三角函数解析式

π 设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ) (ω>0，－ <φ<0)的最小正周期为 π，且 2 π 3 f4＝ . 2 (1)求 ω 和 φ 的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象；
2 (3)若 f(x)> ，求 x 的取值范围． 2
2π 解 (1)周期 T＝ ω ＝π，∴ω＝2， π π π 3 ∵f 4 ＝cos 2×4＋φ ＝cos 2 ＋φ ＝－sin φ＝ ， 2 3 π π ∴sin φ＝－ ，∵－ <φ<0，∴φ＝－ . 2 2 3 π (2)∵f(x)＝cos2x－3 ，列表如下：
变式训练 2
(1)(2011· 江苏)已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω， φ 为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示， 则 f(0)的值是______． π (2)已知函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|< )， 2 π y＝f(x)的部分图象如图所示，则 f( )＝________. 24
解析
π y ＝ sin ωx＋3 ＋2
4π 向 右 平 移 个 单 位 后 得 到 y1 ＝ 3 y 与 y1 的图象重
4π π 4π π sinωx－ 3 ＋ ＋2＝sinωx＋3－ 3 ω ＋2，又 3
π 2x－ 3 x f(x)

π － 3 0 1 2

0 π 6 1
π 2 5 π 12 0
π 百度文库 π 3 －1
3 π 2 11 π 12 0
5 π 3 π 1 2
图象如图：
π (3)cos2x－3 >
2 ， 2 π π π ∴2kπ－ <2x－ <2kπ＋ ，k∈Z， 3 7 4 π4 2kπ＋ <2x<2kπ＋ π，k∈Z， 12 12 π 7 kπ＋ <x<kπ＋ π，k∈Z， 24 24 π 7 ∴x 的范围是 x|kπ＋24<x<kπ＋24π，k∈Z.
4π 3 合，则－ ω＝2kπ(k∈Z)．∴ω＝－ k.又 ω＞0，k∈Z， 3 2 3 ∴当 k＝－1 时，ω 取最小值为 ，故选 C. 2
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3．若函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为偶函数，则 φ 满足的
π 条件是_____________________ ． φ＝kπ＋ (k∈Z) 2
4．已知函数
π f(x)＝sinωx＋ (ω>0)的最小正周期为 3
π，则该
函数的图象说法正确的有________． π ①④ ①关于点 ，0对称； 3 π ②关于直线 x＝ 对称； 4 π ③关于点 ，0 对称； 4 π ④关于直线 x＝ 对称． 12
4 3 B. C. D．3 3 2 π 4π y ＝ sin ωx＋3 ＋ 2 向 右 平 移 个 单 位 后 得 到 y1 ＝ 3
4π π 4π π sinωx－ 3 ＋ ＋2＝sinωx＋3－ 3 ω ＋2，又 3
π 知 A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋ )， 4 π π π π ∴f( )＝tan(2× ＋ )＝tan ＝ 3. 24 24 4 3
3
如图为 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式．
解 方法一 以 N 为第一个零点，
则 A＝－
5π π 3，T＝2 6 －3＝π，
∴ω＝2，此时解析式为 y＝－ 3sin(2x＋φ)． π ∵点 N－6，0， π π ∴－6×2＋φ＝0，∴φ＝3，
所求解析式为 y＝－
π 3sin2x＋3＝
2π 3sin2x－ 3 .
方法二 以
由图象知 A＝ 3，
π 5π M3，0为第一个零点，P 6 ，0为第二个零点．
π ω· 3＋φ＝0 列方程组 5π ω· ＋φ＝π 6
T 7π π π (1)由题图知 A＝ 2， ＝ － ＝ ， 4 12 3 4 2π ∴T＝π，ω＝ ＝2. π π π ∴2× ＋φ＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋ . 3 3
π 令 k＝0，得 φ＝ . 3 ∴函数解析式为 f(x)＝
π 2sin2x＋3 ，
π 6 ∴f(0)＝ 2sin ＝ . 3 2 π 3 π π (2)由图形知，T＝ω＝2( π－ )＝ ，∴ω＝2. 8 8 2 3 3 由 2× π＋φ＝kπ，k∈Z，得 φ＝kπ－ π，k∈Z. 8 4 π π 又∵|φ|＜ ，∴φ＝ . 2 4 π 由 Atan(2×0＋ )＝1， 4
知识点：根据 y＝ A sin(ωx ＋φ )＋k 的图象求其解析式的问题， 主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 最高点－最低点 A＝ ； 2 ②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 最高点＋最低点 k＝ ； 2 2π ③ω的确定：结合图象，先求出周期 T ，然后由 T ＝ ω (ω>0)来确定ω；
y 与 y1 的图象重
4π 3 合，则－ ω＝2kπ(k∈Z)．∴ω＝－ k.又 ω＞0，k∈Z， 3 2 3 ∴当 k＝－1 时，ω 取最小值为 ，故选 C. 2
1．设 ω ＞0，函数
π ω x ＋ y＝sin ＋2 3
4π 的图象向右平移 个 3 )． D．3
单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是( 2 A. 3 4 B. 3 3 C. 2
，
ω ＝2 解之得 2π φ＝－ 3 . 2π ∴所求解析式为 y＝ 3sin2x－ 3 .

1．设 ω ＞0，函数
π y＝sinω x＋ 3
＋2
4π 的图象向右平移 个 3 )．
单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是( 2 A. 3
解析
④φ 的确定： （ 1 ）由函数 y＝A sin(ω x ＋ φ )＋ k 的第一点即令ωx φ ＋φ ＝0，x ＝－ 确定 φ（ 2）带入最高点或最低点求φ 。 ω
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 1. 如图是函数 y＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ |<π)在 一个周期内的图象，试写出函数的表达式．