三角函数解析式
三角函数求解析式技巧
三角函数求解析式技巧求解析式是指将一个三角函数用一个数学表达式来表示，使得对于给定的自变量值，可以得到函数的具体值。
在数学领域中，有一些常见的技巧可以用来求解三角函数的解析式。
1. 基本关系式：三角函数有着一些基本的关系式，例如：sin^2(x) + cos^2(x) = 1，用于正弦函数和余弦函数的平方和的关系；tan(x) = sin(x)/cos(x)，用于正切函数和正弦函数、余弦函数的关系等。
2. 奇偶性：根据函数的奇偶性可以简化三角函数的解析式。
例如：正弦函数sin(x)是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数cos(x)是偶函数，即cos(-x) = cos(x)；正切函数tan(x)是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
3. 三角恒等式：三角恒等式是用于描述三角函数之间的等式关系的公式。
其中最常见的三角恒等式包括：和差公式：sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)倍角公式：sin(2a) = 2sin(a)cos(a)cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)化简同角三角函数：tan(a) = sin(a)/cos(a)cot(a) = cos(a)/sin(a)4. 双曲函数：双曲函数是与三角函数非常相关的一类函数。
其中最常见的双曲函数包括：双曲正弦函数sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲余弦函数cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲正切函数tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)5. 泰勒级数展开：泰勒级数展开是一种通过多项式逼近三角函数的技巧。
泰勒级数展开将一个函数表示为无穷级数的形式，从而可以通过截断级数来获得函数的近似解析式。
例如，正弦函数的泰勒级数展开为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...6. 几何关系：三角函数与几何图形之间存在着密切的关系，通过观察几何图形可以得到一些三角函数的性质。
三角函数的值域与解析式
三角函数的值域与解析式三角函数是高中数学中的重要概念，它们在几何学和物理学等领域有广泛的应用。
在学习三角函数时，我们需要了解它们的值域和解析式，以便能够正确地运用它们。
本文将重点探讨正弦函数和余弦函数的值域与解析式。
一、正弦函数的值域与解析式正弦函数的解析式为：y = sin(x)正弦函数的值域是[-1, 1]，即其取值范围在-1与1之间。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在x轴上是周期性的，在y轴上取值介于-1到1之间。
当x为0、π、2π及其整数倍时，正弦函数的值为0；当x为π/2、3π/2及其奇数倍时，正弦函数的值为1或-1；当x为π/4、3π/4及其奇数倍时，正弦函数的值介于0和1之间；当x为5π/4、7π/4及其奇数倍时，正弦函数的值介于-1和0之间。
根据这些特点，我们可以绘制出正弦函数的图像，并正确理解其值域。
二、余弦函数的值域与解析式余弦函数的解析式为：y = cos(x)余弦函数的值域也是[-1, 1]，与正弦函数相同。
余弦函数的图像也是一条连续波浪线，但与正弦函数的图像相位差π/2，即余弦函数的图像在x轴上是正弦函数图像向左平移π/2个单位。
余弦函数的值域与正弦函数相同，当x为0、2π、4π及其整数倍时，余弦函数的值为1；当x为π、3π、5π及其奇数倍时，余弦函数的值为-1；当x为π/2、5π/2及其奇数倍时，余弦函数的值介于0和-1之间；当x为3π/2、7π/2及其奇数倍时，余弦函数的值介于-1和0之间。
理解余弦函数的值域有助于正确应用该函数解决问题。
综上所述，正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，但在特定的x取值时，它们的值会有所不同。
熟练掌握它们的值域和解析式是理解三角函数的重要一步，为应用三角函数解决实际问题打下基础。
我们可以通过反复练习和实际运用来加深对三角函数值域和解析式的理解，提高数学应用的能力。
三角函数的解析式
三角函数的解析式三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的解析式，即用数学公式表示三角函数的关系式。
一、正弦函数的解析式正弦函数是三角函数中的一种，用sin(x)表示，其中x表示角度。
正弦函数的解析式可以表示为：sin(x) = a其中a为角度x所对应的正弦值。
二、余弦函数的解析式余弦函数也是常见的三角函数，用cos(x)表示，其中x表示角度。
余弦函数的解析式可以表示为：cos(x) = b其中b为角度x所对应的余弦值。
三、正切函数的解析式正切函数是三角函数中的一种，用tan(x)表示，其中x表示角度。
正切函数的解析式可以表示为：tan(x) = c其中c为角度x所对应的正切值。
四、余切函数的解析式余切函数也是常见的三角函数，用cot(x)表示，其中x表示角度。
余切函数的解析式可以表示为：cot(x) = d其中d为角度x所对应的余切值。
五、正割函数的解析式正割函数是三角函数中的一种，用sec(x)表示，其中x表示角度。
正割函数的解析式可以表示为：sec(x) = e其中e为角度x所对应的正割值。
六、余割函数的解析式余割函数也是常见的三角函数，用csc(x)表示，其中x表示角度。
余割函数的解析式可以表示为：csc(x) = f其中f为角度x所对应的余割值。
综上所述，我们介绍了六种三角函数的解析式，分别为正弦函数的sin(x)、余弦函数的cos(x)、正切函数的tan(x)、余切函数的cot(x)、正割函数的sec(x)和余割函数的csc(x)。
这些解析式可以帮助我们计算角度与三角函数值之间的关系，深入研究三角函数的性质和应用。
在实际问题中，我们可以通过使用这些解析式来解决各种涉及角度的计算和建模问题。
三角函数的解析式是数学中的重要工具，它们在科学研究和实际应用中发挥着重要的作用。
通过学习和理解三角函数的解析式，我们能够更加深入地研究角度的性质和变化规律，为解决实际问题提供更加准确和高效的方法。
求三角函数解析式方法总结超全面
求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。
A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-， Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。
（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。
初中数学知识归纳三角函数的解析式和像的平移
初中数学知识归纳三角函数的解析式和像的平移三角函数作为数学中重要的概念之一，在初中数学中也是必须学习和掌握的内容。
本文将对初中数学中关于三角函数的解析式和像的平移进行归纳和总结。
首先，我们将介绍三角函数的定义和解析式，然后详细讨论三角函数图像的平移。
一、三角函数的解析式三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。
在解析式中，x代表角度，而不是弧度。
具体的解析式如下：1. 正弦函数 sin(x)：解析式：sin(x) = 对边/斜边反函数：arcsin(x) = sin^-1(x)2. 余弦函数 cos(x)：解析式：cos(x) = 临边/斜边反函数：arccos(x) = cos^-1(x)3. 正切函数 tan(x)：解析式：tan(x) = 对边/临边反函数：arctan(x) = tan^-1(x)需要注意的是，反函数的定义域和值域与原函数相反。
二、三角函数图像的平移三角函数图像的平移是指通过某种变换将函数图像沿着水平和垂直方向进行移动。
对于三角函数图像的平移，可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1. 水平平移水平平移是指将函数图像沿着x轴的方向移动。
对于正弦函数和余弦函数，平移的规律如下：- 正弦函数sin(x)：f(x) = sin(x ± a)- 余弦函数cos(x)：f(x) = cos(x ± a)其中，当a>0时，图像向左移动a个单位；当a<0时，图像向右移动|a|个单位。
这里的正负号表示方向。
2. 垂直平移垂直平移是指将函数图像沿着y轴的方向移动。
对于正弦函数和余弦函数，平移的规律如下：- 正弦函数sin(x)：f(x) = a + sin(x)- 余弦函数cos(x)：f(x) = a + cos(x)其中，当a>0时，图像向上移动a个单位；当a<0时，图像向下移动|a|个单位。
这里的正负号表示方向。
利用图像求三角函数解析式
y
3
0 -3
x
y
4 1 0 -2
x
3.函数 y A sin(x （A 0， 0） y ) 的部分图像如图所示，则函数解 3 析式为__________
0 -3
4
2
x
内容： 合作探究 1. 学习中遇到的疑问; 2.导学案“质疑探究”部分的问题.
要求： （1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。 （2）组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组 内集中讨论。 （3）没解决的问题组长记录好，准备质疑。
知识要点
1.用“五点法”作函数 y A sin(x ) B（A 0， 0） 一 个周期的图像时， x 取那些值? y 2.函数 y A sin(x ) B（A 0， 0），T ， 。 3.函数 y A sin(x ) B（A 0， 0） ，当 y 取得最大值时， 解析式中的 x ；当 y 取得最小值时，解析 式中的 x ；当 y= B时， x 。
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利用图像求三角函数解析式
数学组
学习目标
1.掌握函数 y A sin(x ) B（A 0， 0） 中 A, B, , 与图像的关系。 2.掌握如何利用图像求三角函数的解析式。
8
)
) 4.（2009宁夏海南卷理）已知函数 y sin(x （ 0,- ） 的图像如图4所示,则
B. 11 ， - 6
10
C. 2， 6
三角函数的恒等式与解析式
三角函数的恒等式与解析式三角函数是数学中的重要概念，它们在三角学、解析几何、物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍三角函数的恒等式以及解析式，并讨论它们在数学问题中的运用。
一、基本的三角函数1. 正弦函数（sine function）正弦函数在数学中通常用sin表示，它的定义域为实数集，值域介于-1和1之间。
正弦函数的周期为2π，在坐标系中的图像是一个波浪形，对称于y轴。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数通常用cos表示，它的定义域也是实数集，值域也是-1到1之间。
余弦函数的周期同样是2π，它的图像也是对称于y轴的波浪形。
3. 正切函数（tangent function）正切函数用tan表示，它的定义域在实数集中除去所有余弦函数的零点，值域则为实数集。
正切函数是周期为π的图像，它在坐标系中表现为从负无穷趋向于正无穷的趋势。
二、三角函数的恒等式1. 余弦与正弦的关系最常见的三角函数恒等式之一是余弦与正弦的关系，表示为cos²θ + sin²θ = 1。
这是一个基本的恒等式，它适用于所有实数θ。
可以通过几何推理或三角恒等式的简化形式进行证明。
2. 三角函数的周期性另一个重要的三角函数恒等式是周期性恒等式。
对于任意实数θ和整数n，sin(θ + 2nπ) = sinθ，cos(θ + 2nπ) = cosθ，tan(θ + nπ) = tanθ。
这意味着三角函数在一个周期内是重复的，并且可以通过周期性来简化计算。
3. 三角函数的奇偶性三角函数还具有奇偶性，即cos(-θ) = cosθ，sin(-θ) = -sinθ，tan(-θ) = -tanθ。
这些恒等式表明三角函数在坐标系的对称性质，可以用来简化三角函数的计算。
三、三角函数的解析式1. 正弦函数的解析式正弦函数的解析式为sinθ = 垂直边/斜边，其中θ是一个角度，垂直边指的是以θ为终边的直角三角形中的垂直边，斜边是直角三角形的斜边。
三角函数解析式的求法教师版
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令 f (0) = 50sin + 60 = 10 ，得 sin = −1 ；
又 [− ， ] ， 所以 = − ；
2 所以函数 y = 50sin( 2 t − ) + 60 ．
32 故选： C ．
变式 1. 如图, 一个大风车的半径长为 8m , 每12 min 旋转一周, 最低点离地面为 2m . 若风 车翼片从如图所示的点 P0 处按逆时针方向开始旋转,已知点 P0 离地面 6m ，则该翼片的端点 离地面的距离 y(m) 与时间 x(min) 之间的函数关系是
故所得图象对应的函数为 g(x) = sin(2x + ) + 1， 3
则 g(0) = sin(0 + ) +1 = 1 + 3 ，
3
2
故选： A ．
变 式 1 ． 函 数 f (x) = cos(x + )( 0,| | ) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 2
A． y = 2sin(1 x + ) 66
B． y = 2sin(1 x − ) 36
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C． y = 2cos(1 x + ) 33
【答案】B
D． y = 2cos(1 x − ) 63
【解答】解：由图象可知，得函数的周期T = 4 (3.5 − 2 ) = 6 ，
3
3
故选： D ．
变式 3．已知函数 f (x) = Asin(x + )(A 0 ， 0 ，| | ) 在一个周期内的简图如图所示， 2
则方程 f (x) = m(m 为常数且1 m 2) 在[0 ， ] 内所有解的和为 ( )
求三角函数解析式的基本方法及练习题
求三角函数解析式的基本方法及练习题介绍三角函数解析式是数学中常见的概念之一，它能帮助我们描述和计算三角函数的值。
本文将介绍三角函数解析式的基本方法，并提供一些练题供读者练。
基本方法正弦函数（sin）正弦函数的解析式为：sin(θ) = 对边长度 / 斜边长度其中θ为角度，对边是指与角度θ相对的边长，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度。
余弦函数（cos）余弦函数的解析式为：cos(θ) = 邻边长度 / 斜边长度其中θ为角度，邻边是指与角度θ相邻的边长，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度。
正切函数（tan）正切函数的解析式为：tan(θ) = 对边长度 / 邻边长度其中θ为角度，对边是指与角度θ相对的边长，邻边是指与角度θ相邻的边长。
余切函数（cot）余切函数的解析式为：cot(θ) = 邻边长度 / 对边长度其中θ为角度，邻边是指与角度θ相邻的边长，对边是指与角度θ相对的边长。
正割函数（sec）正割函数的解析式为：sec(θ) = 斜边长度 / 邻边长度其中θ为角度，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度，邻边是指与角度θ相邻的边长。
余割函数（csc）余割函数的解析式为：csc(θ) = 斜边长度 / 对边长度其中θ为角度，斜边是指与角度θ相对的边的斜边长度，对边是指与角度θ相对的边长。
练题1. 求角度为30°时的sin值。
2. 求角度为60°时的cos值。
3. 求角度为45°时的tan值。
4. 求角度为60°时的cot值。
5. 求角度为30°时的sec值。
6. 求角度为45°时的csc值。
答案1. sin(30°) = 1/22. cos(60°) = 1/23. tan(45°) = 14. cot(60°) = 1/√35. sec(30°) = 26. csc(45°) = √2以上为三角函数解析式的基本方法及练习题。
三角函数解析式中各个字母的含义
三角函数解析式中各个字母的含义三角函数是数学中非常重要的一类函数，由于它具有相似的性质和许多应用，所以称为三角函数。
在解析式中各个字母的含义相对简单，但是在学习和应用中十分重要。
下面我们来学习一下它们的含义。
一、正弦函数（Sine）正弦函数通常用sin表示，其解析式为sinθ，其中θ代表的是角度值。
正弦函数的绝对值在0°到180°的范围内单调递增，且其周期为2π，即sinθ=sin(θ+2kπ)，其中k为任意整数。
sinθ取值范围为[-1,1]，通常代表角度θ所对应三角形中的纵坐标与斜边之比。
二、余弦函数（Cosine）余弦函数通常用cos表示，其解析式为cosθ，其中θ代表的是角度值。
余弦函数的绝对值在0°到180°的范围内单调递减，且其周期为2π，即cosθ=cos(θ+2kπ)，其中k为任意整数。
cosθ取值范围为[-1,1]，通常代表角度θ所对应三角形中的底边与斜边之比。
三、正切函数（Tangent）正切函数通常用tan表示，其解析式为tanθ，其中θ代表的是角度值。
正切函数在0°到90°及270°到360°的范围内单调递增，且其周期为π，即tanθ=tan(θ+kπ)，其中k为任意整数。
tanθ取值范围为R（实数集），通常代表角度θ所对应三角形中的纵坐标与底边之比。
四、余切函数（Cotangent）余切函数通常用cot表示，其解析式为cotθ，其中θ代表的是角度值。
余切函数在0°到90°及270°到360°的范围内单调递减，且其周期为π，即cotθ=cot(θ+kπ)，其中k为任意整数。
cotθ取值范围为R（实数集），通常代表角度θ所对应三角形中的底边与纵坐标之比。
五、正割函数（Secant）正割函数通常用sec表示，其解析式为secθ，其中θ代表的是角度值。
正割函数在0°到90°及270°到360°的范围内单调递减，且其周期为2π，即secθ=sec(θ+2kπ)，其中k为任意整数。
三角函数解析式的求法
函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用‖知识梳理‖ 1．y ＝Asin (ωx ＋φ)的有关概念 T ＝2πωωx ＋φ用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.| 微 点 提 醒 |1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k∈Z 确定其横坐标．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .(×)(2)将y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．(×) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .(×)(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(√) (5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．(×)‖自主测评‖1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D ；当x ＝π6时，y ＝0，排除C ，故选A.3．(教材改编题)为了得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象，只需将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的图象上的所有点( )A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移2π5个单位长度D ．向右平移2π5个单位长度解析：选D 因为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π5－2π5，故选D. 4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，0 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3，即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32………考点一 函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及变换………|重点保分型|…………|研透典例|【典例】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值； (3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(3)由数据作出的图象如图所示：『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 2．三角函数图象的左右平移时应注意的三点(1)弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．(2)注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．(3)由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω而不是|φ|. [提醒]y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象横向伸缩规律，可联系周期计算公式T ＝2π|ω|进行记忆；纵向伸缩规律，可联系函数的最值进行记忆．|变式训练|1．(2018届河南豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 解析：选B 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 2．(2019届南昌模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度得到B ．向右平移π3个单位长度得到C ．向左平移π6个单位长度得到D ．向左平移π3个单位长度得到解析：选A 将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝sin2x 的图象，再将y ＝sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，综上可得，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选A. 3．(2019届石家庄质量检测)若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52………考点二 由图象确定y ＝Asin (ωx ＋φ)的解析式…………|重点保分型|………|研透典例|【典例】 (1)(2018届兰州诊断考试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B.22C.32D ．1(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________.[解析] (1)由题图知，T 2＝π2，即T ＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ， 所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， 且f (x 1)＝f (x 2)， 所以x 1＋x 22＝π12，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. (2)由题图可知，函数的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A ＝2，B ＝1. 函数的最小正周期为T ＝2×⎣⎡⎦⎤5π12－(－π12)＝π， 由2πω＝π，解得ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＋1＝－1，得sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝－1， 故φ－π6＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝ 2k π－π3(k ∈Z )，又因为|φ|<π， 所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. [答案] (1)C (2)2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 确定y ＝Asin (ωx ＋φ)＋b (A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω：确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ：常用的方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z .|变式训练|1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，选项D 正确．2．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C.23D.12解析：选A 由题图知T 2＝11π12－7π12＝π3，所以T ＝2π3，即ω＝3，当x ＝7π12时，y ＝0，即3×7π12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－9π4，k ∈Z ，即k ＝1时，φ＝－π4，所以f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 即A cos ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝－23，得A ＝223， 所以f (x )＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 故f ⎝⎛⎭⎫－π6＝223cos ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－23. …………考点三 三角函数图象与性质的应用……………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 三角函数模型的实际应用【例1】 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃. [解析] 依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. [答案] 20.5角度二 与三角函数有关的零点(方程根)问题【例2】 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[解析] 方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， 所以题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根． 所以y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m2的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12， 故m 的取值范围是(－2，－1)．[答案] (－2，－1)角度三 三角函数的图象与性质的综合问题【例3】 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． [解] (1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )＝ 3 s in ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0， 可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，所以2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，11π6. 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增， 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增． 综上，g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12， 7π12. 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题：二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．|变式训练|1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是________． 解析：画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cosπ＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 答案：⎣⎡⎦⎤2π9，5π182．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， 所以3＋a ＝2，所以a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，所以2ω＝2πT ＝2，所以ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 核心素养系列 数学建模——三角函数中的实际问题【典例】 已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：t (小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5数据，(1)求函数f (t )的解析式；(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．[解] (1)由表格得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，b ＝1，又因为T ＝12，所以ω＝2π12＝π6，故y ＝f (t )＝12cos π6t ＋1.(2)由题意，令12cos π6t ＋1>1.25，即cos π6t >12，又因为t ∈[0,24]，所以π6t ∈[0,4π]，故0≤π6t <π3或5π3<π6t ≤2π，或2π<π6t <2π＋π3或2π＋5π3<π6t ≤2π＋2π，即0≤t<2或10<t≤12或12<t<14或22<t≤24，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．[点评]数学建模是通过计算得到结果来解释实际问题，并接受实际的检验，具体来讲，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段．。
三角函数解题技巧求解析式
三角函数解题技巧求解析式三角函数是数学中重要的一部分，解题时经常会遇到需要求解三角函数的值或等式的问题。
在解题过程中，我们可以运用一些技巧来简化计算并得到解析式。
1. 利用特殊角的值：我们可以通过记忆特殊角的正弦、余弦和正切的值，来简化计算。
一些常见的特殊角包括：0度、30度、45度、60度和90度。
比如，sin(30°)=1/2，cos(45°)=√2/2， tan(60°)=√3。
2. 多角和差公式：三角函数的多角和差公式可以帮助我们将一个角的三角函数转化为两个角的三角函数，从而更容易进行计算。
常用的公式包括：- sin(A±B) = sin A cos B ± cos A sin B- cos(A±B) = cos A cos B ∓ sin A sin B- tan(A±B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)3. 三角函数的平方和差公式：三角函数的平方和差公式可以将一个三角函数的平方转化为两个三角函数的和或差。
常用的公式如下：- sin²A = (1 - cos 2A) / 2- cos²A = (1 + cos 2A) / 2- tan²A = (1 - cos 2A) / (1 + cos 2A)4. 倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。
常用的公式包括：- sin 2A = 2 sin A cos A- cos 2A = cos²A - sin²A = 2 cos²A - 1 = 1 - 2 sin²A- tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan²A)5. 半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。
常用的公式如下：- sin (A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]- cos (A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]- tan (A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]6. 和差化积公式：和差化积公式可以将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的积。
三角函数的解析式与参数确定
三角函数的解析式与参数确定三角函数是数学中的基本概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在三角函数中，解析式和参数的确定是十分重要的，它们决定了函数的性质和功能。
本文将探讨三角函数的解析式与参数的确定方法，以及它们的应用。
一、正弦函数的解析式与参数确定正弦函数的解析式为：\[ y = A\sin(B(x-C)) + D \]其中，A表示振幅，B表示周期，C表示平移量，D表示垂直平移。
1. 振幅(A)的确定：振幅表示正弦函数的最大值与最小值之间的差异。
通常情况下，振幅为正数。
如果表达式中没有明确给出振幅的值，可以根据实际问题的要求或给定的条件来确定振幅的大小。
2. 周期(B)的确定：周期表示正弦函数图像上相邻两个相同值点之间的水平距离。
常见的周期为2π或π，也可根据实际问题的要求或给定条件来确定周期的值。
3. 平移量(C)的确定：平移量表示正弦函数图像上的横向平移。
平移量的正负值决定了图像的左右移动方向，根据实际问题的要求或给定条件来确定平移量的值。
4. 垂直平移(D)的确定：垂直平移表示正弦函数图像上的上下平移。
垂直平移的正负值决定了图像的上下移动方向，根据实际问题的要求或给定条件来确定垂直平移的值。
二、余弦函数的解析式与参数确定余弦函数的解析式为：\[ y = A\cos(B(x-C)) + D \]其中，A表示振幅，B表示周期，C表示平移量，D表示垂直平移。
对于余弦函数的参数确定方法与正弦函数相似，具体步骤如下：1. 确定振幅(A)；2. 确定周期(B)；3. 确定平移量(C)；4. 确定垂直平移(D)。
三、切线函数的解析式与参数确定切线函数的解析式为：\[ y = A\tan(B(x-C)) + D \]其中，A表示振幅，B表示周期，C表示平移量，D表示垂直平移。
切线函数是正切函数的一个变种，在确定切线函数的参数时，需要注意以下几点：1. 振幅(A)的确定：振幅表示切线函数在一个周期内的垂直最大值和最小值之间的差异。
三角函数基本关系与解析式的推导
三角函数基本关系与解析式的推导三角函数是研究三角形和周期性变化的一种重要数学工具，广泛应用于物理、工程、计算机图形等领域。
本文将着重介绍三角函数的基本关系和解析式的推导。
1. 正弦函数的基本关系与解析式正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它描述了一个角的正弦值与其对应的弧度或角度的关系。
我们用sin表示正弦函数，对于一个角θ，其正弦值可以表示为sinθ。
正弦函数的基本关系可以通过单位圆来推导。
我们以单位圆的圆心为原点O，半径为1。
假设P点在单位圆上，它的角度为θ。
根据三角函数的定义，正弦值sinθ等于点P的纵坐标(y)除以单位圆的半径1，即sinθ=y/1=y。
所以正弦函数的基本关系为：sinθ=y。
根据三角函数的性质，sinθ的取值范围为-1到1之间。
正弦函数的解析式可以表示为：sinθ=a。
其中θ为角度或弧度，a为一个实数。
2. 余弦函数的基本关系与解析式余弦函数描述了一个角的余弦值与其对应的弧度或角度的关系。
我们用cos表示余弦函数，对于一个角θ，其余弦值可以表示为cosθ。
余弦函数的基本关系也可以通过单位圆来推导。
仍然以单位圆为基准，令点P(x,y)是单位圆上的一点，其与x轴的夹角为θ。
根据三角函数的定义，余弦值cosθ等于点P的横坐标(x)除以单位圆的半径1，即cosθ=x/1=x。
所以余弦函数的基本关系为：cosθ=x。
根据三角函数的性质，cosθ的取值范围也为-1到1之间。
余弦函数的解析式可以表示为：cosθ=a。
其中θ为角度或弧度，a 为一个实数。
3. 正切函数的基本关系与解析式正切函数描述了一个角的正切值与其对应的弧度或角度的关系。
我们用tan表示正切函数，对于一个角θ，其正切值可以表示为tanθ。
正切函数的基本关系同样可以通过单位圆来推导。
在单位圆上，如果角θ对应的点P(x,y)的横坐标不为0，那么正切值tanθ等于点P的纵坐标除以横坐标，即tanθ=y/x。
所以正切函数的基本关系为：tanθ=y/x。
三角函数解析式的求解典例精讲
函数()sin y A x ωϕ=+解析式的求解典例精讲例1：化简：()2sin cos 42f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭解：原式2sin sin 222x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭2cos 2x x x =+-)1cos222x x -=+-2sin 2224x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭例2：化简：()22cos cos 1f x x x x =+-解：()cos212212x f x x +=⋅+-cos222sin 26x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭例3：()sin 2cos 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：方法一：拆开化简()112cos2cos222cos22sin 2226f x x x x x x x x π⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭ 方法二：将26x π+视为一个整体，则22362x x πππ-=+-()sin 2cos 2sin 2cos 263662f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2sin 22sin 2666x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例4：如图所示为函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭的部分图像，其中,A B 两点之间的距离为5，那么()1f -=_________思路：如图可得4AC =，从而计算出3BC =，所以26T BC ==，进而3πω=而2y A =，所以2A =，此时()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，而()02sin 1f ϕ==，解得1sin 26πϕϕ=⇒=，所以()12sin 136f ππ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭答案：()11f -=-例5：已知函数()()sin ,(0,0,0)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><<的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图像上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为____________思路：可从文字叙述中得到图像的特点，从而求出参数的值：相邻交点距离2π可得22T ππ=⋅=，从而2ω=，由最小值点2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭可得到两个信息：一个是2A =，另一个是M 点即为求ϕ所要代入的特殊点。
三角函数的诱导公式与解析式
三角函数的诱导公式与解析式三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
在三角函数的学习中，诱导公式与解析式是关键的概念，它们帮助我们简化三角函数的计算和推导过程。
本文将详细介绍三角函数的诱导公式与解析式。
一、正弦函数的诱导公式与解析式正弦函数是最基本的三角函数之一，它在直角三角形中的定义是：对于一个角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。
正弦函数的诱导公式是指由一个角的正弦值得到另一个角的正弦值的公式。
1. 诱导公式正弦函数具有以下诱导公式：sin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(3π/2 - θ) = -cosθsin(3π/2 + θ) = -cosθ这些诱导公式可以帮助我们在计算过程中简化问题，将复杂的角度转化为简单的角度。
2. 解析式正弦函数的解析式可以表示为：sinθ = a/c其中，a为角的对边长度，c为斜边长度。
通过解析式，我们可以根据给定的对边长度和斜边长度，计算出对应角的正弦值。
二、余弦函数的诱导公式与解析式余弦函数也是常见的三角函数之一，它在直角三角形中的定义是：对于一个角的余弦值等于该角的邻边与斜边的比值。
余弦函数的诱导公式是指由一个角的余弦值得到另一个角的余弦值的公式。
1. 诱导公式余弦函数具有以下诱导公式：cos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(3π/2 - θ) = -sinθcos(3π/2 + θ) = sinθ通过这些诱导公式，我们可以简化计算过程，将复杂的角度转化为简单的角度。
2. 解析式余弦函数的解析式可以表示为：cosθ = b/c其中，b为角的邻边长度，c为斜边长度。
通过解析式，我们可以根据给定的邻边长度和斜边长度，计算出对应角的余弦值。
三、正切函数的诱导公式与解析式正切函数是三角函数中的另一个重要概念，它在直角三角形中的定义是：对于一个角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。
三角函数解析式的基本方法及练习题
三角函数解析式的基本方法及练习题概述三角函数是数学中常见的函数类型，用于研究角度和周期性现象。
本文将介绍三角函数的解析式及其基本方法，并提供一些练题供读者练运用。
正弦函数的解析式及性质正弦函数是三角函数中最常见的一种。
它的解析式表示为：$$\sin(x) = \frac{{\text{对边}}}{{\text{斜边}}}$$其中，$x$ 表示角度，$\sin(x)$ 表示正弦函数的值。
正弦函数的性质包括：- 定义域：$(-\infty, \infty)$- 值域：$[-1, 1]$- 周期：$2\pi$余弦函数的解析式及性质余弦函数也是常见的三角函数之一，它的解析式表示为：$$\cos(x) = \frac{{\text{邻边}}}{{\text{斜边}}}$$其中，$x$ 表示角度，$\cos(x)$ 表示余弦函数的值。
余弦函数的性质包括：- 定义域：$(-\infty, \infty)$- 值域：$[-1, 1]$- 周期：$2\pi$切线函数的解析式及性质切线函数也是常见的三角函数之一，它的解析式表示为：$$\tan(x) = \frac{{\text{对边}}}{{\text{邻边}}}$$其中，$x$ 表示角度，$\tan(x)$ 表示切线函数的值。
切线函数的性质包括：- 定义域：$x \neq \frac{{2n+1}}{2}\pi$，其中 $n$ 为整数- 值域：$(-\infty, \infty)$- 周期：$\pi$练题1. 求解正弦函数 $\sin(\frac{\pi}{4})$ 的值。
2. 若 $\cos(2x) = \frac{1}{2}$，求解 $x$ 的值。
3. 若 $\tan(\frac{x}{2}) = 1$，求解 $x$ 的值。
---以上就是三角函数解析式的基本方法及练习题的介绍。
希望这些内容能帮助你理解三角函数的概念和运用。
如果有任何问题，请随时与我联系。
三角函数解析式
三角函数解析式。
答案：三角函数解析式是y=Asin(ωx+φ)+k。
三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
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y 与 y1 的图象重
4π 3 合，则－ ω＝2kπ(k∈Z)．∴ω＝－ k.又 ω＞0，k∈Z， 3 2 3 ∴当 k＝－1 时，ω 取最小值为 ，故选 C. 2
1．设 ω ＞0，函数
π ω x ＋ y＝sin ＋2 3
4π 的图象向右平移 个 3 )． D．3
单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是( 2 A. 3 4 B. 3 3 C. 2
T 7π π π (1)由题图知 A＝ 2， ＝ － ＝ ， 4 12 3 4 2π ∴T＝π，ω＝ ＝2. π π π ∴2× ＋φ＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋ . 3 3
π 令 k＝0，得 φ＝ . 3 ∴函数解析式为 f(x)＝
π 2sin2x＋3 ，
π 6 ∴f(0)＝ 2sin ＝ . 3 2 π 3 π π (2)由图形知，T＝ω＝2( π－ )＝ ，∴ω＝2. 8 8 2 3 3 由 2× π＋φ＝kπ，k∈Z，得 φ＝kπ－ π，k∈Z. 8 4 π π 又∵|φ|＜ ，∴φ＝ . 2 4 π 由 Atan(2×0＋ )＝1， 4
知识点：根据 y＝ A sin(ωx ＋φ )＋k 的图象求其解析式的问题， 主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 最高点－最低点 A＝ ； 2 ②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 最高点＋最低点 k＝ ； 2 2π ③ω的确定：结合图象，先求出周期 T ，然后由 T ＝ ω (ω>0)来确定ω；
π 2x－ 3 x f(x)
π － 3 0 1 2
0 π 6 1
π 2 5 π 12 0
π 2 π 3 －1
3 π 2 11 π 12 0
5 π 3 π 1 2
图象如图：
π (3)cos2x－3 >
2 ， 2 π π π ∴2kπ－ <2x－ <2kπ＋ ，k∈Z， 3 7 4 π4 2kπ＋ <2x<2kπ＋ π，k∈Z， 12 12 π 7 kπ＋ <x<kπ＋ π，k∈Z， 24 24 π 7 ∴x 的范围是 x|kπ＋24<x<kπ＋24π，k∈Z.
4π 3 合，则－ ω＝2kπ(k∈Z)．∴ω＝－ k.又 ω＞0，k∈Z， 3 2 3 ∴当 k＝－1 时，ω 取最小值为 ，故选 C. 2
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3．若函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为偶函数，则 φ 满足的
π 条件是_____________________ ． φ＝kπ＋ (k∈Z) 2
所求解析式为 y＝－
π 3sin2x＋3＝
2π 3sin2x－ 3 .
方法二 以
由图象知 A＝ 3，
π 5π M3，0为第一个零点，P 6 ，0为第二个零点．
π ω· 3＋φ＝0 列方程组 5π ω· ＋φ＝π 6
4．已知函数
π f(x)＝sinωx＋ (ω>0)的最小正周期为 3
π，则该
函数的图象说法正确的有________． π ①④ ①关于点 ，0对称； 3 π ②关于直线 x＝ 对称； 4 π ③关于点 ，0 对称； 4 π ④关于直线 x＝ 对称． 12
，
ω ＝2 解之得 2π φ＝－ 3 . 2π ∴所求解析式为 y＝ 3sin2x－ x＋ 3
＋2
4π 的图象向右平移 个 3 )．
单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是( 2 A. 3
解析
④φ 的确定： （ 1 ）由函数 y＝A sin(ω x ＋ φ )＋ k 的第一点即令ωx φ ＋φ ＝0，x ＝－ 确定 φ（ 2）带入最高点或最低点求φ 。 ω
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 1. 如图是函数 y＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ |<π)在 一个周期内的图象，试写出函数的表达式．
4 3 B. C. D．3 3 2 π 4π y ＝ sin ωx＋3 ＋ 2 向 右 平 移 个 单 位 后 得 到 y1 ＝ 3
4π π 4π π sinωx－ 3 ＋ ＋2＝sinωx＋3－ 3 ω ＋2，又 3
π 知 A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋ )， 4 π π π π ∴f( )＝tan(2× ＋ )＝tan ＝ 3. 24 24 4 3
3
如图为 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式．
解 方法一 以 N 为第一个零点，
则 A＝－
5π π 3，T＝2 6 －3＝π，
∴ω＝2，此时解析式为 y＝－ 3sin(2x＋φ)． π ∵点 N－6，0， π π ∴－6×2＋φ＝0，∴φ＝3，
解析
π y ＝ sin ωx＋3 ＋2
4π 向 右 平 移 个 单 位 后 得 到 y1 ＝ 3 y 与 y1 的图象重
4π π 4π π sinωx－ 3 ＋ ＋2＝sinωx＋3－ 3 ω ＋2，又 3
π 设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ) (ω>0，－ <φ<0)的最小正周期为 π，且 2 π 3 f4＝ . 2 (1)求 ω 和 φ 的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象；
2 (3)若 f(x)> ，求 x 的取值范围． 2
2π 解 (1)周期 T＝ ω ＝π，∴ω＝2， π π π 3 ∵f 4 ＝cos 2×4＋φ ＝cos 2 ＋φ ＝－sin φ＝ ， 2 3 π π ∴sin φ＝－ ，∵－ <φ<0，∴φ＝－ . 2 2 3 π (2)∵f(x)＝cos2x－3 ，列表如下：
变式训练 2
(1)(2011· 江苏)已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω， φ 为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示， 则 f(0)的值是______． π (2)已知函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|< )， 2 π y＝f(x)的部分图象如图所示，则 f( )＝________. 24