第3章 矩阵的分解
第三章 矩阵的标准型与若干分解形式
ki ki
, Ps ) ( P 1, P 2, i 1, 2,
APi Pi J i
Pi ( Pi1 , Pi 2 ,
A( Pi1 , Pi 2 ,
, Pi ,ki )
APi Pi J i
, Pi ,ki )
i 1 i 1 ( Pi1 , Pi 2 , , Pi ,ki ) i 1 i APi , j i Pi , j Pi , j 1 j 1, 2, , ki 1 AP P i , k i i , ki i
性质1 （行列式因子的整除性质）
Dn ( ) E A , Dk 1( ) Dk ( ), k 2, 3,
定义3 （不变因式、初级因子）
,n
D3 ( ) D2 ( ) d1 ( ) D1 ( ), d 2 ( ) , d 3 ( ) D1 ( ) D2 ( ) Dk ( ) Dn ( ) , d k ( ) , , d n ( ) Dk 1 ( ) Dn1 ( ) 上述n个多项式称为 A( ) 的不变因式。把每个次数
1 1 1 k1 k2 ( E A, p3 ) 2 2 2 k1 1 1 1 k 2
1 1 1 k1 k2 k1 2 k 2 0 0 0 0 k1 2k2 k 2 k 0 1 2 0 0 0 k 2k 1 2 1 取 k 2, k 1 p 2 1 2 3 1 1 再求 ( E A) p p 2 3 p2 1 1 x1 1 1 1 1 2 2 2 x 2 2 1 1 1 x 1 3
矩阵分析报告课后习题解答(整理版)
第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
矩阵理论第3章习题解答
4设 是 阶的实对称矩阵，并且 你能用几种方法证明
证：（1）设 是矩阵 的一个特征值， 是对应于 的一个非零特征向量，即 所以 即 所以矩阵 的特征值全为零，又 酉相似与对角矩阵 所以
（2）设 则 Βιβλιοθήκη 题设矛盾，所以结论成立。5试证：对于每一个实对称矩阵 ，都存在一个 阶方阵 ，使 。
证：矩阵 是一个对称矩阵，则 酉相似于一个对角矩阵，即
令 ，则
又由 令 则 。
7证明：一个正规矩阵若是三角矩阵，则它一定是对角矩阵.
证明参考课本101页引理3必要性的证明.
8证明：正规矩阵是幂零阵 的充要条件是
证：充分性： 则结论显然。
必要性：若 ，由题设矩阵 是正规矩阵，则 酉相似于一个对角矩阵，即
证：必要性：设 为正定的Hermite矩阵，根据定义有 ，即 ，同时有 所以
充分性：设 ，则 ，则矩阵 是Hermite矩阵。由于矩阵 是正定Hermite矩阵，存在一个正定的Hermite矩阵 ，使得 则有 对矩阵 施行相似变换： 则矩阵 与矩阵 有相同的特征值，且 是Hermite矩阵.
对 可得 即 是正定的Hermite矩阵，所以其所有的特征值为正，从而矩阵 所有的特征值为正，即矩阵 为正定的Hermite矩阵.
矩阵 的特征值为 ；其对应的特征向量构成的矩阵为
则酉变换为
13设矩阵 的最大秩分解为 ，证明：
证：充分性显然。
必要性：（反证法）如果存在向量 使得 ，但 ，令 ，则 。由于 是矩阵 的最大秩分解，则矩阵 的列向量是线性无关的，如果 ，则 ，从而 ，与题设矛盾，所以 。
15设 ， 均为正定矩阵的Hermite矩阵，则 为正定的Hermite矩阵的充要条件是 .
免费第3章课件 线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组
什么？
A B , 如何把它们用等号联系起来？
-17-
T 回顾 ei A ? Ae j ?
a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a 32
a13 r1 r3 a 23 a 33
a 31 a 32 a 21 a 22 a11 a12
( 2) kci ( k 0) ( 3) ci kc j
以上六种变换统称为矩阵的初等变换
-6-
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 kri ri 逆变换 k ri krj 逆变换 ri kr j
初等列变换也有类似的结果
-7-
B [ Ae1 , Ae2 , A( ke3 )] A[e1 , e2 , ke3 ]
a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
把单位矩阵作同样变换得 到的矩阵放在A的右边！
方程组与增广矩阵是一一对应关系, 我们用增广 矩阵来写求解过程
2 1 2 4 ~ A 1 1 2 1 4 1 4 2
-2-
首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程
组也称等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里
就不区分了)
2 1 2 4 ~ r1 r2 A 1 1 2 1 4 1 4 2
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
第三章 矩阵分解3.3
例3.4 求矩阵
1 −1 −1 A = 1 1 −1 1 1 1
矩阵论
的UR分解. 分解. UR分解
解：令 a1 = (1,1,1)T , a2 = (−1,1,1)T , a3 = (−1, −1,1)T 正交化得 b1 = a1 = (1,1,1)T
b2 = a 2 − a 2 , b1 1 4 2 2 b1 = a 2 − b1 = ( − , , ) T b1 , b1 3 3 3 3
5
矩阵论
计算上三角矩阵
R = diag ( b1 , b 2 , ⋯ , b n ) C
6 = 1 1 1 1 2 7 6 6 1 = 3 1 6 3 7 6 1 3 1 2
西安理工大学
1
矩阵论
证明： 证明： 设 A 的n个列向量依次为 a1, a2,⋯, an 个列向量依次为 非奇异， 所以n个列向量线性无关 因为 A 非奇异， 所以 个列向量线性无关 按Schmidt正交化方法正交化，求n 个标准正 正交化方法正交化， 交列向量 q1, q2 ,⋯, qn b = a1 1 a1, a2 ,⋯, an正交化有 对 其中 kij =
西安理工大学
1 1 1 − 3 3 1 C = 1 2 1
7
矩阵论
计算上三角矩阵
3 R = 1 3 1 1 3 − 3 1 1 = 2 1 2 1 3 4 6 −1 3 2 6 2
矩阵论
矩阵的UR UR分解 §3.3 矩阵的UR分解 定义3.9如果非奇异矩阵 定义3.9如果非奇异矩阵 A ∈ C n×n 能够分解成 3.9 正交（ 正交（酉）矩阵 U 与非奇异上三角矩阵 R 的乘积 UR分解 分解. A = UR 则称为 A 的UR分解. 则存在酉矩阵 定理3.10 设 A 是 n 阶非奇异矩阵， 阶非奇异矩阵， 定理3.10 U 和非奇异上三角矩阵R, 使 A 有UR分解； UR分解 分解； 和非奇异上三角矩阵R, 且除去相差一个对角元素的绝对值（ 且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等 对角元素的绝对值 的对角矩阵因子外， 唯一的 于1的对角矩阵因子外，分解是唯一的. 的对角矩阵因子外 分解是唯一
线性代数习题册(第三章 矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)
(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X） （X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0
1≤i< j≤n
1
xn
x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；
1
1 0
0
0
a11 a21
a12 a22
a13 a23
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33
线性代数3-3 初等矩阵
变换
ri
k
的 逆 变 换 为 ri
1， k
则 E(i(k ))1 E(i( 1 )); k
变换 ri krj 的逆变换为 ri (k )rj ,
则 E( j(k), i)1 E( j(k), i).
对矩阵进行初等变换，可以用相应的初等矩阵左乘 或右乘矩阵来表示.
第三章 矩阵的运算
行变换，相当于在A的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相 应的n 阶初等矩阵.
第三章 矩阵的运算
根据定理，可以把矩阵的等价关系用矩阵的乘法表示
推论1 m n矩阵A B的充分必要条件是存在m阶初等 矩阵P1, P2 , , Pl , 及n阶初等矩阵Q1,Q2 , ,Qt ,使得
1 1 4 0 1 0 1 1 4 0 1 0
r3
2 r2
~
0
1
2
1
0
0
r3
3r2
~
0
1
2
1
0
0
0 3 8 0 2 1 0 0 2 3 2 1
第三章 矩阵的运算
1 1 4 0 1 0 1 1 0 6 3 2
r3
3r2
~
0
0
初等行变换
~ 即， A E
E A1
第三章 矩阵的运算
0 1 2
例1 已知A 1 1 4，求A1.
解：
2 1 0
0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0
A E 1
1
4
0
1
0
r1 r2
~
0
1
2 1 0 0
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式-2
§5 多项式矩阵的互质性与既约性一、多项式矩阵的最大公因子定义3-10 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个右公因子，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD 使得：()()()()()()λλλλλλR D D R N N ==,。
类似地可以定义左公因子。
定义3－11 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个最大右公因子（记为gcrd ），如果：（1）()λR 是()()λλD N ,的右公因子；（2）()()λλD N ,的任一右公因子()λ1R ，都是()λR 的右乘因子，即存在多项式矩阵()λW ，使得()()()λλλ1R W R =。
对任意的n n ⨯与n m ⨯的多项式矩阵)(λD 与)(λN ，它们的gcrd 都存在。
因为T T T N D R ))(),(()(λλλ=便是一个。
定理3－13 (gcrd 的构造定理) 对于给定的n n ⨯和n m ⨯多项式矩阵()()λλN D ，，如果能找到一个)()(m n m n +⨯+的单模矩阵()λG ，使得()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡022211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G 3-13 则n n ⨯多项式矩阵()λR ，即为()λN 和()λD 的gcrd 。
证明：（1）证明()λR 是右公因子。
设()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-λλλλλ222112111F F F F G ，则()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλλλλλλλλλλR F R F R F F F F N D 2111222112110。
（2）证明()λR 是gcrd 。
设()λ1R 也是()()λλD N ,的右公因子，故有()()()()()()λλλλλλ1111,R D D R N N ==。
[荐]矩阵分解在考研线代中的应用
![[荐]矩阵分解在考研线代中的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/2fa333e04431b90d6d85c7ae.png)
矩阵分解在考研线代中的应用一、矩阵分解是什么？在此仅谈考研数学中常用的矩阵分解的构思C=AB，将一个矩阵C拆分为两个矩阵的乘积AB，有时候方便研究问题，在求行列式，讨论秩，相似等均有应用和考察。
二、什么时候想矩阵分解？矩阵分解：若一个矩阵B的每一列向量都可以由另一个矩阵A的列向量组线性表示（特征），则可对B进行矩阵分解为：B=AC，其中C 是对应的表示系数矩阵（构思）。
例：如上图B的每一个列向量均可由A的列向量线性表示。
特征：回答了什么时候用的问题，构思：回答了怎么用的问题。
[相关知识链接]：向量β，α1，α2，···αn,若存在一组数k1,k2,···kn,使得β=k1α1+k2α2+···+knαn,则称β可以被α1，α2，···αn向量组表示。
α+2β=α+2β+0γ，向量α+2β可被向量组：α、β、γ表示请仔细观察下面例题，为什么想到想到用矩阵分解？（一）、矩阵分解在行列式中的应用例.设3阶矩阵A=（α1，α2，α3），|A|=1，B=（α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3），求|B|=？分析：抽象行列式，主要利用行列式、矩阵，相似的性质及结论来求解。
一眼可见B的每一列向量，都可以由A的列向量组表示，立马想到矩阵分解B=AC关于C=AB的理解：表示与秩的构思理解角度1：C=AB表示角度结论.矩阵C=AB的列向量可由A的列向量线性表出；.矩阵C=AB的行向量可由B的行向量线性表出。
[对比记忆]：C=AB····即AB=C，对比向量方程：AX=C，C的列向量可以由A的列向量表示。
亦可结合具体的例题来理解抽象的理论文字语言，如上题B的每一列向量都可由A的列向量线性表示。
一个具体的解决解决几个问题。
同理：对B, C按行分块，可见：C的行向量可以由B的行向量组表示。
第三章matlab矩阵运算
3.2.3 坐标变换函数（P52）
例3-23 将迪卡尔坐标系中（1，1，1）分别转换到球坐 标系和极坐标中。 [THETA,PHI,R]=cart2sph(1,1,1) P= [THETA,PHI,R] [THETA,PHI,Z]=cart2pol(1,1,1) Q= [THETA,PHI,Z] R=[P;Q]
ankn
例3-3 求向量eye（4)，magic（4）和A=[1,2,3 ;4,5,6;7,8,9]的行列式。 det(eye(4)); det(magic(4)); det(A);
4．矩阵的行列迹： 矩阵的迹定义为对角元素之和。Matlab中用函数trace（ ）来计算矩阵的行列式。 例3-4 求向量eye（4)，magic（4）和A=[1,2,3 ;4,5,6;7,8,9]的行列式。 trace(eye(4)); trace(magic(4)); trace(A);
2．LU分解：
LU分解是将任意一个方正A分解成为一个交换下三角矩阵 L(或是排列(permuted) 的上三角形矩阵)和一个上三角矩 阵U的乘积，A=LU，在Matlab中用函数lu来计算LU分解
例3-14 求矩阵A=[1,4,2;5,6,9;4,1,8]的LU分解，
[L1,U1]=lu(A)
L1*U1
R=rref(A2)
9．矩阵空间之间的角度：
矩阵空间之间的角度代表具有相同行数的两个矩阵线性 相关程度，夹角越小代表线性相关度越高。Matlab中用函 数subspace（）来计算矩阵空间之间的角度。
例3-9 求矩阵A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]和A2=[1,2;3 ,4;5,6]之间的夹角Q。
第三章矩阵的标准形和若干分解形式
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式§1 矩阵的相似对角形一、知识回顾1．线性变换在两组基下的矩阵相似，相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵。
2．特征值与特征向量，特征子空间λV 及其维数，特征值的代数重数与几何重数。
3．矩阵与对角形相似的充要条件：有n 个线性无关的特征向量。
4．矩阵与对角形相似的充分条件：有n 个不同的特征值。
若A 为n 阶矩阵，矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a aa a a A E λλλλ212222111211称为A 的特征矩阵。
又多项式n i n i n n a a a A E f +++++=-=-- λλλλλ11||)(称为A 的特征多项式，这里A aa ni ii∑=-=-=11tr ，||)1(A a n n -=，i a 是A 的所有i 阶主子式的和与i)1(-的乘积。
A tr 叫A 的迹。
属于矩阵A 的同一个特征值0λ的所有特征向量连同零向量一起，构成一个线性空间0λV ，称为A 的特征子空间。
特征子空间0λV 的维数不超过特征根0λ的重数。
二、寻找矩阵的相似对角形的方法例3-1 研究下列矩阵是否能与对角形相似(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=121101365A ，(2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，(3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013A 。
提示：(1) 31,31,2321-=+==λλλ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3213,3213,011321x x x ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+----=32320111332P ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++--=-633321332163332133210311P 。
(2) 5,1321=-==λλλ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3213,3213,011321x x x ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111110101P ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-111121112311P 。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
r2r3
12 00
3 45 002
0.5×r2
12 00
3 40 001
0 0 0 0 0 r1+(-5)r2 0 0 0 0 0
例：继续将A的行简化阶梯形化为标准形。
1 2 3 4 0 1 0 0 0 0
A 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
结论：任意矩阵Am×n总是与一个行阶梯形矩阵或行 简化阶梯形矩阵等价，也与一个标准形矩阵等价。
转例
注：矩阵A的行阶梯形矩阵中非零行的数目， 称为A的秩R(A)。
➢矩阵在作初等变换后其秩不改变，即 若A→B，则R(A)=R(B)。
➢矩阵秩的性质： （1）0 R( Amn ) min{ m, n}
（2）R( A) R( AT )
转例
3.1 线性方程组的增广矩阵
线性方程组的一般形式为
a11x1a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2 a2nxn b2
———
2 10 -2 -2 1 -9 3 7 3 8 -1 1
r1+r4×(-2)
———
0 14 -4 -8 1 -9 3 7 3 8 -1 1
1 -2 1 3
1 -2 1 3
1.2 初等矩阵 初等矩阵一定是方阵
定义：对单位矩阵E作一次初等变换后，得 到的矩阵称为初等矩阵。
初等矩阵有如下三种类型（对应于三种变 换），分别记作P ( i,j )，P (i[k])，P (i,j[k]) 。
对上式现右乘A-1，得 Ps Ps-1 P2 P1 AA-1 EA-1
则有 Ps Ps-1 P2 P1 E A-1 表明，通过有限次的初等行变换，将可逆矩 阵A化为E的同时，单位矩阵E则化为A-1 。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
0 0 1
0
0
2
类型二、含参数线性方程组解的讨论
2010年期末考题 课后题16
四、（12分）设有线性方程组：
x1x1xx22
x3 x3
1
x1
x2
x3
2
问 取何值式时，此方程(1)有唯一解，(2) 无解，(3) 有无限
多解？并在有无限多解时求其通解。
答案：(1) 1且 -2有唯一解；(2) -2无解； （3） 1有无限多解，
x1 1 1 1
x2 c1 1 c2 0 0
x
3
0
1 0
2011年选考题
四.(12分)当c, d取何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1
3xx2 122xx3 22xx34
x4 3x5 6x5 3
c
5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 d
并在有无穷多解时求其通解。
答案：(1) 1或 10，有唯一解， (2) 10,
2 2 1
(3)
1,
通解c 1
1
c 2
0
0
0 1 0
类型三、判断线性方程组的解
2009年期末考题
4. 设B是数域K上的n阶可逆矩阵，对应K中任意n个数b1,…,bn,
x1 b1
线性方程组B
2x2 x3
x1
x2
2x3
2
当 取何值时有解？并求出它的通解。
1 1
答案：(1)=
1，通解c
1
0
1 0
1 2
(2)
2,
通解c
1
2
1 0
课后题18
设 (2 )x1 2 x2 2 x3 1
矩阵理论课件-第三章 矩阵的广义逆
注2：由定理2知
A In
I
m
初等变换
PAQ Q
P
Ir 0 Q
0 0
P
1 0 -1 1
例：设A=
0
2
2
2 ，求A{1}.
-1 4 5 3
解：由
A I4
I3 0
初等变换
I2 0 Q
0 0
P ，这里
0
1 0 1 1
1 0
P=
0
1/ 2
1 2
0 0 1
,
这里只是给出了A{1}的一个构造性描述,在使用上并不直接， 因为还要求出一个A(1).
推论2：方程组(1)相容的充要条件是AA(1)b b,且其通解为 x=A(1)b+(I-A(1)A) y, y Cn任意.
证明：定理1中，取D=b Cm,B=1即得.
注1:因为A+ A{1},故Ax=b相容时，通解为 x=A+b+(I-A+A) y, y Cn.
证明：由A的奇异值分解(r(A)=r),有A=V
Sr 0
0 0
U
H，其中
Sr diag{1, , r},i 0,U和V是酉阵.
令G=U
Sr1 0
AGA=V
Sr 0
0 0
VH
,
可以验证G满足方程1）-4）.如第1)3)方程
0 0
U
H
U
Sr1 0
0 0
VH
V
Sr 0
X=A(1) DB(1) +Y-A(1)AYBB(1).(2) 其中Y Cnq为任意.
证明：：若AA(1)DB(1)B D,令X=A(1)DB(1)则满足AXB=D. :若AXB=D有解,则D=AXB=AA(1) AXBB(1) B=AA(1) DB(1) B.
调度第3章问题解析
1.完成实验三，实验报告交到实验楼205室郑老师处，根据实验过程和结果，并查阅相关资料，在课堂教学中回答以下问题：(1)什么是一次调频、二次调频、三次调频？什么是频率调节系数？一次调频是指当电力系统频率偏离目标频率时，发电机组通过调速系统的自动反应，调整有功出力以维持电力系统频率稳定。
一次调频的特点是响应速度快，但是只能做到有差控制。
二次调频也称为自动发电控制（AGC），是指发电机组提供足够的可调整容量及一定的调节速率，在允许的调节偏差下实时跟踪频率，以满足系统频率稳定的要求。
二次调频可以做到频率的无差调节，且能够对联络线功率进行监视和调整。
三次调频三次调频就是协调各发电厂之间的负荷经济分配，从而达到电网的经济、稳定运行！其实质是完成在线经济调度，其目的是在满足电力系统频率稳定和系统安全的前提下合理利用能源和设备，以最低的发电成本或费用获得更多的、优质的电能。
系统的频率调节系数，即系统的单位调节功率，它表示在计及发电机和负荷的调节效应时，引起的、频率单位变化的负荷变化量。
(2)对有功负荷、系统频率、联络线有功功率之间的变化关系进行分析。
联络线交换功率取决于两个系统的单位调节功率、二次调频的能力及负荷变化情况。
若互联系统发电机功率的二次调频增量能与全系统负荷增量相平衡，则可实现无差调节；否则，将出现频率偏移。
当联络线功率超过线路允许范围时，即使互联系统具有足够的二次调整能力，由于受联络线交换功率的限制，系统频率也不能保持不变。
(3)要保证联络线上有功功率执行计划值，应该如何进行调频。
实行电力系统有功功率的最优分配，目的是在满足对一定量负荷持续供电的前提下，使发电设备在产生电能的过程中消耗的能源最少，即满足等耗量微增率准则。
在调节联络线上有功功率时，一般不希望联络线上传输功率变化增量太大，又能做到各分区的平衡。
2.阅读教材、查阅资料、讨论，结合实验三的完成，回答以下问题：(1)什么是分解、分层、等值方法？如何进行数学定义和描述？分解：把一个大的系统并列分解为一些分系统（分地区发供电，各地区间只有少数几条联络线相联系），分别进行处理，并考虑它们之间的相互作用（协调处理或聚合处理，联络线作为协调对象，联络线两端的母线，既要满足各地区系统的运行状态，还要满足互联区的运行状态）。
第三章第一讲矩阵的初等变换
= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
1 −2 1 1 −1 1 0 0
4⎞ ⎟ 0⎟ = B3 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 1 −3 ⎠
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 ⎪ x 2 − x 3 + x4 ⎪ ⎨ 2 x4 ⎪ ⎪ x4 ⎩
① ② ③ ④
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ 2 x − x − x + x = 2, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, ⎪ 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9. ⎩
②－③ ③－2×① ④－3×①
① ② ③ ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r1 − r2
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B4 0 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0 0⎠
r2 − r3
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
0 −1 0 1 −1 0 0 0
4⎞ ⎟ 3⎟ = B5 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎠
通识教育必修课程——线性代数
③ ④
④－2×③
= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r3 ↔ r4 r4 − 2r3
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B3 0 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 0 1 −3 ⎠
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ x2 − x3 + x4 = 0, ⎪ ⎨ x4 = −3, ⎪ ⎪ 0 = 0. ⎩
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式-2
§5 多项式矩阵的互质性与既约性一、多项式矩阵的最大公因子定义3-10 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个右公因子，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD 使得：()()()()()()λλλλλλR D D R N N ==,。
类似地可以定义左公因子。
定义3－11 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个最大右公因子（记为gcrd ），如果：（1）()λR 是()()λλD N ,的右公因子；（2）()()λλD N ,的任一右公因子()λ1R ，都是()λR 的右乘因子，即存在多项式矩阵()λW ，使得()()()λλλ1R W R =。
对任意的n n ⨯与n m ⨯的多项式矩阵)(λD 与)(λN ，它们的gcrd 都存在。
因为T T T N D R ))(),(()(λλλ=便是一个。
定理3－13 (gcrd 的构造定理) 对于给定的n n ⨯和n m ⨯多项式矩阵()()λλN D ，，如果能找到一个)()(m n m n +⨯+的单模矩阵()λG ，使得()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡022211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G 3-13 则n n ⨯多项式矩阵()λR ，即为()λN 和()λD 的gcrd 。
证明：（1）证明()λR 是右公因子。
设()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-λλλλλ222112111F F F F G ，则()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλλλλλλλλλλR F R F R F F F F N D 2111222112110。
（2）证明()λR 是gcrd 。
设()λ1R 也是()()λλD N ,的右公因子，故有()()()()()()λλλλλλ1111,R D D R N N ==。
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2,正规矩阵的基本特性 定理3 .78 定理3.10 (P.78 ) : A∈Cn×n正规A酉相似于对角形. 正规 酉相似于对角形.
推论:正规A 推论:正规A∈Cn×nA有n个标准正交的特征 向量构成空间C 的标准正交基. 向量构成空间Cn 的标准正交基.
定理3 11( .80 )(正规矩阵的谱分解 定理3.11(P.80 )(正规矩阵的谱分解) 正规矩阵的谱分解) Hermite A正规A有如下谱分解: 正规 有如下谱分解: 性
已知:欧氏空间中的对称矩阵A 已知:欧氏空间中的对称矩阵A可以正交 相似于对角形. 相似于对角形. 讨论:一般方阵A 讨论:一般方阵A ,在什么条件下可以 酉相似于对角矩阵? 酉相似于对角矩阵? 在内积空间中讨论问题,涉及: 在内积空间中讨论问题,涉及:
空间 Cn, Cn×n, 酉矩阵U 酉矩阵U,UHU=I, U – 1=UH U=I, 酉相似: 酉相似: UHAU=J U–1 AU=J 重点: 重点:理论结果
三角分解 满秩分解 等价标准形 相似标准形
可对角化矩阵的谱分解
一,矩阵的三角分解
方阵的LU和LDV分解 方阵的LU和LDV分解(P.61) 分解( .61
LU分解:A∈Fn×n, 存在下三角形矩阵L , LU分解: 存在下三角形矩阵L 分解 上三角形矩阵U 使得A=LU. 上三角形矩阵U ,使得A=LU. LDV分解 LDV分解:A∈Fn×n, L,V分别是主对角线 分解: 元素为1的下三角形和上三角形矩阵, 元素为1的下三角形和上三角形矩阵,D为 对角矩阵,使得A=LDV. 对角矩阵,使得A=LDV. 已知的方法:Gauss已知的方法:Gauss-消元法 例题1 .61eg1 例题1 (P.61eg1)设 2 2 3
A∈C m×n,AHA∈C n×n,AAH∈C m×m , A 都是Hermite矩阵 矩阵. 都是Hermite矩阵. 定理3 12 定理3.12(P.82)
1. 秩(A)=秩(AHA)=秩(AAH). )=秩 2. AHA 和AAH 的非零特征值相等. 的非零特征值相等. 3. AHA和AAH 是半正定矩阵. 是半正定矩阵. AHA和AAH 的特征值是非负实数:λ1 ≥ λ2 ≥… ≥ λn 的特征值是非负实数:
2
λn
二,正规矩阵(Normal Matrices) 正规矩阵(
1, 定义3.3(P.77 )A是正规矩阵 AHA=AAH. 定义3 常见的正规矩阵: 常见的正规矩阵:
对角矩阵 对称和反对称矩阵:AT=A,AT=–A. 对称和反对称矩阵: =A, Hermite矩阵和反 Hermite矩阵和反Hermite矩阵:AH=A,AH=–A 矩阵和反Hermite矩阵 矩阵: =A, 正交矩阵和酉矩阵: =I, =I. 正交矩阵和酉矩阵:ATA=AAT=I,AHA=AAH=I. 例题1 .78 10) 为正规矩阵, 酉相似于A 例题1 (P.78,eg 10)设A为正规矩阵,B酉相似于A, 证明B也是正规矩阵. 证明B也是正规矩阵. 正规是酉相似的不变性质 例题2 例题2,A∈Fm×n,矩阵AHA 和矩阵AAH是正规矩阵. 矩阵A 和矩阵AA 是正规矩阵.
A = ∑ λi Pi
i =1
s
Pi = Pi , Pi = Pi Pi Pj = 0 i ≠ jFra bibliotek2 H∑
i =1
s
Pi = I
3,正规性质的应用举例 例题1 .79 eg12) 例题1(P.79 ,eg12) 例题2 例题2 设A∈Rn×n,AT=–A,证明
1. A的特征值是零和纯虚数. 的特征值是零和纯虚数. 2. 矩阵A的秩是偶数. 矩阵A的秩是偶数.
i
σr
σi
扩充为标准正交基 酉矩阵U. 酉矩阵U
1 1 例题1 求矩阵A的奇异值分解, 例题1 求矩阵A的奇异值分解,A= . 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 求矩阵A的奇异值分解, 求矩阵A的奇异值分解,A= 0 0 0
QR分解 QR分解
2 2
1
定理3 定理3.8(P.76) :设矩阵A∈Cm×n是列满秩的矩阵,则 是列满秩的矩阵, 矩阵A可以分解为A=QR,其中Q 矩阵A可以分解为A=QR,其中Q ∈Cm×n的列向量是标准 正交的向量组, 正交的向量组,R ∈Cn×n是主对角线上元素为正数的上三
角形矩阵. 角形矩阵.
2 ,Schur 分解 定理3.7( 对矩阵A 定理3.7(P.74 )对矩阵A∈Cn×n,存在酉 矩阵U和上三角矩阵T 矩阵U和上三角矩阵T,使得 λ1 UHAU=T= λ 证明要点: 证明要点: A=PJ AP–1 , P=UR A= PJ AP–1 =U(RJR–1 )UH =UTUH. =U(
2,奇异值的定义: (P.72) 奇异值的定义: 72) A∈C m×n,秩(A)=r,设AHA的特征值λ1 ≥ λ2 ≥… 的特征值λ =0. ≥ λr > 0,λr+1= λr+2 =…=λ n =0.,则矩阵的奇异值
σi =
λi , i = 1,2 ,..., r .
3,特殊矩阵的奇异值: 特殊矩阵的奇异值: 定理3 13( 82): 定理3.13(P.82):
方法1 方法1: 方法2 方法2 例题1 例题1( P.68, eg4 ) 方法3 方法3 实用方法:方法3 实用方法:方法3
例题2 例题2 ( P.69,eg5)
例题3 例题3( P.70,eg6)
三,可对角化矩阵的谱分解
将方阵分解成用谱加权的矩阵和
λI A = ( λ λ1 ) ( λ λ2 ) ( λ λs )
r1 r2
谱:设A∈Fn×n ,
rs
则A的谱={λ1,λ2,…,λs}. 的谱={λ
1. 可对角矩阵的谱分解
分解分析: 分解分析: 分解结果: 分解结果:
s
∑
i =1
s
Pi = I
2
A = ∑ λi Pi
i =1
,P具性质 具性质:
Pi = Pi Pi Pj = 0 i ≠ j
幂等矩 阵
意义: 意义:可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和
二,矩阵的满秩分解
列 满 秩
定义3.2 (P.66 ) 行满秩 .66 如果存在秩为r 对秩为r 的矩阵A 对秩为r 的矩阵A∈Fm×n ,如果存在秩为r的矩阵 B ∈Fm×r,C∈Fr×n ,则A=BC为A 的满秩分解. A=BC为 的满秩分解. 定理3.2:任何非零矩阵A 定理3.2:任何非零矩阵A∈Fm×n都有满秩分解. 都有满秩分解. 满秩分解的求法: 满秩分解的求法:
第3章, 矩阵的分解
Matrix Factorization and Decomposition
矩阵分解的概述
矩阵的分解: 矩阵的分解: 矩阵分解的原则: 矩阵分解的原则:
实际应用的需要 显示原矩阵的某些特性 矩阵化简的方法之一 A=A1+A2+…+Ak A=A1A2 …Am 矩阵的和 矩阵的乘积
§3 . 3 矩阵的奇异值分解
Singular value decomposition (SVD)
§3.3 矩阵的奇异值分解
概述: 概述
矩阵的奇异值分解是酉等价型的分解: 矩阵的奇异值分解是酉等价型的分解: A∈C m×n, 酉等价型的分解 酉矩阵U V∈ 使得A=U 酉矩阵U∈C m×m, V∈C n×n ,使得A=U ∑VH.
A = 4 7 7 2 4 5 LU和LDV分解 分解. 求A的LU和LDV分解.
结论:如果矩阵A 结论:如果矩阵A能用两行互换以外的 初等行变换 化为阶梯形, LU分解 分解. 化为阶梯形,则A有LU分解.
三角分解的存在性和惟一性
定理3 定理3.1 (P.62) :
矩阵的k 阶主子式:取矩阵的前k行,前k列得到 矩阵的k 阶主子式:取矩阵的前k 的行列式,k=1, 的行列式,k=1,2, … ,n. 定理: A∈Fn×n有惟一LDV分解的充要条件是A的顺 定理: 有惟一LDV分解的充要条件是 分解的充要条件是A 序主子式A 非零, =1, 序主子式Ak非零,k =1,2,…,n-1. 证明过程给出了LDV分解的一种算法. 证明过程给出了LDV分解的一种算法. 分解的一种算法 定理3.2( .64) 定理3.2(P.64)设矩阵A∈Fn×n ,rank(A)=k(≤ rank( =k( n),如果A的j阶顺序主子式不等于0, j =1,2,…,k, ),如果 如果A 阶顺序主子式不等于0 =1, LU分解 分解. 则 A有LU分解. 定理条件的讨论 例题2 例题2 (P.65 eg2) .65 LU分解的应用举例 LU分解的应用举例
一, Schur 分解
1, 可逆矩阵的UR分解 可逆矩阵的UR分解
定理3 定理3.7(P.74)A∈Cn×n为可逆矩阵,则存在酉矩 为可逆矩阵, 和主对角线上元素皆正的上三角矩阵R 阵U和主对角线上元素皆正的上三角矩阵R,使 A=UR.( A=UR为矩阵 的酉分解) 为矩阵A 得A=UR.( 称A=UR为矩阵A的酉分解) 8 2 证明:源于Schmidt正交化方法 正交化方法. 证明:源于Schmidt正交化方法. 2 A= 1 7 1 例题1 求矩阵A UR分解 分解, 例题1 求矩阵A的UR分解,其中
二,矩阵的奇异值分解
1,定理3.14 定理3 14(P.83)
任何矩阵A 任何矩阵A∈C m×n,秩(A)=r,则存在酉矩 阵 U∈C m×m,V∈C n×n,使得 σ 1 σ 1 σ σ2 2
0
VH = σr 0 0 证明思想: 证明思想: 2 AHA正规,VHAHAV= 正规, 酉矩阵V 0 ,酉矩阵V. Avi ,i=1,2,…,r,得U1=[u1,u2, … ,ur] 令 =1, u = A =U
2, 矩阵可以对角化的一个充要条件 定理3 定理3.5(P.73 ) 矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A 矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱 2 分解 P =P