2016聚焦中考数学(辽宁省)考点聚焦课件 第20讲 锐角三角函数和解直角三角形

10．(2015·本溪)张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD 的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠MAN＝30°)，在山坡底部 A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测 得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树CD 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732)
(1)铅垂线：重力线方向的直线；
(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定 的直线我们认为是水平线；
(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；
(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；
(5)坡角：坡面与水平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的夹角； (6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况 下，我们用 h 表示坡的铅直高度，用 l 表示坡的水平宽度，用 i 表示坡 h 度，即 i＝ l ＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；
1．锐角三角函数的意义：
Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则：
∠α的对边 ∠α的正弦sinα＝____________ 斜边 ； ∠α的邻边 ∠α的余弦cosα＝____________； 斜边 ∠α的对边 ∠α的正切tanα＝____________． ∠α的邻边
2．30°，45°，60°的三角函数值 如下表：
2 解：过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，∵cosC＝ 2 ，∴∠C＝45°，在 Rt△ 1 ACE 中，CE＝AC· cosC＝1，∴AE＝CE＝1，在 Rt△ABE 中，tanB＝3， AE 1 即 BE ＝3，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4 (2)∵AD 是△ABC 1 的中线，∴CD＝2BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1，∵AE⊥BC，DE＝AE， 2 ∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝ 2 【点评】 将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件．
锐角三角函数的定义
【例1】 △ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2
＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( A ) A．csinA＝a B．bcosB＝c C．atanA＝b D．ctanB＝b
【点评】 本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理的逆定理．
解决本题的关键是掌握好三角函数的定义．
正弦 30 ° 45 ° 60 ° 1 __2__ 2 __ 2 __ 3 __ 2 __ 余弦 3 __ 2 __ 2 __ 2 __ 1 __2__ 正切 3 __ 3 __ __1__ __ 3__
3.同角三角函数之间的关系：
sin2α＋cos2α＝____ ； 1 sinα tanα＝____________ ． cosα 互余两角三角函数之间的关系：若α＋β＝90°(0＜α＜90°，0°＜β＜ 90°)，则sinα＝cosβ，cosα＝sinβ，tanα·tanβ＝1. 函数的增减性：(0°＜α＜90°) 增大而增大 ； (1)sinα，tanα的值都随α__________________ (2)cosα随α_____________________ ． 增大而减小
5．(2015·大连)如图，从一个建筑物的A处测得 对面楼BC的顶部B的仰角为32°，底部C的俯角 为45°，观测点与楼的水平距离AD为31 m，则 50 楼BC的高度约为______m．(结果取整数，参考 数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6)
6．(2015·抚顺)如图，在A处看建筑物CD的顶
[对应训练] cos60° 2．计算：cos 60°－ ＋tan245°－sin245°. 1－sin30°
2
1 1 1 解：原式＝(2)2－ 1＋1－2＝－4 1－2
1 2
解直角三角形
1 2 【例 3】 (2015· 襄阳)如图， AD 是△ABC 的中线， tanB＝3， cosC＝ 2 ， AC＝ 2.求： (1)BC 的长； (2)sin∠ADC 的值．
解：由题意得，∠ABC＝25°＋50°＝75°，∠BAC＝180°－70°－50 °＝60°，∴在△ABC 中，∠C＝45°，过点 B 作 BD⊥AC，垂足为点 D， ∵AB＝20×5＝100， 在 Rt△ABD 中， ∠BAD＝60°， ∴BD＝AB· sin60 3 1 °＝100× 2 ＝50 3，AD＝AB· cos60°＝100×2＝50，在 Rt△BCD 中， ∠C＝45°，∴CD＝BD＝50 3，∴AC＝AD＋CD＝50＋50 3≈137(海 里)，答：小岛 A 距离小岛 C 约是 137 海里
3.解直角三角形小口诀： 有斜用弦，无斜用切，宁乘毋除，取原避中． 有斜用弦：已知斜边时用正弦或余弦； 无斜用切：与直角边有关，没斜边时用正切； 宁乘毋除：能用乘法时尽量回避除法运算，减小计算量和误差； 取原避中：计算时尽量使用原始数据，少用计算过程中得到的近似数 以减小误差．
2 1 0 1．(2014· 锦州)计算：tan45°－3( 3－1) ＝____ 3 ． 1 75°． 2． (2014· 本溪)在△ABC 中， ∠B＝45°， cosA＝2， 则∠C 的度数是_____ 3 2 7 ． 3． (2013· 鞍山)△ABC 中， ∠C＝90°， AB＝8， cosA＝4， 则 BC 的长_____ 4．(2015· 阜新)如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部 A 看地面上的一点 B，俯角为 30°，已知地面上的这点与楼的水平距离 BC 为 30 m，那么楼 10 3 的高度 AC 为___________ m．(结果保留根号)
解：如图，过 B 作 BE⊥CD 交 CD 延长线于 E，∵∠CAN＝45°，∠ MAN＝30°，∴∠CAB＝15°，∵∠CBE＝60°，∠DBE＝30°，∴ ∠CBD＝30°，∵∠CBD＝∠CAB＋∠ACB，∴∠CAB＝∠ACB＝15 °，∴AB＝BC＝20，在 Rt△BCE 中，∠CBE＝60°，BC＝20，∴CE 3 ＝BC· sin∠CBE＝20× 2 ＝10 3，BE＝BC· cos∠CBE＝20×0.5＝10， 3 在 Rt△DBE 中， ∠DBE＝30°， BE＝10， ∴DE＝BE· tan∠DBE＝10× 3 10 3 10 3 20 3 ＝ 3 ，∴CD＝CE－DE＝10 3－ 3 ＝ 3 ≈11.5，答：这棵大树 CD 的高度大约为 11.5 米
3 3 3 1 1 3 1 3 解：原式＝ 3 × 2 ＋( 2 )2－2＝2＋4－2＝4
1 (2)(辽阳模拟)已知 α， β均为锐角， 且满足|sinα－2|＋ （tanβ－1）2＝
75° ． 0，则 α＋β＝_______ 【点评】 利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、 乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住三角函数值是解决此类题 目的关键，所以必须熟记．
12．(2015· 葫芦岛)如图，小岛 A 在港口 B 的北偏东 50° 方向，小岛 C 在港口 B 的北偏西 25°方向，一艘轮船以 每小时 20 海里的速度从港口 B 出发向小岛 A 航行，经过 5 小时到达小岛 A，这时测得小岛 C 在小岛 A 的北偏西 70°方向，求小岛 A 距离小岛 C 有多少海里？ ( 最后结果精确到 1 海里 ， 参考数据： 2 ≈1.1414 ， 3 ≈1.732)
11．(2015· 锦州)如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛 P 附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到 A 处，测得 该岛在北偏东 30°方向，海监船以 20 海里/时的速度继 续航行，2 小时后到达 B 处，测得该岛在北偏东 75°方 向，求此时海监船与黄岩岛 P 的距离 BP 的长．(参考数 据： 2≈1.414，结果精确到 0.1)
割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．
2．解直角三角形的类型和解法
已知条件 一直角边和一锐 角(a，∠A) 已知斜边和一个 锐角(c，∠A) 已知两直角边 (a，b) 已知斜边和一条 直角边(c，a) 图形 解法 a a ∠B＝90°－∠A， c＝sinA， b＝tanA ∠B＝90°－∠A，a＝c· sinA, b＝ c· cosA a c＝ a2＋b2，由 tanA＝b求∠A，∠B ＝90°－∠A a b＝ c2－a2，由 sinA＝c求∠A，∠B ＝90°－∠A
解：设 CD＝x 米，在 Rt△BCD 中，∵∠DBC＝ 45°， ∴BC＝CD＝x， 在 Rt△DAC 中， ∵∠DAC CD ＝30°，∴tan∠DAC＝AC，∴x＋2＝ 3x，解得 x＝ 3＋1，∴BC＝CD＝ 3＋1，在 Rt△FBE 中， ∵∠DBC＝45°，∴FE＝BE＝BC＋CE＝ 3＋1 ＋3≈5.7，答：树 EF 的高度约为 5.7 米
解：过 B 作 BD⊥AP 于 D，由已知条件得：AB＝20×2＝40，∠P＝75° 1 －30°＝45°，在 Rt△ABD 中，∵AB＝40，∠A＝30°，∴BD＝2AB ＝ 20 ， 在 Rt △ BDP 中 ， ∵∠ P ＝ 45 ° ， ∴ PB ＝ 2BD ＝ 20 2 ≈28.3( 海 里)．答：此时海监船与黄岩岛 P 的距离 BP 的长约为 28.3 海里
端D的仰角为α，且tanα＝0.7，向前行进3米到达 B处，从B处看D的仰角为45°(图中各点均在同
一平面内，A，B，C三点在同一条直线上，
CD⊥AC)，则建筑物CD的高度为____米． 7
7．(2014·抚顺)如图，河流两岸a，b互相平行，点A，B是河岸a上的两 座建筑物，点C，D是河岸b上的两点，A，B的距离约为200米，某人在
4．解直角三角形的概念、方法： 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知 元素的过程叫做解直角三角形． 直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C所对的边分别为a，b，c，则： a2＋b2＝c2 (1)边与边的关系：_________________ ； (2)角与角的关系：______________________ ； ∠A＋∠B＝90° (3)边与角的关系：