偏微分方程期末试题A卷
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ）参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分)反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分）评分标准：)(λϕ的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分二（10分）、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdu p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22，则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= （4分) 评分标准:空间描述与积分步骤３分，变分方程3分，极小函数及其变分问题４分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (１)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。
偏微分方程数学考试试题
偏微分方程数学考试试题
1. 求解以下偏微分方程：
a. $ \frac{\partial u}{\partial t} = 3 \frac{\partial u}{\partial x} $
b. $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 5 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
c. $ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
2. 考虑以下边界条件问题：
$ u(0,t) = 0 $
$ u(1,t) = 2t $
$ u(x,0) = \sin(\pi x) $
求解该问题的解析解。
3. 对于给定的偏微分方程，尝试通过变量分离的方法求解。
证明解的唯一性。
4. 考虑一维热传导方程：$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
其中 $ \alpha $ 是热扩散系数。
解释在不同参数 $ \alpha $ 下方程的行为和性质。
5. 讨论偏微分方程的数值解法，比较有限差分法和有限元法的优缺点并举例说明。
6. 推导一维波动方程的解，并给出波动方程的初边值问题求解方法。
7. 请给出二阶常系数齐次线性偏微分方程的通解形式，并解释其中
每一个参数的物理意义。
8. 推导热传导方程的一维解，并讨论热源对温度分布的影响。
以上就是本次数学考试试题，请同学们认真作答，加油！。
偏微分方程数值解法期末考试题答案
偏微分⽅程数值解法期末考试题答案期末考试试题答案及评分标准学年学期：专业：数学与应⽤数学班级：数学课程：偏微分⽅程数值解法教学⼤纲：《偏微分⽅程数值解法》教学⼤纲（⾃编，2006）使⽤教材：《偏微分⽅程数值解法》教材作者：陆⾦甫、关治出版社：清华⼤学出版社⼀、判断题（每⼩题1分，共10分） 1、（O ） 2、（O ） 3、（X ） 4、（X ） 5、（O ） 6、（O ） 7、（O ） 8、（X ）9、（X ） 10、（O ）⼆、选择题（每⼩题2分，共10分） 11、（D ） 12、（A ） 13、（C ） 14、（B ）15、（C ）三、填空题（每⼩题2分，共20分）16、22222212nx x x +++ 17、A=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) 19、help 20、zeros(m,n) 21、inva(A)*b 或者A/b 22、A=sym('[cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3]')23、22221[()]2()()[()]0a s b s s c s '''-+= 24()i xv e d λλλ+∞-∞25、1(,)(,)j n j n u x t u x t τ+-四、计算题：（每⼩题12分，共36分）26、写成对流⽅程0u ua t x+=（,0x R t ∈>）的有限差分⽅程（两层显⽰格式，⽤第n 层计算第n+1层），并把有限差分⽅程改写为便于计算的迭代格式/h λτ=为⽹格⽐。
解：在点(,)j n x t 处，差分⽅程为110n n n nj jj ju u u u ahτ++--+=（0,1,2,j =±±，0,1,2,n =）（8分）便于计算的形式为11()n n n n j j j j u u a u u λ++=--，/h λτ= （4分）27、写出扩散⽅程22u ua t x=的有限差分⽅程（中⼼差分格式，⽤第n 层计算第n+1层），并把有限差分⽅程改写为便于计算的迭代格式，2/h µτ=为⽹格⽐。
北航2012年偏微分方程期末试卷
四、 （本题 10 分）求拉普拉斯方程在半空间内的格林函数，并求解定解问题：
u xx u yy u zz 0 u (0, y, z ) ( y, z )
五、 （本题 12 分）求以下基本解
x0 y, z
t 0
.
Et a 2 Exx E ( x, 0) ( x)
并用此基本解表示热传导方程定解问题的解
，
ut a 2u xx u ( x, 0) x
t 0
.
六、 （本题 10 分）证明：调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，则必是唯一 的，而且连续地依赖于所给的边界条件．
二. （本题共 40 分，每小题 10 分）求解下列定解问题:
ux 3u y =0 1、 ； 3x u( x;0) 8e
2 uxy =6 x y 2、 ； 2 u ( x ;0) 1 cos x , u (0, y ) 3 y
t 0, x utt u xx 3、 ； 2 u ( x;0) 1 2 x 3 x
utt uxx u yy uzz 4、 u ( x, y, z;0) 2 y 3xz,
t 0, x, y, z ut ( x, y, z;0) = 6y 2
.
三、 （本题 18 分）求满足下面定解问题的解：
utt uxx sin 2 x, 0 x , t 0 . u (0, t ) u ( , t ) 0 u ( x, 0) u ( x, 0) 0 t
2011—2012 学年第二学期
考试统一用答题册
题号 成绩 阅卷人签字 校对人签字 一 二 三 四 五 六 总分
《微积分》课程期末考试试卷(A)及参考答案
3、若函数
f (x, y)
x y ，则
x y
f
(
1 x
,
y)
（
）
A、 x y
x y
B、 1 xy
1 xy
C、 1 xy
1 xy
4、设 D 由 y x, y 2x, y 1围成，则 dxdy （ ）
D
A、 1
2
B、 1
4
C、1
5、（ ）是一阶微分方程
3x 2
3y2
（6
分）。
2、
z y
xy
ln
x （3
分）；
2z y 2
xy
ln 2
x
（6
分）。
3、
f
1 x
(
x,
y)
1
x x2
y2
（5
分）；
f
1 x
(3,4)
2 （6
5
分）。
4、
z x
y
1 y
,
z y
x
x y2
（4
分）；
dz
(y
1 )dx y
(x
x y2
六、求方程 yy' x 的通解。（6 分）
七、判别级数 n1
2n n3n
的敛散性。（6
分）
《微积分》课程期末考试试卷（A）参考答案
一、 填空题（每题 3 分，共 36 分）。
1、
x3 y3
2x
xy y
3xy
2、 1
偏微分方程数值解期末试题及参考答案
《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期 2006.4.14命题教师王子亭偏微分方程数值解试题(06A)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J nRx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{110==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du pv u a b a ba ==+=⎰⎰,),(10b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(10*b a H u ∈,使)(min )(1*u J u J H u ∈= (4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
数学偏微分题目
2
5．(10 分) 利用拉普拉斯变换的性质， 求函数 f (t ) te
t
sin wt 的拉普拉斯变换和
函数
f ( s)
的拉普拉斯逆变换
lim u ( x, t ) 是否存在？如果存在，
ห้องสมุดไป่ตู้
6
5s 1 ( s 1)( s 2 1)
3
6．(12 分) 利用叠加原理和 D’Alembert 公式，求下列初值问题的解:
utt c 2 (u xx u yy ),
( x, y ) R 2 , t 0
u ( x, y, 0) 2 x 2 y 2 , ( x, y ) R 2 u ( x, y, 0) 3x 2 2 y 2 , ( x, y ) R 2
utt a 2u xx , 0 x , t 0 2 u ( x, 0) x 2 x, ut ( x, 0) 0, 0 x u (0, t ) u ( , t ) 0, t0 x
4． （12 分）求矩形区域上 Laplace 方程边值问题的解： u xx u yy 0, 0 x a, 0 y b
河海大学试卷
2008-2009 学年第二学期《偏微分方程》考试试卷
2009.6.2
专业、班级
姓名
学号
成绩
1． （6 分） 写出二维和三维拉普拉斯方程的基本解以及三维调和函数的平均值 公式。
2． （12 分）讨论方程 y 2u xx x 2u yy 0 的类型，并且化为标准型
偏微分方程数值解法考试题
2014—2015学年第二学期研究生期末考试试卷学 院： 数信学院 考试对象：2014级计算数学专业硕士研究生课程名称： 偏微分方程数值解法 课程类型： 学位专业课考试方式： 开 卷 考试时间： 120 分钟答题要求：请把答案写在答题纸上，写在试卷上无效。
本卷共5题，每题20分。
一． (40分) 对求解抛物型方程的初边值问题0,(0,2),0,(,)(2,),(,0)sin(),(0,2),t xx u u x t u x t u x t u x x x πππ-=∈>⎧⎪=+⎨⎪=∈⎩的常用的差分方法进行归纳总结，分析它们各自的优缺点，算出其精确解，用前面的数值方法模拟此问题，验证得到的有关结论的正确性。
二．（20分） 设12[0,][0,]l l Ω=⨯，,u v 为确定在12h h I I Ω=⨯上的网函数，且在满足齐次边界条件，h -Λ表示Laplace 差分算子h u u u Λ=--，λ为h Λ的特征值，求证：(i) 算子h Λ是自共轭的，(,)(,)h h u v u v Λ=Λ。
(ii) 算子h Λ是正定的，2(,)h u u u εΛ=，其中1min 022288l l ελε=≥+=。
(iii) 有下列估计式22(,),h u u u u εμ≤Λ≤ 其中1max 022244l l μλμ=≤+=。
三．（20分） 用Fourier 分析方法证明四阶抛物型方程的周期初值问题00,(0,),0,(,)(,),(,0)(),(0,),t xxxx u u x L t u x t u x L t u x u x x L +=∈>⎧⎪=+⎨⎪=∈⎩ 的差分格式， （其中222221(2)nn n n x j j j j u u u u h δ-+=-+）， 是绝对稳定的，其截断误差为222(())O h hττ++。
四．(20分) 用能量不等式方法讨论变系数对流方程的初值问题 (,)0,,0,(,0)(),,t x u a x t u x R t T u x g x x R +=∈<≤⎧⎨=∈⎩(,)0a x t ≥， 的差分格式11100,(),n n n n j j j j n j j j u u a h u g x ϕϕτ++-⎧--+=⎪⎨⎪=⎩ 的稳定性。
偏微分方程期末试题A卷
第1 页共5页安徽大学20 08 —20 09 学年第二学期《偏微分方程》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级专业姓名学号题号一二三四五总分得分一、填空题（每小题3分，共15分）1.1.对常系数方程对常系数方程x y z u au bu cu du f D ++++=作未知函数的变换可以将所有一阶微商消失可以将所有一阶微商消失. .2.2.设设:R R F ®是光滑凸函数，(,)u x t 是热传导放程0tu u -D =的解，则()u F 是热传导方程的(下解;上解；解).3.3.上半平面的上半平面的Green 函数G(x,y)G(x,y)为为，其中12(,)y y y =为上半平面中某固定点为上半平面中某固定点. .4．设函数u 在以曲面G 为边界的区域W 内调和，在W G 上有连续的一阶偏导数，则u dSn G ¶¶òò=，其中n 是G 的外法方向的外法方向. . 5.5.热传导方程热传导方程2()0t xx yy u a u u -+=的特征曲面为．得分二、计算题（每小题10分，共40分） 1．求解初值问题．求解初值问题0,(,)(0,)(,0),,t x u bu cu x t R u x g x R ++=δ¥ìí=Îî 其中，,b c R Î都是常数都是常数. .2.2.试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：2000,0,0,|(),|0.t xx t x u a u x t u x u j ==ì-=>>ï=íï=î得分3．试求解．试求解22008(),|,|.tt xx yy zz t t t u u u u t u xy u z ==ì-++=ïí==ïî4．写出定解问题：．写出定解问题：200(),0,0,|0,|0,|().t xx x x l t u a u f x x l t u u u g x ===ì-=<<>ï==íï=î解的一般形式解的一般形式. .三、判断分析题（三、判断分析题（1010分）分）试判断下面命题是否成立，并说明原因试判断下面命题是否成立，并说明原因. .在证明Hopf 引理的过程中，我们能够作出一个辅助函数()v x 满足满足 (a)(a)在球面在球面()R B y ¶上0;v =(b)v 沿球()R B y 的半径方向的方向导数vn¶¶<0<0；；(c)(c)在整个球在整个球()R B y 内下调和内下调和. .四、分析计算题（四、分析计算题（1515分）分）试判断下列方程试判断下列方程2222222sin cos cos 0u u u u x x x x x y y y¶¶¶¶---=¶¶¶¶¶ 的类型，并根据标准型求出此方程的通解的类型，并根据标准型求出此方程的通解. .得分得分五、证明题(下面两道题请任选一题)（20分）1．设G 是2R 中有界区域，试利用证明热传导方程解的最大值原理的方法证明：中有界区域，试利用证明热传导方程解的最大值原理的方法证明： 满足方程0xx yy u u +=的函数u(x,y)在G 上的最大值不会超过它在边界G ¶上的最大值上的最大值. .2．试用能量法（即用格林第一公式法）证明n 维Laplace 方程的第三边值问题方程的第三边值问题 12n u(x)0,x=(x ,x ,,x ),0u u f ns s ¶W D =ÎWìï¶íæö+=>ç÷ï¶èøî 是常数的解的唯一性，其中W 为边界光滑的有界区域为边界光滑的有界区域. .得分。
偏微分方程考试题及答案
偏微分方程考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 偏微分方程的一般形式是什么？A. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)答案：B2. 以下哪个方程不是线性偏微分方程？A. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 1 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)D. \( u^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)答案：D3. 波动方程的解通常表示为两个函数的和，这两个函数分别是？A. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x-ct) \)B. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x+ct) \)C. \( f(x-ct) \) 和 \( g(x+ct) \)D. \( f(x+ct) \) 和 \( h(x-ct) \)答案：A4. 拉普拉斯方程的解是调和函数，以下哪个条件不是调和函数必须满足的？A. \( \Delta u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 \) D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 1 \)答案：D5. 以下哪个条件不是偏微分方程解的存在性和唯一性定理所要求的？A. 初始条件B. 边界条件C. 系数的连续性D. 变量的离散性答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 偏微分方程 \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \) 是一个 ________ 方程。
浙江大学10-11 偏微分方程试卷
浙江大学20 10 –20 11 学年 冬季 学期《偏微分方程 》课程期末考试试卷 课程号： 061B0090__，开课学院：_理学学院_考试试卷：√A 卷、B 卷（请在选定项上打√）考试形式：√闭、开卷（请在选定项上打√），允许带__无____入场 考试日期： 2011 年 1 月 13 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！ 考生姓名： 学号： 所属院系： _一．（20分）判别下列二阶线性偏微分方程0sin sin cos 2222222=∂∂−∂∂−∂∂∂+∂∂y u x y u x y x u x xu 的类型，并求出满足条件1y u ,sin sin =∂∂===x y x y x u的解。
二．（20分）(1). 已知函数的Fourier 变换为2x e −4/2λπ−e ,试求函数的Fourier 逆变换，其中常数。
2Ax e −0>A (2). 利用等式π21)(2=∫+∞∞−dx x f ∫+∞∞−λλd f F 2))(( (其中表示函数的Fourier 变换) 以及Fourier 变换的性质证明：初值问题)(f F )(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞−=∂∂−∂∂==)(t u ),(0 , ,0004422x x u t x x u t u t t ψϕ存在有限能量解（即存在依赖函数),(x t u )(x ϕ和)(x ψ的常数M 使得+∞<≤∫+∞∞−M dx x t u 2),(, ),0(+∞∈t ）的充分必要条件是22)(x x ∂∂=ϕψ。
(3). 试在条件22)(xx ∂∂=ϕψ下求出上述初值问题的有限能量解。
),(x t u三．（20分）利用对称延拓法求解下列半无界初边值问题 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂−==∂∂>>=∂∂−∂∂===0 ,61 2 0,0 , 03002222t t x t u x u x u t x x x u t u四．（20分）用分离变量法求解： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=−==∂∂=∂∂><<=∂∂+∂∂+∞→===0),( im ,1 0 ,00,10 ,0y 01x 02222y x u l x u x u x u y x y u xu y x五．（20分）用分离变量法求解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===><<=∂∂+∂∂−∂∂=== ) 5sin( 0 ,00 ,10 ), 2sin( 201x 022x e u u u t x x e t x u x u t u x t x x ππ。
数理方程期末试题14~15A(另一版本)
u x=0 = 0
t =0
=
sin
πx 10
,
0 < x < 10,t > 0
u x=10 = 0 ∂u = 0 ∂t t=0
解 设该定解问题的解为 u( x,t ) = X ( x )T( t )
则 T ′′( t ) = X ''( x ) = −λ T(t ) X( x )
T ′′( t ) + λT ( t ) = 0
cr n + dr−n
∂u
∂t
=
a2
∂2u ∂x2
+
A
7、定解问题
∂u = B ∂x x=0
u t =0
= cos π x l
0 ≤ x ≤ l,t ≥ 0
∂u = C ∂x x=l
，A, B,C 均为常数，
要想选用函数代换 u(x,t) = V (x,t) +W (x) 将方程和边界条件都化
阶贝塞尔函数
Jn (x)
=
∞
( −1)m
m=0
xn+2m 2n+2m m! Γ( n +
m +1)
，
∫R 0
rJ
n
(
µm(n R
)
r
)
J
n
(
µm(n R
)
r)dr
=
R2 2
J
( 2
n−1
µ(mn
)
)=
R2 2
J
( 2
n+1
µ(mn
)
)。
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13、勒让德方程可表示为 ( 1 −
北京师范大学期末考试试卷-偏微分方程
北京师范大学2015～2016学年第一学期期末考试试卷（A 卷）课程名称：偏微分方程任课老师姓名：保继光卷面总分：100分考试时长：120分钟考试类别：闭卷 开卷 其他 院（系）：专业：年级：姓名：学号：题号一二三(1)三(2)四(1)四(2)总分得分阅卷老师（签字）：一.填空题(36分):以各种现实情境和科学情境为背景的偏微分方程是形式多样的.我们可以根据阶数和线性性将它们分类.如:Monge-Amp`e re 方程det D 2u =f (x )是(1)阶(2)线性方程;极小曲面方程(1+u 2y )u xx −2u x u y u xy +(1+u 2x )u yy =0是(3)阶(4)线性方程.二阶线性方程是学习的重点.围绕(初)边值问题和Cauchy 问题解的(5),即解的存在性、(6)和稳定性,我们主要讨论了(7)、热传导方程、(8),它们依次是椭圆型、(9)型、双曲型方程最简单、最典型的代表.积分变换法和分离变量法是求解定解问题,证明这三类方程解存在性的重要方法;能量积分或极值原理是研究解唯一性和稳定性的有效手段.特别要注意的是:热传导方程(10)问题的解是不唯一的.Cauchy-Kovalevskaya 定理给出了一阶偏微分方程初值问题幂级数解的(11).我们可以用“特征线织成曲面”的方法求解u x =u y +(y −x )u −e xy ,u (0,y )=y.它对应的特征方程组初值问题是(12).2二.简答题(24分):1.叙述一阶偏微分方程初值问题u t +u x =f (x,t ),−∞<x <∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <∞的Duhamel(齐次化)原理.2.写出二维Laplace 方程和它的基本解,以及上半平面的Green 函数.3.写出Rellich 方程u xxt +u =f (x,t )关于x 进行Fourier 变换后的常微分方程.4.具体写出一个(不是C 2的)C 0下调和函数的实例,并描述一下Perron 方法？三.计算题(30分):1.化简二阶线性偏微分方程u xx =u xy ,并求出它的通解.2.用分离变量法求解热传导方程的初边值问题u t=u xx ,0<x <1,t >0,u (0,t )=t,u (1,t )=0,t ≥0,u (x,0)=0,0≤x ≤1.四.证明题(10分):1.设x 0∈R ,t 0>0,a 是一个正常数,u (x,t )在平面三角形区域|x −x 0|≤a (t 0−t )中满足弦振动方程u tt =a 2u xx .证明:E (t ):=12∫x 0+a (t 0−t )x 0−a (t 0−t )(u 2t (x,t )+a 2u 2x (x,t ))dx 关于t 在[0,t 0]上单调不增.2*.设单位圆B 1={(x,y )∈R 2:x 2+y 2<1}.若u ∈C 1(B 1)满足一阶偏微分方程xu x +2yu y =−u,(x,y )∈B 1.试证在B 1上u ≡0.。
偏微分方程数值解期末试题及参考答案
偏微分方程数值解期末试题及参考答案Ａ卷2005—2006学年第2学期《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期命题教师王子亭题号一二三四五六七八总分得分阅卷人偏微分方程数值解试题(06A) 参考答案与评分标准信息与计算科学专业1一、设矩阵A对称正定，定义J(x)?(Ax,x)?(b,x)(x?Rn)，证明下2J(x);(2)求下列方程组的解：列两个问题等价：(1)求x0?Rn使J(x0)?minnx?RAx?b 解: 设x0?Rn 是J(x)的最小值点,对于任意的x?Rn,令?(?)?J(x0??x)?J(x0)??(Ax0?b,x)?? 22(Ax,x),(3分) 因此??0是?(?)的极小值点,?’(0)?0,即对于任意的x?Rn,(Ax0?b,x)?0,特别取x?Ax0?b,则有(Ax0?b,Ax0?b)?||Ax0?b||2?0,得到Ax0?b. (3分)反之,若x0?Rn满足Ax0?b,则对于任意的1x,J(x0?x)??(1)??(0)?(Ax,x)?J(x0),因此x0是J(x)的最小值点. (4分) 2评分标准:?(?)的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分ddu??Lu??(p)?qu?fx?(a,b)二、对于两点边值问题：? dxdx??u(a)?0,u(b)?0其中p?C1([a,b]),p(x)?minp(x)?pmin?0,q?C([a, b]),q?0,f?H0([a,b]) x?[a,b]建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz形式和Galerkin形式的变分方程。
1解: 设H0?{u|u?H1(a,b),u(a)?u(b)?0}为求解函数空间,检验函数空间.取1v?H0(a,b),乘方程两端,积分应用分部积分得到(3分) bdudv1.?quv)dx??fvdx?f(v),?v?H0(a,b) aadxdx即变分问题的Galerkin形式. (3分) 11bdu 令J(u)?a(u,u)?(f,u)??[p()2?qu2?fu]dx,则变分问题的Ritz形式22adx a(u,v)??(pb1J(u)(4分) 为求u*?H0(a,b),使J(u*)?min1u?H0评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分, 三、对于边值问题??2u?2u?2?2??1,(x,y)?G?(0,1)?(0 ,1) ??x?y??u|?G?0建立该边值问题的五点差分格式，推导截断误差的阶。
华南理工大学期末考试数学物理方程卷a及答(08[1]6
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ìï dU (l, t) í dt
=
-a2l 2U (l, t) ,
ïî U (l, 0) = F(l).
U (l, t) = F(l)e-a2l2t .
ò u(x, t) = sin x *
1
e = -
x2 4 a2t
1
+¥
sin
x
e
-
(
x-x 4a2
) t
2
d
x
=
sin xe-a2t .
2a p t
òò ìDu = 0,
í î
u |G =
(x, y, z) Î f (x, y, z)
W
的解可表示为（
u( M 0
)
=
-
G
f (x, y, z) ¶G dS ）。 ¶n
8. 贝塞尔方程 x2 y¢¢ + xy¢ + ( x2 - 5) y = 0 的通解是（ y( x) = AJ (x) + BJ ( x) ）。
wn
分别为（
np l
），（
(2n + 1)p 2l
），（
(2n + 1)p 2l
），（
np l
）。
3.
表达波动方程初值问题
ìíutt îu(
= x,
a2uxx , -¥ 0) = j (x),
< ut
x < +¥,t (x,0) =y
>0 ( x)
的解的达朗贝尔公式是
ò （ u(x,t) = j ( x - at) + j (x + at) + 1
=
¥ m=1
4J 2 (mm(0) )
偏微分试卷
0 < ������ < π, ������ > 1
������ > 0, ������ > 0
0 < ������ < 2, ������ > 0
d ������ ������ (������)](������), d������ [
2
������ [������ (������ − ������)](������) = ei������������ ������ [������ (������)](������).
2Байду номын сангаас
������������ |������=0 = e������
������ > 0, ������ > 0 ������������ |������=0 = 2
0 < ������ < 2, ������ > 0
0 < ������ < 2, 0 < ������ < 1
2
2 2012–2013 学年冬学期
一、 (20 分) 用行波法求解下题： ⎧ ������ 2 ������ − 2 ������ 2 ������ − 3 ������ 2 ������ + 4 ������������ + 4 ������������ = 0 ⎪ ������������2 ������������������������ ������������ ������������ ������������2 ⎨ ������������ ⎪������| = 0, = 2������e������ ������������ |������=0 ⎩ ������=0 二、 (15 分) 用延拓法求解以下半无边界弦振动问题： ⎧ ������ 2 ������ − ������ 2 ������ = 0, ⎪ ������������2 ������������2 ⎪ ⎨������|������=0 = ������ ⎪ ������������ ⎪������|������=0 = ������2 , =1 ������������ |������=0 ⎩ 三、 (25 分) (1) 求方程的解 ������(������)： ⎧ ������ 2 ������ − ������ 2 ������ = 2 0 < ������ < 2, ������ > 0 ⎪ ������������2 ������������2 ⎨ ������������ ⎪������| = 0, =1 ������=0 ������������ |������=2 ⎩ (2) 根据上一问答案，用变量分离法求下列非齐次边界条件方程的解： ������ 2 ������ ������ 2 ������ ⎧ ⎪ 2 − 2 =2 ������������ ⎪ ������������ ⎪ ������������ ⎨������|������=0 = 0, |������=2 = 1 ������������ ⎪ ������������ ⎪ ������| = −������2 , =0 ⎪ ������������ |������=0 ⎩ ������=0 lim������→+∞ |������(������, ������)| = 0. ⎧ ������������ − ������ 2 ������ − ������������ = 0 0 < ������ < ������, ������ > 0 ⎪ ������������ ������������2 ⎪ ⎨������|������=0 = 0, ������|������=������ = 0 ������ > 0 ⎪ π������ ⎪������|������=0 = sin ������ ⎩ 五、 (20 分) 利用 Fourier 变换相关知识求解下列各问： (1) 试直接写出 ������ −1 [e−������|������| ] 的表达式.
黑龙江科技学院考试试题偏微分方程期末考试试题(07)
二、解：解：首先将方程化成 SL 型方程，方程两端同时乘以 ex ，有
( ) ex y ' '+ 3lex y = 0
此方程为 SL 型方程，所以 ln ³ 0 ，又因为两端出现的是第一类边界条件，所以无零 固有值。 设l = k2 > 0，
方程 y ''+ y '+ 3l y = 0 的特征方程为 k2 + k + 3l = 0 ，有 k = -1± 1-12l 2
y y
''+ y '+ 3l y = 0
(0) = y (1) = 0
(0 < x < 1)
三、（10 分）写出二阶线性偏微分方程的分类和标准式。 四、（15 分）求半无界弦的自由振动问题
ìutt = a2uxx (t > 0, x > 0)
ï
íu (t, 0) = 0 ïîu (0, x) = j ( x) , ut (0, x) = f ( x)
ìx íîh
= =
xy ，其中 y
y
¹
0，J
=
y 0
由链式法则
x = y ¹0
1
ux = yux
uy = xux + uh
uxx = y2ux
uxy = ux + xyuxx + yuxh
uyy = x2uxx + 2xuxh + uhh 代入原方程得 h 2uhh +huh = 0 ，因为h = y ¹ 0 ，有huhh + uh = 0
pn-1
(a
)
-
pn+1
偏微分方程习题及答案
偏微分方程习题及答案【篇一：偏微分方程数值解法期末考试题答案】题答案及评分标准学年学期：专业：班级：课程：教学大纲：使用教材：教材作者：出版社：数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006）《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治清华大学出版社一、判断题（每小题1分，共10分）1、（o）2、（o）3、（x）4、（x）5、（o）6、（o）7、（o）8、（x）9、（x） 10、（o）二、选择题（每小题2分，共10分） 11、（d） 12、（a） 13、（c） 14、（b）15、（c）三、填空题（每小题2分，共20分）?2?216、2?2??x1?x2?2?2 17、a=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) ?xn19、help 20、zeros(m,n)21、inva(a)*b或者a/b22、a=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3])?(s)?1?(s)?c[??(s)]2?023、a[?2(s)]2?2b?224????v(?)ed? 25、i?xu(xj,tn?1)?u(xj,tn)?四、计算题：（每小题12分，共36分）?u?u?0（x?r,t?0）的有限差分方程（两层显示26、写成对流方程?a?t?x格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式???/h为网格比。
解：在点(xj,tn)处，差分方程为?1un?unjj??anunj?1?ujh?0（j?0,?1,?2,，n?0,1,2,）（8分）便于计算的形式为?1nnn???/h （4分） un?u?a?(u?ujjj?1j)，?u?2u?a2的有限差分方程（中心差分格式，用第n层27、写出扩散方程?t?x计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式，???/h2为网格比。
北京师范大学《偏微分方程》2018期末考试试卷A
北京师范大学2017～2018学年第一学期期末考试试卷（A卷）课程名称：偏微分方程任课老师姓名：保继光卷面总分：100分考试时长：120分钟考试类别：闭卷 开卷 其他 院（系）：专业：年级：姓名：学号：题号一二三(1)三(2)三(3)四(1)四(2)总分得分阅卷老师（签字）：一.填空题(22分):17世纪以来,偏微分方程不仅促进了数学学科的进步,也推动了科学、技术、工程、社会的发展.偏微分方程主要来源于几何学与(1),也在生物数学与(2)等领域大量出现.本课程学习了(两个自变量的)二阶线性偏微分方程和一阶非线性偏微分方程.在二阶方程方面,除了学习线性方程的化简与分类外,主要研究了位势方程边值问题,热传导方程、波动方程初边值问题和Cauchy问题解的(3).极值原理基于(4),能量积分基于(5),它们都是研究解(6)和(7)的有效手段.解的存在性大部分是通过寻求形式解来完成的,Green函数法、Fourier变换法、行波法、球面平均法和(8)等都是求解这些定解问题的重要方法,而(9)却是一个证明Laplace方程Dirichlet问题解存在性的非构造性方法.在一阶方程方面,证明了Cauchy-Kovalevskaya定理,其地位相应于常微分方程中y′=f(x,y)初值问题幂级数解的(10);介绍了(11)方法,用来具体求解一阶方程的Cauchy问题.二.简答题(22分):1.分别具体写出一个有意义的二阶拟线性方程和一个有意义的线性双曲型方程.2.写出三维Laplace方程的基本解和它的导函数,以及上半空间的Green函数.3.特征值问题X′′(x)+λX(x)=0,0<x<1,X(0)=X(1)=0的解是什么？.4.你做过作业中的选做题吗?你看过有关偏微分方程的课外书吗?试举一例.2三.计算题(36分):1.求解定解问题u xy+u y=0,x>0,y>0, u(x,0)=x2,x≥0,u(0,y)=y2,y≥0.2.求解Cauchy问题{(x2+1)u x+u y=0,u(0,y)=y2.3.通过Fourier变换,求出Cauchy问题{u t=u xx+u x+u,−∞<x<+∞,t>0,u(x,0)=φ(x),−∞<x<+∞的形式解.四.证明题(20分):1.设Ω是R n中的有界光滑区域,T>0,Q T=Ω×(0,T],u是{u t−△u+u=f(x,t),(x,t)∈Q T,u=0,(x,t)∈∂p Q T的光滑解,证明max Q T |u|≤maxQ T|f|.2.证明波动方程初边值问题u tt=△u,x∈Ω,t>0, u(x,0)=u t(x,0)=0,x∈Ω,∂u∂ν+u t=0,x∈∂Ω,t≥0只有零古典解,其中Ω是R n中的有界光滑区域,ν是边界∂Ω的单位外法向量.。
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安徽大学20 08 —20 09 学年第 二 学期 《 偏微分方程 》考试试卷（A 卷）
（闭卷 时间120分钟）
院/系 年级 专业 姓名 学号
一、填空题（每小题3分，共15分）
1.对常系数方程x y z u au bu cu du f ∆++++=作未知函数的变换
可以将所有一阶微商消失.
2.设:R R Φ→是光滑凸函数，(,)u x t 是热传导放程0t u u -∆=的解，则()u Φ是热传导方程 的 (下解;上解；解).
3.上半平面的Green 函数G(x,y)为 ，其中12(,)y y y =为上半平面中某固定点.
4．设函数u 在以曲面Γ为边界的区域Ω内调和，在ΩΓ上有连续的一阶偏导数，则u
dS n Γ
∂∂⎰⎰= ，其中n 是Γ的外法方向.
5.热传导方程2()0t xx yy u a u u -+=的特征曲面为 ．
二、计算题（每小题10分，共40分） 1．求解初值问题
0,(,)(0,)(,0),,t x u bu cu x t R u x g x R ++=∈⨯∞⎧⎨=∈⎩ 其中，,b c R ∈都是常数.
2.试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：
200
0,0,0,|(),
|0.t xx t x u a u x t u x u ϕ==⎧-=>>⎪
=⎨⎪=⎩
3．试求解
2
2
008(),|,|.tt xx yy zz
t t t u u u u t u xy u z ==⎧-++=⎪⎨==⎪⎩
4．写出定解问题：
200
(),0,0,|0,|0,
|().t xx x x l t u a u f x x l t u u u g x ===⎧-=<<>⎪
==⎨⎪=⎩
解的一般形式.
三、判断分析题（10分）
试判断下面命题是否成立，并说明原因.
在证明Hopf 引理的过程中，我们能够作出一个辅助函数()v x 满足 (a)在球面()R B y ∂上0;v =
(b)v 沿球()R B y 的半径方向的方向导数v
ν
∂∂<0；
(c)在整个球()R B y 内下调和.
四、分析计算题（15分）
试判断下列方程
2222
222sin cos cos 0u u u u x x x x x y y y
∂∂∂∂---=∂∂∂∂∂ 的类型，并根据标准型求出此方程的通解.
五、证明题(下面两道题请任选一题)（20分）
1．设G 是2R
满足方程0xx yy u u +=的函数u(x,y)在G 上的最大值不会超过它在边界G ∂上的最大值.
2．试用能量法（即用格林第一公式法）证明n 维Laplace 方程的第三边值问题
12n u(x)0,x=(x ,x ,,x ),0u u f n σσ∂Ω∆=∈Ω
⎧⎪
∂⎨⎛⎫
+=> ⎪⎪∂⎝⎭⎩
是常数 的解的唯一性，其中Ω为边界光滑的有界区域.。