波函数的统计诠释

p ( r , t ) Ne

i
( Et p r )
12
粒子的状态ψ(r,t)可以表示为p取各种可能值的平面波的线性叠加
(r , t )
由于p可以连续变化
c ( p )
p
p
(r , t )
(r , t )

c ( p , t ) p ( r ) dp x dp y dp z
0 U (x)
x a x a
（1）阱外（xa, x -a）
因为势壁无限高，粒子不能穿透阱壁，按照波函数的统计解
释，在阱壁和阱外粒子的波函数为零。
0,
x a
23
（2）阱内（a> x > -a）
2



2 2
2 m x
E
利用波函数在边界处连续，
( r , t ) A exp[ i ( k r t )]
例题： 求下面氢原子的1s电子的波函数的归一化系数
1s ( r , , ) 1s ( r ) e
r /a
9
解
根据归一化的定义，我们有
2
1s d r
3
1 s dxdydz 4 r ( e




11
如果波函数ψ1(r, t)，ψ2(r,t), …都是描述系统的可能的量子态， 那么它的线性叠加
c1 1 c 2 2 ... c n
n

c
n n
n
也是这个体系的一个可能的量子态， c1，c2, …一般也是复数。
二、平面波的叠加
一个以确定动量p运动的状态可以用下列波函数表示

i
Ent

1 a
sin
n 2a
( x a )e

i
E nt
25
束缚态：本征能 量小于势能，即 E<U0 基态：体系能量最 低的态
本征函数的奇偶性 取决于势能函数
26
2.7 线性谐振子
在自然界中一维谐振子广泛存在，任何体系在平衡位置附
近的小振动，如分子的振动、晶格的振动、原子和表面振动以
描写粒子的波称为几率波
6
（6）波函数的特性
波函数可以用来描写体系的量子状态（简称态或状态）。
在经典力学中，一旦用来描写质点状态的坐标和动量确定后， 其他力学量也确定了。 在量子力学中，用来描写体系某一量子态的波函数确定后， 体系的力学量一般有许多可能取值，这些可能取值各自以一 定的几率出现。 在经典物理学中，波函数
2
几率密度为：
w( x, y, z, t) ( x, y, z, t)
2
归一化条件可表示为：


( x, y, z, t) d 1
2
那么，称为归一化波函数
归一化波函数还可以含有一个相因子 e i
8
量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如 描述自由粒子的平面波函数。
含义：当粒子处于态 1 和态 在态 1 ，又处在态 2 。

2
c1，c2是复数
2
的线性叠加态时，粒子既处

c1 1 c 2 2
c1 1
2
2
( c 1 1 c 2 2 )( c 1 1 c 2 2 )
2

c1 2
c1 c 2 1 2 c1 c 2 1 2
及辐射场的振动等都可以分解成若干彼此独立的简谐振动。 质量为m、频率为ω的振子的哈密顿量可表示为
H px
2

1 2
m x
2
2
2m
定态薛定谔方程

2
d
2
2 m dx
(x) 2
1 2
m x ( x) E ( x)
2 2
27
令

m
2
x x,

m

35
习题 P52~53
1、3、4、5、7、8
36
1 2
x )
2 2
1(x)
m / )
2

x exp( 1/ 2
1 2
x )
2 2
(
32
谐振子波函数的奇偶性
n ( x ) ( 1) n ( x )
n
下面着重讨论一下基态 经典力学，对于能量E0= ħω/2的谐振子，粒子将限制在 范围内运动 对于量子力学，粒子将有一定的几率处于经典允许区之外，对于 基态，该几率为
E i t
p i
16
三、薛定谔方程
一般情况下
E
p
2
2
U (r )
根据能量和动量算符
i
t


2
2
U ( r )
2
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
17
几率密度
w ( r , t ) ( r , t ) ( r , t )
*
x 1
w


1 0
0 ( x ) dx 0 ( x ) dx
33
0 (x)

1/ 2
exp(
1 2
x )
2 2
w


exp( ) d
2
1 0
16 %
exp( ) d
2
经典允许区
34
n=10时线性谐振子的位置几率分布
(r, t)和c(p, t)是同一种状态的两种不同的描述方式， (r, t) 是以坐标为自变量的波函数， c(p, t)是以动量为自变量的波
函数。
2.3 薛定谔方程
经典力学中，决定任一时刻质点的运动方程－牛顿运动方程，
量子力学中，决定微观粒子任一时刻的状态方程－薛定谔方程 14
决定微观粒子任一时刻的状态方程必须满足两个条件：
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 波函数的统计诠释 2.2 态叠加原理 2.3 薛定谔方程 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.5 定态薛定谔方程 2.6 一维无限深势阱 2.7 线性谐振子
1
2.1 波函数的统计诠释
1、如何解释一个波所描述的一个粒子的行为？
（1）平面波可以用来描述自由粒子。 Ae
2 0
2
r / a
) e

r /a
dr
4
r e
2 0
2r /a
dr a
3
归一化的波函数为 1 s
~
1
a
e
3
r /a
10
2.2 态叠加原理
一、态叠加原理 经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理。 量子力学中的态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设。
c1 1 c 2 2
21
以En表示体系能量算符的第n个本征值， n是与En相应的波 函数，则体系的第n个定态波函数为
iE n t
n (r , t ) n (r )e
(r , t )

n
c n n ( r ) e

iE n t
22
2.6 一维无限深势阱
在一维空间运动的粒子，其势场满足
1 ( 2 )
3/2
式中
p (r )
e
i p r /
c (p , t )
1 ( 2 )
3/2

(r , t )e

i
p r
dBaidu Nhomakorabeadydz
13
(r , t )
1 ( 2 )
3/2
i

c (p , t ) e
p r
dp x dp y dp z
（1）机枪子弹的“双缝衍射”
1(x)和2(x)分别为单独开缝1或2时，靶上子弹的密度分布，
双缝齐开时，靶上子弹的密度分布1(x) ＋2(x)
3
（2）声波的双缝衍射
双缝齐开时，声波的强度分布不等于I1(x) ＋I2(x)，还包括两 者的干涉项。
4
（3）电子 的双缝衍射
设入射电子
流很微弱， 几乎是一个 一个地通过 双缝。图中
31
n ( ) N n e


2
2
H n ( ),
一维谐振子的能量及相应的波函数
E n (n
1 2
) ,
n 0, 1, 2, ...
1 2
n (x)

1/ 2
2 n!
n
exp(
x ) H n ( x )
2 2
0 (x)

1/ 2
exp(
Et
)
E是体系处在这个波函数所描写的状态时的能量。 定态与定态波函数
20
定态薛定谔方程
2 2 U ( r ) E 2
哈密顿算符
2
ˆ 2 U (r ) H 2
本征方程
ˆ H E
当体系处于能量本征态时，粒子的能量有确定值E
2.5 定态薛定谔方程
我们讨论力场中的势能U(r)与时间无关的情况
19
i
考虑一种特解
t


2
2
U ( r )
2
(r , t ) (r ) f (t )
1 [
2
i df f dt


2
U ( r ) ]
2
常数＝
E
( r , t ) ( r ) exp( i
(a ) ( a ) 0
体系的能量
E

2
2 2
n ,
2
n 1 , 2 , 3 , ...
24
8 ma
相应的归一化的波函数为
n 1 sin ( x a ), 2a a 0,

x a x a
n
定态波函数为
n ( x, t) ne
用级数解法，H只能为一个中断多项式，得到
2 n 1,
n 0 , 1 , 2 , ...
29
E n (n
1 2
) ,
n 0, 1, 2, ...
简谐振子的能谱是等间 隔的, 间距为ħω, 基态能 量不为零, 即零点能量为 ħω/2。
这是微观粒子波粒二象
性的表现，因为“静止
（1）方程是线性的 （2）方程的系数不应包括状态参量。
一、描述自由粒子的状态方程
i
自由粒子的波函数
( r , t ) Ae

( p r Et )
t

i
E

2
p
2 2

15
利用自由粒子
E
p
2
2
2
i
t


2

2
二、能量和动量算符
的”波没有意义。
30
厄密多项式
H n ( ) ( 1) e
n

2
d d
n n
e

2
递推关系
dH n ( ) d
2 nH
n 1
( )
H n 1 ( ) 2 H ( ) 2 nH
n 1
( ) 0
最简单的几个厄密多项式为
H0=1,
H1=2,
H2=42–2
几率密度随时间的变化率
w t
利用薛定谔方程

*
t

t
*

w t

i 2
*
( )
* *
令
J
i 2
( )
*
18
粒子数守恒定律
w t
J 0

w t
V
d J dS
S
统计诠释对波函数提出的要求： 波函数必须是有限的、连续的和单值的
的照片是在
不同时间下 拍的。
5
（4）就强度分布来说，电子的双缝衍射与经典波(如声波)的
双缝衍射是相似的，而与机枪子弹的分布完全不同．这种现象 应怎样理解呢? 在底板上点r附近衍射花样的强度
在点r附近感光电子的数目 在点r附近出现的电子的数目 电子出现在点r附近的几率．
（5）波恩提出的波函数统计诠释：波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
( x, y, z, t)
和 A ( x , y , z , t ) 代表了能
量或强度不同的两种波动状态； 而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态。 因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。
7
在时刻t，点(x, y, z)附近的体积元dV内找到粒子的几率dW可 以表述为：
dW ( x , y , z , t ) ( x , y , z , t ) d
2E
d d
2
( ) 0
2
首先考虑方程的渐近解
d
2
d
2
0,
2

2
~e

/2
28
因为波函数在无穷远处为有限，
~e

2
/2
e


2
2
H ( )
代入薛定谔方程，得
d H d
2
2
2
dH d
( 1) H 0
i ( k r t )
（2） 如果粒子受随时间或位置变化的力场的作用，可以用一 个函数来描写粒子的波，称为波函数。 （3）人们曾经错误地认为波是由它所描写的粒子组成的。
若粒子流的衍射现象是由于组成波的这些粒子相互作
用而形成的，衍射图样应该与粒子流强度有关，但实 验证明它们两者却无关。
2
2、波函数统计诠释