解析几何高考选择题填空题汇编

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高考数学《解析几何》专项训练及答案解析

高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题：（1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值．【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时，设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长．【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-，取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =．联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-，设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>，其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，所以02p MF x =+AB所在直线2p x =，设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-，因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。

解析几何专项训练

解析几何专项训练一．选择题（共12小题）1．已知椭圆G：的离心率为，⊙M过椭圆G的一个顶点和一个焦点，圆心M在此椭圆上，则满足条件的点M的个数是（）A．4B．8C．12D．162．已知F为抛物线y2=ax（a＞0）的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，设直线CD的斜率为k2，且k1=k2，则a=（）A．8B．8C．16D．163．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线于P，Q两点且PQ⊥PF1，若|PQ|=λ|PF1|，，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．4．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，4）C．（2，4）D．（4，8）5．已知F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线右支上一点，点E是线段PF1中点，且•=0，sin∠PF2F1≥2sin∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围是（）A．[5，+∞）B．[，+∞）C．（1，5]D．（1，]6．下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e27．过曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点N，其中C1，C3有一个共同的焦点，若=，则曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面B1BCC1上的动点，并且A1F∥平面AED1，则动点F的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．线段9．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．下列四个命题中不正确的是（）A．若动点P与定点A（﹣4，0）、B（4，0）连线P A、PB的斜率之积为定值，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分B．设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，则动点的轨迹是抛物线的一部分C．已知两圆A：（x+1）2+y2=1、圆B：（x﹣1）2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆D．已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线11．抛物线y2=2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F．A、B是抛物线上的两点．己知A．B，C三点共线，且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，直线AB的斜率为k，则有（）A．B．C．D．12．如图，椭圆C1：+═1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，两直线MA，MB分别与C1相交于点D，E．①曲线C1，C2的方程分别为+y2=1，y=x2﹣1；②MD⊥ME；③记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，则的最大值为；④记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，当=时，直线l的方程为：y=x或y=﹣x．以上列说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共4小题）13．设椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线P A2的斜率的取值范围[﹣2，﹣1]，那么直线P A1斜率的取值范围是．14．若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p 的取值范围为．15．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为．16．如图，曲线C1是椭圆+=1的一部分，F1，F2是其两焦点．曲线C2是以原点O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的一个公共点，并且∠AF2F1为钝角．我们把由曲线C1和C2合成的曲线C称为“月食圆”．①若|AF1|=7，|AF2|=5，则曲线C1、C2的方程分别为+=1（﹣6≤x≤3）、y2=8x（0≤x≤3）②过F2作直线l，分别于“月食圆”依次交于B、C、D、E四点，若B（x1，y1），E（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则x1x2x3x4为定值；③连接BF1，EF2，在△BF1F2中，记∠F1BF2=α，∠BF1F2=β，∠F1F2B=γ，则e=；④若P、Q为椭圆+=1上两动点，且OP⊥OQ，则S△OPQ的最小值是．以上说法正确的有．三．解答题（共6小题）17．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．20．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，右准线为l，l与x轴相交于点T，且F是A T的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T的直线与椭圆相交于M，N两点，M，N都在x轴上方，并且M在N，T之间，且NF=2MF．①记△NFM，△NFA的面积分别为S1，S2，求；②若原点O到直线TMN的距离为，求椭圆方程．21．已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1+x2=2，又直线l1：y=k1x+m 是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；（Ⅲ）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．22．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）左右两个焦点分别为F1，F2，R（1，）为椭圆C1上一点，过F2且与x轴垂直的直线与椭圆C1相交所得弦长为3．抛物线C2的顶点是椭圆C1的中心，焦点与椭圆C1的右焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）过抛物线C2上一点P（异于原点O）作抛物线切线l交椭圆C1于A，B两点，求△AOB 面积的最大值；（Ⅲ）过椭圆C1右焦点F2的直线l1与椭圆相交于C，D两点，过R且平行于CD的直线交椭圆于另一点Q，问是否存在直线l1，使得四边形RQDC的对角线互相平分？若存在，求出l1的方程；若不存在，说明理由．2016年12月23日1398211256的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2012•顺义区二模）已知椭圆G：的离心率为，⊙M过椭圆G的一个顶点和一个焦点，圆心M在此椭圆上，则满足条件的点M的个数是（）A．4B．8C．12D．16【解答】解：设椭圆G：的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，下顶点为B1，上顶点为B2，∵椭圆G：的离心率为，⊙M过椭圆G的一个顶点和一个焦点，圆心M在此椭圆上，∴A1F1、A1F2、A2F1、A2F2、B1F1、B2F1的垂直平分线与椭圆G的坐标都是满足条件的点M，∴满足条件的点M的个数是12个．故选C．2．（2016春•湖南期末）已知F为抛物线y2=ax（a＞0）的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，设直线CD的斜率为k 2，且k1=k2，则a=（）A．8B．8C．16D．16【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则k1==，k2=，∵k 1=k2，∴y1+y2=（y3+y4）．设AC所在直线方程为x=ty+4，代入抛物线方程，可得y2﹣aty﹣4a=0，∴y1y3=﹣4a，同理y2y4=﹣4a，∴y1+y2=（+），∴y 1y2=﹣2a，设AB所在直线方程为x=ty+，代入抛物线方程，可得y2﹣aty﹣=0，∴y1y2=﹣，∴﹣2a=﹣，∴a=8．故选：B3．（2016•四川二模）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线于P，Q两点且PQ⊥PF1，若|PQ|=λ|PF1|，，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，在直角三角形PF 1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=λ|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=λ|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=λ|PF1|，∴（1﹣λ+）|PF 1|=4a，解得|PF1|=．|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，即有（）2+[]2=4c2，即为+=e2．令t=1﹣λ+，则上式化为e 2==8（﹣）2+，由t=1﹣λ+=1+，且≤λ≤，由t关于λ单调递减，可得≤t＜即≤≤，由 [，]，可得e2在[，]递增，≤e2≤，解得≤e≤．可得椭圆离心率的取值范围是[，]．故选：C．4．（2016春•厦门期末）已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则+的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，4）C．（2，4）D．（4，8）【解答】解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，．（a1，a2，b1，b2＞0，a1＞b1）∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，|PF1|=8，∴8+2c=2a1，8﹣2c=2a2，即有a1=4+c，a2=4﹣c，（c＜4），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞8，可得c＞2，即有2＜c＜4．由离心率公式可得+====，∵2＜c＜4，∴＜＜，则2＜＜4，即2＜+＜4，故+的取值范围是（2，4），故选：C5．（2016•东阳市模拟）已知F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线右支上一点，点E是线段PF 1中点，且•=0，sin∠PF2F1≥2sin∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围是（）A．[5，+∞）B．[，+∞）C．（1，5]D．（1，]【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，∵点E是线段PF 1中点，且•=0，∴⊥，且OE∥PF2，即PF1⊥PF2，则满足y﹣x=2a，x2+y2=4c2，∵sin∠PF2F1≥2sin∠PF1F2，∴由正弦定理得y≥2x，则≥2，设m=≥2，∵e2======1+=1+，∵当m≥2时，y=m+﹣2在m≥2时，为增函数，则y=m+﹣2≥2+﹣2=，即0＜≤4，则1＜1+≤5，即1＜e2≤5，则1＜e≤，故双曲线离心率的取值范围是（1，]，故选：D．6．（2016•杭州模拟）下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系为（）A．e1＞e2＞e3B．e1＜e2＜e3C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e2【解答】解：①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（，），∵（，）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．②正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点坐标为（﹣1，0）和（1，0），且过点（）．∵点（）到两个焦点（﹣1，0），（1，0）的距离分别是和，∴，c=1，∴．③设正六边形的边长为2，以F1F1所在直线为x轴，以F1F1的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0），且过点（1，），∵点（1，）到两个焦点（﹣2，0）和（2，0）的距离分别为2和2，∴a=﹣1，c=2，∴．所以e1=e3＞e2．故选D．7．（2015秋•成都月考）过曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点N，其中C1，C3有一个共同的焦点，若=，则曲线C 1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2=4cx，因为=，所以=﹣=，则M为F1N的中点，因为O为F1F'的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F'的中位线，所以OM∥PF'因为|OM|=a，所以|NF'|=2a又NF'⊥NF1，|F1F'|=2c所以|NF1|=2b设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，∴x=2a﹣c过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）得e2﹣e﹣1=0，∴e=．故选：A．8．（2014•江门一模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面B1BCC1上的动点，并且A1F∥平面AED1，则动点F的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．线段【解答】解：取棱BB1的中点N，棱B1C1的中点，则MN∥BC1，∵BC1∥AD1，∴MN∥AD1，∵MN 平面AED1，AD1 平面AED1，∴MN∥平面AED1，同理，A1N∥平面AED1，∵MN∩A1N=N，∴平面A1NM∥平面AED1，∵F是侧面B1BCC1上的动点，∴F是线段MN上的点时，A1F∥平面AED1，故选：D．9．（2013•重庆）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角大于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°，即，∴，∵b2=c2﹣a2，∴，∴，∴，∴双曲线的离心率的范围是．故选：A．10．（2012•安徽模拟）下列四个命题中不正确的是（）A．若动点P与定点A（﹣4，0）、B（4，0）连线P A、PB的斜率之积为定值，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分B．设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，则动点的轨迹是抛物线的一部分C．已知两圆A：（x+1）2+y2=1、圆B：（x﹣1）2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆D．已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线【解答】解：A：设P（x，y），因为直线P A、PB的斜率存在，所以x≠±4，直线P A、PB的斜率分别是k1=，k2=，∴×=，化简得9y2=4x2﹣64，即（x≠±4），∴动点P的轨迹为双曲线的一部分，A正确；B：∵m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，∴==，设P（x，y），则y=，即y 2=4ax（x≥0，y≥0），即动点的轨迹是抛物线的一部分，B正确；C：由题意可知，动圆M与定圆A相外切与定圆B相内切∴MA=r+1，MB=5﹣r∴MA+MB=6＞AB=2∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，C正确；D设此椭圆的另一焦点的坐标D（x，y），∵椭圆过A、B两点，则CA+DA=CB+DB，∴15+DA=13+DB，∴DB﹣DA=2＜AB，∴椭圆的另一焦点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支，D错误故选D11．（2013•温州二模）抛物线y2=2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F．A、B是抛物线上的两点．己知A．B，C三点共线，且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，直线AB的斜率为k，则有（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，∴准线与x轴的交点C坐标为（﹣，0）因此，得到直线AB方程为y=k（x﹣），与抛物线y2=2px消去y，化简整理，得，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得∴|AB|==•=•=•∵|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，∴|AF|+|BF|=2|AB|，根据抛物线的定义得|AF|=x1+，|BF|=x2+，因此，得到x 1+x2+p=2•，即+p=2•，化简得=，约去得•=∴（1+k2）（1﹣k2）=，解之得k2=故选：D12．（2015春•成都校级月考）如图，椭圆C1：+═1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，两直线MA，MB分别与C1相交于点D，E．①曲线C1，C2的方程分别为+y2=1，y=x2﹣1；②MD⊥ME；③记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，则的最大值为；④记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，当=时，直线l的方程为：y=x或y=﹣x．以上列说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵=，又a 2=b2+c2，可解得a=2b．在y=x2﹣b中，令y=0，得x=，∴2=a．联立解得a=2，b=1．∴曲线C1，C2的方程分别为+y2=1，y=x2﹣1．②由，得x2﹣kx﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=k，x1x2=﹣1．∵M（0，﹣1），∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）=x1x2+y1y2+y1+y2+1=﹣1﹣k2+k2+1=0，∴MA⊥MB，∴MD⊥ME．③设直线MA的斜率为k，则直线MA的方程为y=kx﹣1．由，解得，或．则点A的坐标为（k，k2﹣1）．又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为，于是S 1=|MA|•|MB|=•=．由，得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．解得，或，则点D的坐标为．又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为．于是S2=|MD|•|ME|=．故=≥=，当且仅当k2=1时取等号，因此不正确．④由③令==，解得k2=4或，∴k l==．∴直线l的方程为：y=x或y=﹣x．正确．综上可得：只有①②④正确．故选：C．二．填空题（共4小题）13．（2016•长沙校级一模）设椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线P A2的斜率的取值范围[﹣2，﹣1]，那么直线P A1斜率的取值范围是．【解答】解：∵椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，∴A1，A2两点关于原点对称，设A1（x1，y1），A2（﹣x1，﹣y1），=1，=．设P（x0，y0），则=1，可得：=．∴=．∵直线P A2的斜率k1的取值范围[﹣2，﹣1]，∴﹣2≤≤﹣1，==k2，∴k1k2===．∴，∴﹣1，解得．那么直线P A1斜率的取值范围是．故答案为：．14．（2016•南通模拟）若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为[1，+∞）．【解答】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，即，或；画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵d min=那么a2+b2的最小值为：d2=．由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，∴≥20（a2+b2）min=4，∵θ∈（0，），∴sinθ，cosθ∈（0，1）．∴+=（sin2θ+cos2θ）=1+p++≥1+p+2=1+p+2，当且仅当tan2θ=时取等号．∴1+p+2≥4，p＞0，解得1≤p．∴tanθ=1，即时取等号．故答案为：[1，+∞）．15．（2016•江苏二模）已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C 于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为﹣2﹣2015．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程x2+2y2=2b2，可得（1+2k2）x2﹣4tk2x+2k2t2﹣2b2=0，即有x1+x2=，x1x2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2015．16．（2015春•成都校级月考）如图，曲线C1是椭圆+=1的一部分，F1，F2是其两焦点．曲线C2是以原点O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的一个公共点，并且∠AF2F1为钝角．我们把由曲线C1和C2合成的曲线C称为“月食圆”．①若|AF1|=7，|AF2|=5，则曲线C1、C2的方程分别为+=1（﹣6≤x≤3）、y2=8x（0≤x≤3）②过F2作直线l，分别于“月食圆”依次交于B、C、D、E四点，若B（x1，y1），E（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则x1x2x3x4为定值；③连接BF1，EF2，在△BF1F2中，记∠F1BF2=α，∠BF1F2=β，∠F1F2B=γ，则e=；④若P、Q为椭圆+=1上两动点，且OP⊥OQ，则S△OPQ的最小值是．以上说法正确的有①③④．【解答】解：①椭圆方程为=1，（a＞b＞0）．则2a=|AF1|+|AF2|=7+5=12，得a=6，设A（x，y），F1（﹣c，0），F2（c，0），则（x+c）2+y2=72，（x﹣c）2+y2=52，两式相减得xc=6，由抛物线定义可知|AF2|=x+c=5，则c=2，x=3或x=2，c=3，又∠AF2F1为钝角，则x=2，c=3舍去．曲线C1、C2的方程分别为+=1（﹣6≤x≤3）、y2=8x（0≤x≤3）②当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=c，x1x2x3x4=c4当直线l不垂直x轴时，设B（x1，y1），E（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立，化为（b2+a2k2）x2﹣2ca2k2x+a2k2c2﹣a2b2=0，∴x1x2=，联立，化为：k2x2﹣（2ck2+4c）x+k2c2=0，∴x3x4=c2．∴x1x2x3x4=×c2≠c4．因此不为定值．③连接BF1，EF2，在△BF1F2中，由正弦定理可得：====，解得e==，正确．④设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为：y=kx+m．联立，化为：（a2k2+b2）x2+2kma2x+a2m2﹣a2b2=0，△＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵OP⊥OQ，∴=x1x2+y1y2=0y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．∴（1+k2）×﹣km×+m2=0．化简得：（a2+b2）m2=a2b2（1+k2）．∴=．∴点O到直线PQ的距离d==为定值．∵=|OP|•|OQ|，∴d2（|OP|2+|OQ|2）=|OP|2|OQ|2≥d2•2|OP||OQ|，∴|OP||OQ|≥2d2，则S△OPQ=≥d2=．因此正确．综上可得：只有①③④正确．故答案为：①③④．三．解答题（共6小题）17．（2016•山东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．可得a=2，c=，b=，可得椭圆C的方程：；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m），（ⅰ）证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，k==，k′==﹣，==﹣3．为定值；（ⅱ）由题意可得，m2=4﹣t2，QM的方程为：y=﹣3kx+m，PN的方程为：y=kx+m，联立，可得：x2+2（kx+m）2=4，即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0可得x A=，y A=+m，同理解得x B=，y B=，x A﹣x B=k﹣=，y A﹣y B=k+m﹣（）=，k AB===，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，所以6k+，当且仅当k=时取等号．此时，即m=，符合题意．所以，直线AB的斜率的最小值为：．18．（2016•衡阳三模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；∴椭圆方程为（4分）（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得（6分）∵x1=﹣，∴，∴，∴（8分）∴（定值）（10分）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）（12分）则由，从而得m=0∴存在Q（0，0）满足条件（14分）19．（2016•上海模拟）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），∴a=4，又，∴c=2．…（2分）又∵b2=a2﹣c2=12，∴椭圆C的标准方程为．…（4分）（2）直线l的方程为y=k（x+4），由消元得，．化简得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，∴x1=﹣4，．…（6分）当时，，∴．∵点P为AD的中点，∴P的坐标为，则．…（8分）直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E点坐标为（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=﹣1，即恒成立，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立，∴，即，∴定点Q的坐标为（﹣3，0）．…（10分）（3）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，由，得M点的横坐标为，…（12分）由OM∥l，得=…（14分）=，当且仅当即时取等号，∴当时，的最小值为．…（16分）20．（2016•南通模拟）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，右准线为l，l与x轴相交于点T，且F是A T的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T的直线与椭圆相交于M，N两点，M，N都在x轴上方，并且M在N，T之间，且NF=2MF．①记△NFM，△NFA的面积分别为S1，S2，求；②若原点O到直线TMN的距离为，求椭圆方程．【解答】解：（1）由F是A T的中点，可得，即（a﹣2c）（a+c）=0，又a、c＞0，则a=2c，可得；（2）①解法一：过M，N作直线l的垂线，垂足分别为M1，N1，依题意，，又NF=2MF，故NN1=2MM1，故M是NT的中点，可得，又F是A T中点，即有S△ANF=S△TNF，故；解法二：有a=2c，即为，椭圆方程为，F（c，0），T（4c，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），点M在椭圆上，即有，=，同理，又NF=2MF，故2x1﹣x2=4c，得M是N，T的中点，可得，又F是A T中点，可得S△ANF=S△TNF，则；②解法一：设F（c，0），则椭圆方程为，由①知M是N，T的中点，不妨设M（x0，y0），则N（2x0﹣4c，2y0），又M，N都在椭圆上，即有即，两式相减得：，解得，可得，故直线MN的斜率为，直线MN的方程为，即，原点O到直线TMN的距离为，依题意，解得，故椭圆方程为．解法二：设F（c，0），则椭圆方程为，由①知M是N，T的中点，故2x1﹣x2=4c，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为y=k（x﹣4c），与椭圆联立，并消去y得：，整理得：（4k2+3）x2﹣32ck2x+64k2c2﹣12c2=0，（*）设M（x1，y1），N（x2，y2），即有，由解得，即有，解之得，即．直线MN的方程为，即，原点O到直线TMN的距离为，依题意，解得，故椭圆方程为．21．（2016•日照一模）已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF 1F2面积为，又椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1+x2=2，又直线l1：y=k1x+m 是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；（Ⅲ）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆离心率，又，a 2=b2+c2，解得a=2，b=1，∴椭圆方程：．．…（4分）（Ⅱ）设AB的中点D（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2x0=2，所以x0=1，y1+y2=2y0．（y0≠0）又A（x1，y1）、B（x2，y2）在椭圆C上，所以由②﹣①得，即．…（6分）即，l1：y=4y0x+m．当x0=1时，y0=4y0+m，所以．所以D点的坐标为．又D在椭圆C内部，所以，解得且m≠0．…（9分）（Ⅲ）因为S△TMN==|t|，直线方程为：y=，联立，得x E=，所以E（，）到直线3x﹣ty﹣t=0的距离d==，直线方程为：y=，联立，得x F=，所以F（，），∴|TF|==，∴S△TEF==••=，所以=，令t2+12=n＞12，则=，当且仅当n=24，即等号成立，所以k的最大值为．…（14分）22．（2016•日照二模）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）左右两个焦点分别为F1，F2，R（1，）为椭圆C1上一点，过F2且与x轴垂直的直线与椭圆C1相交所得弦长为3．抛物线C2的顶点是椭圆C1的中心，焦点与椭圆C1的右焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）过抛物线C2上一点P（异于原点O）作抛物线切线l交椭圆C1于A，B两点，求△AOB 面积的最大值；（Ⅲ）过椭圆C1右焦点F2的直线l1与椭圆相交于C，D两点，过R且平行于CD的直线交椭圆于另一点Q，问是否存在直线l1，使得四边形RQDC的对角线互相平分？若存在，求出l1的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设F2（c，0），令x=c，代入椭圆方程可得，y=±b=±，由题意可得=3，又R（1，）在椭圆上，可得+=1，解得a=2，b=，c=1，可得椭圆C1的方程为+=1；即有抛物线的焦点为（1，0），可得抛物线C2的方程为y2=4x；（Ⅱ）设P（t2，2t）（t≠0），设抛物线切线l的方程为y﹣2t=k（x﹣t2），由y2=4x两边对x求导，可得2yy′=4，即为y′=，可得k==，即有切线l的方程为t（y﹣2t）=x﹣t2，即为x=ty﹣t2，代入椭圆方程3x2+4y2=12，可得（4+3t2）y2﹣6t3y+3t4﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有△=36t6﹣12（4+3t2）（t4﹣4）＞0，得0＜t2＜4，y1+y2=，y1y2=，|AB|=•=•=4••，原点到直线l的距离为d=，则△AOB面积S=|AB|•d=2t2•，令u=4+3t2，0＜t2＜4，可得4＜u＜16，则S=•=•，可令v=u+，由4＜u＜16，可得v=u+在（4，16）递增，可得8＜v＜17，即有S=•，即有当v=∈（8，17）时，S取得最大值•=．由u+=，解得u=，t=＜2，故当t=时，△AOB的面积取得最大值；（Ⅲ）可设直线l1：y=m（x﹣1），代入椭圆3x2+4y2=12，可得（3+4m2）x2﹣8m2x+4m2﹣12=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，直线RQ：y=m（x﹣1）+，代入椭圆3x2+4y2=12，可得（3+4m2）x2+（12﹣8m）mx+4m2﹣12m﹣3=0，设Q（x3，y3），可得x3+1=，x3•1=，假设四边形RQCD的对角线互相平分，可得四边形RQCD为平行四边形，RD与QC的中点重合．即有=，即为x1﹣x2=1﹣x3，即有（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（1﹣x3）2，则有（，）2﹣=（1﹣）2，即为=，解得m=．故存在直线l1，方程为y=x﹣．。

解析几何练习题及答案

解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33解析：斜率k ＝－1－33－－3＝－33，故选D.答案：D2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝a ＋2a，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．21313C.51326D．71020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020.故选D.4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是()A．x ＋2y －1＝0B．2x ＋y －1＝0C．2x ＋y －5＝0D．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值围是()A.π6，D．π3，π2解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l B.答案：B6．(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为()A．x －2y ＋4＝0B．2x ＋y －7＝0C．x －2y ＋3＝0D．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝12，∴方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0.答案：A7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为x a ＋yb ＝1，b ＝6，＋1b＝1，＝3＝3＝4＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即2a －1＋a 3－1－a <0，化简得a －1a ＋2<0，∴－2<a <1.答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.＋3＝0，＋3＝0，＝－3，＝－3，所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.法二由l 1∥l 22α－1＝0，α≠0，∴sin α＝±22，∴α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一＝k 1x ＋1，＝k 2x －1解得交点P而2x 2＋y 2＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二交点P 的坐标(x ，y－1＝k 1x ，＋1＝k 2x ，故知x ≠0.1＝y －1x，2＝y ＋1x.代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x 2＋(y －2)2＝1B．x 2＋(y ＋2)2＝1C．(x －1)2＋(y －3)2＝1D．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则12＋t －22＝1，得t ＝2，所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A2．(2014模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为()A．x 2＋y 2＝32B．x 2＋y 2＝16C．(x －1)2＋y 2＝16D．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则()A．l 与C 相交B．l 与C 相切C．l 与C 相离D．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是()A．x ＋y －1＝0B．x ＋y ＋3＝0C．x －y ＋1＝0D．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C5．(2013年高考卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是()A．x ＋y －2＝0B．x ＋y ＋1＝0C．x ＋y －1＝0D．x ＋y ＋2＝0解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝± 2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，则直线方程为x ＋y －2＝0.故选A.答案：A6．(2012年高考卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于()A．25B．23C.3D．1解析：因为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3.故选B.答案：B 二、填空题7．(2013年高考卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，∴弦长为2×25－5＝220＝4 5.答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝|1－1＋4|12＋－12＝22，又圆半径r ＝ 2.所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2.答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝2mm 2＋1，∴x ＝mm 2＋1.当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝y －1x，代入x ＝m m 2＋1，得＋1＝y －1x，化简得x 2＝14.经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＝14.12．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，|＝|4＋2a |a 2＋1，|2＋|DA |2＝22，|＝12|AB |＝2，解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇第3节一、选择题1．设P 是椭圆x225＋y216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D2．(2014二模)P 为椭圆x24＋y23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于()A．3B．3C．23D．2解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝3，c ＝1，1|＋|PF 2|＝4，1|2＋|PF 2|2－4＝2|PF 1||PF 2|cos 60°∴|PF 1||PF 2|＝4.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos 60°＝4×12＝2.答案：D3．(2012年高考卷)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.14B．55C.12D．5－2解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝c a ＝55.故应选B.答案：B4．(2013年高考卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率为()A.35B．57C.45D．67解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝12|AB |＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝c a ＝57.故选B.答案：B5．已知椭圆E ：x2m ＋y24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是()A．kx ＋y ＋k ＝0B．kx －y －1＝0C．kx ＋y －k ＝0D．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A、B、C，故选D.答案：D6．(2014省实验中学第二次诊断)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值围为()A．(0，2－1)D．(2－1,1)解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin∠PF 1F 2＝|PF 1|sin∠PF 2F 1，所以由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1可得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝2a e ＋1.由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <2ae ＋1<a ＋c ，即1－e <2e ＋1<1＋e ，1－e 1＋e<2，1＋e2，解得2－1<e .又0<e <1，∴2－1<e <1.故选D.答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝ca＝2－ 3.答案：2－39．(2014模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为y225－m＋x29－m＝1(m <9)，代入点(3，－5)，得525－m ＋39－m＝1，解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.答案：y220＋x24＝110．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 12－b 2＝1，＝1，2＝2，2＝1.故椭圆C 1的方程为x22＋y 2＝1.(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2＝kx ＋b ，2＝4x ，消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1kx ＋b ，y 2＝1，消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②＝1，k 2＝b 2－1，解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝2时，k ＝22，b ＝－2时，k ＝－22.即直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.12．(2014海淀三模)已知椭圆C ：x2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一角为60°的菱形的四个顶点．所以a ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝23，|PO |＝3，所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，y 2＝1，kx ，化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝33k 2＋1，则|AO |＝1＋k233k 2＋1＝3k 2＋33k 2＋1.设AB 的垂直平分线为y ＝－1kx ，它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，＝－x ＋3，＝－1k x ，0＝3k k －1，0＝－3k －1.则|PO |＝9k 2＋9k －12，因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝3|AO |，代入得9k 2＋9k －12＝33k 2＋33k 2＋1，解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇第4节一、选择题1．设P 是双曲线x216－y220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D.答案：D3．(2012年高考卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为()A.x220－y25＝1B．x25－y220＝1C.x280－y220＝1D．x220－y280＝1解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝bax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x220－y25＝1.故选A.答案：A4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于()A.14B．35C.34D．45解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为()A.x242－y232＝1B．x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D．x2132－y2122＝1解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x242－y232＝1.故选A.答案：A6．(2014八中模拟)若双曲线x29－y216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，则实数m 的取值围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．[－5,5]D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m 的取值围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考卷)已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y23＝19．(2014市第三次质检)已知点P 是双曲线x2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝ca ＝23－1＝3＋1.答案：3＋1三、解答题11．已知双曲线x 2－y22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .＝kx＋1－k，2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①∴x＝x1＋x22＝k1－k2－k2.由题意，得k1－k2－k2＝1，解得k＝2.当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l的斜率不存在，即x1＝x2不符合题意，所以由题得x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－y1＋y2y1－y22＝0，即2－y1－y2x1－x2＝0，即直线l斜率k＝2，得直线l方程y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，＝2x－1，2－y22＝1得2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y＝2x－1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P(1,1)的直线l不存在．12．(2014质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，－m ＝4，·13a＝3·13m，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.第八篇第5节一、选择题1．(2014模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为()B．(1,0)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y C.答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x24＋y29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()A．x 2＝－45y B．y 2＝－45x C．x 2＝－413yD．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A.答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为()A.53B．83C.103D．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，1＋1＝3x 2＋1，1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B．1C.54D．74解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，＝3x ＋b ，2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得x 1＝13，y 1＝－233，或x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)，∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为12，0.求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|PA |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，数m 的值．解：法一如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，＝－x ＋n ，＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n2由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M －14，由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．1＝2x 21，2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0.又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即－14，m∴AB 的方程是y 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝3212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，即C (4λ＋1,42λ－22)，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

2024年高考真题分类专项(解析几何)(学生版)

2024年高考真题分类专项（解析几何）一、单选题1．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A B ．2C ．3D ．2．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax by a b +-+=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．65．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4 B ．3C ．2D6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c 与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（） A ．1B ．2C ．4D．二、多选题7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ = C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题9．（2024年上海夏季高考数学真题）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．10．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．11．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．12．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．13．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．四、解答题14．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．15．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ． (1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．16．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．17．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．18．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．。

解析几何习题及答案

解析几何习题一、选择题(本大题共12个小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 平面上有两个定点A 、B 及动点P ，命题甲：“|P A |－|PB |是定值”，命题乙“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 如果双曲线经过点(6，3)，且它的两条渐近线方程是y ＝±13x ，那么双曲线方程是( ) A.x 236－y 29＝1 B.x 281－y 29＝1 C.x 29－y 2＝1 D.x 218－y 23＝1 3. 点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( )A ．(－a －1，－b －1)B ．(－b －1，－a －1)C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )4. 直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1 5. 椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D.1925或21 6. 已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．127. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 8. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )． A. 2 B. 3 C.3＋12 D.5＋129. 若不论k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋b 与曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．(－3，3) B ．[－3，3] C ．(－2,2) D ．[－2,2]10. 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B ．3 C. 5 D.9211. 已知F (c,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 的距离为m ＋n 2的点是( ) A ．(c ，±b 2a ) B ．(c ，±b a) C ．(0，±b ) D ．不存在12. A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫22，53，C (x 2，y 2)为椭圆x 29＋y 225＝1上三点，若F (0,4)与三点A 、B 、C 的距离为等差数列，则y 1＋y 2的值为( )A.43B.103C.163D.223二、填空题（本大题共4小题，将正确的答案填在题中横线上）13. 设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于________．14. 平行线l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________．15. 在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为________．16. 点P 是双曲线x 24－y 2＝1上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．三、解答题(本大题共5个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．18. 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围．(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．19. 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12，求椭圆的方程．20. 在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝12，tan ∠MNP ＝－2，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点且过点P 的双曲线方程．。

解析几何历年高考真题试卷--带详细答案

解析几何高考真题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ，离心率为 √5 ．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 82.（2020·新课标Ⅲ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A. （ 14 ，0）B. （ 12 ，0） C. （1，0） D. （2，0） 3.（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线 x =a 与双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于 D,E 两点，若 △ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4.（2020·天津）设双曲线 C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) ，过抛物线 y 2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l ．若C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（） A.x 24−y 24=1 B. x 2−y 24=1 C.x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=15.（2019·天津）已知抛物线的焦点为F ，准线为l.若与双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且 |AB|=4|OF| （O 为原点），则双曲线的离心率为（） A. √2 B. √3 C. 2 D. √56.（2020·北京）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作 PQ ⊥l 于Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（）．A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线 OPD. 垂直于直线 OP7.（2019·天津）已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 |AB|=4|OF| （ O 为原点），则双曲线的离心率为（）A. √2B. √3C. 2D. √5 8.（2019·全国Ⅲ卷理）双曲线 C:x 24−y 22=1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为（）A. 3√24B. 3√22C. 2√2D. 3√29.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B两点．若|AF+BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45 ，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A. (0,√32] B. (0,34] C. [√32.1) D. [34,1)10.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ，则（）A. 对任意的a,b ， e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b ， e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 211.将离心率为e 1的双曲线c 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加(m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线c 2 ，则（）A. 对任意的a,b,e 1>e 2B. 当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C. 对任意的a,b,e 1<e 2D. 当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2二、填空题（共5题；共6分）12.（2020·新课标Ⅰ·理）已知F 为双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________.13.（2019·江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________. 14.（2019·浙江）已知椭圆x 29+y 25=1 的左焦点为F ，点P 在椭圆且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________ 15.（2018·北京）已知椭圆 M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) ,双曲线 N:x 2m 2−y 2n 2=1 . 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________16.（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．三、解答题（共9题；共85分）17.（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 C:x 225+y 2m 2=1(0<m <5) 的离心率为√154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线 x =6 上，且 |BP|=|BQ| ， BP ⊥BQ ，求 △APQ 的面积．18.（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1 (a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|= 43 |AB|．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．19.（2020·新课标Ⅰ·理）已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1 （a>1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8 ，P 为直线x=6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.20.（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.21.（2019·天津）设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，顶点为B.已知√3|OA|=2|OB|（O为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为p，圆C同时与x轴和直线l 相切，圆心C在直线x=4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.22.（2019·全国Ⅲ卷文）已知曲线C：y= x22，D为直线y= −12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.23.（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C: y=x22，D为直线y=- 12的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.24.（2019·全国Ⅱ卷文）已知F1,F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点。

高考数学真题三年专题平面解析几何

三年专题平面解析几何（选择题、填空题）1．【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为13，A 1,A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→⋅BA 2→=−1，则C 的方程为（） A ．x 218+y 216=1 B ．x 29+y 28=1C ．x 23+y 22=1 D ．x 22+y 2=12．【2022年全国甲卷】椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP,AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（） A ．√32B ．√22C ．12D ．133．【2022年全国乙卷】设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点，点A 在C 上，点B(3,0)，若|AF |=|BF |，则|AB |=（） A ．2B ．2√2C ．3D ．3√24．【2022年全国乙卷】双曲线C 的两个焦点为F 1,F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且cos∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为（）A ．√52B ．32C ．√132D ．√1725．【2021年甲卷文科】点()3,0到双曲线221169xy -=的一条渐近线的距离为（）A ．95B ．85C ．65D ．456．【2021年乙卷文科】设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则P B的最大值为（）A ．52B C D ．27．【2021年乙卷理科】设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2P B b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦8．【2021年新高考1卷】已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12M F M F ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．69．【2021年新高考2卷】抛物线22(0)y p x p =>的焦点到直线1y x =+p=（）A ．1B ．2C ．D ．410．【2020年新课标1卷理科】已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（） A ．2B ．3C ．6D ．9 11．【2020年新课标1卷理科】已知⊙M ：222220xyx y +---=，直线l ：220xy ++=，P为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,P A P B ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线A B的方程为（） A ．210xy --= B ．210xy +-=C ．210xy -+= D ．210xy ++=12．【2020年新课标1卷文科】已知圆2260x yx +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 13．【2020年新课标1卷文科】设12,F F 是双曲线22:13y Cx-=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2O P =，则12P F F △的面积为（）A ．72B ．3C ．52D ．214．【2020年新课标2卷理科】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）A 5B 5C 5D 515．【2020年新课标2卷理科】设O 为坐标原点，直线x a=与双曲线2222:1(0,0)x y Ca b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若O D E的面积为8，则C 的焦距的最小值为（） A ．4B ．8C ．16D ．3216．【2020年新课标3卷理科】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)yp x p =>交于D ，E 两点，若O D O E⊥，则C 的焦点坐标为（）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)17．【2020年新课标3卷理科】设双曲线C ：22221x y ab-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（） A ．1B ．2C ．4D ．818．【2020年新课标3卷文科】在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1A CBC ⋅，则点C 的轨迹为（） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线19．【2020年新课标3卷文科】点(0，﹣1)到直线()1y kx =+距离的最大值为（）A ．1BC D ．220．【2022年新高考1卷】已知O 为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x 2=2py(p >0)上，过点B(0,−1)的直线交C 于P ，Q 两点，则（） A ．C 的准线为y =−1 B ．直线AB 与C 相切 C ．|OP|⋅|OQ|>|OA |2D ．|BP|⋅|BQ|>|BA|221．【2022年新高考2卷】已知O 为坐标原点，过抛物线C:y 2=2px(p >0)焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（） A ．直线AB 的斜率为2√6 B ．|OB|=|OF|C ．|AB|>4|OF|D ．∠OAM +∠OBM <180°22．【2021年新高考1卷】已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线A B 的距离大于2C ．当P B A ∠最小时，P B = D ．当P B A ∠最大时，P B =23．【2021年新高考2卷】已知直线2:0l a x b y r+-=与圆222:Cxyr+=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 24．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知曲线22:1C m xn y+=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线25．【2022年全国甲卷】设点M 在直线2x +y −1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为______________． 26．【2022年全国甲卷】记双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y =2x 与C 无公共点”的e 的一个值______________． 27．【2022年全国甲卷】若双曲线y 2−x 2m 2=1(m >0)的渐近线与圆x 2+y 2−4y +3=0相切，则m =_________．28．【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．29．【2022年新高考1卷】写出与圆x 2+y 2=1和(x −3)2+(y −4)2=16都相切的一条直线的方程________________． 30．【2022年新高考1卷】已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE|=6，则△ADE 的周长是________________．31．【2022年新高考2卷】设点A(−2,3),B(0,a)，若直线AB 关于y =a 对称的直线与圆(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围是________． 32．【2022年新高考2卷】已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2√3，则l 的方程为___________． 33．【2021年甲卷文科】已知12,F F 为椭圆C ：221164xy +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12P QF F =，则四边形12P F Q F 的面积为________．34．【2021年乙卷文科】双曲线22145xy -=的右焦点到直线280xy +-=的距离为________．35．【2021年乙卷理科】已知双曲线22:1(0)xC y m m-=>0m y +=，则C 的焦距为_________．36．【2021年新高考1卷】已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y p x=(0p>)的焦点为F ，P 为C 上一点，P F 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且P Q O P⊥，若6F Q =，则C 的准线方程为______.37．【2021年新高考2卷】若双曲线22221x y ab-=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.38．【2020年新课标1卷理科】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y Ca b ab-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.39．【2020年新课标3卷文科】设双曲线C ：22221x y ab-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．40．【2020年新高考1卷（山东卷）C ：y 2=4x 的焦点，且与C交于A ，B 两点，则A B=________．三年专题平面解析几何（解答题）1．【2022年全国甲卷】设抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点D (p,0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |=3． (1)求C 的方程；(2)设直线MD,ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN,AB 的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时，求直线AB 的方程．2．【2022年全国乙卷】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0,−2),B (32,−1)两点． (1)求E 的方程；(2)设过点P (1,−2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =TH ⃑⃑⃑⃑⃑ ．证明：直线HN 过定点． 3．【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C:x 2a2−y 2a 2−1=1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP,AQ 的斜率之和为0． (1)求l 的斜率；(2)若tan∠PAQ =2√2，求△PAQ 的面积． 4．【2022年新高考2卷】已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x ． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C A ，B 两点，点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0,y 1>0．过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．【2021年甲卷文科】抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C于P ，Q 两点，且O P O Q⊥．已知点()2,0M ，且M与l 相切．（1）求C ，M的方程；（2）设123,,AA A 是C 上的三个点，直线12AA ，13AA 均与M相切．判断直线23AA 与M的位置关系，并说明理由．6．【2021年乙卷文科】已知抛物线2:2(0)C yp x p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9P Q Q F=，求直线O Q 斜率的最大值.7．【2021年乙卷理科】已知抛物线()2:20Cxp yp =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M xy ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,P A P B 是C 的两条切线，,A B 是切点，求P A B △面积的最大值．8．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系x O y 中，已知点()1F -、()21202F M F M F -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x=上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且T A T B T P T Q⋅=⋅，求直线A B 的斜率与直线P Q 的斜率之和.9．【2021年新高考2卷】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，右焦点为0)F ，且3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线M N 与曲线222(0)x yb x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||M N=10．【2020年新课标1卷理科】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x ya+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8A G GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.11．【2020年新课标2卷理科】已知椭圆C 1：22221x y ab+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程. 12．【2020年新课标2卷文科】已知椭圆C 1：22221x y ab+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．13．【2020年新课标3卷理科】已知椭圆222:1(05)25xy C m m+=<<4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x=上，且||||B PB Q =，B PB Q⊥，求A P Q的面积．14．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且A M A N⊥，A DM N⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得D Q为定值．15．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.。

解析几何选择填空(附详解)

1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比||||MQ MP λ=(0,1)λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点(1,1)B ，则2||||MP MB +的最小值为（）ABC D 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A 坐标为()3,1,M -、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个3．如图，60POQ ∠=︒，等边ABC 的边长为2，M 为BC 中点，G 为ABC 的重心，B ，C 分别在射线OP ，OQ 上运动，记M 的轨迹为1C ，G 的轨迹为2C ，则（）A ．1C 为部分圆，2C 为部分椭圆B ．1C 为部分圆，2C 为线段 C ．1C 为部分椭圆，2C 为线段D ．1C 为部分椭圆，2C 也为部分椭圆4．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y kx =交于A ，B 两点，点P 为C 上一动点，记直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，C 的左､右焦点分别为1F ，2F .若14P PA B k k ⋅=，且C 的焦点到渐近线的距离为1，则（）A ．4a =B ．C 的离心率为2C ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2D ．若12PF F △的面积为12PF F △为钝角三角形5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若2222PF PF QF =⋅，且2PQF 的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为（）A B C D ．6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F 、A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P 、Q 两点，且23PAQ π∠=，则该双曲线的离心率为（）AB C D 7．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为247-的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若1212()0F F F A F A +⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（）A ．43y x =±B ．34yx C ．y = D ．y = 8．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是[]221,1,10y x y -=∈,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．2.59．有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆22221x y a b+=和双曲线22221(0)x y a m m n -=>>的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M 、N ；A 、B 分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为:A ．2()a m -B ．()a m -C ．2()b n -D ．2()a m +二．多选题12．已知点F 为椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 分别为1k ，2k ，椭圆的离心率为e ，若3PF QF =，23PFQ π∠=，则（）A ．e =B ．e =C ．12916k k =-D ．12916k k =13．已知曲线C 上的点(),P x y 满足方程110x x y y -+-=，则下列结论中正确的是（）A ．当[]1,2x ∈-时，曲线C 的长度为B ．当[]1,2x ∈-时，12y x -+的最大值为1，最小值为12-C ．曲线C 与x 轴、y 轴所围成的封闭图形的面积和为142π- D ．若平行于x 轴的直线与曲线C 交于A ，B ，C 三个不同的点，其横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是32,22⎛+ ⎝⎭14．已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点()C a ，()2D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的可能取值为（）A ．-3B ．-2C ．0D ．115．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值16．已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，圆222:5O x y a +=+，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且21tan 3PF F ∠=，则下列结论中正确的有（）A ．双曲线CB ．点1FC ．21PF F 的面积为D ．双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为2 三、双空题18．已知正四面体A BCD -O 中，在平面BCD 内有一动点P ，且满足AP =||BP 的最小值是___________；直线AP 与直线BC 所成角的取值范围为___________.19． Cassini 卵形线是由法国天文家Jean -DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点1S ，2S 的距离的乘积等于常数2b .b 是正常数，设1S ，2S 的距离为2a ，如果a b <，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a b =，就得到一个双纽线；如果a b >，就得到两个卵形线.若()11,0S -，()21,0S .动点P 满足121PS PS ⋅=.则动点P 的轨迹C 的方程为___________；若'A 和A 是轨迹C 与x 轴交点中距离最远的两点，则'APA △面积的最大值为___________.四、填空题22． 2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O ，探测器在()A 处以12km /s 的速度匀速直线飞向距月心2000km 的圆形轨道上的某一点P ，在点P 处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18km /s 的速度匀速直线飞至()0,3000B ，这一过程最少用时_______________s.23.点M 是ABC ∆内部或边界上的点，若M 到ABC ∆三个顶点距离之和最小，则称点M 是ABC ∆的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若()0,2A ，()1,0B -，()1,0C 时，点0M 是ABC ∆的费马点，且已知0M 在y 轴上，则000AM BM CM ++的大小等于______.28.已知点P （0，2），圆O ∶x 2 +y 2=16上两点11(,)M x y ，22(,)N x y 满足 (R)MP PN λλ→→=∈，则1122|3425||3425|x y x y +++++的最小值为___________.30.（2021·江苏·盐城市伍佑中学高二月考）已知圆22:1C x y +=，点(,2)M t ，若C 上存在两点,A B 满足2MA AB =，则实数t 的取值范围___________31．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∶APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．32．设正四面体ABCD 的棱长是1，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，P 是平面ABC 内的动点.当直线EF 、DP 所成的角恒为θ时，点P 的轨迹是抛物线，此时AP 的最小值是______.33已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，斜率大于0的直线l 经过点2F 与C 的右支交于A ，B 两点，若12AF F △与12BF F △的内切圆面积之比为9，则直线l 的斜率为______．34．已知ABP △的顶点A ，B 分别为双曲线22:1169x y C -=左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于__________．35．双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与Γ的左、右两支分别交于A ，B 两点，点M 在x 轴上，213AF BM =，2BF 平分1F BM ∠，则Γ的渐近线方程为______．36．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为 F ，离心率为e .若动点B 在双曲线C 的右支上且不与右顶点重合，满足BFAe BAF∠∠=恒成立，则双曲线C 的渐近线的方程为_________.37．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点作直线l ，使l 垂直于x 轴且交C 于M 、N 两点，双曲线C 虚轴的一个端点为A ，若AMN 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围___________．38．已知过抛物线2y x =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过坐标原点O 的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>交于M ，N 两点，点P 是双曲线上一点，且直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，若不等式()124(||||)||||k k AF BF AF BF +⋅≥+恒成立，则双曲线的离心率为________.答案及解析1．C 【分析】设(),0Q a ，(),M x y ，根据||||MQ MP λ=和221x y +=求出a 的值，由2||||||||+=+MP MB MQ MB ，两点之间直线最短，可得2||||MP MB +的最小值为BQ ，根据坐标求出BQ 即【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以=MQ 由1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以=PQ 因为||||MQ MP λ=且2λ=2=，整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又=2||MQ MP 所以2||||||||+=+MP MB MQ MB ，因为(1,1)B ，所以2||||MP MB +的最小值为=BQ .故选：C 【点睛】本题主要考查圆上动点问题，考查两点间直线最短. 2．D 【分析】根据题意画出图形，通过计算得出公共弦MN 也是以AQ 为直径的圆的直径，结合图形得出满足条件的四边形AMQN 能构成矩形的个数为无数个．【详解】解：如图所示，任取圆2C 上一点Q ，以AQ 为直径画圆，交圆1C 与,M N 两点，设(),Q m n ，则AQ 中点坐标31,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭，有2214m n +=，以AQ 为直径的圆的方程为()(3)()(1)0x m x y n y --+-+=，即22(3)(1)3x m x y n y n m -++--=-，用1C 的方程减去以AQ 为直径的圆的方程，可得公共弦MN 所在的直线方程，即(3)(1)123m x n y n m ++-=-+，将AQ 中点坐标31,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭代入上式得：左边=22316921(3)(1)222m n m m n n m n +-+++-+⎛⎫++-⋅= ⎪⎝⎭62243122m n m n -+==-+=右边，所以公共弦MN 也是以AQ 为直径的圆的直径，则MN AQ =，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得出四边形AMQN 是矩形，由Q 的任意性知，四边形AMQN 能构成无数个矩形，故选D ．【点睛】本题考查两圆的位置关系应用问题，是难题 3．C 【分析】建系如图，由两点间距离公式结合中点坐标公式可得点M 的轨迹方程，由此得1C 为部分椭圆；过点A 作与y 轴垂直的直线分别交OP 于点E ，交OQ 于点F ，得等边OEF ，由平面几何可得G 是等边OEF 的外心，由此可得点G 的轨迹2C 为y 轴在曲线1C 内的一段线段. 【详解】以O 为原点，以POQ ∠的角平分线为y 轴建立平面直角坐标系如图所示. 依题意得直线OQ的方程为y =，直线OP的方程为y =.设点(),B b，()C c ，由2BC =得()()2234b c b c -++=（*），设点(),M x y ，因为M 是BC的中点，所以)2b c x y b c +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即2b c x b c +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 将其代入（*）得2241243y x +=，即221313y x +=，故M 的轨迹1C 为椭圆在POQ ∠内部的部分.过点A 作与y 轴垂直的直线分别交OP 于点E ，交OQ 于点F ，则OEF 显然也是等边三角形.下面证明等边ABC 的重心G 即等边OEF 的外心.设OCB θ∠=，则120OBC ACF θ∠=-=∠，又60BOC CFA ∠=∠=，且BC AC =，所以OBC FCA ≅，因此OC AF =.在OGC 和FGA 中，30OCG FAG θ∠=+=∠，又GA GC =，所以OGC FGA ≅，则OG FG =，同理可证OG EG =，即点G 是等边OEF 的外心，所以，点G 在y 轴上移动，故点G 的轨迹2C 为y 轴在曲线1C 内的一段线段. 故选：C.【点睛】关键点点睛：建立适当的坐标系是解决本题的关键. 4．D 【分析】设点A (x 1，y 1)，B (-x 1，-y 1)，P (x 0，y 0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a 、b 关系，通过点到直线的距离求解c ，求出a ，b ，即可推出离心率，判断A ，B 的正误；设P 在双曲线的右支上，记 2,PF t = 则 14PF t =+，利用12PF PF ⊥，转化求解三角形的面积，判断C ；设P (x 0，y 0)，通过三角形的面积求解P 的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三角形的形状，判断D. 【详解】设点A (x 1，y 1)，B (-x 1，-y 1)，P (x 0，y 0)则2211221x y a b -=，且2200221x y a b -=，两式相减得2222101022x x y y a b --=，所以2220122201y y b x x a -=-，因为01010101()()1()()4PA PB y y y y k k x x x x -+⋅=⋅=-+，所以2214b a =，12b a = 故双曲线C 的渐近线方程1=2y x ±因为焦点(c ，0)到渐近线1=2y x 的距离为1，1=，c =2a =，1b =，故A ，B 错误．对于C ，不妨设P 在右支上, 记 2,PF t = 则 14PF t =+ 因为 12PF PF ⊥, 所以 22(4)20t t ++=解得2t = 或2t = (舍去）, 所以 12PF F △的面积为12112)2)22PF PF =⨯1=，故C 不正确；对于D ，设P (x 0，y 0)，因为1200122PF F S c y ∆=⋅==，所以02y =，将02y =带入C ：2214x y -=，得2020x =，即0x =由于对称性，不妨取P 得坐标为(2)，则23PF ==，17PF =因为222212121212cos 02PF F F PF PF F PF F F +-∠==<所以∶PF 2F 1为钝角，所以PF 1F 2为钝角三角形，故D 正确故选：D 5．A 【分析】根据条件求得23PF a =，∶1PF a =，在12Rt PF F △中，由勾股定理可得关于,a c 的等式，进而可求得离心率. 【详解】由双曲线定义知21212PF PF QF QF a -=-=，则122PF PF a =-，122QF QF a =-，所以11224a P PF QF PF Q QF ==-++， ∶2PQF 的周长为()22222412PF QF PQ PF QF a a ++=+-=， ∶228PF QF a +=，4PQ a =，由()22222222200PF PF QF PF PF QF PF PQ PF PQ =⋅⇒⋅-=⇒⋅=⇒⊥，所以290F PQ ∠=︒，故2222216PF a QF +=，∶222QF PF a -=， ∶23PF a =，25QF a =，∶1PF a =，在12Rt PF F △中，()()22232a a c +=，故c e a =. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由2222PF PF QF =⋅得到290F PQ ∠=︒. 6．C 【分析】先由题意，得到以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为by x a =，设()00,P x y ，则()00,Q x y --，求出点P ，Q 的坐标，得出AP ，AQ ，根据23PAQ π∠=，再利用余弦定理求出a ，c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【详解】由题意，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为by x a=．设()00,P x y ，则()00,Q x y --，由222b y xa x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，∶(),P a b ，(),Q a b --．又A 为双曲线的左顶点，则(),0A a -， ∶AP =AQ b =，2PQ c =，在PAQ △中，23PAQ π∠=，由余弦定理得22222cos 3PQ AP AQ AP AQ π+-=，即22224()c a a b b b =+++，即222442c a bb =+，则2b =()22244b a b =+，则2234b a =，即()22234c a a -=，所以2273c a =∶c e a ==．故选：C. 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：∶直接求出,a c ，从而求出e ；∶构造,a c 的齐次式，求出e ；∶采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；∶根据圆锥曲线的统一定义求解． 7．A 【分析】由1212()0F F F A F A +⋅=得121F F F A =，由此求得A 的坐标，将A 的坐标代入双曲线方程，化简求得ba，从而求得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意221212121112112()()()0F F F A F A F F F A F A F F F A F F +⋅=+⋅-=-=，所以1212F F F A c ==， 1247AF k =-，设直线1F A 的倾斜角为α，则α为钝角，sin 24tan cos 7ααα==-，结合22sin cos 1αα+=解得247sin ,cos 2525αα==-，设()00,A x y ，则()07392cos 22525x c c c c c α⎛⎫=⋅+-=⨯--=- ⎪⎝⎭，024482sin 22525y c c c α=⋅=⋅=，将A 点坐标代入双曲线方程得2222394825251c c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，而222c a b =+，所以()()222222152123046256251a b a b a b ++-=，化简得22221521*********b a a b ⋅--⋅=，42241521140823040b a b a ⋅--⋅=，()()22229161691440ba b a -+=，229160b a -=，434,3b b a a ==，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.故选：A 【点睛】本题主要解题的两个关键点，一个是根据向量的数量积为零判断出121F F F A =，另一个是将A 坐标代入双曲线方程后的运算. 8．A 【分析】根据清洁钢球能擦净凹槽的最底部的轴截面图，只需圆与双曲线的顶点相交，联立圆与双曲线方程，得到关于y 的一元二次方程，要满足方程的根不能大于1，即可求解. 【详解】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示，圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交，设半径为r ，圆心为(0,1)r +，圆方程为：222(1)x y r r +--=代入双曲线方程221y x -=，得2(1)0,1,y r y r y y r -++=∴==，要使清洁球到达底部，1r ≤. 故选:A【点睛】本题考查圆锥曲线方程的实际应用，关键要把实际问题抽象转化为数学问题，属于较难题. 9．A 【详解】由题得：设周长为l22BM BN a l AB BN AN AM AN m+=⇒=++-=22AB a BM AM m =+-+-22AB AM BM l a m +≥⇒≥-当且仅当M 、A 、B 共线时，周长的最小点睛：考察椭圆和双曲线的综合，根据题意要得周长得最小值，首先要将周长得表达式写出，根据椭圆和双曲线得性质得AB 、BN 、AM 、AN 的关系将其替换到周长中，然后根据三角形两边之和大于第三边得到答案 12．AC 【分析】设出右焦点F '，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理可求得,a c 的关系，则离心率可求；设出,P M 的坐标，根据对称性写出Q 的坐标，利用点差法可求得12k k 的表示，结合,a c 的关系可求解出12k k 的值. 【详解】设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFQF '为平行四边形，则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒，所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a =．由余弦定理可得()22222931122cos 60244222a c PF PF PF PF a a a ''=+-⋅=+-⨯⋅⋅°，所以22716c a =，所以椭圆的离心率e == 设()00,M x y ，()11,P x y ，则()11,Q x y --，01101y y k x x -=-，01201y y k x x +=+，所以220101011222010101y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-，又2200221x y a b +=，2211221x y a b +=，相减可得2220122201y y b x x a -=--．因为22716c a =，所以22916b a =，所以12916k k =-．故选：AC ．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线（不与焦点所在轴重合）与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形. 13．ACD 【分析】先作出方程110x x y y -+-=表示的曲线C ，然后对每个选项逐个判断即可. 【详解】对于方程110x x y y -+-=，∶ 当1x ≤，1y ≤时，方程变为220x x y y -+-=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，表示半圆弧EOF ；∶ 当1x >，1y <时，方程变为222211022x x y y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⇔-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1x y +=，表示射线FN ；∶ 当1x >，1y >时，方程变为22221110222x x y y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⇔-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，该圆不在1x >，1y >范围内，故舍去；∶当1x <，1y >时，方程变为222211022x x y y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⇔-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1x y +=，表示射线EM .综上可知，曲线C 由三段构成：射线EM ，半圆弧EOF 和射线FN .对于选项A ，当[]1,2x ∈-时，曲线C 由三段构成：线段EM ，半圆弧EOF 和线段FN . 其A 正确；对于选项B ，令12y k x -=+，其表示曲线C 上的动点(,)x y 与定点(2,1)P -连线的斜率，由图可知，max 211(1)(2)PM k k -===---，但是其最小值是过点(2,1)P -且与半圆弧EOF 相切的切线斜率，显然，min (1)112(2)2PN k k --<==---，故B 错误；对于选项C ，由图可知，曲线C 与x 轴、y 轴围成的封闭图形为两个相同的弓形，其面积和为211112142242ππ⎡⎤⎢⎥⨯⋅⋅-⋅⋅=-⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 正确；对于选项D ，设平行于x 轴的直线为y m =，要使y m =与曲线C 有三个交点，则12m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，不妨设y m =与半圆弧EOF 的交点为A ，B ，显然，A ，B 两点横坐标之和121x x =+，y m =与射线FN 的交点为C ，则点C 的横坐标3111,2x m ⎛=-∈ ⎝⎭，所以12332,2x x x ⎛++∈ ⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于：准确地作出方程110x x y y -+-=表示的曲线C . 14．AD 【分析】先求得M 点的轨迹方程，然后根据圆与圆的位置关系求得a 的取值范围，进而求得正确选项. 【详解】圆O 的圆心为()0,0M 为AB 的中点，2AB =，所以2OM =，设(),M x y 2=，所以点M 的轨迹方程为224x y +=. 即M 在圆心为()0,0，半径为12r =的圆上.()C a，()2D a +都在直线x =2CD =，设线段CD 的中点为N ，则()1N a +，以N 为圆心，半径为21r =的圆与圆224x y +=外离时，始终有CMD ∠为锐角，所以123ON r r =+=，即()211a +>，11a +>，所以11a +<-或11a +>，即2a <-或0a >. 所以AD 选项正确. 故选：AD 【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系. 15．ABD 【分析】首先画图找到平面1//A MN 平面1D AE ，根据面面平行的性质定理得到点F 的轨迹，接着依次判断选项即可. 【详解】如图，分别找线段1BB ,11B C 中点为M ,N ,连接11,,A M MN A N , 因为正方体1AC ，易得1//,MN ADMN ⊄面1D AE ，1AD ⊂面1D AE ，所以//MN 面1D AE ，11//A M D E ，1A M面1D AE ，1D E ⊂面1D AE ，所以1//A M 面1D AE ，又1MN A M M ⋂=所以平面1//A MN 平面1D AE ，因为1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，又1⊄A F 平面1D AE ，所以直线1A F 与平面1D AE 平行，所以1A F ⊂面1A MN ，又点F 是侧面11BCC B 内的动点，且面1A MN ⋂面11BCC B MN =，所以点F 的轨迹为线段MN ，故选项A 正确；由图可知，1A F 与BE 是异面直线，故选项B 正确；当点F 与点M 重合时，直线1A F 与直线1D E 平行，故选项C 错误；因为1//MN AD ，MN ⊄面1ABD ，1AD ⊂面1ABD ，所以//MN 面1ABD ，则点F 到平面1ABD 的距离是定值，又三角形1ABD 的面积是定值，所以三棱锥1F ABD -的体积为定值，故选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查立体几何中的动点轨迹问题，解决该类题目一般是通过线线，线面，面面之间的平行垂直关系，根据判定定理或者性质定理得到动点的轨迹，接着再求题目的相关问题，考查体积是定值的问题时，一般就是研究距离和面积是不是定值，关键在于选择合适的顶点和底面，在做题时要多总结. 16．ABD 【分析】由双曲线及圆的方程知圆O 的半径为c ，所以122F PF π∠=，又21tan 3PF F ∠=，根据双曲线的定义、勾股定理、双曲线中,,a b c 的关系得双曲线C 的方程为：2211053x y -=，从而可判断选项A 正确；求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式可判断选项B 、D 正确；由面积公式可判断选项C 错误. 【详解】解：∶双曲线222:105()x y C a a -=＞， ∶225c a =+，又圆222:5O x y a +=+， ∶圆O 的半径为c ，∶12||F F 为圆O 的直径，∶122F PF π∠=，故作图如下：对于A ，∶21tan 3PF F ∠=，∶1212tan 3PF PF F PF ∠==， ∶123||PF PF =，令20||()PF m m =>，则1||3PF m =，∶()22221231||0F F m m m =+=，∶12||2F F c =，又12||22m PF PF a -==，∶双曲线C的离心率22c e a ===A 正确；对于B ，由于()1,0F c -到渐近线y =的距离d ==B 正确；对于C，由离心率e ==得2103a =，21025533c =+=，∶122||F F c ===，∶2||m PF ==，1||3PF m = ∶21PF F的面积为152=，故C 错误；对于D ，由2103a =得双曲线C 的方程为：2211053x y -=，故其两条渐近线方程为y x =0=，设(),M p q 为双曲线C 上任意一点，则2211053q p -=，即223211010p q -=∶，(),M p q 到两条渐近线的距离1d ，2d =∶22123210255p q d d -====，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，根据双曲线及圆的方程知圆O 的半径为c ，所以得122F PF π∠=，又21tan 3PF F ∠=，由双曲线的定义、勾股定理、双曲线中,,a b c 的关系求出双曲线C 的方程.18． ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先由正四面体A BCD -的球O 中，求出四面体的棱长和高，由高和AP =P 的轨迹，从而确定||BP 的最小值.（2）建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标，求出直线AP 与直线BC 所成角的余弦值，求出余弦值取值范围，从而出所成角取值范围.【详解】设A 在面BCD 内的投影为E ，故E 为三角形BCD 的中心，设正四面体A BCD -的棱长为x ，球O 的半径为R .则23BE x =⨯=AE ，依题可得，球心O 在AE 上，()222R BE AE R =+-，代入数据可得6x =，则BE =AE =又AP =PE ==故P 的轨迹为平面BCD 内以E 为圆心，BE = ,,B P E三点共线时，且P 在BE 之间时，||BP 的最小值是以E 为圆心，BE 所在直线为x 轴建立如图所示直角坐标系，(A ，()B ，()C ，()3,0D -，设(),0P θθ，[)0,2θ∈π，故(2,AP θθ=-，()BC =-，设直线AP 与直线BC 所成角为α， ∶61π11cos sin ,2322AP BCBC AP αθ-⎛⎫⎡⋅⎤===-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∶11cos ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，故,32ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了立体几何中两条直线所成角的问题，解答的关键在于能利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系进行转化.同时对于立体几何中的角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解直线的方向向量，利用向量的夹角公式求解.19．22222()2()0x y x y +--=；【分析】设(,)P x y ，代入12||||1PS PS ⋅=，化简即可得到动点P 的轨迹C 的方程；进而求出A ，A '的坐标，然后将问题转化为求点P 的纵坐标的最大值，再利用面积公式求解即可．解：设(,)P x y ，12||||1PS PS ⋅=，2222[(1)][(1)]1x y x y ∴-+++=，即22222()2()0x y x y +--=，∴动点P 的轨迹C 的方程为：22222()2()0x y x y +--=；令0y =，可得4220x x -=，解得0x =或x =(A A '，由对称性，只考虑第一象限的部分，||AA '为定值，APA '∴面积最大时，即点P 的纵坐标最大，又422222(1)(2)0y x y x x +++-=，221y x ∴=--+令t 2214t x -=，因为x ∈，所以[1t ∈，3]，令22111()1(2)444t f t t t -=--+=--+， ∴当2t =时，()f t 取得最大值14，即214max y =， ∴12max y =，()1122APA max S '∴=⨯∴APA '故答案为：22222()2()0x y x y +--=；2．【点睛】关键点点睛：第二空解题的关键是利用第一空求出的动点P 的轨迹方程，求出点P 的纵坐标的平方的表达式，然后构造函数，利用二次函数的性质求出点P 的纵坐标的最大值，从而面积的最大值可求．22．80009【分析】设,PA a PB b ==，飞行过程所用时间12()123t a b =+，再令23PC b =，则问题转化为求两条线段PA PC +最小即可作答.设,PA a PB b ==，飞行过程所用时间12()1218123PA PB t a b =+=+，令23PC b =，即23PC PB =，设点C (0，m )在圆形轨道内，取点P 坐标(0，2000)，而()0,3000B ，由23PC PB =得22000(30002000)3m -=-，40003m = ，即4000(0,)3C ，设动点(,)M x y ，当23MC MB =时，化简整理得2222000x y +=，即满足23MC MB =的动点M 的轨迹就是给定的圆形轨道，所以距月心2000km 的圆形轨道上的任意点P 均有23PC PB =成立，如图，连PC ，于是有320003PA PC AC +≥=，当且仅当P 为线段AC 与圆形轨道交点时取“=”，即有111320008000()121812121239PA PB t PA PC AC =+=+≥⋅=⋅=，所以这一过程最少用时80009s. 故答案为：8000923．2【分析】先证明费马点结论：若P 到ABC ∆三个顶点距离之和最小，则120APBAPC BPC ，再根据角度求解三条线段长度即可得解.【详解】先证明：若P 到ABC ∆三个顶点距离之和最小，则120APB APC BPC如图将ABP ∆绕点B 逆时针旋转60°得到BDE ∆，则BDE ∆∶ABP ∆，,60BD BP PBD ，所以BDP ∆是等边三角形，BP DP =，PA PBPC ED DP PC ，当,,,E D P C 四点共线时取得最小值，此时120APB EDB ，同理可得120BPC APC 所以命题得证.点0M 是ABC ∆的费马点，且已知0M 在y 轴上，000120AM BAM C BM C ，0060AM O OM C ，所以000233,233BM CM OM ，所以000AM BM CM ++=2故答案为：2【点睛】此题考查求平面内点到三定点距离之和的最值问题，涉及平面几何的证明问题，根据三角形边角关系求解线段长度.28．43【分析】由111OC OA OB λλλ=+++，可得A ，B ，C 共线，再由向量的数量积的几何意义可得PC 为APB ∠的平分线，可得PAACPB BC λ==，可得P 的轨迹为圆，求得圆的直径与AB 的关系，即可得到所求最值．【详解】由111OC OA OB λλλ=+++，可得A ，B ，C 共线，当点P 不在直线AB 上时，由PA PC PB PC PA PB⋅⋅=，可得cos cos PC APC PC BPC ∠=∠，即有APC BPC ∠=∠，则PC 为APB ∠的平分线，根据正弦定理易得PAACPB BC λ==，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面坐标系，设()20AB a a =>，(),P x y ，(),0A a -，(),0B a则()()222222x a y PA PB x a y λ++⎛⎫== ⎪⎝⎭-+，整理得：()()222222221411a a x y λλλλ⎛⎫+ ⎪-+= ⎪--⎝⎭， ∶P 的轨迹是圆心为()221,01a λλ⎛⎫ ⎪ -⎝⎭+⎪，半径为221a λλ-的圆，因为点P 不在直线AB 上，所以不包括x 轴上的点．∶12241a PP λλ≤-，∶2421a ma λλ≤-，即22211m λλλλ≥=--恒成立，设()()221f λλλλ=≥-，则()f λ在[)2,∞上单调递减，∶()f λ的最大值为()423f =． ∶43m ≥．故m 的最小值为43．故答案为：43． 29．48【分析】将原式化为1122|3425||3425|555x y x y ++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而1122|3425||3425|,55x y x y ++++分别表示,M N 到直线:34250l x y ++=的距离，取MN 的中点T ，设T 在直线:34250l x y ++=的射影为1T ，则原式=110||TT ，根据圆的性质可以知道T 在以OP 为直径的圆C 上，其中()0,1C ，进一步即可得到答案.【详解】由题意，,,M P N 三点共线，设T 为MN 的中点，,,M T N 在直线:34250l x y ++=的射影分别为111,,M T N ，点O 到直线:34250l x y ++=的距离|304025|545d ⨯+⨯+==>， ∶:34250l x y ++=与圆22:16O x y +=相离，如图：而11221122|3425||3425||3425||3425|555x y x y x y x y ++++⎛⎫+++++=+ ⎪⎝⎭()1115||||10||MM MM TT =+=，易得OT MN ⊥，即OT PT ⊥，∶T 在以OP 为直径的圆C 上，其中()0,1C . ∶11|304125|24||||1155TT CT ⨯+⨯+≥-=-=，当1,,C T T 共线，且T 在1,C T 之间时取“=”. ∶1122|3425||3425|x y x y +++++的最小值为2410485⨯=. 故答案为：48.【点睛】本题突破口有两点，一是将原式转化为距离的问题，这需要我们对距离公式非常熟悉；二是取MN 的中点T ，这就需要对圆的性质要敏感，提到弦立马要想到弦心距，进而问题才能得解.30．⎡⎣【分析】令(,)A x y ，根据2MA AB =得332(,)22x t y B --，由,A B 在圆C 上代入坐标，整理可将问题转化为两个圆有公共点，则两圆的圆心距离在15[,]33内，进而求t 的范围. 【详解】由题意，可得如下示意图，令(,)A x y ，由2MA AB =知：332(,)22x t y B --，又,A B 在C 上，∶22221(3)(32)144x y x t y +=--+=⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22221{24339x y t x y +=⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即两圆有公共点， ∶两圆的圆心距离为d =，半径分别为1、23，故当1533d ≤≤时符合题意， ∶2021t ≤≤，即t∈[.故答案为：[.【点睛】关键点点睛：设(,)A x y ，利用向量共线的坐标表示求B 坐标，将点代入圆的方程将问题转化为两圆有公共点，求参数范围.31【分析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x 2+（y -2）2=1相外切．且∶APB 的大小恒为定值，即可求出线段OP 的长．【详解】设()2,0O a ，圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则tan ,tan a r a r OPA OPB t t-+∠=∠=， 2222222tan 1a r a r rt t t APB a r t a r t +--∴∠==-+-+， 241a r +=+22(1)4a r ∴=+-，2222tan 3232rt t APB t t r r∴∠==-+-+，∶∶APB 的大小恒为定值，∶t【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．32【分析】设点D在底面ABC的射影点为O，连接OA，以点O为坐标原点，CB、AO、OD分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y，由已知条件可得出关于x、y所满足的等式，利用二次函数的基本性质可求得AP的最小值.【详解】设点D在底面ABC的射影点为O，连接OA，则12sin3OAπ==OD==以点O为坐标原点，CB、AO、OD分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,A⎛⎫⎪⎪⎝⎭、12B⎛⎫⎪⎪⎝⎭、12C⎛⎫-⎪⎪⎝⎭、D⎛⎝⎭、0,E⎛⎝⎭、F⎛⎫⎪⎪⎝⎭，设点(),,0P x y，则EF⎛=⎝⎭，,,DP x y⎛=⎝⎭，cos2DP EFDP EFθ⋅==⋅，整理可得22221211cos 2339x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，方程22221211cos 2339x y y y θ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭表示的曲线为抛物线，所以211cos 23θ=，故22cos 3θ=，即有2121399x y +=+，可得2y x =，则AP ==，当且仅当0x =时，等号成立，故AP【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.33【分析】设12AF F △与12BF F △的内切圆圆心分别为G ，H ， 12AF F △的内切圆与三边分别切于点D ，E ，F ，利用内切圆的性质得12HG F F ⊥．设直线AB 的倾斜角为θ，在2Rt F FG △中，2πtan2θ-=FG FF ，在2Rt F FH 中，2tan 2θ=FH FF ，由题得3FG FH =得tan 2θ，再由二倍角公式可得答案．【详解】设12AF F △与12BF F △的内切圆圆心分别为G ，H ，连接HG ，2HF ，2GF ，12AF F △的内切圆与三边分别切于点D ，E ，F ，如图，则()12121212AF AF AD DF AE EF DF EF F F FF -=+-+=-=-，所以()2G G a c x c x =+--，即G x a =，同理H x a =，所以12HG F F ⊥，设直线AB 的倾斜角为θ，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，在2Rt F FG △中，()2ππtan tan 222FG FF c a θθ-⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，在2Rt F FH 中，()2tantan22FH FF c a θθ==-，由题得3FG FH =，所以()()πtan 3tan 222c a c a θθ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得tan2θ=22tan2tan 1tan 2==-θθθ34．45【分析】由题意得8PB PA -=,10AB =，再利用正弦定理进行求解即可. 【详解】解：由题意得8PB PA -=,10AB ==，∴sin si 45n sin A B P PB PA AB --==.故答案为：45.【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，结合了正弦定理的应用，属于中档题. 35．y =．【分析】设2AF m =，根据题意结合双曲线的定义可得4ma ，进一步判断2ABF 是等边三角形，在2F BM △中利用余弦定理可得22716m c =，即可得出,a c 关系，继而得出,a b 关系，求出渐近线方程. 【详解】根据题意，作出如下所示的图形，由题可知，122F F c =，由213AF BM =，∶12F AF ∶1F BM △，∶24F M c =，设2AF m =，则3=BM m ， ∶2BF 平分1F BM ∠，∶12122142F F BF c MF BM c === ， ∶132mBF =，11132m AF BF ==，123AB BF m ==，由双曲线的定义知，212AF AF a -=， ∶122m m a -=，即4ma ∶，122BF BF a -=， ∶2322BF m a m =-=，∶22BF AB AF m ===，即2ABF 是等边三角形， ∶2260F BM ABF ∠=∠=︒，。

[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练(含答案)

[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点O的对称点坐标是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)2. 已知直线l的斜率为1，且过点P(1,2)，则直线l的方程为（）A. x+y3=0B. xy+3=0C. x+y+3=0D. xy3=03. 圆C的方程为x^2+y^2=4，点D(3,0)在圆外，则直线CD的斜率为（）A. 1B. 1C. 3D. 34. 下列关于椭圆的方程中，离心率最小的是（）A. x^2/4 + y^2/9 = 1B. x^2/9 + y^2/4 = 1C. x^2/16 + y^2/25 = 1D. x^2/25 + y^2/16 = 15. 设双曲线x^2/a^2 y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y=kx，则k 的值为（）A. a/bB. b/aC. a/bD. b/a6. 在平面直角坐标系中，点A(1,2)到直线y=3x+1的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知抛物线y^2=8x的焦点坐标为（）A. (2,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,2)8. 若直线y=2x+3与圆(x1)^2+(y2)^2=16相交，则交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 在等轴双曲线x^2 y^2 = 1上，点P到原点的距离为2，则点P的坐标为（）A. (1,1)B. (1,1)C. (1,1)D. (1,1)10. 已知点A(2,3)和点B(2,1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (0,2)B. (0,4)C. (2,2)D. (2,4)二、判断题：1. 直线y=2x+1的斜率为2，截距为1。

（）2. 两个圆的半径分别为1和2，圆心距为3，则这两个圆相交。

（）3. 椭圆的离心率越大，其形状越接近圆。

（）4. 抛物线的焦点到准线的距离等于其焦距的一半。

解析几何高考选择题填空题汇编汇编

学习-----好资料222?y?x1?y?kx的位置关系一，直线与圆高考真题重庆理3】任意的实数k1.【2012 定是 D.相交且直线过圆心相交但直线不过圆心（1）相离 B.相切 C.x+(a+1)y+4=0l：“a＝1”是“直线l：ax+2y=0与直线则2.【2012高考真题浙江理3】设a∈R ，2 1的平行必要不充分条件A 充分不必要条件 B既不充分也不必要条件C 充分必要条件 D2204x?xC:?y?(3,0)P l则（过点）的直线，，3.【2012高考真题陕西理4】已知圆CCllCl C.A.以上三个选项均有可能与与相交 B. 相离与 D. 相切A.【答案】224?)?y(x?2)02,(的距离P2，易知圆心为【解析】圆的方程可化为，圆心到点半径为A. .故选.为1，所以点P在圆内所以直线与圆相交0xm?1)?(n?1)y?2?(m,n?R圆与】津理8设若，直线高5.【2012考真题天221)(x?1)??(y?1m+n的取值范围是相切，则)???3,?(??,1?3][1?[1?3,13]）（A ）（B),??2?22,2?22]?22[?22,2?2][(??）（D （C）D 【答案】),1(1足满距离心圆到直线的与半径为1.直线圆相切】【解析圆心为，所以，（|m?1)?(n?1)?2|m?n122z?m?n?z?1?0????mn1mn(z)1?，即，，，设即2422))1?m(??n(1更多精品文档．学习-----好资料,2?2z?2,2z?2?2或解得22C015??8xxy??xOy，中，圆在平面直角坐标系【5.2012高考江苏12】（5分）的方程为C2?y?kx有公共点，则若直线为半径的圆与圆上至少存在一点，使得以该点为圆心，1k▲．的最大值是220x?x?y?2CC0??mx?m)y(y有年高考江西卷理科6．(20119)若曲线：：与曲线21的取值范围是四个不同的交点，则实数m3333??) )∪(0 A．() B．(，，0，3333 3333?????[ c) ．，．，] D(，)∪(+3333更多精品文档．学习-----好资料xy)y(x,为与年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果都是整数，就称点7.(2011. （写出所有正确命题的编号）整点，下列命题中正确的是_____________ ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点bk bkx?y?②如果与不经过任何整点都是无理数，则直线ll经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点③直线bk by?kx?都是有理数经过无穷多个整点的充分必要条件是：与④直线⑤存在恰经过一个整点的直线更多精品文档．学习-----好资料2x2y?C3?x（包位于抛物线所组成的封闭区域15)8.(2011年高考重庆卷理科设圆与直线C含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为16?C3x?相切，的半径取到最大值，显然圆心应该在x解析：为使圆轴上且与直线。

解析几何专题练习(带答案)

解析几何专题练习一、选择题 1．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k)y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2 2．过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3.双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝A. 3 B ．2 C ．3 D ．6 4．“b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b x a x 相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．椭圆31222yx+=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M在y 轴上，那么点M 的纵坐标是A ．±43B ．±23C ．±22D ．±43二、填空题 6.经过圆0222=++yx x 的圆心C ，且与直线x+y=0垂直的直线方程是___ .7.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为___. 8．若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是______.9．已知圆C的参数方程为cos ,(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C的交点的直角坐标为 .10.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点=+不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y kx b③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点=+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数④直线y kx b⑤存在恰经过一个整点的直线三、解答题11．在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．12．求过两点A(1,4)、B(3,2)，且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程．并判断点M1(2,3)，M2(2,4)与圆的位置关系．13．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．14．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．15．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积．16．已知直线l 过点P （1，1），并与直线l 1：x －y+3=0和l 2：2x+y －6=0分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分，求：（1）直线l 的方程；（2）以O 为圆心且被l 截得的弦长为558的圆的方程．17．已知点A 的坐标为)4,4(-，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求：（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；… （2）直线l 关于点A 的对称直线l '的方程．18．已知圆221:(4)1Cx y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P到圆1C ,2C 上点的距离的最小值相等.】（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q 到点(22,0)A -的距离减去点Q 到点(22,0)B 的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.19．已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x3-2 42y32--422（1）求12C C 、的标准方程；（2）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．已知椭圆()22220y xC a b a b：+＝1＞＞的离心率为63，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，.（1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440xmx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．参考答案一、选择题 1—5 CBAAA 二、填空题 6．x-y+1=0 7. 318.13-9. (1,1),(1,1)- 10. ①，③，⑤三、解答题11.解：(1)设点C(x ，y)，由题意得5＋x 2＝0，3＋y2＝0，得x ＝－5，y ＝－3.故所求点C 的坐标是(－5，－3)．(2)点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，点N 的坐标是(1,0)，直线MN 的方程是y －0－52－0＝x －10－1，即5x －2y －5＝0.12. 解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可．因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上．由k AB ＝4－21－3＝－1，AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平分线的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.又圆心在直线y ＝0上，因此圆心坐标是方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0y ＝0的解，即圆心坐标为(－1,0)．半径r ＝－1－12＋0－42＝20，所以得所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.因为M 1到圆心C(－1,0)的距离为2＋12＋3－02＝18，|M 1C|<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C|＝2＋12＋4－02＝25>20，所以M 2在圆C 外．13. 解：(1)将圆的方程整理为(x 2＋y 2－20)＋a(－4x ＋2y ＋20)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以该圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a)2＋(y ＋a)2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2，所以圆心为(2a ，a)，半径为5|a －2|.若两圆外切，则2a －02＋a －02＝2＋5|a －2|，即5|a|＝2＋5|a －2|，由此解得a ＝1＋55.若两圆内切，则2a 2＋a 2＝|2－5|a －2||，即5|a|＝|2－5|a －2||，由此解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)．综上所述，两圆相切时，a ＝1－55或a ＝1＋55.14. 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p 2，于是，4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x.(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴k FA ＝43.又MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34，则FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组),1(34),432(-=-=-x y x y 得.54),58(==y x ∴N )54,58(. 15. 解：(1)由e ＝2⇒ca＝2⇒c 2＝2a 2⇒a 2＝b 2.设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，将点(4，－10)代入得：λ＝6，故所求双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)∵c 2＝12，∴焦点坐标为(±23，0) 将M(3，m)代入x 2－y 2＝6得：m 2＝3.当m ＝3时，MF 1→＝(－23－3，－3)， MF2→＝(23－3，－3)∴MF1→·MF 2→＝(－3)2－(23)2＋(－3)2＝0， ∴MF 1⊥MF 2，当m ＝－3时，同理可证MF 1⊥MF 2.(3)S △F 1MF 2＝12·|2c|·|m|＝12·43·3＝6.16. 解：（1）依题意可设A )n ,m (、)n 2,m 2(B --，则 ⎩⎨⎧=--+-=+-06)n 2()m 2(203n m ， ⎩⎨⎧=+-=-023n m n m ，解得1m -=，2n =．即)2,1(A -，又l 过点P )1,1(，易得AB 方程为03y 2x =-+．（2）设圆的半径为R ，则222)554(d R +=，其中d 为弦心距，53d=，可得5R 2=，故所求圆的方程为5yx22=+．17．解：（1）设点A ′的坐标为（x ′，y ′）。

(完整版)解析几何题库

解析几何题库一、选择题1.已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为 A.22(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B 2.直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而012<<，选B 。

【答案】B 3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A ．22(2)1xy +-=B ．22(2)1xy ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1xy +-=解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。

解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1x y +-=解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。

【答案】A4.点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是（）A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++=C.22(4)(2)4x y ++-=D.22(2)(1)1x y ++-=【解析】设圆上任一点为Q （s ，t ），PQ 的中点为A （x ，y ），解得：⎩⎨⎧+=-=2242y t x s ，代入圆方程，得（2x －4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：22(2)(1)1x y -++=【答案】A 5.已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l kx k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或2【解析】当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3k －3，解得：k ＝5，故选C 。

2022高考数学真题分类汇编11解析几何

B为上顶点，所以 .
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
2.（2022·全国甲（理）T10）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
8.（2022·北京卷T3）若直线是圆的一条对称轴，则（）
【解析】
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
【答案】
【解析】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．

解析几何专项训练试题答案

解析几何专项训练试题答案一、选择题1. 若点A(2,3)关于直线x=3的对称点为A'，则A'的坐标为：A. (4,3)B. (2,3)C. (1,3)D. (5,3)答案：D解析：点A(2,3)关于直线x=3的对称点A'的横坐标为3-(2-3)=4，纵坐标不变，因此A'的坐标为(4,3)。

2. 已知圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，则其圆心坐标为：A. (a, b)B. (a, r)C. (b, r)D. (r, a)答案：A解析：根据圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，可知圆心坐标为(a, b)。

3. 直线2x-3y=6的斜率为：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B解析：直线方程2x-3y=6可以转化为y=(2/3)x-2，其斜率为2/3，因此答案为-2/3。

4. 已知三角形ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(4,6)，C(7,2)，求三角形ABC的面积。

A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C解析：首先计算线段AB和AC的斜率，分别为1和-1，说明AB和AC 垂直。

然后计算AB的长度为3，由于AC与AB垂直，所以三角形ABC 为直角三角形，其面积为1/2 * AB长度 * BC长度 = 1/2 * 3 * 5 = 7.5。

选项中没有7.5，但最接近的是8，因此选择C。

5. 已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则其焦点坐标为：A. (a, 0)B. (0, b)C. (a, b)D. (0, 0)答案：D解析：椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点位于y轴上，且焦距为2c，因此焦点坐标为(0, c)或(0, -c)。

由于题目未给出具体数值，无法确定c的值，但焦点坐标的形式为(0, c)，因此答案为D。

专题17 解析几何多选、填空(理科)(解析版

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—解析几何多选、填空目录题型一：直线的方程 ............................................................................. 1 题型二：圆的方程 ................................................................................ 4 题型三：直线与圆的综合 ..................................................................... 8 题型四：椭圆 ...................................................................................... 13 题型五：双曲线 .................................................................................. 23 题型六：抛物线 .................................................................................. 34 题型七：圆锥曲线的综合应用 (43)题型一：直线的方程1．(2020北京高考·第15题)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a−−−的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】()()f b f a b a−−−表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③2．(2014高考数学四川理科·第14题)设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m −−+=交于点()P x,y ，则||||PA PB ⋅的最大值是．【答案】5解析：(0,0)A ，(1,3)B ，因为PA PB ⊥，所以222||||||10PA PB AB +==故22||||||||52PA PB PA PB +⋅≤=(当且仅当||||PA PB ==时取“=”)3．(2017年高考数学上海(文理科)·第16题)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点、、、以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处,设集合,点,过作直线,使得不在上的“ ”的点分布在的两侧．用和分别表示一侧和另一侧的“ ”的点到的距离之和．若过的直线中有且只有一条满足,则中所有这样的为________．【答案】、．【解析】设记为“”的四个点为,线段的中点分别为,易知为平行四边形,且记点到直线的距离为,,,,根据题意,四个点不在的同侧,那么就有两种可能:(1)若的两侧分别有两个点,如图2,点和分别在的两侧,若,则有,即和所在的线段平行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线必过的中点．1P 2P 3P 4P 1234{,,,}P P P P Ω=P ∈ΩP P l P l P l 1()P D l 2()P D l P l P l P P l 12()()P P D l D l =ΩP 1P 3P ,,,A B C D ,,,AB BC CD DA ,,,E F G H EFGH ,,,A B C D P l ()h A ()h B ()h C ()h D P l P l ,A B ,C D P l ()()()()h A h B h C h D +=+()()h E h G =()h E ()h G P l EG若点和分别在直线的两侧,同理可知直线必过的中点．于是,直线必过平行四边形的对角线的交点．(2)若的一侧有三个点,另一侧有一个点,如图3,点和分别在的两侧,若,即,由平面几何知识有,,且,则有,即和所在的线段平行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线必过的中点．若点和分别在直线的两侧,同理可知直线必过的中点．于是,直线必过平行四边形的对角线的交点．综上,满足已知条件的直线肯定要经过和的交点．4．(2016高考数学上海理科·第10题)设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by += +=无解，则b a +的取值范围是____________．【答案】()2+∞，解析：将方程组中上面的式子化简得1y ax =−，代入下面的式子整理得(1)1ab x b −=−，方程组无解应该满足10ab −=且10b −≠，所以1ab =且1b ≠，所以由基本不等式得2a b +>=，即b a +的取值范围是2+∞（，）． 5．(2016高考数学上海理科·第3题)已知平行直线012:,012:21=++=−+y x l y x l ，则1l 与2l 的距离是_______________．解析：利用两平行线间距离公式得d 考点：两平行线间距离公式．【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力．,A C ,B D P l P l FH P l EFGH M P l ,,B A D C P l ()()()()h A h B h D h C ++=()()()()h A h D h C h B +=−()()2()h A h D h H +=()()2()h C h B h F −=()()h H h F =()h H ()h F P l FH ,,A D C B P l P l EG P l EFGH M EGFH题型二：圆的方程一、多选题1．(2021年新高考Ⅰ卷·第11题)已知点P 在圆()()225516x y −+−=上，点()4,0A 、()0,2B ，则( )A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD解析:圆()()225516x y −+−=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +−=，圆心M 到直线AB 4>，所以，点P 到直线AB 42−<410+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM =，4MP =，CD 选项正确,故选ACD ．二、填空题1．(2022新高考全国I 卷·第14题)写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y −+−=都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544y x =−+或7252424y x =−或1x =−解析：圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y −+−=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =−，设方程为3(0)4y x t t =−+> O 到l的距离1d，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =−+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，14 = ，解得7242524k p =− = ，7252424y x =− 当切线为n 时，易知切线方程为1x =−，故答案为：3544y x =−+或7252424y x =−或1x =−．2．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第14题)过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)−中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y −+−=或()()22215x y −+−=或224765339x y −+−=或()2281691525x y −+−=；解析：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1−，则01640110F D F D E F = ++=+−++= ，解得046F D E ==− =−，所以圆的方程为22460x y x y +−−=，即()()222313x y −+−=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F = ++=++++= ，解得042F D E ==− =−，所以圆的方程为22420x y x y +−−=，即()()22215x y −+−=；若过()0,0，()4,2，()1,1−，则0110164420F D E F D E F = +−++= ++++= ，解得083143F D E==− =−，所以圆的方程为22814033x y x y +−−=，即224765339x y −+−=；若过()1,1−，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +−++= ++=++++= ，解得1651652F D E=−=− =− ，所以圆的方程为2216162055x y x y +−−−=，即()2281691525x y −+−=；故答案为：()()222313x y −+−=或()()22215x y −+−=或224765339x y −+−=或()2281691525x y −+−=； 3．(2020江苏高考·第14题)在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆221:()362C x y +−=上的两个动点，满足PA PB =，则PAB ∆面积的最大值是__________．【答案】【解析】PA PB PC AB =∴⊥Q设圆心C 到直线AB 距离为d，则||1AB PC所以11)2PAB S d ≤⋅+=V令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d ′=−+≤<∴=+−−+=∴=(负值舍去)当04d ≤<时，0y ′>；当46d ≤<时，0y ′≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PAB S取最大值为，故答案为：4．若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)y x x =≥相切，则这个圆的方程为．【答案】22(1)(1x y −+=解：若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)y x x ≥相切，则圆心在直线y =3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，这个圆的方程为22(1)(1x y −+=。

解析几何选择填空专项练习

解析几何选择填空专项练习一、选择题1. 设c ,b ,a 分别是ABC ∆中C ,B ,A ∠∠∠所对边的边长，则直线0=++⋅c ay x A sin 与0=+⋅-C sin y B sin bx 的位置关系是（）.A 平行.B 重合 .C 垂直.D 相交但不垂直2. 若方程m x x +=-24 只有一解，则实数m 的取值范围是（）（A ） [)2,2- （B ） []22,2- （C ） [)2,2-∪{}22 （D ） []22,2] 3. 若直线2ax －b y +2=0 （a >0, b>0）被圆x 2+y 2+2x －4y +1=0截得的弦长为4，则ba 11+的最小值A ．21 B ．41 C ．2 D ．44. 圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3=0上到直线y ＋x ＋1=0的距离等于 2 的点共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5. 过点P （－2，3）且与原点的距离为2的直线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6. （08山东卷11）已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）（A ）106 （B ）206 （C ）306 （D ）406 7. 如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,08.到两定点（2，1），（－2，－2）的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( ) A ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．直线Ｄ．线段9. 方程2212sin 3sin 2x y θθ+=+-所表示的曲线是（） A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在 y 轴上的双曲线10. 双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ，双曲线12222=-ax b y 的离心率为2e ，则1e +2e 的最小值为（）A ．24B ．2C ．22D ．411. P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（） A.6B.7C.8D.912. 已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是（）ＡＢＣＤ13. 若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（）A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--） 14. 动点P 到直线x+4=0的距离减去它到点M （2，0）的距离之差是2，则点P 的轨迹是（） A ：直线 B ：椭圆 C ：双曲线 D ：抛物线15. 21,F F 是椭圆的两个焦点，Q 是椭圆上的任意一点，从任意焦点做21QF F ∠外角平分线的垂线，垂足为P ，则P 的轨迹为（）A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线16. 双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5，0)的距离为15，则P 到点(－5，0)的距离是( ) A.7 B.23 C.25或7 D.7或23二、填空题1. 已知两直线：1170a x b y ++=,2270a x b y ++=,都经过点（3，5），则经过点（a 1,b 1),(a 2,b 2)的直线方程是．2. 集合=A {}024),(=-+-k y kx y x 与集合=B {}241),(x y y x -+=有两个公共元素,则实数k 的取值范围是_____________.3. 圆2)2()1(:22=-+-y x C ，点)1,2(-P ，过点P 作圆C 的切线，切点为A 、B . （1）直线AB 的方程为（2）),1,1(Q 点F E ,是圆C 上两动点,且︒=∠90EQF ,则EF 中点轨迹方程为 . 4. 经过点)38,10(M ，渐近线方程为x y 31±=的双曲线的方程为． 5. 椭圆192522=+y x 的一个焦点为F 1,M 椭圆上一点，且|MF 1|=2，N 是线段MF 1 的中点，则|ON|的长为。

新高考卷解析几何热门考题汇编(学生版)

新高考卷解析几何热门考题汇编选填部分一、基本原理1.圆中与距离最值有关的常见的结论结论1. 圆外一点A 到圆上距离最近为AO -r ，最远为AO +r ；结论2. 过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦；结论3. 直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d +r ,最近为d -r ；从圆外任一点P (x 0,y 0)向圆引两条切线，圆心C ，两切点A ,B ，我们把线段PA ，PB 的长度叫做切线长，设圆的半径为r ，则有：结论4.切线长的计算：PA =PB =PC 2−r 2,当半径给定，切线长最小等价于PC 最小.结论5. 过圆外一点P 向圆O 引两条切线，切点记为A ,B ，则四边形ABPO 面积的最值等价于圆心到点P 的距离最值.结论6. 圆上两点与圆外一点的连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这两条直线为切线时最大.结论7. 圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这条直线为切线时最大.结论8. 圆上一点、圆外两点连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这条直线为切线时最大.2.椭圆三定义1.椭圆的第二定义：a 2−cx =a (x −c )2+y 2⇒(x −c )2+y 2a 2c−x=ca①. ①式表明椭圆上的点P 到右焦点F 2的距离与到直线x =a 2c 的距离之比是离心率e .2.角度形式焦半径：上加下减.QF 2 =b 2a -c ⋅cos θ,PF 2 =b 2a +c ⋅cos θ，AB =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ3.第三定义假设A ,B 是椭圆上任意两点且关于坐标原点中心对称，那么椭圆上任意点P (不与A ,B 重合)到A ,B 点的斜率之积为一个定值.证明：设A ,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(−x 0,−y 0)，P (x ,y )，则由于三点均在椭圆上，故满足：x 20a 2+y 20b 2=1，x 2a 2+y 2b 2=1，即x 20a 2+y 20b 2=x 2a 2+y 2b 2⇒y −y 0x −x 0⋅y +y 0x +x 0=−b 2a2.3．椭圆焦点三角形焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：ΔPF 1F 2中，(1). |PF 1|+|PF 2|=2a ,|F 1F 2|=2c .(2). 焦点三角形的周长为L =2a +2c .(3).|PF 1||PF 2|=2b 21+cos ∠F 1PF 2.(4). 焦点三角形的面积为：S =12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=b 2tan ∠F 1PF 22.①设F 1、F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，则当P 为短轴端点时，∠F 1PF 2最大.②．S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；(5). 假设焦点ΔPF 1F 2的内切圆半径为r ，则S =(a +c )r .(6).焦半径公式:设P (x 0,y 0)是椭圆上一点，那么|PF 1|=a +ex 0，|PF 2|=a −ex 0，进一步，有PF 1 •PF 2 =a 2-ex 2∈b 2,a 2推导：根据两点间距离公式:|PF 1|=(x 0+c )2+y 2，由于x 20a 2+y 20b2=1,(a >b >0)代入两点间距离公式可得|PF 1|=(x 0+c )2+b 21−x 20a2，整理化简即可得|PF 1|=a +ex 0. 同理可证得|PF 1|=a −ex 0.(7).设P (x 0,y 0)是椭圆上一点，那么PF 1 ⋅PF 2 =b 2−c 2+e 2x 20，由于x 0∈[0,a 2],故我们有PF 1 •PF 2 =b 2-c 2+e 2x 2∈b 2-c 2,b 2(8)若约定椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为左、右焦点；顶点P (x 0,y 0)在第一象限；∠PF 2F 1=α,∠PF 1F 2=β(α>β),∠F 1PF 2=γ，则对于椭圆，离心率e =2c 2a =ca =sin γsin α+sin β=sin (α+β)sin α+sin β4．双曲线焦点三角形1.如图，F 1、F 2是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记∠F 1PF 2=θ，则△PF 1F 2的面积S =b 2tan θ2.OF 1F 2Pxy ．2.离心率e =2c 2a =ca =sin γsin α−sin β=sin (α+β)sin α−sin β.3.焦半径公式：如图，对于双曲线，PF 1 =ex 0+a ,PF 2 =ex 0−a ，对双曲线，其焦半径的范围为c −m ,+∞ .4.双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠).5.已知具有公共焦点F 1,F 2的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=2θ，则有sin θe 12+cos θe 22=1.6.如图，过焦点F 2的弦AB 的长为t ，则ΔABF 1的周长为4m +2t .5．双曲线的渐近线1.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1中，右焦点为F 2，作F 2P 垂直于渐近线y =b a x ，垂足为P ，则点P 在双曲线的右准线上，且P 的坐标为a 2c ,abc，且OP =a ,F 2P =b ,F 2O =c .2.过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 且与渐近线y =ba x 垂直的直线分别交C 的两条渐近线于P 、Q 两点，则OF =c ,FQ =b ,OQ =a .(1)当1<e <2时，设∠FOQ =α，则tan α=ba，tan2α=2tan α1−tan 2α=2⋅b a 1−b a2=2aba 2−b 2，PQ =a ⋅tan2α=2a 2b a 2−b 2，PF =PQ −FQ =2a 2b a 2−b 2−b =bc 2a 2−b2，OP =a 2+2a 2b a 2−b 22=ac 2a 2−b 2.进一步，若QF =λFP(0<λ<1)，则e 2=2λ+1(2)当e >2时，设M 是直线PQ 与y 轴的交点，∠MOQ =β，则tan β=a b，tan2β=2βtan 1-2βtan =2⋅a b 1-a b 2=2ab b 2-a 2，PQ =a ⋅tan2β=2a 2bb 2−a 2，OP =a 2+2a 2b b 2−a 22=ac 2b 2−a2，MQ =a tan β=a 2b ，PM=PQ -MQ =2a 2b b 2−a 2-a 2b =a 2c 2b b 2−a 2OM =a 2b 2+a 2=ac b ，MF =ac b 2+c 2=c 2b.进一步：若FP =λFQ λ>0,λ≠1 ，则e 2=2λλ−16.抛物线焦半径假设抛物线方程为y 2=2px .过抛物线焦点的直线l 与抛物线交于A ,B 两点，其坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).性质1.|AF |=x A +p 2，|BF |=x B +p2,|AB |=x A +x B +p .性质2.抛物线y 2=2px 的焦点为F ，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：x 1x 2=p 24,y 1y 2=−p 2.一般地，如果直线l 恒过定点M (m ,0)与抛物线y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点，那么x A x B =m 2,y A y B =−2pm .于是，若OA ⊥OB ⇒AB 恒过定点(2p ,0).性质3.已知倾斜角为θ直线的l经过抛物线y2=2px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，则(1)|AF|=p1−cosθ,|BF|=P1+cosθ，1|FA|+1|FB|=2p.(2)|AB|=2psin2θ，SΔOAB=p22sinθ，|AB|=2p1+1k2.性质4.抛物线的通径(1).通径长为2p.(2).焦点弦中，通径最短.(3).通径越长，抛物线开口越大.性质5.已知直线l经过抛物线y2=2px的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，若弦AB中点的坐标为(x0,y0)，则|AB|=2x0+p 2.性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.7.抛物线中的阿基米德三角形如图，假设抛物线方程为x2=2py(p>0)，过抛物线准线y=−p2上一点P(x0,y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A,B，其坐标为(x1,y1),(x2,y2). 则以点P和两切点A,B围成的三角形PAB中，有如下的常见结论:结论1.直线AB过抛物线的焦点F.结论2.直线AB的方程为x0x=2p y0+y2=p(y0+y).结论3.过F的直线与抛物线交于A,B两点，以A,B分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点P (x0,y0)的轨迹即为抛物线的准线.结论4.PF⊥AB.结论5.AP⊥PB.结论6.直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴.二．试题汇编1.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知⊙O 1:(x -2)2+(y -3)2=4，⊙O 1关于直线ax +2y +1=0对称的圆记为⊙O 2，点E ，F 分别为⊙O 1，⊙O 2上的动点，EF 长度的最小值为4，则a =( )A.-32或56B.-56或32C.-32或-56D.56或322.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)圆O 为锐角△ABC 的外接圆，AC =2AB =2，点P 在圆O 上，则BP ⋅AO的取值范围为( )A.-12,4B.0,2C.-12,2D.0,43.(广东省2023届高考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，点B 的坐标为0,b ，若C 上的任意一点P 都满足PB ≥b ，则C 的离心率取值范围是( )A.1,5+12B.5+12,+∞ C.1,2D.2,+∞4.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))已知双曲线C 的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长.若直线4x +3y -20=0与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为( )A.54B.43C.53D.745.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 任x 铀上，过点2,0 的且线交C 于P ,Q 两点，且OP ⊥OQ ，线段PQ 的中点为M ，则直线MF 的斜率的取大值为( )A.66B.12C.22D.16.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB=3F 2A ，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为( )A.7B.5C.3D.27.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)设A ，B 是半径为3的球体O 表面上两定点，且∠AOB =60°，球体O 表面上动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为( )A.121111π B.4155π C.6147π D.121313π8.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为( )A.54B.85C.52D.21059.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的两条弦AB ，CD 相交于点P (点P 在第一象限)，且AB ⊥x 轴，CD ⊥y 轴.若PA :PB :PC :PD =1:3:1:5，则椭圆E 的离心率为( )A.55B.105C.255D.210510.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0的右焦点为F c ,0 ，点P ，Q 在直线x =a 2c 上，FP ⊥FQ ，O 为坐标原点，若OP ⋅OQ =2OF 2，则该椭圆的离心率为( )A.23B.63C.22D.3211.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)如图，F 1，F 2为双曲线的左右焦点，过F 2的直线交双曲线于B ，D 两点，OD =3，E 为线段的DF 1中点，若对于线段DF 1上的任意点P ，都有PF 1 ⋅PB ≥EF 1 ⋅EB成立，且△BF 1F 2内切圆的圆心在直线x =2上.则双曲线的离心率是()A.43B.3C.2D.3212.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =3x 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 的离心率为( )A.3+12B.3C.3+1D.5+113.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差是1.5m ，暴雨后的水面宽为2m ，暴雨来临之前的水面宽为4m ，暴雨后的水面离桥拱顶的距离为( )A.0.5mB.1mC.1.5mD.2m多选14.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知曲线C :x 24+y 22m 2-4=1( )A.若m >2，则C 是椭圆B.若-2<m <2，则C 是双曲线C.当C 是椭圆时，若m 越大，则C 越接近于圆D.当C 是双曲线时，若m 越小，则C 的张口越大15.(广东省2023届高考一模)已知拋物线E :y 2=8x 的焦点为F ，点F 与点C 关于原点对称，过点C 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点(点A 和点C 在点B 的两侧)，则下列命题正确的是( )A.若BF 为△ACF 的中线，则AF =2BF B.若BF 为∠AFC 的角平分线，则AF =6C.存在直线l ，使得AC =2AFD.对于任意直线l ，都有AF +BF >2CF16.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))设单位圆O 与x 轴的左、右交点分别为A 、B ，直线l ：x cos θ-y sin θ+1=0(其中0<θ<π)分别与直线x +1=0、x -1=0交于C 、D 两点，则( )A.θ=2π3时，l 的倾斜角为π6B.∀θ∈0,π ，点A 、B 到l 的距离之和为定值C.∃θ∈0,π ，使l 与圆O 无公共点D.∀θ∈0,π ，恒有OC ⊥OD17.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0)，N (2,0)，动点P 满足|PM |⋅|PN |=5，则下列结论正确的是( )A.点P 的横坐标的取值范围是-5,5 B.OP 的取值范围是1,3C.△PMN 面积的最大值为52D.PM +PN 的取值范围是25,518.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)已知抛物线C ：y 2=2x 的准线为l ，直线x =my +n 与C 相交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，则( )A.当n =12时，以AB 为直径的圆与l 相交B.当n =2时，以AB 为直径的圆经过原点OC.当AB =4时，点M 到l 的距离的最小值为2D.当AB =1时，点M 到l 的距离无最小值19.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)已知直线l :y =k x +2 交y 轴于点P ，圆M :x -2 2+y 2=1，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则( )A.若直线l 与圆M 相切，则k =±1515B.当k =2时，四边形PAMB 的面积为219C.直线AB 经过一定点D.已知点Q 74,0，则CQ 为定值20.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)若椭圆x 2m 2+2+y 2m 2=1(m >0)的某两个顶点间的距离为4，则m 的可能取值有( )A.5B.7C.2D.221.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)已知点A -1,0 ，B 1,0 ，点P 为圆C ：x 2+y 2-6x -8y +17=0上的动点，则( )A.△PAB 面积的最小值为8-42 B.AP 的最小值为22C.∠PAB 的最大值为5π12D.AB ⋅AP的最大值为8+4222.(山东省济南市2023届高三下学期3月一模)在平面直角坐标系xOy 中，由直线x =-4上任一点P 向椭圆x 24+y 23=1作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则( )A.∠APB 恒为锐角B.当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C.|AP |的最小值为4D.存在点P ，使得(PA +PO )⋅OA=023.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)已知A 、B 是平面直角坐标系xOy 中的两点，若OA =λOB λ∈R ，OA ⋅OB =r 2r >0 ，则称B 是A 关于圆x 2+y 2=r 2的对称点．下面说法正确的是( )A.点1,1 关于圆x 2+y 2=4的对称点是-2,-2B.圆x 2+y 2=4上的任意一点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点就是A 自身C.圆x 2+y -b 2=b 2b >0 上不同于原点O 的点M 关于圆x 2+y 2=1的对称点N 的轨迹方程是y =12bD.若定点E 不在圆C :x 2+y 2=4上，其关于圆C 的对称点为D ，A 为圆C 上任意一点，则AD AE为定值24.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知圆的方程为(x -m )2+(y -m )2=m 2，对任意的m >0，该圆( )A.圆心在一条直线上 B.与坐标轴相切C.与直线y =-x 不相交D.不过点1,1填空25.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知曲线f x =x 3-3x 2+6x +2在点P 处的切线与在点Q 处的切线平行，若点P 的纵坐标为1，则点Q 的纵坐标为__________．26.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))已知椭圆C ：x 212+y 26=1，直线l 与C在第二象限交于A ，B 两点(A 在B 的左下方)，与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，且|MA |：|AB |：|BN |=1：2：3，则l 的方程为__________．27.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)写出与直线x =1, y =1,和圆x 2+y 2=1都相切的一个圆的方程________．28.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)不与x 轴重合的直线l 过点N (x N ,0)(xN ≠0)，双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)上存在两点A 、B 关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为x M ．若x N =4x M ，则C 的离心率为____________．29.(广东省2023届高考一模)已知动圆N 经过点A -6,0 及原点O ,点P 是圆N 与圆M :x 2+(y -4)2=4的一个公共点,则当∠OPA 最小时,圆N 的半径为___________.30.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，M 是C 上的一点，点N 在l 上，若FM ⊥FN ，且MF =10，则NF =______.31.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________．32.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)设a >0，A 2a ,0 ，B 0,2 ，O 为坐标原点，则以OA 为弦，且与AB 相切于点A 的圆的标准方程为____；若该圆与以OB 为直径的圆相交于第一象限内的点P (该点称为直角△OAB 的Brocard 点)，则点P 横坐标x 的最大值为______．33.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)已知M 1,2 为抛物线C :y 2=2px p >0 上一点，过点T 0,1 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线MA 与MB 的倾斜角互补，则TA ⋅TB =__________．34.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)若两条直线l 1:y =3x +m ,l 2:y =3x +n 与圆x 2+y 2+3x +y +k =0的四个交点能构成矩形，则m +n =____________.35.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)设F 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，A ，B 分别为双曲线E 的左右顶点，点P 为双曲线E 上异于A ，B 的动点，直线l ：x =t 使得过F 作直线AP 的垂线交直线l 于点Q 时总有B ，P ，Q 三点共线，则t a的最大值为____________.36.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)已知点P 在抛物线C :y 2=2px p >0 上，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，点F 为C 的焦点．若∠HPF =60°，点P 的横坐标为1，则p =_______.37.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)过点-1,0 作曲线y =x 3-x 的切线，写出一条切线的方程_______．38.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点Р是其准线上一点，过点P 作PF 的垂线，交y 轴于点A ，线段AF 交抛物线于点B .若PB 平行于x 轴，则AF 的长度为____________.39.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)直线x =t 与曲线C 1：y =-e x +ax a ∈R 及曲线C 2：y =e -x +ax 分别交于点A ，B .曲线C 1在A 处的切线为l 1，曲线C 2在B 处的切线为l 2.若l 1，l 2相交于点C ，则△ABC 面积的最小值为____________.40.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))已知圆C :x 2-2x +y 2-3=0，过点T 2,0 的直线l 交圆C 于A ，B 两点，点P 在圆C 上，若CP ∥AB ，PA ⋅PB =12，则AB =________41.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线与该抛物线交于A ,B 两点，AB =52,AB 的中点纵坐标为2，则p =__________.42.(山东省济南市2023届高三下学期3月一模)已知圆C 1：x 2+y 2=2关于直线l 对称的圆为圆C 2：x 2+y 2+2x -4y +3=0，则直线l 的方程为______.43.已知O 为坐标原点，在抛物线y 2=2px p >0 上存在两点E ，F ，使得△OEF 是边长为4的正三角形，则p =______．44.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知抛物线y2=4x和椭圆x2+a2y2=1(a>b>0)相交于A,B两点，且抛物线的焦点F也是椭圆的焦点，若直线AB过点F，则椭圆的b2离心率是__________．。

2024年高考数学试题分类汇编07：解析几何

解析几何一、单选题1．（2024·全国）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）2．（2024·全国）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 23．（2024·全国）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．254．（2024·北京）求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A ．23B ．2C ．32D 65．（2024·天津）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=二、多选题6．（2024·全国）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+7．（2024·全国）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个三、填空题8．（2024·全国）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．9．（2024·北京）已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．10．（2024·北京）已知抛物线216y x =，则焦点坐标为．11．（2024·天津）22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．12．（2024·上海）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．四、解答题13．（2024·全国）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．14．（2024·全国）已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.15．（2024·全国）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．16．（2024·北京）已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．17．（2024·天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S =△．(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．18．（2024·上海）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2,3b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．参考答案：1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 2．C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【解析】由题意，()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.3．C【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【解析】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C 4．C【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【解析】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+=221323211++=+，故选：C.5．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【解析】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin 5θ=121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得22m =则211222PF PF F F c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ==所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 6．ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a ⨯-=，解得2a =-，故A 正确.对于B 24x +=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.7．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【解析】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD8．32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【解析】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x y a b -=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：329．12±【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【解析】联立3x =与2214x y -=，解得52y =，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点()3,0且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-，联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12±.10．()4,0【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此即可得解.【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.11．45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），。