初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第4讲明快简捷—构造方程的妙用

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中考数学构造法解题技巧

构造法在初中数学中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。

构造法是一种富有创造性的数学思想方法。

运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。

充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。

下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。

在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。

例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。

此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。

20，18，5x，-6y的平均数是1。

求的值。

分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。

二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。

2021年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第讲方程与函数

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2022年九年级数学上册《用一元二次方程解决问题》教材预习辅导讲义(附解析)

初中数学《用一元二次方程解决问题》教材讲义及过关练列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).【点拨】列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低教材知识总结后的量.)3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金；利息：银行付给顾客的酬金叫利息；本息和：本金和利息的和叫本息和；期数：存入银行的时间叫期数；利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率。

初中数学解题方法之一构造法之构造方程

初中数学解题方法之一构造法之构造方程构造法是初中数学解题的常用方法之一，它通过构造合适的问题结构，将问题转化为可解的方程或等式，从而帮助我们解决问题。

构造方程是其中一种常见的构造法。

构造方程的基本思路是先找出问题中的未知量和已知条件，然后通过逻辑推理或运用已知条件，构造出一个或多个与问题有关的关系式，最终得到方程，并解方程求解。

下面以一些具体的数学问题为例，介绍构造方程的基本步骤和一些常用的技巧。

1.确定未知量和已知条件：首先要明确问题中的未知量是什么，已知条件有哪些。

例如，问题中可能涉及到未知数的个数、长度、面积等。

2.运用逻辑关系或条件构造方程：根据问题中的逻辑关系或条件，构造方程。

可以采用等量关系、比例关系等。

3.解方程求解：得到方程后，通过计算求解方程，得到未知量的值。

下面通过几个具体问题的例子，来说明构造方程的应用。

例1：甲、乙两人同时从甲地骑自行车去乙地，甲总共骑了3小时，乙总共骑了2小时，两人相遇时甲比乙多骑36千米。

已知甲比乙骑得快一半，求甲、乙各骑的速度。

设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时。

根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：甲的骑行时间：3小时乙的骑行时间：2小时甲比乙多骑36千米甲比乙骑得快一半根据已知条件，可以构造出方程：甲的速度x乘以时间3小时等于乙的速度y乘以时间2小时再加上36千米。

即：3x=2y+36根据方程，我们可以求解未知量的值。

将方程进行变形：2y=3x-36y=(3x-36)/2由于甲比乙骑得快一半，即：x=(3x-36)/2解这个方程，可以得到甲的速度是24千米/小时，乙的速度是12千米/小时。

例2：已知一个正方形的周长是20厘米，求正方形的面积。

设正方形的边长为x厘米。

根据题意可得出以下的逻辑关系或条件：正方形的周长是20厘米根据已知条件，可以构造出方程：周长就是4条边的长度之和，所以可以得到：4x=20解这个方程，可以得到正方形的边长是5厘米。

用构造法巧解初中数学竞赛题

用构造法巧解初中数学竞赛题作者：徐亚培来源：《语数外学习·上旬》2014年第03期构造法就是在数学解题过程中利用题目中已知的条件以及结论原本所具有的性质，从而来构建满足结论的数学对象，并且借助数学对象来解决实际的数学问题。

数学构造法是一种富有创造性的解题方法，也是解决数学问题的基本思维方法。

运用这种方法来解答初中数学竞赛中的有关题目，关键在于如何构造。

充分的挖掘已知条件与结论的关系，将问题与学生现有的公式、概念、图形等理论知识联系起来，将问题原有的蕴涵的关系和性质能够很清晰的呈现出来，从而恰当的构建有关的数学模型，进而解决题目中的有关问题。

通过这种方法来进行解题，是培养学生创新能力、激发学生思维能力的重要手段，同时也是提高学生分析问题、解决问题的能力的有效方法。

下面笔者结合自己多年的教学经验，简要的介绍了几种数学竞赛解题中的构造法。

一、构建方程构建方程式是在初中数学竞赛解题过程中一个较为基本的方法。

在实际的解题过程中我们要善于发现问题、善于与已学过的知识相联系、认真的分析题型，根据问题的结构特征以及题目中的数量关系，来充分的挖掘题目中的有关知识点的联系，从而来构建方程，让解题变得更加的巧妙、合理。

其实在面对有些问题时，如果按照常规方法来进行解答会比较的困难，但是如果可以根据实际问题的特征来构造有关的方程式，然后找到解决问题的答案。

例如：如果关于x的方程式ax+b=2（2x+7）+1有无数个解，那么a和b分别是多少？解：将原方程式ax+b=2（2x+7）+1整理可得，（a-4）x=15-b因为原一元一次方程有无数个解，所以a-4=0，15-b=0，解得a=4，b=15。

二、构建几何图形在进行几何题的解答时，借助几何图形的性质，通过巧妙的构建，可以很容易找到解题的方法，不仅仅能够让问题快速的解决，而且有利于提高学生的几何能力和思维能力。

例如在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D。

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化[精品]

专题10 最优化阅读与思考数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：1．配方法由非负数性质得()02≥±b a ．2．不等分析法通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质对二次函数()02≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为：（1）当0>a ，a bx 2-=时，a b ac y 442-=最小值；（2）当0<a ，abx 2-=时，a b ac y 442-=最大值；4．构造二次方程利用二次方程有解的条件，由判别式0≥∆确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．例题与求解【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是．（全国初中数学联赛试题）解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 （太原市竞赛试题）解题思路：待求式求表示为关于x (或y )的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x 、y 的隐含限制．【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论．【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值．（“《数学周报》杯”竞赛试题）（2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（全国初中数学联赛试题）（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．（“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？（河南省竞赛试题）解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费()ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理为关于y 的方程．【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2003，求k 的最大可能值．（香港中学竞赛试题）（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：对于(1)，因r ＝1，对k －r ＋1＝ k －1＋1＝k 个正整数x 1，x 2，…，x k ，不妨设x 1＜x 2＜…＜x k ＝2013，可见，只有当各项x 1，x 2，…，x k 的值愈小时，才能使k 愈大（项数愈多），通过放缩求k 的最大值；对于（2），从()()222b a c a c =+-入手．能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为．（“希望杯”邀请赛试题）4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( )（全国初中数学联赛试题）5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使PA ＋PB 最短，则P 的坐标是（） A.(0，21-) B.(0，0) C.(0，611) D.(0，41-)（盐城市中考试题）6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E. 2 （黄冈市竞赛试题）7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？（南通市中考试题）8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，（1）求m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．（黄冈市竞赛试题）10.已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．（天津市竞赛试题）11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500141x 元．（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？（河北省竞赛试题）B 级1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是．2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为． 3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．（全国初中数学竞赛试题）4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（）A. 0B. 4C. 8D. 10（天津市竞赛试题）5．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（）A. 5B.423 C. 427 D. 435（天津市选拔赛试题）6．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（）A.1B.2C.3D.47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？（“祖冲之杯”邀请赛试题）8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 53,51==.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？（绍兴市竞赛试题）9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且bca b ，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．（四川省竞赛试题）11．设x 1，x 2，…，x n 是整数，并且满足： ① －1≤x i ≤2，i ＝1，2，…，n ② x 1＋x 2＋…＋x n ＝19 ③ x 12＋x 22＋…＋x n 2＝99求x 13＋x 23＋…＋x n 3的最大值和最小值．（国家理科实验班招生试题）12．已知x1，x2，…，x40都是正整数，且x1＋x2＋…＋x40＝58，若x12＋x22＋…＋x402的最大值为A，最小值为B，求A＋B的值．（全国初中数学竞赛试题）。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第4讲明快简捷—构造方程的妙用

第四讲明快简捷—结构方程的妙用有些数学识题固然表面与一元二次方程没关，可是假如我们能结构一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法协助解题，结构一元二次方程的常用方法是：1．利用根的定义结构当已知等式拥有同样的结构，便可把某两个变元当作是对于某个字母的一元二次方程的两根．2．利用韦达定理逆定理结构若问题中有形如x y a ，xy b 的关系式时，则x 、y可看作方程z2az b0 的两实根．3．确立主元结构对于含有多个变元的等式，能够将等式整理为对于某个字母的一元二次方程．成功的结构是成立在敏锐的察看、适合的变形、宽泛的联想的基础之上的；成功的结构能收到明快简捷、声东击西的成效．注：很多半学识题表面上看难以求解，但假如我们创建性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，结构出一种协助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获取简解，这就是解题中的“结构”策略，结构图形，结构方程、结构函数、结构反例是常用结构方法．【例题求解】【例 1】已知x、 y 是正整数，而且xy x y 23 ， x2 y xy2120 ，则 x2y 2．思路点拨x 2y2(x y) 2 2 xy ，变形题设条件，可视x y 、 xy 为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获取简解．【例2】若ab1，且有 5a220019 0及 9b22001b 5 0，则a的值是()a bA ．9B．5C．2001D．2001 5959思路点拨第二个方程可变形为520019 0 ，这样两个方程拥有同样的结构，从利用b 2b定义结构方程下手．【例 3】已知实数a、 b 知足 a 2ab b2 1 ，且 t ab a2b2，求t的取值范围．思路点拨由两个等式可求出 a b 、 ab 的表达式，这样既能够从配方法下手，又能从结构方程的角度去探究，有较大的思想空间．【例 4】已知实数a、 b 、c知足 a b c 2 ， abc 4 ．(1)求 a 、b、 c 中最大者的最小值；(2) 求 a b c 3 的最小值．思路点拨不如设 a≥ b，a≥ c，由条件得 b c 2 a， bc 4．结构以 b、c 为实根的一元二a次方程，经过△≥ 0 探究a的取值范围，并以此为基础去解(2) ．注：结构一元二次方程，在问题有解的前提下，运用鉴别式△≥0，成立含参数的不等式，减小范围迫近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有宽泛的应用．【例5】试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别构成的二位数之和的平方，恰巧等于这个四位数．(2003 年全国初中数学联赛试题)思路点拨设前后两个二位数分别为x ，y ，则有( x y) 2100x y ，将此方程整理成对于x (或y )的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用鉴别式确立y (或x )的取值范围．学历训练1．若方程 m2 x 2( 2m 3) x10 的两个实数根的倒数和是s ，则 s 的取值范围是．2 ．如图，在Rt △ ABC中，斜边AB＝5，CD⊥AB ，已知BC 、 AC 是一元二次方程x2(2m1)x4( m1)0 的两个根，则m 的值是．3．已知a、b知足 a 22a10 ， b 22b 1 0 ，则ab =．b a4．已知210 ，210 ，，则的值为 ()A ． 2B． -2C． -1D． 05．已知梯形 ABCD的对角线 AC 与 BD 订交于点 O，若 S△AOB＝4， S△COD＝ 9，则四边形ABCD 的面积 S 的最小值为 ()A ．21B． 25C． 26D． 366．如图，菱形 A6CD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且 AO 、BO 的长分别是对于x 的方程的根，则m 的值为 ()A．一 3 B ． 5C．5 或一 3n 一 5 或 37．已知 p 22 p 5 0， 5q22q 1 0，此中 p 、 q 为实数，求p21的值．q 28．已知x和 y 是正整数，而且知足条件xy x y 71， x 2 y xy 2880 ，求 x2y 2的值．9．已知 3m22m 5 0 ， 5n 22n 3 0 ，此中 m、 n 为实数，则m 1 ＝．n10．假如a、、c为互不相等的实数，且知足关系式b2c22a216a 14与bc a24a 5，b那么 a 的取值范围是．11．已知 5 x22y 22xy 14x 10y 17 0 ，则x =， y =．；12．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AC ＝b，AB ＝ c，若 D 、E 分别是 AB 和 AB 延伸线上的两点，BD=BC ，CE⊥CD，则以 AD 和 AE 的长为根的一元二次方程是．13．已知a、 b 、c均为实数，且a b c0 ， abc 2 ，求 a b c 的最小值．14．设实数a、 b 、c知足 a 2bc8a70，求 a 的取值范围．2c 2bc6a6b0S梯形ABCD13，梯形的高AE=53，且15．如图，梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， AD ＝AB ，82S ABC1113 ．AD BC40(1)求∠ B 的度数；(2)设点 M 为梯形对角线AC 上一点， DM 的延伸线与 BC 订交于点 F，当 S ADM1253，32求作以 CF、 DF 的长为根的一元二次方程．16．如图，已知△ ABC 和平行于 BC 的直线 DE ，且△ BDE 的面积等于定值k 2，那么当 k 2与△ BDE 之间知足什么关系时，存在直线DE，有几条 ?参照答案。

初中数学学习辅导建议(含学习方法技巧、例题示范教学方法)

初中数学学习辅导建议数学作为基础学科之一，在学生的学习生涯中占据着举足轻重的地位。

特别是在初中阶段，数学的学习不仅要求学生掌握基础的运算技能，而且还需要培养他们的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力。

本文旨在为初中生提供一些关于数学学习的辅导建议，以帮助他们更有效地学习和理解数学。

一、明确学习目标初中生在学习数学时，首先应该明确学习目标。

他们需要了解在学习数学的过程中，需要达到的知识点和技能要求。

例如，初中数学的学习目标包括掌握实数系统、几何图形、函数概念等，同时还需要具备一定的解题能力和逻辑思维能力。

学生可以根据这些目标，有针对性地进行学习。

二、注重基础知识的学习在初中数学学习中，基础知识的学习至关重要。

学生需要熟练掌握实数、代数、几何等基本概念，并理解它们之间的内在联系。

此外，学生还需要掌握基本的运算规则和公式，并能够灵活运用。

基础知识的学习是解决复杂问题的基石，因此学生需要给予足够重视。

三、培养逻辑思维能力数学学科的逻辑性和严谨性要求学生在学习过程中，不仅要掌握知识，还要培养自己的逻辑思维能力。

初中生可以通过解决实际问题、进行数学证明和推理论证等方式，锻炼自己的逻辑思维。

这对于他们理解和应用数学知识具有重要作用。

四、多做习题，提高解题能力初中生在学习数学时，应该多做习题，提高自己的解题能力。

通过解决实际问题，学生可以将所学的知识运用到实际情境中，从而加深对知识的理解。

同时，解题过程也可以帮助学生发现自己的不足，及时进行调整。

在做题过程中，学生需要注意分析问题的方法、解决问题的思路以及解题的技巧。

五、注重知识点的整合与应用初中数学的学习不仅仅是简单的知识积累，更重要的是将所学知识进行整合与应用。

学生需要学会将不同知识领域的内容进行联系，形成知识体系。

同时，他们还应该积极参与数学活动，如数学竞赛、课题研究等，将所学知识运用到实际情境中。

六、养成良好的学习习惯良好的学习习惯是初中生学习数学的重要保证。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。

妙用构造法巧解竞赛题

妙用构造法巧解竞赛题作者：汪洪江来源：《数学金刊·初中版》2008年第05期直接解决某一数学问题有困难时，我们可以通过仔细观察、类比、联想，从而构造出与此相关的或有某种对应关系的另一数学问题（方程、不等式、几何图形、函数、反例……）. 利用所构造的数学问题的性质使原数学问题得以解决的方法称为构造法．构造法在中考与数学竞赛中有着广泛的应用．一、构造一元二次方程根据题目特征，发现与一元二次方程有关时，我们可以构造一元二次方程，利用判别式、韦达定理及形如（a－1）（b－1）等特征的知识求解问题．例1已知（b－c）2=（a－b）（c－a）且a≠0，则＝_____．解析：由已知可得（b－c）2－4（a－b）·（c－a）＝0，（1）当a－b＝0时，b－c＝0，a＝b＝c，所以＝2.（2）当a－b≠0时，由（b－c）2－4（a－b）·（c－a）＝0可知关于x的方程（a－b）x2＋（b－c）x＋（c－a）＝0有两个相等的实数根．又（a－b）＋（b－c）＋（c－a）＝0，则x1＝x2＝1，x1x2＝1，所以＝1，即＝2，综合（1）（2）可知＝2．二、构造不等式我们知道：对于任意的实数a，b都有（a－b）2≥0，又（a＋b）2－4ab＝（a－b）2，从而（a＋b）2≥4ab．当问题中出现（或隐藏）两数的和与积时，用之可使问题化难为易，得到求解．例2设a，b，c为互不相等的实数且满足关系式：b2＋c2＝2a2＋16a＋14，①bc＝a2－4a－5，②求a的取值范围．解析：①＋2×②有（b＋c）2＝4a2＋8a＋4，由（b＋c）2≥4bc得4a2＋8a＋4≥4（a2－4a－5），解之a≥－1，但当a＝－1时，b2＋c2＝bc＝0，从而b＝c＝0，这与已知相矛盾，舍去．故a＞－1．例3已知a，b，c满足方程组a＋b＝8，ab－c2＋8c＝48，试求方程bx2＋cx－a＝0的根．解析：由已知条件有a＋b＝8，ab－c2＋8c＝48，所以82≥4（c2－8c＋48），即（c－4）2≤0，所以c＝4，从而a＋b＝8，ab＝16，解之a＝4，b＝4.所解方程可化为x2＋x－1＝0，解之x1＝，x2＝－．三、构造几何图形在遇到用常规、定向思考的解题途径难以解决问题时，可以根据题设条件构造一个几何图形，然后通过数形结合，以形辅数的方法，找到一个简捷的解题途径，从而达到事半功倍之效．1．构造直角三角形例4化简．解析：注意到（）2＋（）2＝（2）2，可构造如图1所示的Rt△ABC，使∠C＝90°，a ＝，b＝，c＝2．[b][O][r][C][a][B][c][A]图1又S△ABC＝ab＝，故原式＝．进一步，作△ABC的内切圆，其半径r＝，S△ABC＝（a＋b＋c）．所以，原式＝＝2r＝＋－2．2．构造梯形例5设m，n，p均为正数，且m2＋n2－p2＝0，求S＝的取值范围．解析：注意到m2＋n2－p2＝0，可构造如图2所示的直角梯形ABCD或矩形ABCD（当m＝n时），使△AED是直角边为p的等腰直角三角形，∠AED＝90°，AB＝EC＝m，BE＝CD＝n．[D][C][E][n][B][n][m][p][p][m][A]图2一方面由m＋n＞p，得S＜1，另一方面由BC≤AD，即m＋n≤p，得S≥，所以≤S3．构造圆例6（河南竞赛题）已知O为锐角△ABC的外心，则点O到BC，AC，AB三边的距离之比为（）A． 1 ∶ 1 ∶ 1B． sinA ∶ sinB ∶ sinCC． cosA ∶ cosB ∶ cosCD．以上答案都不对[O][D][C][B][A]图3解析：如图3所示，作△ABC的外接圆，设其半径为r，作OD⊥BC，有∠BOD＝∠A，所以有OD＝OB·cos∠BOD＝r·cosA，同理，O到AC、AB的距离分别为rcosB、rcosC，所以选C．四、构造函数函数思想是数学的重要思想方法之一．据题目的相关条件构造函数，将问题转化为函数的相关性质来研究，常是行之有效的解题方法．例7已知a＋b＋c＝a2＋b2＋c2＝2，求证：a（1－a）2＝b（1－b）2＝c（1－c）2.解析：根据所求证的式子的特征，可构造函数y＝x（1－x）2，从而只需证明当x分别等于a，b，c时函数值相等．由已知有ab＋bc＋ca＝［（a＋b＋c）2－（a2＋b2＋c2）］＝1．构造函数y＝x（1－x）2，即y＝x3－2x2＋x，则有（x－a）（x－b）（x－c）＝x3－（a＋b＋c）x2＋（ab＋bc＋ca）x－abc＝x3－2x2＋x－abc＝y－abc，故y＝（x－a）（x－b）（x－c）＋abc．分别令x＝a，b，c，都有y＝abc.所以a（1－a）2＝b（1－b）2＝c（1－c）2.例8设a，b，c均为绝对值不大于m（m＞0）的实数，求证：ab＋bc＋ca≥－m2.解析：将所求不等式化为ab＋ca＋bc＋m2≥0，构造一次函数y＝（b＋c）x＋bc＋m2，由已知b≤m，c≤m，有－m≤b≤m，－m≤c≤m，即b＋m≥0，c＋m≥0，与b－m≤0，c－m≤0.（1）当b＋c≠0时，当x＝－m时，从而y＝（b＋c）（－m）＋bc＋m2＝（b－m）（c－m）≥0，故y≥0．当x＝m时，从而y＝（b＋c）m＋bc＋m2＝（b＋m）（c＋m）≥0，故y≥0．又由一次函数的单增或单减的性质可得当－m≤x≤m时，y≥0．所以，当x=a时y≥0.（2）当b＋c＝0时，b＝－c，又由c≤m有－c2＋m2≥0，从而y＝（b＋c）x＋bc＋m2＝－c2＋m2≥0．所以，当x＝a时，y＝（b＋c）a＋bc＋m2≥0，即ab＋bc＋ca≥－m2．综合（1）（2）可得ab＋bc＋ca≥－m2．五、构造反例通过分析数学问题的特点，恰当地寻求一个满足题设而不满足结论的反例.例9“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”，这个结论正确吗？解析：上述结论错误.反例1，如图4，在等腰△ABD的底边BD上取一点C，连结AC，作∠ACE＝∠CAD，取AE＝CD，则△ACD≌△CAE，即在四边形ABCE中，∠B＝∠E，AB＝CE，但显然四边形ABCE不是平行四边形．反例2，如图5，在平行四边形ABCF的边CF上取一点E，使AE＝AC．连结AE、AC，作∠ACD＝∠AEF，取CD＝EF，则△ACD≌△AEF，有∠D＝∠F，AD＝AF，即在四边形ABCD中，∠B＝∠D，CB＝AD，但它不是平行四边形．。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第讲开放性问题评说

第216讲开放性问题评说1个数学问题的构成含有4个要素：题目的款件.解题的依据.解题的方法.题目的结论,如果题目所含的4个要素是解题者已经知道,或者结论虽未指明,但它是完全确定的,这样的问题就是封闭性的数学问题．开放性问题是相对于封闭性问题而言,从所呈现问题的方式看,有下列几种基本形式：1．款件开放题称款件不充分或没有确定已知款件的开放性问题为款件开放题,解题时需执果寻因,依据结论和已有的已知款件,寻找使得结论成立的其他款件．2．结论开放题称结论不确定或没有确定结论的开放性问题为结论开放题,解题时需由因导果,由已知款件导出相应结论．3．判断性开放题称判定几何图形的形状大小.图形的位置关系.方程(组)的解的情况或判定具有某种性质的数学对象是否存在的开放题问题称为判断性开放题,解题的基本思路是：由已知款件及知识作出判断,然后加以证明．【例题求解】【例1】如图,⊙O与⊙O1外切于点T,PT为其内公切线,AB为其外公切线,且A.B为切点,AB与PT相交于点P,依据图中所给出的已知款件及线段,请写出1个正确结论,并加以证明．思路点拨为了能写出更多的正确结论,我们可以从以下几分角度作探索,线段关系,角的关系.3角形的关系及由此推出的相应结论．注：明确要求将数学开放性题作为中考试题,还是近12年的事情．开放性问题没有明确的目标和解题方向,留有极大的探索空间．解开放性问题,不具有定向的解题思路,解题时总要有合情合理.实事求是的分析,要把归纳与演绎协调配合起来,把直觉发现与逻辑推理相互结合起来,把1般能力和数学能力同时发挥出来．对本例评分标准是以正确结论的难易程度为标准灵活打分,分值直接反映考生的能力及创新性．【例2】如图,4边形ABCD是⊙O的内接4边形,A是BD的中点,过A点的切线与CB的延长线交于点E．(1)求证：AB·DA=CO·BE。

(2)若点E在CB延长线上运动,点A在BD上运动,使切线EA变为割线EFA,其他款件不变,问具备什么款件使原结论成立? (要求画出示意图,注明款件,不要求证明)思路点拨对于(2),能画出图形尽可能画出图形,要使结论AB·DA=CD·BE成立,即要证△ABE∽△CDA,已有款件∠ABE=∠CDA,还需增加等角款件,这可由多种途径得到．注：许多开放性问题解题思路也是开放的(多角度.多维度思考),探索的款件或结论并不惟1．故解开放性问题,应尽可能深入探究,发散思维,提高思维的品质,切忌入宝山而空返．【例3】(1)如图1,若⊙O1与⊙O2外切于A,BC是⊙O1与⊙O2外公切线,B.C为切点,求证：AB⊥AC．(2)如图2,若⊙O1与⊙O2外离,BC是⊙O1与⊙O2的外公切线,B.C为切点,连心线O1 O2分别交⊙O1.⊙O2于M.N,的延长线交于P,则BP与CP是否垂直?证明你的结论．(3)如图3,若⊙O1与⊙O2相交,BC是⊙O1与⊙O2的公切线,B.C为切点,连心线O1 O2分别交⊙O1.⊙O2于M.N,Q是线段MN上1点,连结BQ.CQ,则BQ与CQ是否垂直?证明你的结论．思路点拨本例是在基本款件不变的情况下,通过运动改变两圆的位置而设计的,在运动变化中,结论可能改变或不变,关键是把(1)的证法类比运用到(2).(3)问题中．注：开放性问题还有以下呈现方式：(1)先提出特殊情况进行研究,再要求归纳猜测和确定1般结论。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-园幂定理

园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例；(2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516思路点拨连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是∠O 的直径，PA 是过A 点的直线，∠PAC=∠B ．(1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ，AC=8，CE ：ED=6：5，，AE ：BE=2：3，求AB 的长和∠ECB 的正切值．思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x 、k 处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x 与k 的关系，建立x 或k 的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F ∽△EAF，Rt△AEB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．(2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学力训练1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为( )A．6．4 B．3．2 C ．3．6 D．85．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ；(2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．⌒⌒⌒9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a2B ．a 1C ．2a D ．3a 13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23D ．114．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD 于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．参考答案。

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