2019-2020学年山西省吕梁市汾阳市八年级(上)期末数学试卷 及答案解析

2019-2020学年山西省吕梁市汾阳市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若分式x−1x+2无意义，则()A. x=1B. x=0C. x=−2D. x=1或x=−22.计算12a2b4⋅(−3a2b3)÷(−a2b2)的结果等于()A. −9aB. 9aC. −36aD. 36a3.下列图形中一定是轴对称图形的是()A. B.C. D.4.如果一个三角形有两边长分别是3和5，那么第三边长可能是()A. 1B. 2C. 4D. 85.一个正多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的边数为()A. 4B. 6C. 8D. 106.华为mate如0是世界上首款应用7纳米手机芯片的手机，7纳米就是0.000000007米数据0.000000007用科学记数法表示为()A. 0.7×10−8B. 7×10−8C. 7×10−9D. 7×10−107.下列因式分解中正确的是()A. x3−x=x(x2−1)B. −a2+6a−9=−(a−3)2C. x2+y2=(x+y)2D. a3−2a2+a=a(a+1)(a−1)8.随着电影《流浪地球》的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升．某书店分别用2000元和3000元两次购进该小说，第二次数量比第一次多50套，则两次进价相同．该书店第一次购进x 套，根据题意，列方程正确的是()A. 2000x =3000x−50B. 2000x−50=3000xC. 2000x=3000x+50D. 2000x+50=3000x9.“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是()A. 作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线B. 作已知角的平分线C. 过直线外一点作已知直线的垂线D. 作一个角等于已知角10.如图，△ABC的面积为6，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是()A. 3B. 4C. 5.5D. 10二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算(−2x2)3的结果等于______．12.若m，n满足方程组{12m+72n=1772m+12n=11，则m−n=_______；13.在△ABC中，∠A=80°，当∠B=______ 时，△ABC是等腰三角形．14.如图所示，点B在AE上，∠CBE=∠DBE，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件是_______．15.如图所示，△ABC中，∠A=m，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的角平分线相交于A1点，则∠A1的大小是______，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依此类推，∠A2015BC与∠A2015CD的角平分线相交于A2016点，则∠A2016的大小是______．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）16.计算：[(2a+b)2−b(b+4a)−6a]÷2a17.解方程2−xx−3=13−x−2．18.有下列等式：第1个等式：1+11×2=1+12第2个等式：12+13×4=13+14第3个等式：13+15×6=15+16……请你按照上面的规律解答下列问题：(1)第4个等式是______；(2)用含n(n为正整数)的代数式表示第n个等式，并证明其正确性．19.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(−5,5)，B(−4,2)，C(−3,4)．(1)将△ABC向右平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)请画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；(3)直接写出过A2，B1两点的直线的函数解析式．20.定义：如果一个四边形的一组对角互余，我们称这个四边形为对角互余四边形．问题1(1)利用下面哪组图形可以得到一个对角互余四边形()①两个等腰三角形②两个等边三角形③两个直角三角形④两个全等三角形(2)如图①，在对角互余四边形ABCD中，∠D=30°，且AC⊥BC，AC⊥AD.若BC=1，求四边形ABCD的面积和周长．问题2如图②，在对角互余四边形ABCD中，AB=BC，BD=13，∠ABC+∠ADC=90°，AD=8，CD=6，求四边形ABCD的面积和周长．问题3，∠ABC+∠ADC=90°，BD=10，如图③，在对角互余四边形ABCD中，BC=2AB，sin∠ABC=35求△ACD面积的最大值．21.如图，已知DE//BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=72°，∠ACB=40°，求∠BDC度数．22.哈佳高铁建设工程中，有一段6000米的路段由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成的工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天．(1)求甲、乙两个工程队每天各完成多少米？(2)由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，但是工程指挥部仍然要求工期不能超过50天，求甲工程队至少施工多少天？23.在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．(1)如图1，当点G在BC边上时，猜想PG与PC的关系，并证明．(提示：延长GP交CD于点E)(2)如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG还满足(1)中的结论吗？写出你的猜想，并给与证明；(3)如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的关系，直接写出你猜想．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵分式x−1x+2无意义，∴x+2=0，则x=−2．故选C．直接利用分式无意义则分母为零进而得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．2.答案：D解析：解：12a2b4⋅(−3a2b3)÷(−a2b2)=12a2b4⋅(−3a2b3)⋅(−2a2b)=36a．故选：D．直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案．此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．3.答案：A解析：此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A.是轴对称图形，故此选项正确；B.不是轴对称图形，故此选项错误；C.不是轴对称图形，故此选项错误；D.不是轴对称图形，故此选项错误；故选A．4.答案：C解析：此题主要考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系可得5−3<x<5+3，解不等式，确定x的取值范围，然后可得答案．解：设第三边长为x，由题意得：5−3<x<5+3，即2<x<8，故选C．5.答案：C解析：本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．解：多边形的边数为：360°÷45°=8．故选：C．6.答案：C解析：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：数据0.000000007用科学记数法表示为7×10−9．故选C．7.答案：B解析：本题考查的是多项式的因式分解定义.分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式.据此对各项进行判断即可．解：A．x3−x=x(x+1)(x−1)，因式分解错误，不符合题意；B.−a2+6a−9=−(a−3)2，属于因式分解，符合题意；C.(x+y)2=x2+y2+2xy，左边不等于右边， 因式分解错误，不符合题意；D.a(a+1)(a−1)=(a2+a)(a−1)=a3−a2+a2−a=a3−a，左边不等于右边，因式分解错误，不符合题意；故选B．8.答案：C解析：考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．该书店第一次购进x套，则第二次购进(x+50)套，根据两次进价相同列出方程．解：该书店第一次购进x套，则第二次购进(x+50)套，依题意得：2000x =3000x+50．故选：C．9.答案：A解析：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线的作法.作出线段BC=a，再做出BC的垂直平分线，垂足为D，再在垂直平分线上截取DA=ℎ，并画出△ABC即可解：如图所示：(1)作线段BC=a，(2)作线段BC的垂直平分线MN，与线段BC交于点D；(3)在MN上截取DA=ℎ，(4)连接AB，AC，则△ABC是所求的等腰三角形．∴已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线．故选A．10.答案：A解析：解：如图：过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，∴∠C′AB=∠CAB，∴BN=BM，∵△ABC的面积等于6，边AC=3，×AC×BN=6，∴12∴BN=4，∴BM=4，即点B到AD的最短距离是4，∴BP的长不小于4，即只有选项A的3不正确，故选：A．过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB=∠CAB，根据角平分线性质得出BN=BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是4，得出选项即可．本题考查了折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解此题的关键是求出B到AD的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．11.答案：−8x6解析：解：(−2x2)3=−8x6，故答案为：−8x6．根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．此题主要考查了积的乘方，关键是掌握积的乘方的计算法则．12.答案：−2本题主要考查的是加减消元法解二元一次方程组，代数式的值的有关知识，由题意先解出该方程组的解，然后再代入求值即可．解：{12m +72n =1772m +12n =11， 整理得：{m +7n =34①7m +n =22②， ①×7−②得：48n =216，解得：n =4.5，把n =4.5代入①得：m =2.5，则该方程组的解为{m =2.5n =4.5． ∴m −n =2.5−4.5=−2．故答案为−2．13.答案：80°、50°、20°解析：解：∵∠A =80°，∴①当∠B =80°时，△ABC 是等腰三角形；②当∠B =(180°−80°)÷2=50°时，△ABC 是等腰三角形；③当∠B =180°−80°×2=20°时，△ABC 是等腰三角形；故答案为：80°、50°、20°．此题要分三种情况进行讨论①∠B 、∠A 为底角；②∠A 为顶角，∠B 为底角；③∠B 为顶角，∠A 为底角． 此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边，注意考虑全面，不要漏解． 14.答案：∠CAE =∠DAE(答案不唯一)本题考查全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据ASA可以添加∠CAE=∠DAE．解：添加一个条件是∠CAE=∠DAE.(答案不唯一)理由：∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ABD+∠DBE=180°，∠CBE=∠DBE，∴∠ABC=∠ABD，在△ABC和△ABD中，{∠CAE=∠DAE AB=AB∠ABC=∠ABD,∴△ABC≌△ABD(ASA)，故答案为∠CAE=∠DAE.(答案不唯一)15.答案：m2；m22016解析：解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CA=12∠ACD，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即12∠ACD=∠A1+12∠ABC，∴∠A1=12(∠ACD−∠ABC)，∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD−∠ABC，∴∠A1=12∠A=m2，同法可得：∠A2=12∠A1=122∠A，…依此类推∠A2016=122016∠A=m22016．故答案为m2，m22016．利用角平分线性质、三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，由于∠A1=12∠A，∠A2=1 2∠A1=122∠A，…，依此类推可知∠A2016=122016∠A．本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=12∠A，并能找出规律．16.答案：解：原式(4a2+4ab+b2−b2−4ab−6a)÷2a=(4a2−6a)÷2a=2a−3．解析：直接利用完全平方公式以及结合整式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．17.答案：解：方程的两边同乘(x−3)，得：2−x=−1−2(x−3)，解得：x=3，检验：当x=3时，(x−3)=0，∴x=3是原分式方程的增根，原分式方程无解．解析：观察可得最简公分母是(x−3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．18.答案：(1)14+18；(2)第n个等式是：1n +1(2n−1)⋅2n=12n−1+12n，证明：左边=2(2n−1)(2n−1)⋅2n +1(2n−1)⋅2n=4n−12n(2n−1)右边═2n2n(2n−1)+2n−12n(2n−1)=4n−12n(2n−1)∴左边=右边∴等式成立．解析：解(1)第4个等式是：14+17×8=17+18，故答案为14+18；(2)第n个等式是：1n +1(2n−1)⋅2n=12n−1+12n，证明：左边=2(2n−1)(2n−1)⋅2n +1(2n−1)⋅2n=4n−12n(2n−1)右边═2n2n(2n−1)+2n−12n(2n−1)=4n−12n(2n−1)∴左边=右边∴等式成立．(1)根据前3个等式直接写出地4个；(2)根据前4个等式推出第n个等式是：1n +1(2n−1)⋅2n=12n−1+12n，然后可将等式两边分别通分进行运算即可证明等式两边相等．本题考查了代数式，根据题目正确找出规律列代数式是解题的关键．19.答案：解：(1)△A1B1C1如图所示；(2)△A2B2C2如图所示；(3)y=76x+56．解析：本题主要考查作图−轴对称变换和平移变换，熟练掌握轴对称变换、平移变换的定义是解题的关键．(1)依据△ABC 向右平移5个单位后得到△A 1B 1C 1；(2)分别作出点A 、B 、C 关于x 轴对称的点，然后顺次连接可得；(3)利用待定系数法求得直线A 2B 1的函数表达式．解：(1)(2)见答案；(3)由(1)(2)知A 2(−5,−5)，B 1(1,2)，设直线A 2B 1的函数表达式为y =kx +b ，则{−5k +b =−5k +b =2， 解得{k =76b =56， 所以直线A 2B 1的函数表达式为y =76x +56．故答案为y =76x +56． 20.答案：解：问题1(1)①两个等腰三角形底边相等，顶角互余，就可以，故①可以得到一个对角互余四边形； ②等边三角形不成，即使是全等的等边三角形拼成四边形对角和为120°或240°，故②得不到对角互余四边形；③两个全等的直角三角形或有一条直角边相等的相似的两个直角三角都可以，故③可以得到一个对角互余四边形；④由③可知④可以得到一个对角互余四边形；故答案为：①③④；(2)如图①，∵AC ⊥BC ，AC ⊥AD ，∴∠ACB =∠CAD =90°，∵对角互余四边形ABCD 中，∠D =30°，∴∠B=60°，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=1，∴AB=2，AC=√3，在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠D=30°，∴AD=3，CD=2√3，∵S△ABC=12⋅AC⋅BC=12×√3×1=√32，S△ACD═12⋅AC⋅AD=12×√3×3=3√32，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=2√3，四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2+1+2√3+3=6+2√3；问题2如图，将△BAD绕点B顺时针旋转到△BCE，则△BCE≌△BAD，连接DE，作BH⊥DE于H，作CG⊥DE 于G，作CF⊥BH于F．∴∠CFH=∠FHG=∠HGC=90°，∴四边形CFHG是矩形，∴FH=CG，CF=HG，∵△BCE≌△BAD，∴BE=BD=13，∠CBE=∠ABD，∠CEB=∠ADB，CE=AD=8，∵∠ABC+∠ADC=90°，∴∠DBC+∠CBE+∠BDC+∠CEB=∠DCG+∠ECG=90°，即∠DCE=90°，∴在△BDE中，根据勾股定理可得DE=√CD2+CE2=10，∵BD=BE，BH⊥DE，∴EH=DH=5，∴根据勾股定理可得BH=√BE2−EH2=12，∴S △BED =12⋅BH ⋅DE =12×12×10=60，S △CED =12⋅CD ⋅CE =12×6×8=24， ∵△BCE≌△BAD ，∴S 四边形ABCD =S △BCD +S △BCE =S △BED −S △CED =60−24=36， ∵S △CED =12⋅CG ⋅DE =24，∴CG =245，∴FH =CG =245，∴BF =BH −FH =12−245=365，∵∠CGE =∠DCE =90°，∠CEG =∠DEC ，∴△CGE∽△DCE ，∴GE CE =CG DC ，∴GE 8=2456，∴GE =325，∴CF =HG =GE −EH =75， 在Rt △BFC 中，∠BFC =90°，根据勾股定理可得BC =√BF 2+CF 2=√(365)2+(75)2=√13455，∴AB =BC =√13455， ∴四边形ABCD 的周长=AB +BC +CD +AD =2√13455+14；问题3：如图：作△BAP∽BCD ，∴∠DBC=∠PAB，BDBP =BCAB=CDPA，∴∠PBD=∠ABC∵BC=2AB，BD=10，∴BP=5，AP=12CD=，过P点作PH⊥BC，∵sin∠ABC=35，∴sin∠PBH=35，∴BH=4，PH=3，DH=6，∴连接PD、PA，由作△BAP∽BCD可得∠PAB=∠BCD，由对角互余四边形ABCD，可得∠ACD+∠BAD=270°，∴∠DAB+∠BAP=270°，∴∠PAD=90°，∴PAHD四点在以PD为直径的圆上，作CQ⊥AD，设CD=x，∵∠ABC+∠CDA=90°，∴sin∠CDA=45，∴CQ=45x，∴S△ACD=12×45x×AD=25AD⋅x，S△PAD=12×PA×AD=12×12x×AD=14CD⋅x∴S△ACD=85S△PAD，∵S△PAD面积最大时是以PD为斜边的等腰直角三角形，如图：故S△PAD面积最大=12×3√5×12×3√5=454，所以△ACD面积的最大值=85×454=18．解析：问题1(1)结合定义来判断，重点是拼成的四边形一对对角互余．(2)因为AC⊥BC，AC⊥AD，所以∠ACB=∠CAD=90°，所以在对角互余四边形ABCD中，只能∠B+∠D=90°.这样利用含30°直角三角形三边的特殊关系，就可以解决问题；问题2如图，将△BAD绕点B顺时针旋转到△BCE，则△BCE≌△BAD，连接DE，作BH⊥DE于H，作CG⊥DE 于G，作CF⊥BH于F.这样可以求∠DCE=90°，则可以得到DE的长，进而把四边形ABCD的面积转化为△BCD和△BCE的面积之和，△BDE和△CDE的面积容易算出来，则四边形ABCD面积可求．再求出CG和HG的长度，就可以得到AF和CF的长，利用勾股定理可以求出BC的长，四边形ABCD 的周长可求．问题3构造△BAP∽△ACD，根据sin∠ABC=sin∠PAD=35，利用相似的性质和勾股定理求出PD=3√5，然后根据对角互余四边形的性质得到∠PAD=90°，从而得到PADH四点共圆，而△PAD与△ACD同底，高成比例，从而得出S△ACD=85S△PAD，根据△PAD面积最大值可求△ACD面积的最大值．此题是相似形综合题，主要考查了新定义的理解和应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解(2)的关键构造△BCE≌△BAD，解(3)的关键是构造作△BAP∽BCD，将求△ACD面积的最大值转化为求△PAD面积．21.答案：解：∵CD是∠ACB的平分线，∠B=72°，∠ACB=40°，又CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=20°，在△BCD中，∠B=72°，∠BCD=20°，∴∠BDC=180°−72°−20°=88°．解析：此题考查的是三角形角平分线的定义及三角形内角和定理．解题时注意：三角形内角和是180°．先根据CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，求出∠BCD的度数，再由三角形内角和定理便可求出∠BDC的度数．22.答案：解：(1)设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米．6000 x =60002x+30解得x=100，经检验：x=100是原方程的解2x=2×100=200(米)答：甲、乙两工程队每天分别完成200米、100米；(2)设甲工程队施工a天，根据题意得：200a+100(50−a)≥6000，解得：a≥10，答：甲工程队至少施工10天．解析：此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，理解题意，找出等量关系和不等关系是解决问题的关键．(1)设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米．根据甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天，列方程求解；(2)设甲工程队至少施工a天，根据工期不能超过50天，列出不等式，再进行求解即可得出答案．23.答案：证明：(1)PC⊥PG且PG=√3PC，如图1：延长GP交DC于点E，∵点P是DF的中点，∴DP=FP，∵△BGF是正三角形，∴∠FGB=60°，∴∠CGF=180°−60°=120°，又∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠DCG=120°，∴DC//GF，∴∠PDE=∠PFG，在△PED和△PGF中，{∠EPD=∠GPF DP=FP∠PDE=∠PFG∴△PED≌△PGF(ASA)，∴PE=PG，DE=FG，∵DC=BC，∴CE=CG，∴CP是EG的中垂线，即PC⊥PG在RT△CPG中，∠PCG=60°，∴PG=√3PC.(2)猜想：CP⊥PG且PG=√3PC．如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，∵∠ABC=60°，△BGF是正三角形，∴∠BFG=60°，∴GF//BC//AD，∴∠EDP=∠GFP，在△DPE和△FPG中{∠EDP=∠GFP DP=FP∠DPE=∠FPG∴△DPE≌△FPG(ASA)∴PE=PG，DE=FG=BG，∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB，在△CDE和△CBG中，{CD=CB∠CDE=∠CBG=60°CD=CB∴△CDE≌△CBG(SAS)∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，∴∠ECG=∠DCB=120°，∵PE=PG，∴PC⊥PG，∠PCG=12∠ECG=60°∴PG=√3PC；(3)猜想：PG=√3PC，PG⊥PC．如图3，延长GP到H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，作FE//DC∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，在△GFP和△HDP中，{FP=DP∠GPF=∠HPD GP=HP∴△GFP≌△HDP(SAS)，∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、G又在一条直线上，∴∠GBC=120°，∵△BFG是等边三角形，∴GF=GB，∴HD=GB，在△HDC和△GBC中，{HD=GB∠HDC=∠GBC DC=BC∴△HDC≌△GBC(SAS)，∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，即∠HCG=120°∵CH=CG，PH=PG，∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，∴PG=√3PC．解析：(1)延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，得到CE=CG，CP是EG的中垂线，在Rt△CPG中，∠PCG=60°，即可得出PG=√3PC．(2)延长GP交DA于点E，连接EC，GC，先证明△DPE≌△FPG，再证得△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG=60°，即可得出PG=√3PC．(3)延长GP到H，使PH=PG，连接CH、DH，作FE//DC，先证△GFP≌△HDP，再证得△HDC≌△GBC，在Rt△CPG中，∠PCG=60°，即可得出PG=√3PC．本题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．。