第八章 第五节
高等数学第八章 第五节
解法1 解法1,公式法 (将 x , y , z 视为独立变量 ) ′ 1 x y 令 G ( x , y , z ) = F ( , ), 则 G x = F1 , z z z
′ 1 G y = F2 z
′ x ′ y G z = F1 2 + F2 2 z z
Gx z zF1 ∴ = = G z xF ′ + yF ′ x 1 2
二,方程组的情形
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F ( x , y , u, v ) = 0 G ( x , y , u, v ) = 0
代入得
u = u( x , y ) v = v( x , y )
u v Fx + Fu =0 + Fv x x 两边对 x 求导得 G x + Gu u + Gv v = 0 x x
dy 1 ( F , G ) , = dx J ( x , z )
dz 1 ( F , G ) , = dx J ( y , x )
Fz ≠0
其中 J = ( F , G ) Fy =
( y, z )
G y Gz
三,小结
隐函数微分法
(分以下几种情况) 分以下几种情况)
(1) F ( x , y ) = 0
注:运用公式推导的方法计算各种偏导数
u u v v , , , . 例5. 设x u y v = 0 , y u + x v = 1 ,求 x y x y u v x y = u x y 2 2 = x + y ≠0 x x 且J = 解: y x u v y + x = v x x x u + yv u 1u y = = 2 x x J v x + y2 故有 xv y u v 1 = 2 = x + y2 x J u v 同样可得 y y
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面的实例：
一、曲面方程的概念
曲面方程的定义：
以下给出几例常见的曲面.
解
根据题意有
所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为
解
根据题意有
所求方程为
根据题意有
解
化简得所求方程
例4 方程 的图形是怎的？
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
七年级地理下册第八章第五节巴西
图32
巴西
巴西
南美热带巴西木，葡萄牙人拓疆土； 踢足球，桑巴舞, 民族混合大熔炉； 迁移农业因贫苦，热带雨林要保护； 咖啡甘蔗甜橘子，巴西高原种作物； 铁矿石，做基础，钢铁之上空海陆； 亚马孙，水量大，巴拉那河伊泰普； 人口集中东南部，圣保罗里热内卢； 噪音大，交通堵，巴西利亚做首都。
地形 支流、流域面积
气候 降水
尼罗河是世界第一长河，但其水 从地形和气候两方面分析亚马 量为什么远远不及亚马孙河？ 孙河水量大的原因。
地形：北、西、南三面地
势高，便于水流汇集，支 流多，流域面积广。
气候：主要流经全年多雨
的热带雨林气候区。
返回
亚
马
孙
河
安第斯 山脉，向东注入 大西 洋。 亚马孙河发源于 全长6400公里，在世界河流中位居第二。水量充沛，占全 球入海河水总流量的五分之一。有 15000条支流 ，流域面积几 是世界上水量 最大 、流域面积 最广 的大河。 乎大如澳洲。通航河道河面宽广，不能同时看到两岸。 长度6400 多千米，仅次于尼罗 河，居世界第 二 。
耕地面积广大，约有可耕 地3.7亿公顷；丰富的水资 源、水能资源；良好的气 候条件。
巴西的农产品中，产量占世界首位的 有：
咖啡、甘蔗、柑橘
巴西的 。 、 、 等粮食的产量居世
界前列，其中
的产量仅次于美国。
2. 巴西工业 铁矿储量650亿吨，产量和
①自然资源 出口量均居世界第一。铝矾 丰富
土、铀、锰、锡、铬、石油、 天然气、煤的储量都居世界 前列。水力资源仅次于中国， 森林覆盖率达60%）
人口、城市多在东南部沿海地区原因： 1、海上交通便利 2、殖民者首先到达这里，开发较早 3、气候较温和湿润 4、工商业发达 稀少区原因 1、过度湿热 2、交通不便 3、开发不便，经济落后
(重庆大学高等数学课件)第八章第5节隐函数的微分法
解法2 微分法. 解法2 微分法. 对方程 的两边求微分: 的两边求微分:
F′⋅ d( ) +F2′ ⋅d( ) = 0 1
zdx −xdz zdy − ydz F′⋅ +F2′ ⋅ =0 1 2 2 z z F′⋅ zdx−F′⋅ xdz +F2′⋅ zdy−F2′⋅ ydz = 0 1 1 − xF′dz − yF2′dz = −zF′dx −zF2′dy 1 1
∂z ∂z 其中 F 有连续的 一阶偏导数, 求证 x 有连续的一阶偏导数 一阶偏导数, +y = z − xy ∂y z z ∂x 证明 设 G( x, y, z) = F( x + , y + )
z z 是由方程 F( x + , y + ) y x
所确定
例3. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程 连续偏导数 偏导数, 解法1 解法1 设G( x, y, z) =
1 +y′+z′ +2z ⋅ z′ −1 + 1 + 2y ⋅ y′ z′+3z2 ⋅ z′ −1
13
求导， 解: 方程组两边对 x 求导， 并移项得
∂u ∂u ∂v ∂v 例4. 设 xu − yv = 0, yu + xv = 1, 求 , , . , ∂x ∂ y ∂x ∂ y
∂u ∂v u+ x + −y = −u 0 ∂x ∂x ∂u ∂v − v y + v+ x = 0 ∂x ∂x −u − y ∂u −v x −xu − yv = = x −y ∂x x2 + y2 y x
x x
在点
则方程 F( x, y) = 0
第八章 第五节 建设社会主义生态文明
◆
用生态文明的力量托起“美丽中国”
/pinglun/n/2012/1112/c78779-19549520.html
“把生态文明建设放在突出地位”，“努 力建设美丽中国，实现中华民族永续发展”， 胡锦涛同志在十八大报告中铿锵有力地进行庄 严宣示。 十八大报告将生态文明建设，与经济建设、 政治建设、文化建设、社会建设一起，列入 “五位一体”总体布局，并用专章论述。 十八大报告中提出“从源头上扭转生态环 境恶化趋势”的目标，提出“给自然留下更多 修复空间，给农业留下更多良田，给子孙后代 留下天蓝、地绿、水净的美好家园”的愿景。
文化建设，就是发展社会主义先进文化，建设社会主义精神 文明，实行依法治国和以德治国相结合，提高全民族思想道德 素质和科学文化素质，为改革开放和社会主义现代化建设提供 强大 的思想保证，精神动力和智力支持； 社会建设，就是构建社会主义和谐社会，按照民主政治、 公平正义、诚信友爱、充满活力、安定有序、人与自然和谐相 处的总要求和共同建设、共同享有的原则，以改善民生为重点， 解决好人民最关心、最直接、最现实的利益问题，努力形成全 体人民各尽其能、各得其所而又和谐相处的局面； 生态文明建设，就是树立尊重自然、顺应自然、保护自然的 生态文明理念，把生态文明建设放在突出地位，融入经济建设、 政治建设、文化建设、社会建设各方面和全过程，努力建设美 丽中国，实现中华民族永续发展。 同时，为了实现“五位一体”的总体布局，党章还从促进 人的全面发展的角度，增加了“尊重劳动、尊重知识、尊重人 才、尊重创造，做到发展为了人民，发展依靠人民，发展成果 由人民共享”的内容，充分体现了执政党“五位一体”总体布 局中以人为本的全新观念。 “五位一体”，是中国特色社会主 义事业的总体布局；“五位一体”，是党领导人民建成小康社 会伟大构想。
第8章教育制度第五节学业证书和学位证书制度
8.5.1 学业证书制度概述（一）学业证书的概念学业证书是指经国家批准设立或者认可的学校及其他教育机构对在该学校或其他教育机构正式注册参加学习并完成规定学业的受教育者颁发的书面凭证。
简单地说，学业证书就是受教育者按规定完成相应学业而获得的凭证。
它表明受教育者完成了一定阶段、一定范围和程度的知识和技能的学习，达到了国家规定的教育标准。
根据《教育法》第四十二条的规定，受教育者在完成所在学校或其他教育机构教学计划规定的学业后有权获得相应的学业证书。
同时，学业证书通常是与国家的学制系统相联系, 受教育者受完不同阶段或不同类型的教育，可以获得同时也只能获得相应阶段或相应类型的学业证书。
（二）实行学业证书制度的意义国家必须建立和完善学业证书制度。
《教育法》出台的前些年，教育领域曾出现乱办学、滥发学业证书的混乱现象，一些单位乃至个人不经批准随意开办教育机构，不经批准擅自招生，对不符合招生标准、不符合教育质量要求的学生，也发给学历证书或其他学业证书。
有些学校或其他教育机构违反国家有关规定，擅自发放超其层次、规格或职能范围的学业证书。
这些做法破坏了国家教育标准的完整统一，危害着教育事业的健康发展。
1995 年我国颂布了《教育法》，其中第二十一条规定：“国家实行学业证书制度”，只有经国家批准设立或者认可的学校及其他教育机构，按照国家有关规定，符合条件的才有权发放学业证书。
受教育者必需按规定经过一定的考核，通过鉴定，才能获得学业证书。
这为维护国家教育的正常活动和学历证书的严肃性、公正性、权威性提供了法律保障。
学业证书制度是保证教育活动正常有序进行、保证教育质量的重要手段，也是国家教育管理制度乃至人事管理制度的重要支柱之一。
在现代社会生活中，获得某种学业证书，通常是个人进入高一级学校学习或从事相应职业的必要条件，也是用人部门选拔和录用人员的重要依据，学业证书无论是对个人还是对社会都有十分重要的作用。
8.5.2 学业证书的种类与法律效力（一）学业证书的种类学业证书包括学历证书和其他学业证书。
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂 的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以 创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直 纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提 高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了 更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕 一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其 中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率 等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称 性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面 。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。
高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质)
第五节 直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言 图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线❷，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a ⇒l ⊥α[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥PABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法]证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)性质：①a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α，②α∥β，a ⊥β⇒a ⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ⇒l ⊥γ.(客观题可用) [口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清. 平面之内两直线，两线相交于一点， 面外还有一直线，垂直两线是条件. [题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，AB 1∩A 1B ＝E ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD .(1)求证：BD ⊥平面A 1ACC 1；(2)若AB ＝1，且AC ·AD ＝1，求三棱锥A BCB 1的体积． 解： (1)证明：如图，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A BCB 1＝V B 1ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16.2.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考点二面面垂直的判定与性质[典例](2018·江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明](1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.[解题技法] 证明面面垂直的2种方法 定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形， 所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ， ∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF∥平面PEC.(2)∵P A＝AD，F为PD中点，∴AF⊥PD，∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，∵AF⊂平面P AD，∴CD⊥AF.又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.[课时跟踪检测]A级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：317．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABCA1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．解：(1)证明：连接BD.∵P A＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD，又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵P A＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝12×3×3＝32.∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ， ∴V P NBM ＝V M PNB ＝23V C PNB ＝23×13×32×2＝23.10.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点． 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ， 所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ， 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ， 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ， 又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴AD ∥BE ，又BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .(2)∵AB ⊥AD ，∴四边形ABED 为矩形， ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵平面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ， ∴P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD ， ∵E ，F 分别是CD ，PC 的中点， ∴PD ∥EF ，∴CD ⊥EF ，又EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF ，∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD .。
高等代数第八章 5第五节 初等因子
事实上， 证明 事实上，令 (f1(λ)g1(λ), f2(λ)g2(λ))=d(λ)， ， (f1(λ), f2(λ))=d1(λ)， (g1(λ), g2(λ))=d2(λ) . ， 显然， 显然， d1(λ)|d(λ)， d2(λ)|d(λ) . ， 由于 (f1(λ), g1(λ))=1，故 (d1(λ), d2(λ))=1， ， ， 因而， 因而， d1(λ)d2(λ)|d(λ). 另一方面，由于 d(λ)|f1(λ)g1(λ)， 另一方面， ， 可令 d(λ)= f(λ)g(λ)，其中 f(λ)|f1(λ)，g(λ)|g1(λ). ， ， 由于 (f1(λ), g2(λ))=1，故 (f(λ), g2(λ))=1, ， 由 f(λ)|f2(λ)g2(λ)，又得 f(λ)|f2(λ)，因而 f(λ)|d1(λ) . ， ， 同理 g(λ)|d2(λ). 所以 d(λ)|d1(λ)d2(λ). 证毕. 于是 d(λ)=d1(λ)d2(λ) . 证毕
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二、初等因子与不变因子的求法 上面的分析给了我们一个如何从初等因子和 上面的分析给了我们一个如何从初等因子和 如何从初等因子 矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法 设一个n 矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法. 设一个 唯一地作出不变因子的方法 级矩阵的全部初等因子为已知， 级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子 全部初等因子为已知 将同一个一次因式(λ中将同一个一次因式 -λj), (j=1,2, …,r)的方幂的那 的方幂的那 些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的 些初等因子按降幂排列， 个数不足n时 就在后面补上适当个数的 ， 个数不足 时，就在后面补上适当个数的1，使得 凑成n个 设所得排列 排列为 凑成 个. 设所得排列为
第八章 第五节 直线、圆的位置关系
3．两圆公切线的条数 ． (1)两圆内含时，公切线条数为0； 两圆内含时，公切线条数为 ； 两圆内含时 (2)两圆内切时，公切线条数为1； 两圆内切时，公切线条数为 ； 两圆内切时 (3)两圆相交时，公切线条数为2； 两圆相交时，公切线条数为 ； 两圆相交时 (4)两圆外切时，公切线条数为3； 两圆外切时，公切线条数为 ； 两圆外切时 (5)两圆相离时，公切线条数为4. 两圆相离时，公切线条数为 两圆相离时 因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系， 因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系， 反过来知道两圆公切线的条数， 反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位 置关系． 置关系．
条公切线． ∴两圆相交，故有2条公切线． 两圆相交，故有 条公切线 答案： 答案：2
直线与圆的位置关系有相离(没有公共点 、相切(只 直线与圆的位置关系有相离 没有公共点)、相切 只 没有公共点 有一个公共点)、相交(有两个公共点 三种，判断直线与圆 有两个公共点)三种 有一个公共点 、相交 有两个公共点 三种， 的位置关系主要有两种方法： 的位置关系主要有两种方法：一是圆心到直线的距离与圆 的半径比较大小； 的半径比较大小；二是直线与圆的方程组成的方程组解的 个数． 个数．
3．已知0＜r＜ ．已知 ＜ ＜ 的位置关系是 A．外切 ． C．相交 ．
＋1，则圆 2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2 ，则圆x － ＋ ( B．内含 ． D．相离 ． )
解析：两圆连心线长|O1O2|＝ 解析：两圆连心线长 ＝ r1＋r2＝r＋ ＋ 所以 ＜r＋ ＋ ，|r1－r2|＝| ＝ ＜2 ＋1，－ ，－
5．两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0 ．两圆 ＋ － ＝ 与 － － ＝ 公切线的条数是__________． 公切线的条数是 ． 解析：两圆为 － 解析：两圆为(x－3)2＋(y＋3)2＝66和 ＋ 和 (x＋2)2＋(y－4)2＝64， ＋ － ， 两圆圆心距离
高等数学第八章第5节
− 4 x + 2 y − 2z − 1 = 0 − 4 x + 2 y + 2z − 2 = 0
r n2 = {−4, 2,−2}
2 −1 1 , 两平面平行 ⇒ = = −4 2 −2 Q M (1,1,0) ∈ Π 1 M (1,1,0) ∉ Π 2
两平面平行但不重合． 两平面平行但不重合．
பைடு நூலகம்
2 −1 −1 , 两平面平行 ( 3) Q = = 2 −4 2
4 x − y + 2 z = 8 垂直，求此平面方程 垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0,
由平面过点( 6,−3, 2) 知 6 A − 3 B + 2C = 0
r Q n⊥{4,−1,2},
∴ 4 A − B + 2C = 0
2 ⇒ A = B = − C, 3 所求平面方程为 2 x + 2 y − 3 z = 0.
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 当平面与三坐标轴的交点分别为 时,平面方程为 x y z + + = 1 (a , b, c ≠ 0) a b c 此式称为平面的截距式方程 截距式方程. 截距式方程 分析:利用三点式
Ax + By + Cz + D = 0 ( A + B + C ≠ 0 )
2 2 2
平面一般式方程的几种特殊情形： • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
第八章第五节《电功率和安全用电》教学设计
第8章第5节《电功率和安全用电》教学设计学习目标：1.知道家庭电路中电流与用电器的总功率的关系2.观察体验保险丝的作用3.增强安全用电的意识重点：家庭电路中总功率过大使电流过大；保险丝的作用难点：分析造成保险丝熔断的原因及安全用电知识应用课前预习学案【温故知新】1.电功率P是表示的物理量，与电流I、电压U之间的关系是。
2.电流通过导体产生的热量跟成正比，跟的成正比，跟成正比。
这个规律叫做。
3.下图为小明在家中拍到的一张电能表的照片，仔细观察，你能得到哪些信息？4.家庭中的电灯、电视机、电风扇、空调等用电器都是联在电路中。
5.一只“220V 40W”白炽灯，在额定电压下工作时的电阻是，在额定电压下通电10 min产生J的热量。
【自主预习】预习要求：请同学们根据“预习目标”，仔细阅读课本，完成以下内容：1.随着经济的快速发展，各种电器进入普通家庭，我国城乡许多地区在进行供电线路的改造，改造内容之一就是把电线换成更粗的，电能表的标定电流换成更大的。
为什么？2.家庭电路中的电压是一定的，U= V,所以用电功率P越大，电路中的电流。
3.由于各种用电器都是联的，家里用电线路上的总电流会随着用电器的增加而。
4. 家庭电路中的电流不能超过家里供电线路和电能表所允许的，否则容易烧坏。
5.（1）不同粗细的保险丝有不同的额定电流，的保险丝不能起到有效的保险作用。
（2）铁丝、铜丝用来代替保险丝。
6.新建楼房的供电线路已经不再使用保险丝，而用带有保险装置的代替。
当电流过大时，开关中的起作用，使开关，切断电路。
通过预习你有什么收获？有什么疑问？课前组内进行交流，以小组为单位将问题展示出来。
课内探究学案一、自主学习，交流预习情况。
（组内交流“课前预习”中的问题，小组长将组内解决不了的问题汇总）二、合作探究任务一：电功率与安全用电1.演示实验：用电流表测试干路电流。
先连入一个灯泡，观察电流表的示数，然后并联第二个、第三个灯泡……，观察电流表的示数。
高等数学_第八章_多元微分_第五节_隐函数求导
Fx F v Gx Gv
课本P34课本P34-P35 P34
Fy F v GyGv
F Fx u Gu Gx F u Gu
参见二元 线性方程 组的求解 公式
Fy Gy
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例4. 设 x = e
u+v
, y =e
u+v
u−v
, z = uv , 求
u−v
解 现在 z = uv , 式中 u = u(x, y), v = v(x, y)由方程 由方程
z
z
F′⋅ 1 1 z
∂z =− y ∂y ′ F′⋅ (− x ) + F2 ⋅ (− 2 ) 1 2
z z
F′ ⋅ 1 2 z
′ z F2 = ′ x F′ + y F2 1
故
Fx ∂z ∂z ∂z z dz = dx + dy = =− (F′dx + F′dy) 1 2 ∂x ∂y x F′ + y F′ ∂x Fz 1 2
再对 x 求导
2+
∂z 2 1+ ( ) ∂x
∂2z −4 2 = 0 ∂x
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结束
解二 利用隐函数求导公式 设 则
F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 4z
Fx = 2x,
Fz = 2z − 4
∴
x x Fx ∂z = =− =− z −2 2− z ∂x Fz
两边对 x 求偏导
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微分法. 解二 微分法 对方程
两边求微分: 两边求微分
x y F′⋅ d( ) + F′ ⋅ d( ) = 0 2 1 z z zdx − xdz zdy − ydz F′⋅ ( ) + F′ ⋅( ) =0 1 2 z2 z2 ′ xF′+ yF2 F′dx +F′ dy 1 2 整理得 dz = 1 2 z z z dz = (F′dx + F′dy) 解得 1 2 x F′ + y F′ 1 2
毛概 第八章 第五节 建设社会主义生态文明
一、树立社会主义 生态文明新理念 二、坚持节约资源 和保护环境的基本 国策 三、完善生态文明 制度体系
公益-CCTV公益广 告《雾霾篇》[高清].mp4
By：饶章瀚
建设社会主义生态文明的总体要求
• 生态是指生物之间以及生物 与非生物环境之间的相互关 系和存在状态。 • 生态文明是指人类在改造客 观世界的同时，积极改善和 优化人与自然的关系，建设 有序的生态运行机制和良好 的生态环境所取得的物质、 精神、制度方面成果的总和。 • 生态文明是人与自然和谐共 生、全面协调、持续发展的 社会和自然状态。
我们应如何建设生态文明？
日本垃圾分类
•
在日本，你如果你不严格的执行垃 圾分类的话，将面临巨额的罚款， 在以住宅团地为单位的区域社会， 落下个“不履行垃圾分类”的名声， 那可是老丢人的事了。 • 日本的垃圾分类是母亲手把手教 下一代的。从出生开始就学起的。 有些学到老也分不对的也大有人在。 比如一个香烟盒，其间的纸盒、外 包的塑料薄膜、封口处的那圈铝箔。 这个香烟盒就要分三类：外包是塑 料，盒子是纸，铝箔是金属，所以 这件东西就要分三类丢弃。 • 日本几乎做到了垃圾百分之百回收， 依赖的不是先进的技术和发达的科 技，是全民对环境的敬畏、真挚的 感情和高度的民众的自觉性。
在我国各种污染日趋严重，包括大气污染、水污染、 光污染、噪音污染、土壤污染、固体废弃物污染等 等。其中水污染和大气污染尤为严重。 光污染 空气污染
噪音污染 水污染
固体废弃物 污染
土壤污染
2009 年，一位海洋 摄影师在北极地区偶然 拍摄到冰盖融化形成的 天然雕塑——一张哭泣 的脸。气候变化已成为 当今国际社会面临的最 大挑战之一。正如学者 所言，“金融危机要钱， 气候变化要命”。
第八章 第五节.电功率和安全用电(教案)
彩田学校物理学案第八章电功率第5节.电功率和安全用电班级：姓名：五、电功率和安全用电【学习目标】1、知道电功率和电路中电流的关系,理解电路中的总电流随用电器功率的增大而增大；2、知道电路中安装保险丝,为什么能够“保险”。
【课前检测】1.电功的计算公式：W=Pt 、W=UIt 、W=U2 t / R 、W= I 2 R t2.电功率的计算公式：P=W/t 、P= UI 、P=U 2 / R 、P = I 2 R3.电能（电功）的国际单位是焦耳简称焦，单位的符号 J ；另外还有“度”，学名叫做千瓦时，符号 kW·h 。
它们之间的换算关系是： 1kW·h=3.6×10 6J。
4.物理学中用“电功率”表示用电器消耗电能的快慢，该物理量的符号是P ,其单位有瓦特（单位符号W ）、千瓦（单位符号kW ），单位间的换算1kW=1000W 。
5.焦耳定律：电流通过导体产生的热量跟电流的二次方成正比，跟导体的电阻成正比，跟通电时间成正比。
用公式表示为： Q =I2Rt 。
在纯电阻电路中，电流产生的热量Q等于消耗的电能W，即Q=W=P t = U I t = I 2 R t = U2 t / R 。
【课堂导学】【学点一】电功率和安全用电（阅读课本51页“电功率与安全用电”部分，回答下列问题）1.通过公式P=UI,你能推导出I= P/U 。
因为家庭电路中的电压为 220 V保持不变，所以用电器的功率越大，通过用电器的电流越大。
2.家庭电路中各用电器是并联的，如果多个用电器同时使用，总功率会比较大，那么总电流会比较大。
因此，一定注意不要让总电流超过家里供电线路和电能表所允许的最大值。
3.电路中同时使用的用电器不能太多，否则容易烧坏保险丝，甚至引起火灾。
4.讨论右图电路，用电流表测干路电流。
先连入一个灯泡，然后并联第二个、第三个灯泡……，观察电流表示数，可以看到，电流表示数变大，当连入的灯泡达到一定数目时，保险丝会熔断。
第八章 第五节 黄土高原的区域发展与居民生活
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 3:06:58 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/42021/9/42021/9/4Sep-214-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/42021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021
单项选择
【基础过关】
1．黄土高原位于( B )
A．大兴安岭以东 B．太行山以西 C．秦岭以南 D．乌鞘岭以北
2．黄土高原重要的生态问题是( B )
A．荒漠化 B．水土流失 C．全球变暖 D．酸雨
3．黄土高原的地貌特征是( B )
A．地面崎岖、峰岭众多 B．沟壑纵横、支离破碎 C．地势西高东低 D．石灰岩广布、多喀斯特地形
【名师点拨】 黄土高原水土流失的原因是什么？ 自然原因：①地形方面：黄土高原平地少，斜坡多，地面破 碎。②土质方面：黄土结构疏松，多孔隙和垂直方向的裂隙；许 多物质易溶于水。③降水方面：黄土高原降水集中在 7、8 月份， 且多暴雨。④植被方面：植被严重破坏，大多数地区地表裸露。 人为原因：人类的过度开发(过度放牧、开矿、毁林开荒)。
9．在黄土高原生态环境建设中，不．可．取．的做法是( D )
A．植树种草、整修梯田 B．退耕还林、还草 C．减少放牧的牧畜数量 D．开垦陡坡，扩大耕地面积
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
曲面的应用领域
物理学：研究曲面形状对 物理现象的影响
计算机图形学：用于创建 三维模型和动画
地质学：用于描述地球表 面的形态
生物学：用于研究生物体 的表面结构
工程学：用于设计各种曲 面形状的物体，如汽车车 身、飞机机翼等
数学：用于研究曲面的性 质和结构，以及解决相关 的数学问题
06
曲面方程的解题技 巧与注意事项
同济版高等数学第 六版课件第八章第 五节曲面及其方程
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目录
添加目录项标题 曲面方程的求解方法 曲面方程的拓展知识
曲面及其方程的基本概念
曲面方程的应用实例 曲面方程的解题技巧与注 意事项
01
添加章节标题
02
曲面及其方程的基 本概念
曲面的定义和分类
曲面的定义：曲面是连续但不光滑的二维图形，由一条或多条曲线组成
04
曲面方程的应用实 例
球面方程的应用
定义：球面方程是描述球面形状的数学方程 应用实例1：计算球面上的点到球心的距离 应用实例2：确定球面上点的坐标 应用实例3：绘制球面图形
柱面方程的应用
定义：柱面方程是 平面与空间直线或 平面相交形成的曲 面
应用实例1：在计 算机图形学中，柱 面方程可以用来描 述三维图形的旋转 和扭曲
总结：通过对解题思路的总结，可以更好地掌握曲面方程的解题技巧 和注意事项，提高解题效率。
感谢观看
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解题技巧
熟练掌握曲面方 程的基本形式和 性质
灵活运用代数运 算技巧，简化方 程
掌握常见的曲面 方程的解题方法
注意方程的适用 范围和限制条件
注意事项
理解曲面方程的 基本概念和性质
2024届新高考一轮总复习人教版 第八章 第5节 第2课时 直线与椭圆 课件(30张)
2．过圆 x2＋y2＝r2 上一定点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2，此结论可推
广到圆锥曲线上．过椭圆1x22 ＋y42＝1 上的点 A(3，－1)作椭圆的切线 l，则过 A 点且与直
线 l 垂直的直线方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．x－y－3＝0
C．2x＋3y－3＝0
D．3x－y－10＝0
【思维升华】 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两个 不同的点，可利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ (1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]求解．
【思维升华】判断直线与椭圆位置关系的方法 (1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组 解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交 点．
考点 2 中点弦及弦长问题
【典例引领】
中点弦问题
[例 1](1) (2023·福建三明模拟)以椭圆x42＋y32＝1 内一点 P1，1为中点的弦所在的直线
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时， 设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线 CD 的方程为 y＝－1k(x－1). 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则 x1＋x2＝3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122，
x1＋x2＋
的重心，得
3
22a＝0，y1＋y23＋
2
2
b ＝0，
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同步检测训练一、选择题1．若圆锥曲线C 的一个焦点F (1,0)对应的准线方程为x ＝－1，且曲线经过点P (3,23)，则C 的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．x 2＝2yD ．x 2＝4y答案：B解析：点P 到准线的距离为3－(－1)＝4＝|PF |∴e ＝1，曲线为抛物线，因此方程为y 2＝4x ，故选B. 2．(2009·河南安阳)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右支上存在一点P ，使点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，3＋1]B ．(1，2＋1]C ．(1，3＋1)D ．(1，2＋1)答案：B解析：设点P 的横坐标为x (x ≥a )，根据双曲线的定义得x ＋a 2c ＝e ⎝⎛⎭⎫x －a 2c ＝ex －a ，a 2c ＋a ＝x (e －1)≥a (e －1)，1e＋1≥e －1，求得双曲线的离心率的取值范围是(1，2＋1]，故选B. 3．(2009·郑州二模)设向量i ，j 为直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j ，且|a |－|b |＝1，则满足上述条件的点P (x ，y )的轨迹方程是( ) A.x 214－y 234＝1(y ≥0) B.x 214－y 2341(x ≥0) C.y 214－x 2341(y ≥0) D.y 214－x 234＝1(x ≥0) 答案：B解析：a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j ，|a |－|b |＝(x ＋1)2＋y 2－(x －1)2＋y 2＝1，则满足上述条件的点P (x ，y )的轨迹是以(－1,0)和(1,0)为焦点的双曲线的右支，方程是x 214y 234＝1(x ≥0)，故选B.4．(2008·武汉4月)已知点A (1,0)和圆C ：x 2＋y 2＝4上一点R ，动点P 满足RA →＝2AP →，则点P 的轨迹方程为( )A ．(x －32)2＋y 2＝1 B ．(x ＋32)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －32)2＝1 D ．x 2＋(y ＋32)2＝1 答案：A解析：由已知可得RA →AP →＝2，所以A 分RP 之比为2，可设R 坐标为(m ，n )、P 坐标为(x ，y )，由定比分点坐标公式可得m 、n 与x 、y 的关系，解出m 、n 并代入已知圆C 的方程可得所求的轨迹方程为A.5．(2008·辽宁东北育才中学)以A (1,0)和l ：x ＝5为相应焦点和准线且过点P (3，m )(m ≠0)的圆锥曲线必定是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线D ．不能确定答案：C解析：e ＝|PA ||5－3|＝4＋m 22>1，则所求圆锥曲线必定是双曲线，故选C. 6．(2008·天星教育)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上一点，过F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H .则点H 的轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线答案：C解析：如右图，过F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，交PF 2的延长线于G ，则|PF 1|=|PG |，|F 1H |=|GH |，而|PF 1|-|PF 2|=|PG |-|PF 2|=|F 2G |=2a .连结OH ，则OH 是△F 1F 2G 的中位线，∴|OH |=12|F 2G |=a .∴点H 的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．故选C.7．一条线段AB 长为2，两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线一分支C ．圆D ．半圆答案：C解析：由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB 的中点到原点的距离总等于1，∴AB 的中点轨迹是圆．故选C.8．已知圆的方程x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (0，－1)，B (0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1(y ≠0) B.x 24＋y 231(y ≠0) C.x 23＋y 241(x ≠0) D.x 24＋y 23＝1(x ≠0) 答案：C解析：如右图，l 为圆的切线，切点为M ，l 也为抛物线的准线，过切点M 与圆心O 的直线为抛物线的对称轴，焦点F (x ，y )在对称轴上，AC ⊥l ，BD ⊥l ，则|AC |+|BD |=2|OM |=4，|FA |+|FB |=|AC |+|BD |=4. 即F 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(不含y 轴上的点)，其方程为x 23＋y 24=1(x ≠0)，故选C.二、填空题9．已知点A (6,0)，B 为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为__________．答案：(x －3)2＋y 2＝1解析：设M (x ，y )则B (2x －6,2y )，将B 代入x 2＋y 2＝4得(x －3)2＋y 2＝1.10．(2009·湖南十二校联考)如下图，在平面斜坐标中∠xOy ＝45°，斜坐标定义为OP →＝x 0e 1＋y 0e 2(其中e 1，e 2分别为斜坐标系的x 轴，y 轴的单位向量)，则点P 的坐标为(x 0，y 0)．若F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且动点M (x ，y )满足|MF 1→|＝|MF 2→|，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为________．答案：2x +y =011．(2009·湖北八校联考)在Rt △ABC 中 ，AB ＝AC ＝1，以点C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 边上，且这个椭圆过A 、B 两点，则这个椭圆的焦距长为________．答案：62解析：由椭圆定义得4a ＝AB ＋AC ＋BC ＝2＋2，2a ＝1＋22，AF ＝2a －AC ＝22，2c ＝AC 2＋AF 2＝62，故填62. 三、解答题12．(2009·广东三校联考)已知定点F (1,0)和定直线x ＝－1，M 、N 是定直线x ＝－1上的两个动点且满足FM →⊥FN →，动点P 满足MP →∥OF →，NO →∥OP →(其中O 为坐标原点)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(ⅰ)求OA →·OB →的值；(ⅱ)设AF →＝λFB →，当三角形OAB 的面积S ∈[2，5]时，求λ的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，M (－1，y 1)，N (－1，y 2)(y 1，y 2均不为0)，由MP →∥OF →，得y 1＝y ，即M (－1，y )由NO →∥OP →，得y 2＝－y x ， 即N ⎝⎛⎭⎫－1，－y x ， FM →⊥FN →，得FM →·FN →＝0⇒(2，－y 1)·(－2，y 2)＝0⇒y 1·y 2＝－4，∴y 2＝4x (x ≠0)，∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．(2)(ⅰ)由(1)得P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)，F (1,0)，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将其与C 的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A 、B 的坐标分别为(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，则y 3y 4＝－4，∴x 3x 4＝116y 23y 24＝1， 故OA →·OB →＝x 3x 4＋y 3y 4＝－3.(ⅱ)∵AF →＝λFB →，∴(1－x 3，－y 3)＝λ(x 4－1，y 4)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x 3＝λx 4－λ，－y 3＝λy 4， 又y 23＝4x 3，y 24＝4x 4，∴可得y 4＝－2λ，y 3＝2λ. 故三角形OAB 的面积S ＝12|OF |·|y 3－y 4|＝λ＋1λ， 因为λ＋1λ≥2恒成立，所以只要解λ＋1λ≤5，即解得3－52≤λ≤3＋52. 13．(2009·福建质检)已知椭圆C 的离心率e ＝32，长轴的左右端点分别为A 1(－2,0)，A 2(2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线x ＝my ＋1与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．14．(2009·北京海淀区)已知点A (0,1)、B (0，－1)，P 是一个动点，且直线P A 、PB 的斜率之积为－12(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设Q (2,0)，过点(－1,0)的直线l 交C 于M 、N 两点，△QMN 的面积记为S ，若对满足条件的任意直线l ，不等式S ≤x tan ∠MQN 恒成立，求λ的最小值．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，则直线PA ，PB 的斜率分别是y －1x ，y ＋1x. 由条件得y －1x ·y ＋1x ＝－12.即x 22＋y 2＝1(x ≠0)． 所以动点P 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0)． (2)设点M ，N 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．当直线l 垂直于x 轴时，x 1＝x 2＝－1，y 1＝－y 2，y 21＝12. 所以QM →＝(x 1－2，y 1)，QN →＝(x 2－2，y 2)＝(x 1－2，－y 1)．所以QM →·QN →＝(x 1－2)2－y 21＝172. 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22y 2＝1y ＝k (x ＋1)得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2所以QM →·QN →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2.因为y 1＝k (x 1＋1)，y 2＝k (x 2＋1)，所以y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2，所以QM →·QN →＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－2)(x 1＋x 2)＋k 2＋4＝172－132(1＋2k 2)<172. 综上所述，QM →·QN →的最大值是172. 因为S ≤λtan ∠MQN 恒成立，即12|QM →|·|QN →|sin ∠MQN ≤λsin ∠MQN cos ∠MQN恒成立．由于QM →·QN →＝172－132(1＋2k 2)>0. 所以cos ∠MQN >0.所以OM →·ON →≤2λ恒成立，所以λ的最小值为174. 15．(2009·北京市西城5月)已知△AOB 的顶点A 在射线l ：y ＝3x (x >0)上，A 、B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足|AM |·|MB |＝3.当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W .(Ⅰ)求轨迹W 的方程；(Ⅱ)设P (－1,0)，Q (2,0)，求证：∠MQP ＝2∠MPQ .解：(Ⅰ)因为A ，B 两点关于x 轴对称，所以AB 边所在直线与y 轴平行．设M (x ，y )，由题意，得A (x ，3x )，B (x ，－3x )，所以|AM |＝3x －y ，|MB |＝y ＋3x ， 因为|AM |·|MB |＝3，所以(3x －y )×(y ＋3x )＝3，即x 2－y 23＝1， 所以点M 的轨迹W 的方程为x 2－y 23＝1(x >0)． (Ⅱ)证明：设M (x 0，y 0)(x 0>0)，因为曲线x 2－y 23＝1(x >0)关于x 轴对称， 所以只要证明“点M 在x 轴上方及x 轴上时，∠MQP ＝2∠MPQ ”成立即可．以下给出“当y 0≥0时，∠MQP ＝2∠MPQ ”的证明过程．因为点M 在x 2－y 23＝1(x >0)上，所以x 0≥1. 当x 0＝2时，由点M 在W 上，得点M (2,3)，此时MQ ⊥PQ ，|MQ |＝3，|PQ |＝3，所以∠MPQ ＝π4，∠MQP ＝π2， 则∠MQP ＝2∠MPQ ；当x 0≠2时，直线PM 、QM 的斜率分别为k PM ＝y 0x 0＋1，k QM ＝y 0x 0－2， 因为x 0≥1，x 0≠2，y 0≥0，所以k PM ＝y 0x 0＋1≥0， 且k PM ＝y 0x 0＋1≠1， 又tan ∠MPQ ＝k PM ，所以∠MPQ ∈(0，π2)， 且∠MPQ ≠π4， 所以tan2∠MPQ ＝2tan ∠MPQ 1－(tan ∠MPQ )2＝2×y 0x 0＋11－(y 0x 0＋1)2 ＝2y 0(x 0＋1)(x 0＋1)2－y 20， 因为点M 在W 上，所以x 20－y 203＝1，即y 20＝3x 20－3，所以tan2∠MPQ ＝2y 0(x 0＋1)(x 0＋1)2－(3x 20－3)＝－y 0x 0－2， 因为tan ∠MQP ＝－k QM ，所以tan ∠MQP ＝tan2∠MPQ ，在△MPQ 中，因为∠MPQ ∈(0，π2)， 且∠MPQ ≠π4，∠MQP ∈(0，π)， 所以∠MQP ＝2∠MPQ .综上，得当y 0≥0时，∠MQP ＝2∠MPQ所以对于轨迹W 的任意一点M ，∠MQP ＝2∠MPQ 成立．。