平面向量的基本概念及线性运算 知识点

平面向量

一、向量的相关概念

1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0）

2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示

（1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |.

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||

AB AB ±)；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：

∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一

定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点

A B C 、、共线⇔ AB AC 、

共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法：

（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a

与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=。AB BC CD DE AE +++=

特殊情况：

a

b

a

b

a+b

b

a

a+b

(1)

平行四边形法则三角形法则

C

B

D

C

B

a

b

b

b

a +b

a +A

A

B

C C

)

2()

3(

对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a

（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______

（3）运算律：____ a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______

当a、b不共线时，

2.向量的减法：

（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

已知向量a、b，求作向量

∵(a b) + b = a + (b) + b = a + 0 = a

减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，

作OA= a, OB= b, 则BA= a b （指向被减数）

即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

注意：用“相反向量”定义法作差向量，a b = a +(-b) (b)

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一

a∥b∥c a b = a + (b) a b

3.实数与向量的积：

（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，

规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，λa与a平行.

（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.

特别提醒：

1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。

2)向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，

即b∥a b=λa（a≠0）.

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