高等代数经典课件

§1 数域

关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.

定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域.

显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域.

如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.

例1 所有具有形式

2b a +

的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.

例2 所有可以表成形式

m m n n b b b a a a π

πππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.

例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.

性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.

一、一元多项式

定义2 设n 是一非负整数，形式表达式

0111a x a x a x a n n n n ++++-- ,

(1)

其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为

数域P 上的一元多项式.

在多项式（1）中，i i x a 称为i 次项，i a 称为i 次项的系数.以后用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式.

注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.

定义3 如果在多项式)(x f 与)(x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么)(x f 与)(x g 就称为相等，记为)()(x g x f =.

系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.

在（1）中，如果0≠n a ，那么n n x a 称为多项式（1）的首项，n a 称为首项系数，n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f 的次数记为))((x f ∂.

二、多项式的运算

设

0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--

0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=--

是数域P 上两个多项式，那么可以写成

∑==n

i i i x a x f 0

)(

∑==m j j j x b x g 0

)(

在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ≥，为了方便起见，在)(x g 中令011====+-m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为

∑=---+=++++++++=+n i i i i n n n n n n x

b a b a x b a x b a x b a x g x f 00011111)()

()()()()()(

而)(x f 与)(x g 的乘积为

001001111)()()()(b a x b a b a x b a b a x b a x g x f m n m n m n m n m n ++++++=-+--+

其中s 次项的系数是

∑=+--=

++++s j i j i s s s s b a b a b a b a b a 011110

所以)(x f )(x g 可表成 s m

n s s j i j i x b a x g x f )()()(0∑∑+==+=.

显然，数域P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域P 上的多项式.

对于多项式的加减法，不难看出

)))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂.

对于多项式的乘法，可以证明，若0)(,0)(≠≠x g x f ，则0)()(≠x g x f ，并且

))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂

由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.

显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.

多项式的运算满足以下的一些规律：

1. 加法交换律：)()()()(x f x g x g x f +=+.

2. 加法结合律：))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++

3. 乘法交换律：. )()()()(x f x g x g x f =

4. 乘法结合律：))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =

5. 乘法对加法的分配律：)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+

6. 乘法消去律：若)()()()(x h x f x g x f =且0)(≠x f ，则)()(x h x g =.

定义4所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为]

P的系数域.

[x

[x

P，P称为]

§3 整除的概念

在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.

一、整除的概念

带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ，其中0)(≠x g ，一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在，使

)()()()(x r x g x q x f += (1)

成立，其中))(())((x g x r ∂<∂或者0)(=x r ，并且这样的)(),(x r x q 是唯一决定的.

带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商，)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式.

定义5 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ，如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式

)()()(x h x g x f =

成立.用“)(|)(x f x g ”表示)(x g 整除)(x f ，用“)(|)(x f x g /”表示)(x g 不能整除)(x f .

当)(|)(x f x g 时，)(x g 就称为)(x f 的因式，)(x f 称为)(x g 的倍式.

当0)(≠x g 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.

定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，其中0)(≠x g ，)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.

带余除法中)(x g 必须不为零.但)(|)(x f x g 中，)(x g 可以为零.这时0)(0)()()(=⋅=⋅=x h x h x g x f .

当)(|)(x f x g 时，如0)(≠x g ，)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用

)

()(x g x f