虚功原理应用例题

匀质杆AB始终在平面内，A端靠在墙上，B端在一光滑曲面上，如图所示。若无论B在何处杆均受力平衡，求曲面方程。

如图所示，四根相同的长度为l的光滑轻杆由铰链连接成菱形，一轻绳系在两对角线之间，下部挂一重量为P的重物，系统放置于两根等高相距为2a（2a<2l）的杆上，求绳中的张力？（φ角已知）

如图所示，一竖立在竖直平面内的半圆空心管，管内刚好装有2n个光滑小珠子，已知每个珠子重力为W，求第i个珠子与第i+1个珠子的作用力Ni。

如图所示，一个外半径为R1，内半径为R2的圆柱形电容器，竖直地插进相对介电常数为εr 的密度为ρ的电解液中，若将电容器接上电压为U 的电源，求电解液中液面上升的高度

第一题，常规做法用受力分析，建立水平竖直方向平衡方程，暴力解之。（约束力合力沿法向）

能量方法，利用随遇平衡，势能V 恒不变，解得y=f(x)。（具体见高妙）

虚功原理：因为此题为理想约束，主动力为重力，虚位移中主动力做功为0，即 P δyc=0 yc=常量

由几何关系：yc=y+22

2

1x l - 故yc=y+

22

2

1x l -=常量 因x=0时y=0，故常量=2

1

故y=21⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪

⎭⎫ ⎝⎛--2x 11l

第二题，直接虚功原理……

建立如图所示坐标系，把绳子忽略，于是两个拉力变为主动力T ，另一个主动力为P ，约束为理想约束，则有：

x A =lsin ϕ ϕδϕδcos x l A =………………………………………..①

ϕ

δϕ

ϕδϕϕδϕ2

sin sin 2cot cos 2a

l y a l y P P +-=-=……………….②

由虚功原理得：-2T P A P y x δδ+=0 将①②代入，得T=P ⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛

-ϕϕϕtan cos sin 22l a

第三题

设任意珠子的球心到管的圆心为OO ’长度为R ，前面i 个球为系统质心为C ，设CO 长度为

L 。

由虚功原理：N ()θθθθαd Wd L iWd d R cos i sin cos i == 其中α=n

4π

即N α

θ

cos cos i R iWL =

现在的目的就是求质心的位置函数L 和θ 由对称性已知角度θ=

ααi i =22

1

求L 用旋转矢量，如图所示

I 个大小为mR 、方向一次相差角度2α的矢量和的大小应该为imL 有：()()α

αααsin sin sin sin 22

imL i i R L i mR ==即

代入N 的表达式得：

()()()()W n n i i i W R i i i P iW

R iWL N i ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

=

==

=

2sin 2sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos ππααααααααα

θ

第四题

为了求液面上升高度，就得求液体所受电场力。

先求出电容：设单位长度电容带电为λ，则离轴线r 处电场强度为E=

r

20πελ

内外筒电势差为U=⎰

⎰==

1

2

2

100ln 22R R

R R dr r Edr πελ

πελ 单位长度电容为C 0=

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

210

ln 2R R U

πελ 若有电解质，则C 0’=

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛21r

0ln 2R R επε 设电容器长为L ，其中有长度为x 的电解液，则电容器电容为C=xC ()()2

1

000ln ]

1[2x 'R R L x C L r +-=

-επε

电容储存电场能为22

1

CU E =

设电解液受力为F （方向向上）

，假设电解液在F 作用下向上移动dx ，由虚功原理得Fdx=dE=d ()()21022

/ln dx 122)21(R R U CU r -=επε

得F=()()

2102/ln 122R R U r -επε

液面上的电解液受力平衡：F=(

)

2

221g R R h -πρ

得h=

(

)

()

()

2102

22

12

/ln 1g R R R R U r --εερ