第二轮复习专题 数列极限数学归纳法

第二轮复习专题4：数列、极限、数学归纳法

◆解题方法导引

1.等差数列，等比数列的基本知识是必考内容，定义、通项公式、求和公式是

解决问题的常规方法，灵活处理这些公式和有关性质能为解题找到快捷办法。

等差与等比数列的综合运用与函数密切相关。

2.数列问题的基本思想即为归纳和递推，归纳－猜想－证明是基本方法。

3.掌握下列求和方法：裂项相消、错位相减、倒序相加。

4.本节知识具有相对的独立性，是高考热点之一，数列与数学归纳法试题具有

“精致”，“巧妙”，“灵活”的特点。

◆基础练习

１．下列命题中正确的是

（Ａ）若数列｛a

n ｝的前n项和是Ｓ

n

=n2+2n-1,则｛a

n

｝为等差数列。

（Ｂ）若数列｛a

n ｝的前n项和是Ｓ

n

=3n-c,则c=1是｛a

n

｝为等比数列的充

要条件

（Ｃ）常数列既是等差数列又是等比数列。

（Ｄ）等比数列｛a

n

｝是递增数列的充要条件是公比q>1.

２. 已知数列｛a

n ｝前n项和Ｓ

n

=2n2-3n,则a

n

=________.

已知数列｛a

n ｝前n项和Ｓ

n

=3n-2,则a

n

=___________.

３．等差数列｛a

n ｝中，已知a

3

=2,则下列各数可以确定的是

Ａ．S

7 B.S

6

C.S

5

D.S

4

４．等比数列｛a

n ｝中，a

1

+a

2

+a

3

=6,a

2

+a

3

+a

4

=-3,则首项a

1

=_____,公比

q=_____.

５．四个数，前三个数成等比数列且和为１９，后三个数成等差数列且和为１２，则此四个数为。

６．设{a

n }是等到差数列，S

n

是前n项和，若a

n

=m，a

m

=n，则a

m+n

=

若S

n =m，S

m

=n，则S

m+n

= 。

７．在等差数列中，S

n =100，S

2n

=400，则S

3n

=_______。

８．若数列的前n项和S

n =2n-1（n∈N），则a

1

2+a

2

2+…+a

n

2= 。

◆例题精选

１．等比数列｛a

n ｝中，a

1

+a

n

=66,a

2

a

n-1

=128,S

n

=126,求n及公比q。

２．在等差数列中，前20项之和为180，前20项中奇数项之和与偶数项之和的比是4：5，求公差d。

３．在等差数列｛a

n ｝中，a

1

=15，公差d=－2，求S

n

的最大值。

４． 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 13=12，S 12﹥0，S 13﹤0，

（1） 求公差d 的取值范围。

（2） 指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个最大，说明理由。

５． 已知数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和， a 1=1，且S n+1=4a n +2，

（1） 设b n =a n+1－2a n ，求证：数列｛b n ｝是等比数列。

（2） 设c n =n

n a

2，求证：数列｛c n ｝是等差数列。

６． 在等差数列｛a n ｝中，a 18=95，a 32=123，a n =199，则n=____。

７． 等比数列｛a n ｝的首项a 1= －1，前n 项和为 S n ，若32

31

510=S S ，

则n n S lim ∞

→=______。

８． 等差数列｛a n ｝a 1=25，S 17=S 9，问数列前多少项之和最大？

９． 已知数列{a n }的前n 项和S n =P-2+Pa n （n ∈N ，P ≠0，P ≠1，P ≠2）

（1） 求证：数列{a n }为等比数列；

（2） 若对一切自然数n 都有a n+1＞a n ，求P 的范围。

１０． 已知一个数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的 和为170，求这个数列的公比和项数。

１１． 设S n 是等差数列｛a n ｝前项和，已知331S 与441S 的等比中项为55

1

S ，

331S 与441

S 的等差中项为1，求数列的通项a n 。

１２． 已知｛a n ｝为等差数列，公差为2

1，且S 100=145,求a 1+a 3+a 5+…+a 99的值。

１３． 已知a 1=1

,2

21+=

+n n n a a a

, (n ∈N),求数列的通项公式a n

.

１４． 已知一个等比数列的首项为１，项数为偶数，其奇数项的和为８５，偶数项的和为１７０，求这个数列的公比和项数。

１５． 在数列｛a n ｝中,a n =1n n

1n 31n 21n 1++++++++ ，又b n =a a n n 1

2+, 求数列｛b n ｝的前n 项和。（裂项相消）