多维随机游走

\ a b c d mod2, 0, i N bd i a c i a c i a c N i bd N i bd N i bd i i N i PB C N p q m n Ci 2 p 2 q 2 Ci 2 m 2 n 2 , i a c i a b c d mod2.
为方便表示，不妨记 C C C G B D q r q r 即为每一次摸球摸到白 A B D ， A B D（事实上 p ，， 球、黑球和红球的概率），有 p q r 1 .
a1 n a2 n an n a1 ,a2 ,..., an p ， n

A A B D，
三维随机游走
则上式可表示为：
a,b a b na b PS Gn pqr

a,b Gn pa qb 1 p q
nab
三维随机游走
定理3. 假设一点在一个三维坐标空间 x y z 上进行随机游走,从 原点出发,每一次沿坐标轴移动一个单位,向 x轴正方向移动的概率 为 p , 向 x轴负方向移动的概率为q ,向 y 轴正方向移动的概率为m, s ,向 z 轴 向 y 轴负方向移动的概率为n ,向 z 轴正方向移动的概率为 负方向移动的概率为 t ,且 p, q, m, n, s, t 0 , p q m n s t 1 . * abc N 设事件 T ：共走了 N 步, n N ,到达了点 a, b, c ， （暂时假设 a, b, c 0 ）. g a g a g a h b h b h b bc a c g ,h p q g m nh s t N g h Cg 2 p 2 q 2 Ch 2 p 2 q 2 PT GN g a h b

n
n
P M
G n 1,
2
n
Aj
j 1 n
i 1
Ak k 1
n
PM G
B1, , B2 ,..., Bn n
pj j
B j 1
n
多维随机游走
通过这个问题，多维随机游走也可以类比于三维随机游走得出结 果.
多维随机游走
猜想 假设在一个 n 维坐标空间上随机游走,从原点出发.向x i 轴 正方向移动的概率为 pi ,向 x i 轴负方向移动的概率为 q i ,其 中 i 1,...,n , n 且 pi , qi 0 , pi qi 1 .
一维随机游走
推论2：从零点出发在数轴上一维随机游走, 向右走的概率为 p , 向左走的概率为 q ,且 p, q 0, p q 1 . * 设事件 A ：在 N 步之内（包括第N 步）到达了点 a, a N , N N . 则 i a i a i a N P( A) C 2 p 2 q 2 ,其中 i amod2 .

P A C
i 1
u
N a iM 2 N
N a iM N a iM N a2iM N a2iM 2 2 p q p q

其中 u max u : u M N , u N
N a M
.
项目的未来期望
1、寻找并建立更好的模型。 2、尝试解决解决树上的随机游走问题。 3、给出三维、多维随机游走的渐进公式， 方便实际运用。

i a
i
二维随机游走
定理2. 假设一点在二维坐标系 xOy 上进行随机游走,从原点出发, 每一次沿坐标轴移动一个单位,向右走的概率为p ,向左走的概率 为q ,向上走的概率为 m ,向下走的概率为n , 且 p, q, m, n 0, p q m n 1. * 设总步数为 N . 设事件B ：共走了N 步, n N ,到达了点 a, b （假设 a, b 0）, a b N. 运用两次Bernoulli概型的叠加，可得：
华东师范大学第二附属中学 作者：高二（7）班 顾韬 景琰杰 指导教师：张成鹏
研究背景

“随机游走”（random walk）是指基于 过去的表现,无法预测将来的发展步骤和方向. 随机游走问题最早来源于“梅茵街的醉汉”问 题：一个醉汉从酒店出发,向左和向右走分别有 一个概率,那么他回到家的概率是多少？这是一 个有趣的概率问题,引起了我的兴趣,同时,在思 考解决这个问题的基础上,我想是否也可以解决 在二维坐标平面内的随机游走问题,甚至是在多 维空间内的？在环上进行的随机游走问题呢？ 于是,我试图去解决这些问题.
i 1
设事件 R ：共走了N 步, N N ,到达了点a1 , a2 ,...,an ,其中 a i n
*
表示在坐标轴 x i 上的坐标（假设 ai 0 ）, a N . n i 记 i 1 a ,则：

i 1

i
P R
N a1 N a2
二维随机游走
推论3. 一质点在二维坐标系xOy 上进行随机游走,从点c, d 出发 ,向右走的概率为 p ,向左走的概率为 q ,向上走的概率为m ,向下 走的概率为 n ,且 p, q, m, n 0, p q m n 1 . 设事件 B：共走了 N 步, N N * ,到达了点 a, b （假设 a, b 0）, a b N .则：
一维随机游走
定理1. 假设在一维坐标轴 x轴上一维随机游走,从原点出发,向右走 的概率为 p,向右走的概率为q ,且 p, q 0, p q 1 .
设事件 A 为：共走了N 步, n N * ,到达了点 a, a N . 运用Bernoulli概型，可得：
\ a(mod2) 0, N P( A) N a N a k 2 2 C N p q ，N a(mod2)
n
n
多维随机游走
引理2 一个袋子中有 A1个 a1 球,A2 个a2 球,…,Ak 个ak 球（各球形状 大小均无差异）. 现有放回的从袋子中摸球,问：在n 次摸球中恰 好摸到 B1个 a1 球,B2 个a2 球,…, Bk个ak 球的概率是多少？ 设上述事件为事件 M .
n A i . 每次有 Ai 个样本点,又因为共摸球n 次,所以样本点共有 i 1 i 1 Aj p 可得 n 设 j ,则 n Ai B , B ,..., B
2 维随机游走
在得到了二维随机游走的结果后,由于 2 维可以看作是 n个二 维情况的简单叠加,因此我们可以以类似的方法将2 n 几个Bernoulli 概型进行叠加,从而得到维随机游走的结论.然而,由于每一次使用 k k N k Bernoulli概型时,它的分布 CN p q 中的 N 总是一个变量,所以 得到的表达式是十分复杂的,也不易于计算.因此,本文中并没有给 出计算.
一维随机游走
推论1. 假设一点从点 i 出发,在数轴 x上一维随机游走, 向右走的概 率为 p,向左走的概率为q ,且 p, q 0, p q 1. * 设事件 A：共走了N 步, N N ,到达了点 j, j i N . 则.
\ j i(mod2) 0, N P( A) N j i N j i N j i . 2 2 2 C p q ，N j i(mod2) N
\ amod2 0, i N b i a i a i a N i b N i b N i b i i N i 2 2 2 2 2 2 PB C N p q m n Ci p q Ci m n , i a i amod2
\ a b c d e f mod2 0, N g a d g a d g a d N bc e f N ac d f g ,h g h N g h PT Cg 2 p 2 q 2 GN p q m n s t h b e g a d hbe hbe hbe N g h c f N g h c f N g h c f 2 2 2 C 2 p 2 q 2 C p q , N g h h N a b c d e f mod2 , g amod2 , h bmod2 .
三维随机游走
引理1 一个袋子中有 A个白球, B 个黑球,D个红球（各球形状大小均 无差异）. 现有放回的从袋子中摸球,问：在n 次摸球中恰好摸到 a
个白球, b 个黑球,（ n a b 个红球）的概率是多少？ 设上述事件为事件 S ,可得：
源自文库a b Cn Cn Aa Bb D na b PS A B Dn
C
N g h c 2 N g h
p
N g h c 2
q
N g h c 2

三维随机游走
推论4：一质点在一个三维坐标空间Oxyz上随机游走,从点 d , e, f 出发.向x 轴正方向移动的概率为 p ,向x 轴负方向移动的概率为q , 向 y 轴正方向移动的概率为m,向 y 轴负方向移动的概率为 n ,向 z 轴 正方向移动的概率为 s,向 z 轴负方向移动的概率为 t , 且 p, q, m, n, s, t 0 , p q m n s t 1 . * 设事件 T：共走了N 步, N N ,到达了点 a, b, c （假设 a, b, c 0 , a d , b e ,c f ）, a b c N .则：

j1 a1
...
N an jn an
j2 a2

ai ji ai ji ai B1, ,B2 ,...,Bn n B j ji 2 2 2 p j C p q Gn j i j 1

环形随机游走
定理4：在一个环上,有M 个点,各点之间的距离相等,且均为一个 单位长度.假设一点从某点 O 出发,每一次沿环上移动一个单位长 度,假设向顺时针方向移动一个单位的概率为 p ,向逆时针方向移 动一个单位的概率为 q ,且 p, q 0 , p q 1 . 设事件 A ：走了N 步后到达点 a （点与点顺时针方向相距 a ,逆时 * a N , N N M a 针方向相距 ）, .则：