第五章第四讲对称矩阵特征值和特征向量的性质

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实对称矩阵特征值与特征向量的性质

实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
设是n阶实对称矩阵A的特征值, (a1, a2 ,, an )T
是对应的特征向量,即A 两边取共轭，得
A (1)
A (aij )nn
A,
(a , 1
a 2
,
,
an
)T
,由于A为实对称阵，故
AT
AT
A,
（1）两端取转置，得：
2 4 2
1 2
2
A E 2 2 4 ( 2)2 ( 7)
2
4 2
1 2 2,3 7.
1 (2,1,0)T ,2 (2,0,1)T为属于特征值2的线性无关的特
征向量.
3 7的特征向量为3 (1，2， 2)T .
2 2 1
2
P 1
2
3
1
0
0 1
2 , 2
1 1 0
B 4 3 0 1 2 1,3 2.
1 0 2
对1 2 1,
2 1 0 1 0 1
B
E
4
1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 , 1 (1,2, 1)T .
0
线性无关的特征向量只有一个
1 2 2 例：设A 2 2 4 ，求可逆阵P，使P1AP为对角阵。
1T A 11T .
1T A2 11T2.
21T2 11T2. (2 1)1T2 0.
1T2 0.
例：设1，1，1是三阶实对称方阵A的3个特征值，
1 （1，1，1）T,2 （2，2，1）T是A的属于特征值1的特
征向量，求A的属于特征值1的特征向量。
设A的属于特征值 1的特征向量为3 （x1，x2，x3）T ,

【学习】线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量

【关键字】学习第五章矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设是数域P上的n阶矩阵，若对于数域P中的数，存在数域P上的非零n维列向量X，使得则称为矩阵A的特征值，称X为矩阵A属于（或对应于）特征值的特征向量注意：1）是方阵；2）特征向量X 是非零列向量；3）方阵与特征值对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A的特征值与特征向量的步骤为：（1）计算n阶矩阵A的特征多项式｜E－A｜；（2）求出特征方程｜E－A｜＝０的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值；（3）设1 ，2 ，… ，s 是A的全部互异特征值。

对于每一个i，解齐次线性方程组0，求出它的一个根底解系，该根底解系的向量就是A属于特征值i的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A属于特征值i的全体特征向量.3．特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X是矩阵A属于特征值的特征向量，则kX（）也是A属于的特征向量；（2）若是矩阵A属于特征值的特征向量，则它们的非零线性组合也是A属于的特征向量；（3）若A是可逆矩阵，是A的一个特征值，则是A—1的一个特征值，是A*的一个特征值；（4）设是n阶矩阵A的一个特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0为一个多项式，则是f（A）的一个特征值。

性质2（1）（2）性质3 n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值性质4 n阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A、B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得Ｂ＝P―1ＡP则称A与B相似。

记作A∽B. 并称P为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是等价关系，满足：1°反身性：A∽A.2°对称性：若A∽Ｂ，则Ｂ∽A.3°传递性：若A∽Ｂ，B∽Ｃ则A∽Ｃ.5．矩阵相似的性质：设A、B为n阶矩阵，若A∽B，则（1）；（2）；（3）A 、B 有相同的迹和特征多项式，相同的特征值；（4） A ，B 或者都可逆或者都不可逆. 当A ，B 都可逆时，∽；（5）设f （x ）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0 为一个多项式，则 f （A ）∽ f （B ）； 6．n 阶矩阵A 相似对角化的条件（1）n 阶矩阵A 与对角矩阵Λ相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. （2）n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的每个k 重特征值恰好对应有k 个线性无关的特征向量.注（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵 kE 相似的 n 阶方阵只有数量矩阵 kE 本身（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。

线性代数矩阵的特征值与特征向量

线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，具有广泛的应用。

在此，我们将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。

希望能对读者理解这两个概念有所帮助。

1.特征值和特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。

2.特征值和特征向量的性质（1）对于任意矩阵A和非零向量x，如果Ax=λx，则(x,λ)是(A-λI)的一个特征对，其中I是单位矩阵。

（2）对于任意非零常数k，kλ和kx也是特征值λ和特征向量x的特征对。

（3）如果矩阵A的特征向量x1和x2对应于不同的特征值λ1和λ2，则x1和x2线性无关。

（4）若矩阵A的特征值都不相同，则它一定能够对角化。

3.特征值和特征向量的计算（以2阶矩阵为例）对于一个2阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来计算其特征值和特征向量：（1）解特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。

（2）将特征值代入(A-λI)x=0，求解x的向量，即为对应于特征值的特征向量。

4.实对称矩阵的特征值和特征向量对于实对称矩阵，其特征值一定是实数且存在线性无关的特征向量。

具体计算方法为：（1）求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ1, λ2, ..., λn。

（2）将特征值代入(A-λI)x=0，解出x的向量，即为对应于特征值的特征向量。

5.正交矩阵的特征值和特征向量对于正交矩阵，其特征值的模一定是1，且特征向量是两两正交的。

具体计算方法同样为求解特征方程和特征向量方程。

6.特征值和特征向量的应用特征值和特征向量有广泛的应用，例如：（1）主成分分析（PCA）：利用特征值和特征向量可以找到数据的主要特征方向，用于数据降维和分析。

（2）图像处理：利用特征值和特征向量可以进行图像压缩、增强和分析。

（3）物理学中的量子力学：波函数的特征值和特征向量对应着物理量的测量结果和对应的本征态。

3.3实对称矩阵的特征值和特征向量共14页

2

2

(2, 1) (1, 1)
1
3

3

(3 , (2,
2 2
) )
2

(3, 1) (1, 1)
1

s
s

(s , s1 ) (s1, s1 )
s1

(s , 2 ) (2 , 2 )
2

中的两个列向量，则 n T a1b1a2b2 anbn aibi i1
称为向量与的内积. 内积T 也可记作(, )
2. 内积的性质
(1) ( , ) = ( , ) ;
(2) (k , )= k( , );
(3) ( + , )= (, )+ ( , );
令 1 1
2

2

(2, 1) (1, 1)
1
3

3

(3 , (2,
2 ) 2 )
2

(3, 1) (1, 1)
1

s
s

(s , s1 ) (s1, s1 )
s1

(s , 2 ) (2 , 2 )
n
T ai2
i1
如果 || || = 1，则称为单位向量.
0 ，则 1 为单位向量或标准化向量.
4. 长度的性质
(1) || || 0 , 且 || || = 0 = 0 ;
(2) || k || = | k | ·|| || ;
7.Th.: 设 1 , 2 , … , s 是一个正交向量组, 则1,2 , …,s
线性无关.

第五章矩阵的特征值与特征向量

可知 λ1E − A 的秩为 r = 2, 有n − r = 3 − 2 = 1个自由未知量 1 x1 − 3 x3 = 0, 求得它的一个基础解系为取为 x3 . 由 2 α1 = (1, −2,3)T . x2 + x3 = 0, 3 A 的属于特征值6 的全部特征向量为 k (1, −2,3)T , 所以 k 为任意非零数为任意非零数. 对于λ2 = 2, 解齐次线性方程组 ( 2 E − A ) X = o, 由 1 1 −1 1 1 −1 −2 −2 2 → 0 0 0 , ( λ2 E − A) = 3 3述, 综上所述,求 n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤: 的全部特征值，第一步求 A 的全部特征值，即求特征方程的全部根； | λE − A|= 0 的全部根；第二步的特征向量．求 A 的特征向量
s
对于每一个特征值 λi，求出齐次线性方程组求出齐次线性方程组
( λi E − A) X = o的一个基础解系ξ1,ξ2,L,ξs , 那么 X = ∑kiξi i= 1 的全部特征向量，就是A 的属于 λi 的全部特征向量，其中 k1, k2 ,L, ks为不全
所以 A 的全部特征值为 λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = 3. 利用解齐次线性方程组, 可以求得: 利用解齐次线性方程组可以求得 A的属于特征值 −1 的全部特征向量为 k1 (1, −1,0)T , 为任意非零数. 其中k1为任意非零数 A的属于特征值 1 的全部特征向量为 k2 (1, −1,1)T , 为任意非零数. 其中k2为任意非零数 A的属于特征值 3 的全部特征向量为 k3 (0,1, −1)T , 其中k3为任意非零数. 为任意非零数 (1, −1,0)T ,(1, −1,1)T ,(0,1, −1)T 线性无关线性无关. 容易证明该例中有三个不同的特征值, 注: 该例中有三个不同的特征值相应的特征向量线性无关. 性无关

实对称矩阵的特征值和特征向量

A (aij )nn A (aij )nn
实对称矩阵的性质:
1.(定理4.12)实对称矩阵的特征值都是实数.
推论实对称矩阵的特征向量都是实向量.
2.(定理4.13)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.
定理4.4 矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 定理2.15 正交向量组必线性无关.
推论实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 3.实对称矩阵的属于ni重特征值的线性无关的特征向量恰有ni个. 4. n 阶实对称矩阵恰有n个线性无关的特征向量, 进而有n个单位正交的特征向量. 5. 实对称矩阵必可对角化, 即若A为实对称矩阵 , 则可逆矩阵P, 使P1 AP为对角矩阵 .
7.(定理4.14)若A为实对称矩阵 , 则正交矩阵Q, 使1.求A的所有互异的特征值 1 , 2 ,, m , 其中i的重数为ni , i 1,2,, m. 2.i , 解方程组(i E A) x 0, 求A的属于i的线性无关的特征向量 i1 , i 2 ,, ini . 3.利用Schmidt正交化方法将 i1 , i 2 , , ini 正交化, 再单位化, i 1,2, , m. 设所得的单位正交向量组为1 , 2 , , n . 4.令Q ( 1 , 2 , , n ), 则Q为正交矩阵, 且 1 1 2 Q 1 AQ 2 m m
§4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵: 对称的实矩阵. 共轭矩阵: 性质:
(1) A为实对称矩阵 A A AT . (2) AB A B , kB k B (k C ). (3)若A为实对称矩阵, 则 , R n , 有( A , ) ( , A ).

第五章特征值和特征向量PPT课件

根据上式可知，任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量. 这一过程称为将向量单位化.
设是非零向量，则是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵，含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证：由性质4,5可以直接推出

ch5-4 实对称矩阵的相似矩阵

2 1 1 2 ( 1)( 3)
解: 由 A E
1 1 1 对1 1,由A E ~ 0 0 , 得 1 1 ; 1 1 1 对2 3,由A 3 E ~ 0 0 , 得 2 1
1
素的对角矩阵.
福州大学
2013-7-21
4
三、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n ; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5。写出正交阵 P P 1
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 解设A的属于特征值 1的特征向量为 3 x1，x2，x3） , （
3与1 , 2正交， [3 ,1] [3 ,2 ] 0
x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 令 x2 = 1 x1 x2 T 3 11 0 （，）， x3 0
福Hale Waihona Puke 州大学2013-7-21
3
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个。由此推出：实对称矩阵A一定能对角化。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
实
定理2： A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使设
P AP , 其中是以 A的 n 个特征值为对角元

第五章矩阵的特征值与特征向量

第五章矩阵的特征值与特征向量内容提要一、基本概念1.A 是一个n 阶方阵,如果存在一个数λ和一个n 维非零列向量α,使得λαα=A 成立,则称λ为矩阵A 的特征值，非零列向量α称为矩阵A 的属于特征值λ的特征向量.2.A 为n 阶方阵,λ为未知量,则矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A E λλλλ212222111211称为矩阵A 的特征矩阵;其行列式A E f -=λλ)(为λ的n 次多项式,称为矩阵A 的特征多项式;0=-A E λ称为矩阵A 的特征方程.3.n 阶方阵A 的主对角线上的元素的和称为A 的迹,记作)(A t r ,即)(A t r nn a a a +++= 2211.4.对于n 阶方阵A 和B ,若存在n 阶可逆方阵P ,使B AP P =-1成立,则称A 与B 相似,记为B A ~.满足: (1)自身性即A A ~;(2)对称性若B A ~,则A B ~;(3)传递性若B A ~,C B ~,则C A ~. 5.若矩阵A 与对角阵相似,则称A 可对角化.6.实矩阵A =n m ij a ⨯)(,如果0≥ij a ,),,2,1;,,2,1(n j m i ==,称A 为非负矩阵;如果ij a >0,),,2,1;,,2,1(n j m i ==,称A 为正矩阵.7.如果n 阶方阵A =n m ij a ⨯)(,可以经过一系列相同的行和列互换,化为 ⎪⎭⎫⎝⎛221211A OA A , 其中11A ,22A 为子方阵(不一定同阶),则称A 为可分解矩阵,否则称A 为不可分解的矩阵.8.若n λλλ,,,21 为n 阶方阵A 的特征值,则称=)(A P |}|,,||,|max{|21n λλλ 为A 的最大特征值(或为A 的谱半径). 二、几个结果1.特征值和特征向量的基本性质(1)n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 有相同的特征值(但特征向量一般不同);(2)属于A 的不同特征值的特征向量必定线性无关(但属于相同特征值的特征向量不一定必相关);(3)属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量;(4)设n λλλ,,,21 为n 阶方阵A 的特征值,则有①nn n a a a ++=+++221121λλλ,即A 的特征值的和等于矩阵A 的主对角线的元素的和; ②||21A n =λλλ .推论若矩阵A 可逆⇔矩阵A 的特征值全不为零.(5)若λ为矩阵A 的特征值,α是A 的属于λ的特征向量,则①λk 是kA 的特征值(k 为任意常数); ②m λ是m A 的特征值(m 为正整数);③当A 可逆时,1-λ是1-A 的特征值,λA是*A 的特征值;④)(0λP 是)(A P 的特征值,其中)(x P 为任一多项式.注意 α仍是矩阵kA 、m A 、1-A 、*A 、)(A P 对应于特征值λk 、m λ、1-λ、λA、)(0λP 的特征向量.)6(*若A 为实对称矩阵,则A 的所有特征值均为实数,且属于不同特征值的特征向量彼此正交. 2.相似矩阵的性质若A ～B ,则(1)B A =,)()(B r A r =,)()(B t A t r r =;(2)T A ～T B ,1-A ～1-B ,m A ～m B ,kA ～kB ,)(A P ～)(B P ;(3)||||B E A E -=-λλ,即相似矩阵有相同的特征多项式,因而也有相同的特征值,但特征向量不一定相同.3.矩阵可对角化的条件(1)n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量;(2)n 阶方阵A 有n 个不同的特征值,则A 一定可对角化;)3(*实对称矩阵必可对角化,且存在正交矩阵P (1-=P P T ),使Λ=-AP P 1.例题解析例1 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011102124A ,则A 的对应于特征值2=λ的特征向量α为( ).(A )T )0,0,0( (B )T )0,1,1(- (C )T )2,1,1( (D )T )1,0,1(解根据定义,只需验证选项中的向量α是否满足αα2=A )0(≠α,显然,零向量不是矩阵A 的特征向量,应排除(A ). 对于(B ),因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0112022011011102124αA , 所以,=α()T 0,1,1-是A 的对应于2=λ的特征向量,应选(B ).例2 设A 为n 阶矩阵,下述结论中正确的是( ). (A )矩阵A 有n 个不同的特征根(B )矩阵A 与T A 有相同的特征值和特征向量(C )矩阵A 的特征向量21,αα的线性组合2211ααc c +仍是A 的特征向量 (D )矩阵A 对应于不同特征值的特征向量线性无关解对于选项(A ),矩阵A 有n 个特征根(在复数范围内),但这些特征根中可能有重根,故(A )错.对于选项(B ),A 与T A 有相同的特征值,但是,对应的特征向量不一定相同,故(B )错.对于选项(C ),未说明21,αα对应的特征值.如果21,αα是对应于A 的同一特征值λ的特征向量,则当21,c c 不全为零时,2211ααc c +仍是A 的对应于特征值λ的特征向量;如果21,αα是对应于A 的不同特征值21,λλ的特征向量,则2211ααc c +不是A 的特征向量(0,021≠≠c c 为任意常数).关于这一结论的证明,见例8.对于选项(D )是矩阵特征值、特征向量的性质.综上分析,应选(D ).例3 如果n 阶矩阵A 任意一行的n 个元素之和都是a ,则A 有一个特征值( ). (A )a (B )a - (C )0 (D )1-a解在||A E -λ中,把第二列到第n 列都加到第一列上,则第一列有公因子αλ-,提出后可知αλ-是||A E -λ的因子,所以a 是A 的一个特征值.应选(A ).例4 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2221A ,则下面各矩阵中非奇异矩阵是( ).(A )A E +-2 (B )A E - (C )A E -2 (D )A E --3 解矩阵A 的特征多项式为 )2)(3(2221-+=+-=-λλλλλA E ,故A 的特征值为31-=λ,22=λ.因为 02)1()2(22=--=--=+-A E A E A E ,即选项(A )是奇异矩阵,而1不是A 的特征值,必有0||≠-A E ,应选(B ). 例5 已知三阶方阵A 的三个特征值为1,-2,3,则=||A ,1-A 的特征值为 ,T A 的特征值为 ,*A 的特征值为 ,E A A ++22的特征值为 .解因为6||321-==λλλA ,由||||T A E A E -=-λλ,知A 与T A 有相同的特征值,故T A 的特征值为1,2-,3.若设X 为A 属于λ的一个特征向量,则有XAX λ=,于是有XX A λ11=-,X AX A A X A λ==-1*,X X A kkλ=,从而推得1-A的特征值为λ1,*A 的特征值为λ||A .矩阵多项式)(A f 的特征值为)(λf ,从而可写出各自具体内容.应填6-;31,21,1-;3,2,1-;2,3,6--;16,1,4.例6 设A 是三阶方阵,并且0322=+=+=-E A E A E A ,则E A 32-* = .解由0322=+=+=-E A E A E A ,可得A 的特征值分别为23,2,1--,所以 3)23()2(1=-⋅-⋅=A ,于是E A E A A E A 36323211-=-=---*的特征值分别为7,6,3--,故 126)7()6(332=-⨯-⨯=-*E A ,应填126.例7 设4阶方阵A 满足条件03=+A E ,E AA T 2=,0<A ,其中E 是4阶单位阵,则方阵A 的伴随矩阵*A 的一个特征值为_______.解由0)3(3=--=+E A E A ,得A 的一个特征值3-=λ.又由条件有 16224===E E AA T , 162===A A A AA T T .因为0<A ,所以4-=A ,且知A 可逆.设A 的属于特征值3-=λ的特征向量为α,则αααααα3133111-=⇒-=⇒-=---A A A A A ,又因为0≠A ,所以11,31-*-=-=AA A A A A αα,故αα34=*A ,可知*A 的特征值为34.应填34.例8 设21,λλ是n 阶矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,试证:2211ααc c +(01≠c ,02≠c ,任意常数)不是A 的特征向量. 证反证法.设2211ααc c +为A 的对应于特征值λ的特征向量,于是 )()(22112211ααλααc c c c A +=+又由已知,有111αλα=A ,)0(1≠α,222αλα=A ,)0(2≠α.代入上式左边,得 22211122112211)(αλαλααααc c A c A c c c A +=+=+, 因此)(2211222111ααλαλαλc c c c +=+, 所以0)()(222111=-+-αλλαλλc c . 因21λλ≠,所以向量21,αα线性无关,故 0)(11=-λλc , 0)(22=-λλc , 其中21,c c 是不等于零的任意常数.由此可得λλ=1,λλ=2,即21λλ=,与已知条件矛盾!所以2211ααc c +不是A 的特征向量.例9 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020112A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式)1()2(110201122--=-----=-λλλλλλA E ,所以,A 的特征值为11=λ,232==λλ.对于11=λ,解齐次线性方程组O X A E =-)(,因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-000010101010010111)(A E ,由此可得同解方程组 ⎩⎨⎧==+00231x x x ,取3x 为自由未知量,令13=x ,得方程组的基础解系T -=)1,0,1(1α.于是A 的对应于特征值11=λ的全部特征向量为11αc (01≠c ,为任意常数).对于232==λλ,解齐次线性方程组0)2(=-X A E , 因⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000000110110000110)2(A E , 由此可得同解方程组 032=+x x . 取自由未知量⎪⎪⎭⎫⎝⎛31x x 分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛01,⎪⎭⎫⎝⎛10可得方程组的基础解系TT-==)1,1,0(,)0,0,1(32αα于是,A 的对应于232==λλ的全部特征向量为3322ααc c +(32,c c 为不全为零的任意常数).注 1.求特征值、特征向量的基本方法:(1)计算矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ;(2)求出特征方程()0=-=A E f λλ的全部根,即A 的全部特征值; (3)对每一个特征值0λ,求出O X A E =-)(0λ的一个基础解系r n -ηηη,,,21 , 则A 的属于0λ的全部特征向量为r n r n k k k --+++ηηη 2211,其中r n k k k -,,,21 为不全为零的常数.2.这类计算题中,方程组()O X A E =-λ的系数矩阵常常出现零列(如此题中)2(A E -的第一列).应注意:凡是零列所对应的变量应取作自由未知量.例如,在本题中求O X A E =-)2(的基础解系时,取31,x x 为自由未知量.例10 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=122212221A ,(1)求A 的特征值;(2)求1-+A E 的特征值. 解 A 的特征多项式12122212221r r A E ++-+---+=-λλλλ12211221+-----+λλλλ)5()1(2+-=λλ.所以,A 的特征值为1,1,5-.由特征值性质可知,1-A 的特征值为1,1,51-,于是1-+A E 的特征值为2,2,54.例11 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y xA 有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件.解 A 的特征多项式为λλλλ0111-----=-y xA E )1()1(2+-=λλ,所以,A 的特征值为 121=，λ,13-=λ. 只要121=，λ有两个线性无关的特征向量即可,即矩阵A E -⋅1的秩等于1. 因为A E -⋅1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1010101y x⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→00000101x y ,只要满足0=+y x 即可.例12 设向量TK )1,,1(=α是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量,试求常数K 的值.分析用特征值、特征向量的定义讨论.解设λ是α所属的特征值,则λαα=-1A ,αλαA =,.即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1121112111211K Kλ, 由此,得方程组 ⎩⎨⎧=+=+KK K )22(1)3(λλ,其解为11=λ,21-=K ;412=λ,12=K .于是,当2-=K 或1时,α是1-A 的特征向量.例13 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎝--=a c b A 0135,其行列式1-=A ,又A 的伴随矩阵 *A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为T )1,1,1(--=α,求c b a ,,和0λ的值.解由题设知E E A AA -==*,αλα0=*A . 于是有αλααααA A A E AA 0)(==-=-=**. 即有0λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111101351a c b c a . 得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=++-1)1( 1)2(1)1(000a c b c a λλλ.由此解得 10=λ,3-=b ,c a =.再代入1-=A 得2==c a .例14 设A 为n 阶方阵,任一非零的n 维向量都是A 的特征向量,试证明:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ00A , 即A 为数量矩阵.证设),,2,1,(n j i a ij ⋅⋅⋅=是A 的第i 行、第j 列元素,因单位坐标向量,1εn εε,,2⋅⋅⋅也是A 的特征向量,设n λλλ,,,21 是对应的特征值,则有　i i A λεε= ),,1(n i ⋅⋅⋅=即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001i niiii i a a a A λε, ),,1(n i ⋅⋅⋅=.故 i ii a λ=,0=ji a (i j ≠).这样⎪⎪⎪⎪⎭ ⎝=n A λλ02 . 因为0≠+j i εε (i j ≠),也是A 的特征向量,设λ为对应的特征值,则由j i j i j i A λελεεελεε+=+=+)()(, j j i i j i j i A A A ελελεεεε+=+=+)(,有 0)()(=-+-j j i i ελλελλ.因j i εε,线性无关,故λλλ==j i .于是可得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ0 A . 例15 设B A ,均为n 阶方阵,试证AB 与BA 有相同的特征值.证如果矩阵AB 是不可逆的,则0=AB ,所以 0==⋅=⋅=AB B A A B BA . 由此可得0)1(0=-=-AB AB E n , 0)1(0=-=-BA BA E n .即AB 与BA 都有特征值0.当AB 不可逆,且00≠λ为AB 的任一非零特征值时,需证0λ也是BA 的特征值.实际上,设AB 的对应于0λ的特征向量为)0(≠αα,则 αλα0=AB . 在上式两边左乘B ,得)()(0αλαB B BA =.令αηB =,则有ηλη0=BA ,只需证明0≠η.假设0==αηB ,于是0==αηAB A .这与00≠=αλαAB 矛盾.因此0≠η.即0λ是BA 的一个特征值,对应的特征向量为αB .由0λ的任意性可知,AB 的任一非零特征值都是BA 的特征值.类似可证BA 的任一非零特征值也是AB 的特征值.当矩阵AB 可逆时,AB 的任一特征值不等于零.类似于上面的证明可得AB 与BA 有相同的特征值.例16 设B A ,为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( ). (A )B E A E -=-λλ(B )A 与B 有相同的特征值和特征向量 (C )A 与B 都相似于一个对角阵(D )对任意常数t ,A tE -与B tE -相似解由A 与B 相似,则存在可逆阵P ,使得 B AP P =-1,从而 B tE AP P P tP P A tE P -=-=----111)(, 即A tE -与B tE -相似.应选(D ).例17 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020002A ,则下述矩阵中与A 相似的矩阵是( ). (A )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3001200121A(B )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3000200122A (C )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3000201023A(D )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3110210024A 解因矩阵A 已是对角形矩阵,而各选项中矩阵与A 有相同的特征值,故只需判断各选项中的矩阵可否对角化.对于选项(A ),特征多项式)3()2(21--=-λλλA E ,其特征值为221==λλ,33=λ.考察方程组O X A E =-)2(1,其系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-000100010100100010)2(1A E , 于是2)2(1=-A E r .方程组O X A E =-)2(1的基础解系中仅含1个向量,而=1λ22=λ是二重特征值,故矩阵1A 不能对角化,即1A 不与A 相似.对于选项(B )与(D ),用类似方法可判断矩阵42,A A 不可对角化,故42,A A 不与A 相似.对于选项(C ),矩阵3A 的特征多项式)3()2(23--=-λλλA E ,其特征值为221==λλ,33=λ.考虑方程组O X A E =-)2(3,其系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-000000100100000100)2(3A E ,故1)2(3=-A E r ,方程组O X A E =-)2(3的基础解系中恰恰含两个向量,故3A 可对角化.应选(C ).注矩阵A 对角化的步骤:(1)求出A 的特征值:1λ,2λ, n λ,对于每一个特征值i λ,求出齐次线性方程组O X A E i =-)(λ的一个基础解系,若基础解系中所含向量的个数等于i λ的重数,则A 可对角化,否则A 不可对角化;(2)以A 的n 个线性无关的特征向量:n ααα,,,21 为列构造可逆矩阵=P),,,(21n ααα ,则有对角阵Λ=diag(n λλλ,,,21 )=AP P 1-.注意顺序:i α为属于i λ的特征向量.例18 三阶矩阵A 的特征值为1,2-,3,矩阵A A B 22-=,求: (1)B 的特征值;(2)B 是否可对角化,若可以,试写出其相似对角形矩阵; (3)行列式E A B 2-和的值.解设λ为A 的任一特征值,对应的一个特征向量为α,则 λαα=A , )0(≠α. 所以αλαλα22==A A ,αλλλααλαα)2(2)2(222-=-=-=A A B ,即,对应于A 的一个特征值λ,B 对应的特征值为λλ22-.由此可知当A 的特征值为1,2-,3时,B 的特征值为1-,8,3.因为B 有三个不同的特征值,所以B 可与一对角阵相似,其相似对角形矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-300080001. 于是 2438)1(-=⨯⨯-=B ,63)2(1-=⨯-⨯=A .又因为)2(E A A B -=,所以46242=--==-AB E A .例19 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3212A ,求100A .分析直接求100A 计算量过大,可设法利用对角矩阵进行计算. 解 A 的特征多项式)4)(1(2212--=----=-λλλλλA E ,故A 的特征值为11=λ,42=λ.当11=λ时,可求出一个基础解系:T )1,1(1-=α. 当42=λ时,可求出一个基础解系:T )2,1(2=α.令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111P ,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-3/13/13/13/21P ,此时⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-40011AP P , 即有 14001-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P A 因此⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3/13/13/13/24001211140011001100100PP A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+-+-+=100100100100421422414231. 例20 若三阶方阵A 的特征值为61=λ,32=λ,33=λ,其相应的特征向量为T )1,1,1(1=α,T )1,0,1(2-=α,T )1,2,1(3-=α,求矩阵A ,5A . 解因为可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , 则Λ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3000300061AP P . 故A =1300030006-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛P P =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6/13/16/12/102/13/13/13/130030006111201111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛411141114. 因A ～Λ,故5A ～5Λ,即有 1555555555332336336⨯=⨯⨯==Λ=A .*例21 若三阶实对称矩阵A 的特征值为1,4,2-,且对于11=λ和42=λ的特征向量分别为T )2,1,2(1-=α,T )1,2,2(2-=α,求矩阵A ,5A .解设23-=λ的特征向量为T c b a ),,(3=α,由于实对称矩阵的特征向量是相互正交的,故有0),(21=αα,0),(32=αα,即 ⎩⎨⎧=+-=-+022022c b a c b a ,解之可得 2c a =,c b =,c c =.令2=c ,即有1=a ,2=b .故T )2,2,1(3=α. 取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==212221122),,(321αααP . 则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-221122212911P. 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2411AP P , 所以1241-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=P P A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22112221291241212221122 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022. 此时由A ～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ241, 故5A ～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ555)2(41. 因此1555)2(41-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=P P A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=221122212913210241212221122⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=9002178198021783969415819804158406891⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=100242220242441462220462452. *例22 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2110000010010y A . (1)已知A 的一个特征值为3,试求y ; (2)求矩阵,使)()(AP AP T 为对角阵.解 (1)由31=λ,代入特征方程0=-A E λ,得11130000310013-----y ()02811133113=-=-----=y y .所以2=y .(2)由)()(AP AP T P A P AAP P T T 2==,问题转化为2A 的对角化问题. 由于⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5445112A ,只要将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54451A 对角化即可,由0910544521=+-=----=-λλλλλA E ,得11=λ,92=λ.求得相应特征向量为 ⎪⎭⎫⎝⎛-=111α, ⎪⎭⎫⎝⎛=112α.单位化⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11211β, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11212β. 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2121212111P 使⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=9111)()(AP AP T .注由正交矩阵P 将实对称矩阵A 化为对角阵的步骤:(1)求出实对称阵A 的全部特征值:1λ,2λ, ,n λ;(2)对于每一个特征值i λ,求出齐次线性方程组0)(=-X A E i λ的一个基础解系;(3)利用施密特正交化法将基础解系正交化、单位化,求出属于i λ的一个标准正交组;(4)将所有正交化、单位化后的n 个特征向量作为列向量构成矩阵P ,则P 为所求正交矩阵,并可得对角阵AP P 1-=),,,(diag 21n λλλ .例23 设n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值,证明:A 的特征向量也是B 的特征向量的充分必要条件是B A ,可交换.证必要性因为A 有n 个互不相同的特征值,故A 可对角化.即存在可逆阵P ,使11Λ=-AP P .由于A 的特征向量也是B 的特征向量,故对同样的P ,有21Λ=-BP P .于是1211211))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P AB ,1121112))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P BA . 而1221ΛΛ=ΛΛ,所以,BA AB =. 充分性设λαα=A ,0≠α.两边左乘B ,利用BA AB =,有 )()()(αλααB B A A B ==.若0≠αB ,由上式可知αB 也是A 的属于特征值λ的特征向量.由于A 的特征值两两不同,故属于特征值λ的线性无关的特征向量只有一个,因此α与αB 应成比例,即μαα=B ,即α为B 的特征向量;若0=αB ,则αα0=B )0(≠α,故α仍为B 的特征向量. 总之,A 的特征向量也是B 的特征向量.例24 已知矩阵A 与C 相似,矩阵B 与D 相似,证明分块矩阵 ⎪⎭⎫⎝⎛B OO A 与⎪⎭⎫⎝⎛D OO C 相似. 证由条件知,存在可逆矩阵Q P ,使得 AP P C 1-=, BQ Q D 1-=. 取⎪⎭⎫⎝⎛=Q OO P X ,则X 可逆,且⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---111Q O O P X.这时 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---Q OO P B OO AQ O O P X B OO A X111⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--D OO C BQ Q OOAPP 11, 即⎪⎭⎫⎝⎛B O O A 与⎪⎭⎫⎝⎛D O O C相似. 例25 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b aA 为二阶实矩阵,且0>bc ,证明A 可与一对角矩阵相似.证因A 的特征多项式 dcbaA E ----=-λλλ)()(2bc ad d a -++-=λλ,其判别式04)()(4)(22>+-=--+=∆bc d a bc ad d a 所以A 必有两个不同的特征值,故A 必可与一对角阵相似.练习题一.是非题1.( )A 是n 阶方阵,若有数λ与n 维列向量α满足λαα=A ,则λ是A 的特征值,α是A 的属于λ的特征向量.2.( )若21,αα是A 的分别属于21,λλ的特征向量,则21,αα一定线性无关.3.( )若21,αα是两个线性无关的特征向量,则它们一定是分别属于不同特征值的特征向量.4.( )若1α是A 的属于1λ的特征向量,则1αK 也是A 的属于1λ的特征向量.5.( )A 与T A 有相同的特征值和相同的特征向量.6.( )A 与T A 有相同的特征多项式.7.( )方程O X A E =-)(0λ的每一个解向量都是对应于特征值0λ的特征向量.8.( )若21,αα为方程O X A E =-)(0λ的一个基础解系,则2211ααc c +(,1c 2c 为非零常数)是A 的属于特征值0λ的全部特征向量.9.( )设21,αα为A 的二个特征向量,则2211ααc c +(21,c c 不全为零)也是A 的特征向量.10.( )若矩阵A ,B 有相同的特征多项式,则A ～B .11.( )若A ～B ，则存在唯一的可逆阵P ,使B AP P =-1. 12.( )若A ～B ,则A 与B 有相同的特征值. 13.( )若A ～B ,则A 与B 有相同的特征向量. 14.( )若A ～B ,则B E A E -=-T λλ.15.( )若A ～B ,则)(A E -λ～)(B E -λ.16.( )若矩阵A 有三重的特征值,则A 一定不能对角化. 17.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则A 有n 个特征值.18.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则A 有n 个线性无关的特征向量. 19.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则T A 有n 个相异的特征值. 20.( )若n 阶矩阵A 可对角化,则A 有n 个不同的特征向量. 二.填空题1.设三阶矩阵A 的特征值为1-,1,2,则1-A 的特征值为 ,*A 的特征值为 ,)3(A E +的特征值为 .2.设三阶方阵A 有三个特征值1λ,2λ,3λ,如果36=A ,21=λ,32=λ则=3λ .3.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=160420125A , 则A 的三个特征值的和是 ,积是 .4.已知三阶方阵A 有三个特征值1-,1,2,22)(2+-=x x x f ,则)(A f 的特征值是 ,=)(A f .5.设三阶矩阵O A =,则A 的全部特征向量为 .6.设A 为n 阶方阵,O AX =有非零解,则A 必有一个特征值是 .7.若A ～E ,则=A .8.若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 123122与⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321相似,则=x .9.若⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y 3122与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321相似,则=x ,=y .10.设二阶实对称矩阵A 的特征值为1,2;对应于特征值1的特征向量为T-=)1,1(1α,则A 的对应于特征值2的特征向量=2α . 三.单项选择题1.设A 为n 阶方阵,以下结论中成立的是( ).(A )若A 可逆,则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1-A 的属于特征值λ1的特征向量(B )A 的特征向量即为方程O X A E =-)(λ的全部解 (C )A 的特征向量的线性组合仍为特征向量 (D )A 与T A 有相同的特征向量2.可逆矩阵A 与矩阵( )有相同的特征值. (A )T A (B )1-A (C )2A (D )E A +3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=53342111a A ,且A的特征值为61=λ,232==λλ如果A 有三个线性无关的特征向量,则a 为( ).(A )2 (B )2- (C )4 (D )4- 4.与n 阶单位矩阵E 相似的矩阵是( ). (A )数量矩阵)1(≠K KE(B )对角矩阵Λ(主对角元素不为1) (C )E(D )任意n 阶可逆矩阵5.设B A ,均为n 阶矩阵,并且A ～B ,则下述结论中不正确的是( ). (A )A 与B 有相同的特征值和特征向量 (B )B A = (C ))()(B r A r = (D )1-A ～1-B6.已知矩阵A 相似于对角矩阵Λ,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ300020001,则下列各矩阵中是可逆矩阵的为( ).(A )A E + (B )A E - (C )A E -2 (D )A E -37.设A ,B 为n 阶矩阵,且A 可逆,A ～B ,则下列结论中正确的是( ). (A )A 与B 有相同的特征向量 (B )A ,B 都相似于一个对角矩阵 (C )AB ～BA (D )BA AB = *8.下列矩阵中,不是正交矩阵的为( ).(A )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001(B )⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos (C )⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23212123(D )⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-122221 四.计算题1.求矩阵A 的特征值和特征向量(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122212221A ;(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101410213A ;(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a A;(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=031302120A .2.判断下列矩阵是否与对角矩阵相似,如果可与对角矩阵相似,试求出可逆矩阵P ,使AP P 1-为对角矩阵.(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6123020663A ; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=022242111A ; (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=266157113A . 3*.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=124222421A ,求正交矩阵Q ,使得AQ Q 1-为对角形矩阵.4.设B AP P =-1,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100000001B ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112012001P ,求A 和5A .5.设三阶矩阵A 的特征值为1,2,3,对应的特征向量分别为T =)1,1,1(1α,T=)1,0,1(2α,T =)1,1,0(3α,试求矩阵A .6*.设三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3;属于特征值2,1的特征向量分别为T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α.(1)求属于特征值3的特征向量;(2)求矩阵A .7*.设三阶实对称矩阵A 的特征值11-=λ,132==λλ,A 的对应于1λ的特征向量为T =)1,1,0(1α,求A .8*.设二阶实对称矩阵A 的一个特征值为１,A 的对应于特征值1的特征向量为T )1,1(-.如果2-=A ,求:(1)A 的另一特征值和对应的特征向量; (2)正交矩阵AQ Q Q 1,-使为对角矩阵; (3)矩阵A . 五.证明题1.设0λ是n 阶矩阵A 的一个特征值,试证:(1)220A 是λ的特征值; (2)0λ-k 是矩阵A kE -的特征值 (k 为常数); (3)如果A 可逆,则11-A是λ的特征值;(4)如果A 可逆,则*AA是λ的特征值.2.若n 阶矩阵A 满足A A =2,则称A 为幂等矩阵.试证:幂等矩阵的特征值只能是1或零.3.设1λ,2λ为A 的两个不同的特征值,且21,αα分别是属于21,λλ的特征向量.试证21,αα线性无关.4.设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵12)31(-A 有一特征值等于43.5*.设A 为正交矩阵,若1-=A ,试证明A 一定有特征值1-.6*.设A 为正交阵,试证明:A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.7.设A ,B 均为n 阶矩阵,A ～B ,试证:k A ～k B (k 为正整数).8*.设A ,B 为两个实对称矩阵,证明:存在正交矩阵Q ,使B AQ Q =-1的充分必要条件是A ,B 具有相同的特征值.。

对称性的特征值与特征向量

对称性的特征值与特征向量对称性是自然界中一种普遍存在的规律，它存在于各种物理系统中，例如晶体、电磁场、核物质等。

在物理学中，对称性的研究有着重要的意义。

对称性可以帮助我们理解自然现象的本质，找到定律和规律，以及预测未知系统的行为。

在研究对称性的过程中，特征值和特征向量是两个十分重要的概念。

本文将探讨对称性的特征值和特征向量的概念、相关概念的定义及其应用。

1. 对称性的特征值和特征向量对称性的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。

它们直接关系到对称矩阵的特征分解以及对称性的研究。

在高等数学和线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是熟知的概念，其应用十分广泛。

特别是对称矩阵，其特征值和特征向量在研究对称性问题中有极其重要的作用。

对于一个给定的$n$阶矩阵$A$，它的特征向量$\vec v$和特征值$\lambda$满足下面的条件：$$A\vec v=\lambda\vec v$$其中，$\vec v$是非零向量，$\lambda$是一个实数。

特征向量是由$\vec v$表示的向量，特征值是矩阵作用于特征向量上后的结果。

特征向量和特征值是对称矩阵特征分解的重要组成部分，因为对称矩阵的特征分解可以表示为：$$A=Q\Lambda Q^T$$其中$\Lambda$是由对角线上的特征值组成的对角矩阵，$Q$是由特征向量组成的正交矩阵。

2. 相关概念的定义及其应用在对称矩阵的特征分解中，除了特征值和特征向量外，还有一些相关的概念。

下面将对这些概念进行简要的介绍。

2.1 正交矩阵正交矩阵是指满足$Q^TQ=QQ^T=I$的矩阵$Q$，其中$I$为单位矩阵。

在对称矩阵的特征分解中，正交矩阵$Q$由特征向量组成，其具有正交性质。

正交矩阵在数值计算和物理学中有着广泛的应用，例如用于求解线性方程组、计算矩阵的特征值等。

2.2 对角矩阵对角矩阵是指非对角线上的元素均为0的矩阵。

在对称矩阵的特征分解中，对角矩阵$\Lambda$由特征值组成，其具有重要的物理意义。

特征值与特征向量

特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，在许多领域中有着广泛的应用。

它们的求解和分析在线性代数、物理学、工程学以及数据分析领域中扮演着重要角色。

本文将详细介绍特征值与特征向量的定义、性质及其在实际问题中的应用。

一、特征值与特征向量的定义在矩阵A中，如果存在非零向量x，使得Ax=λx，其中λ为标量，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。

特征向量表示了在矩阵变换下只发生比例缩放而不改变方向的向量。

二、求解特征值与特征向量的方法要求解特征值与特征向量，可以使用特征方程的方法。

对于一个n阶矩阵A，其特征方程为|A-λI|=0，其中I为单位矩阵，λ为特征值。

解特征方程可以得到矩阵A所有的特征值。

将每个特征值带入特征方程，可以求解对应的特征向量。

三、特征值与特征向量的性质1. 矩阵的特征值个数等于其阶数，即n阶矩阵有n个特征值。

2. 特征值与特征向量是成对出现的，特征值有多少个，对应的特征向量就有多少个。

3. 特征值可以是实数，也可以是复数。

4. 如果矩阵A是对称矩阵，则其特征向量是正交的。

5. 特征值的和等于矩阵的迹（主对角线上元素的和），特征值的积等于矩阵的行列式。

四、特征值与特征向量的应用领域1. 特征值与特征向量在物理学中的应用非常广泛。

例如，在量子力学中，特征向量对应着粒子的状态，特征值则是测量粒子所得到的数值结果。

2. 在工程学领域，特征值与特征向量可以用于解决振动问题、结构强度分析等。

通过求解特征方程可以得到物体的固有振动频率和振型。

3. 在数据分析中，特征值与特征向量可以用于降维、聚类、图像处理等。

通过分析特征向量的特征值大小，可以选择最重要的特征进行数据分析和模型建立。

总结：特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在矩阵的变换与分析中具有重要作用。

通过求解特征方程可以得到矩阵的特征值，进而求解对应的特征向量。

特征值与特征向量的性质和应用也使其在各个领域中得到广泛的应用。

矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用

矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用矩阵作为数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个科学领域中。

在矩阵的运算中，特征值和特征向量是其中的一个重要概念。

本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的性质以及它们的应用。

一、矩阵的特征值和特征向量的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个实数λ和一个n维非零向量x使得Ax = λx，则称λ为矩阵A的一个特征值，x为矩阵A的对应于特征值λ的一个特征向量。

特征向量可以是任意量值，但是特征向量的长度必须是1。

特征值和特征向量的性质特征值和特征向量都有一些重要的性质，其中一些性质如下：1.特征值的和等于矩阵A的迹假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1+λ2+…+λn=tr(A)其中tr(A)表示矩阵A的迹，即矩阵A的主对角线上元素的总和。

2.特征值的积等于矩阵A的行列式假设A的特征值为λ1，λ2，……，λn，则有：λ1λ2…λn=det(A)其中det(A)表示矩阵A的行列式。

3.对于对称矩阵，所有特征向量都是正交的如果一个矩阵A是对称矩阵，那么所有特征向量都是正交的，即对于不同的特征向量x和y，都有xTy=0。

4.如果一个矩阵是正定矩阵，那么所有特征值都是正的如果一个矩阵A是正定矩阵，那么所有特征值都是正的。

反之，如果一个矩阵A的特征值都是正的，那么矩阵A不一定是正定矩阵。

特征向量的应用特征向量在各个领域中都有非常广泛的应用，其中一些应用如下：1.图像处理特征向量在图像处理中有着非常重要的应用。

通过对一个图像的像素矩阵进行特征向量分解，我们可以得到该图像的主要特征，包括图像的边缘，轮廓等。

2.信号处理特征向量在信号处理中也有重要应用。

通过分析信号的特征向量，我们可以得到信号的主要频率分量，进行频率分析，识别峰值等。

3.机器学习特征向量在机器学习中也非常重要。

在特征提取中，我们可以通过对样本数据进行主成分分析，得到样本的主要特征向量，然后再利用这些特征向量进行分类。

对称矩阵的特征向量

对称矩阵的特征向量对称矩阵是指满足转置和原矩阵相等的矩阵。

特征向量则是在进行线性变换时不改变方向的向量。

在对称矩阵中，特征向量具有一些特殊的性质，本文将介绍对称矩阵的特征向量及它们之间的关系。

首先，我们来定义对称矩阵及其性质。

定义：设A是n阶矩阵，如果A的转置等于它本身，则称A为对称矩阵。

即A为对称矩阵当且仅当$a_{ij} = a_{ji}$。

性质：1.对称矩阵的特征值一定是实数。

2.对称矩阵的特征向量对应于不同特征值的向量是正交的。

3.对称矩阵的特征向量构成一组完备的基。

接下来，我们来证明这些性质。

证明性质1：设A是对称矩阵，x是A的特征向量，对应的特征值为λ。

则有Ax=λx。

将Ax转置，并利用A的对称性可得x^TA^T=λx^T。

由于A=A^T，所以上式可化简为x^TA=λx^T。

再将该式子转置可得Ax=λx^T。

将上述两式相减可得(Ax-λx)=0。

因此，(A-λE)x=0。

由于x是非零向量，所以可知矩阵(A-λE)的行列式为0。

则有，A-λE，=0。

这是一个n阶的多项式方程，一般情况下有n个解。

因此，对称矩阵的特征值一定是实数。

证明性质2：设A是对称矩阵，x和y是A的特征向量，对应的特征值分别为λ和μ。

则有Ax=λx，Ay=μy。

将第一个等式左乘y^T，并利用A的对称性可得x^TAy=λx^Ty。

再将该式子转置可得y^TAx=λy^Tx。

同样地，将第二个等式左乘x^T，并转置可得x^TAy=μx^Ty。

因此，λy^Tx=μx^Ty。

由于λ和μ是实数，且x和y是非零向量，所以y^Tx一定不为零。

因此，x和y是正交的。

证明性质3：设A是对称矩阵，λ1,λ2,...,λn是A的n个特征值。

对于每个特征值λi，设对应的特征向量为xi。

根据性质2，不同特征值对应的特征向量是正交的。

设α1,α2,...,αn是一组实数。

考虑向量y = α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn，我们有Ay =A(α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn)。

3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量

0 2 3
1
2
0
解
E A 2
0
2
2
2
( 1)( 2 )( 5 )
特征值:
3 1 1, 2 2 , 3 5
0
特征向量分别为:
1 , 2 , 3 不同， 1 , 2 , 3 两两正交，现把它们单位化. 2 1 2 3 3 3 1 1 1 1 3 32 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 3 3 1 2 2 2 1 3 3 3 则 1 , 2 , 3 是单位正交向量组 . 2 x3
1 1 1 , 3 0 0 1
也即 x1 + x2 + x3 = 0
2
x1 x 2 x 3
解得其基础解系为
1 1 0 1 0 1
3
解设特征值 3 对应的特征向量为
则 x 必与 1 正交，即 x 1 0 .
T
也即 x1 + x2 + x3 = 0
2
1 1 1 , 3 0 0 1
x1 x x2 x3
令 3） Q ( 1 , 2 , , n ），则正交矩阵
Q
1
Q 使得
AQ Λ
例3 求一个三阶实对称矩阵A, 它的特征值为6,3,3,
且对应于6的一个特征向量为1 (1,1,1) .
T
析
实对称矩阵一定可以对角化， 6
则存在可逆矩阵 P，有 P

(完整版)线性代数第五章特征值与特征向量(自考经管类原创)

Ak
( PP 1 )k
Pk P1
0 P
k
5
P1
上例中，对二阶方阵AP，存在可逆矩阵P, 使得P1AP .
对角阵的对角元是A的特征值，可逆阵P 即为相应对角元位置的特征值的线性无关的特征向量组成.
接下来，主要研究方阵化对角阵的问题.
定义设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
特征值， A 为 A 的一个特征值.
问题（：1）已知是A的特征值，求f (A)特征值
（2）已知f (A)=O，求A的特征值
例6 设3阶矩阵A的一个特征值是-3，则-A2必有一个特征值 ___
例7
设A=
1 0
2 3
,求B=A2
-2A+3E 的所有特征值 2
例8 设三阶矩阵A的特征值分别为1，2，3, 则 A 2E __
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程E A x 0.由
1 1 1 1 0 1
E
A
0
3
0
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
E A
a21
L
a22 L
LL
an1
an2 L
a1n
a2n
L
ann
称E A 为A的特征方阵 .
记 f E A ,它是的 n 次多项式,
称其为方阵 A的特征多项式 .
称以为未知数的一元n 次方程 E A 0
为A的特征方程 .

实对称矩阵的特征值和特征向量

把 1(2,1,0)T 2(2,0,1)T
正交化：
11(2,1, 0)T
2
2
12TT111
(2,0,1)T
4(2,1,0)T(2,4,1)T
5
55
将 1,2,3单位化，得到
21 1 12 2
5(2,1,0)T 5
5(2,4,5)T 15
1 0 1
1 0 1
1 11

2(0,1,1)T 2
32 3 322
(1,0, 0)T 2(0,1,1)T
2
一、实对称矩阵特征值的性质
定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。
证明：设 A是n阶实对称矩阵， 0是矩阵 A的在复数域上的任一特征值，属于 0 的特征向量为
(a 1,a2, ,an)T
则 A0 ( 0 )，于是，两边取复数共轭得到

在不计排列顺序情况下，这种对角化形式是唯一的。
（实对称矩阵A 的标准形！！）
例2 对矩阵 2 2 2 A 2 1 4 2 4 1
求一正交阵 Q , 使 Q1AQ 成对角矩阵。解：矩阵 A的特征多项式为
22 2 2 2 0 d eE tA ()2 142 1 3
A 0 A 0 A 0 (4.11)
实对称矩阵特征值的性质
对最后一式取复数转置，得到
TA0T
定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。
两边再右乘，得到 T A 0 T 0 T 0 T ( 0 0 ) T 0
1
Q TA Q Q 1A Q
于是 AQQT

2 2

5--实对称矩阵特征值与特征向量的性质

T AT T T A T 两端同时右乘 T A T T T
( ) 0
T
T 2
0,
练习
设 A 是 n 阶实对称阵且 A3 3 A2 5 A 3E 0，求A 的特征值。
x1 x2 T 3 （ 1， 1， 0） x3 0
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个。由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
1 1 0 B 4 3 0 1 2 1, 3 2. 1 0 2
( 2) 2 ( 7)
2 4 1 2 2, 3 7.
1 (2,1,0)T , 2 (2,0,1)T 为属于特征值2的线性无关的特
征向量. 3 7的特征向量为3 (1， 2， 2)T . 2 2 2 1 P 1 2 3 1 0 2 , P 1 AP 2 . 0 1 2 7
设为 A 的任一特征值，由 A3 3 A2 5 A 3E 0 知
3 3 2 5 3 0.
从而 1 或 1 2i 或 1 2i.
因为 A 为 n 阶实对称阵，所以 1 ，即 A 的特征值全部为 1.

性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。对一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。
1T 2 0.
例：设1， 1， 1是三阶实对称方阵A的3个特征值，
T T 1 （1， 1， 1） , 2 （2， 2， 1）是A的属于特征值1的特

五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件

,n
的列(行)
向量都是单位向量且两两正交．
由此可知A的列向量组构成 Rn的一个标准正交基。
同样的方法，行向量组也是。
例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解（2）由于
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1
9 8
9 9
4 9
4 9
9 7 9
1 1
,
e2
2 2
,
,er
r r
,
那么 e1, e2 , , er为W的一个标准正交基 .
上述
由线
性无关
向量
组1
,,
构造
r
出正交
向量组1,, r的过程,称为施密特正交化过程 .
例1 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1)T , a2 (1, 1, 0, 4)T , a3 (3, 5,1, 1)T
9 4
9
所以它是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 4
9
9 7
9
0
0
1
提示：此法为定义法，利用定理3如何证明？
定理2 设A, B皆是n阶正交矩阵,则
1 A 1或1
2 AT 即A1 也是正交矩阵.
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1

矩阵的特征值和特征向量的性质和应用

矩阵的特征值和特征向量的性质和应用矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念，它们具有广泛的应用价值和理论意义。

本文将介绍矩阵的特征值和特征向量的性质和应用，包括如何求解特征值和特征向量、它们代表什么、它们的几何意义与应用。

一、矩阵的特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量是矩阵A与具有相同列数的列向量x 相乘后，得到的仍是x的常数倍的非零列向量x所对应的特征值及其对应特征向量。

数学上，若矩阵A在向量x作用下相当于在x方向上只进行了伸缩，即Ax=λx；（式1）其中，λ表示特征值，x表示特征向量。

在式1中，右边的量可以看作把x向量伸缩λ倍，故特征向量x在矩阵作用下只是尺度改变，即特征向量具有确定的方向。

而特征值λ则表示向这个方向的伸缩倍数。

矩阵A有n个特征值λ1，λ2，…，λn，并对应于n个线性无关的特征向量x1，x2，…，xn。

这n个特征向量可以构成向量空间，且这个向量空间是矩阵A的不变子空间，称为A的特征空间。

二、矩阵的特征值和特征向量的求解对于一个n阶方阵A，要求它的特征值和特征向量，可以通过以下步骤：（1）解出特征方程将矩阵A与单位向量x相乘，得到Ax = λx移项得到(A-λE)x = 0其中，E为n阶单位矩阵，0为列全为0的列向量。

在矩阵A减去λE之后，可以用高斯消元法求出矩阵(A-λE)的秩rank，进而解出λ的值。

由于(A-λE)是一个n阶矩阵，因此可以求得n个特征值。

（2）求解特征向量对于每个特征值λi，构造矩阵(A-λiE)，对于矩阵(A-λiE)，对其进行高斯消元，得到对应的行阶梯形矩阵，这个矩阵的主元位置对应了基础解系的数量。

找出自由未知量，求解出特征向量x。

三、矩阵的特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量在很多领域得到了广泛的应用，例如：线性代数、物理学、机器学习、图像处理、信号处理等等。

1. 线性代数特征值和特征向量在线性代数中被广泛应用。

在矩阵论中，矩阵的对角化涉及到特征向量和特征值。

第五章第四讲对称矩阵特征值和特征向量的性质

实对称矩阵特征值与特征向量的性质

【学习】线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量

线性代数矩阵的特征值与特征向量

3.3实对称矩阵的特征值和特征向量 共14页

第五章 矩阵的特征值与特征向量

实对称矩阵的特征值和特征向量

第五章特征值和特征向量PPT课件

ch5-4 实对称矩阵的相似矩阵

第五章矩阵的特征值与特征向量

对称性的特征值与特征向量

特征值与特征向量

矩阵的特征值和特征向量的性质及其应用

对称矩阵的特征向量

3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量

(完整版)线性代数第五章特征值与特征向量(自考经管类原创)

实对称矩阵的特征值和特征向量

5--实对称矩阵特征值与特征向量的性质

五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件

矩阵的特征值和特征向量的性质和应用

3.3实对称矩阵的特征值和特征向量共14页

第五章矩阵的特征值与特征向量