第8章 波动学基础

第八章波动学基础

◆本章学习目标

1．了解波的基本概念；

2．掌握最基本的波动——平面间谐波的波动方程及运动规律；

3．掌握波的能量特点；

4．掌握波具有的基本现象——反射、折射、干涉和驻波；

5．了解多普勒效应；

6．了解声波、超声波和次声波。

◆本章教学内容

1．机械波的产生及间谐波；

2．波速、波长、周期和频率；

3．波动方程；

4．波的能量和能流；

5．惠更斯原理波的反射和折射；

6．波的叠加原理波的干涉；

7．驻波；

8．多普勒效应；

9．声波、超声波、次声波

◆本章教学重点

1．间谐波方程及运动规律；

2．波的叠加及驻波。

◆本章教学难点

1．波方程的建立及其意义；

2．驻波的运动特点；

3．多普勒效应。

§8.1 机械波的产生和传播简谐波

振动和波动是密切关联又相互区别的两种运动形式。任何波动都是有振动引起的，激发波动的振动系统称为波源。波动分为两大类：一类是机械振动在媒质中的传播，称机械波。另一类是变化的电场和变化的磁场在空间的传播，称为电磁波。

一、机械波的产生

机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波。就每一质点来说，只是做振动，就全部媒质来说，振动传播形成机械波。产生机械波的条件是：具有波源和弹性媒质。

二、横波和纵波

在波动中，如果质点的振动方向和波的传播方向相互垂直，这种波称为横波。如果质点振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。各种复杂的波都可分解为横波和纵波。在波动中真正传播的是振动、波形和能量；波形传播是现象，振动传播是实质，能量传播是波动的量度。

如果产生波动的波源作简谐振动，在振动传播过程中，从波源所在位置开始，媒质中各质点相继开始做简谐振动，如果媒质是各向同性均匀且完全弹性的（即媒质不消耗能量），则媒质中各质点的振动频率和波源相同，且各质点具有相同的振幅。这种波称为简谐波。

三、波振面和波射线

把波振面为球面的波动称为球面波，点波源在均匀媒质中产生的波就是球面波。把波振面为平面的波称为平面波。波的传播方向称为波射线。显然，在波振面上每一点，波射线总是和波阵面正交。图8-1所示，画出了这两种典型波的波阵面和波射线。

图8-1波阵面和波射线

§8.2 波速 波长 波的周期和频率

一、波的传播速度

波速就是一定振动状态（或相位）传播的速度，即单位时间内一定振动位相

在传播方向上所传播的距离，也称相速。波的传播速度决定于媒质的特性。对于

弹性介质波来说，波的传播速度决定于媒质的惯性和弹性，具体的说，就是决定

于媒质的密度和弹性模量。在均匀媒质中，波速是一个恒量。

液体和气体只有容变弹性，在液体和气体内部只能传播与容变有关的弹性纵

波。在液体和气体中纵波的传播速度为

c = （8-1）

式中B 为媒质的容变弹性模量，ρ为媒质的密度。

需要指出的是，在液体表面可以出现一种由重力和表面张力所引起的波面

波，这是一种由纵波和横波叠加的波，传播速度决定于重力加速度和表面张力系

数。

固体能产生切变、容变和长变等各种弹性形变，所以固体中既能传播横波又

能传播纵波。在固体中，恒波和纵波的传播速度分别为

横波的波速 c = （8-2）

纵波的波速 c = （8-3）

式中G 和Y 分别为媒质中的切变弹性模量和样式弹性模量为媒质的密度。

（8-3）式是近似的，仅当纵波在细长棒中沿棒的长度方向传播才是准确的。

在一根张紧的柔软绳索或弦线中，横波的传播速度为

c = （8-4）

式中T 为绳索或弦线中的张力，μ是其单位长度的质量。

二、波长、波的周期和频率

波长：波动传播时，同一波线上两个相邻的位相差为2π的质点之间的距离，

即一个完整波的长度。用λ表示。

波峰：由于波动某一任意确定时刻在媒质中具有最大位移的质点位置。

波谷：由于波动某一任意确定时刻在媒质中具有最小位移的质点位置。

在横波中，波长等于两相邻波峰或波谷之间的距离，在纵波中，波长等于两

相邻密集部分或稀疏部分的中心之间的距离。

波的周期：波传过一个波长的时间，或一个完整波通过波线上某点所需要的

时间。用T 表示。

c T λ

= （8-5）

波的频率：在单位时间内波动推进的距离中所包含的完整波长的数目，或单

位时间内通过波线上某点的完整波的数目。

1c T νλ

== (8-5a ）

§8.3 波动方程

波动方程就是描述在波动中，波射线上每一质点的位移随时间变化的规律。

在此讨论平面简谐波的波动方程。如图所示，设有一平面简谐波，在完全弹性无

限大均匀各向同性媒质中沿射线r 以波速c 传播。以r 为坐标轴，在轴上任取一

点O ，其上的质点在其平衡位置做简谐振动，振幅随时间周期性变化，取振幅为

某一最大值为计时时刻t=0，则O 处质点的振动方程为

cos x A t ω=

式中A 为振幅，ω为角频率，x 为O 点处质点离开平衡位置在t 时刻的位移。

离O 点的距离为r 的波射线上另一

任意点B 的振动方成为

cos ()r x A t c ω=- (8-6) 因为B 为任意一点，上式表示了波

射线上任一点处的质点在任一时刻的位

移，上式就是平面间谐波的波动方程。 上式也可表示为

2cos ()x A r ct πλ

=- (8-7) （1）如果给定r ，那么位移x 将只是t 的函数，这时波动方程表示距原点r

处的质点作间谐振动的情况。如果r 取一系列确定值，上式表明不同位置处的质

点都在做间谐振动。

（2）如果t 给定，上式表明在同一时刻观察波射线上所有质点离开其平衡

位置的位移。

如果波沿r 轴负向传播，上述B 点的振动要比O 点先开始一段时间，B 点

的振动方程为

2cos ()cos 2()cos ()r t r x A t A A r ct c T πωπλλ

=+=+=+ （8-8）

图8-2波动方程推导示意图