一元二次函数

一元二次函数一元二次函数是数学中常见且重要的函数类型。

它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不为零。

在本文中，我将介绍一元二次函数的特点、图像和应用，并且探讨一些与之相关的数学概念。

特点：1. 定义域和值域：一元二次函数的定义域为实数集R，即对于任意实数x，都存在函数值。

值域则取决于函数的开口方向和导数的正负性。

2. 对称性：一元二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。

对称轴的横坐标可以通过满足函数为0的x解出，即x = -b / (2a)。

这一点在求解函数的最值时有重要作用。

3. 零点：一元二次函数的零点即为使函数值等于零的横坐标。

零点可以通过求解ax^2 + bx + c = 0的根来获得，其中根的个数取决于判别式的值。

图像：一元二次函数的图像是一个抛物线。

抛物线的开口方向由二次项系数a的正负性决定。

当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))，其中f(-b/ (2a))表示在对称轴上的函数值。

应用：1. 物理学：一元二次函数可以用来描述抛体运动、自由落体等物理现象。

例如，抛出物体的高度与时间的关系就可以建模为一元二次函数。

2. 经济学：一元二次函数可以用来建立成本、收益、利润等经济指标之间的关系模型，帮助决策者做出更准确的经济预测和决策。

3. 工程学：一元二次函数在工程领域中也有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，可以利用一元二次函数来确定柱状物体的最佳高度；在电路设计中，可以利用一元二次函数来描述电流、电压等变量之间的关系。

数学概念：1. 判别式：一元二次函数的判别式决定了根的情况。

判别式的表达式为Δ = b^2 - 4ac，其中Δ大于零时，方程有两个不等的实根；Δ等于零时，方程有两个相等的实根；Δ小于零时，方程没有实根。

2. 最值：由于一元二次函数的图像是一个抛物线，它在对称轴上有一个极值点。

一元二次函数

x1， x2 ；这个时候我们设： y=a(x-x 1 )(x-x2)
解答：设 y=a(x-1)(x+3)
因为函数经过点（ 4,2），
所以： 21=a(4-1)(4+3)
解得： a=1
所以： y=(x-1)(x+3) 即： y=x 2+2x-3
一元二次函数
一、一元二次函数的定义形如 y=ax2+bx+c( 其中 a≠0)的函数称之为一元二次函数。
二、一元二次函数的图像及性质： y=ax 2+bx+c
(a≠ 0)
a>0
y
a<0 y
P
图像
x
y = f(x)
O
x
y = f(x)
O
P
对称轴顶点坐标
最值单调性
b
x=
2a
b 4ac b2
P(
,
)
么？解答： y=(x-1) 2+2 根据“左加右减”的原则，向左移动一个单位，则有：
根据“上加下减”的原则，向上移动两个单位，则有所以，最终的结果是： y=x 2+4
y=(x-1+1) 2+2 y=(x-1+1) 2+2+2
题型二：已知三点求函数的解析式——方法：待定系数法【例题 2】已知一元二次方程 y=ax2+bx+c 经过点 A(1 ，3),B(2 ，4),C(3 ，11),求函数的解析式。解答：根据题意有：
abc3 4a 2b c 4 9a 3b c 11
解上面的方程组，得：
a3 b8
c8
所以： y=3x 2-8x+8
【例题 3】已知函数

一元二次函数归纳

一元二次函数的图象一、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)1.当a ＞0时函数图象开口向上；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ；当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；2.当a ＜0时函数图象开口向下；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ；当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；2.△＝b ²－4ac当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点；当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点；当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。

(如下图所示)三、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.例1：画出212y x =- 2y x =- 22y x =-的图象212y x =- 22y x =- 2y x =-归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。

(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，211)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。

21(1)2y x =-+ 211)2y x =--（可以看出，抛物线21(1)2y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线211)2y x =--（的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。

关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系

1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。

1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数。

当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数。

一元二次函数的三种形式

一元二次函数的三种形式一元二次函数，这个名字听上去有点儿严肃，但其实它就像一块好吃的蛋糕，外表看起来复杂，切开之后却是简单又美味。

今天咱们就来聊聊这个数学小家伙的三种形式，别担心，我们会轻松幽默地过关，就像喝杯咖啡一样轻松。

1. 标准形式1.1 什么是标准形式首先，我们得说说标准形式，没错，就是 ( f(x) = ax^2 + bx + c ) 这位“老大”。

这里的 ( a, b, c ) 就像是蛋糕里的配料，决定了我们的蛋糕到底好不好吃。

这个形式挺常见的，大家在学校的时候都学过。

如果你在追求直观的感觉，标准形式就是你最好的朋友。

你只要一看，就能知道二次函数的开口方向和顶点的大概位置。

1.2 这个形式的好处用这个标准形式，有个好处就是我们能快速判断出图像的形状。

比如说，( a ) 是正的，那图像就像一只微笑的笑脸；而如果是负的，就变成了哭泣的小眼泪。

想象一下，如果你在朋友面前用这个形式炫耀，大家都会觉得你真懂行。

不过，光有配方可不行，做蛋糕还得有点技术嘛。

2. vertex形式2.1 顶点形式的魅力接着，我们再来看看顶点形式，记住哦，它的样子是这样的： ( f(x) = a(x h)^2 +k )。

这里的 ( (h, k) ) 就是顶点的位置，仿佛是蛋糕上那颗樱桃，闪闪发光，诱人得不得了。

通过这个形式，我们能很方便地找到图像的顶点，直接说“嘿，来看看这个美丽的点儿吧！”2.2 什么时候用顶点形式顶点形式特别适合用来找最值，尤其是在求最小值或者最大值的时候，就像厨师要知道自己做的蛋糕是酥脆的还是松软的。

这种情况下，顶点就是我们的终极目标。

不过，有些人可能会觉得，这个形式看起来有点复杂，毕竟涉及到平方和加减的操作。

但没关系，只要多练习，最终会成为你的一部分，就像你对美食的热爱一样。

3. 交点形式3.1 交点形式的“明星”最后，我们来说说交点形式，形状是这样的： ( f(x) = a(x x_1)(x x_2) )。

一元二次函数的顶点公式

一元二次函数的顶点公式一元二次函数，这可是咱们数学世界里相当重要的一部分。

说到一元二次函数，就不得不提到它的顶点公式，这可是解决相关问题的一把“金钥匙”。

咱先来说说一元二次函数的一般形式：y = ax² + bx + c（a ≠ 0）。

而顶点公式就是：顶点的横坐标 x = -b / (2a)，纵坐标 y = (4ac - b²) /(4a) 。

那这个顶点公式到底有啥用呢？我给您举个例子。

有一次我去菜市场买菜，看到一个摊主在卖西瓜。

他说西瓜的价格和卖出的数量之间存在一种关系，假设价格是 y 元，卖出的数量是 x 个，关系可以用一元二次函数 y = -0.1x² + 2x + 10 来表示。

这时候咱就可以用顶点公式来算出能获得最大利润时的卖出数量。

先算横坐标 x = -2 / (2×(-0.1)) = 10 ，再算纵坐标 y = (4×(-0.1)×10 - 2²) / (4×(-0.1)) = 15 。

这就说明，当卖出10 个西瓜时，能获得最大利润 15 元。

再比如，学校组织了一场义卖活动。

我们班打算卖自己制作的小手工。

假设价格定为 y 元，预计能卖出的数量是 x 个，函数关系是 y = -0.2x² + 3x + 8 。

同样用顶点公式，算出 x = -3 / (2×(-0.2)) = 7.5 ，y =(4×(-0.2)×8 - 3²) / (4×(-0.2)) = 12.25 。

由于数量得是整数，我们就可以考虑取 7 或者 8 个来定价，以获得比较高的利润。

您看，顶点公式在生活中的用处是不是还挺大的？在解题的时候，可一定要注意 a、b、c 的取值，千万别搞错啦。

有时候，粗心一点，一个正负号的错误，结果就会相差十万八千里。

而且，对于一些变形后的一元二次函数，要先把它化成一般形式，再用顶点公式。

一元二次函数总结

一元二次函数的图象一、定义：一般地，如果y =ax2• bx - c（a,b,c是常数，a = 0），那么y叫做x的一元二次函数.其中，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次函数y= ax2+ bx + c （a z 0）的图象（其中a,b,c 均为常数）1. 当a> 0时函数图象开口向上；对称轴为x =- 2a/b，有最小值且为（4ac—b2 ）/ 4a；当x €（-x，- 2a/ b]时递减；当x € [ - 2a/ b,十^）时递增；2.当a v 0时函数图象开口向下；对称轴为x =- 2a/b，有最大值且为（4ac—b2 ）/ 4a；当x €（-x，- 2a/ b]时递增；当x € [ - 2a/ b,十^）时递减;2. △= b2 —4ac当厶〉。

时，函数图象与x轴有两个交点；当4=0时，函数图象与x轴只有一个交点; 当Av O时，函数图象与x轴没有交点。

(如下图所示)归纳：一般地，抛物线y 二ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点，当a 0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a 0时, 抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。

⑵b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置1 1例2：画出二次函数y = ——(x ・1)2，y = ——(x-1)2的图象，考虑他们的开口方向、2 2y = _xy x y = -2x2y「1（ x—i）1 2y —扣i)21可以看出，抛物线y n-j d」）2的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线y = -1（x-1）2的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。

1例3：画出函数y=-^（x・1）2一1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。

抛物线y = -l x2经过怎样的变换可以得到抛物线y =-l（x・1）2 -1 ？2 21抛物线y （x，1）2-1的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1, -1 ）。

一元二次函数定点式-解释说明

一元二次函数定点式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述一元二次函数是数学中常见且重要的函数类型之一，其定义为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是实数常数且a 不等于零。

一元二次函数的图像呈现出特定的形状，通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。

在本文中，我们将重点研究一元二次函数的定点式及其含义。

定点式是一种表示函数图像上顶点坐标的方式，它提供了关于函数最高或最低点的关键信息。

通过研究函数的定点式，我们可以更深入地理解一元二次函数的性质和变化规律。

本文旨在通过对一元二次函数定点式的探讨，让读者对这一函数类型有更全面的了解，并认识到定点式在函数分析和解题过程中的重要性。

同时，我们还将展望定点式的应用领域，探索更多与一元二次函数定点式相关的实际问题，并寻找使用定点式解决这些问题的可能性。

在下一节中，我们将首先介绍一元二次函数的定义，为后续讨论奠定基础。

1.2文章结构文章结构是指文章的组织结构和框架，它决定了文章内容的组织方式和展示顺序。

一个良好的文章结构能够帮助读者更好地理解文章主题，并且使文章更加连贯和有条理。

下面将介绍关于一元二次函数定点式的文章结构打算。

在本文中，文章的结构主要分为三个部分：引言、正文和结论。

引言部分（Chapter 1）是文章的开篇，目的是引导读者进入主题，并介绍文章的背景和意义。

具体包括以下几个方面的内容：1.1 概述：介绍一元二次函数的基本概念和定义，简要说明一元二次函数在数学中的重要性。

1.2 文章结构：详细说明本文的组织结构和框架，引导读者了解文章的整体布局和内容安排。

1.3 目的：明确本文的写作目的和研究问题，阐述对一元二次函数定点式的探索和分析。

1.4 总结：对引言部分进行总结，承接下文，为读者带来连贯的阅读体验。

正文部分（Chapter 2）是文章的核心部分，通过对一元二次函数定点式的定义、图像特点和含义进行详细解析，以展现该主题的全面性和深度。

具体包括以下几个方面的内容：2.1 一元二次函数的定义：介绍一元二次函数的基本形式和表达式，解释其在数学中的重要性和应用。

一元二次函数知识点

一元二次函数知识点一元二次函数是数学中的重要概念，能够描述很多实际问题，并被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将介绍一元二次函数的基本定义、图像特征、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。

首先，我们来看一元二次函数的定义。

一元二次函数是指形如y =ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a不为0。

其中，x为自变量，y为因变量，a、b、c是函数的系数。

一元二次函数的图像呈现出抛物线的形状，称为抛物线函数。

接下来，我们来探讨一元二次函数的图像特征。

对于一元二次函数y = ax^2 + bx + c而言，首先我们可以根据a的正负来确定抛物线的开口方向。

当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

此外，通过对x的取值范围的分析，可以确定抛物线的轴对称线在y轴左（右）侧，进而确定抛物线的对称中心。

对称中心的横坐标为-x轴系数b/2a。

图像的顶点就是抛物线的最高（最低）点，其纵坐标为函数的值，在对称中心对应的自变量下代入函数表达式即可求得。

一元二次函数还有一些重要的性质。

首先是零点的性质。

一元二次函数的零点是指函数的值为0的自变量取值。

对于一元二次函数y =ax^2 + bx + c，可以使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/2a来求解。

其中，b^2-4ac被称为判别式，根据判别式的值可以判断一元二次函数的零点情况。

当判别式大于0时，函数有两个不相等的实数零点；当判别式等于0时，函数有一个重根零点；当判别式小于0时，函数没有实数零点。

除了零点，一元二次函数还有极值的性质。

当抛物线开口朝上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当抛物线开口朝下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

通过求导数，可以求得函数的导函数，进而求得函数的最值点和最值。

最后，我们来了解一元二次函数的应用。

一元二次函数广泛应用于许多实际问题的建模过程中。

例如，在物理领域中，一元二次函数可以用来描述自由落体运动的轨迹、飞行物体的抛体运动等；在经济领域中，一元二次函数可以用来分析成本、利润、收益等与输出量的关系；在工程领域中，一元二次函数可以用来研究材料的强度、力学结构等。

一元二次函数标准形式

一元二次函数的标准形式是指一元二次函数的通式，即：
y=ax^2+bx+c
其中，a、b、c是常数，x是一元二次函数的自变量。

一元二次函数的标准形式可以表示各种不同的一元二次函数，只要给定不同的常数a、b、c，就可以得到不同的一元二次函数。

例如，当a=1、b=2、c=3时，一元二次函数的标准形式就可以表示为y=x^2+2x+3。

在使用一元二次函数的标准形式表示函数时，我们需要注意几点：
1.当a=0时，一元二次函数就变成了一元一次函数。

2.当a=0、b=0时，一元二次函数就变成了常数函数。

3.当a=0、c=0时，一元二次函数就变成了一元一次函数。

4.当a>0时，一元二次函数为二次凹函数，函数图像的开口向上，且函数的最小值
为：f(x)=c-b^2/(4a)。

当a<0时，一元二次函数为二次凸函数，函数图像的开口向下，且函数的最大值为：f(x)=c-b^2/(4a)。

一元二次函数的标准形式在数学中有着广泛的应用，可以用来描述各种不同的物理现象和经济过程。

例如，可以用一元二次函数来描述自由落体运动的位移与时间的关系，或者用一元二次函数来描述消费者的收入与消费水平的关系等。

一元二次函数知识点

二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

一元二次函数知识点汇总

一元二次函数知识点汇总
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的一元二次函数.其中，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
2.二次函数的性质
(1)抛物线的顶点是原点，对称轴是轴.
(2)函数的图像与的符号关系：
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0， )：
1 ，抛物线经过原点; ② ,与轴交于正半轴；③ ,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
8.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
图像特征如下：
函数解析式
的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点(顶点在轴上) 抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
7.抛物线中，的作用
(1) 决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2) 和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 ,故：
① 时，对称轴为轴；② 时,对称轴在轴左侧；③ 时,对称轴在轴右侧.
(3) 的大小决定抛物线与轴交点的位置.

一元二次函数知识点(详细)

一元二次函数知识点1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数cbx axy ++=2用配方法可化成：()kh x a y +-=2的形式，其中abac k ab h 4422-=-=，.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab时,对称轴在y轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.(2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。

一元二次函数方程

一元二次函数方程1. 一元二次方程的一般形式- 对于方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，这就是一元二次方程的一般形式。

其中a 是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

例如x^2+2x - 3 = 0中，a = 1，b = 2，c=-3。

2. 一元二次函数的一般形式- 一元二次函数的一般形式为y = ax^2+bx + c(a≠0)。

它的图象是一条抛物线。

例如y = 2x^2-3x + 1就是一个一元二次函数。

二、一元二次方程的解法1. 直接开平方法- 对于方程x^2=k(k≥0)，其解为x=±√(k)。

例如，方程x^2=9，则x=±3。

- 当方程为(ax + b)^2=k(k≥0)时，先开平方得到ax + b=±√(k)，然后再求解x。

例如对于(x - 1)^2=4，开平方得x - 1=±2，即x = 1±2，解得x = 3或x=-1。

2. 配方法- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，先将二次项系数化为1（若a≠1），然后在方程两边加上一次项系数一半的平方进行配方。

- 例如，解方程x^2+6x - 7 = 0。

首先将方程变形为x^2+6x=7，然后在两边加上((6)/(2))^2=9，得到x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，再用直接开平方法解得x+3=±4，所以x = 1或x=-7。

3. 公式法- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 例如，解方程2x^2-3x - 2 = 0，这里a = 2，b=-3，c = - 2，代入求根公式可得x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-2)}{2×2}=(3±√(9 + 16))/(4)=(3±5)/(4)，解得x = 2或x=-(1)/(2)。

九年级一元二次函数知识点

九年级一元二次函数知识点一元二次函数是九年级数学学习的重要内容之一。

它在解决实际问题中具有广泛的应用。

本文将从基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等方面，深入探讨九年级一元二次函数的相关知识点。

首先，我们来了解一元二次函数的基本概念。

一元二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。

其中，a决定抛物线的开口方向，正值使抛物线开口向上，负值则开口向下；b决定抛物线的位置，正值使抛物线向左平移，负值则向右平移；c为常数项，决定抛物线与y轴的交点。

接下来，我们来探讨一元二次函数的图像与性质。

一元二次函数的图像是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上，最低点称为顶点；当a<0时，抛物线开口向下，最高点称为顶点。

顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

抛物线在顶点对称，对称轴为x = -b/2a。

解析式与判别式是解一元二次方程的关键。

给定一元二次方程ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数且a≠0。

一元二次函数的解析式为x = (-b±√(b²-4ac))/2a。

判别式Δ = b²-4ac，它可以判断一元二次方程的解的性质。

当Δ>0时，方程有两个不相等实数解；当Δ=0时，方程有两个相等实数解；当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。

最后，我们来看一元二次函数在实际问题中的应用。

一元二次函数的应用非常广泛，例如在物理学、经济学和几何学等领域。

以抛物线的运动轨迹为例，当一个物体被抛出时，其轨迹可以用一元二次函数来描述。

在经济学中，一元二次函数可以用来分析企业的成本、收益和利润等情况。

在几何学中，一元二次函数可以用来求解问题，如确定两个点之间的最短距离。

总结起来，九年级一元二次函数是一个非常重要的数学知识点。

它不仅在解决实际问题中具有广泛的应用，而且通过学习一元二次函数的基本概念、图像与性质、解析式与判别式以及实际问题等内容，可以帮助学生加深对数学的理解，并提高解决问题的能力。

一元二次函数图像

一元二次函数图像一、一元二次函数型式y ＝ax 2＋bx ＋c 或f (x)＝ax 2＋bx ＋c二、一元二次函数图像画法1、形状：抛物线2、开口：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下3、对称轴：x ＝－ab 2 4、与x 轴的交点：方程的根5、最大最小值：ab ac 424-三、例题1、 y ＝x 2－5x ＋6解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝25 方程根：x 2－5x ＋6＝0x ＝2或x ＝3最小值：a b ac 424-＝－412、 y ＝x 2＋5x ＋6解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝－25 方程根：x 2＋5x ＋6＝0x ＝－2或x ＝－3最小值：a b ac 424-＝－413、 y ＝－x 2＋5x －6解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝25 方程根：－x 2＋5x －6＝0x ＝2或x ＝3最大值：a b ac 424-＝414、 y ＝－x 2－5x －6解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝－25 方程根：－x 2－5x －6＝0x ＝－2或x ＝－3最大值：a b ac 424-＝415、 y ＝x 2－2x解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b2＝1方程根：x 2－2x ＝0x ＝0或x ＝2最小值：a b ac 424-＝－16、 y ＝－x 2－2x解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b2＝－1方程根：－x 2－2x ＝0x ＝0或x ＝－2最大值：a b ac 424-＝17、 y ＝x 2－2x ＋1解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b2＝1方程根：x 2－2x ＋1＝0x ＝1最小值：a b ac 424-＝08、 y ＝－x 2＋2x －1解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b2＝1方程根：－x 2＋2x －1＝0x ＝1最大值：a b ac 424-＝09、 y ＝x 2解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝0 方程根：x 2＝0x ＝0最小值：a b ac 424-＝010、 y ＝－x 2解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－ab 2＝0 方程根：－x 2＝0x ＝0最大值：a b ac 424-＝011、 y ＝x 2＋x ＋1解：a ＝1，开口向上对称轴：x ＝－a b 2＝－21 方程根：△＜0，方程无解最小值：a b ac 424-＝4312、 y ＝－x 2＋x －1解：a ＝－1，开口向下对称轴：x ＝－a b 2＝21 方程根：△＜0，方程无解最大值：a b ac 424-＝－43一元二次函数图像题1、y＝x2－7x＋102、y＝x2＋3x＋23、y＝－x2＋7x－124、y＝－x2－6x－85、y＝x2＋7x6、y＝－x2＋7x7、y＝x2＋4x＋48、y＝－x2＋6x－99、y＝x2＋x＋210、y＝－x2＋2x－4（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

一元二次函数及其图像

04
求零点问题：利用二次函数求解方程的零点问题
平移
平移的概念：将函数图像沿x 轴或y轴移动一定距离
平移的方法：确定平移的方向和距离，然后对函数解析式进行相应的变换
平移的性质：平移不改变函数的形状，只改变函数的位置
平移的应用：解决实际问题中函数图像的平移问题
伸缩
01
02
03
04
旋转
05
一元二次函数的单调性由a的值决定：当a>0 时，函数在x轴上方的单调递增；当a<0时，函数在x轴下方的单调递减。
特殊类型
01
抛物线： y=ax^2+bx+c，其中a≠0
02
双曲线： y=ax^2+bx+c，其中a=0
03
直线：y=bx+c，其中a=0，b≠0
04
常数函数：y=c，其中a=b=0
对称性：中心对称、轴对称、原点对称等
2
渐近线：与x轴、y轴的交点、斜率等
5
开口方向：向上、向下、向左、向右等
3
截距：与x轴、y轴的交点、截距值等
6
101
标准形式
一元二次函数的一般形式： ax^2 + bx
+c=0
标准形式：y = ax^2 +
bx + c
其中，a、b、 c为常数，a
≠0
当a > 0时，图像为向上开
口的抛物线
当a < 0时，图像为向下开
口的抛物线
b^2 - 4ac决定了图像的开口方向和大小
顶点式
01
02
一元二次函数的顶点式：y=a(xh)^2+k

一元二次函数图象及性质高中

一元二次函数图象及性质高中一元二次函数是高中数学课堂上常见的一种函数，又被称为二次多项式，其图象表现为一条弯曲的曲线，特征上有三个拐点，即交点，且其图象不受外力或外界制约，只惟其函数参数a、b，c来决定其图象特征。

图形性质一元二次函数的图象是一条弯曲曲线，它的两个定义域是[-∞，+∞]，值域为[-∞，+∞]，一个特征是一元二次函数有三个拐点，即交点，垂直于x轴的拐点叫做y轴交点，而中心极限点则是最重要的极点，该点的判断可以由一元二次函数的三个参数a、b、c决定，而且根据参数a的不同值，图象的空间占比也有所不同，图象的面积越大，参数a的值越小。

图形的性质一元二次的性质有很多，其中最重要的一点是极值方向性。

一般来讲，如果参数a>0，则表明图象上至少有两个极值点，它们由图象上最高/最低处来描绘，而且当参数a>0时，曲线是上凸的；反之，参数a<0时，曲线是下凹的。

另外，一元二次函数也有一个重要的性质：它可以判断出函数原函数的单调性。

一元二次函数的单调性可以通过判断拐点的位置以及它们所在的方向来进行判断。

当a>0时，右边的拐点位于函数上，函数于此处单调递减；而参数a<0时，左边的拐点位于函数上，函数于此处单调递增。

综上，一元二次函数具有非常丰富的图形性质，不仅可以展示三个拐点，而且可以描述函数的单调性，而参数a的大小和两个拐点的方向以及形状也具有重要的意义。

应用一元二次函数的应用是非常广泛的，可以应用于各类力学问题，物理问题，以及商业计算，投资以及经济问题等。

在力学上，可以使用一元二次函数来描述各种由磁力，弹力，重力等力量作用产生的运动轨迹，计算其速度、位移等情况；而在法学上，则可以使用一元二次函数来拟合各种实际变量，如通货膨胀率、投资回报率等变量，来建立更加精确完整的法学模型。

此外，一元二次函数在工程科学、数理统计等方面也有着重要的应用，它们在各类问题中都可以有效解决，从而发挥出重要作用，提高工作效率，提升精确度。