(2)设x1、x2是方程的两根,且x12+x22=22+x1x2,求实数m的值.15.关丁x的一元二次方程x2-2x+m- 1=0有两个实数根x i、X2.(1)求m的取值范围；(2)假设x/+x22=6x i x2,求m 的值.参考答案与试题解析一 .选择题〔共6小题〕1.关丁x的一元二次方程3x2+4x-5=0,以下说法正确的选项是〔〕A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【解答】解：：A =42 - 4X 3X 〔 - 5〕 =76>0,方程有两个不相等的实数根.应选：B.2.关丁x的一元二次方程x2+2x - m=0有实数根,贝U m的取值范围是〔A. m> - 1B. m> - 1C. m< - 1D. m< - 1【解答】解：•.•关丁x的一元二次方程x2+2x- m=0有实数根,. =22- 4X 1X〔 - m〕 =4+4m>0,解得：m>-1.应选：A.3.关丁x的一元二次方程x2+3x - 1=0的根的情况是〔〕A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定【解答】解：a=1, b=3, c=T,. =b2- 4ac=32- 4X 1X 〔 - 1〕 =13>0,方程有两个不相等的实数根.应选：A.4.设x〔、x2是一元二次方程2x2-4x- 1=0的两实数根,那么x12+x22的值是〔A. 2B. 4C. 5D. 6【解答】解：x〔、x2是一元二次方程2x2- 4x- 1=0的两实数根,X I+X2=2, XlX2=-—, 2•• X i2+X22=〔X1+X2〕2—2X I X2=22— 2X 〔—=5.2应选：C.5 .假设a、6是一元二次方程X2 - 5X- 2=0的两个实数根,贝U a+6的值为〔〕A. - 5B. 5C. - 2D.5【解答】解：：a、6是一元二次方程X2- 5X- 2=0的两个实数根,•■-计 6 =5应选：B.6.关丁X的方程X2-4X+C+1= 0有两个相等的实数根,贝U常数c的值为〔〕A. - 1B. 0C. 1D. 3【解答】解：•.•关丁X的方程X2-4X+C+1= 0有两个相等的实数根, = 〔- 4〕2 -4X 1X 〔C+1〕 =12-4C=0,解得：C=3.应选：D.二.填空题〔共1小题〕7.假设关丁X的一元二次方程X2-3x+a=0 〔a^0〕的两个不等实数根分别为p, q, 且p2-pq+q2=18,那么■的伯为-5 .p q【解答】解：..•关丁X的一元二次方程X2 - 3x+a=0〔a冬0〕的两个不等实数根分别为p、q,••• p+q=3, pq=a,. p2-pq+q2= 〔p+q〕2-3pq=18,即 9 -3a=18,••a=- 3,•,- pq=- 3,2 2 j -..早4^=些1祟=—5.p Q PQ pq -3故答案为：-5.三.解做题(共8小题)8.关丁x 的方程x2- (2k+1) x+k2+1=0.(1)假设方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围；(2)假设方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L 的长.【解答】解：(1):方程x2- (2k+1) x+k2+1= 0有两个不相等的实数根,. =[ - (2k+1) ]2-4X 1X (k2+1) =4k-3>0,. . k> 里. 4(2)当k=2时,原方程为x2-5x+5=0,设方程的两个为m、n,m+n=5, mn=5,-父2板皿=^^9.关丁x的方程x2+ax+a - 2=0.(1)假设该方程的一个根为1,求a的值；(2)求证：不管a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.【解答】(1)解：将x=1代入原方程,得：1+a+a-2=0,解得：a：. 2(2)证实：△ =a2 — 4 (a— 2) = (a— 2) 2+4..• (a-2) 2>0,(a-2) 2+4>0,即/\> 0,•••不管a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.10.关丁x的一元二次方程(x- m) 2 - 2 (x-m) =0 (m为常数).(1)求证：不管m为何值,该方程总有两个不相等的实数根；(2)假设该方程一个根为3,求m的值.【解答】(1)证实：原方程可化为x2- (2m+2) x+m2+2m=0,a=1, b=- ( 2m+2), c=m2+2m,. =b2 - 4ac=[ - (2m+2) ] 2- 4 (m2+2m) =4> 0,•••不管m为何值,该方程总有两个不相等的实数根.(2)解：将x=3代入原方程,得：(3-m) 2-2 (3 - m) =0,解得：m i=3, m2=1.m的值为3或1.11 .关丁x的一元二次方程x2-x+a- 1=0.(1)当a=- 11时,解这个方程；(2)假设这个方程有两个实数根x〔,x2,求a的取值范围；(3)假设方程两个实数根x〔,支满足[2+x1 (1 - x〔)][ 2+x2 (1 - x2)] =9,求a的值.【解答】解：(1)把a=- 11代入方程,得x2-x- 12=0,(x+3) (x- 4) =0,x+3=0 或x- 4=0,x〔 = — 3, x？=4;(2)方程有两个实数根X], 3 •••△ »0,即(一1)2-4X 1X (a— 1) >0,解得a<|-;(3) L X], X？是方程的两个实数根,x乂] +己一 1二0,入：-耳2+日一1二.,.• [ 2+x1 (1 — x〔)][ 2+x2 (1 — x2)] =9,•• [2+工]-工1勺[2+区2“2勺=9,把：, I :. [- •-代入,得:[2+a- 1][ 2+a- 1]=9,即(1+a) 2=9,解得a=- 4, a=2 (舍去),所以a的值为-412 .x1, x2是关丁x的一元二次方程4kx2 - 4kx+k+1= 0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2xi - x？) (xi - 2x2)=-—成立？假设存在,求出k的值;2假设不存在,说明理由；(2)求使旦+竺-2的值为整数的实数k的整数值；翌们(3)假设k=- 2,入兰！,试求入的值.x2【解答】解：(1) x1> x2是一元二次方程4kx2- 4kx+k+1= 0的两个实数根,x1 +x2=1 , x1 x2=*' 1 ,(2x1 - x2)( x1 - 2x2)=2x12- 4x1x2 - x1x2+2x22=2(x1+x2)2 - 9x1x2 =2X 12 - 9X J E±!=24k4k假设2一丝虫_ =-兰成立4k 2解上述方程得,k=',5. △ =16k2-4X4k (k+1) =- 16k>0,. kv 0, • k=,' 5'矛盾,...不存在这样k的值；幻2& 之) ~2x 1 Xn (Xi + Xn) 2+Xi Xni(2)原式= ------------------- 2= ----------------------------- 2= -------------------------- 4=-X I X 2 S J X 2寿,•.•k+1=1 或—1,或2,或—2,或4,或-4解得k=0或-2, 1, - 3, 3, - 5.kv 0.. .k=— 2, —3 或—5;Y(3) k=— 2,入二,x i+X2=1,x2入2+X2 = 1, X2 —, X i --------------- ,人+1 A+l 5, , X1X2」' I-X1X2一一、4k 8. * J(X+1)2 8'入=3 3血.13.关丁X的方程(k+1) X2 - 2 (k- 1) X+k=0有两个实数根Xi, X2.(1)求k的取值范围；(2)假设X1+X2=X1X2+2,求k 的值.【解答】解：(1) 关丁X的方程(k+1) X2- 2 (k-1) X+k=0有两个实数根,[A=[-2(k-l)]2-4k(k+l)>0 解得：k<-且k^- 1.3(2) 关丁X 的方程(k+1) X2- 2 (k- 1) X+k=0 有两个实数根X1？ X2.中1), X1X2 =<^-.•,- X1 +X2=Zk+1 ' k+1X1 +X2=X1 X2+2,即2d)=上+2,I 1：+解得：k=- 4,经检验,k= - 4是原分式方程的解, • • k=— 4.14.关丁X的方程X2 - 2 (m+1) X+m2- 3=0.(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？(2)设X1、X2是方程的两根,且X12+X22=22+X1X2,求实数m的值.【解答】解：(1) △=[ - 2 (m+1) ]2-4 (m2-3) =8m+16,当方程有两个不相等的实数根时,那么有△>0,即8m+16>0,解得m>-2;(2)根据一元二次方程根与系数之间的关系,得x1+x2=2 (m+1), x i x2=m2 - 3,x12+x22=22+x i x2= (x1 +x2) 2 - 2x1x2,. .[2 (m+1) ] - 2 (m2-3) =6+ (m2-3),化简,得m2+8m - 9=0,解得m=1或m=- 9 (不合题意,舍去),实数m的值为1 .15.关丁x的一元二次方程x2-2x+m- 1=0有两个实数根x〔、x2.(1)求m的取值范围；(2)假设x『+x22=6x1x2,求m 的值.【解答】解：(1)..•方程有两个实数根,. » 0,即(-2) 2-4 (m- 1) >0,解得m< 2;(2)由根与系数的关系可得x〔+x2=2, xg=m- 1,.. 2 2 -x1 +x2 =6x1x2,•,- (x〔+x2)2- 2x〔x2=6x1x2,即(x〔+x2)2=8x1x2,•,- 4=8 (m- 1),解得m=1.5.。

初高中衔接-第三讲-一元二次方程根与系数的关系

第三讲一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a++=≠，用配方法将其变形为：(1)当240->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数b ac根：(2)当240-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：b ac(3)当240-<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．b ac由于可以用24-的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因b ac此，把24b ac-叫做一元二次方程20 (0)++=≠的根的判别式，表示ax bx c a为：24∆=-b ac【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)2-+=(2)2x x2310x x5(3)60+-=+=(3)24912y y解：(1)2∆=--⨯⨯=>，∴原方程有两个不相等的实数(3)42110根．(2)原方程可化为：2y y-+=412902∆=--⨯⨯=，∴原方程有两个相等的实数根．(12)4490(3)原方程可化为：2x x-+=561502∆=--⨯⨯=-<，∴原方程没有实数根．(6)45152640说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于x的一元二次方程2-+=，根据下列条件，320x x k分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．解：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：所以：12b x x a+=+=-，定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4)12||x x -．分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4)12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例5】已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．解：(1) ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注重方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．【例6】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立． ∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+- 939425k k k +=-=-⇒=，但0k <． ∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．(2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++ ∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注重到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---．说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．(2) 本题综合性较强，要学会对41k +为整数的分析方法．A 组1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2B ．2-C ．12D ．923．已知菱形A B C D 的边长为5，两条对角线交于O 点，且O A 、O B 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或4．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定5．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为( )A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或6．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．8．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ． 9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．10．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．11．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求mn的值． 13．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值． 14．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是，求k 的值．B 组1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ．(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．3．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．第三讲一元二次方程根与系数的关系习题答案A 组1． B 2． A 3．A 4．A 5．A 6．2,a c b b c +=≠且 7． 38． 9或3-9．1,3p q =-=-10．3,3,0a b c ===11．正确12．413．21(1)1650 (2)2m m ∆=+>=- 14．3(1) (2)22k k ≥=B 组1．13(1)112k k <≠且 (2) 不存在2．1m = (1)当3k =时，方程为310x +=，有实根；(2) 当3k ≠时，0∆>也有实根．3．(1) 314k k ≥≠且； (2) 7k =．。

专题2.5 一元二次方程根与系数的关系(解析版)

2.5 一元二次方程根与系数的关系（解析版）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a-+=(1) 当240b ac ->时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=- (3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-．【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+=(2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=解：(1) 2(3)42110∆=--⨯⨯=>Q ，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为：241290y y -+=2(12)4490∆=--⨯⨯=Q ，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为：256150x x -+=2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<Q ，∴ 原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．解：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<； (2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．1.2 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a +=-，221222()4(2)4b ac cx x a a a--⋅===韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -==== 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．练习1．若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494，∴| x 1－x 2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．【例4】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．解：法一设这两个数分别是x ，y ，则{412x y xy +==-1126x y =-⎧⇒⎨=⎩或2262x y =⎧⎨=-⎩．因此，这两个数是－2和6．法二由韦达定理知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根．解方程得：x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6．【例5】关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．解：(1) ∵方程两实根的积为5，∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩所以，当4k =时，方程两实根的积为5．(2) 由12||x x =得知： ①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=；②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．【例7】若关于x 的一元二次方程240x x a -+-=的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x 1，x 2是方程的两根，则：1240x x a =-<，① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ② 由①得a ＜4，由②得a ＜174 ．∴a 的取值范围是a ＜4．【例8】一元二次方程240x x a -+=有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围。

21-22版：2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系（步步高）

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学习目标 1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集.2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用.3.理解一元二次方程根与系数的关系．知识点一一元二次方程的有关概念形如ax 2＋bx ＋c ＝0的方程为一元二次方程，其中a ，b ，c 为常数，且a ≠0. 其中二次项是ax 2，一次项是bx ，c 是常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数．知识点二 Δ＝b 2－4ac 的取值与根的个数间的关系 Δ＝b 2－4ac 根的情况b 2－4ac >0 方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2ab 2－4ac ＝0方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b 2a b 2－4ac <0方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实数根知识点三一元二次方程的解法直接开平方法形如(x －k )2＝t (t ≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程配方法把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)通过配方化成(x －k )2＝t (t ≥0)的形式，再用直接开平方法求解公式法一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)满足b 2－4ac ≥0，利用求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a求解因式分解法一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a (x ＋m )(x ＋n )＝0(a ≠0)的形式，即可解得两根为：x 1＝－m ，x 2＝－n知识点四一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a.1．方程ax 2＋bx ＋x ＝0是一元二次方程．( × )2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0.( √ )3．一元二次方程x 2＋ax ＋a －1＝0有实数根．( √ )4．方程x 2－2x －1＝0的解集为{－1,1}．( × )一、配方法求方程的解集例1 用配方法求下列一元二次方程的解集：(1)x 2＋4x －1＝0；(2)4x 2＋8x ＋1＝0.解 (1)∵x 2＋4x －1＝0，∴x 2＋4x ＝1，∴x 2＋4x ＋4＝1＋4，∴(x ＋2)2＝5，∴x ＝－2±5∴x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.∴原一元二次方程的解集是{－2＋5，－2－5}．(2)移项，得4x 2＋8x ＝－1.二次项系数化为1，得x 2＋2x ＝－14，配方，得x 2＋2x ＋12＝12－14，即(x ＋1)2＝34. ∴x ＋1＝±32. ∴x 1＝－1＋32，x 2＝－1－32， ∴原一元二次方程的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1＋32，－1－32. 反思感悟用配方法解一元二次方程的步骤(1)移项：把常数项移到方程的右边．(2)二次项系数化为1，即方程两边都除以二次项系数．(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式．(4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程．(5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．跟踪训练1 用配方法解方程2x 2－5＋2x ＝0.解移项，得2x 2＋2x ＝5.二次项系数化为1，得x 2＋22x ＝52. 配方，得x 2＋22x ＋⎝⎛⎭⎫242＝52＋⎝⎛⎭⎫242. ∴⎝⎛⎭⎫x ＋242＝218. ∴x ＋24＝±424. ∴x 1＝－2＋424，x 2＝－2－424， ∴原一元二次方程的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2＋424，－2－424. 二、一元二次方程判别式的应用例2 已知关于x 的一元二次方程3x 2－2x ＋k ＝0，根据下列条件，分别求出k 的范围．(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根．解 Δ＝(－2)2－4×3k ＝4(1－3k )．(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即4(1－3k )>0，所以k <13. (2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即4(1－3k )＝0，所以k ＝13. 反思感悟一元二次方程的解的情况分为“无实数根”、“有两个相等的实数根”、“有两个不相等的实数根”三种情况，注意与判别式的对应关系．跟踪训练2 试证明：不论m 为何值，方程2x 2－(4m －1)x －m 2－m ＝0总有两个不相等的实数根．证明 ∵Δ＝[－(4m －1)]2－4×2×(－m 2－m )＝24m 2＋1＞0，∴不论m 为何值时，方程2x 2－(4m －1)x －m 2－m ＝0总有两个不相等的实数根．三、一元二次方程根与系数的关系例3 已知一元二次方程x 2＋2x －3＝0的两根为x 1和x 2，求下列各式的值：(1)x 31＋x 32；(2)|x 1－x 2|(x 1＋x 2)．解由一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－3.(1)x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)(x 21－x 1x 2＋x 22)＝(－2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]＝(－2)[(－2)2－3×(－3)]＝－26.(2)因为(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－2)2－4×(－3)＝16.所以|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝4，所以|x 1－x 2|(x 1＋x 2)＝4×(－2)＝－8.反思感悟在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．跟踪训练3 已知一元二次方程x 2＋3x －1＝0的两根分别是x 1，x 2，请利用根与系数的关系求：(1)x 21＋x 22；(2)1x 1＋1x 2. 解根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝－1. (1)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－3)2－2×(－1)＝11.(2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－3－1＝3.1．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116D ．3y 2－4y －2＝0化为⎝⎛⎭⎫y －232＝109答案 B解析 x 2＋8x ＋9＝0配方应为(x ＋4)2＝7.2．方程2(x －3)＝3x (x －3)的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，3B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫23 C ．{3} D ．{0,3} 答案 A解析 2(x －3)＝3x (x －3)，移项得2(x －3)－3x (x －3)＝0，整理得(x －3)(2－3x )＝0，x －3＝0或2－3x ＝0，解得x 1＝3或x 2＝23. 3．已知α，β是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3答案 B解析 ∵α，β是方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，∴α＋β＝－1，αβ＝－2，∴α＋β－αβ＝－1＋2＝1，故选B.4．关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个相等的实数根，则m 的值为________．答案 2解析 ∵关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝0，即22－4(m －1)＝0，解得m ＝2.5．关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两个实数根为负，则实数m 的取值范围是____．答案 ⎣⎡⎭⎫0，12 解析设方程的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＜0，x 2＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4(－2m ＋1)≥0，x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－2m ＋1>0，∴0≤m ＜12.1．知识清单：(1)配方法求方程的解集．(2)一元二次方程判别式的应用．(3)一元二次方程根与系数的关系．2．方法归纳：配方法、公式法．3．常见误区：忽视对二次项系数的讨论．。

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