多维随机游走
随机游走离散型随机变量的随机漫步模型
随机游走离散型随机变量的随机漫步模型随机游走是一种描述随机变量在一条离散路径上从一个状态跳转到另一个状态的模型。
在该模型中，随机变量在每次转移时根据一定的概率进行状态的跳转，使得其在状态空间中进行“随机漫步”。
本文将介绍随机游走的概念、离散型随机变量以及随机漫步模型的基本原理。
一、随机游走的概念随机游走（Random Walk）是一种数学模型，用于描述在离散路径上随机变量的运动轨迹。
在随机游走过程中，随机变量从当前状态跳转到下一个状态的概率是随机的，并且其转移规律通常遵循一定的概率分布。
随机游走常用于模拟各种现实中的问题，如股票价格的变化、传染病的传播等。
二、离散型随机变量离散型随机变量（Discrete Random Variable）指的是在一定的取值范围内，可能取到有限个或可列个数值的随机变量。
与连续型随机变量不同，离散型随机变量的取值仅限于某些特定的数值。
常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等。
三、随机漫步模型随机漫步模型（Random Walk Model）是一种描述随机变量以随机方式在状态空间中移动的数学模型。
在随机漫步模型中，随机变量在每次转移时根据一定的概率进行状态的跳转，使得其在状态空间中进行随机的移动。
具体的转移规律通常由转移概率矩阵来描述。
在离散型随机变量的随机漫步模型中，随机变量的状态空间是有限个或可列个状态。
随机漫步模型可以用一个状态转移矩阵来表示，矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
通过迭代计算，可以得到随机变量在每个状态下的概率分布，从而对其进行建模和分析。
随机漫步模型在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在金融领域中，可以利用随机漫步模型来预测股票价格的变化趋势；在物理学领域中，可以使用随机漫步模型来模拟原子或分子的扩散过程等。
总结：随机游走离散型随机变量的随机漫步模型是一种描述随机变量在离散路径上随机跳转的数学模型。
通过随机漫步模型，我们可以对离散型随机变量的状态进行建模和分析，为实际问题的解决提供参考。
随机过程中的随机游走
随机游走是随机过程中一种重要的模型，其在多个领域都有广泛的应用，包括物理学、金融学、生物学等。
随机游走的基本思想是描述一个在一系列随机步骤中随机移动的过程。
在随机游走中，我们关注的是一个在一个状态空间中移动的随机变量。
这个状态空间可以是一维、二维甚至更高维度的。
随机游走中的每一步移动都是随机的，通常是根据某种概率分布来决定的。
最常见的随机游走模型是一维随机游走，其中随机变量在每个时间步长内以概率 p 向右移动一步，以概率 q 向左移动一步，p + q = 1。
这样的随机游走可以模拟许多现实世界中的情况，比如一个颗粒在液体中的扩散、股票价格的变化等。
随机游走可以用一种简单的数学模型来描述，即马尔可夫链。
马尔可夫链是一种具有“无记忆”的特性，即在给定当前状态下，未来状态的转移只依赖于当前状态，与过去的状态无关。
这种特性使得马尔可夫链成为描述随机游走的理想模型。
利用马尔可夫链的转移矩阵，我们可以计算随机游走在不同时间步长内到达各个状态的概率。
随机游走不仅有理论上的意义，还有很多实际应用。
在物理学中，随机游走可以用来研究粒子在溶液中的扩散行为。
根据随机游走模型，可以计算出粒子在不同时间段内从起始位置到达各个位置的概率分布。
这些概率分布可以与实验结果进行比较，从而验证实验数据与理论模型的一致性。
在金融学中，随机游走被广泛应用于股票价格预测和风险管理。
根据随机游走模型，股票价格的变动可以看作是一系列随机变量的累积。
根据已有的历史数据，可以估计出股票价格的随机变动的概率分布，并利用这些概率分布来预测未来的股票价格趋势。
在生物学中，随机游走可以用来研究细胞运动行为和蛋白质折叠过程。
细胞在背景噪声的影响下随机移动，这种运动可以用随机游走来描述。
蛋白质折叠是一个复杂且具有多种可能路径的过程，随机游走可以用来模拟蛋白质在其折叠过程中的构象变化。
随机游走作为一种重要的随机过程模型，不仅在理论研究中具有重要地位，也在实际应用中发挥着重要作用。
随机游走算法原理
随机游走算法原理
随机游走算法是一种常见的基于概率的搜索算法，它可以应用于多种
领域，包括网络科学、机器学习、图像处理等。
该算法的核心思想是
在网络上随机游走，通过概率的方式探索搜索空间，最终，找到最优
解或者子集。
具体来说，随机游走算法的过程如下：首先，在算法开始时，我们随
机选取一个节点，开始随机游走。
在每一步中，我们按照一定的概率，选择当前节点的邻居节点进行转移。
这个概率一般是根据节点的度数
计算得出的，度数越大的节点，被访问的概率也越大。
通过不断地随
机游走，我们最终可以收敛到网络上的某一个节点集合，这个集合被
称为吸引子，具有很好的特征。
我们可以把吸引子看做是网络的一个
固有属性，它展示出了网络的特征、结构和复杂性等方面的信息。
随机游走算法可以采用不同的转移规则来实现概率转移。
其中，最常
用的转移规则是Metropolis-Hasting算法和PageRank算法。
Metropolis-Hasting算法可以保证在长时间下算法能够收敛到想要的分布，而PageRank算法则是一种基于链接结构的排名算法，可以用
于计算互联网中网页之间的关系，并且能够有效地对网页进行排序。
总的来说，随机游走算法可以利用随机性帮助我们探索搜索空间，同
时也可以充分考虑节点的度数，保证搜索过程中的全局性和局部性问题。
随机游走算法在实际应用中可以用于解决很多实际问题，比如网络流量优化、疾病传播模型等等。
多维随机游走
i a
i
二维随机游走
定理2. 假设一点在二维坐标系 xOy 上进行随机游走,从原点出发, 每一次沿坐标轴移动一个单位,向右走的概率为p ,向左走的概率 为q ,向上走的概率为 m ,向下走的概率为n , 且 p, q, m, n 0, p q m n 1. * 设总步数为 N . 设事件B ：共走了N 步, n N ,到达了点 a, b （假设 a, b 0）, a b N. 运用两次Bernoulli概型的叠加，可得：
n
n
P M
G n 1,
2
n
Aj
j 1 n
i 1
Ak k 1
n
PM G
B1, , B2 ,..., Bn n
pj j
B j 1
n
多维随机游走
通过这个问题，多维随机游走也可以类比于三维随机游走得出结 果.
多维随机游走
猜想 假设在一个 n 维坐标空间上随机游走,从原点出发.向x i 轴 正方向移动的概率为 pi ,向 x i 轴负方向移动的概率为 q i ,其 中 i 1,...,n , n 且 pi , qi 0 , pi qi 1 .
为方便表示，不妨记 C C C G B D q r q r 即为每一次摸球摸到白 A B D ， A B D（事实上 p ，， 球、黑球和红球的概率），有 p q r 1 .
a1 n a2 n an n a1 ,a2 ,..., an p ， n
二维随机游走
推论3. 一质点在二维坐标系xOy 上进行随机游走,从点c, d 出发 ,向右走的概率为 p ,向左走的概率为 q ,向上走的概率为m ,向下 走的概率为 n ,且 p, q, m, n 0, p q m n 1 . 设事件 B：共走了 N 步, N N * ,到达了点 a, b （假设 a, b 0）, a b N .则：
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种特殊的随机过程，广泛应用于统计学、机器学习、经济学、计算机科学等多个领域。
为了深入理解马尔可夫链的概念，我们先从基本定义开始，再逐步探讨其性质、分类、应用及实例分析。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种具有“无记忆”特性的随机过程，即在给定当前状态的前提下，未来状态与过去状态无关。
换句话说，系统的未来发展只依赖于当前的状态，而不依赖于以前的状态。
这一特性通常被称为“马尔可夫性”，是马尔可夫链最大的特点。
在形式上，我们可以定义一个离散时间的马尔可夫链为一个由状态集合 ( S ) 组成的序列，其中 ( S ) 可能是有限的也可能是无限的。
设 ( X_n ) 为在时间 ( n ) 时刻该过程所处的状态，若满足条件：[ P(X_{n+1} = j | X_n = i, X_{n-1} = k, , X_0 = m) =P(X_{n+1} = j | X_n = i) ]其中，( P ) 是条件概率，这就表明该过程符合马尔可夫性质。
二、马尔可夫链的基本组成要素状态空间：状态空间是指系统所有可能的状态集合，通常用集合 ( S ) 表示。
例如，一个简单天气模型可以将状态空间定义为 ( S = {晴天, 雨天} )。
转移概率：马尔可夫链中的转移概率是指从一个状态转移到另一个状态的概率。
对于有限状态空间，转移概率通常用转移矩阵表示，其元素 ( P_{ij} ) 表示从状态 ( i ) 转移到状态 ( j ) 的概率。
初始分布：初始分布描述了系统在时间 ( t=0 ) 时，各个状态出现的概率。
通常用一个向量表示，如 ( _0(i) ) 代表在初始时刻处于状态 ( i ) 的概率。
三、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有许多重要的性质，其中最为关键的是遍历性和极限性。
遍历性：如果一个马尔可夫链在长期运行后，将以一种稳定的方式达到各个状态，并且这个稳态与初始选择无关，那么我们称它为遍历。
换句话说，一个遍历性的马尔可夫链在达到平稳分布后，各个状态出现的概率将保持不变。
随机游走算法,转移概率-概述说明以及解释
随机游走算法,转移概率-概述说明以及解释1.引言1.1 概述：随机游走算法是一种基于概率的算法，用于模拟随机的行为和变化过程。
它可以描述在一个有限的状态空间中，通过按照一定的规则进行状态转移，从而模拟随机选择下的状态变化。
这一算法在许多领域中有着广泛的应用，包括计算机科学、物理学、生物学、金融等。
随机游走算法的核心思想是通过定义转移概率来描述状态之间的转移规则。
在一个随机游走过程中，每个状态都有一定的概率转移到其他状态，而这些概率可以根据实际情况进行确定。
通过迭代计算，随机游走算法可以模拟出状态的分布情况，进而提供对系统行为的理解和预测。
随机游走算法具有很多重要的特性和优点。
首先，它是一种非常灵活的模型，可以适用于各种不同的问题和场景。
其次，随机游走算法能够捕捉到系统中的随机变动和不确定性，从而可以更好地解释和预测实际情况。
此外，随机游走算法具有较快的收敛速度和较低的计算复杂度，使得它成为许多算法和模型的重要基础。
然而，随机游走算法也存在一些限制和缺点。
首先，它需要事先确定好状态空间和转移概率，这对于复杂系统可能是一个挑战。
其次，随机游走算法对初始状态的选择非常敏感，不同的初始状态可能会导致完全不同的结果。
此外，随机游走算法在处理长时间序列或具有周期性特征的问题时可能存在某些局限性。
综上所述，随机游走算法是一种重要且广泛应用的算法，能够在各个领域中提供对系统行为的建模和预测。
虽然它具有一些限制和缺点，但通过进一步研究和改进，随机游走算法有望在未来的发展中发挥更大的作用。
在接下来的章节中，我们将详细介绍随机游走算法的基本概念、应用领域以及优缺点，并对其重要性和未来发展进行总结和展望。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包含以下内容：文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织结构和各个部分的主要内容，将读者引导到整个文章的框架。
2. 文章结构本文分为引言、正文和结论三个主要部分。
2.1 引言部分引言部分主要对随机游走算法进行了概述，介绍了其基本概念以及本文的目的。
马尔可夫链蒙特卡洛方法中的随机游走方向调整技巧
马尔可夫链蒙特卡洛方法中的随机游走方向调整技巧在数学和计算机科学领域，马尔可夫链蒙特卡洛方法是一种被广泛应用的随机模拟技术，用于解决各种复杂的计算问题。
其中，随机游走作为马尔可夫链蒙特卡洛方法的核心部分，是实现随机采样的重要技术。
本文将探讨在马尔可夫链蒙特卡洛方法中的随机游走方向调整技巧，以及如何优化该过程。
一、马尔可夫链蒙特卡洛方法简介马尔可夫链蒙特卡洛方法是一种通过随机采样来估计复杂系统的性质的统计技术。
它的核心思想是利用随机采样来逼近目标分布，从而实现对系统性质的估计。
马尔可夫链蒙特卡洛方法的关键在于构建一个满足细致平稳条件的马尔可夫链，以便从目标分布中采样。
二、随机游走在马尔可夫链蒙特卡洛方法中的作用在马尔可夫链蒙特卡洛方法中，随机游走是实现随机采样的关键步骤。
随机游走指的是在马尔可夫链中以一定的概率进行状态转移，从而实现对目标分布的采样。
通过不断进行随机游走，最终可以得到满足目标分布的样本集合，从而实现对系统性质的估计。
三、随机游走方向调整的重要性在实际应用中，随机游走的方向调整对于马尔可夫链蒙特卡洛方法的效率和采样质量至关重要。
如果随机游走的方向调整不当，可能导致采样效率低下甚至无法收敛到目标分布。
因此，如何有效地调整随机游走的方向，成为马尔可夫链蒙特卡洛方法中的一个关键问题。
四、随机游走方向调整的技巧1. Metropolis-Hastings算法Metropolis-Hastings算法是一种经典的马尔可夫链蒙特卡洛方法，它采用接受-拒绝的策略来调整随机游走的方向。
具体来说，该算法通过计算接受概率来决定是否接受新的状态转移，从而实现对随机游走方向的有效调整。
2. Gibbs抽样Gibbs抽样是一种基于条件概率的随机游走方向调整技巧。
它通过依次对每个变量进行抽样，从而实现对多维分布的采样。
Gibbs抽样在处理高维分布时具有较高的效率和收敛速度，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
3. 多步跃迁多步跃迁是一种通过多次状态转移来实现随机游走方向调整的技巧。
E02.多维随机游走及应用
多维随机游走及应用
摘要
本文从一维和二维随机游走开始探究,基于组合数学和概率论的有关理论, 利用 Bernoulli 概型及其叠加推导得到了从一确定点出发到达任意随机点的概 率； 然而在三维随机游走问题上,不能直接利用 Bernoulli 概型,因而首先引入了 一个有放回的摸球问题,再通过该问题得到三维随机变量的分布概型,从而解决 了三维随机游走中到达任意随机点的概率问题,并且通过这个思想推导了多维随 机游走的相关结论.最后,本文将得到的结论应用在环形随机游走中， 得到相关结 论.
\ a + b(mod 2) ⎧0, N ≡ ⎪ ⎪ ⎪ i + a i + a i −a N −i +b N −i +b N −i −b ⎤. P(B ) = ⎨ N −b ⎡ i i N −i 2 2 2 2 2 ( ) ( ) + + ⋅ ⋅ C p q m n C p q C m n 2 ⎥ i i ⎪∑ ⎢ N ⎦ ⎪ i =a ⎣ ⎪ ⎩ N ≡ a + b(mod 2), i ≡ a(mod 2)
i =1
G
数, β 为 δ i = 1 的个数.则有 α − β = a , α + β = G , G − a = 2β .故 G ≡ a (mod 2) . I. G ≡ \ a (mod 2) 时, P(B ) = 0 .
即此时是不可能到达 (a, b ) 的；同时,若 G ≡ \ a (mod 2) ,有 G ≡ \ − a (mod 2) ,即
随机游走算法
随机游走算法
随机游走算法的基本思想是：
从一个或一系列顶点开始遍历一张图。
在任意一个顶点，遍历者将以概率1-a游走到这个顶点的邻居顶点，以概率a随机跳跃到图中的任何一个顶点，称a为跳转发生概率，每次游走后得出一个概率分布，该概率分布刻画了图中每一个顶点被访问到的概率。
用这个概率分布作为下一次游走的输入并反复迭代这一过程。
当满足一定前提条件时，这个概率分布会趋于收敛。
收敛后，即可以得到一个平稳的概率分布。
拓展资料
随机游走（RandomWalk，缩写为RW），又称随机游动或随机漫步，是一种数学统计模型，它是一连串的轨迹所组成，其中每一次都是随机的。
它能用来表示不规则的变动形式，如同一个人酒后乱步，所形成的随机过程记录。
因此，它是记录随机活动的基本统计模型。
RandomWalk是随机过程（StochasticProcess）的一个重要组成部分，通常描述的是最简单的一维RandomWalk过程。
下面给出一个例子来说明：考虑在数轴原点处有一只蚂蚁，它从当前位置(记为x （t）)出发，在下一个时刻(x（t+1）)以来概率向前走一步(即x（t+1）=x（t）+1)，或者以来概率向后走一步(即x（t+1）=x（t）-1)，这样蚂蚁每个时刻到达的点序列就构成一个一维随机游走过程。
本质上RandomWalk是一种随机化的方法，在实际上生活中，例
如醉汉行走的轨迹、花粉的布朗运动、证券的涨跌等都与RandomWalk 有密不可分的关系。
RandomWalk已经被成功地应用到数学，物理，化学，经济等各种领域。
数据科学基础-随机游走
23
Rejection Sampling
设定一个方便采样的常用概率分布函数 q(x)，以及 一个常量 k，使得 p(x) 总在 kq(x) 的下方 中采采样样得得到到q(一x)的个一值个u。样如本果z0。u落从在均了匀上分图布中（的0,灰kq色(z0区)) 域，则拒绝这次抽样，否则接受这个样本z0 重复以上过程得到n个接受的样本z0,z1,...zn−1
9
转移概率与顶点概率质量
马尔可夫链中两个状态间的转移概率（ transition probability）与转 移概率矩阵
◦ 对于一组状态x和y，从x到y的转移概率记为pxy,并且 ◦ 由pxy 组成的矩阵P称为转移概率矩阵
图G顶点概率质量向量
◦ p(t) 是一个向量， 其维度pi(t)表示 顶点i（状态i）在t时刻的概率质量
，则π 是马尔可夫链的平稳分
14
主要内容
Introduction Stationary Distribution The Web as a Markov Chain Markov Chain Monte Carlo Applications - Areas and Volumes Convergence of Random Walks on Undirected Graphs Random Walks on Undirected Graphs with Unit Edge Weights Hidden Markov Model
◦ 设顶点i只有一条从j进入的边，以及一条出边，π为平稳概率，
则
，
。若i增加1个自循环，则有
，
即
；若增加k个自循环，则
，即
随机游走与布朗运动
随机游走与布朗运动随机游走（Random Walk）是指一个对象在定义好的空间中，以随机的方式移动的过程。
它是一种迭代的、随机性强的运动过程，常常被用于模拟许多现实生活中的随机现象。
布朗运动（Brownian Motion）是随机游走的一种特殊形式，也被称为布朗运动或布朗行走，它是经典物理学和金融学等领域中常见的模型。
一、随机游走随机游走是一种随机性非常强的运动过程，它的运动规律是由随机变量决定，每一步的移动方向和距离都是随机的。
在理论上，随机游走可以应用于各种情景，比如分子扩散、金融市场等。
随机游走的模型有多种形式，其中最简单的形式是一维随机游走。
假设一个游走者在数轴上从初始位置出发，每一步向左或向右移动一个单位距离，移动方向由一个随机变量决定。
这个随机变量可以用一个硬币的正反面来模拟，正面表示向右移动，反面表示向左移动。
游走者连续进行多次移动，每次移动都是独立的。
随机游走的路径就是游走者在数轴上逐步变化的位置。
二、布朗运动布朗运动是一种特殊形式的随机游走，其最重要的特征是位置的变化是连续的、非常平滑的。
布朗运动的一个经典模型是布朗粒子在水中的扩散过程。
这个模型认为扩散分子的位置随时间变化服从正态分布。
布朗运动可以用数学方法描述，其中最常用的是随机微分方程。
布朗运动的模型建立在连续时间和连续空间的假设下，而实际中我们只能通过采样来近似描述布朗运动。
通过在连续时间点对布朗运动的位置进行采样，可以得到一系列的离散位置点，这些点在数轴上呈现出波动的趋势。
布朗运动在金融学中有广泛的应用，例如在期权定价模型中被用来估计资产价格的波动性。
它也被用来模拟其他随机现象，如气象预测和股票价格的变化。
三、随机游走与布朗运动的关系随机游走和布朗运动有着密切的联系。
事实上，布朗运动可以看作是随机游走的一种极限形式。
当随机游走的时间间隔趋向于无穷小时，随机游走的距离趋向于0时，所得到的运动就是布朗运动。
在随机游走中，每一步的移动是离散的，而在布朗运动中，位置的变化是连续的。
随机过程中的随机游走模型研究
随机过程中的随机游走模型研究在随机过程中，随机游走模型被广泛用于描述具有随机性质的现象。
本文将探讨随机游走模型的研究及其在不同领域中的应用。
随机游走模型是一种数学模型，用于描述随机变量在一系列离散时间步骤中的随机演化过程。
它是一种随机过程，具有随机步长和随机转移概率。
随机游走模型可以用来模拟随机漫步、金融市场波动、大气颗粒运动等各种现象。
首先，让我们来了解一下随机游走的基本概念。
在一维随机游走中，假设一个粒子在时间步骤t=0时位于原点，它每个时间步骤都会向左或向右移动一个单位距离，且移动方向由概率决定。
这个概率可以用一个随机变量来表示，通常为p（向右移动的概率）和q（向左移动的概率），且p+q=1。
在每个时间步骤中，粒子随机地选择向左或向右移动，并以概率p或q做出移动决策。
随机游走可以用一系列随机变量来表示，其中每个随机变量表示一个时间步骤的移动情况。
这些随机变量通常被称为步长变量，记作X1，X2，...，Xn。
步长变量通常是独立同分布的，并且满足P(Xi=1)=p和P(Xi=-1)=q。
粒子在经过n个时间步骤后所处的位置可以由步长变量之和表示，即Sn=X1+X2+...+Xn。
随机游走模型在统计物理学、金融学和生物学等多个领域中有着广泛的应用。
在统计物理学中，随机游走模型被用来研究粒子在固体中的扩散过程。
通过模拟粒子的随机行走，可以得到粒子的平均扩散距离和扩散速率等信息。
在金融学中，随机游走模型被用来描述股票价格的波动。
通过计算股票价格在一段时间内的随机涨跌，可以进行风险评估和投资策略制定。
在生物学中，随机游走模型被用来研究细胞的移动行为。
通过模拟细胞的随机运动，可以揭示细胞迁移和组织发育等生物过程。
除了一维随机游走模型，还存在二维和多维随机游走模型。
在二维随机游走中，粒子在平面上以随机步长进行移动。
在多维随机游走中，粒子在高维空间中进行随机漫步。
这些模型在研究空间扩散和颗粒运动等问题时发挥着重要作用。
一种基于随机游走的多维数据推荐算法
Ｌ Ｉ Ｆ ａ ｎ ｇ ａ Ｌ Ｉ Ｙ ｏ ｎ ｇ － ｊ ｉ ｎ ２
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏｌ ｏ ｆ Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ ， Ｈｕ ｂ ｅ ｉ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ， Ｈｕ ａ ｎ ｇ ｓ ｈｉ ４ ３ ５ ０ ０ ０， Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
（ Ｓｃ ｈ ｏｌ ｏ ｆ ｏ ｍｐ Ｃ ｕ ｔ ｅ ｒ ｃｉ Ｓ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｎａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｄｅ ｆ ｅ ｎｓ ｅ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ， Ｃｈ ａ ｎ ｇ ｓ ｈ ａ ４ １ ０ ０ ７ ３ ， Ｃｈ ｉ ｎ ａ ） 。
ｃ ｏ ｍｍｅ ｎ ｄ ｅ ｒ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ． Ｆ ｉ ｒ ｓ ｔ ， ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｂ ｕ ｉ ｌ ｔ ａ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｒ ｅ ｃ ｏ ｍｍｅ ｎ ｄ ｅ ｒ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｕ ｓ ｅ ｒ ｓ ’ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｘ ｔ ， ８ ｅ －
基于内容的推荐方法对用户以前访问过的商品进行分析并将与其相似的未知商品推荐给用户这种方法主要是对商品的资料如大小类别生产商等进行分析然后将未知的商品与之比较以发现相似的商品4
第４ Ｏ 卷
２ ０ １ ３年 １ １ 月
第１ １ 期
计
算
机
科
学
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ
Ｖｏ １ ． ４ ０ ＮＯ ． １ １ Ｎｏｖ ２ ０１ ３
一
种 基 于 随机 游 走 的 多维 数 据 推 荐算 法
计算物理随机游走
通过分子动力学模拟，可以研究不同成分、结构对材料性能的影 响，为新材料的设计和开发提供理论指导。
材料制备工艺优化
分子动力学模拟可用于优化材料的制备工艺，提高材料的性能和 稳定性。
量子计算在处理大规模数据中的潜力
量子计算原理
大规模数据处理
量子计算可应用于处理大规模数据，通过量子叠加 和量子纠缠等特性，实现高效的数据分析和挖掘。
随机游走具有马尔可夫性质，即下一步的状态仅 与当前状态有关，与历史状态无关。
03 路径依赖性
尽管每一步是随机的，但长期行为可能呈现出一 定的规律性，如扩散现象。
一维、二维及三维随机游走
一维随机游走
01
粒子在一条直线上进行左右随机移动，位置随时间变化形成一
维随机序列。
二维随机游走
02
粒子在平面上进行上下左右随机移动，位置变化构成二维随机
用
布朗运动与扩散现象
01
02
03
布朗运动
悬浮在液体或气体中的微 粒受到周围分子的无规则 碰撞而产生的无规则运动。
扩散现象
物质分子从高浓度区域向 低浓度区域转移的过程， 其速率与浓度梯度和扩散 系数有关。
随机游走模型
描述布朗运动和扩散现象 的常用模型，通过模拟大 量粒子的随机运动来揭示 宏观规律。
化学反应动力学过程模拟
01
化学反应速率
描述化学反应快慢的物理量，与反应物浓度、温度等因素有关。
02
随机游走模型在化学反应中的应用
通过模拟反应物分子的随机运动，可以研究反应速率、反应机理等动力
学过程。
03
Monte Carlo模拟
一种基于随机数的计算方法，可用于模拟复杂的化学反应过程。
随机游走分析
随机游走分析随机游走是一种数学模型，用于描述在随机过程中物体或者概念的随机移动。
在金融领域，随机游走分析可以被用来预测股票价格的变化，以及其他一些与市场相关的现象。
本文将探讨随机游走分析的基本原理、应用以及一些相关的扩展内容。
1. 随机游走的定义和基本原理随机游走是指一个物体或者概念在一定时间内的随机移动轨迹。
在随机游走模型中，物体在每个时间步骤中向左或者向右移动的概率是相等的，且每一步都是独立且随机的。
这种模型可以被形象地比作一只蚂蚁在一条直线上的随机行走。
数学上，随机游走可以用一个数列来表示，其中每一项代表物体在每个时间步骤中的位置。
该数列可以被描述为:S_t = S_{t-1} + \epsilon_t其中，S_t 表示在第 t 个时间步骤时物体的位置，S_{t-1} 表示在第t-1 个时间步骤时物体的位置，\epsilon_t 是一个随机变量，表示在第 t 个时间步骤中物体的移动方向（向左或向右）。
2. 随机游走的应用2.1 股票价格预测随机游走分析在金融领域被广泛应用于股票价格的预测。
根据随机游走的原理，股票价格的变化可以被视为一个随机过程。
通过分析历史股票价格的随机游走模型，可以得出未来一段时间内股票价格的预测。
在随机游走模型中，假设股票价格在每个时间步骤中上涨或下跌的概率是相等的，且每个时间步长的涨跌幅度是独立且随机的。
通过计算历史股票价格序列的平均涨幅，可以得到股票价格的长期趋势。
然后，通过模拟股票价格的随机游走轨迹，可以预测未来一段时间内的价格波动。
2.2 经济市场分析除了股票价格预测，随机游走分析还可以应用于其他经济市场的分析。
例如，在外汇市场中，汇率的变化也可以被视为随机游走模型，通过模拟随机游走轨迹可以预测未来汇率的趋势。
此外，随机游走分析还可以应用于商品市场、利率市场等其他金融领域的分析，帮助预测市场的走势和风险。
通过深入理解随机游走的原理，金融从业者可以更好地把握市场机会，进行决策和风险管理。
随机游走
RMR实例
随机游走概述
一维随机游走
一维随机游走
上述问题可以用杨辉三角来看：
当n趋于无穷的时候，就可以与中心极限定理相联系
一维随机游走模拟结果图：
高维随机游走模拟
二维模拟：
一个25000步伐的二维随机游走
三维模拟：
高斯随机游走
带重启的随机游走（RWR）
• Random walk with restart ：从一个节点开始，在每一步游 走时面临两个选择：或者移动到一个随机选择的邻点；或 者跳回起点。 • RWR最初是为图像分割而提出的一个算法，它反复的探究 一个网络的总体结构去估计两个节点之间的亲和力程度 （亲和力分数），这个算法只考虑一个参数 r :“重启概率” （1-r的概率移动到某个邻点） 这个过程反复迭代进行下去直到走遍所有节点，此时得到的 概率向量包含所有节点与起点的亲和力分数。 另外，RWR的起点也可以选择一个起点集合（多个起点组成 的集合）。
随机游走（Random Walk）
问题直观：
• 有个醉汉走在回家路上，由于酒醉未醒，分不清家往哪边走。假如 家在东面n的位置，醉汉处在m（m<n）位置。醉汉每一个时间单位 走一步，向东（家的方向）或者向西（酒吧的方向）的概率皆为 1/2。 这个醉汉的行为就可用random walk 来模拟。
ห้องสมุดไป่ตู้
这是一个简单的一维随机游走问题模型，从这个模型中我们可以对随机游走 有一个直观上的感受：每一步都是随机的。
什么是随机游走
随机游走是由一系列随机步伐（steps）所形成的活动模型。 比如： 液体或空气中分子的运动； 动物的觅食； 股票的价格波动； 一个赌徒的财产状况… 这些都可以模型为random walks（尽管现实中他们可能不是真 正的随机） • Karl Pearson在1905年第一次提出了random walk，如今已被应 用在诸多领域：生态学、经济学、心理学、计算机科学、物 理学、化学、生物学等。
概率论中的随机游走研究
概率论中的随机游走研究随机游走是概率论中的一个重要概念，它广泛应用于物理学、经济学、金融学等领域。
本文将从一个数学的角度介绍随机游走的基本概念、性质和应用。
1. 随机游走的定义随机游走是指在某个空间中，以随机的方式进行移动的过程。
在数学中，常用数轴或者二维平面作为移动的空间，而随机性通常是通过掷骰子来确定下一步的移动方向。
具体来说，一个粒子或者点从初始位置开始，每一步朝左或者右移动一个单位距离，移动的方向由掷骰子的结果决定。
这个过程中，每一步是独立的，并且下一步的移动方向不受之前的移动结果影响。
2. 随机游走的性质随机游走具有许多有趣的性质。
首先，随着步数的增加，随机游走的位置会逐渐扩散，即平均距离会增大。
这是因为每一步的移动是随机的，所以在多次移动后，均值会逐渐接近于零，方差也会增大。
其次，随机游走是一个马氏过程，即它满足马尔可夫性质。
这意味着下一步的移动只与当前位置有关，与之前的移动路径无关。
最后，随机游走的停止时间是不确定的，即它可能会无限进行下去，也可能在某个时刻达到目标位置而停止。
3. 随机游走的应用随机游走在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，随机游走被用来描述粒子的扩散过程，例如气体中的分子扩散和热传导等。
在经济学和金融学中，随机游走模型被用来描述股票价格的波动和货币汇率的变化。
此外，随机游走还有在搜索算法、图像处理等领域中的应用。
4. 随机游走的改进尽管随机游走在许多情况下能够提供有用的信息，但它也存在一些局限性。
首先，随机游走假设每一步的移动是等概率的，然而在实际情况中，移动的概率可能是不均匀的。
因此，研究人员提出了各种改进的随机游走模型，如非均匀随机游走和隐含随机游走等。
其次，随机游走通常假设移动是在连续时间和连续空间中进行的，但实际应用中，很多情况下是离散的。
因此，离散随机游走模型也得到了广泛的研究。
总结：随机游走是概率论中的一个重要概念，它描述了一个在空间中随机移动的过程。
随机游走模型（RandomWalkMobility）
随机游⾛模型（RandomWalkMobility）随机游⾛模型由⾸先由爱因斯坦在1926年以数学⽅式描述。
由于⾃然界中的许多实体会以不可预知的⽅式移动，因此随机游⾛模型⽤来描述这种不稳定的移动。
在这种移动模型中，移动节点随机选择⼀个⽅向和速度来从当前位置移动到新的位置。
新的速度和⽅向分别从预定义的范围【speedmin，speedmax】和【0，2】。
移动节点的每次移动会以恒定的时间间隔t或恒定的⾏进距离d进⾏，结束后会计算新的⽅向和速度。
如果此模型的移动节点到达模拟边界，则它将从模拟边界“弹回”，其⾓度有⼊射⽅向确定，然后沿着这条路径继续移动。
许多随机游⾛模型已经被研究，包括⼀维，⼆维，三维和d-维游⾛。
在1921年，Polya证明在⼀维或⼆维的随机游⾛能够完全确定地返回远点，这⼀特征确保随机游⾛模型代表了⼀种移动模型----可以测试移动节点在其起点附近的移动，不⽤担⼼移动节点因游⾛⽽永远回不到起点。
⼆维随机游⾛模型是热点。
下图显⽰了⼀个⼆维随机游⾛模型的仿真例⼦。
移动节点在300*600的模拟区域从起点（150,300）移动。
在每个拐点，移动节点随机选择【0，2】的⽅向，选择【0，10】m/s的速度。
在改变⽅向与速度之前，移动节点移动60秒。
在随机游⾛模型中，移动节点可以在⾏进指定距离之后改变⽅向⽽不是指定时间。
图1的移动节点在改变⽅向和速度之前总共⾏进10步（⽽不是60秒），与图⼀不同，图⼆的每次移动都是完全相同的聚类。
随机游⾛模型有时被称为布朗运动。
在使⽤模型时，可以简化，Basagni等⼈在模拟实验中，为每个移动节点分配相同的速度，简化随机游⾛模型。
深度学习中的随机游走方法
深度学习中的随机游走方法在深度学习领域中，随机游走方法被广泛应用于图像处理、自然语言处理、社交网络分析等多个领域。
这种方法基于图论的思想，通过在图或图的嵌入空间中进行随机游走，得到节点之间的相似度或者获取图的结构化表示。
随机游走方法已经成为深度学习中处理图数据的重要工具之一。
随机游走方法的原理和应用在深度学习中，图可以被看作是一个节点和边的集合，节点代表物体或者概念，边代表它们之间的关系。
通过搭建一个图模型可以更好的描述语义内容，文本、图像等表达方式均可以转化为图遍历的方式，从而建立起广义上的图模型。
随机游走方法就是在这样的图模型中使用的一种算法。
随机游走就是从某个节点开始，在图中按照一定的规则随机地沿着边走，到达相邻的节点，继续随机游走直到到达某个目标节点为止。
这种方法具有一定的随机性，也需要合适的游走策略，不同的策略可能会得到不同的结果。
在深度学习领域，随机游走方法最典型的应用就是基于图卷积神经网络的图节点分类问题。
在图中，节点之间的连接形成了复杂的拓扑关系，传统的卷积运算无法在图上直接实现，于是就有了基于随机游走方法的图卷积神经网络算法。
它通过对节点进行随机游走来获取节点之间的相似度或者图的结构化表示，从而解决了传统卷积算法难以处理的图像上的分类问题。
另外，随机游走方法在社交网络分析中也有着重要的应用。
社交网络可以看做一个巨大的图，每个社交关系都可以用一条边来表示，通过随机游走的方法可以发现相近的节点或社区，从而进行社交网络分析和社区发现等操作。
随机游走方法的改进和挑战虽然随机游走方法在深度学习领域中被广泛应用，但是它也面临一定的挑战。
随机游走方法需要考虑到这样一个问题，即如何在遍历图时保证全局性和局部性的平衡。
全局性指的是需要覆盖整个图的节点，保证结果的完备性，而局部性指的是需要保证节点的邻域信息得到充分利用，提高性能。
目前，随机游走方法的改进主要有两种方向。
一方面是基于深度学习的随机游走方法，这类方法融合了深度学习的方法，通过神经网络来学习随机游走过程中的权值，优化遍历图时节点的重要性，提升整个方法的效果。
参加第九届“明日科技之星” 科学探究实践活动入围名单
市统一编 号 5 27 79 162 165 220 2 6 21 24 45 48 53 55 69 87 91 94 95 102 103 姓名 钟佳耘 程嘉颖 周旻娴 陈曦 张奕芸 熊家睿 黄涛 丁瑞 沈斐然 龚学能 陈力铭 陆苇 郑拓 于影 曹旻淳 于智洋 沈勇杰 王昕瑶 王致远 周润东 阎 晗 参评项目名称 修正液对蚂蚁的毒性影响 毒隐翅虫提取液对皮肤损伤的观察及其应用探索 水黾足部跗节疏水物质特性及其形态学初步研究 可吸入粉笔尘对不同周龄大鼠肺部的影响 反式脂肪酸对小鼠行为的影响 丰富环境对竞争力的影响 万花筒式滤镜 基于移动RFID的医疗器械与药品监控系统 低碳·快捷·智能型停车场 无害型耳机的设计及制作 能醒目显示失效状态的警示性干粉灭火器 感应车辆排队长度控制红绿灯转换系统 复杂立面上的全方位移动机构 用于提高LED光引出效率的新型表面粗糙化方法的研究 对于小区停车场的改进与创新 防窃防强拎包 全足控电动三轮自行车 不用电池的环保遥控器 居中炉架 餐饮店卫生间照明节电系统 防溢节水装置 学科 动物学 动物学 动物学 动物学 动物学 动物学 工程学 工程学 工程学 工程学 工程学 工程学 工程学 工程学 工程学 工程学 工程学 工程学 工程学 工程学 工程学
探究罗马甘菊精油和玫瑰精油对wky鼠抑郁症状的治疗 医药与健康学 作用
1 38 88 89 137 195 213
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2 维随机游走
在得到了二维随机游走的结果后,由于 2 维可以看作是 n个二 维情况的简单叠加,因此我们可以以类似的方法将2 n 几个Bernoulli 概型进行叠加,从而得到维随机游走的结论.然而,由于每一次使用 k k N k Bernoulli概型时,它的分布 CN p q 中的 N 总是一个变量,所以 得到的表达式是十分复杂的,也不易于计算.因此,本文中并没有给 出计算.
\ a b c d mod2, 0, i N bd i a c i a c i a c N i bd N i bd N i bd i i N i PB C N p q m n Ci 2 p 2 q 2 Ci 2 m 2 n 2 , i a c i a b c d mod2.
\ amod2 0, i N b i a i a i a N i b N i b N i b i i N i 2 2 2 2 2 2 PB C N p q m n Ci p q Ci m n , i a i amod2
C
N g h c 2 N g h
p
N g h c 2
q
N g h c 2
三维随机游走
推论4：一质点在一个三维坐标空间Oxyz上随机游走,从点 d , e, f 出发.向x 轴正方向移动的概率为 p ,向x 轴负方向移动的概率为q , 向 y 轴正方向移动的概率为m,向 y 轴负方向移动的概率为 n ,向 z 轴 正方向移动的概率为 s,向 z 轴负方向移动的概率为 t , 且 p, q, m, n, s, t 0 , p q m n s t 1 . * 设事件 T：共走了N 步, N N ,到达了点 a, b, c （假设 a, b, c 0 , a d , b e ,c f ）, a b c N .则：
三维随机游走
引理1 一个袋子中有 A个白球, B 个黑球,D个红球（各球形状大小均 无差异）. 现有放回的从袋子中摸球,问：在n 次摸球中恰好摸到 a
个白球, b 个黑球,（ n a b 个红球）的概率是多少？ 设上述事件为事件 S ,可得：
a b Cn Cn Aa Bb D na b PS A B Dn
一维随机游走
推论2：从零点出发在数轴上一维随机游走, 向右走的概率为 p , 向左走的概率为 q ,且 p, q 0, p q 1 . * 设事件 A ：在 N 步之内（包括第N 步）到达了点 a, a N , N N . 则 i a i a i a N P( A) C 2 p 2 q 2 ,其中 i amod2 .
一维随机游走
推论1. 假设一点从点 i 出发,在数轴 x上一维随机游走, 向右走的概 率为 p,向左走的概率为q ,且 p, q 0, p q 1. * 设事件 A：共走了N 步, N N ,到达了点 j, j i N . 则.
\ j i(mod2) 0, N P( A) N j i N j i N j i . 2 2 2 C p q ，N j i(mod2) N
i a
i
二维随机游走
定理2. 假设一点在二维坐标系 xOy 上进行随机游走,从原点出发, 每一次沿坐标轴移动一个单位,向右走的概率为p ,向左走的概率 为q ,向上走的概率为 m ,向下走的概率为n , 且 p, q, m, n 0, p q m n 1. * 设总步数为 N . 设事件B ：共走了N 步, n N ,到达了点 a, b （假设 a, b 0）, a b N. 运用两次Bernoulli概型的叠加，可得：
定理4：在一个环上,有M 个点,各点之间的距离相等,且均为一个 单位长度.假设一点从某点 O 出发,每一次沿环上移动一个单位长 度,假设向顺时针方向移动一个单位的概率为 p ,向逆时针方向移 动一个单位的概率为 q ,且 p, q 0 , p q 1 . 设事件 A ：走了N 步后到达点 a （点与点顺时针方向相距 a ,逆时 * a N , N N M a 针方向相距 ）, .则：
n
n
P M
G n 1,
2
n
Aj
j 1 n
i 1
Ak k 1
n
PM G
B1, , B2 ,..., Bn n
pj j
B j 1
n
多维随机游走
通过这个问题，多维随机游走也可以类比于三维随机游走得出结 果.
多维随机游走
猜想 假设在一个 n 维坐标空间上随机游走,从原点出发.向x i 轴 正方向移动的概率为 pi ,向 x i 轴负方向移动的概率为 q i ,其 中 i 1,...,n , n 且 pi , qi 0 , pi qi 1 .
为方便表示，不妨记 C C C G B D q r q r 即为每一次摸球摸到白 A B D ， A B D（事实上 p ，， 球、黑球和红球的概率），有 p q r 1 .
a1 n a2 n an n a1 ,a2 ,..., an p ， n
\ a b c d e f mod2 0, N g a d g a d g a d N bc e f N ac d f g ,h g h N g h PT Cg 2 p 2 q 2 GN p q m n s t h b e g a d hbe hbe hbe N g h c f N g h c f N g h c f 2 2 2 C 2 p 2 q 2 C p q , N g h h N a b c d e f mod2 , g amod2 , h bmod2 .
华东师范大学第二附属中学 作者：高二（7）班 顾韬 景琰杰 指导教师：张成鹏
研究背景
“随机游走”（random walk）是指基于 过去的表现,无法预测将来的发展步骤和方向. 随机游走问题最早来源于“梅茵街的醉汉”问 题：一个醉汉从酒店出发,向左和向右走分别有 一个概率,那么他回到家的概率是多少？这是一 个有趣的概率问题,引起了我的兴趣,同时,在思 考解决这个问题的基础上,我想是否也可以解决 在二维坐标平面内的随机游走问题,甚至是在多 维空间内的？在环上进行的随机游走问题呢？ 于是,我试图去解决这些问题.
A A B D，
三维随机游走
则上式可表示为：
a,b a b na b PS Gn pqr
a,b Gn pa qb 1 p q
nab
三维随机游走
定理3. 假设一点在一个三维坐标空间 x y z 上进行随机游走,从 原点出发,每一次沿坐标轴移动一个单位,向 x轴正方向移动的概率 为 p , 向 x轴负方向移动的概率为q ,向 y 轴正方向移动的概率为m, s ,向 z 轴 向 y 轴负方向移动的概率为n ,向 z 轴正方向移动的概率为 负方向移动的概率为 t ,且 p, q, m, n, s, t 0 , p q m n s t 1 . * abc N 设事件 T ：共走了 N 步, n N ,到达了点 a, b, c ， （暂时假设 a, b, c 0 ）. g a g a g a h b h b h b bc a c g ,h p q g m nh s t N g h Cg 2 p 2 q 2 Ch 2 p 2 q 2 PT GN g a h b
一维随机游走
定理1. 假设在一维坐标轴 x轴上一维随机游走,从原点出发,向右走 的概率为 p,向右走的概率为q ,且 p, q 0, p q 1 .
设事件 A 为：共走了N 步, n N * ,到达了点 a, a N . 运用Bernoulli概型，可得：
\ a(mod2) 0, N P( A) N a N a k 2 2 C N p q ，N a(mod2)
P A C
i 1
u
N a iM 2 N
N a iM N a iM N a2iM N a2iM 2 2 p q p q
其中 u max u : u M N , u N
N a M
.
项目的未来期望
1、寻找并建立更好的模型。 2、尝试解决解决树上的随机游走问题。 3、给出三维、多维随机游走的渐进公式， 方便实际运用。
n
n
多维随机游走
引理2 一个袋子中有 A1个 a1 球,A2 个a2 球,…,Ak 个ak 球（各球形状 大小均无差异）. 现有放回的从袋子中摸球,问：在n 次摸球中恰 好摸到 B1个 a1 球,B2 个a2 球,…, Bk个ak 球的概率是多少？ 设上述事件为事件 M .
n A i . 每次有 Ai 个样本点,又因为共摸球n 次,所以样本点共有 i 1 i 1 Aj p 可得 n 设 j ,则 n Ai B , B ,..., B
i 1
设事件 R ：共走了N 步, N N ,到达了点a1 , a2 ,...,an 坐标（假设 ai 0 ）, a N . n i 记 i 1 a ,则：
i 1
i
P R
N a1 N a2
二维随机游走
推论3. 一质点在二维坐标系xOy 上进行随机游走,从点c, d 出发 ,向右走的概率为 p ,向左走的概率为 q ,向上走的概率为m ,向下 走的概率为 n ,且 p, q, m, n 0, p q m n 1 . 设事件 B：共走了 N 步, N N * ,到达了点 a, b （假设 a, b 0）, a b N .则：