浅谈排列组合问题的求解方法

浅谈排列组合问题的求解方法

摘要：排列组合问题是学生学习中的一个难点，它联系实际生动有趣，题型多样，思路灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，因此解题中要注

意方法与技巧，本文共介绍了九种解决排列组合问题的方法。

关键词：排列组合求解方法

排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样，思路灵活，解答排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题、还是排列与组合混合问题；

其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理．本文将通过对若干问

题的分析，谈谈解答排列组合问题的一些常见方法。

解决排列组合问题常用的方法有：分类法与分步法；元素分析法与位置分析法；

插空法和捆绑法；机会均等法；转化法；隔板法等。

一、分类法与分步法

问题1：9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有多少种？

【解析】有1人既懂英语又懂日语，按此人分类讨论：（1）若此人担任英

语翻译，选拔方法有C C 种；（2）若此人担任日语翻译，选拔方法有C C 种；（3）若此人不担任翻译，选拔方法有C C 种；根据分类计数原理：选拔方法共有

C C ＋C C ＋C C ＝90种。

问题2：植树节那一天，四位同学植树，现有三棵不同的树，则不同的植法结果有多少种？

【解析】完成这件事分三步，第一步，植第一棵树，共四种不同的方法；

第二步，植第二棵树，共四种不同的方法；第三步，植第三棵树，共四种不同的

方法。由分步计数原理得不同的植法结果有4×4×4=64种。

二、元素分析法与位置分析法

以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其它元素。

问题3：用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？

【解析】由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：(1）0排末尾时，有P 个，(2）0不排在末尾时，则有P P P 个，由分类计数

原理，共有偶数P + P P P =30个。

以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其它位置。

问题4：7人站成一排照相，甲、乙两人只能在两端，有多少种不同的排法？

【解析】两端是特殊位置，先让甲乙在两端，有P 种，另外5人在中间5个

位置有P 种，故共有P P =240种。

三、插空法和捆绑法

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻

的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入。

问题5：马路上有9只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足

条件的关灯方法共有多少种？

【解析】关掉第一只灯的方法有7种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，

情况较为复杂，换一个角度，从反面入手考虑，因每一种关灯的方法唯一对应着

一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为在6只亮灯中插入3只

暗灯，且任何两只暗灯不相邻、且暗灯不在两端，即就是在6只亮灯所形成的5

个间隙中选3个插入3只暗灯，其方法有C =10种。

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将相邻的元素捆绑看作一个“元素”与其他元素排列，然后再对捆绑“元素”作排列。

问题6：7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？

【解析】把甲、乙、丙三人看作一个“元素”，与其余4人共5个元素作全排列，有P 种排法，而甲乙、丙、之间又有P 种排法，故共有P P =7200种排法。

四、机会均等法

问题7 ：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？

【解析】甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中各种排列顺

序在10个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数

为 P =604800种。

五、转化法

问题8：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少

种走法？

【解析】 10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。显然，必

须有2步中每步走2级，6步中每步走一级。记每次走1级台阶为A，记每次走2级台阶为B，则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B，其余的填写A，这

是一个组合问题，所以一共有C =28种走法。

六、隔板法

问题9 ：现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，则名额分配的方法共有多少种？

【解析】 10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在

9个间隔中，共有C =84种不同放法，所以名额分配的方法共有84种。

排列组合是学生学习的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础。这一

类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧.