第八章 第五节

同步检测训练

一、选择题

1．若圆锥曲线C 的一个焦点F (1,0)对应的准线方程为x ＝－1，且曲线经过点P (3,23)，则C 的方程为( )

A ．y 2＝2x

B ．y 2＝4x

C ．x 2＝2y

D ．x 2＝4y

答案：B

解析：点P 到准线的距离为3－(－1)＝4＝|PF |

∴e ＝1，曲线为抛物线，因此方程为y 2＝4x ，故选B. 2．(2009·河南安阳)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右支上存在一点P ，使点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么该双曲线的离心率的取值范围是( )

A ．(1，3＋1]

B ．(1，2＋1]

C ．(1，3＋1)

D ．(1，2＋1)

答案：B

解析：设点P 的横坐标为x (x ≥a )，根据双曲线的定义得x ＋a 2c ＝e ⎝⎛⎭⎫x －a 2c ＝ex －a ，a 2c ＋a ＝x (e －1)≥a (e －1)，1e

＋1≥e －1，求得双曲线的离心率的取值范围是(1，2＋1]，故选B. 3．(2009·郑州二模)设向量i ，j 为直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j ，且|a |－|b |＝1，则满足上述条件的点P (x ，y )的轨迹方程是( ) A.x 214－y 234＝1(y ≥0) B.x 214－y 23

41(x ≥0) C.y 214－x 2

3

41(y ≥0) D.y 214－x 2

3

4

＝1(x ≥0) 答案：B

解析：a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j ，|a |－|b |＝(x ＋1)2＋y 2－(x －1)2＋y 2＝1，则满

足上述条件的点P (x ，y )的轨迹是以(－1,0)和(1,0)为焦点的双曲线的右支，方程是x 214y 2

3

4

＝1(x ≥0)，故选B.

4．(2008·武汉4月)已知点A (1,0)和圆C ：x 2＋y 2＝4上一点R ，动点P 满足RA →＝2AP →，则

点P 的轨迹方程为( )

A ．(x －32

)2＋y 2＝1 B ．(x ＋32)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －32

)2＝1 D ．x 2＋(y ＋32

)2＝1 答案：A

解析：由已知可得RA →AP →＝2，所以A 分RP 之比为2，可设R 坐标为(m ，n )、P 坐标为(x ，y )，由定比分点坐标公式可得m 、n 与x 、y 的关系，解出m 、n 并代入已知圆C 的方程可得所求的轨迹方程为A.

5．(2008·辽宁东北育才中学)以A (1,0)和l ：x ＝5为相应焦点和准线且过点P (3，m )(m ≠0)的圆锥曲线必定是( )

A ．抛物线

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．不能确定

答案：C

解析：e ＝|PA ||5－3|＝4＋m 22

>1，则所求圆锥曲线必定是双曲线，故选C. 6．(2008·天星教育)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上一点，过F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H .则点H 的轨迹为( )

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．圆

D ．抛物线

答案：C

解析：

如右图，过F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，交PF 2的延长线于G ，则|PF 1|=|PG |，

|F 1H |=|GH |，而|PF 1|-|PF 2|=|PG |-|PF 2|=|F 2G |=2a .连结OH ，则OH 是△F 1F 2G 的中位线，∴|OH |=12

|F 2G |=a .

∴点H 的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．故选C.

7．一条线段AB 长为2，两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )

A ．双曲线

B ．双曲线一分支

C ．圆

D ．半圆

答案：C

解析：由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB 的中点到原点的距离总等于1，∴AB 的中点轨迹是圆．故选C.

8．已知圆的方程x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (0，－1)，B (0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )

A.x 23＋y 2

4＝1(y ≠0) B.x 24＋y 231(y ≠0) C.x 23＋y 241(x ≠0) D.x 24＋y 23

＝1(x ≠0) 答案：C

解析：如右图，l 为圆的切线，切点为M ，l 也为抛物线的准线，过切点M 与圆心O 的

直线为抛物线的对称轴，焦点F (x ，y )在对称轴上，AC ⊥l ，BD ⊥l ，则|AC |+|BD |=2|OM |=4，|FA |+|FB |=|AC |+|BD |=4. 即F 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(不含y 轴上的点)，其方程为x 23＋y 2

4

=1(x ≠0)，故选C.

二、填空题

9．已知点A (6,0)，B 为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为

__________．

答案：(x －3)2＋y 2＝1

解析：设M (x ，y )则B (2x －6,2y )，将B 代入x 2＋y 2＝4得(x －3)2＋y 2＝1.

10．(2009·湖南十二校联考)如下图，在平面斜坐标中∠xOy ＝45°，斜坐标定义为OP →＝x 0e 1

＋y 0e 2(其中e 1，e 2分别为斜坐标系的x 轴，y 轴的单位向量)，则点P 的坐标为(x 0，y 0)．若

F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且动点M (x ，y )满足|MF 1→|＝|MF 2→|，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为

________．

答案：2x +y =0

11．(2009·湖北八校联考)在Rt △ABC 中 ，AB ＝AC ＝1，以点C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 边上，且这个椭圆过A 、B 两点，则这个椭圆的焦距长为________．

答案：62

解析：由椭圆定义得4a ＝AB ＋AC ＋BC ＝2＋2，2a ＝1＋22，AF ＝2a －AC ＝22

，2c ＝AC 2＋AF 2＝62，故填62

. 三、解答题

12．(2009·广东三校联考)已知定点F (1,0)和定直线x ＝－1，M 、N 是定直线x ＝－1上的

两个动点且满足FM →⊥FN →，动点P 满足MP →∥OF →，NO →∥OP →(其中O 为坐标原点)．

(1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．