第二轮复习专题 数列极限数学归纳法

第二轮复习专题4：数列、极限、数学归纳法
◆解题方法导引
1.等差数列，等比数列的基本知识是必考内容，定义、通项公式、求和公式是
解决问题的常规方法，灵活处理这些公式和有关性质能为解题找到快捷办法。

等差与等比数列的综合运用与函数密切相关。

2.数列问题的基本思想即为归纳和递推，归纳－猜想－证明是基本方法。

3.掌握下列求和方法：裂项相消、错位相减、倒序相加。

4.本节知识具有相对的独立性，是高考热点之一，数列与数学归纳法试题具有
“精致”，“巧妙”，“灵活”的特点。

◆基础练习
１．下列命题中正确的是
（Ａ）若数列｛a
n ｝的前n项和是Ｓ
n
=n2+2n-1,则｛a
n
｝为等差数列。

（Ｂ）若数列｛a
n ｝的前n项和是Ｓ
n
=3n-c,则c=1是｛a
n
｝为等比数列的充
要条件
（Ｃ）常数列既是等差数列又是等比数列。

（Ｄ）等比数列｛a
n
｝是递增数列的充要条件是公比q>1.
２. 已知数列｛a
n ｝前n项和Ｓ
n
=2n2-3n,则a
n
=________.
已知数列｛a
n ｝前n项和Ｓ
n
=3n-2,则a
n
=___________.
３．等差数列｛a
n ｝中，已知a
3
=2,则下列各数可以确定的是
Ａ．S
7 B.S
6
C.S
5
D.S
4
４．等比数列｛a
n ｝中，a
1
+a
2
+a
3
=6,a
2
+a
3
+a
4
=-3,则首项a
1
=_____,公比
q=_____.
５．四个数，前三个数成等比数列且和为１９，后三个数成等差数列且和为１２，则此四个数为。

６．设{a
n }是等到差数列，S
n
是前n项和，若a
n
=m，a
m
=n，则a
m+n
=
若S
n =m，S
m
=n，则S
m+n
= 。

７．在等差数列中，S
n =100，S
2n
=400，则S
3n
=_______。

８．若数列的前n项和S
n =2n-1（n∈N），则a
1
2+a
2
2+…+a
n
2= 。

◆例题精选
１．等比数列｛a
n ｝中，a
1
+a
n
=66,a
2
a
n-1
=128,S
n
=126,求n及公比q。

２．在等差数列中，前20项之和为180，前20项中奇数项之和与偶数项之和的比是4：5，求公差d。

３．在等差数列｛a
n ｝中，a
1
=15，公差d=－2，求S
n
的最大值。

４． 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 13=12，S 12﹥0，S 13﹤0，
（1） 求公差d 的取值范围。

（2） 指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个最大，说明理由。

５． 已知数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和， a 1=1，且S n+1=4a n +2，
（1） 设b n =a n+1－2a n ，求证：数列｛b n ｝是等比数列。

（2） 设c n =n
n a
2，求证：数列｛c n ｝是等差数列。

６． 在等差数列｛a n ｝中，a 18=95，a 32=123，a n =199，则n=____。

７． 等比数列｛a n ｝的首项a 1= －1，前n 项和为 S n ，若32
31
510=S S ，
则n n S lim ∞
→=______。

８． 等差数列｛a n ｝a 1=25，S 17=S 9，问数列前多少项之和最大？
９． 已知数列{a n }的前n 项和S n =P-2+Pa n （n ∈N ，P ≠0，P ≠1，P ≠2）
（1） 求证：数列{a n }为等比数列；
（2） 若对一切自然数n 都有a n+1＞a n ，求P 的范围。

１０． 已知一个数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的 和为170，求这个数列的公比和项数。

１１． 设S n 是等差数列｛a n ｝前项和，已知331S 与441S 的等比中项为55
1
S ，
331S 与441
S 的等差中项为1，求数列的通项a n 。

１２． 已知｛a n ｝为等差数列，公差为2
1，且S 100=145,求a 1+a 3+a 5+…+a 99的值。

１３． 已知a 1=1
,2
21+=
+n n n a a a
, (n ∈N),求数列的通项公式a n
.
１４． 已知一个等比数列的首项为１，项数为偶数，其奇数项的和为８５，偶数项的和为１７０，求这个数列的公比和项数。

１５． 在数列｛a n ｝中,a n =1n n
1n 31n 21n 1++++++++ ，又b n =a a n n 1
2+, 求数列｛b n ｝的前n 项和。

（裂项相消）
16．求和S n =1+3x+5x 2+7x 3+…+(2n-1)x n-1
.（错位相减）
17．求和S n =n
n n n n C n C C C )12(53210++•••+++（倒序相加）
18．已知f(x)=122+x ,数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=f(a n )(n ∈N),求数列｛a n ｝的通项公式。

19．正数数列｛a n ｝为一等比数列，且a 2=4,a 4=16,
求2
1
lim n
n ∞→(lga n+1+lga n+2+…lga 2n ).
20． 学校餐厅每天供应１０００名学生用餐，每星期一有两样菜Ａ、Ｂ可供选择（每人选一样菜）。

调查资料表明，凡是在星期一选Ａ菜的，下星期一会有20﹪改选Ｂ，而选Ｂ的，下星期一则有30﹪改选Ａ，若用A n 、B n 表示在第n 个星期一分别选Ａ、Ｂ的人数。

（1） 用Ａn 、Ｂn 表示Ａn+1;
（2） 证明Ａn+1=2
1A n +300; （3） 若A 1=500,求lim n ∞
→A n
21.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游
产业。

根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少5
1。

本年度当
地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅
游业收入每年会比上年增加4
1。

（1）设n 年内（本年度为第一年）总收入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a N ，b n 表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入。

◆课后练习
１．已知｛a n ｝是等差数列且a 6+a 9+a 12+a 15=20,则其前２０项和为（ ）
（Ａ）１０ （Ｂ）２０ （Ｃ）２００ （Ｄ）１００
2. {a n }是公差为－２的等差数列，如果a 1+a 4+a 7+…+a 97=50,那么a 3+a 6+a 9+…+a 99=( )
(A)-182 (B)-78 (C)-148 (D)-82 3. 等比数列｛a n ｝的首项为１，公比为q ，前n 项和是S.由原数列各项的倒数组成
一个新数列｛n a 1｝,则｛n
a 1
｝的前n 项之和是（ ）
（Ａ）
S
1
（Ｂ）S q n 1 （Ｃ）1-n q
S
（D ）S q n
4.在等比数列｛a n ｝中，a 9+a 10=a(a ≠0),a 19+a 20=b,a 99+a 100=( )
(A)89
a b (B)9)(a b (C)9
10
a b (D)10)(a b
5. 若等差数列｛a n ｝的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 7成等比数列，则4
23
1a a a a ++_________.
6.在等差数列中前２０项之和为１８０，前２０项中奇数项之和与偶数项之和的比是4:5,
则此数列的公差等于_________.
7.等差数列｛a n ｝,｛b n ｝的前n 项和分别为S n 和 T n ，若132+=n n
T S n n ,则n n n b a lim ∞→=_____.
8.若3
1
)1(33lim
1
=+++∞→n n n
n a ,则a 的取值范围是 。

9. f(x)=
n
n
n n x
x x x --+-,对n ∈N,试比较f(2)与
1
12
2+-n n 的大小，并说明理由。

10. 是否存在a,b,c,使得a n =an 2
+bn+c,且满足a 1=1, 3S n =(n+2)a n ,其中S n =a 1+a 2+…+a n ,
试证明你的结论。

若b n =n
a 1
,求lim n ∞
→(b 1+b 2+b 3+…+b n ).。