第十四章组合变形杆件强度计算

合集下载

杆件的应力与强度—组合变形(建筑力学)

组合变形
教学目标
知识目标
1.理解组合变形的基本概念； 2.掌握斜弯曲梁的强度计算方法； 3.掌握单向偏心压缩（拉伸）杆件的强度计算方法。
技能目标
1.能够将组合变形问题分解为基本变形的组合； 2.能够对斜弯曲、偏心压缩（拉伸）等组合变形进行强度计算。
重点和难点
重点内容
难点内容
1.组合变形的基本概念；
压缩（拉伸）与弯曲
代入公式得：解得：h≥280 mm Nhomakorabea此时截面中的最大压应力为：
课程研究内容
1.将组合变形问题分解为基本变形的组合；
2.简单组合变形强度计算方法。 2.应用叠加法解决工程中组合变形实际问题。
组合变形概念 • 组合变形：同时发生两种或两种以上的简单变形。
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形的分析方法
叠加法求解组合变形的计算步骤：（1）将构件的组合变形分解为基本变形；（2）分析、计算构件在每一种基本变形情况下产生的应力；（3）将同一点处的应力进行叠加，计算杆件危险点处的应力，然后进行强度计算。
（2）内力分析。两个方向弯曲的最大弯矩值都是发生在固定端截面处，分别为：
My=FL=2×2=4kN.m
斜弯曲
（3）应力分析。由变形情况可知，梁的最大拉应力发生在A点处，梁的最大压应力发生在B点处，分别为：
故：梁的最大拉应力和最大压应力均为107.73MPa。
压缩（拉伸）与弯曲
l
φ Px 轴向力： Px=Pcosφ P 横向力： Py=Psinφ
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
【例1】如图所示为一悬臂梁，采用25a号工字钢，已知q=5kN/m, F=2kN,Wy=48.28cm3,Wz=401.9cm3,求梁的最大拉应力和最大压应力。

不同材料组合杆件的变形条件和荷载计算

由式（１）及式（２）可得
：
Ｓ
（４）
互‘＋厶
。＝Ｅ＋Ｅ２ｌ（５）、３
由式（４）及式（５）可分别得出杆件１、杆件２的荷载，由此进一步按强度
ｃ组合枰件的连接
和刚度的计算公式可分别计算其强度和刚度。
３．结束语
１，杆仲１。２，杆件２。３，螺钉，４，隔膏垫
本文对不同材料的组合杆件的作了简单的介绍，通过两种不同材料杆件的组合为例，说明了组合计算的条件，介绍了组合杆件的荷载的分别
计算方法。
合杆釜．，． …………， … … … 参考文献说就是工堡竺，Ｉ、算嚣，维！ｌ大于面昼寸的构件称为杆件，具体地】构静力计算手册（《建筑结构静力计算手册》编写组）中国建筑工通常对杆件的计算分为几种模型＿：堡 … … 一… ．… 建版社第二版。如简支梁、外伸梁、悬臂梁等。这些［２】力。
… ．
，
。３４２’
需要我们深入研究的内容。以下以幕墙中经常用到的组合杆件为例分析，际上这个连接可以允许一定的距离。这个距离的值不应大于截面高度（截其他的组合杆件原理是相同的。
面上的较大尺寸）３倍。见图１（ｃ）设截面高度为ｈ，则在长度方向将两杆件连
接起来的螺钉的距离ａ术与应用
不同材料组合杆件的变形条件和荷载计算
摘要：本文介绍了在工程应用中，使用越来越多的不同材料组合杆件的结构计算关键词：组合杆件、变形条件、结构计算

12-2 工程力学-组合变形的强度计算

故，安全。
3 2 4 2
6.37 2 435.7 2 71.7 MPa
[例7] 方形截面杆的横截面面积在 mn 处减少一半，试求由轴向载荷 P 引起的 mn 截面上的最大拉应力。
解：
N M m ax A W
a2 a a a2 P P/ P / 8 2 2 4 4 6 a
§12–3
拉(压)弯组合偏心拉（压）
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产
生的变形。
P P R
x z
P
x y z Mz
P
My
y My
二、应力分析： x z Mz P
P
MZ
My
y My
P xP A
Mzy xM z Iz
xM
y
Myz Iy
P Mz y Myz x A Iz Iy
max
F1 M max A Wz F1 F e A Wz
m
m
4）强度计算因危险点的应力是单向应力状态，所以其强度条件为：
F1 F e max 135MPa [ ] A Wz
例11-11 如图所示为一起重支架。已知a =3.0m， b=1.0m，F=36.0kN，AB梁材料的许用应力[ ]=140 MPa。试确定AB梁槽钢的型号。
拉压与弯曲组合变形的分析步骤
(1)、外力分析：
y
x
y P1
y
y P
x
=
P1
x
+
x P2
P2
P
P1 P cos
P2 P sin
(2)、内力分析：

拉伸(压缩)与弯曲的组合变形

拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
受力特点：
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
变形特点：
杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲组合变形
示例1 F1 产生弯曲变形
F2
F1
F2
F2 产生拉伸变形
示例2
Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
以上图悬臂梁为例，说明拉（压）与弯曲组合时的正应力及其强度计算。
160.96 MPa [] 170 MPa
练习：校核横梁AB的强度
25a号工字钢
1、外力分析（求支座反力）
FBC
B
30
F
A FAx
FAy
30
M A (F ) 0 24 2 FBC sin 30 4 0 FBC 24kN
Fy 0 Fx 0
FBC sin 30 F FAy 0 FAy 12kN
+
=
N
M
FN A
M Iz
y
4、强度条件
（1）危险截面：根据内力图确定综合可知，固定端最危险。
（2）危险点：根据截面的应力分布确定在截面的最上边缘。
固定端横截面最上边缘的应力
max
FN A
M max Wz
≤[ ]
强度条件
4、强度条件
max
FN A
M max Wz
≤[ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.
FBC cos 30 FAx 0
FAx 12 3kN
2、内力分析
24
B
30
24
A 12 3 12
B
A
FBCy

14-1组合变形-材料力学

Fz F sin
五、自由端的变形
z
A
y
y

FL3 cos
3EI z
z
B y
x
B z

FL3 sin
3EI y
B
z
y
查表7-1（3）
在 Fz B点的位移 z ：
例题14.1 图所示屋架结构。已知屋面坡度为1：2，两屋架之间的距离为4m，木檩条梁的间距为1.5m，屋面重（包括檩条）为1.4kN/m2。若木檩条梁采

"

Iy
Iy
'
M z y M y z
Iz
Iy
cos sin
M ( y z)
Iz
Iy
四、斜弯曲时的强度条件
1、中性轴的位置

M (
Iz
yo

sin
Iy
zo )

0
tan yo Iz tan
zo
和扭矩图如图c、d
危险截面在杆的根部（固定端）
（3）应力分析
B

M W
T
T Wp
在杆的根部取一单元体分析
y 0, x B , xy T
计算主应力
1

3

B
2

( B
2
)2

2 T
2 0
（4）强度分析
选择第三、第四强度理论
r3

入偏心拉伸的强度条
4
32
件校核
32.4106 32.4MPa 35MPa
满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cm

杆件的强度计算

平均应力
循环特征
应力幅
杆件的强度计算
1.6 交变应力与疲劳失效
1.6.1 交变应力及其循环特征
2.交变应力分类交变应力按其循环特征，可以分为对称循环和非对称循环两种类型。交变应力的最大应力σmax与最小应力σmin大小相等，符号相反，即σmax＝－σmin，其循环特征为r=－1，这种应力循环称为对称循环。 r≠－1的应力循环称为非对称循环。在非对称循环中，当σmin=0，r=0 时，这种应力循环称为脉动循环。静载荷可以看作交变应力的特殊情况，其σmax＝σmin＝σm，σa＝0，r＝1。
工程力学
杆件的强度计算
1.1 拉压杆件的强度条件 1.2 连接件的强度条件 1.3 梁的正应力强度
返回
1.4 圆轴扭转的强度 1.5 圆轴弯扭组合变形的强度 1.6 交变应力与疲劳失效
杆件的强度计算
1.1 拉压杆件的强度条件
返回
由于拉、压杆横截面上的应力是均匀分布的，因此，对于等截面的拉、压杆，其最大轴力所在的截面是危险截面，拉、压杆强度条件为
式中，FNmax为危险截面的轴力；A为危险截面的面积。
强度条件可解决以下三类强度计算问题： (1)校核强度。(2)设计截面尺寸。(3)确定许可载荷。
杆件的强度计算
1.2 连接件的强度条件
1.2.1 剪切的实用计算
如右图所示，构件的某一截面两侧受
到一对大小相等，方向相反，作用线相距
很近的横向外力F作用，此时构件的相邻两
杆件的强度计算
1.4 圆轴扭转的强度
返回
1.4.1 圆轴扭转时横截面上的切应力
如图(a)、(b)所示分别为实心圆轴和空心圆轴横截面上扭转切应力的分
布规律。

力学课件第十四章组合变形(H)

2 2
2
2
M 2 +T 2 = Wz
1 σr 4 = σ1 −σ3 = [(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 = (σ3 −σ1)2 2 M 2 + 0.75T 2 = σ 2 +3 2 = τ Wz
Wz =
第九章组合变形
πd
3
32
, Wp =
πd
3
16
圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：
500mm
A
B
P
P
第九章组合变形
梁为弯扭组合变形，截面为危险截面。解: AB 梁为弯扭组合变形，Ａ截面为危险截面。
MA = 30kN⋅ m TA = 6kN⋅ m
Wz =
500mm
T
πD3
32 = 4.6×10−4 (m3 )
(1−α 4 )
A
B
P
P
P
2 2 M A + TA 30.6×103 σr3 = = = 66.5MPa ≤ [σ ] −4 4.6×10 Wz 32
q
C 1m A 2m B
第九章组合变形
梁为弯扭组合变形，截面为危险截面。解: AB 梁为弯扭组合变形，Ａ截面为危险截面。
1 M A = q ×1× 2 = 1.6kN⋅ m TA = q ×1 = 0.4kN⋅ m , 2
2 2 MA + TA σr3 = Wz
q
C 1m A 2m B
1.62 + 0.42 ×103 = πd 3 32 = 77.8MPa ≤ [σ ]
故该轴安全
第九章组合变形
直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力P=0.2kN，已知的圆截面水平直角折杆，受垂直力直径为的圆截面水平直角折杆，的许可值。［σ］=170MPa。试用第三强度理论确定 a 的许可值。。梁为弯扭组合变形，截面为危险截面。解: AB 梁为弯扭组合变形，Ａ截面为危险截面。

2016工程力学（高教版）教案：6.6杆件的强度计算

第六节杆件的强度计算由内力图可直观地判断出等直杆内力最大值所发生的截面，称为危险截面，危险截面上应力值最大的点称为危险点。

为了保证构件有足够的强度，其危险点的有关应力需满足对应的强度条件。

一、正应力与切应力强度条件轴向拉（压）杆中的任一点均处于单向应力状态。

塑性及脆性材料的极限应力u σ分别为屈服极限s σ（或2.0σ）和强度极限b σ，则材料在单向应力状态下的破坏条件为u σσ= 材料的许用拉（压）应力[]nuσσ=，则单向应力状态下的正应力强度条件为[]σσ≤ （6-24）同理可得，材料在纯剪切应力状态下的切应力强度条件[]ττ≤ （6-25）二、正应力强度计算由式（6-1）和(6-25)得，拉（压）杆的正应力强度条件为[]σσ≤=AN maxmax （6-26）由式（6-1）和(6-25)得，梁弯曲的正应力强度条件为[]σσ≤=zW M maxmax （6-27）应用强度条件可进行强度校核、设计截面、确定许可载荷等三方面的强度计算。

例6-7 如图6-29(a)所示托架，AB 为圆钢杆2.3=d cm ，BC 为正方形木杆a=14cm 。

杆端均用铰链连接。

在结点B 作用一载荷P=60kN 。

已知钢的许用应力[]σ=140MPa 。

木材的许用拉、压应力分别为[]t σ=8MPa ，[]5.3=c σMpa ，试求：（1）校核托架能否正常工作。

（2）为保证托架安全工作，最大许可载荷为多大；（3）如果要求载荷P=60kN 不变，应如何修改钢杆和木杆的截面尺寸。

解（1）校核托架强度如图6-29(b)。

图6-29由 0=∑Y ，0sin 1=-P P α解得 100c s c 1==αP P kN 由 0=∑X ，0cos 21=+-P P α 解得 80cos 12==αP P kN杆AB 、BC 的轴力分别为10011==P N kN, 8022-=-=P N kN ，即杆BC 受压、轴力负号不参与运算。

组合变形杆件的强度—斜弯曲梁的应力和强度计算(建筑力学)

6
180 120 2 6
mm 3
4.32 105 mm 3
屋面坡度为1：2，则
tan 1 sin 0.4472
2
cos 0.8944
斜弯曲梁的强度计算
（3）强度校核
max
M zmax M ymax
Wz
Wy
M max cos
Wz
M max sin
Wy
cos sin
M max( Wz
A处的正应力为最大拉应力，点C处的正应力为最大压应力：
yA yC ymax
zA zC zmax
max min
t max
cmax
My Iy
zmax
Mz Iz
ymax
My Wy
Mz Wz
M
sin
Wy
cos
Wz
M z 2.51 0.336 2 3.172 kN m M y 1.256 2 2.215 kN m
斜弯曲梁的强度计算
抗弯截面系数为：
Wz
bh2 6
0.6h h2 6
0.1h3
Wy
hb2 6
h (0.6h)2 6
0.06h3
由强度条件：
max
Mz Wz
My Wy
3.172 106 0.1h3
2.512 106 0.06h3
73.587 106 h3
≤[
]
h ≥ 3 73.587 106 194.5(mm) 10
取h = 200mm，b = 120mm。
斜弯曲梁的应力计算一、斜弯曲的概念
对称截面梁在水平和铅垂两纵向对称平面内同时承受横向外力的作用，这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵对称面内发生对称弯曲，称为斜弯曲（即为两个相互垂直平面内的弯曲） x

组合变形的强度计算

S A

XB A

20800 4.3106 Pa 0.00485
梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为
C max

S A
M max Wz

4.3 60 64.3MPa
T max

S A

M max Wz

4.3
60
55.7MPa
（3）强度校核
Cmax 64.3MPa
组合变形的强度计算
组合变形的概念拉伸与弯曲的组合扭转与弯曲的组合疲劳破坏简介
一.组合变形的概念
1.组合变形:
在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况
在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠加）
P=7kW，转速为n=200r/min，齿轮Ｃ上作用力F=2.375kN与切线成
20°（啮合角），带轮D上紧、松
边拉力FT1=2FT2，皮带轮直径Ｄ
=500ｍｍ，轴材料的许用应力
[σ]=80ＭPa，试按第三强度理论
设计轴径（轴和轮重不计）。
解 ① 分析计算轴上所受外力，并将外力向轴心简化，
② 分析轴上危险截面内力。
l YB l P 2 0
得
P YB 2 12k N
XB

YB tg30

12 0.577

20.8k N
YA 12k N X A 20.8k N
（2）内力和应力计算
由横梁的弯矩图可知在梁中点截面
上的弯矩最大

工程力学组合受力与变形时的强度计算

FN A
M W

3103
d 2

8 103
d 3
81.1

MPa
81.9
4
32
位置？
例题：图示钢板受集中力P=128KN作用，当板在
一侧切去深4cm的缺口时，求缺口截面的最大正应力？若在板两侧各切去深4cm的缺口时，缺口截面的最大正应力为多少?(不考虑应力集中) 10
P
360
求： 1．链环直段部分横截面上的最大拉应力和最大压应力； 2. 中性轴与截面形心之间的距离。
解：根据平衡，截面上将
作用有内力分量FNx 和Mz
Fx 0 M C 0
得到 FNx＝800 N
Mz＝ 12 N·m
x FNx
FNx A

4FNx πd 2

π
4 800 122 106
简支梁在中点受力的情
形下，最大弯矩
Mmax=FPl / 4。得到两个平面弯曲情形下的最大
d
弯矩：
c
M max
FPz
FPx l FPsin l
4
4
M max
(FPy )

FPy l 4

FP
cos l 4
在Mmax(FPy)作用的截面上，截面上边缘的角点 a、b 承受最大压应力；下边缘的角点c、d 承受最大拉应力。
Pz P cos
以y为中性轴弯曲 M y Pz (l x)
P cos(l x) M cos
M z Py (l x)
P sin(l x) M sin
M z y M y sin M y z M z cos

杆件的强度计算公式资料讲解

杆件的强度计算公式资料讲解杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能⼒，指的是什么？答：构件满⾜强度、刚度和稳定性要求的能⼒称为构件的承载能⼒。

(1)⾜够的强度。

即要求构件应具有⾜够的抵抗破坏的能⼒，在荷载作⽤下不致于发⽣破坏。

(2)⾜够的刚度。

即要求构件应具有⾜够的抵抗变形的能⼒，在荷载作⽤下不致于发⽣过⼤的变形⽽影响使⽤。

(3)⾜够的稳定性。

即要求构件应具有保持原有平衡状态的能⼒，在荷载作⽤下不致于突然丧失稳定。

2.什么是应⼒、正应⼒、切应⼒？应⼒的单位如何表⽰？答：内⼒在⼀点处的集度称为应⼒。

垂直于截⾯的应⼒分量称为正应⼒或法向应⼒，⽤σ表⽰；相切于截⾯的应⼒分量称切应⼒或切向应⼒，⽤τ表⽰。

应⼒的单位为Pa。

1 Pa=1 N／m2⼯程实际中应⼒数值较⼤，常⽤MPa或GPa作单位1 MPa=106Pa1 GPa=109Pa3.应⼒和内⼒的关系是什么？答：内⼒在⼀点处的集度称为应⼒。

4.应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。

单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表⽰。

单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表⽰横向应变。

5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松⽐？答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表⽰。

对于轴⼒为常量的等截⾯直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为l l?=ε（4-2）拉伸时ε为正，压缩时ε为负。

线应变是⽆量纲（⽆单位）的量。

（2）横向应变拉(压)杆产⽣纵向变形时，横向也产⽣变形。

设杆件变形前的横向尺⼨为a，变形后为a1，则横向变形为aaa-=1横向应变ε/为a a=/ε（4-3）杆件伸长时，横向减⼩，ε/为负值；杆件压缩时，横向增⼤，ε/为正值。

因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。

（3）横向变形系数或泊松⽐试验证明，当杆件应⼒不超过某⼀限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之⽐为⼀常数。

此⽐值称为横向变形系数或泊松⽐，⽤µ表⽰。

工程力学-弯扭组合

M
∴
d 3
32 M T π[σ ]
2
图
664669 N· mm
3
32 1940.9 664.7 π 100 10
6
2
= 0.0593 m = 59.3 mm T图圆整，取： d = 60 mm
上海应用技术学院
18 例5 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，F1=600N， B轮直径为0.4m，D轮直径为0.6m，[s]=100MPa。 F2 试用第三强度理论校核此杆的强度。 y 80º F1 解： 1. 外力分析
㊉
|M|max=F1l T = Me
上海应用技术学院
FN=F2
O T O
㊉
Me
x x
3. 应力分析 a点为危险点：取单元体：
F1
s
a
s
tT tT
σ σM σ N
τT T Wp T 2W
a b A M O
6 Me B
F2
l
M W

FN A
㊀
x F2
㊉
FN –Fl 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。 O 注意：此时b点应力s为 T M FN σ σM σN O W A
M
Fy
A
y M2
B
F'y
C D
13 x
Fz T
z
1kN· m
㊉
F'z
My
z
Mz
O Mz O
㊀
0.568kN· m
x x
㊉
0.364kN· m 1.0kN· m ㊉ 1.064kN· m
对圆形截面，可将Mz、My My 合成为： M O

复杂应力状态强度问题

一、弯拉（压）组合（一）产生弯拉（压）组合变形的原因
1、杆件上同时作用有横向力和轴向力；
2、外力作用线虽然平行于杆轴，但不通过横截面的形心（即偏心拉伸或偏心压缩）。
拉(压)与弯曲组合变形:
x L
P
P e x L
N
P1
x L
P x L
M
x
L
P2
x Pe L
（二）产生弯拉（压）组合变形时应力的计算 1、杆件在轴向力作用下的正应力
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂, 都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。
1 1u
1－构件危险点的最大伸长线应变
1u
1 [ 1 ( 2 3 )] / E
－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得
1u b / E
断裂条件即
1 E
[
1
(
2
3
)]
b
E
v －畸变能密度的极限值，由单拉实验测得 ds
屈服条件强度条件
实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。
强度理论的统一表达式： r [ ]
相当应力：
r,1 1 [ ]
r,3 1 3 [ ]
r,2 1 ( 2 3 ) [ ]
双向弯曲
(
向应
圆形
力截
状面
)
态
M
M
2 Z
MY2
Hale Waihona Puke M WM2 Z
M
2 Y
W
危
险双
点向
为单
(
弯曲
向应力
矩形截面

杆及结构的变形计算

时旳M0 i，N0 i 则写成M0 i，N0 i。这么，就得到用单位荷载法求构造位移旳一般公式：
1 i
li
M
0 i
M
i
Ei Ii
dsi
i
li
N
0 i
N
i
Ei Ai
dsi
上述公式也可计算角位移，只要将P0视为单位力偶就能够了。此时公式中旳M0 i，N0 i 即为单位力偶作用在该构造上所引起旳相应内力。
所以，此时旳功能关系式应是：
A A0 P0 i
li
Mi M0i 2Ei Ii
2
dsi
i
li
Ni N0i 2Ei Ai
2
dsi
用此式减去前两式，可得：
P0 i
li
M 0i M i Ei Ii
dsi
i
li
N0i Ni Ei Ai
dsi
end
为了能直接得到旳数值，可令P0=1，而相应于此
退出
7-l 拉伸(压缩)时旳变形
单段等截面等轴力杆件
l Nl EA
多段等截面等轴力杆件
l Nili
Ei Ai
多段变截面或变轴力杆件
l
Ni (x) dx
i li Ei Ai (x)
例7-l 计算杆在自重作用下所引起旳伸长，设杆长为l，横截面面积为A，
材料旳比重为g，，弹性模量为E。
ymax y xl ql 4 / 8EI
end
7-4 求杆件变形旳叠加法
在假定杆旳变形微小及材料服从虎克定律旳前提下，杆旳变形(一般指旳就是截面形心旳线位移和截面旳角位移)都是外加载荷旳线性齐次函数。所以，当杆上有多种载荷共同作用时，尤其是当各载荷单独作用时旳变形成果已知(如有表可查)时，用叠加法来计算杆旳变形尤为以便，用式子体现，以挠度为例,即：