高维波动方程的初值问题(课堂PPT)

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7 高维波动方程求解法2

u a 2 u 0 ( i ) tt u |t 0 0, ut |t 0 ( x1 , x2 , x3 )
v 0(r 0). r
的解.
证明：直接计算,得 u t v( x1 , x2 , x3 , at ),
ut v( x1 , x2 , x3 , at ) atvr ( x1 , x2 , x3 , at ),
(3.10)
是定解问题
又由(3.8)，利用积分中值定理知
当 r 0 时, (1 , 2 , 3 )趋于球心( x1 , x2 , x3 ),
引理4.2得证.
v 1 4 r 1 (1 , 2 , 3 ) (1 , 2 , 3 ) r , r 4 r 2 3 3 其中 (1 , 2 , 3 )是Dr内的某点.
的叠加.
所以引理得证.
设 u1 ( x, y, z, t ), u2 ( x, y, z , t ), 是定解问题(iii)和(iv) 的解,则 u u1 ( x, y, z, t ) u2 ( x, y, z , t ) 就是Cauchy问题 (3.1)解.
由引理4.3知，只要取就可得到定解问题(iv)的解
T0
d
D
M
3
2016/3/27
1.当 at d ,即 t d / a 时, S ( M )与 T0 不相交, ( M ) 和 ( M ) 之值均为零,因而两个积分之值亦均为零, 即 u( M , t ) 0 .这表示扰动的前锋尚未到达.
at
) T 相 2.当 d at D ,即 d / a t D / a 时, S at ( M 与 0 交, ( M ) , ( M ) 之值不为零,因而积分之值亦不为零, 即 u( M , t ) 0 ,这表明扰动正在经过M点.

3.2 三维波动方程初值问题

表达的 u(x,y,z,t) 在 R3 (0, ) 内二阶连续可微，且为三
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域内，(即在外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数和的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与和无关。

第二章波动方程

第二章波动方程一、小结本章主要提供了波动方程初值问题与混合问题的求解方法。

对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法往往也是不同的。

1．波动方程的初值问题20(0,)(I)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u t x u x x u x x ϕψ⎧-=>-∞<<∞⎪⎨==⎪⎩可用达朗贝尔方法求解，得到解的表达式为11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰当21(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞，利用上面公式可直接验证问题（I ）是适定的。

（2）半无弦自由振动的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作奇延拓，把问题（II ）化为问题（I ）。

对于第二边值的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t xu a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪'==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作偶延拓，也可把问题化为问题（I ）。

（3）三维齐次波动方程的初值问题2312312312300(0,(,,))(III)(,,),(,,),tt t t t u a u t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆>∈⎪⎨==⎪⎩用球平均法求解，得到解的表达式（泊松公式）为：1232211(,,,)[]44x xatatat at S S u x x x t dS dS t a t a t ϕψππ∂=+∂⎰⎰⎰⎰ 当32(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞,由上式确定的123(,,,)u x x x t 是问题(III)的解。

波动方程初值问题与行波法

1 x at 1 u d 2 2a x at 1
1 arctan( x at ) arctan( x at ) 2a
例4：求二阶线性偏微分方程初值问题的解
uxx 2uxy 3u yy 0 2 u | 3 x , u y | y 0 0 y0
2 F 3 x G x 3 x F ' 3 x G ' x 0
1 F 3x G x C 3
9 2 F 3x x C ' 4 G x 3 x 2 C ' 4
P( x, t )
依赖区间
x at
x at
x
区间 [ x at , x at ] 为解的依赖区间。
2.决定区域该区域中任一点(x, t )的依赖区间都落在区间[c, d]内部，因此解在此该区域中的数值完全由区间[c, d]上的初始条件决定。
t
x c at
x d at
例5 求二阶线性偏微分方程的通解
uxx 2sin xuxy cos xuyy 0.
2
解：特征方程为
dy
2
2sin xdxdy cos x dx 0
2 2
dy dy 1 sin x 1 sin x 0 dx dx
G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)
u2 G ( x ) ( t 0)
O
at
u2 G ( x at ) ( t t0 )
x0
x x0 at
x
u1 F ( x at )

第七章波动方程初值问题

x1 a(t0 t ) x0 at0
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2

课件：第三章行波法

0(3 .1)(3.2)
对于上述初值问题，由于微分方程现定解条件都是线性的，所以叠加原理同样成立，即如果函数和分
别是下ux述,0初值utt问x,题aut2uxx,x0 x (3.3)
(3.4)
•和
uuxtt,0a20u,xux txf,0x((,33t..650))
的解，则 u u1x,t u2x就,t是原初值问题 (3.1)(3.2)的解，这
1
2 1
2
x x
1
2a 1
2a
x
x0 x
x0
d d
c
2a c
2a
( 3.17)
把它们代入(3.13) 得初值问题(3.3)(3.4)的解
ux, t
x
at
2
x
at
1 2a
xat(3.1d8) xat
这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称为达朗贝尔解。这种求解方法称为达朗贝尔解法。
题大
有有
其局
特限
殊的优点
性
，但对
，
内波动方程的定
解问
题，
波法只能用于求
解无
界区
波解法定，解二问是题积和分方
变法换，
法一。是
本章我们将介
绍另外
两个
引言
3.2 达朗贝尔（D’Alembert）公式波的传播
• 本章我们将介绍另外两个求解定解问题和方法，一是行波法，二是积分变换法。行波法只能用于求解无界区域内波动方程的定解问题，虽然有很大有局限性，但对于波动问题有其特殊的优点，所以该法是数理方程的基本之一。我们只注重解决问题的思路，导出形式解，不追求分析的条件与验证。积分变换法不受方程的类型限制，主要用于无界区域，但对于有界区域也能应用

第二节初值问题(一维情形)

第二节初值问题（一维情形）
一、波动方程的初值问题：（无界弦振动方程的初值问题）
Lu utt a 2uxx f ( x, t ) ( x R, t 0) u( x,0) ( x),ut ( x,0) ( x) ( x R)
1. 解的表达式：达朗贝尔(D'Alembert)公式 2. 解的物理意义: 特征线
1 u1 M ( x, t ) t t 2a

x at

Lu utt a 2uxx f ( x, t ) ( x R, t 0) u( x,0) ( x),ut ( x,0) ( x) ( x R)
的解：
(1)
u u1 u2 u3
a u v ( x R, t 0) t x u ( x,0) 0 ( x R) a v 0 t x v( x,0) ut ( x,0) au x ( x,0) ( x)
Hale Waihona Puke 1 1
1
1

LM f ( x, t ) M f ( x, t1 )t t a 2 M f ( x, t1 ) xx 0 t t M f ( x, t ) f ( x, ) M f ( x, t ) t 0, t t
2 K

1 ut 2 2

t
ut ux x ut x ux ut ux x ux t ux
ut u x x
1 2 u x 2

t
Step2:
（变形，目标是利用格林公式，计算左端积分）

(优选)三维波动方程初值问题

xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数和的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
2.1 三维齐次波动方程的球对称解
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
2ar atr
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
( )d
xat
1
其中 2at
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
1 2r
[(r
at
) (r
at)
(r
at)
(r
at)]
u(r, t )
1

波动方程ppt课件

＝
2π
2π
d ＝Cd
C (本题结束)
判断各点运动方向的技巧
上坡下行
例题：有一列横波向右
下坡上行
传播，画出波形曲线上 A、B 、C 、D 、E 、F 各点的运动方向和四分之
y C· B· ·D
u
一周期后的波形曲线。
· A 0
T 4
E·
·F
x
特别要注意：波的传播方向，这是关键。
例题：图（a）中所表示的x ＝0 处质点振动的初相位
y(m) 0.04
0
－0.04
u＝0.08 m/s
.a
b.
0.2
0.4
x (m)
例题：一列沿x 正向传播的简谐波，已知t1=0和
t2=0.25s时的波形如图。
试求：（1）振动方程（2）波动方程（3）作出波源振动曲线。
（练习册P32计算题3·版书）
y(m)
u
0.02m
t1 t2
..
.
0
P
x (m)
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
波波
函数
动方程
y
=A
cos ω
(
t－
x
u
)
+j
波向x 轴正方向传播也称右行波
波向x 轴负方向传播也称左行波
y
=A
cos
ω
(
t
＋
x
u
) +j
物理意义：波线上任一点（距原点为 x）处的质点任一瞬间相对其平衡位置的位移。
当波向x 轴正方向传播而且已知距离0点为xo的Q点振动方程为：
与图（b）所表示的振动的初相位分别为：

数学物理方程第二章(波动)

横向： T cos T 'cos ' 得：
T T '，与x位置无关
纵向： sin T 'sin ' gds f 0 ds ma T 其中： cos 1 cos ' 1
y
M'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x m ds
分析与假设：
1)柔软的细弦：弦上的任意一点仅有的张力且沿弦的切线方向。 2)拉紧：指弦线在弹性范围内，服从虎克定律。 3)横振动：指振动只有沿u轴方向的位移，可用u(x,t)表示。
u 1 x
4)微小：指弦上各点位移与弦长相比很小，夹角很小，即
数学物理方程
第二章波动方程
用微元法及牛顿运动定律推导：
数学物理方程
第二章波动方程
第二章波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件一维波动方程的初值问题半无界弦的自由振动问题高维波动方程的初值问题混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦，在平衡位置附近作微小横振动，求不同时刻弦线的形状。
2 u ( x, t ) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx f 0 dx t 2 dx x x
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) 其中： dx x 2 dx x x x x
u ( x,0) af1( x) af 2( x) ( x) t 1 x 积分得： f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a 0 1 1 x C 1 1 x C f 1 ( x) ( x) ( )d f 2 ( x) ( x) ( )d 2 2a 0 2 2 2a 0 2 1 1 x at C 1 1 x at C u ( x at) 0 ( )d 2 2 ( x at) 2a 0 ( )d 2 2 2a 1 1 x at u ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a 一维波动方程的达朗贝尔公式

2-3 初值问题(高维情形)

at
2

2
0
(sin cos )d sin 2 d
0

d sin cos d 0 0 x y z. at
2
2

例2. 求解初值问题
2 3 u a ( u u u ), ( x , y , z ) R ,t 0 tt xx yy zz 3 u ( x , y , z , 0) yz , u ( x , y , z , 0) xz , ( x , y , z ) R t 解. 法一. 此处 yz, xz, 由Poisson公式得
由达朗贝尔公式可分别求得以上三个定解问题的解，为
1 x at u z d xzt , 2a x at 1 2 u [ z ( y at ) z ( y at )] yz , 2 u 3 0, 因此 u xzt yz.
1
例4. 求解初值问题
2 3 utt a (uxx u yy u zz ) 2( y t ), ( x, y, z ) R , t 0 3 u ( x, y, z, 0) x y z, ut ( x, y, z, 0) 0, ( x, y, z ) R
u ( x, y , z , t ) 1 2 t sin ( y at sin sin )( z at cos )d d 4 t 0 0
1 4

0
2

0
sin ( x at sin cos )( z at cos )d d
(a)先看三维情形：
特点：三维波的传播有清晰的前阵面和后阵面，这一物理现象称为惠更斯（Huygens）原理或波无后效现象。 (b)二维情形：

波动方程推导过程ppt课件

tantandxdxdxdxdx一维非齐次波动方程二维非齐次波动方程三维非齐次波动方程
一维波动方程推导：
四个条件
横振动微小振动弦是柔软的弦是均匀的
张力沿切线方向密度均匀 ρ
u ux+Δx
ux
单位长度外力 F(x,t)
P
α1
T1(x,t)
x
α2 张力T2(x,t)
Q
x
x+Δx
x 0
精品课件
1
由牛二定律：
因运动为微小横振动，可得：
注：
tan 1 x
0
u
x
dx,t
x
u
xt
精品课件
2
可得：
即： T2 T1 T
u x dx,t u x,t
T
x
dx
x
dx
F
x,
t
dx
dx
2u
t
x,
2
t
T
2u x,t
x2
dx
F
x, t
dx
dx
2u x,t
z, t
a2
2u x, y,
x2
z, t
2u x, y, z, t
y2
2u x, y, z, t
z 2
f
x,
y,
z, t
三维非齐次波动方程
注：在没有外力f的作用下，方程变为齐次。
精品课件
4
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t 2
T a2, f x,t F x,t
记：
精品课件
3
可得：

波动方程初值问题

波动方程初值问题波动方程初值问题是在物理学中经常遇到的一类问题，研究的是在给定初始条件下的波动现象。

下面将详细介绍波动方程初值问题的相关知识点。

一、波动方程初值问题的基本概念波动方程初值问题是指，在已知波动方程及其初值条件的情况下，求解波动过程中各时刻的波动状态的问题。

波动方程通常描述的是波动的传播过程，具有一定的数学形式，解析解往往难以直接求得，需要利用适当的数值方法进行逼近求解。

二、波动方程初值问题的求解方法1.分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的一种常用方法，适用于求解一类边值问题。

对于某些特定的波动方程，可以采用分离变量法，将其转化为一系列常微分方程，进而求解出波动状态函数。

2.有限差分法有限差分法是通过离散化波动方程，在网格节点处计算差分近似值，并通过求解差分方程组来求解问题。

它是一种基本且有效的数值方法，被广泛地应用于求解波动方程初值问题。

3.有限元法有限元法是将具有一定连续性的结构或介质离散成若干个有限单元，在有限单元内进行数值计算，最终求解整个问题的方法。

比起有限差分法，有限元法的适用范围更广，也更为精确，但计算量较大，在实际应用时需要考虑计算效率和求解精度之间的平衡。

三、波动方程初值问题的应用波动方程初值问题广泛应用于物理学、化学工程、机械制造等领域中，如声波、电磁波、光波、地震波等的传播与反射，可以通过波动方程初值问题来描述和计算这些物理现象。

总之，波动方程初值问题是一类具有一定难度的数学问题，求解该类问题需要掌握一定的数值计算方法和物理知识，并且需要对实际问题进行具体分析才能得出最优的求解方案。

波动方程差分方法初步(PPT文档)

U

n1 j

(1
2 2 )U
n j

2
U
n j 1
U
n j 1

U
n1 j
U
n 0

(n
)

n,
U
n J

(n )

n,
n0
U
0 j

fj,

U
1 j

fj
gj
2
2
f j1 2 f j f j1 ,
0 jJ
h
U
1 j

2(1

2
)U
0 j

2
U
0 j 1
U
0 j 1

U
1 j
初始速度的离散
一、简单处理
初始位移
U
0 j

f
(
jh)

f
0 j
初始速度 u(xj ,tk ) u(x j ,tk ) u(x j ,tk ) O( )

t
u(x j ,tk ) u(x j ,tk ) u(x j ,tk )

U
0 j 1

U
1 j

2U
1 j

2(1

2
)U
0 j

2
U
0 j 1

U
0 j 1
2 g j
2f j 2 g j 2 f j1 2 f j f j1
U
1 j

fj
gj

数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】68页PPT

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数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
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8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯

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其中为简单闭曲面所围成的区域，n 是的单位
外法向。
现将方程(27)两边在
V
M r
上积分得
u div u
utt dVrM a2 udVrM a2 div udVrM
VrM
VrM
VrM
a2
u
dS
M r
S rM
a2r2
S1M
u (M r
r,t)d
2020/4/24
6
utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
dS
M r
r 2d.
u(r,t)
1
4r 2
SrM
u(P,
t
)dS
M r
1
4
S1M
u(M
r, t )d.
对上式两边对 r 取极限 r 0, 得
lim u (r,t) 1
r 0
4
此外，记
V
M r
表示以
S1M
M
u(M ,t)d u(M ,t).
为球心，r 为半径的球体，
则在V
M r
上的体积分用球坐标可表示为
fdVrM
r
0 dr1
fdSrM1
r
0 dr1
f (M r1)r12d.
VrM
SrM1
S1M
则有
utt dVrM
VrM
2 t 2
VrM
udVrM
2 t 2
r
0 dr1
u(M r1)r12d
S1M
4 2
t 2
r 0
r12
u
(r1
,
t
)dr1
.
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27)
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
div vd v ndS
3.2 高维波动方程的初值问题
上节我们讨论了一维波动方程的初值问题，得到了达朗贝尔公式。对于三维波动方程，可用球面平均法形式地推出解的表达式。这表达式通常被称为基尔霍夫公式。
3.2.1 三维波动方程的基尔霍夫公式现在，我们考察三维波动方程的初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 其中(x, y, z) 与 (x, y, z) 为已知函数。
VrM
f dVrM
r
0 dr1
fdSrM1
SrM1
r
0 dr1 S1M
f (M r1)r12d.
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式
div vd v ndS
其中为简单闭曲面所围成的区域，n 是的单位
外法向。
现将方程(27)两边在
V
M r
上积分得
u div u
utt dVrM
a
2
udVrM
a
2
div
udVrM
a
2
u
dS
M r
VrM
VrM
VrM
S
M r
u n
u cos u cos u cos
x
y
z
u n
r
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27)
u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z),
utt dVrM 4a 2r 2 u .
VrM
r
另一方面，利用
(28)
div vd v ndS
其中为简单闭曲面所围成的区域，n 是的单位
外法向。
现将方程(27)两边在
V
M r
上积分得
u div u
utt dVrM a2 udVrM a2 div udVrM
VrM
VrM
VrM
a2r 2 u(M r,t)d 4a 2r 2 u .
r S1M
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27)
u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28)
首先，任意固定点M
(x,
y, z),
S
M r
表示以
M 为球心，
r 为半径的球面。利用球坐标，则球面上的点
d sindd,
dS
M r
r 2d.
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27)
u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28)
现在引进 u的球面平均数
u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28)
于是
2
t 2
r 0
r12u
(r1
,
t
)dr1
a2r2
u r
,
两边对 r求导得
(r பைடு நூலகம்u )tt 2a 2rur a 2r 2urr ,
(
P x
Q y
R z
)dv
(P
cos
Q
cos
R
cos
)dS
可写成散度形式
div vd v ndS
其中为简单闭曲面所围成的区域，n 是的单位
外法向。
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
P (,, ) (x r sin cos, y r sin sin, z r cos ).
用
(sin
c os , sin
sin,cos )
表示球面
S
M r
的单位
外法向，则球面
S
M r
上的点可简单记作
M
r.
同时也可被看成单位球面上的点。因此，我们
也记球面上的微元
dS
M r
r 2 sindd,