浙江省普通高中学度高三数学学考模拟卷一与参考答案
浙江省嘉兴市2024届高三第一次模拟测试数学试题含答案
嘉兴市2024届高三第一模拟测试数学试卷（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知复数220231i i i z =++++ ，则z =（）A.0B.1C.D.【答案】A 【解析】【分析】化简复数z ，继而求模即可.【详解】220231i i i z =++++ ()()23420172018201920202021202220231i+i i +i i i +i i +i i +i =+++⋅⋅⋅++++15050i 1i 0=+⨯+--=则0z =，故选：A .2.已知集合πsin ,044k A k k ⎧⎫=∈≤≤⎨⎬⎩⎭N 且，则集合A 的元素个数为（）A.3 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】将k 的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合A ，即可得集合A 的元素个数.【详解】当0k =时，πsin sin004k ==，当1k =时，ππsinsin 442k ==，当2k =时，π2ππsin sin sin 1442k ===，当3k =时，π3πsin sin 442k ==，当4k =时，π4πsinsin sinπ044k ===，故0,,12A ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，共三个元素.故选：A.3.已知向量()2,0a =，()0,3b = ，若实数λ满足()()b a a b λ-⊥+ ，则λ=（）A.49B.94C.1- D.1【答案】A 【解析】【分析】先表示出,b a a b λ-+的坐标，然后根据垂直关系得到λ的方程，由此求解出结果.【详解】因为()()2,3,2,3b a a b λλ-=-+=，且()()b a a b λ-⊥+ ，所以22330λ-⨯+⨯=，所以49λ=，故选：A.4.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.5.已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型： 1.4e 0.1250ety k -=⋅（00k >，当0=t 时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过n 年后(N)n ∈，当该物种的种群数量不足2023年初的10%时，n 的最小值为（参考数据：ln10 2.3026≈）（）A.16B.17C.18D.19【答案】D 【解析】【分析】确定2023年初的种群数量为0=t 时的函数值，根据题意可列不等式 1.4e 0.125 1.4e 00e 10%e tk k -⋅<⋅⋅，结合对数运算即可求得答案.【详解】由题意可知2023年初的种群数量为0=t 时的函数值 1.4e0e k ⋅，故令 1.4e 0.125 1.4e 00e10%e ty k k -=⋅<⋅⋅，即0.1251e 10t -<，则0.125ln10t >，ln108ln108 2.302618.42080.125t ∴>=≈⨯=，由于*n ∈N ，故n 的最小值为19，故选：D6.已知数列{}n a 满足10a =，231a a ==，令()*12N n n n n b a a a n ++=++∈．若数列{}nb 是公比为2的等比数列，则2024a =（）A.2024247- B.2024237+ C.2024247+ D.2024267+【答案】B 【解析】【分析】数列{}n b 是公比为2的等比数列，可得2nn b =，则有32nn n a a +-=，累加法结合等比数列求和公式，计算2024a .【详解】11230112b a a a =++=++=，数列{}n b 是公比为2的等比数列，则2nn b =，即()13123121222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b ++++++++-=++-++=-=-=，()()()()2024202420212021201820182015522a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ ()67423202420242021201820152212242322221111877⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=+++++=+=+=- .故选：B【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列{}n b 的通项得到32nn n a a +-=，用累加法即可计算2024a .7.正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为（）A.2B.94 C.3D.52【答案】C 【解析】【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.因为正四面体的棱长为3，所以223332BG BE ==⨯⨯=，所以AG ==r ，则()222AG r r BG -=+，)22rr =+，解得4r =，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON，2348OM ON ⎛⋅=-=- ⎪⎝⎭ ，()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+ ()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，PO的最大值为44=，所以PM PN ⋅的最大值为23348⎛-= ⎝⎭.故选：C8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为A.13B.12C.2D.63【答案】A 【解析】【分析】结合图像，利用P 点坐标以及重心性质，得到G 点坐标，再由题目条件GI x ⊥轴，得到I 点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到MN ME的比值，再结合MIN ∆与MPE ∆相似，即可求得I 点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，从而求得椭圆离心率.【详解】如图，令P 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接PO ，显然G 点在PO 上，连接PI 并延长交x 轴于点M ，连接G I 并延长交x 轴于点N ，GI x ⊥轴，过点P 作PE 垂直于x 轴于点E，设点00(,)P x y ，12(,0),(,0)F c F c -，则00,OE x PE y ==，因为G 为12PF F ∆的重心，所以00(,)33x y G ，因为IG x ⊥轴，所以I 点横坐标也为03x ，03xON =，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，则有01212122()()23x PF PF F N NF F O ON OF ON ON -=-=+--==，又因为12+2PF PF a =，所以可得0012,33x xPF a PF a =+=-，又由角平分线的性质可得，011223=3x a F M PF x F M PF a +=-，而12=F M c OM F M c OM +-所以得03cxOM a=，所以0()3a c x MN ON OM a -=-=，0(3)3a c x ME OE OM a-=-=，所以3IN MN a c PEMEa c -==-，即0()3a c y IN a c-=-，因为1212121211()22PF F S PF PF F F IN F F PE ∆=++=即00()11(22)(2)232a c y a c c y a c -+=-，解得13c a =，所以答案为A.【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：（1）根据题目条件求出,a c ，利用离心率公式直接求解.（2）建立,,a b c 的齐次等式，转化为关于e 的方程求解，同时注意数形结合.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.正切函数是周期函数，最小正周期为πB.正切函数的图象是不连续的C.直线()ππZ 2x k k =+∈是正切曲线的渐近线D.把ππtan ,,)2(2y x x =∈-的图象向左、右平行移动πk 个单位，就得到tan y x =π(R,π)2x x k ∈≠+的图象【答案】ABC 【解析】【分析】根据正切函数的性质，以及它的的图象的特点，即可判断A ，B 。
【高三上数学】浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题(解析版)
浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知12i,1i z a z b =−=+（,R a b ∈，i 为虚数单位），若12z z ⋅是实数，则（ ） A ．10ab −= B ．10ab += C ．0a b −= D ．0a b +=【答案】A 【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可.【详解】因为12(i)(1i)=()(1)i z z a b a b ab =−++−⋅+是实数， 所以10ab −=， 故选：A2．设集合R U =，集合()22{|20},{|log 1}M x x x N x y x =−≥==−，则{|2}x x <=（ ）A ．M N ⋃B ．()UN MC ．U ()M ND ．()UMN【答案】B【分析】化简集合,M N ，根据集合的交集、并集、补集求解.【详解】因为()22{|20}(,0][2,),{|log 1}(,1)M x x x N x y x =−≥=−∞+∞==−=−∞，所以(,1)[2,)M N ⋃=−∞+∞，()U(,1)(0,2)(,2){|2}Nx x M −∞==−∞=<，U 1(,0)][2,)(()[,)[]10,,MN −∞+∞=+∞=+∞∞−，因为(,0]M N =−∞，所以()U(0,)M N =+∞，故选：B3．若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+与32a b −+垂直，则λ=（ ） A ．18B ．14C ．78D ．74【答案】B【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅的值，然后将a b λ+与32a b −+垂直”等价转换为)()032a b a b λ−⋅=++，从而即可求解.【详解】由题意有22221,1,cos 60a a b b a b a b ︒====⋅=⋅=又因为a b λ+与32a b −+垂直，所以()()()22132323322a ab a a b b b λλλλ+⋅=−+−⋅+=−+⨯−+1202λ−+=，解得14λ=.B.4．已知数列{}n a 为等比数列，且55a =，则（ ） A ．19a a +的最小值为50 B ．19a a +的最大值为50 C ．19a a +的最小值为10 D ．19a a +的最大值为105．已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x ⎛⎫=+=−=+ ⎪⎝⎭的零点分别为,,a b c ，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>由图象可知，a c <，所以a 故选：D6．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:142x y C +=的焦点，点P 在C 上，OP =，则12cos F PF ∠=（ ）A ．13−B ．0C ．13D ．3122PF PF PO +=，即可得【详解】如下图所示：不妨设12,PF m PF n ==，根据椭圆定义可得由余弦定理可知1cos 2F PF mn ∠又因为122PF PF PO +=，所以()()22122PF PF PO +=，又22122cos 1m n mn F PF ∠+=+，解得2210m n +=；()22216210n m n mn mn =+−=−=，即3mn =； 所以可得21281081cos 263m n F PF mn ∠+−===；7．已知二面角P AB C −−的大小为3π4，球O 与直线AB 相切，且平面PAB 、平面ABC 截球O 的两个截面圆的半径分别为1O 半径的最大可能值为（ ）AB ．C ．3 D的最大值即为MNE 外接圆的OMOE O =，同理可知，AB ⊥平面为MNE外接圆的一条弦，半径OE的最大值即为MNE外接圆的直径，即为π=时，4为MNE外接圆的一条弦，的最大值即为MNE 外接圆的直径，即为的半径的最大可能值为108．已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到()()()212232252f f f ⎧−≤≤⎪−≤≤⎨⎪−≤≤⎩，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.二、多选题9．已知5250125(12)x a a x a x a x −=++++，则下列说法正确的是（ ）A ．01a =B ．380a =−C ．123451a a a a a ++++=−D ．024121a a a ++=【答案】ABD【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案. 【详解】对于 A ， 取 0x =, 则 01a = ，则A 正确；对B ，根据二项式展开通式得5(12)x −的展开式通项为()55C 12r r rx −−，即()5C 2rr r x ⋅−⋅，其中05,N r r ≤≤∈所以3335C (2)80a =−=−，故B 正确；对C ，取1x =，则0123451a a a a a a +++++=−， 则12345012a a a a a a ++++=−−=−，故C 错误；对D ，取=1x −，则50123453243a a a a a a −+−+−==，将其与0123451a a a a a a +++++=−作和得()0242242a a a ++=， 所以024121a a a ++=，故D 正确； 故选：ABD.10．设O 为坐标原点，直线20x my m +−−=过圆22:860M x y x y +−+=的圆心且交圆于,P Q 两点，则（ ）A ．5PQ =B ．12m =C ．OPQ △的面积为D ．OM PQ ⊥【答案】BCOPQS=)0,0与由直线方程11．函数()sin (0)f x x ωω=>在区间22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，上为单调函数，且图象关于直线2π3x =对称，则（ ）A ．将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称 B ．函数()f x 在[]π2π，上单调递减 C ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,)99− D ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π(,0)3−【答案】AB 【分析】12．已知函数：R R →，对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z ，均有()()()3333f x f y f z xyz ++=，则（ ）A ．(0)0f =B ．(2023)2024f =C ．()f x 是奇函数D ．()f x 是周期函数三、填空题13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,3P ，则()sin πα+= .14．已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为14π3，则该圆台的侧面积为 .15．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为12，200米比赛未能站上领奖台的概率为310，两项比赛都未能站上领奖台的概率为110，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 . )()()()710A B P A P B P A B =+−=，进而求)()3110A B P A B =−=，再利用条件概率公式求出答案【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件)310=，()12P B =，()110P A B =，)()()()31171021010A B P A P B P A B =+−=+−=)()3110A B P A B =−=， )()()3310152P AB B P B ===. 故答案为：3516．已知抛物线Γ：22y x =与直线:4l y x =−+围成的封闭区域中有矩形ABCD ，点A ，B 在抛物线上，点C ，D 在直线l 上，则矩形对角线BD 长度的最大值是 .【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理设参，并通过数形结合求出参数的范围也是很重要的，至于求出目标函数表达式只需仔细计算即可.四、解答题17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知12cos cA b =+.(1)证明：2A B =； (2)若3sin 5B =，13c =，求ABC 的面积. 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积sin A B =，， ABCS=18．已知数列{}n a 满足11a =，且对任意正整数m ，n 都有2.m n n m a a a mn +=++(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{(1)}n n a −的前n 项和n S .()(112135212n n n n a a n −+−++−=++++−=，符合上式，所以2n a n =.)()2222221234(1)n n ⎡⎤−++−+++−−+⎣⎦(()()321121n n n n +−+++−=， 为奇数时，若n =，则21n n n n S S n −−=+−=时，满足1S 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为4，点E 满足3DE EA =，点F 是1CC 的中点，点G 满足135DG GD =(1)求证：,,,B E G F 四点共面；(2)求平面EFG 与平面1A EF 夹角的余弦值.，即可得出结论；，证明//EG BF 即可；,AH FH ，因为F 由3DE EA =知DE EA ，由135DG GD =知DG GH =所以DE DGEA GH=，所以/AH ， 所以EG //BF ，所以,G F 四点共面；法2：如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系⎭因为()4,0,2,3,0,BF EG ⎛=−=− ⎝，所以34EG BF =，所以//EG BF ，,,,B E G F 四点共面；）由（1）知，()()()11,4,0,1,0,4,3,4,2BE A E EF =−−=−−=−， 设平面EFG 的法向量为(),,m x y z =，m BE m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40420x y x z −−=⎧⎨−+=⎩，可取()4,1,8m =−，平面1A EF 的法向量(),,n a b c =，则有1403420n A E a c n EF a b c ⎧⋅=−−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，可取()8,7,2n =−设平面EFG 与平面1A EF 夹角为993m n m nθ⋅==⨯EFG 与平面 20．已知函数()()2e 4e 2x xf x a a x =+−−（e 为自然对数的底数，e 2.71828=）.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a >时，()7ln 4.f x a a >−− 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析21．某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？(2)现有n ()*N n ∈根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i ）当3n =，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望； （ii ）求证：这n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为()()212!1!.2!n n n n −⋅−附：()()()()22(),.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d −==+++++++)(2422212C 2n n ⋅==))21!2!!n n −=本题第二小问第二步的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果点(),0()t t a >的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 上与端点不重合的任意一点，过点M 且与1l 平行的直线分别交另一条渐近线2l 和C 于点,T N (1)求C 的方程； (2)求MP MQ OT MN的取值范围.试卷第21页，共21页。
浙江省温州市2024年6月普通高中学业水平模拟测试数学试题
浙江省温州市2024年6月普通高中学业水平模拟测试数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
13．下列选项中正确的是（ ）
A ．33log 1.1log 1.2
<B ．
()
()
3
3
1.1 1.2-<-C ． 1.1 1.2
0.990.99<D ．30.99
0.993<14．某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从
20．在ABC V 中，已知4BC =，4BC BD =uuu r uuu r ，连接AD ，满足
sin sin DB ABD DC ACD ×Ð=×Ð，则ABC V 的面积的最大值为四、解答题
21．某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟），并将样本数据分成
[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组，绘制如图所示的频率分布
直方图．
20．3
【分析】分别在ADB
V和
由角平分线定理得到AB AC
cos BAC
Ð，即可得到sin
ADB
V。
浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题含解析
浙江省新2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．22．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．83．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．2034．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．5．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．736．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设22),(2),(ln a f b f c f ===，则（ ） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>7．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．31πB ．34C 3πD ．148．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．710．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B ．312C ．2D ．6211．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a12．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5B ．11C ．20D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年1月浙江省普通高中学业水平考试仿真模拟卷(一)数学试题(解析版)
绝密★启用前2021年1月浙江省普通高中学业水平考试仿真模拟卷(一)数学试题(解析版)一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.函数()f x = ）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞D ．(,1)-∞ 解析：选C 由10x -≥可得1x ≤，所以函数的定义域为(,1]-∞.故选C ．2.若数列{}n a 是等比数列，且233,6a a ==-，则4a =（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2- 解析：选A 因为数列{}n a 是等比数列，且233,6a a ==-，所以可知322a q a ==-，所以4312a a q ==.3.直线220x y -+=的斜率为（ ）A ．12B ．12- C ．2 D ．2- 解析：选C 2A k B=-=. 4.已知角θ满足1sin 2θ=,则cos2θ=（ ） A ．12- B ．12 C ．34 D ．34- 解析：选B 因为1sin 2θ=,所以2211cos 212sin 1222θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭. 5.若平面向量(1,0),(3,2)a b =-=,则()a a b ⋅-=（ ）A ．2B ．3-C ．4-D ．4 解析：选D 因为(1,0),(3,2)a b =-=,所以2()134a a b a a b ⋅-=-⋅=+=.6.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形,俯视图是一个圆,则这个几何体的体积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 解析：选B 由三视图可知该几何体是一个底面半径的1,高为2的圆柱,所以该圆柱的体积为2V π=.7.若正数,a b 满足1ab =,则14a b +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选 D 因为1ab =,所以14142244a b a b+≥⋅==.当且仅当14a b =,1,22a b ==时取等号. 8.下列函数中是奇函数且在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．2y x =B ．3y x =-C ．1y x=- D ．2log y x = 解析：选C 由题可得,函数2y x =是偶函数,且在(0,)+∞上单调递增,所以排除A ；函数3y x =-是奇函数,且在(0,)+∞上单调递减,所以排除B ；函数1y x=-是奇函数,且在(0,)+∞上单调递增,所以C 满足条件；函数2log y x =是非奇非偶函数,且在(0,)+∞上单调递增,所以排除D ．故选C ．9.实数,x y 满足约束条件1,3415,x x y y a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若该约束条件满足的可行域的面积为15,则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3解析：选A 由题可得,该约束条件表示的平面区域是如图所示的三正视图 侧视图俯视图。
浙江省普通高中2018-2019学年度高三数学学考模拟卷(一)与参考答案
浙江省普通高中数学学考模拟试卷（一） 2018-10 班级： 姓名： 考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{}{}1,2,4,2,3,4A B ==,则AB = A ．{}2B ．{}2,3C ．{}4D ．{}2,4 2．已知向量()1,2AB =,()2,2BC =,下列说法中正确的是A ．()4,3AC =B ．4BC = C ．5AC =D ．以上都不正确3．若tan θ=且θ为第三象限角,则cos θ=A B ．C ．13D ．13-4．式子21lg 2lg5log 2++= A ．0 B ．2 C ．1 D ．1-5．下列函数中,与sin 2y x =的最小正周期和奇偶性都相同的是A ．cos 2y x =B ．sin y x =C ．tan y x =D ．sin 2x y =6．函数()()ln 2f x x =-A ．()1,2-B ．[)1,2-C ．(]1,2-D ．[]1,2- 7．在点()1,1,()2,3,()4,2中,与点()0,1-在直线3210y x -+=同一侧的点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．38．两平行直线1:l 210x y ++=,2:4230l x y ++=的距离为AB C D ．29．下列关于空间中的直线,l 平面α和平面β的说法中正确的是A ．若l α∥,则平面α内所有直线都与直线l 平行B ．若αβ⊥且l α⊂,则平面β内所有直线都与直线l 垂直C ．若αβ∥且l α⊥,则平面β内所有直线都与直线l 垂直D ．若αβ∥且l α⊂,则平面β内所有直线都与直线l 平行。
最新浙江省数学学考仿真模拟试题卷一(解析版)
浙江省普通高中学业水平考试{1,2,3,4A B =，则m 等于（ ）C ．3D ．4{1,2,3,4A B =B ∈，又由}1,2，得4A ∉，则4B ∈，即4m =，故选：)(lg 1x =-}2≤ B ．}D ．{}2|x x ≤A2x ≤，所以函数的定义域为{}|12x x <≤.） D ．3±3．【答案】C【解析】把圆的方程222420x y x y +-++=化为标准方程是（x –1）2+（y +2）2=3，∴故选C ．4．不等式()()2230x x -->的解集是（ ） A ．()3,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．RC ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．∅4．【答案】C【解析】原不等式可化为()()2230x x --<，解得322x <<，所以原不等式的解集是3,22⎛⎫⎪⎝⎭.故选:C.5．tan15︒=（ ）D ．3+1tan 45tan 303tan(4530)21tan 45tan 30313---===+⋅+D ．12，216b =，c ∴=．∴(2,,0)a m =(1,3,b n =-，若a //b ,则m n += 6 B ．7C ．8D ．9．【答案】B【解析】由a //b ,且(2,,0)a m =，(1,3,1)b n =-，则存在非零实数λ使得λab ，()201n λλ=⎪=-⎩，解得6m =，1=，所以m 8．若直线l 与380x y ++=垂直，则直线l 的斜率为（ ） A ．-3 B ．13-C ．3D ．138．【答案】D【解析】直线380x y ++=可化为38y x =--，其斜率为3k =-，又因为直线l 与直线380x y ++=垂直，所以直线l 的斜率为11'3k k =-=，故选D. 9．函数()21x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．【答案】D【解析】由题意，函数()21x f x x -=，可得()()22()11x x f x f x x x----===-， 即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；当0x >时，()211x f x x x x-==-，因为函数在0∞（，＋）上递增，排除A ，故选D . 10．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（ ） A ．223+ B ．31+C ．232-D ．31-10．【答案】B【解析】根据正弦定理，，解得，，并且，所以.11．一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为（ ）A ．12πB ．18πC ．24πD ．36π11．【答案】C【解析】根据三视图，所求的几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，其表面积为233524πππ⨯+⨯⨯=.故选:C.12．已知,a b 是实数，则“11a b ==且”是“2a b +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件12．【答案】A【解析】根据题意，由于,a b 是实数，则“1a =且1b =”是“2a b +=，则可知条件可以推出结论，反之，则不一定成立，故可知答案为充分不必要条件，选A.13．如图所示，l αβ⋂=平面平面，A β∈，B β∈，AB l D ⋂=，C α∈，则平面ABC 和平面α的交线是（ ）A ．直线ACB ．直线BC C ．直线ABD ．直线CD13．【答案】D 【解析】∵lα，D l ∈，∴D α∈，又C α∈，∴CD α⊂．又CD ⊂平面ABC ，∴CD 为平面ABC与平面α的交线．故选D.14．已知实数x ，y 满足23600x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．145D ．214．【答案】B【解析】由题意，作出不等式组23600x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域，如图所示，目标函数z x y =+，可化为y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+过点B 时，此时直线y x z =-+的截距最大，目标函数取得最大值，又由2360x y x +=⎧⎨=⎩，解得(3,0)B ，所以目标函数的最大值为303z =+=．故选：B ．15．函数3sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象可看成3sin 3y x =的图象按如下平移变换而得到的（ ） A ．向左平移9π个单位 B ．向右平移9π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位15．【答案】A 【解析】3sin 33sin 339y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数3sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可看成3sin 3y x =的图象向左平移9π个单位得到的.故A 正确. 16．数列{}n a 的前n 项的和满足*3,,2n n S a n n N =-∈则下列为等比数列的是（ ）A ．{1}n a +B ．{1}n a -C ．{1}n S +D ．{1}n S -16．【答案】A【解析】当1n =时，由32n n S a n =-得11312a a =-，即12a =；当2n ≥时，由32n n S a n =-得113(1)2n n S a n --=--，两式相减，得133122n n n a a a -=--，即132n n a a -=+，则113(1)n n a a -+=+，又113a +=，所以数列{1}n a +是以3为首项、公比为3的等比数列；故选A.17．已知P 为双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，A 为其左顶点，(43,0)F 为其右焦点，满足||||AF PF =，3PFA π∠=，则点F 到直线PA 的距离为（ ）A ．532B ．72C ．732D ．15217．【答案】D【解析】由题意可得(),0A a -，(),0F c ，由||||AF PF =，3PFA π∠=可得APF 为等边三角形，所以有()3,22c a P a c ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程可得()()22223144c a a c a b -+-=，结合222b c a =-化简可得22340c ac a --=，可解得4c a =，因为43c =，所以3a =，所以点F 到直线PA 的距离为()331553222a c +=⋅=，故选：D. 18．如图，在三棱锥P ABC -中，PB BC a ==，()PA ACb a b ==<，设二面角P AB C 的平面角为α，则（ ）A ．+PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α<∠+∠ B ．+PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α<∠+∠ C ．+PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α>∠+∠D ．+PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α>∠+∠ 18．【答案】C【解析】如图（1），取PC 中点D ，连接AD ，BD ，由PB ＝BC ＝a ，P A ＝AC 易知BD ⊥PC ，AD ⊥PC ，故可得PC ⊥平面ABD ， 作PM ⊥AB 于M ，由ABP ABC ≅，可得CM ⊥AB ， ∴PMC α∠=，又PM CM h a b ==<<，由图（2）可得2222PMC PBC PACα∠∠∠=>>，2PAC PBC α∴>∠+∠，PBC PAC ∠∠22PBC PACPCB PCA π∠∠+∠++∠=，故0)0)x ，(f -()1f a =，则实数a 的值为___________．2(0)0)x x <，所以()1f a =；221a -=，解得1，解得0a =（舍），综上：1a =+14；1．已知向量,a b 满足a b ⊥，且2,24,a a b =-=则b =___________． 3 【解析】a b ⊥，∴0a b ⋅=，24a b -=()22222412446a a b b a a bb ∴=-⋅+=+=-2a =，24416b ∴+=3b ∴=.21．已知数列{}n a 满足：1a a =，(1581n n n a a n a +-=∈-n ，都有3n a >，则实数a 的取值范围是___________． 21．【答案】()3,+∞ 【解析】1585(1)335(3)111n n n n n n n a a a a a a a +---===->---，又351y x =--在区间(3,)+∞上单调递增，113n n a a a a +∴>>⋯>=>，∴实数a 的取值范围是(3,)+∞．22．已知OPQ 是半径为1，圆角为6π扇形,C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的接矩形，则2AB AD +的最大值为___________．22．【答案】843- 【解析】设,06COP παα⎛⎫∠=≤≤⎪⎝⎭，扇形OPQ 的半径为1ABCD 是扇形的接矩形 则sin sin AD BC OC αα==⨯= ，cos cos OB OC αα=⨯=,3tan 3AD DOA AO ∠==,所以33sin AO AD α==，则cos 3sin AB OB OA αα=-=， 所以2AB AD +cos 3sin 2sin ααα=-+ ()23sin cos αα=-+()843sin ,tan 23αϕϕ=-+=+，因为tan 23ϕ=+所以512πϕ=， 所以当12πα=时, 2AB AD +取得最大值843-，故答案为: 843-三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知函数()3cos 22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在[]0,π上单调递增区间. 23．（本小题满分10分） 【解析】（1）由题意， 函数33()2sin 2sin 22f x x x x =+-13=sin 22sin 223x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（3分） 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==．（5分） （2）令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，（7分）由[0,]x π∈，得()f x 在[0,]π上单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（10分） 24．（本小题满分10分）已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点. （1）若1k =，求FA FB +的值；（2）点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程. 24．（本小题满分10分）【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，（3分）又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（5分）（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =，（7分） 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-，（9分） 所以直线l 的方程为3240x y +-=. （10分） 25．（本小题满分11分）已知函数2()231f x x x =-+，()sin()6g x k x π=-，（0k ≠）（1）问取何值时，方程(sin )sin f x a x =-在[)0,2π上有两解；（2）若对任意的[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数k 的取值范围？ 25．（本小题满分11分）【解析】（1）22sin 3sin 1sin x x a x -+=-化为22sin 2sin 1x x a -+=在[]0,2π上有两解,换sin t x =, 则2221t t a-+=在[]1,1-上解的情况如下：)0<或0∆=,16π⎫≤⎪⎭, （7分）∴10k≥或20k≤-.综上，实数k的取值范围是(][)∞+∞，，1020-- . （11分）。
【学考模拟 】浙江省2024年7月普通高中学业水平测试仿真模拟数学试卷+答案解析
【学考模拟】浙江省2024年7月普通高中学业水平测试仿真模拟数学试卷❖一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则复数Z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知，，则在上的投影向量为()A.B.C.D.3.已知函数的定义域为集合A ，值域为集合B ，则()A. B.C. D.4.已知，为钝角，且，，则()A.B.C.D.5.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制先胜4局者胜，比赛结束，已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为()A.B. C.D.6.已知向量，，且，则实数t 的值为()A.3B.C. D.27.用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为，则球的体积()A.B.C. D.8.若m 满足，则m 的值为()A.1B.2C.D.09.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为单位：天，铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为，，开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则，满足的关系式为()A. B.C.D.10.设a ，b 为实数，则“”是“”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11.设的内心为I ，而且满足，则的值是()A.B.C.D.12.一个顶点为P ，底面中心为O 的圆锥体积为1，若正四棱锥内接于该圆锥，平面ABCD 与该圆锥底面平行，A ，B ，C ，D 这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是()A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共16分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
13.已知幂函数，其中a ，，则下列说法正确的是()A. B.若时，C.若时，关于y 轴对称D.恒过定点14.饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET ”.随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班班，B 班月份每天产生饮料瓶的数目单位：个，并按分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是()A.A班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41B.B班5月产生饮料瓶数的第75百分位数C.已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在之间D.15.已知函数，则下列说法正确的是()A.的图像是中心对称图形B.的图像是轴对称图形C.是周期函数D.存在最大值与最小值16.已知函数则关于x的方程根的个数可能是()A.0个B.1个C.2个D.3个三、填空题：本题共4小题，共15分。
浙江省金华市2024-2025学年高三上学期一模考试数学试题含答案
金华十校2024年11月高三模拟考试数学试题卷（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上.2.选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦干净.3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22M x x =-<<，{}1,0,1,2,3N =-，则M N = （）A.{}1,0,1- B.{}1,0,1,2- C.{}1,0- D.{}0,12.在复平面中，若复数z 满足1i 1z =-，则z =（）A.2B.13.若,a b ∈R ，则a b =是22ab=的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，点()3,M m 在抛物线C 上，且4MF =，则抛物线C 的方程为（）A.2y x = B.22y x= C.24y x= D.26y x=5.已知πtan 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos αα⋅=（）A.14 B.34C.12-D.326.已知函数()32f x x ax bx c =+++的部分图像如图所示，则以下可能成立的是（）A.2a =，1b =B.1a =-，2b =C.2a =-，1b = D.2a =，1b =-7.某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A 、B 可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A 的人数多于选辩题B 的人数，则（）A.选辩题A 的女生人数多于选辩题B 的男生人数B.选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的男生人数C.选辩题A 的女生人数多于选辩题A 的男生人数D.选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的女生人数8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为42，P 为正方体内部一动点，球O 为正方体内切球，过点P 作直线与球O 交于M ，N 两点，若OMN △的面积最大值为4，则满足条件的P 点形成的几何体体积为（）A.32π3642π3C.162π3-D.322π3-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()3,4a = ，()4,b m =，则（）A.5a = B.min 1ab -=C.若a b ∥，则3m = D.若a b ⊥，则3m =10.设函数()sin5sin cos xf x x x=⋅，则（）A.()f x 的图像有对称轴B.()f x 是周期函数C.()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称11.从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点A 出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走n 次时恰好为第一次回到A 点的概率为()n P n +∈N ，恰好为第二次回到A 点的概率为()n Q n +∈N ，则（）A.329P =B.4127Q =C.2n ≥时，1n nP P +为定值 D.数列{}n Q 的最大项为427非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列{}n a 为等差数列，11a =，238a a +=，则6a =______.13.从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有______种14.已知双曲线C ：221x y -=，F 为右焦点，的直线l 与C 交于M ，N 两点，设点()11,M x y ，()22,N x y ，其中120x x >>，过M 且斜率为1-的直线与过N 且斜率为1的直线交于点T ，直线TF 交C于A ，B 两点，且点T 为线段AB 的中点，则点T 的坐标为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）记ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos c B A -=.（1）求B ；（2）若ABC △为等腰三角形且腰长为2，求ABC △的底边长.16.（本题满分15分）如图，三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，AD DB DC BC ===，E 为AB 中点，M 为DE 中点，N 为DC 中点.（1）求证：MN ∥平面ABC ；（2）求直线DE 与平面ABC 所成角的正弦值.17.（本题满分15分）已知函数()()21ln 12f x x a x a x =-+-，()0a >.（1）若1a =，求()f x 的单调区间；（2）若()212f x a ≥-，求a 的取值范围.18.（本题满分17分）已知()2,0A 和31,2B ⎛ ⎝⎭为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上两点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）过点()1,0-的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点（D ，E 不在x 轴上）.（i ）若ADE △l 的方程；（ii ）直线AD 和AE 分别与y 轴交于M ，N 两点，求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值.19.（本题满分17分）已知正n 边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换T ，其将正n 边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如：记n 个顶点上的n 个数顺时针排列依次为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，则()112i i i a a T a -++=，i 为整数，21i n ≤≤-，()212n a a T a +=，()112n n a a T a -+=.设()()()()ni i T a T T T a =⋅⋅⋅（共n 个T ，表示n 次变换）（1）若4n =，i a i =，14i ≤≤，求()21Ta ，()22T a ，()23T a ，()24T a ；（2）对于正n 边形，若()i i T a a =，1i n ≤≤，证明：121n n a a a a -==⋅⋅⋅==；（3）设42n k =+，k *∈N ，{}{}12,,,1,2,,n a a a n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，证明：存在m *∈N ，使得()()1,2,,mi Ta i n =⋅⋅⋅不全为整数.金华十校2024年11月高三模拟考试数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ADBCBCAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ABABDACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
浙江省温州市2024届高三第一次模拟考试数学试题含答案
浙江省温州2024届高三第一次模拟考试数学学科（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数1i1i +-的虚部为（）A.i - B.iC.0D.1【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为()()21i (1i)2ii 1i 1i 1i 2++===-+-，所以虚部为1.故选：D ．2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A.93B.93.5C.94D.94.5【答案】B 【解析】【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8⨯=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+=.故选：B.3.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:235C x y ++-=有公共点，则b 的取值范围为（）A.[]2,12 B.(][),212,∞∞-⋃+C.[]4,6- D.(][),46,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，圆心()2,3-到直线:2l y x b =+的距离≤，解得212b ≤≤，故b 的取值范围是[]2,12.故选：A4.三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且3AB =，2PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.32π3D.12π【答案】B 【解析】【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.【详解】如图，点H 为ABC 外接圆的圆心，过点H 作平面ABC 的垂线，点D 为PA 的中点，过点D 作线段PA 的垂线，所作两条垂线交于点O ，则点O 为三棱锥外接球的球心，因为PA ⊥平面ABC ，且ABC 为等边三角形，2,3PA AB ==，所以四边形AHOD 为矩形，3AH AB ==112OH PA ==，所以2OA ==，即三棱锥外接球的半径2R =，则该三棱锥外接球的表面积为24π16πR =.故选：B5.已知等比数列{}n a 的首项11a >，公比为q ，记12n n T a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ），则“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】由题意，()()1123(1)1121211110n n n nn n n n a a q a q aT qa qa a a a --+++-=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅>= ，(1)12111(1)21n n n nn n n n nT a q a q T a q +++-⋅==⋅⋅，当11,01a q ><<时，11na q ⋅<对于N n *∈不一定恒成立，例如122,3a q ==；当{}n T 为递减数列时，0q >且11na q ⋅<对于N n *∈恒成立，又因为11a >，所以得01q <<，因此“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的必要不充分条件，故选：C.6.已知函数()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中0ω>.若()f x 在区间π3π,34⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.35,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,1【答案】A 【解析】【分析】利用余弦函数的单调性求出()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间，可得3π2ππ4,3π2π3π4,4k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得，函数()f x 的增区间为()ππ2π2π4k x k k ω-+≤-≤∈Z ，且0ω>，解得()3ππ2π2π44k k x k ωω-++≤≤∈Z .由题意可知：()3ππ2π2ππ3π44,,34k k k ωω⎛⎫-++ ⎪⎛⎫⊆∈⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭Z .于是3π2ππ43π2π3π44k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得()9186433k k k ω-+≤≤+∈Z .又0ω>，于是103ω<≤.故选：A .7.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，=2AB ，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示），若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（）A.⎡⎤⎣⎦B.⎡⎣C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.,22⎡-⎢⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由AP ED AF λμ=+ 得到3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，从而得到2π4αλμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由此可求得2λμ-的取值范围.【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：.则()0,0A ，()1,0E ，()0,1D ，()1,1C ，()2,0B ，()ππcos ,sin 22P ααα⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，则31,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()cos ,sin AP αα=，()1,1ED =- ，31,22AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∵AP ED AF λμ=+ ，∴()()3131cos ,sin 1,1,,2222ααλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，∴()13sin cos 4λαα=-，()1cos sin 2μαα=+，∴()()11π23sin cos cos sin sin cos 224λμααααααα⎛⎫-=--+=-=- ⎪⎝⎭，∵ππ22α-≤≤，∴3πππ444α-≤-≤，∴π1sin 42α⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴π14α⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，故21λμ≤-≤，即()2λμ⎡⎤⎣⎦-∈.故选：A.8.已知lg4lg5lg610,9,8a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数分析可知()f x 在[]4,6上单调递增，进而结合对数函数单调性分析判断.【详解】因为lg4lg5lg610,9,8a b c ===，两边取对数得：lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，令()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，则()()()()()()lg 1414lg 14lg lg 1ln1014ln10ln1014x x x x x x f x x x x x ⎡⎤----⋅=-=⎢⎥-⋅-⎢⎥⎣⎦'，令()lg g x x x =⋅，则()()()()1lg lg lg 0,1,ln10g x x x x x x x '=⋅+⋅=+>∈''+∞，可知()g x 在()1,+∞上单调递增，因为46x ≤≤，则81410x ≤-≤，可知14x x ->恒成立，则()()14g x g x ->，即()()140g x g x -->，可得()0f x ¢>，则()()lg lg 14f x x x =⋅-在[]4,6上单调递增，可得()()()456f f f <<，可得lg4lg10lg5lg9lg6lg8⋅<⋅<⋅，即lg lg lg a b c <<，又因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以a b c <<.故选：D.【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数判断其单调性.二、多选题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A.1x <B.20.50.5log log x x >C.233x x< D.()()11x x x x -=-【答案】BC 【解析】【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10xx ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC10.设A ，B 是一次随机试验中的两个事件，且1(3P A =，1()4P B =，7()12P AB AB +=，则（）A.A ，B 相互独立B.5()6P A B +=C.()13P B A =D.()()P A B P B A≠【答案】ABD【解析】【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A 、B ，利用条件概率的定义与公式可判定C 、D .【详解】由题意可知()()()23()1,134P A P A P B P B =-==-=，事件,AB AB 互斥，且()()()()()(),P AB P AB P A P AB P AB P B +=+=，所以()()()()()7()212P AB AB P AB P AB P A P B P AB +=+=+-=，即()()()()2171234126P AB P AB P A P B +-=⇒==，故A 正确；则()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B+=+-=+-⋅1313534346=+-⨯=，故B 正确；由条件概率公式可知：()()()11162433P AB P B A P A ===≠，故C 错误；()()()()()()11146134P AB P B P AB P A B P B P B --====，()()()()()()21336243P BA P A P AB P B A P A P A --====即()()P A B P B A ≠，故D 正确.故选：ABD11.在三棱锥-P ABC 中，ACBC ⊥，4AC BC ==，D 是棱AC 的中点，E 是棱AB 上一点，2PD PE ==，AC ⊥平面PDE ，则（）A.//DE 平面PBCB.平面PAC ⊥平面PDEC.点P 到底面ABC 的距离为2D.二面角D PB E --的正弦值为7【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；根据面面垂直的判定定理可判断B ；取DE 的中点O ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，利用线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面ABC ，求出PO 可判断C ；以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面PBD 、平面PBD 的一个法向量，由线面角的向量求法可判断D ．【详解】对于A ，因为AC ⊥平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC DE ⊥．因为AC BC ⊥，且直线,,AC BC DE ⊂平面ABC ，所以//DE BC ．因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ，A 正确；对于B ，AC ⊥平面PDE ，AC ⊂平面PAC ，所以平面PDE ⊥平面PAC ，B 正确；对于C ，取DE 的中点O ，连接PO ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，因为PD PE =，所以PO DE ⊥．因为AC ⊥平面PDE ，PO ⊂平面PDE ，所以AC PO ⊥，因为DE AC D ⋂=，DE ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC，PO =，C 错误；对于D ，如图，以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，因为D 是AC 的中点，4AC BC ==，所以()()()()0,0,0,3,2,0,1,0,0,1,0,0O B E D -，因为2PD PE ==，所以PO =，即(P ，所以()((()4,2,0,1,0,,1,0,,2,2,0DB DP EP EB ===-=，设平面PBD 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m DB m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11114200x y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =111y z =-=-，所以平面PBD的一个法向量)1m =--，设平面PBE 的一个法向量()222,,n x y z = ，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222200x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2x =，得221y z ==，所以平面PBE的一个法向量)n =，所以1cos ,7m nm n m n-⨯-⋅== ，设二面角D PB E--为[],0,πθθ∈，所以21sin 7θ==，所以二面角D PB E --的正弦值为7，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：二面角的通常求法，1、由定义作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；3、利用向量法求二面角的平面.12.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线():2200l x ay b a -+=≠与C 的准线1l ，交于点A ．已知l 与C 相切，切点为B ，直线BF 与C 的一个交点为D ，则（）A.点(),a b 在C 上B.BAF AFB∠<∠C.以BF 为直径的圆与1l 相离 D.直线AD 与C 相切【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，联立直线l 与抛物线方程，根据根的判别式得到点(),b a 在C 上；B 选项，作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C 选项，证明出以BF 为直径的圆与y 轴相切，得到C 正确；D 选项，设出直线BD 方程，与抛物线方程联立求出D 点坐标，从而求出直线AD 方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.【详解】对于A ，联立直线l 与C 的方程，消去x 得2240y ay b -+=，因为l 与C 相切，所以2Δ4160a b =-=，即24a b =，所以点(),b a 在C 上，A 错误．对于B ，过点B 作BM 垂直于C 的准线，垂足为M ，由抛物线定义知BF BM =，因为0a ≠，所以AB BM >，所以在ABF △中，AB BF >，由大边对大角得BAFAFB ∠<∠，B 正确．对于C ，()1,0F ，由A 选项l 与C 相切，切点为B ，可得(),B b a ，其中24a b =，则BF 的中点坐标为1,22b a +⎛⎫⎪⎝⎭，且()221BF b a =-+()()22211412b a b bb -+-++==，由于半径等于以BF 为直径的圆的圆心横坐标，故以BF 为直径的圆与y 轴相切，所以与1l 相离，C 正确；对于D ，设直线BD 方程为11b x y a -=+，与C 联立得()24140b y y a ---=，所以4D a y ⋅=-，解得4D y a=-，则21144111D D b b x y a a a a b --⎛⎫=+=⋅-+== ⎪⎝⎭，因为221,b A a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AD 方程为22b y x a a=--，联立直线AD 与曲线C 的方程得2240by ay ++=，因为2Δ4160a b '=-=，所以直线AD 与C 相切，D 正确．故选：BCD ．【点睛】抛物线的相关结论，22y px =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与y 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切；22x py =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与x 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切.三、填空题：本大题共4小题13.已知:31p x -≤≤，:q x a £（a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________.【答案】[)1,+∞【解析】【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.【详解】因为q 的一个充分不必要条件是p ，所以[3,1]-是(],a -∞的一个真子集，则1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.14.已知正项数列{}n a 满足121n n n a a n +=+，则106a a =_______.【答案】485【解析】【分析】由递推公式可得121n n a n a n +=+，再由累乘法即可求得结果.【详解】由121n n n a a n +=+可得121n na n a n +=+，由累乘可得9101879870662928272648918171615a a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=++++.故答案为：48515.直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，AC BC ⊥，6AC =，8BC =，14AA =．若平面α将该直三棱柱111ABC A B C -截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为______．【答案】104π【解析】【分析】α可能是AC 的中垂面，BC 的中垂面，1AA 的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图α有如下三种可能.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则222238489R =++=或222264468R =++=或2222682104R =++=，所以2max 4π104πS R ==．故答案为：104π16.对任意(1,)x ∈+∞，函数()ln ln(1)0(1)x f x a a a x a =--≥>恒成立，则a 的取值范围为___________．【答案】1e e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形为()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，构造()ln ,0F t t t t =>，求导得到单调性进而11x a ->恒成立，故()10x F a->，分当(]10,1x -∈和11x ->两种情况，结合()ln u g u u =单调性和最值，得到1e e a ≥，得到答案.【详解】由题意得1ln ln(1)x a a x -≥-，因为(1,)x ∈+∞，所以()()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，即()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，令()ln ,0F t t t t =>，则()()11x F aF x -≥-恒成立，因为()1ln F t t ='+，令()0F t '>得，1e t ->，()ln F t t t =单调递增，令()0F t '<得，10e t -<<，()ln F t t t =单调递减，且当01t <≤时，()0F t ≤恒成立，当1t >时，()0F t >恒成立，因为1,1a x >>，所以11x a ->恒成立，故()10x F a ->，当(]10,1x -∈时，()10F x -≤，此时满足()()11x F a F x -≥-恒成立，当11x ->，即2x >时，由于()ln F t t t =在()1e ,t ∞-∈+上单调递增，由()()11x F a F x -≥-得()1ln 11ln 1x x a x a x --≥-⇒≥-，令11u x =->，()ln u g u u =，则()21ln u g u u -'=，当()1,e u ∈时，()0g u '>，()ln u g u u =单调递增，当()e,+u ∞∈时，()0g u '<，()ln u g u u =单调递减，故()ln u g u u =在e u =处取得极大值，也是最大值，()ln e 1e e eg ==，故1ln e a ≥，即1e e a ≥，所以，a 的取值范围是1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是1ln ln(1)x a a x -≥-两边同时乘以1x -，变形得到()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，从而构造()ln ,0F t t t t =>进行求解.四、解答题：木大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b ac +-=，a =cos 3A =.（1）求角B 及边b 的值；（2）求sin(2)A B -的值.【答案】（1）π3B =，94b =（2【解析】【分析】（1）由余弦定理得到π3B =，求出2sin 3A =，由正弦定理得到94b =；（2）由二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，由差角公式求出答案.【小问1详解】因为222a cb ac +-=，由余弦定理得2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =，因为()0,πA ∈，cos 3A =，所以2sin 3A ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，即232=94b =；【小问2详解】由（1）得2sin 22sin cos 2339A A A ==⨯⨯=，2251cos 22cos 12139A A ⎛=-=⨯-= ⎝⎭，8sin(2)sin 2cos cos 2s 11929i 1n 2A B A B A B -=-=⨯-⨯=.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11n n n n a b a a ++=，其前n 项和为n T ，求使得20232024n T >成立的n 的最小值．【答案】（1）21n n a =-；（2）10.【解析】【分析】（1）根据,n n a S 关系及递推式可得112(1)n n a a -+=+，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；（2）应用裂项相消法求n T ，由不等式能成立及指数函数性质求得10n ≥，即可得结果.【小问1详解】当2n ≥时，111(2)(21)2()1n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--，所以121n n a a -=+，则112(1)n n a a -+=+，而1111211a S a a ==-⇒=，所以112a +=，故{1}n a +是首项、公比都为2的等比数列，所以12nn a +=⇒21n n a =-.【小问2详解】由1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b a a ++++===-----，所以111111111111337715212121n n n n T ++=-+-+-++-=---- ，要使1202324112102n n T +>=--，即111202520211422n n ++>-<⇒，由1011220252<<且*N n ∈，则11110n n +≥⇒≥.所以使得20232024n T >成立的n 的最小值为10.19.如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 作平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132OA =．（1）求证：11B C ⊥平面OAH ；（2）求二面角111O A B C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理结线面平行的判定可得EF ∥平面OBC ，再由线面平行的性质可得EF ∥11B C ，由等腰三角形的性质可得AH ⊥EF ，从而可得AH ⊥11B C ，再由已知可得OA ⊥平面OBC ，则OA ⊥11B C ，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ，则由已知条件可证得11A B ⊥平面1OC N ，从而可得1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角，过E 作EM ⊥1OB 于M ，则可得EM ∥OA ，设1OB x =，然后利用平行线分线段成比例定理结合已知条件可求得x ，在11R t OA B 中可求出11A B 的长，从而可求得ON ，进而可直角三角形1OC N 中可求得结果.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 是ABC 的中位线，所以EF ∥BC ，因为EF ⊄平面OBC ，BC ⊂平面OBC ，所以EF ∥平面OBC ，因为EF ⊂平面111A B C ，平面111A B C Ç平面11OBC B C =，所以EF ∥11B C ．因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以11,22AE AB AF AC ==，因为AB AC =，所以AE AF =，因为H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，所以AH ⊥11B C ．因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OB OC O = ，所以OA ⊥平面OBC ，因为11B C ⊂平面OBC ，所以OA ⊥11B C ，因为OA AH A= 因此11B C ⊥面OAH ．（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ．因为111111,,OC OA OC OB OA OB O ⊥⊥= ，因为1OC ⊥平面11OA B ，因为11A B ⊂平面11OA B ，所以111OC A B ⊥，因为1ON OC O = ，所以11A B ⊥平面1OC N ，因为1C N ⊂平面1OC N ，所以1C N ⊥11A B，所以1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角．过E 作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则111,122EM OA OM OB ====．设1OB x =，由111OB OA MB EM =得，312x x =-，解得3x =，则13OC =，在11R t OA B中，11A B ==则1111OA OB ON A B ⋅==．所以在1R t ONC中，11tan OC ONC ON ∠==故二面角111O A B C --为20.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.【答案】（1）23（2）512【解析】【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.（2）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】记取到甲盒子为事件1A ，取到乙盒子为事件2A ，取到丙盒子为事件3A ，取到黑球为事件B ：由全概率公式得1122331815132()()(|)()(|)()(|)31236363P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=，故摸出的球是黑球的概率是23.【小问2详解】由条件概率公式得2215()536(|)2()123P A B P A B P B ⨯===，故此球属于乙箱子的概率是51221.设椭圆(222:109x y C b b +=<<，P 是C 上一个动点，点()1,0A ，PA长的最小值为2．（1）求b 的值：（2）设过点A 且斜率不为0的直线l 交C 于,B D 两点，,E F 分别为C 的左、右顶点，直线BE 和直线DF 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．【答案】（1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出点P 坐标，并求出PA 长，再结合二次函数探求最小值即得解.（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，设出点,B D 的坐标，利用斜率坐标公式，结合韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，设焦距为2(0)c c >，设00(,)P x y ，则222000||(1),[3,3]PA x y x =-+∈-，而22200(19x y b =-，则222200||(1)219b PA x x b =--++=222222*********()199c c x x b x b c c -++=-++-，而0b <<，则2(9(3,9))b -∈，即2(3,9)c ∈，因此29(1,3)c∈，由0[3,3]x ∈-，得当029x c =时，222min 295||1(22PA b c =+-==，即229392b b -=-，化简得42221450b b -+=，又0b <<，解得23b =，所以b=【小问2详解】由（1）知，椭圆C 的方程为22193x y +=，点(3,0),(3,0)E F -，设()()1122,,,B x y D x y ，则121212,33y y k k x x ==+-，即12k k =121212213(3)3(3)y x y x x y y x --⋅=++，斜率不为0的直线l 过点(1,0)A ，设方程为1x my =+，则112121221122(13)2(13)4k y my my y y k y my my y y +--==+++，由22139x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得22(3)280m y my ++-=，显然0∆>，则12122228,33m y y y y m m --+==++，即有2211)4(my y y y =+，因此()()121112112212212212422241444482y y y k my y y y y k my y y y y y y y +--+====++++，所以12k k为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知()3ln (1)f x x k x =--.（1）若过点(2,2)作曲线()y f x =的切线，切线的斜率为2，求k 的值；（2）当[1,3]x ∈时，讨论函数2π()()cos π2g x f x x =-的零点个数.【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，结合导数的几何意义列式求解即可；（2）求导，可得()g x '在[1,3]内单调递减，分类讨论判断()g x 在[1,3]内的单调性，进而结合零点存在性定理分析判断.【小问1详解】由题意可得：3()f x k x'=-，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，则切线斜率为003()2k f x k x '==-=，即032k x =-，可得切线方程为()()0003ln 12y x k x x x ---=-⎡⎤⎣⎦，将(2,2)，032k x =-代入可得()()0000323ln 2122x x x x ⎡⎤⎛⎫----=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，整理得001ln 10x x -+=，因为1ln ,y x y x ==-在()0,∞+内单调递增，则1ln 1y x x=-+在定义域()0,∞+内单调递增，且当1x =时，0y =，可知关于0x 的方程001ln 10x x -+=的根为1，即01x =，所以0321k x =-=.【小问2详解】因为2π2π()()cos 3ln (1)cos π2π2g x f x x x k x =-=---，则3π()sin 2g x k x x '=-+，可知3y x=在[1,3]内单调递减，且[1,3]x ∈，则ππ3π,222x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，可知πsin 2y x =在[1,3]内单调递减，所以()g x '在[1,3]内单调递减，且(1)4,(3)g k g k ''=-=-，（i ）若0k -≥，即0k ≤时，则()()30g x g ''≥≥在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递增，则()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅱ）若40k -≤，即4k ≥时，则()()10g x g ''≤≤在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递减，则()()10g x g ≤=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅲ）若400k k ->⎧⎨-<⎩，即04k <<时，则()g x '在()1,3内存在唯一零点()1,3m ∈，可知当1x m ≤<时，()0g x '>；当3m x <≤时，()0g x '<；则()g x 在[)1,m 内单调递增，在(],3m 内单调递减，且()10g =，可知()()10g m g >=，可知()g x 在[)1,m 内有且仅有1个零点，且()33ln 32g k =-，①当()33ln 320g k =-≤，即3ln 342k ≤<时，则()g x 在(],3m 内有且仅有1个零点；②当()33ln 320g k =->，即30ln 32k <<时，则()g x 在(],3m 内没有零点；综上所述：若[)3,ln 34,2k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；若3ln3,42k⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g x在[1,3]内有且仅有2个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．。
2023年7月浙江省温州市普通高中学业水平合格考试模拟数学试题(含答案解析)
2023年7月浙江省温州市普通高中学业水平合格考试模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题CM平面α，则直线A．若//B．若//CM平面α，则直线三、双空题17．已知函数e ,1()ln ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．则()1f =______；若()1f m =，则实数m 的值为______．四、填空题五、解答题(1)求直三棱柱111ABC A B C -的体积；参考答案：A B的中点，所以又因为E为11CC的中点．所以1C 因为D为1则()()1131,0,0,0,0,1,,,022A C B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭故11131,,1,,222AB BC ⎛⎫⎛=-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 记异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则所以1111cos cos ,|AB BC AB BC AB BC θ⋅== 故异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为23．(1)0a =(2)10a -<<或01a <<(3)证明见解析【分析】（1）利用偶函数的性质求得显然，当()110f a =-<，即0a <<当a<0时，()1f x ax =-在(,1-∞-则()f x 的图像如下：显然，当()110f a -=--<，即-当0a =时，()221f x x x =--为偶函数，其零点个数必为偶数，不满足题意；综上：10a -<<或01a <<.（3）因为()221f x x x ax =--+，所以当01x <<时，()212f x x =-调递减，当1x ≥时，()1f x ax =-+，则g 因为()y g x =与2y =在()0,∞+有两个互异的交点所以()y g x =与2y =在()0,1与[1,又12x x >，所以2101,1x x <<>，且则22122a x x -=-，112a x -=，故要证21432x x a -<-，即证243x -只需证22222312021x x x x +-<-，即证即证42224310x x --<，即证(224x +因为201x <<，所以2201x <<，则所以()()22224110x x +-<显然成立，证毕【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是熟练掌握基本初等函数的大致图像，像得到22122x a x -+=，11a x -+=。
浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题及答案
浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．−iB ．iC ．0D ．12．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（ ） A ．93B ．93.5C ．94D ．94.53．已知直线l:y =2x +b 与圆C:(x +2)2+(y −3)2=5有公共点，则b 的取值范围为（ ） A ．[2,12] B ．(−∞,2]∪[12,+∞) C ．[−4,6]D ．(−∞,−4]∪[6,+∞)4．三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，△ABC 为等边三角形，且AB =3，PA =2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）5．已知等比数列{a n }的首项a 1>1，公比为q ，记T n =a 1a 2⋅⋅⋅a n （n ∈N ∗），则“0<q <1”是“数列{T n }为递减数列”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．在直角梯形ABCD ，AB⊥AD ，DC//AB ，AD=DC=1，AB=2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示），若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λED ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ,μ∈R ，则2λ−μ的取值范围是（ ）8．已知a=10lg4,b=9lg5,c=8lg6，则a,b,c的大小关系为（）A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a 二、多选题A．x<1B．log0.5x2>log0.5xC．3x2<3x D．|x(x−1)|=x(1−x)11．在三棱锥P−ABC中，AC⊥BC，AC=BC=4，D是棱AC的中点，E是棱AB上一点，PD=PE=2，AC⊥平面PDE，则（）12．设F为抛物线C:y2=4x的焦点，直线l:2x−ay+2b=0(a≠0)与C的准线l1，交于点A．已知l与C相切，切点为B，直线BF与C的一个交点为D，则（）A．点(a,b)在C上B．∠BAF<∠AFBC．以BF为直径的圆与l相离D．直线AD与C相切三、填空题15．直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是直角三角形，AC⊥BC，AC=6，BC=8，AA1= 4．若平面α将该直三棱柱ABC−A1B1C1截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为．16．对任意x∈(1,+∞)，函数f(x)=a x lna−aln(x−1)≥0(a>1)恒成立，则a的取值范围为．四、解答题17．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且a2+c2−b2=ac，a=√3，cosA=√53.(1)求角B及边b的值；(2)求sin(2A−B)的值.18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=a n+1a n a n+1，其前n项和为T n，求使得T n>20232024成立的n的最小值．19．如图，正三棱锥O−ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别．相交于A1、B1、C1，已知OA1=32（1）求证：B1C1⊥平面OAH；（2）求二面角O−A1B1−C1的大小．20．甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.21．设椭圆C:x29+y2b2=1(0<b<√6)，P是C上一个动点，点A(1,0)，PA长的最小值为√102．(1)求b的值：(2)设过点A且斜率不为0的直线l交C于B,D两点，E,F分别为C的左、右顶点，直线BE和直线DF的斜率分别为k1,k2，求证：k1k2为定值．22．已知f(x)=3lnx−k(x−1).(1)若过点(2,2)作曲线y=f(x)的切线，切线的斜率为2，求k的值；(2)当x∈[1,3]时，讨论函数g(x)=f(x)−2πcosπ2x的零点个数.参考答案：1．D【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为1+i1−i =(1+i)2(1+i)(1−i)=2i2=i，所以虚部为1.故选：D．2．B【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为10×80%=8，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即93+942=93.5.故选：B.3．A【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，圆心(−2,3)到直线l:y=2x+b的距离|−4−3+b|√1+4≤√5，解得2≤b≤12，故b的取值范围是[2,12].故选：A4．B【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.【详解】如图，点H为△ABC外接圆的圆心，过点H作平面ABC的垂线，点D为PA的中点，过点D作线段PA的垂线，所作两条垂线交于点O，则点O为三棱锥外接球的球心，因为PA⊥平面ABC，且△ABC为等边三角形，PA=2,AB=3，所以四边形AHOD为矩形，AH=√33AB=√3，OH=12PA=1，所以OA=√(√3)2+12=2，即三棱锥外接球的半径R=2，.则A (0,0)，E (1,0)，D (0,1)，C (1,1则F (32,12)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λED ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，15．104π【分析】α可能是AC的中垂面，BC的中垂面，AA1的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图α有如下三种可能.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则2R=√32+82+42=√89或2R=√62+42+42=√68或2R=√62+82+22=√104，所以S max=4πR2=104π．故答案为：104π16．[e1e,+∞)【分析】变形为a x−1lna x−1≥(x−1)ln(x−1)，构造F(t)=tlnt,t>0，求导得到单调性进而a x−1>1恒成立，故F(a x−1)>0，分当x−1∈(0,1]和x−1>1两种情况，结合g(u)=lnuu单调性和最值，得到a≥e 1e，得到答案.【详解】由题意得a x−1lna≥ln(x−1)，因为x∈(1,+∞)，所以(x−1)a x−1lna≥(x−1)ln(x−1)，即a x−1lna x−1≥(x−1)ln(x−1)，令F(t)=tlnt,t>0，则F(a x−1)≥F(x−1)恒成立，因为F′(t)=1+lnt，令F′(t)>0得，t>e−1，F(t)=tlnt单调递增，令F′(t)<0得，0<t<e−1，F(t)=tlnt单调递减，且当0<t≤1时，F(t)≤0恒成立，当t>1时，F(t)>0恒成立，因为a>1,x>1，所以a x−1>1恒成立，故F(a x−1)>0，当x−1∈(0,1]时，F(x−1)≤0，此时满足F(a x−1)≥F(x−1)恒成立，因为E、F分别是AB、AC的中点，所以AE=12AB,AF=12AC，因为AB=AC，所以AE=AF，因为H是EF的中点，所以AH⊥EF，所以AH⊥B1C1．因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，所以OA⊥平面OBC，因为B1C1⊂平面OBC，所以OA⊥B1C1，因为OA∩AH=A因此B1C1⊥面OAH．（2）作ON⊥A1B1于N，连C1N．因为OC1⊥OA1,OC1⊥OB1,OA1∩OB1=O，因为OC1⊥平面OA1B1，因为A1B1⊂平面OA1B1，所以OC1⊥A1B1，因为ON∩OC1=O，所以A1B1⊥平面OC1N，因为C1N⊂平面OC1N，所以C1N⊥A1B1，所以∠ONC1就是二面角O−A1B1−C1的平面角．过E作EM⊥OB1于M，则EM∥OA，则M是OB的中点，则g(x)在[1,m)内单调递增，在(m,3]内单调递减，且g(1)=0，可知g(m)>g(1)=0，可知g(x)在[1,m)内有且仅有1个零点，且g(3)=3ln3−2k，ln3≤k<4时，则g(x)在(m,3]内有且仅有1个零点；①当g(3)=3ln3−2k≤0，即32②当g(3)=3ln3−2k>0，即0<k<3ln3时，则g(x)在(m,3]内没有零点；2ln3)∪[4,+∞)时，g(x)在[1,3]内有且仅有1个零点；综上所述：若k∈(−∞,32若k∈[3ln3,4)时，g(x)在[1,3]内有且仅有2个零点.2【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．答案第15页，共15页。
浙江高中学业水平考试《数学》模拟试卷(20200621010148)
A 题计分）
BA ⊥ AD ，CD⊥AD ，CD=2AB ，PA⊥平面 ABCD ，E 为 PC 的中点。 （ 1）求证： EB∥平面 PAD；
（ 2）若 PA=AD ，证明： BE ⊥平面 PDC
（ B）如图，正△ ABC 的边长为 4， CD 是 AB 边上的高， E,F 分别是 AC 和 BC 边的 中点，现将△ ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A － DC － B。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
14、已知 (3,2)在椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 上，则
（）
A. 点 (－ 3,－ 2)不在椭圆上 B. 点 (3,－ 2)不在椭圆上
C. 点 (－ 3,2)在椭圆上
D. 无法判断点 (－ 3,－ 2)，(3,－ 2)， (－ 3,2)是否在椭圆上
D.28
13、下列有关命题的说法正确的个数是
（）
①命题 “同位角相等，两直线平行 ”的逆否命题为 “两直线不平行，同位角不相等 ”；
② “若实数 x,y 满足 x+y=3 ，则 x=1 且 y=2”的否命题为真命题；
③若 p q 为假命题，则 p,q 均为假命题；
④对于命题 p: x 0∈R , x 02+2 x 0+2≤０，则 p: x ∈ R, x2+2 x+2>0.
21、已知 ∈ [0, 2 ] ，则直线 y=xsin +1 的倾斜角的取值范围是
（）
A. [0, ] 2
B. [0, ] 6
C. [0, ] 3
D. [0, ] 4
22、如图，在正方体 ABCD － A 1B 1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的
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浙江省普通高中数学学考模拟试卷（一） 2018-10
选择题部分
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一
个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合{}{}1,2,4,2,3,4A B ==,则A B =I A ．{}2
B ．{}2,3
C ．{}4
D ．{}2,4
2．已知向量()1,2AB =u u u r ,()2,2BC =u u u r
,下列说法中正确的是
A ．()4,3AC =u u u r
B ．4B
C =u u u r
C ．5AC =u u u r
D ．以上都不正确
3．若tan θ=且θ为第三象限角,则cos θ=
A B ．
C ．13
D ．13
-
4．式子21lg 2lg5log 2
++=
A ．0
B ．2
C ．1
D ．1-
5．下列函数中,与sin 2y x =的最小正周期和奇偶性都相同的是 A ．cos 2y x =
B ．sin y x =
C ．tan y x =
D ．sin
2
x y =
6．函数()()ln 2f x x =-+ A ．()1,2-
B ．[)1,2-
C ．(]1,2-
D ．[]1,2-
7．在点()1,1,()2,3,()4,2中,与点()0,1-在直线3210y x -+=同一侧的点的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．两平行直线1:l 210x y ++=,2:4230l x y ++=的距离为 A ．
5 B ．2
5
C ．
5 D ．2
9．下列关于空间中的直线,l 平面α和平面β的说法中正确的是 A ．若l α∥,则平面α内所有直线都与直线l 平行
B ．若αβ⊥且l α⊂,则平面β内所有直线都与直线l 垂直
C ．若αβ∥且l α⊥,则平面β内所有直线都与直线l 垂直
D ．若αβ∥且l α⊂,则平面β内所有直线都与直线l 平行 10．函数()e x
f x x
=的图象可能是
F
D'
C
B'
D
A'
A
A B C D
11．如图所示, 正方体ABCD A'B'C'D'-的边长为(0)a a >,点F 是边A'A 上的动点,动截
面FBD'交CC'于点E ,则点B'到动截面FBD'距离的最大值为
A ．
22a B ．33a C ．2
a D ．63a 12．设a ,
b 是非零向量,“|a +b |=|a|-|b |”成立的一个必要不充分条件是
A ．a +b =0
B ．a 与b 方向相同
C ．a //b
D ．a =b
13．抛物线()2
20x py p =>的准线交圆2
2
6160x y y ++-=于点,A B .若AB =8,则抛物线的焦点为
A ．(4,0)
B ．()0,2
C ．()0,6
D ．()0,3
14．已知2,0x y >>且满足2216x y ⋅=,则222
x y
+-的最小值为
A ．4
B ．2
C ．16
D ．8
15．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,且满足()
32n n a S n n λ*=+∈N ,若数列{}2n a +是等比数列,则λ=
A ．1
B ．
1
2
C ．4
D ．2
16．已知椭圆()22
22
:10x y E a b a b
+=>>满足长轴长是短轴长的2倍,点A 为椭圆长轴的一个端
点,点,B C 在椭圆上,若,,A B C 构成以点A 为直角顶点的等腰直角三角形且1ABC S =△,则a = A ．
5
2
B ．
5
4
C ．5
D ．2
17．如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111
ABC A B C -中，P 是棱BC 上的动点.记直线
A 1P 与平面ABC 所成的角为
1
θ，与直线BC 所成的角为
2
θ，则
12,θθ的大小关系是（ ）
A.
12θθ= B.12θθ> C.12θθ< D.不能确定
18．已知函数()()2
2
21,45f x ax x g x x x =-+=++,
若()()
0f g x =有且只有两个不等的实数根,则a 的取值范围为
A ．[]1,0-
B ．()0,1
C ．()1,1-
D ．(]0,1
非选择题部分
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
19．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线1l
与直线10x ++=相互垂直,则
1l 的斜率为 ,双曲线的离心率为 .
20．已知数列{}n a 且21
,2sin ,4
n n n n a n n ⎧⎪⎪+=⎨
π⎪⎪⎩为奇数为偶数,若n S 为数列
{}n a 的前n 项和,则2018
S
= .
21．不等式322312x a x a ++--+>对任意的x ∈R 是恒成立的,则a 取值范围为 .
22．如图所示,长度为1的正方形网格图中,粗线画出的是某棱锥的三视图,则关于该棱
锥说法正确的有 (填序号).①该棱锥是四棱锥；②该棱锥最大的侧面积为3；③该棱锥的体积为8
3
.
三、解答题（本大题共3小题，共31分）
23．（本小题满分10分）在ABC △中,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,已知
1a =,
m (1,=,n ()sin ,cos A A =,且m ⊥ n .（1）求角A 的大小;（2）若ABC △的面
积为
4
,求b c +的值.（3）求ABC △周长的取值范围.
24．（本小题满分10分）抛物线C ()2
:20y px p =>,抛物线上一点()2,P t 到抛物线焦
点F 的距离为3.（1）求抛物线C 的方程;
（2）若点Q 为抛物线C 上的动点,求点Q 到直线2y x =+距离的最小值以及取得最小值时,点Q 的坐标;（3）若直线l 过点()4,0M 且与抛物线C 交于,A B 两点，当ABF △与AOF △的面积之和取得最小值时，求直线l 的方程.
25．（本小题满分11分）已知函数2()2,()1
x a f x x x a g x x -=-=-(a R ∈)
(1)求函数()f x 的单调增区间.(2)若0,a <解不等式()f x a ≥
(3)若012a <<，且对任意[3,5]t ∈，方程()()f x g t =在[3,5]x ∈总存在两不相等的实
数根，求a 的取值范围.
参考答案：
题号10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 C D C C A C A C B
25、解答：
(1)若0a <，()f x 的单调增区间为(,)2a -∞和(,)4
a +∞
若0a >，()f x 的单调增区间为(,)4a -∞和(,)2
a +∞………………………2分
若0a =，()f x 的单调增区间为R ………………………3分
(2) Q 0,a <∴()f x 在(,]2a -∞单调递增，在[,]24a a 单调递减，在[,)4
a +∞单调递增，
若2
()48
a a f =-a ≥即80a -≤<时，令(2)x a x a -=解得：218a a a x --=
∴
不等式的解为：x ≥
…………5分 若2
()48a a f =-a <即8a <-时，令(2)x x a a -=
解得：1,2x =
x x ≤≤≥
综上： 80a -≤<
不等式的解为：x ≥8a <-
x x ≤≤≥7分
(3) ()2f x x x a =-=2
22
22482
2482a a a x a a a x -<-≥⎧⎪⎨⎪⎩
（x-）+ （x-） Q 012,a <<∴()f x 在(,]4a -∞单调递增，在[,]42
a a
单调递减
在[,)2a
+∞单调递增，∴352
a
<
<即610a << ∴2()1x a g x x -=-=1111
a
x x --++-在[3,5]x ∈单调递增， ∴925()[
,]24
a a
g x --∈ ………………………9分 ()f x 在[3,]2a 单调递减在[,5]2a
单调递增
∴必须[(3),(5)][(),min{(3),(5)}]2
a
g g f f f ⊆
即
∴(3)()
2
(5)(3),(5)(5)
a
g f g f g f >≤≤⎧⎨⎩
⇒
97
913
a ≤<………………………11分。