全国高中数学联赛模拟试题1
全国高中数学联赛模拟试题及参考答案
全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2k k e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由ABC ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将ABC ∆分 割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++,且123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC ∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i ABC ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a bc =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.全国高中数学联赛训练题(1)参考答案:令3xt =,[0,3]x ∈则3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而'()3(3)(3)g t t t =-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.:设2a t =,则由21n n n a a a ++=-依次写出数列{}n a 的前8项为:1,,1,1,,1,1,t t t t t - - - - .于是易知:该数列是以周期6T =的一个周期数列,故由20002000a =可得20006333222000a a a t ⨯+====,从而2010335661120001999a aa t ⨯===-=-=-,即20101999a =-. :由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x AB ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.:由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4.:由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2c x a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.:设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k ka c =,2k k k k ce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n n n a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.:如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=.:设三角形最多有n 个,则根据角度相等可得20072n πππ⨯+=⨯,故2200714015n =⨯+=.: 令1122(,),(,)M x y N x y ,设点(,0)A a ,则由(,0)2p F 得12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实根,即是说12,x x 是方程22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-. 故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.:当(0,)2πθ∈时,函数s i n y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数t a n y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有s i n c o s s i n c o s θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.:设123123a a a b b b p ++=++=,122331122331a a a a a a bb b b b b q ++=++=,且123a a a r =,123'b b b r =, 则123,,a a a 是函数32()f x x px qx r =-+-的零点,123,,b b b 是函数32()'g x x px qx r =-+-的零点.不妨设123123,a a a b b b ≤≤ ≤≤,则由123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤知11a b ≤. 而1()0f a =,1111213()()()()0g a a b a b a b =---≤,故11()()g a f a ≤,即3232111111'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-,故3232333333'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-, 即33()()g a f a ≤,也即是33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=.若33a b >,则313233()()()0a b a b a b --->,这与33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=矛盾! 所以有123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.:由西姆松定理知,,P Q R 共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有DAC DPR DPQ ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PRDB DA DP PR BA BC DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅.从而PR QR =的充要条件是DA BABC =.又由角平分线的性质得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. :由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,即可得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=.2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. :由640p q r s +++=,及,,,p q r s 是不同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故332(1)26402p q r s p q s qs q s +++=++=-++=,即有(32)(34)3857719q s ++==⨯⨯于是得3419,3272s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====. :所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.第二步说明26n =是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中 王全 710061 wangquan1978@。
全国高中数学联赛模拟试卷试题.doc
全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题（每题 6 分共 36 分）1. 由 0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5 的偶数有 [ ] 个A.360B.252C.720D.2402. 已知数列 { a n }(n ≥ 1) 满足 a n 2 = a n 1 - a n ，且 a 2 =1, 若数列的前2020 项之和为 2020，则前2020 项的和等于 [ ] A.2020B.2020C.2020D.20203. 有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是 60 0，又侧棱与底面所成的角都是450 ，则这个棱锥的体积是[ ]A.1B. 3C.3 D.3424. 若 ( 2x 4)2 naa x ax2a+则 a 2 a 4 a 2 n 被 3 除的余数2 2 n x 2n (n ∈ N ),0 1是 [ ] A.0 B.1C.2D.不能确定5. 已知 x, y(2, 2 ) ，且 xy 1 ，则24 的最小值是[ ]2422 xyA 、20B 、12C 、 16 4 2D 、 16 4 277776. 在边长为 12 的正三角形中有 n 个点，用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的2 个点，则 n 的最小值是 [ ]A.17B.16C.11D.10二、填空题（每题 9 分共 54 分）7. 在锐角三角形 ABC 中，设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x) 满足f(cos2C)=cos(B+C-A) ，则 f(x) 的解析是为100 8.[(10i 1)(10i 3)(10i 7)(10i 9)] 的末三位数是 _______i 19. 集合 A 中的元素均为正整数，具有性质：若a A ，则 12- aA ，这样的集合共有 个 .10. 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A 、 B 两点，且 |AB|= 86. 在抛物线上是否存在一点 C ，使△ ABC 为正三角形，若存在， C 点的11坐标是.11. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2， a nan 11(n N * ) ，设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则S 2007 2S 2006S 2005 的值为12. 函数f ( x) 3 1 x x，其中0. 函数 f ( x)在[ 0, ) 上是减函数；的取范是 _____________________. 三、解答题（每题20 分共 60 分）13. 已知点 A 5,0和曲 x2 y 21 2x2 5,y上的点P、P、P n。
全国高中数学联赛一试模拟试题
(考试时间：80分钟满分：120分)
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.函数 的值域是___________
2.设a,b,c为RT△ACB的三边长,点(m,n)在直线ax+by+c=0上.则m2+n2的最小值是___________
3.若 ，且 为正整数，则
(考试时间：80分钟满分：120分)
1、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.集合 , , ,则 的取值范围是___________
2.某人投两次骰子,先后得到点数 ,用来作为一元二次方程 的系数,则使方程有
实根的概率为______________
3.过四面体 的顶点 作半径为 的球，该球与四面体 的外接球相切
6．对于每个大于等于2的整数 ，令 表示 在区间 上不同解的个数，
表示 在区间 上不同解的个数，则 =____________
7．在平面直角坐标系中，定义点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离”为d(P,Q)=|x1－x2|＋|y1－y2|
若C(x,y)到点A(1, 3),B(6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x,y满足0≤x≤10, 0≤y≤10，
B队三名队员是B1,B2,B3,，且 对 的胜率为 (1≤i,j≤3)，A队得分期望的最大可能值是________.
7.△ABC的三边长分别为13, 14, 15,有4个半径同为 的圆O,O1,O2,O3放在△ABC内，并且⊙O1与
边AB、AC相切，⊙O2与边BA、BC相切，⊙O3与边CB、CA相切，⊙O与⊙O1,O2,O3相切,
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
全国高中数学联赛模拟卷(一试+二试附详细解答)
20XX 年全国高中数学联赛模拟卷(3)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．函数 y =的最大值是 _______2．青蛙在正六边形ABCDEF 上A 点处，每次向相邻顶点跳跃.到达D 点或者跳满五次则停止.不同跳跃 方式有____________种. 3．设2()f x ax bx c =++,(0)1,(1)1,(1)1,f f f ≤≤-≤则(2)f 的最大值为 ___________ 4．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a = ______5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线1x y +=交于M , N 两点, 且OM ON ⊥(O 为原点), 当椭圆的离心率e ∈[33, 22]时, 椭圆长轴长的取值范围是 __________6．对于每个大于等于2的整数n ，令)(n f 表示x nx sin sin =在区间],0[π上不同解的个数，)(n g 表示x nx cos cos =在区间],0[π上不同解的个数，则∑=-20072))()((n n f n g =____________7．在平面直角坐标系中，定义点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)之间的“直角距离”为d (P , Q )=|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|若C (x , y )到点A (1, 3), B (6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x , y 满足0≤x ≤10, 0≤y ≤10， 则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 _________8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动， 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．已知,,a b c 是实数, 二次函数2()f x ax bx c =++满足()02a b c f a--=，求证：－1与1中至少有一个是()0f x =的根.10．设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1122n n n nba a a n --=+-(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．11．已知椭圆1222=+y x ，过定点)0,1(C 两条互相垂直的动直线分别椭交圆于Q P ,两点。
全国高中数学联赛模拟卷（1）（一试+二试_附详细解答）
全国⾼中数学联赛模拟卷（1）（⼀试+⼆试_附详细解答）全国⾼中数学联赛模拟卷(1)⼀试⼀、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，共64分）1229x <+的解集为． 2．过正⽅体外接球球⼼的截⾯截正⽅体所得图形可能为______________. ①三⾓形②正⽅形③梯形④五边形⑤六边形3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.4．复数z ，使322z z z+=，则z 的所有可能值为 _____ ____．5．所有的满⾜条件11aba b a b ab a b ---=?++的正整数对(,)a b 的个数为．6．设,,a b c 为⽅程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 7．将号码分别为1、2、…、9的九个⼩球放⼊⼀个袋中，这些⼩球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出⼀个球，其号码为a ，放回后，⼄从此袋中再摸出⼀个球，其号码为b . 则使不等式 0102>+-b a 成⽴的事件发⽣的概率等于．8．已知A , B , C 为△ABC 三内⾓, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=α,2||=α.如果当C 最⼤时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, 最⼤值是__ ___.⼆、解答题（本⼤题共3⼩题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==-∑，求数列{a n }中的最⼤值．10．给定正实数k ，圆⼼为(b a ，)的圆⾄少与抛物线2kx y =有三个公共点，⼀个是原点(0, 0)，另两个点在直线b kx y +=上，求b a ，的值（⽤k 表⽰）． 11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．ABCPQ ID O 1 I 1I 2⼆试⼀、（本题满分40分）在Rt ABC ?中，CD 是斜边AB 上的⾼，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内⼼，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的⾓平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正⽅形．⼆、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：ba db a d a dc ad c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++333333333333.2222d c b a +++≥三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n 证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(mod 21或≡n四、（本题满分50分）试求最⼩的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有⼀数，其各位数字之和是7的倍数.全国⾼中数学联赛模拟卷(1)答案⼀试1．由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845x 故原不等式的解集为145,00,28-? ?U2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中⼼对称图形，且②⑤可以截得3．提⽰：44[2,)(,2]33--?, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，?2），数形结合可得.4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ?，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满⾜条件，当 0z ≠时，2120z z +-= 设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ?-+-=?+=? ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代⼊(1) 整理得：2(1)01a a -=?=2）0b ≠，则 1a =- 代⼊(1) 得：242b b =?=±，经检验复数1,12z i =-±均满⾜条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--. 5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->?1b a b -?>11b a b -?≥+，从⽽有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --?++=-aa ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-?()11a b a a b --=?-1a a -≥，从⽽()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满⾜本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=-- 7．提⽰：甲、⼄⼆⼈每⼈摸出⼀个⼩球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a ?2b +10>0得2b6181135745=++++8．解: 2)cos(2)cos(2122sin 32cos 2||22=+--+=++-?=B A B A B A B A α ,21tan tan cos cos sin sin 2)cos(3)cos(=?=?+=-?B A B A B A B A B A22tan tan 4)tan (tan 2tan tan )tan(tan -=-≤+-=+=+-=B A B A BA B A C ,等号成⽴仅当22tan tan ==B A .令|AB |=2c ,因c 4||||=+, 所以 M 是椭圆1342222=+cy c x 上的动点.故点C (0,c 22), 设M (x ,y ), 则|MC |2＝x 2+(c y 22-)2＝c y c cy y c cy y y c 3||,2923122344222222≤+--=+-+-. 当y ＝c 3-时, |MC |2max =22627c +, |MC |max ＝c 216+. ||AB＝4. 9．解：经计算知22a =，33a =，45103a a ==，下⾯⽤数学归纳法证明：当5n ≥时，有103n a ≤ 假设()1053n a n ≤≥，则1211111111122122n n n n n n a n n n +-++++=+?+?++?-- 21111212212n n n n n n n n n n -++??=++?++? ?--?? 112n n n a n n ++=+ 1110186810233533n n n n n n +++≤+?=?≤?<所以数列{a n }中的最⼤值是45103a a ==10．解：设⊙O :,)()(2222b a b y a x +=-+- 即02222=-+-by y ax x抛物线与直线b kx y +=的两个交点坐标为),(),,,(2211y x y x ，则211222kx kx b kx kx b =+??=+?，即12121x x b x x k +==-??①, 这两点亦在圆上，即),(2)(222111*********b kx b b kx ax x by y ax x o +-++-=-+-=?02)1(21212=--+b ax x k同理 02)1(22222=--+b ax x k , 即 12221222,1.1a x x k b x x k ?+=??+?-?=?+?②⽐较①，②知：kk k k b k a 11),1(2122+=+=+= 11．解：⾸先，函数)(x f 以为π周期，且以)(42Z k k x ∈+=ππ为对称轴，即 ))(()2(),()(Z k x f x k f x f x f ∈=-+=+πππ，其次，42)43(,102)4(,7)2(-=+-=+-=a k f a k f a k f πππππ，∵)(x f 关于)(42Z k k x ∈+=ππ对称，∴)(x f 在)42,2(πππ+k k 及)22,42(ππππ++k k 上的零点个数为偶数，要使)(x f 在区间)0πn ，（恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点（1）若7=a ，则0)42(,0)2(≠+=πππk f k f ，考虑区间)2,0(π及),2(ππ上的零点个数．ABCP Q ID O 1I 1 I 2令].2,1((cos sin ∈+=t x x t 则0473)(2=-+-==t t t g y ，解得11=t （舍），)4sin(2342π+==x t ，故在2 ,0(π内有两解．当),2(ππ∈x 时，72sin 3)cos (sin 7)(---=x x x x f ，令]2,1((cos sin ∈-=t x x t ，则01073)(2=-+==t t t g y ，解得11=t （舍），3102-=t （舍），故在),2(ππ内⽆解．因此，)(x f 在区间),0(π内有三个零点．.503201114)1(3),0(==-=-+n n n n n 个零点。
高中数学竞赛模拟题(十六套)
高中数学竞赛模拟题(十六套)高中数学竞赛模拟题(十六套)第一套：代数高中数学竞赛中，代数是一个重要的考察内容。
在这个模拟题的第一套中，我们将考察代数的基本概念和运算技巧。
请同学们认真阅读并解答以下题目。
1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + 3x + b$，且函数 $f(x)$ 的图像经过点 $(-2, -1)$ 和 $(1, 4)$。
求常数 $a$ 和 $b$ 的值。
2. 某数列的前3项依次为 $a_1 = 2$，$a_2 = 5$，$a_3 = 9$。
已知数列满足递推式 $a_{n+1} = 2a_n - a_{n-1} + 1$，其中 $n \geq 2$。
求数列的第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。
3. 解方程组：$\begin{cases}2x - 3y = 5 \\4x + 2y = 10\end{cases}$第二套：几何几何在高中数学竞赛中也占据重要的位置。
在这个模拟题的第二套中，我们将考察几何的基本概念和解题技巧。
请认真阅读并解答以下题目。
1. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 过点 $A(3, 2)$，且与直线 $x - 3y - 1 = 0$ 平行。
求直线 $l$ 方程。
2. 在三角形 $ABC$ 中，已知 $\angle BAC = 30^\circ$，点 $D$ 在边$AC$ 上，且 $\angle BDC = 90^\circ$。
若 $BD = 2$，$DC = 4$，求三角形 $ABC$ 的面积。
3. 已知四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$BC = CD$，$AC$ 为对角线，且 $\angle ACB = 70^\circ$。
求 $\angle BAC$ 的度数。
第三套：数列与数表数列与数表也是高中数学竞赛的考察内容之一。
在这个模拟题的第三套中，我们将考察数列与数表的基本性质和求解能力。
请认真阅读并解答以下题目。
1. 求限制条件为 $a_n < 100$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的第 $n$ 项的表达式，已知数列的公差为 5。
全国高中数学联赛一试模拟试题
7.设对于任意满足 的自然数 ， 有不等式 恒成立，则 的最大值为__________
8.圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为_______
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.设a,b是两个正整数,它们的最小公倍数是24·33·72·11,那么这样的有序正整数对(a,b)有_组.
2.方程16sinπxcosπx＝16x＋ 的解集合为
3.三棱锥 是三条侧棱两两垂直的三棱锥， 是底面 内的一点，
那么 的最小值是___是.
5．一个盒中有 个正品和 个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数 的数学期望 =_________________．
6．若非负实数 满足 ，则 .
7．正整数 使得 是完全平方数,则 的个位数字是．
8．在平面直角坐标系内，将适合x＜y,|x|＜3, |y|＜3,且使关于t的方程 ＝0没有实数根的点 所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为_______.
9．已知正实数 ，设 ， .（1）当 时，求 的取值范围；
（2）若以 为三角形的两边，第三条边长为 构成三角形，求 的取值范围.
10.已知数列{an}： ， ⑴证明：
⑵求出所有的正整数 ，使得 为完全平方数.
11.设 为正实数，且 ．证明： ．
全国高中数学联赛一试模拟试题（3）
(考试时间：80分钟满分：120分)
__________
8.设向量 满足对任意 和θ∈[0, ],
恒成立.则实数a的取值范围是________________.
全国高中数学联赛一试模拟试题一
全国高中数学联赛一试模拟试题一一、填空题1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ ．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝ ．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ ．4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x，则实数x ＝ ．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为 ． 6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是 ．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ ． 9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 ．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝ ． 二、解答题11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．EBCD ABCDAPQ R2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分)1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ ． 填0．解：由于|sin α|≤1，|cos β|≤1，现sin αcos β＝1，故sin α＝1，cos β＝1或sin α＝－1，cos β＝－1，∴ α＝2kπ＋π2，β＝2lπ或α＝2kπ－π2，β＝2lπ＋π⇒α＋β＝2(k ＋l )π＋π2(k ，l ∈Z )．∴ cos(α＋β)＝0．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝ ．填11．解：设公差为d ，则得55＝－5×11＋12×11×10d ⇒55d ＝110⇒d ＝2．a k ＝55－4×10＝15＝－5＋2(k －1)⇒k ＝11．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ ． 填－1＋52．解：由(2b )2＝2c ×2a ⇒a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0⇒e ＝－1＋52．4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x ，则实数x ＝ ．填1．解：即13x －1＝3x3(3x －1)⇒32x －4×3x ＋3＝0⇒3x ＝1(舍去)，3x ＝3⇒x ＝1．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为 ．填14． 解：A 、B 到平面PQR 的距离分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形PQR 为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．V APQR ＝12V APQD ＝12×13V APCD ＝12×13×13V ABCD ＝118V ABCD ；又，S BPQ ＝S BCD －S BDQ －S CPQ ＝(1－13－23×13)S BCD ＝49S BCD ，V RBPQ ＝49V RBCD ＝12×49V ABCD ＝418V ABCD ．∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．又，可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值：在面BCD 内，延长PQ 、BD 交于点M ，则M 为面PQR 与棱BD 的交点．由Menelaus 定理知，BM MD ·DQ QC ·CP PB ＝1，而DQ QC ＝12，CP PB ＝12，故BMMD ＝4．在面ABD 内，作射线MR 交AB 于点N ，则N 为面PQR 与AB 的交点． 由Menelaus 定理知，BM MD ·DR RA ·AN NB ＝1，而BM MD ＝4，DR RA ＝1，故AN NB ＝14．∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是 ．填[3，4]．解：定义域(0，4]．在定义域内f (x )单调增，且f (3)＝0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3，4]． 7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．填78000．解：设净水器的长、高分别为x ，y cm ，则 xy ＝300，V ＝30(20＋x )(60＋y )＝30(1200＋60x ＋20y ＋xy )≥30(1200＋260x ×20y ＋300)＝30(1500＋1200)＝30×2700．∴ 至少可以存水78000cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ ． 填－252．解：设|→AO |＝|→BO |＝|→OC |＝R ．则→BC ·→AO ＝(→BO ＋→OC )·→AO ＝→BO ·→AO ＋→OC ·→AO ＝R 2cos(π－2C )＋R 2cos2B＝R 2(2sin 2C －2sin 2B )＝12(2R sin B )2－12(2R sin C )2＝12(122－132)＝－252．9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 ．填2008＋2．解：若a n ＋1≠0，则a n ＝2－2a n ＋1，故a 2008＝2－2，a 2007＝2－22－2＝－2，a 2006＝2＋2，a 2005＝2．一般的，若a n ≠0，1，2，则a n ＝2－2a n ＋1，则a n －1＝a n ＋1－2a n ＋1－1，a n －2＝22－a n ＋1，a n －3＝a n ＋1，故a n －4＝a n ．于是，Σk ＝12009a n＝502(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a2009＝502(a 2005＋a 2006＋a 2007＋a 2008)＋a 2009＝2008＋2．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝ ．BCDAP QR BMNR Q PA DC B填0，3－12，3－1．解：若a 为负整数，则a 2＞0，2b (a ＋b )＜0，不可能，故a ≥0．于是a 2＝2b (a ＋b )＜2(a ＋1)⇒a 2－2a －2＜0⇒0≤a ＜1＋3⇒a ＝0，1，2． a ＝0时，b ＝0；a ＝1时，2b 2＋2b －1＝0⇒b ＝3－12；a ＝2时，b 2＋2b －2＝0⇒b ＝3－1．说明：本题也可以这样说：求实数x ，使[x ]2＝2{x }x ． 二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．解：取方程组⎩⎨⎧4x 2＋9y 2＝36，x ＝2y －4．代入得，25y 2－64y ＋28＝0．此方程的解为y ＝2，y ＝1425．即得B (0，2)，A (－7225，1425)，又左焦点F 1(－5，0)．连OA 把四边形AFOB 分成两个三角形． 得，S ＝12×2×7225＋12×5×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：直线与x 轴交于点C (－4，0)．所求面积＝12×4×2－12×(4－5)×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：所求面积＝12(0×2－0×0＋0×1425－(－7225)×2＋(－7225)×0－(－5)×1425＋(－5)×0－0×0)＝12(14425＋14255)＝125(72＋75)． 12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．解：AD AC ＝ACAB⇒△ACD ∽△ABC ⇒∠ABC ＝∠ACD ＝∠BCE ．∴ CE ＝BE ＝12．AE ＝AB －BE ＝16．∴ cos A ＝AC 2＋AE 2－CE 22AC ·AE ＝142＋162－1222·14·16＝142＋28·42·14·16＝1116．∴ BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝142＋282－2·14·28·1116＝72·9⇒BC ＝21．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．解法一：显然k ＞0．(x ＋y )2≤k 2(2x ＋y )⇒(2k 2－1)x －2xy ＋(k 2－1)y ≥0对于x ，y ＞0恒成立．令t ＝xy＞0，则得f (t )＝(2k 2－1)t 2－2t ＋(k 2－1)≥0对一切t ＞0恒成立． 当2k 2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k 2－1＞0．此时当t ＝12k 2－1时，f (t )取得最小值12k 2－1－22k 2－1＋k 2－1＝2k 4－3k 22k 2－1＝k 2(2k 2－3)2k 2－1．当2k 2－1＞0且2k 2－3≥0，即k ≥62时，不等式恒成立，且当x ＝4y ＞0时等号成立． ∴ k ∈[62，＋∞)． 解法二：显然k ＞0，故k 2≥(x ＋y )22x ＋y ＝x ＋2xy ＋y2x ＋y ．令t ＝x y ＞0，则k 2≥t 2＋2t ＋12t 2＋1＝12(1＋4t ＋12t 2＋1)． 令u ＝4t ＋1＞1，则t ＝u －14．只要求s (u )＝8uu 2－2u ＋9的最大值．s (u )＝8u ＋9u－2≤82u ·9u －2＝2，于是，12(1＋4t ＋12t 2＋1)≤12(1＋2)＝32．∴k 2≥32，即k ≥62时，不等式恒成立(当x ＝4y ＞0时等号成立)．又：令s (t )＝4t ＋12t 2＋1，则s '(t )＝8t 2＋4－4t (4t ＋1)(2t 2＋1)2＝－8t 2－4t ＋4(2t 2＋1)2，t ＞0时有驻点t ＝12．且在0＜t ＜12时，s '(t )＞0，在t ＞12时，s '(t )＜0，即s (t )在t ＝12时取得最大值2，此时有k 2≥12(1＋s (12))＝32．解法三：由Cauchy 不等式，(x ＋y )2≤(12＋1)(2x ＋y )．即(x ＋y )≤622x ＋y 对一切正实数x ，y 成立． 当k ＜62时，取x ＝14，y ＝1，有x ＋y ＝32，而k 2x ＋y ＝k 62＜62×62＝32．即不等式不能恒成立．而当k ≥62时，由于对一切正实数x ，y ，都有x ＋y ≤622x ＋y ≤k 2x ＋y ，故不等式恒成立．∴ k ∈[62，＋∞)． 14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．EBCDA解：对于任意n∈N*，n2≡0，1(mod 4)．设a，b是两个不同的自然数，①若a≡0(mod 4)或b≡0(mod 4)，或a≡b≡2(mod 4)，均有ab≡0(mod 4)，此时，ab＋10≡2(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数；②若a≡b≡1(mod 4)，或a≡b≡3(mod 4)，则ab≡1(mod 4)，此时ab＋10≡3(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数．由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是a≡/b(mod 4)且a与b均不能被4整除．⑴由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．即2，3，13是满足题意的一组自然数．⑵由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．故证．。
2024年全国高中数学联赛一试模拟试卷试题含答案
2024年全国高中数学联赛一试模拟试卷试题含答案一、选择题（本题共15小题，每小题5分，满分75分）1. 设集合A={x|3x-7<2x+5}，B={x|x²-5x+6<0}，则A∩B的取值范围是（）A. (-∞, 2)B. (-∞, 3)C. (2, 3)D. (3, +∞)答案：B2. 若a、b为实数，且a≠b，则方程ax²-(a+b)x+b=0有实根的充要条件是（）A. a+b=0B. a-b=0C. a²+b²=0D. ab=1答案：A3. 已知函数f(x)=x²-2x+3的最小值为m，则实数m的取值范围是（）A. m>0B. m≥3C. m<3D. m≤0答案：B4. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则S15的值为（）A. 50B. 60C. 70D. 80答案：C5. 设函数f(x)=x²+2x+1，若f(x+1)=16，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D6. 若函数g(x)=x²+2x+k在x=1处取得最小值，则实数k的取值范围是（）A. k≥-3B. k≤-3C. k≥3D. k≤3答案：A7. 已知函数f(x)=2x³-3x²+x+1，求f(-1)的值。
A. 0B. 1C. -1D. -3答案：D8. 若a、b、c成等比数列，且a+b+c=12，abc=27，则a、b、c的值分别为（）A. 1, 3, 9B. 3, 3, 3C. 1, 9, 3D. 9, 3, 1答案：A9. 设等差数列{an}的公差为d，若a3+a5+a7=12，则a1+a6+a9的值为（）A. 9B. 12C. 15D. 18答案：B10. 若a、b、c为等差数列，且a+b+c=12，abc=27，则a²+b²+c²的最小值为（）A. 18B. 24C. 30D. 36答案：C二、填空题（本题共5小题，每小题15分，满分75分）11. 已知函数f(x)=x²+2x+1，求f(x+2)的值。
全国高中数学联赛模拟试题第一试试题
全国高中数学联赛模拟试题第一试试题一、选择题1、对任意一组非负实数a 1,a 2,…,a n ，规定a 1=a n+1，若有∑=+-+-nk k k k kaa a a 12112∑=≥ni i a 1λ恒成立，则实数λ的最大值为_________. A ．0 B.22C ．1D ．22、已知A ，B ，C 为ΔABC 的三个内角，记y=sin3A+sin3B+sin3C ，则y 的取值范围是______。
A ．[0，2]B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-233,2C ．[-2，2]D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛233,03、若p,q ∈N +且p+q>2007, 0<p<q ≤2007，(p,q)=1，则形如pq1的所有分数的和为_________. A ．20072006 B ．20082007 C ．21D ．14、椭圆的中心为原点O ，焦点在x 轴上，过椭圆的左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则椭圆的离心率e 的取值范围是_________。
A ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,215B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-215,0C ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 D ．]415,415[+-5、若对实数x ∈[10,+∞）恒有|log m x|≥2，则m 取值范围是_________。
A ．（0，1）B ．]10,1(C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛1010,0D ．(]10,11,1010 ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡6、将20个乒乓球（不加区分）装入5个不同的盒子里，要求不同的盒子中的球数互不相同，且盒子都不空，一共有_______种不同装法。
A ．7B ．14C ．419C D ．7×5！二、填空题7、已知复数z 1,z 2,z 3满足|z 1|≤1,|z 2|≤1,|2z 3-(z 1+z 2)|≤|z 1-z 2|，则|z 3|的最大值与最小值的差为_________。
8、已知平面向量a=(3,-1),b=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21，若存在非零实数k 和角⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππαα，使得c=a+(tan 2α-3)b, d=-ka+(tan α)b ，且c ⊥d ，则k=_________。
全国高中数学联赛省级预赛模拟【试题及答案】
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式1．三角函数的积化和差公式sin α•cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)], cos α•sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)], cos α•cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)], sin α•sin β=21[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V 球=34πR 3（R 为球的半径）。
一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy 平面上，0<y ≤x 2,0≤x ≤1所围成图形的面积为31。
则集合 M={(x,y)|x ≤|y|}, N={(x,y)|x ≥y 2| 的交集M ∩N 所表示的图形面积为 A ．32 B ．31 C ．1 D ．61 2．在四面体ABCD 中，设AB=1，CD=3，直线AB 与直线CD 的距离为2，夹角为3π。
则四面体ABCD 的体积等于 A ．23 B ．31 C ．21 D ．333．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。
若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A ．90B ．100C ．110D ．1204．在ΔABC 中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC ，则 A ．ΔABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形 B ．ΔABC 是直角三角形，但不一定是等腰三角形 C ．ΔABC 既不是等腰三角形，也不是直角三角形 D ．ΔABC 既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x 2-x+4, f(g(x))=3x 4+18x 3+50x 2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A ．8B ．9C ．10D ．116．设0<x<1, a,b 为正常数。
2024年全国高中数学联赛(一试)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试试题(A )一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.若实数m >1满足98m log log =2024，则32m log log 的值为.2.设无穷等比数列{a n }的公比q 满足0<q <1.若{a n }的各项和等于{a n }各项的平方和，则a 2的取值范围是.3.设实数a ，b 满足：集合A ={x ∈R |x 2-10x +a ≤0}与B ={x ∈R |bx ≤b 3}的交集为4,9 ，则a +b 的值为.4.在三棱锥P -ABC 中，若PA ⏊底面ABC ，且棱AB ，BP ，BC ，CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a ,b ．若事件a +b =7发生的概率为17，则事件“a =b ”发生的概率为.6.设f (x )是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数g (x )=f (2x )在区间0,5 上的零点个数为25，则g (x )在区间［1,4）上的零点个数为.7.设F 1,F 2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P （异于长轴端点），记O 为△PF 1F 2的外心，若PO ∙F 1F 2 =2PF 1 ∙PF 2 ，则Ω的离心率的最小值为.8.若三个正整数a ,b ,c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a ,b ,c )为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10<a <b <c 的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ΔABC 中，已知cos C =sinA +cosA 2=B sin +cosB 2,求cos C 的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x 2-y 2=1的右顶点为A .将圆心在y 轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z ，w 满足z +w =2，求S =z 2-2w +w 2-2z 的最小可能值.·1·。
全国高中数学联赛模拟试题第一卷附答案
全国高中数学联赛模拟试题（一）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a 2＋b 2)＝5c 2满足c ≤20的正整数解(a ,b ,c )的个数是（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）52、函数12-=x x y （x ∈R ，x ≠1）的递增区间是（A ）x ≥2 （B ）x ≤0或x ≥2 （C ）x ≤0（D ）x ≤21-或x ≥23、过定点P (2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O为原点）的面积最小，则l 的方程为 （A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝04、若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是 （A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）516、在1,2,3,4,5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件a 1＜a 2，a 2＞a 3，a 3＜a 4，a 4＞a 5的排列的个数是 （A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程21×[x 2＋x ]＝19x ＋99的实数解x 是 ．2、设a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n 2，则通项公式a n ＝ ．3、数799被2550除所得的余数是 ．4、在△ABC 中，∠A ＝3π，sin B ＝135，则cos C ＝ ．5、设k 、θ是实数，使得关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－1＝0的两个根为sin θ和cos θ，则θ的取值范围是 ． 6、数()n2245+（n ∈N ）的个位数字是 ．三、（20分）已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．四、（20分）（1）求出所有的实数a，使得关于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的两根皆为整数．（2）试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根．五、（20分）试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何θ∈R，都有cos2θ＋x cosθ＋y≥0}之中．第二试一、（50分）设a 、b 、c ∈R ，b ≠ac ，a ≠－c ，z 是复数，且z 2－(a －c )z －b ＝0．求证：()12=-+-+bac zc a b a 的充分必要条件是(a －c )2＋4b ≤0．二、（50分）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证： （1） AK ⊥BC ；（2） BCS AQ AP AK ABC△2<=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．三、（50分）给定一个正整数n ，设n 个实数a 1,a 2,…,a n 满足下列n 个方程：∑==+=+ni i n j j j i a 1),,3,2,1(124．确定和式∑=+=ni ii a S 112的值（写成关于n 的最简式子）．ACBD QK P参考答案第一试二、填空题：1、38181-或381587；2、7×2n -1－n 2－2n －3；3、343；4、261235-； 5、{θ|θ＝2n π＋π或2n π－2π，n ∈Z } ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）．三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a 的可能取值有－3，11，－1，9．五、r max ＝24．第二试一、证略（提示：直接解出()2i42⋅---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点，从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则BCS ABC△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）．三、()11212++-=n S ．。
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题1
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=21[sin(α+β)+sin(αβ)], cosα•sinβ=21[sin(α+β)sin(αβ)],cosα•cosβ=21[cos(α+β)+cos(αβ)],sinα•sinβ=21[cos(α+β)cos(αβ)].2．球的体积公式 V 球=34πR3（R 为球的半径）。
一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy 平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为31。
则集合 M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2| 的交集M∩N 所表示的图形面积为 A ．32 B ．31 C ．1 D ．61 2．在四面体ABCD 中，设AB=1，CD=3，直线AB 与直线CD 的距离为2，夹角为3π。
则四面体ABCD 的体积等于 A ．23 B ．31 C ．21D ．33 3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。
若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A ．90B ．100C ．110D ．1204．在ΔABC 中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC ，则 A ．ΔABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形 B ．ΔABC 是直角三角形，但不一定是等腰三角形 C ．ΔABC 既不是等腰三角形，也不是直角三角形 D ．ΔABC 既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A ．8B ．9C ．10D ．116．设0<x<1, a,b 为正常数。
则xb x a -+122的最小值是A ．4abB ．(a+b)2C ．(ab)2D ．2(a2+b2) 7．设a,b>0，且a+b=a+b 。
2024年全国高中数学联赛模拟练习试题(一试)
2024年全国高中数学联赛模拟练习试题（一试）一、填空题1．设非空集合{}1,2,,9A ⊆L 满足a A ∀∈，10a A -∈，则这样的A 的个数为． 2．在锐角三角形 ABC 中，边 2BC =，2B A =，则边 AC 的取值范围是．3．设 ,R a b ∈，函数() f x ax b =+满足() 1f x ≤对任意[] 0,1?x ∈都成立，则 ab 的最大值为．4．P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆2210210x y x +++=和2210240x y x +-+=上的点，则||||PM PN -的最大值为．5．已知向量1,2a b r r ==，且a r 和b r 的夹角为2π3，若a tb +r r 与ta b +r r 的夹角为钝角，则 t 的取值范围为．6．甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为 34；第偶数局，乙赢的概率为 34．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为．7．若 X 是棱长为 ABCD 内一点，以 X 在四面体 ABCD 的四个面上的射影为顶点的新四面体的体积的最大值为．8．一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格 O 处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落平台就会“死亡”，那么在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是．二、解答题9．已知复数列{}n z 满足：()()111i 1n n n z z z z n +==+≥，求2024z ．10．设非负实数 ,,?x y z 满足22210x y z ++=.值.11．已知点()() 3,00M m m ->， N 、 P 两点分别在 y 轴、 x 轴上运动，且满足·0MN NQ =u u u u r u u u r ，1 2NP PQ =u u u r u u u r ． (1)求Q 的轨迹方程；(2)若一正方形的三个顶点在点Q的轨迹上，求其面积的最小值．。
全国高中数学联赛模拟试题(一)
全国高中数学联赛模拟试题(一)第一试一、选择题(共36分)1. 在复平面上；非零复数z 1；z 2在以z=i 对应的点为圆心；1为半径的圆上；21z z 的实部为零；argz 1＝π6；则z 2＝ ( )A.－32＋32i B.32－32i C.－32＋32iD.32－32i 2. 已知函数f(x)＝log a (ax 2－x ＋12)在[1；2]上恒正；则实数a 的取值范围是( )A.(12；58)B.(32；＋∞)C.(12；58)∪(32；＋∞)D.(12；＋∞) 3. 已知双曲线过点M(－2；4)和N(4；4)；它的一个焦点为F 1(1；0)；则另一个焦点F 2的轨迹方程是 ( )A.(x －1)225＋(y －4)216＝1(y ≠0)或x ＝1(y ≠0)B.(x －1)216＋(y －4)225＝1(x ≠0)或x ＝1(y ≠0)C.(x －4)225＋(y －1)216＝1(y ≠0)或y ＝1(x ≠0)D.(x －4)216＋(y －1)225＝1(x ≠0)或y ＝1(x ≠0)4. 已知正实数a ；b 满足a ＋b ＝1；则M ＝1＋a 2＋1＋2b 的整数部分是 ( )5. 一条笔直的大街宽度为40米；一条人行横道穿过这条街；并与街道成一定的角度；人行横道长度为50米；与大街边缘结合部的宽度为15米；则人行横道的宽度为( )6. 一条铁路原有m 个车站；为适应客运需要新增加n(n ＞1)个车站；结果客运车票增加了58种(注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票)；那么原有车站的个数为 A.12 B.13 C.14 D.15 ( )二、填空题(共54分)7. 长方形ABCD 的长AB 是宽BC 的23倍；把它折成无底的正三棱柱；使AD 与BC 重合；折痕线EF ；GH 分别交原来长方形对角线AC 于M 、N ；则折后截面AMN 与底面AFH 所成的角是_____.8. 在△ABC 中；a ；b ；c 是角A ；B ；C 的对边；且满足a 2＋b 2＝2c 2；则角C 的最大值是_____.9.从盛满a升(a＞1)纯酒精的容器中倒出1升；然后加水填满；在倒出1升混合溶液后又加水填满；如此继续下去；则第n次操作后溶液的浓度为__________________. 10.已知函数f(x)和g(x)的定义域均为非负实数集；对任意的x≥0；规定f(x)*g(x)＝min{f(x)；g(x)}；若f(x)＝3－x；g(x)＝2x＋5；则f(x)*g(x)的最大值是_________.11.从1到100的自然数中；每次取出不同的两个数；使它们的和大于100；则可有_______种不同的取法.12.若实数a＞0；则满足a5－a3＋a＝2的a值属于区间:①(0；63)；②(62；63)；③(63；＋∞)；④(0；32).其中正确的是_________________.三、解答题(共计60分)13.(20分)求证：经过正方体中心的任意截面的面积不小于正方体一个侧面的面积.14.(20分)直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)与椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2相交于P和Q两点；O为坐标原点；且OP⊥OQ；求证：a2b2c2＝a2＋b2A2＋B2.15.(20分)某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部；共有190名售货员；计划全商场的日营业额(每日卖出商品所收到的总金额)为60万元；根据经验；各部商品每1万元营业额需要售货员人数及每1万元营业额所得利润情况如表所示；商场将计划日营业额分配给三个经营部；同时适当安排各部的营业员人数；若商场预计每日的总利润为c万元；且19≤c≤；又已知商场分配给经营部的营业额均为整数万元；问这第二试一、(50分)矩形ABCD 的边AD ＝λ·AB ；以AB 为直径在矩形外作半圆；在半圆上任取不同于A 、B 的一点P ；连PC 、PD 交AB 于E 、F ；若AE 2＋BF 2＝AB 2；求正实数λ的值.二、(50分)若a i ∈R ＋(i ＝1；2；……；n)；S ＝∑=n1i ia；且2≤n ∈N ；求证：∑∑==-≥-n 1k 2k n1k k3ka 1n 1a S a .三、(50分)无穷数列{c n }由下列法则定义：c n ＋1＝|1－|1－2c n ||；而0≤c 1≤1(1)证明：仅当c 1是有理数时；数列自某一项开始成为周期数列； (2)存在多少个不同的c 1值；使得数列自某项之后以T 为周期(对于每个T ＝2；3；……)?全国高中数学联赛模拟试题(一)参考答案 第一试一、选择题 1. A如图所示；设复数z 1对应的点为Z 1；则|OZ 1|＝2sin π6＝1；∴ z 1＝32＋12i再设z 2＝x ＋yi(x ；y ∈R)由|z 2－i|＝1得x 2＋(y －1)2＝1 …………① ∵ (32－12i)(x ＋yi)的实部等于0； ∴ 3x ＋y ＝0 …………②联立①②解得⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=0y 0x 23y 23x 或(舍去) 故z 2＝－32＋32i 2. C设g(x)＝ax 2－x ＋12；首先由g(x)＞0得a ＞x －12x 2＝－12x 2＋1x当1≤x ≤2时；(－12x 2＋1x )max ＝12从而a ＞12；在此前提下；易知函数g(x)＝ax 2－x ＋12的对称轴x ＝12a在区间[1；2]的左边；从而g(x)在[1；2]上是增函数.当a ＞1时；f(x)在[1；2]上是增函数；有f(1)＝log a (a －1＋12)＞0；⇒ a ＞32当12＜a ＜1时；f(x)在[1；2]上是减函数；有yf(2)＝log a (4a －2＋12)＞0；⇒ 12＜a ＜58综上：12＜a ＜58或a ＞323. A易知|MF 1|＝|NF 1|＝5而||MF 1|－|MF 2||＝||NF 1|－|NF 2|| 即|5－|MF 2||＝|5－|NF 2||当5－|MF 2|＝5－|NF 2|时；即|MF 2|＝|NF 2|时；点F 2的轨迹是线段MN 的中垂线； 其方程为x ＝1(y ≠0)当5－|MF 2|＝|NF 2|－5时；即|MF 2|＋|NF 2|＝10时；点F 2的轨迹是以M 、N 为焦点；长轴长为10的椭圆；其方程为(x －1)225＋(y －4)216＝1(y ≠0)4. B一方面；M ＞1＋0＋1＋0＝2另一方面；M ＜1＋2a ＋a 2＋1＋2b ＋b 2＝1＋a ＋1＋b ＝2＋(a ＋b)＝3所以；2＜M ＜3 5. C如图；人行横道的面积S ＝15×14＝600∴ S ＝50x ＝600 ⇒ x ＝12 6. C新增的n 个车站之间需要P n 2种车票；新增的n 个车站与原来的m 个车站之间需要2mn种车票；从而P n 2＋2mn ＝58；即n(n －1＋2m)＝58注意到n 和n －1＋2m 都是整数；而58只能分解为1×58和2×29两种情况；又n ＞1 所以n ＝2；n －1＋2m ＝29；或n ＝29；n －1＋2m ＝2；或n ＝58；n －1＋2m ＝1 只有第一组有满足题意的解：n ＝2；m ＝14 二、填空题 7.π6； 折叠后；仍然有AF ＝FH ＝HB(或HA ；折叠后A 点和B 点重合)AM ＝MN ＝NC ；且它们的长度没有变；仍然等于折叠前的长度；但对角线AC 由直线段变成了折线段；A 、M 、N 三点由原来共线变成了A 、M 、N 三点构成三角形.设AD ＝a ；则AB ＝23a ；图(1)为折叠前的长方形；有AC ＝13a ；AM ＝MN ＝133a ；AF ＝FH ＝HB ＝233a ；MF ＝a 3；HN ＝2a 3. 15A B C D F H (1)E G M N (2) AD FH E GMN P设平面AMN 与平面AFH 的夹角为θ(图(2))；由S △AFH ＝12×233a ×233a ×sin60º＝33a 2.在Rt △NHA 中；AN ＝(233a)2＋(23a)2＝4a3取AN 的中点P ；∵ AM ＝MN ⇒ MP ⊥AN 在Rt △MPA 中；MP ＝(133a)2－(23a)2＝a ∴ S △AMN ＝a 2×4a 3＝2a23∴ cos θ＝S ×AFH S △AMN ＝32；∴ θ＝π68.π3； ∵ a 2＋b 2＝2c 2；∴ cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－a 2＋b222ab ＝a 2＋b 24ab∴ a 2－4abcos θ＋b 2＝0 即(a b )2－(4cosC)ab ＋1＝0(∵ b ≠0) 因为ab是正实数；所以4cosC ＞0且△≥0解得：cosC ≥12；所以C ≤π39.(1－1a)n；开始浓度为1；操作一次后溶液浓度为a 1＝1－1a；设操作n 此后的溶液浓度为a n ；则操作n ＋1次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n (1－1a)∴ {a n }是首项、公比均为1－1a 的等比数列；∴ a n ＝a 1q n －1＝(1－1a )n3－1；∵ x ≥0；令3－x ＞2x ＋5；解得0≤x ≤4－2 3 所以f(x)*g(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧-≥--<≤+324x x3324x 05x 2∵ 3－x 在R 上单调递减；故当x ≥4－23时；f(x)*g(x)≤f(4－23)*g(4－23)＝3－(4－23)＝23－1 当0≤x ＜4－23时；2x ＋5单调递增；故当x ∈[0；4－23)时； f(x)*g(x)＜2·(4－23＋5)＝23－1 综上所知；f(x)*g(x)的最大值为23－1 ；以1为被加数；则1＋100＞100；有1种取法；以2为被加数；则2＋100＞100；2＋99＞100；有2种取法； 依次可得；被加数为n(n ∈N ；n ≤50)时；有n 种取法；但51为被加数时；要扣除前面已取过的情况；只能取52；53；……；100；有49种取法；同理；被加数为52时；有48种取法；依次可得；当被加数为n(n ∈N ；51≤n ≤100)时；分别有100－n 种取法； 所以；不同的取法共有(1＋2＋3＋……＋50)＋(49＋48＋……＋1)＝2500种 12.③④∵ a 6＋1＝(a 2＋1)(a 4－a 2＋1)＝a 2＋1a (a 5－a 3＋a)＝2(a ＋1a)；(a ≠0)∵ a ＞0且a ≠1；∴ a 6＋1＞4；∴ a 6＞3；即a ＞63 又a 5－a 3＋a ＝2；∴ 2a 3＋1＝a 2＋1a 2＞2∴ a 3＜2；即a ＜32；综合可知；应填③④三、13．显然；所作截面是一个中心对称的凸多边形；它是一个四边形或六边形.如果截面是一个四边形；那么它一定没有截到立方体的某一组对面；其面积不小于这组对面中的一个；命题成立. 如果截面是一个六边形；那么它一定截到了正方体的六个面；将立方体展开在一个平面上；如图；设界面的周长为l ；正方体的棱长为a ；则 l ≥|AB|＝(3a)2＋(3a)2＝32a由于正方体的中心是内切球的球心；所以截面内含有半径为a2的圆；从而有S 截面≥12·a 2l ≥324a 2＞a 214．将Ax ＋By ＋C ＝0变形为1＝－Ax ＋ByC；代入椭圆方程；得b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(－Ax ＋By C)2整理得：(a 2b 2B 2－a 2C 2)y 2＋2ABa 2b 2xy ＋(a 2b 2A 2－b 2C 2)x 2＝0 当x ＝0时；显然成立；当x ≠0时；同除以x 2得：(a 2b 2B 2－a 2C 2)(y x )2＋2ABa 2b 2(y x)＋(a 2b 2A 2－b 2C 2)＝0该方程的两根为OP ；OQ 的斜率；∵ OP ⊥OQ ；所以－1＝a 2b 2A 2－b 2C 2a 2b 2B 2－a 2C 2；即a 2b 2c 2＝a 2＋b2A 2＋B215．设分配给百货、服装、家电营业额分别为x ；y ；z(万元)；(x ；y ；z 是正整数)；则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤++==++=++2x 25z x 2335y 7.19c 19z 2.0y 5.0x 3.0c 190z 2y 4x 560z y x 由①②得④③②①所以c ＝＋0.5(35－3x 2)＋0.2(25＋x2)＝－代入④得8≤x ≤10；∵ x ；y ；z 必为正整数；⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===∴60z 280y 450x 558z 292y 440x 530z 20y 10x 29z 23y 8x 或或 第二试一、如图；过P 点作PG⊥AB；垂足为G ；不失一般性；设AB ＝2；则AD ＝2λ再设PG ＝h ；∠PDA＝α；PCB ＝β；则AE ＝AB －BE ＝2－2λtanβ BF ＝AB －AF ＝2－2λtanα∵ (2λ＋h)tanα＋(2λ＋h)tanβ＝2∴ tanα＋tanβ＝22λ＋h……① 又(2λ＋h)tanα(2λ＋h)tanβ＝h 2∴ tanαtanβ＝h2(2λ＋h)2 ……② ∵ AE 2＋BF 2＝(2－2λtanα)2＋(2－2λtanβ)2＝AB 2∴ 8－8λ(tanα＋tan β)＋4λ2(tan 2α＋tan 2β)＝4即 λ2(tanα＋tanβ)2－2λ2tanαtanβ－2λ(tanα＋tanβ)＋1＝0 将①②代入上式；得 4λ2－2λ2h 2(2λ＋h)2－4λ2λ＋4＋1＝∴ h 2(1－2λ2)＝0∵ h≠0；∴ 1－2λ2＝0；即λ＝22解法二：仍如上图；不失一般性；设AB ＝2；则AD ＝2λ；令AF ＝x ；BE ＝y ；因为△PGE ∽△CBE ；于是PG BC ＝GE BE ；即PG 2λ＝GEy所以；GE ＝PG ·y2λ ……………………①同理；GF ＝PG ·x2λ……………………②①＋②得：EF ＝(x ＋y)PG2λ即PG ＝EF ·2λx ＋y ＝2λ(2－x －y)x ＋y……………………③由①②③得：GE ＝PG ·y 2λ＝2λ(2－x －y)x ＋y ·y ·12λ＝2－x －yx ＋y·yGF ＝PG ·x 2λ＝2－x －y x ＋y·x∴ BG ＝GE ＋y ＝2yx ＋y ……………………④同理AG ＝2xx ＋y ……………………⑤又PG 2＝AG ·BG ；综合③④⑤得4λ2(2－x －y x ＋y )2＝4xy (x ＋y)2化简得：λ2(2－x －y)2＝xy ……………………⑥又∵ AE 2＋BF 2＝AB 2∴ (2－x)2＋(2－y)2＝4即 4－4(x ＋y)＋x 2＋y 2＝0∴ 2－2(x ＋y)＋(x ＋y)2＝2xy ……………………⑦ 将⑥代入⑦得：4－4(x ＋y)＋(x ＋y)2＝2λ2(2－x －y)2即(2－x －y)2＝2λ2(2－x －y)2∵ x ＋y ≠2；∴ 2λ2＝1；∴ λ＝22二、由柯西不等式；得(S －a k )2≤(n－1)()a a2k n1k 2k -∑=∑∑∑∑∑∑∑=======-=---≥-∈---=-+--≥-----≥----≥-∴-=---≥--+-+-n 1k 2k 2n1k 2kn 1k 2kn1k k3k 2n1k 2k2k22kn1k 2k2kk3k22kn1k 2k 2k32k 2kk 3k 2k332k 2k 3k 32k k 3k k 3k a 1n 1)1n (2a n a )2n 3(a S a )N k ()1n (2aa )2n 3()1n (2aa a )1n (3a S a)1n (a a1n a3)1n ()a S (1n a 3a S a 21n a 3)1n ()a S ()a S a (3)1n ()a S (a S a a S a 则即原不等式得证.三、易知；题中的递推关系式即为c n ＋1＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤1c 21c 2221c 0c 2n n n n 若若 …………①(1)若C 1为有理数；即c 1＝pq ；其中(p ；q)＝1时；对一切n ；均有c n ＝p nq；其中p n ∈{0；1；2；……；q}故有n 1＜n 2；使得p n1＝p n2；从而c n1＝c n2；于是由①式可知{c n }从第n 1项之后呈周期变化.假设数列自第n 1项之后呈周期为T 的变化；我们记： c n1＝∑∞=-⋅1k k k2a；即用二进制表示c n1；其中a k ＝0或1.并记k a ＝1－a k ；k∈N ……② 于是由①式可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡+⋅≡+⋅=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=∑∑∑∑∞=-+∞=-++∞=-+∞=-++)2(mod 1a a 2a )2(mod 0a a 2a c 1a 2a 0a 2a c 211k k 2k 211k k 2k 2n 11k k 1k 11k k 1k 1n 11若若若若 由此并结合归纳法；即知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋅=++⋅=∑∑∞=-+∞=-++)2(mod 1a a 2a )2(mod 0a a 2a c T 11k k T k T 11k k T k T n 1 若若 由于c n1＋T ＝c n1；故当a 1＋……＋a T ≡0(mod2)时；立即可得a k ＝a k ＋T ；k∈N 由此表明c n1为二进制循环小数；故为有理数.当a 1＋……＋a T ≡1(mod2)时；由于c n1＋T ＝c n1；得a k ＝T k a +＝1－a k ＋T ；k∈N ……③ 由于③式也表明a k ＋T ＝T 2k a +；k∈N；所以a k ＝1－a k ＋T ＝1－T 2k a +＝1－(1－a k ＋2T )＝a k ＋2T ；k ∈N故c n1也为有理数再由递推式①知；c n1是由c 1经过n 1－1步有理运算得出的；所以；c 1也必为有理数.(2)如果分别取c 1＝(0.••0101)2；c 1＝(0.个└───┘1m 0111-•• )2； ……④ 则可使{c n }分别以T ＝2和T ＝m ；m ≥3为周期；又易见；只要将c 1取为④中的12k ；k ∈N ；都可使数列最终以相应的T 为周期；从而；对每个T ＝2；3；……都有无穷多个c 1使得数列自某项之后以T 为周期变化.。
全国高中数学联赛初赛(模拟)附答案
2.如果二次方程 x2 px q 0 ( p, q N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个
1 的最小值是 b( a b )
D. 8 个
3.设 a b 0 , 那么 a 2
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.设四棱锥 P ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此四棱锥, 使得
N {( x, y) | | x a | | y 1| 1, x, y R}. 若 M N , 则 a 的取值范围是
.
三．解答题 (第一题、第二题各 15 分；第三题、第四题各 24 分) 13.已知点 M 是 ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 BC BM N , 且 AB 是 NBC 的外接圆的切线, 设 , 试求 (用 表示). BN MN
2005
, 求 n 的
பைடு நூலகம்考答案
一．选择题
1,B 2,C
y sin[( x ) ] , 即 4 4
ycos x . 故选 B．
由 p2 4q 0, q 0 , 知方程的根为一正一负．设 f ( x) x2 px q ，则
f (3) 32 3 p q 0 , 即 3 p q 9 . 由 于
4,D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、 n , 直线 m 、 n 确定了一个平面 作与 平行的平面 这样的平面
, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而
有无数多个．故选 D．
5,C 数列 {an } 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C． 6,D 铺第一列(两块地砖)有 30 种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了 A 、 B 两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 A 色．若铺 B 色，则有 (6 1) 种铺法；若不
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全国高中数学联赛模拟试题（一）
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、 方程6×(5a 2＋b 2)＝5c 2
满足c ≤20的正整数解(a ,b ,c )的个数是
（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）5
2、 函数1
2
-=x x y （x ∈R ，x ≠1）的递增区间是
（A ）x ≥2 （B ）x ≤0或x ≥2 （C ）x ≤0
（D ）x ≤21-或x ≥2
3、 过定点P (2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O 为原点）的
面积最小，则l 的方程为
（A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝0 4、 若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是
（A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜1
5、 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是
（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）51
6、 在1,2,3,4,5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件a 1＜a 2，a 2＞a 3，a 3＜a 4，a 4＞a 5的排
列的个数是
（A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程
2
1×[x 2
＋x ]＝19x ＋99的实数解x 是 ．
2、设a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n 2
，则通项公式a n ＝ ．
3、数799
被2550除所得的余数是 ． 4、在△ABC 中，∠A ＝
3
π
，sin B ＝135，则cos C ＝ ．
5、设k 、是实数，使得关于x 的方程x 2
－(2k ＋1)x ＋k 2
－1＝0的两个根为sin 和cos ，
则的取值范围是 ． 6、数()
n
224
5+（n ∈N ）的个位数字是 ．
三、（20分）
已知x 、y 、z 都是非负实数，且x ＋y ＋z ＝1．
求证：x (1－2x )(1－3x )＋y (1－2y )(1－3y )＋z (1－2z )(1－3z )≥0，并确定等号成立的条件．
四、（20分）
（1） 求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2
＋(a ＋2002)x ＋a ＝0的两根皆为整数．
（2） 试求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 3＋(－a 2＋2a ＋2)x －2a 2
－2a ＝0有三个
整数根．
五、（20分）
试求正数r 的最大值，使得点集T ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且x 2＋(y －7)2≤r 2
}一定被包含于另一个点集S ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且对任何∈R ，都有cos2＋x cos ＋y ≥0}之中．
第二试
一、（50分）
设a 、b 、c ∈R ，b ≠ac ，a ≠－c ，z 是复数，且z 2
－(a －c )z －b ＝0．
求证：()12=-+-+b
ac z c a b a 的充分必要条件是(a －c )2＋4b ≤0．
二、（50分） 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上
的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：
（1） AK ⊥BC ；
（2） BC
S AQ AP AK ABC
△2<
=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．
三、（50分）
给定一个正整数n ，设n 个实数a 1,a 2,…,a n 满足下列n 个方程：
∑==+=+n
i i n j j j i a 1
),,3,2,1(124
Λ．
确定和式∑=+=
n
i i
i a S 11
2的值（写成关于n 的最简式子）． A
C
B
D
Q K
P
参考答案
第一试
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 答案 C
C
D
A
B
D
二、填空题：
1、38181-
或38
1587
； 2、7×2n -1－n 2
－2n －3；
3、343；
4、
26
12
35-； 5、{|＝2n ＋或2n －
2
π
，n ∈Z } ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）．
三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧
===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧==
=0
21z z y ．
四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a 的可
能取值有－3，11，－1，9．
五、r max ＝24．
第二试
一、证略（提示：直接解出()2
i
42
⋅---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，然后
利用反证法证明必要性）．
二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点，
从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则
BC
S ABC
△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）．
三、()
1121
2
++-=n S ．。