2.1.1 数列-王后雄学案
人教B版高中数学必修五《第二章数列2.1数列2.1.1数列》4
高一数学《等差数列（第1课时）》教课方案本节课是《一般高中课程标准实验教科书·数学5》（北师大版）第一章数列第二节等差数列第一课时．数列是高中数学重要内容之一，它不单有着宽泛的实质应用，并且起着承上启下的作用．等差数列是在学生学习了数列的相关观点和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为此后学习等比数列供给了“联想”、“类比”的思想方法．【教课目的】1．知识与技术1）理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是不是等差数列：2）账务等差数列的通项公式及其推导过程：3）会应用等差数列通项公式解决简单问题。
在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培育学生的察看、剖析、归纳能力和严实的逻辑思想的能力，体验从特别到一般，一般到特别的认知规律，提升熟习猜想和归纳的能力，浸透函数与方程的思想。
3.感情、态度与价值观经过教师指导放学生的自主学习、互相交流和研究活动，培育学生主动研究、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感觉到成功的愉悦。
在解决问题的过程中，使学生养成仔细察看、仔细剖析、擅长总结的优秀习惯。
【教课要点】①等差数列的观点；②等差数列的通项公式【教课难点】①理解等差数列“等差”的特色及通项公式的含义；②等差数列的通项公式的推导过程．【学情剖析】我所教课的学生是我校高一（7）班的学生（平行班学生），经过一年的高中数学学习，大多数学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思想能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，因此我在讲课时着重从详细的生活实例出发，着重指引、启迪、研究和商讨以切合这种学生的心剪发展特色，进而促使思想能力的进一步发展．【设计思路】1．教法①启迪指引法：这种方法有益于学生对知识进行主动建构；有益于突出要点，打破难点；有益于调换学生的主动性和踊跃性，发挥其创建性．②分组议论法：有益于学生进行交流，实时发现问题，解决问题，调换学生的踊跃性．③讲练联合法：能够实时稳固所学内容，抓住要点，打破难点．2．学法指引学生第一从三个现实问题（数数问题、水库水位问题、积蓄问题）归纳出数组特色并抽象出等差数列的观点；接着就等差数列观点的特色，推导出等差数列的通项公式；能够对各样能力的同学引导认识多元的推导思想方法．【教课过程】一：创建情境，引入新课1．从0开始，将5的倍数按从小到大的次序摆列，获得的数列是什么？2．水库管理人员为了保证优良鱼类有优秀的生活环境，用按期放水清库的方法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每日水位降低2．5m，最低降至5m．那么从开始放水算起，到能够进行清理工作的那一天，水库每日的水位（单位：m）构成一个什么数列？3．我国行蓄制度定行支付存款利息的方式利，即不把利息加入本息算下一期的利息．依据利算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）．按活期存入10000元，年利率是0．72%，那么依据利，5年内各年终的本利和（位：元）成一个什么数列？教：以上三其中的数涵着三列数．学生：1：0，5，10，15，20，25，⋯．2：18，15．5，13，10．5，8，5．5．3:10072，10144，10216，10288，10360.（置意：从例引入,是出了等差数列的背景,目的是学生感觉到等差数列是生活中大批存在的数学模型．通剖析,由特别到一般，激学生学研究知的自主性，培育学生的能力．二：察，形成定0，5，10，15，20，25，⋯．18，15．5，13，10．5，8，5．5．10072，10144，10216，10288，10360.思虑1上述数列有什么共同特色？思虑2依据上数列的共同特色，你能出等差数列的一般定？思虑3你能将上述的文字言成数学符号言？教：引学生思虑三列数拥有的共同特色，而后学生抓住数列的特色，得出等差数列观点．学生：分，可能会有不一样的答案：前数和后数的差切合必定律；些数都是依据必定序排列的⋯只需合理教就要予必定．教引出：等差数列的定；此外，教引学生从数学符军号度理解等差数列的定．（意：通必定数目感性资料的察、剖析，提出感性资料的本属性；使学生领会到等差数列的律和共同特色；一开始抓住：“从第二起，每一与它的前一的差同一常数”，落等差数列观点的正确表达．）三：一反三，稳固定1.判断以下数列能否等差数列？假如，指出公差d.(1)1,1,1,1,1;(2)1,0,1,0,1;(3)2,1,0,-1,-2;(4)4,7,10,13,16.教出示目,学生思虑回答．教正并求公差注意的．注意：公差d是每一（第2起）与它的前一的差，防备把被减数与减数弄倒，并且公差可以是正数，数，也能够0．（意：化学生等差数列“等差”特色的理解和用）．2思虑4:数列{an}的通公式an=3n+1，数列是等差数列？什么？（意：化等差数列的明定法）四：利用定，出通1.已知等差数列：8，5，2，⋯，求第200？2.已知一个等差数列｛an｝的首是a1，公差是d，怎样求出它的随意an呢？教出示，松手学生研究，而后列式拥有代表性的上去板演或投影展现．依据学生在堂上的详细状况行详细价、引，推方法，领会思想以及累加求通的方法；学生初步理数列的常用方法．（意：引学生察、、猜想，培育学生合理的推理能力．学生在分合作研究程中，可能会找到多种不一样的解决法，教要逐个点，并及必定、学生擅长、勇于新的品，激学生的造意．鼓舞学生自主解答，培育学生运算能力）五：用通，解决1判断100是不是等差数列 2，9，16，⋯的？假如是，是第几？2在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.3求等差数列3,7,11，⋯的第4和第10教：出，学生自己操，教巡学生答状况．学生：教叫学生代表此型的解思路，教充：已知等差数列的首和公差就能够求出其通公式（意：主假如熟习公式,使学生从中领会公式与方程之的系．初步“基本量法”求解等差数列．）六：反：教材131七：：1.一个定：等差数列的定及定表达式2.一个公式：等差数列的通公式3.二个用：定和通公式的用教：学生思虑整理，找几个代表言，最后教出充（设计企图：指引学生去联想本节课所波及到的各个方面，交流它们之间的联系，使学生能在新的高度上去从头认识和掌握基本观点，并灵巧运用基本观点．）【设计反省】本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，加强学生学习数列的兴趣．在研究的过程中，学生经过剖析、察看，归纳出等差数列定义，而后由定义导出通项公式，加强了由详细到抽象，由特别到一般的思想过程，有助于提升学生剖析问题和解决问题的能力．本节课教课采纳启迪方法，以教师提出问题、学生商讨解决问题为门路，以互相增补睁开教课，总结科学合理的知识系统，形成师生之间的良性互动，提升讲堂教课效率．。
2.2.1 等差数列-王后雄学案
张喜林制2.2.1 等差数列教材知识检索考点知识清单1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数d 叫做等差数列的 .2．等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列；等差数列的公差 时，数列为递减数列； 等差数列的公差 时，数列为常数列．等差数列不会是 ．3．等差数列的通项公式=n a4．要证明数列}{n a 为等差数列，只要证明：当2≥n 时，要点核心解读1．等差数列的定义在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”和“同一常数”，这体现了等差数列的基本特征，还要注意公差是“每一项与它前一项的差”，防止将被减数和减数颠倒，如果用数学符号来描述，可叙述为：若d n d a a n n ,2(]≥=-- 为常数），则}{n a 是等差数列．还可以写成：若d N n d a a u n ,1++∈<=- 为常数），则}{n a 是等差数列．[注意] 以上定义中的常数是相对于变量n （项数）而言的．2．等差中项如果a 、b 、c 成等差数列，则称b 是a 与c 的等差中项，由以上定义知：b 是a 与c 的等差中项甘a 、b 、c 成等差数列22c a b b c a +=⇔=+⇔ 3．等差数列的判定(1)用定义判定：即判定d a a n n =-+1（常数）)(+∈N n 或122++=+n n n a a a （即)112n n n n a a a a -=-+++ 是否成立．(2)用通项公式判定：即用}{n a 为等差数列q pn a n +=⇔q p 、(为常数）判定．4．等差数列的通项公式及其变式通项公式：d n a a n )1(1-+=（其中1a 为首项，d 为公差）．变式1：).()(⋅=/-+=m n d m n a a m n变式2：).2(11+∈≥--=N n n n a a d n 且 变式3：).(m n m n a a d m n =/--= [注意] (1)等差数列的通项公式是关于变量n （项数）的一次函数或常数函数（d=0时），因此在解决有关问题时，可用函数方法处理．(2)等差数列的通项公式实质是d a n a n ,,,1四者之间的关系式，只要知道其中三个的值，由它们便可求出另一个的值，特别地，要求等差数列的通项公式，只需先求出首项1a 和公差d5．等差数列的性质(1)等差数列}{n a 中，⋅∈-=-+),()(N m n d m n a a m n(2)若a ，b ，c 成等差数列，则k mc k mb k ma +++,.,也成等差数列（m ，k 为常数）．(3)等差数列}{n a 中，若,q p n m +=+则q p m n a a a a +=+).,,,(+∈N q p m n[特别注意] “数列}{n a 中，若,q p m +=则=m a ,,q P a a +是不成立的．(4)等差数列}{n a 中，若公差d>0，则数列}{n a 为递增数列；等差数列}{n a 中，若公差d<0，则数列}{n a 为递减数列．(5)等差数列}{n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列，证明：假设从第p 项起，每隔q 项抽出等差数列的项，则组成的新数列是,,,,32q p q q p p a a a a +++ρ ,,)1(q n p a -+ 则有--+q n p a )1(=-+q n p a )2(---+]1)1({q n r p qd d q n p =--+]}1)2([为常数所以等差数列}{n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，显然，剩下的项按原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列．(6)若数列}{n b 也是公差为d 的等差数列，则数列+n a 1{λ212}(λλλh n b 是常数）是公差为d )(21λλ+ 的等差数列.证明：因为,)1(,)1(11d n b b d n a a n n -+=-+=所以+n a ]λ])1([112d n a b n -+=λλ-++n b ([12λ,))(1()(]12]1211d n b a d λλλλ+-++=）所以=+--1211n n b a λλ+11[a λ+-])2(d n ])2([12d n b -+λ =)2()(1211-++n b a λλ+](λ,)2d λ所以=+-+--)()(121121n n n n b a b a λλλλ.)(21d λλ+所以数列2121,}{λλλλ<+n n b a 是常数）是公差为d )(21λλ+的等差数列．利用等差数列的性质可使有些问题的解题过程十分简捷．6．等差数列与一次函数的关系通项公式,)1(11d a dn d n a a n -+=-+=即n a 是n 的一次函数式，故表示等差数列各项的点都在一条直线上．如：首项为l ，公差为2的等差数列的通项公式为,12-=n a n 相应的图象是直线12)(-=x x f 上均匀排列开的无穷多个孤立的点，如图2 -2 -1 -1所示，由函数的图象可得等差数列的单调性：当d>0时，数列}{n a 为递增数列（图2 -2 -1-2甲）；当d<0时，数列}{n a 为递减数列（图2 -2 -1-2乙）；当d=0时，数列}{n a 为常数列（图2 -2 -1-2丙）．请注意图象，公差d 恰好为所在直线的斜率，因此有=d ,(n m n m a a n m =/--斜率公式）． 典例分类剖析考点1 等差数列的概念命题规律(1)判断所给出的数列是否为等差数列．(2)判断某一项或某些项是否为等差数列中的项．(3)证明某一数列为等差数列．[例1] (1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2) -401是不是等差数列-5，-9，-13，…中的项？如果是，是第几项？(3)若数列}{n a 的通项⎩⎨⎧≥+==),2(12),1(1n n n a n 试问数列}{n a 是等差数列吗？ [解析] 第(1)小题是求等差数列的指定项，我们可以先求出首项1a 和公差d ，然后将它们代入等差数列的通项公式，即可求出相应的项，第(2)小题是判断一个数是否为一个等差数列的项，只需令此数等于通项公式，并求解此方程，如果它有正整数解，则此数为该数列的项，否则不是．[答案] (1) 由,20,385,81=-=-==n d a 得.49)3()120(820-=-⨯-+=a(2)由,4)5(9,51-=---=-=d a得到这个数列的通项公式为).1(45---=n a n设-401=-5 -4(n -1)成立．解这个关于n 的方程，得n=100.∴ -401是这个数列的第100项．(3)数列}{n a 不是等差数列，根据等差数列定义，一个数列是等差数列的充要条件是从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，而此数列中虽然有,23423==-=- a a a a 但是,2412=/=-a a 因此此数列不满足等差数列的条件，所以它不是一个等差数列，但可以这样说：此数列从第2项起组成一个等差数列．[启示]d a ,]和n 是等差数列的三个基本量，有关等差数列的问题都可以利用这三个基本量来求解这种方法称为基本量法．[例2]在等差数列}{n a 中，已知,5,1185==a a 求⋅10a[解析] 由题目可获取以下主要信息：已知等差数列中的某两项，求另外一项，解答本题可利用通项公式进行．[答案] 设数列}{n a 的公差为d ．由题意知：⎩⎨⎧=+=+,57,11411d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2,191d a 故.212)2()1(19+-=-⨯-+=n n a n.12110210=+⨯-=∴a[规律方法] 在等差数列}{n a 中，首项1a 与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关d a 、1的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．母体迁移 1．若,2b c a =+则是否有++c b c a (),5(22)(),2b ac a +能构成等差数列．考点2 等差数列的性质及应用命题规律(1)考查对性质的灵活运用．(2)利用等差数列的性质解决一些计算繁琐的问题，达到减小计算量，优化解题过程的目的．[例3] (1)在等差数列}{n a 中，==++642741,15a a a a a a ,45求数列的通项公式；(2)设}{n a 为等差数列，若,45076543=++++a a a a a 求,82a a +(3)若数列}{n a 为等差数列，),(,q p p a q a q p =/==求⋅+q p a[答案] ,2)1(62471a a a a a +==+.1354741==++∴a a a a10,5624=+∴=∴a a a 且.962=a a62,a a ∴是方程09102=+-x x 的两根，⎩⎨⎧==∴9,162a a 或⎩⎨⎧==1,962a a 若12=a 且,96=a 则.32,2-=∴=n a d n同理可得.213n a n -=故32-=n a n 或.213n a n -=(2)解法一：,28256473a a a a a a a +==+=+.0455576543==++++∴a a a a a a.1802,905825==+∴=∴a a a a解法二：因为}{n a 为等差数列，设首项为,1a 公差为d ，+=++++++=+++∴11117435632a d a d a d a a a a ,20d 即d a d a 4,45020511+∴=+ ，90=.180********=+=+++=+∴d a d a d a a a(3)解法一：可用通项公式求解，,)1(,)1(11d q a a d p a a q p -+=-+=①⎩⎨⎧=-+=-+∴.)1(,)1(11p d q a q d p a 两式相减，得⋅-=-p q d q p )(.1,-=∴=/d q p 代入①，有.1,)1)(1(11-+=∴=--+q p a q p a故.0)1()1(1)1(1=-⋅-++-+=-++=+q p q p d q p a a q p解法二：利用关系式d m n a a m n )(-+=求解，,)(,)(d q p p q d q p a a q p -+=∴-+=即.1,.)(-=∴=/-=-d q p d q p p q故.0)1()][(=-+=-++=+q q d p q p a a p q ρ解法三：利用一次函数图象求解．不妨设p<q ，由于等差数列中，n a 关于n 的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点 ,(),,q a p p （),(),q p q a q p a ++共线．设,m a q p =+由已知得三点),(),,(),,(m q p p q q p +共线（如图2 -2 -1-3）．由 △ABE ∽ △BCF 得,CFBF BE AE = pm p q q p m p p q p q -=∴-+-=--∴1)( 得,0=m 即.0=+q p a[启示] (1)等差数列性质q p n m +=+“且,,,p n m ”q p n m a a a a N q +=+⇒∈+是否可推广为“若,,+∈N n m 则+m a ”？n m n a a +=不行．例如，当n a n 213-=时，则,854=+a a 而.59-=a 显然 ,n m n m a a a +=/+但该性质可推广为三项情形，即s q p t n m ++=++且+⇒∈+m a N s q p t n m ,,,,,”s q p t n a a a a a ++=+以及四项乃至一般情形，只要两边项数一样，且下标和相等即可，请你完成它的证明．(2)上述各种解法无不体现了等差数列性质的灵活运用．母体迁移 2．等差数列}{n a 中：(1)若,,147n a m a ==则=21a(2)若,1531-=++a a a 则=++++54321a a a a a(3)若,52.,34525432==+++a a a a a a 且,24a a >则=5a(4)若,53=a 则=+412a a考点3 等差数列的通项公式命题规律(1)利用解方程组的方法求1a 和d ，从而求出通项公式．(2)利用通项公式及其变形形式解决一些简单的问题[例4] （2010年辽宁省部分重点中学联考题）在等差数列{n a }中，已知,5,1185==a a 求⋅10a[答案] 方法一：设数列}{n a 的公差为d ，由题意知：⎩⎨⎧=+=+,57,11411d a d a 解得 ⎩⎨⎧-==.2,191d a 故 .212)2()1(19+-=-⨯-+=n n a n.12110210=+⨯-=∴a 方法二：,,)(m n a a d d m n a a m n m n --=∴-+=,231155858-=-=--=∴a a d .1)2(252810=-⨯+=+=d a a[方法技巧] 在等差数列}{n a 中，首项1a 与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关d a 、1的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．母体迁移 3．已知两个等差数列 ,11,8,5:}{n a 与,,11,7,3:}{ n b 它们的项数均为100项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？考点4 等差数列与一次函数命题规律(1)深刻理解等差数列，进一步理解数列是一特殊的函数，特例是等差数列是一次函数，其中公差d 为斜率．(2)可用函数的性质来处理等差数列问题．[例5] 已知(1，1)，(3，5)是等差数列}{n a 图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)画出这个数列的图象；(3)判断这个数列的单调性．[答案] (1)由于(1，1)，(3，5)是等差数列}{n a 图象上的两点，所以,5,131==a a 由1213=+=d a a,52=+d 解得,2=d 于是.12-=n a n(2)图象是直线12-=x y 上一些等间隔的点（图略）．(3)因为一次函数12-=x y 是增函数，所以数列}{n a 是递增数列．[启示] 本题综合考查数列的通项公式、图象和性质．母体迁移 4．已知数列}{n a 的通项公式为+=2pn a n qn （常数).,R q p ∈(1)当p ，q 满足什么条件时，数列}{n a 是等差数列？(2)求证：对于任意的实数p 和q ，数列}{1n n a a -+是等差数列．考点5 等差数列模型的实际应用命题规律(1)利用等差数列的知识从实际问题中抽象出等差数列的模型．(2)通过构造等差数列的模型去解决实际问题．[例6] 某人有七位朋友，第一位朋友每天晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一个晚上到他家去，第三位朋友每隔两个晚上去他家串门，第四位朋友每隔三个晚上去他家做客．依此类推，直至第七位朋友每隔六个晚上在他家出现．这七位朋友昨晚在主人家中碰面，他们还会同一个晚上在主人家中碰面吗？[答案] 第一位朋友每天晚上在主人家；第二位朋友以后在主人家中的天数为：2，4，6，8，…，这些数构成以2为首项，公差为2的等差数列，通项公式为：,2⋅=n a n第三位朋友以后在主人家中的天数为：3，6，9，…，这些数构成以3为首项，公差为3的等差数列，通项公式为：,3⋅=n a n第四、五、六、七位朋友晚上在主人家的天数分别构成以4，5，6，7为首项，公差为4，5，6，7的等差数列；通项公式分别为：;7,6,5,4n a n a n a n a n n n n ====他们要在同一晚上出现，这个数应为这七个数列的公共项，这一项是2，3，4，5，6，7的倍数，而2，3，4，5，6，7的最小公倍数为420，因此第420，840，1260，…天晚上他们会同时在主人家出现．母体迁移 5．为了测试某种金属热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从C 100开始第1次测量细棒长度，以后每升高C50测量一次，把依次量得的数据所成的数列}{n l 表示成图象如图2 -2 -1-4，根据图象解答下列问题：(1)第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？(2)求}{n l 的通项公式和金属长度L （单位：m ）关于温度t 单位：℃）的函数关系式（设长度是关于温度的一次函数）；(3)在C 30的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到,500C o 问铺设时两块金属板之间至少要留多宽的空隙？优化分层测讯学业水平测试1.2006是等差数列4，6，8，…的( )．A ．第1002项B ．第1001项C ．第1003项D ．第1006项 2．在数列}{n a 中，),(122,211++∈+==N n a a a n n 则101a 的值为( )．49.A 50.B 51.C 52.D3．在等差数列中，),(,n m m a n a n m =/==则n m a +为( )．n m A -. 0.B 2.m C 2.n D4．设数列}{},{n n b a 都是等差数列，且=+==2211,75,25b a b a ,100则3737b a +等于( )． 0.A 37.B 100.C 37.-D5．在等差数列}{n a 中，若,45076543=++++a a a a a 则82a a +的值等于 6．若,b a =/两个等差数列b x x a ,,,21与b y y y a ,,,,321的公差分别为,,21d d 则=21d d 7．已知数列}{n a 中，,66,2171==a a 通项n a 是项数n 的一次函数，则通项公式=n a 8．体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有15个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位．你能用n a 表示第n 排的座位数吗？第10排能坐多少个人？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．（2011年重庆高考题）在等差数列}{n a 中，,4,232==a a 则=10a ( )．12.A 14-B 16.C 18.D)23lg(2-⋅与)23lg(+的等差中项为( )．0.A 2323lg+-⋅B )625lg(-⋅C 1.D3．等差数列}{n a 中，),(,l m m a l a i m =/==则通项公式为( )．n l m a A n ++=. n m a B n -+=1. l m n a C n --=. 2.nl m a D n ++=4．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n m ( )． 1.A 43.B 21.C 83.D5．-个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是( )．2.-A3.-B4.-C 6.-D 6．（2010年湖北黄冈调考题）已知数列}{n a 的前n 项和为=n s ,2n 则++++322111a a a a200620051a a ++的值是( )．214010.-A 214011.-B 214012.-C 214013.-D 7．（高考题改编）下表给出一个等差数阵，其中每行每列都是等差数列，⋅ij a 表示第i 行第J 列的数，则66a 的值是( )．50.A 43.B 24.C 58.D8．（2010年北京海淀区练习题）已知数列}{},{n n b a 都是公差为l 的等差数列，其首项分别为,11b a 、且∈=+1111,,5b a b a ⋅+N 设),(+∈=N n a c n b n 则数列}{n c 的前10项和等于( )．55.A 70.B 58.C 010.D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分．共20分）9．（2009年上海高考题）已知函数．,tan sin )(x x x f +=项数为27的等差数列}{n a 满足),2,2(ππ-∈n a 且公差.0=/d 若+)(1a f ,0)()(272=++a f a f 则当=k 时，.0)(=k a f10.（2010年南京市调考题）将等差数列2，7，12，17，22，…中的数按顺序抄写在本子上，如下表所示，若每行写12个数，每页共15行，则数2007应抄在第 页第 行第 个位置上．11.（2010年苏州市模拟题）在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数为 12.若)23lg(),23lg(,lg +-x x x 成等差数列，则=22log x三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）已知数列}{n a 为等差数列，,1c a =公差为l ，若=n b ),(122++∈-N n a a n n 试判断数列}{n b 是否为等差数列？并证明你的结论．14.（13分）（2010年东北八校联考题）已知数列}{n a 为等差数列，关于x 的方程2122++++i i i a x a x a),,,2,1(0n i ==且d d a i (0=/为公差）． (1)这些方程是否有公共根？若有，求出它；若没有，请说明理由； (2)在方程有一个公共根的条件下，设另一个根为,i x 则⋅+++11,,11,1121n x x x 是否成等差数列？证明你的结论．15.（14分）（2010年北京模拟题）已知数列}{n a 和}{n b 满足关系式：⋅∈+++=+)(21N n na a ab nn (1)若,2n b n =求数列}{n a 的通项公式；(2)若}{n b 是等差数列，求证：}{n a 也是等差数列．。
高中数学人教B版必修5学案：2.1.1数列课堂探究学案(含答案)
2.1.1 数列课堂探究一、对数列通项公式的理解剖析：(1)数列的通项公式实际上是一个以自然数或它的有限子集{1，2，…，n }为定义域的函数表达式．(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项．(3)与所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如2的不足近似值，精确到1，0．1，0．01，0．001，0．000 1，…，所构成的数列1，1．4，1．41，1．414，1．414 2，…就没有通项公式．(4)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，正如数列：－1，1，－1，1，－1，1，…，它可以写成a n ＝(－1)n，也可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数，还可以写成a n ＝(－1)n＋2(n ＝1，2，3，…)等，这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列． (5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出数列的通项公式并不唯一．二、函数思想在数列中的应用剖析：数列是一种特殊的函数，判断数列的单调性，求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决．(1)数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集(或它的有限子集)，值域是数列中的项的集合．(2)数列的通项公式是项a n 与项数n 的等量关系式．从函数的思想看，就是函数值a n与自变量n 的等量关系式．利用通项公式求数列中的项的问题，从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题．因此，用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单．(3)数列中求数列最大(小)项的问题也是常见题目，就是用函数的思想求函数的最值问题，可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题，如图象法等，可使问题简单化．(4)数列中求数列的单调性问题也是常见题目．就是用函数的思想求数列的单调性问题，可利用函数单调性的定义求数列的单调性，又使问题函数化了．总之，在函数中研究的函数性质在数列中都有可能利用到，利用函数的思想解决数列的有关问题可达到事半功倍的效果．三、教材中的“思考与讨论”是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，请写出一个这样的数列的通项公式．(提示：先定义一个在(0，＋∞)上，且函数值都小于5的函数)剖析：存在这样的数列，如a n ＝－1n ，a n ＝5－2n等均满足条件．题型一 数列的概念【例1】 下列哪些表示数列？哪些不表示数列？(1){1，5，2，3，6，7}；(2)方程x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝0的解；(3)f (x )＝x 2－x ＋2的函数值f (－1)，f (0)，f (1)，f (2)； (4)当x ＝1时，x ，x ＋1，x －2，x 2，2x的值； (5)－3，－1，1，x ，5，7，y ，11．分析：由数列的定义，抓住两点：(1)是否是一列数；(2)是否按照一定的顺序排列，即可判断出是否为数列．解：(1){1，5，2，3，6，7}表示的是一个数集，而不是数列； (2)表示的是方程的解，虽然是数，却没有一定的顺序，不能叫数列； (3)f (－1)，f (0)，f (1)，f (2)是有顺序的一列数，是数列；(4)当x ＝1时，x ，x ＋1，x －2，x 2，2x 都是一些数，而且具有顺序，故是数列； (5)当x ，y 表示数时为数列；当x ，y 中有一个不代表数时，便不是数列．反思：运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是：(1)判断这组元素是否都是数；(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列．注意：按一定顺序不表示该数列具有规律性，即数列中的每一项可以是有规律的，也可以是无规律的． 题型二 根据通项公式求项【例2】 根据下面数列的通项公式，写出它们的前5项．(1)a n ＝n2n ＋1；(2)a n ＝3n ＋2n．分析：已知数列的通项公式，依次用1，2，3，…代替公式中的n ，便可以求出数列的各项．解：(1)在通项公式a n ＝n2n ＋1中，依次取n ＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项为a 1＝12×1＋1＝13，a 2＝22×2＋1＝25，a 3＝32×3＋1＝37，a 4＝42×4＋1＝49，a 5＝52×5＋1＝511．(2)在通项公式a n ＝3n ＋2n中，依次取n ＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项为a 1＝3×1＋21＝5，a 2＝3×2＋22＝10，a 3＝3×3＋23＝17，a 4＝3×4＋24＝28，a 5＝3×5＋25＝47．反思：数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，便可以求出相应的各项，实际上相当于已知函数的定义域和解析式，求函数值．题型三 由数列的前几项写通项公式 【例3】 分别写出下列数列的一个通项公式：(1)－114，329，－5316，7425，－9536，…；(2)4，－52，2，－74，…；(3)5，55，555，5 555，…； (4)1，1，57，715，931，…；(5)3，3，15，21，33，…．分析：从前几项中观察出项与序号之间的规律，用一个式子表达出来即可． 解：(1)因为数列的各项是负正项交替出现的，所以用(－1)n来调节，数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分，整数部分是1，3，5，7，9，为奇数，分数的分子是1，2，3，4，5，正好是序号，分母是4，9，16，25，36，正好是平方数，这样我们可以归纳出数列的通项公式为a n ＝(－1)n⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n －1)＋n(n ＋1)2．(2)将数列前4项改写成分数的形式：41，－52，63，－74，可得该数列的通项公式a n＝(－1)n ＋1n ＋3n． (3)由于9，99，999，9 999，…的通项公式是10n－1，所以将题中数列各项改写可得：5＝59×9，55＝59×99，555＝59×999，5 555＝59×9 999，可得该数列的通项公式a n ＝59(10n －1)．(4)原数列可写成：11，33，57，715，931，…，得该数列的通项公式为a n ＝2n －12n －1．(5)原数列可写成3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，…，得该数列的通项公式为a n ＝3×(2n －1)． 反思：常见数列的通项公式如下：①数列－1，1，－1，1，…的通项公式是a n ＝(－1)n； ②数列1，2，3，4，…的通项公式是a n ＝n ； ③数列1，3，5，7，…的通项公式是a n ＝2n －1； ④数列2，4，6，8，…的通项公式是a n ＝2n ；⑤数列1，2，4，8，…的通项公式是a n ＝2n －1；⑥数列1，4，9，16，…的通项公式是a n ＝n 2； ⑦数列11，12，13，14，…的通项公式是a n ＝1n ；⑧数列1，3，6，10的通项公式是a n ＝n (n ＋1)2．题型四 判断数列的增减性【例4】 已知函数f (x )＝x －1x．数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n ＞0．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的增减性．分析：先根据已知条件解方程求a n ，然后利用作差或作商法判断数列{a n }的增减性． 解：(1)∵f (x )＝x －1x，f (a n )＝－2n ，∴a n －1a n＝－2n ，即a 2n ＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n ±n 2＋1， ∵a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n ． (2)解法一(作差法)：∵a n +1－a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)－(n 2＋1－n ) ＝(n ＋1)2＋1－n 2＋1－1＝－1＝(n ＋1)＋n(n ＋1)2＋1＋n 2＋1－1， 又(n ＋1)2＋1＞n ＋1，n 2＋1＞n ， ∴(n ＋1)＋n(n ＋1)2＋1＋n 2＋1＜1． ∴a n +1－a n ＜0，即a n +1＜a n ． ∴数列{a n }是递减数列． 解法二(作商法)： ∵a n ＞0，∴a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)＜1． ∴a n +1＜a n ．∴数列{a n }是递减数列． 反思：数列{a n }增减性的判定方法：(1)作差比较法①若a n +1－a n ＞0恒成立，则数列{a n }是递增数列； ②若a n +1－a n ＜0恒成立，则数列{a n }是递减数列； ③若a n +1－a n ＝0恒成立，则数列{a n }是常数列． (2)作商比较法【例5】 设函数f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )＝2n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)数列{a n }中有没有最小的项？若有最小项，试求出此项和相应的项数；若没有最小项，请说明理由．分析：第(1)问可用代入法求得a n 的关系式，再通过解方程求得a n ．第(2)问可利用函数的单调性来判断．解：(1)由已知，得log 22n a－log 2a n 4＝2n ，即a n －2a n＝2n ，即a 2n －2na n －2 ＝0，解得a n ＝n ±n 2＋2．又0<x <1，∴0<2n a<1． 故a n <0(n ∈N ＋)，∴a n ＝n －n 2＋2(n ∈N ＋)．(2)有．∵a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2 ＝n ＋n 2＋2n ＋1＋(n ＋1)2＋2<1， 又a n <0，∴a n ＋1>a n (n ∈N ＋)， 即a 1<a 2<a 3<…<a n <a n ＋1<…，∴数列的最小项为第1项，a 1＝1－3．反思：本题(1)可运用方程思想，(2)可运用函数思想，数列实质上是定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n })上的函数，判断数列随n 增大而变化的规律的方法与判断函数的单调性相同． 题型六 易错辨析【例6】 已知在数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]错解：因为a n 是关于n 的二次函数，其定义域为正整数集，故若{a n }递增，则必有k2≤1，故k ≤2．故选A ．错因分析：函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的特殊函数，故对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n +1与a n 的大小来判断：若a n +1＞a n ，则数列为递增数列；若a n +1＜a n ，则数列为递减数列．正解：a n +1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ．由于{a n }单调递增，故应有a n +1－a n ＞0，即2n ＋1－k ＞0恒成立，所以k ＜2n ＋1，故只需k ＜3即可．故选B ． 答案：B。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 2.1 数列 2.1.1 数列》_26
普通高中课程标准实验教科书人教B版数学必修5《2.1.1数列的概念与简单表示法（第一课时）》教学设计一、教学内容分析本节内容是人教B版高中数学必修五第二章第一节第1课时.学生在前面已充分学习了函数内容，对高中函数知识已经有了较为全面的认识和一定程度的理解.“数列”作为高中数学的重要内容之一，是数学运算、逻辑推理等训练的重要载体.数列知识是从数学角度观察、理解生活中数列模型和数列现象的基本知识，是前面所学函数知识的延伸和应用，.就本节课而言，这是一节章节起始课，学生通过这节内容的学习，一方面在掌握数列概念的同时加深了对函数概念的理解；另一方面也可以为其后学习其他数列知识打下基础.同时，这是一节概念课，数列概念是本节课的基础知识；函数思想是基本思想；用恰当的方法表示数列和会求简单数列的通项和项是本节课的基本技能.作为一节概念课，在教学内容的设计与安排上，本课遵循概念形成的教学方式，遵循从形象到抽象的思维规律，学生经历了“分析大量实例—探究实例的共同属性和本质属性—抽象出数学概念—对概念进行理解和应用”完整的概念形成过程.过程中从生活实例中抽象出数列概念的本质属性和构成要素，渗透了数学抽象的核心素养；观察数列的前几项探究发现数列的通项公式等内容环节设计，也使得直观想象和数学运算核心素养得到一定程度的渗透和提升，发散联想应用列表法和图像法探究数列和函数的区别与联系.同时过程中鼓励学生以自主探究、合作交流等方式展开学习，从而体现数列概念的育人价值.二、教学目标分析1.了解数列的概念（1）通过实例归纳探究，引入数列的概念，理解数列的概念；感受数列是刻画自然规律的数学模型.（2）了解数列的几种分类，能判断简单数列属于哪一类的数列.2.了解数列的简单表示法（1）重现数学史上数学家的探究经历，引入数列的通项公式.（2）能根据一些简单的已知数列的前几项，写出数列的通项公式.3.了解数列是特殊的函数（1）经历对数列的项数和项之间关系的探究过程，能认识到数列是一种特殊的函数；通过具体实例，了解数列的图象法和列表法的表示方法，体会数列和函数的区别.（2）能运用函数的思想解决数列的问题.4.经历数列概念的形成过程中，通过对现实生活案例的抽象过程，了解数学探究的基本流程，提升数学抽象核心素养，提高学生归纳推理的能力，了解数学史和数学文化，增加数学学习兴趣，体会数列是反映自然规律的数学模型.三、学生学情分析在小学、初中学生已经经历通过找规律填数，感受顺序（数）与图形数之间的一一对应关系.经过高一阶段的学习，特别是学习了“函数的概念”后，学生在观察、抽象、概念等方面有了一定的基础.但概念学习中，有些同学还是习惯于记忆，自己主动构建概念的意识不够.在形成概念的过程中，学生辨别各种刺激模式、抽象概括出观察对象的共同本质特征，并用数学预言表达等方面表现出了不同的水平，从而影响整体教学.所以，数列概念的抽象和数列与函数的关系是本节课的教学难点.四、教学策略分析概念越是基本，就越能反映事物的深刻联系和广泛应用.因此，必须对概念做精准定位.数列是一个基本概念，它是刻画离散现象的数学模型，在很多区域有重要作用.学生经历问题的提出与分析过程，创设有利于学生辨别、抽象、概括的“刺激模式”——问题情境，是实施本节课教学活动的基础.因此，本节课采用了合作探究的学习模式，通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生发现和掌握知识，落实数学基本活动经验.具体做法是借助3个生活实例情境来贯穿整节课的教学活动过程，通过观察3个实例的共同点来探究数列的本质属性；通过大量具体生活实例来理解数列的分类并判断数列的类别；通过经历数学史上数学家探究数列通项的实例，学习数学文化，a与序号n之间是存在等式关系的，抽象出数列通项公式的概念，并能归纳猜想数列的项n对简单有规律的数列由前几项写出一个通项公式，通过辩证思维认识数列通项的不唯一性和不是所有的数列都有通项.通过联想对比认识数列与函数之间是有联系的，通过列表法和图象法来探究数列与函数的区别（分析问题与解决问题），并最终运用函数思想解决求它们的项或者序号n的问题.这样保持了教学活动的整体性和连续性.处理好数列与函数的关系是本节课的一个难点.通过列表、画图、通项公式三种表示方式将数列的学习与研究放在函数的大背景下，用函数的观点来研究数列，指导数列的学习是本节课的重要思想.而渗透在这个过程中的学生主动观察与猜想，探索与求证，正是发展其思维能力的最佳时机和重要过程.五、教学过程活动1 情境引入，感受数列问题1.1生活要有仪式感，生活中我们经常看到这样的道具，一个高台上摆满了酒杯，从上往下每一层的酒杯数分别是多少？我们得到了一列数1,3,5,7,9，这一列数中7是第几个数，能否改变它们的顺序？（民俗中的数列）问题1.2有的同学喜欢吃拉面，拉面在制作过程中拉的次数分别为1,2,3,4,5,6时看到的面条根数分别为多少？我们得到了一列数2,4,8,16,32,64，…这一列数中32是第几个数，能否改变他们的顺序？（生活中的数列）问题1.3 我国奥运健儿从88年汉城奥运会到16年里约奥运会金牌数分别为多少（教师收集资料，展示给学生）？这一列数5，16，16，28，32，51，38，26中，能否改变数的顺序？（体育中的数列）问题1.4 三列数有什么共同特点？（1）1 , 3 , 5 , 7 , 9 .（2）2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64，…（3）5，16，16，28，32，51，38，26.师生活动：教师创设三个具体的生活情境，并给出问题，学生回答，教师引导学生注意一列数中每个数的顺序性，初步认识数列的特点，抽象出数列的概念.设计意图：教师创设问题情境，学生解决问题，感受数列，体会数列中数是有顺序的，形成数列的概念.注意事项：教师要引导学生注意数的顺序性.活动2 归纳总结，认识数列问题2.1什么是数列？师生活动：教师给出问题，学生探讨，学生代表作答，教师借助多媒体给出完整的叙述并板书.问题2.2第一个数列中，第一项是多少，也是什么项？第二项是多少，第三项是多少，第四项是多少，第五项是多少？第二个数列中，2是第几项？4是第几项？8是第几项？16是第几项？32是第几项？64是第几项？第三个数列中，第5项是多少？51是第几项？首项是多少？师生活动：教师给出问题，学生回答，引导学生认识数列中项的含义和项与序号的对应关系、顺序性.设计意图：学生通过具体实例认识数列中的项、首项和项与序号的对应，理解数列项的顺序性，认识项与序号之间的对应关系.问题2.3试一试：请写出一列数构成数列，并说明每一个数是数列的第几项.师生活动：教师给出探究，学生独立完成，教师指导巡查.学生完成后，教师在黑板上a符号规范书写.向全班同学展示一位同学的成果（无通项的数列），运用n设计意图：学生初步运用数列的定义进行独立探究，通过运用知识，更好理解数列的概念.教师通过展示并规范书写，激发学生学习数学的热情，并让学生更好的运用数学符号，培养好的数学书写能力.注意事项：教师要引导学生认识数列，并注意学生对数列符号的运用及规范书写.问题2.4一列数可以构成数列，还可能构成什么？数列的项与数集的元素有什么区别？师生活动：教师给出问题，学生思考探讨回答问题.教师引导分析，让学生认识到数列的项是有顺序，但是可以相等，数集中的元素满足无序性和互异性.设计意图：通过对比，对数列定义进行辨析，进一步理解数列中项的特征.注意事项：学生很容易发现项的顺序性，教师可借助奥运会金牌的实例引导学生认识到数列和数集的区别.活动3 初步运用，数列分类活动3.1数学家定义了数列后，写出了大量的数列，结合数列的特点进行了简单的分类.按照项数是否有限，若项数有限，称为有穷数列，若项数无限，称为无穷数列.也可以按项的大小关系，如果从第二项起，每一项都大于前一项，称为递增数列；如果从第二项起，每一项都小于前一项，称为递减数列；如果从第二项起，每一项都等于前一项，称为常数列；如果从第二项起，有的项大于前一项，有的项小于前一项，称为摆动数列.活动3.2你能判断三个数列为哪种数列？教师给出问题，学生代表回答.活动3.3教师给出教材P28-29页观察，学生独立思考，学生代表回答问题.师生活动：教师给出完整的数列分类，并板书，过程中学生参与表达.教师给出问题，学生探讨，学生代表作答.设计意图：教师在数列定义的基础上直接给出数列的分类，学生运用知识判断具体的数列是哪种类别，促进学生思考，提高解决问题的能力.活动4 数学文化，探究通项活动4.1教师引导学生认识正方形数、三角形数和谢宾斯基三角形，学生由图形写出数列的前几项，归纳数列的项与序号之间的等式，形成通项公式的定义，并理解数列的项与序号的对应关系.设计意图：教师介绍数学史上数学家对数列的研究的故事，让学生了解数学文化，认识数列项与序号的对应关系，体会通项公式与项之间的对应关系.活动4.2数列的前5项分别是以下各数，写出各数列的一个通项公式．（1）2，4，6，8，10.（2）1，2，4，7，8，16.（3）1，-1，1，-1，1.（4）1，12-，13，14-，15.（5）2，0，2，0，2.师生活动：教师给出问题，学生思考讨论完成.教师巡查指导，并找出两位同学到黑板上写出结果，师生共同点评，认识到数列的通项不一定唯一.设计意图：学生通过数列的前5项写出数列的通项公式，并通过讨论和点评对比，认识到数列的通项不一定唯一.注意事项：教师引导学生注意n 的取值为正整数，指导学生规范书写.教师要关注部分学生是否能写出数列的通项公式.活动4.3 请写出有规律五个数作为一个数列的前五项，其他同学写出这个数列的一个通项公式.是不是所有的数列都有通项公式？师生活动：教师给出问题，学生合作，相互完成.教师给出思考，辨析概念.设计意图：培养学生解决问题的能力.注意事项：教师要注意学生能否写出数列的通项，能否认识到通项的不唯一性和不一定存在性，教师要注意巡查指导，必要时借助学生列举的不规则数列说明.活动5 辨析数列，突破难点问题5.1你由数列的通项公式联想到什么？问题5.2 数列的项n a 可以理解为序号n 的函数吗，如果可以，有什么特别之处？问题5.3 函数有哪些表示方法，数列呢？师生活动：教师逐一给出问题，学生探讨，学生代表作答.教师展示具体数列*2,n a n n N =∈的三种表示方法，在展示过程中让学生发现数列图象的特点，意识到数列是特殊的函数.设计意图：让学生意识到数列是特殊的函数，数列由相应的三种表示方法. 问题5.4 已知数列的通项如下，请写出数列的前5项.()()()()21211;21 1 .n n n a n a n +==-+变式：已知数列{}n a 的通项为2*1,n a n n N =-∈，判断99是不是数列中的项，若是数列中的项，是第几项？师生活动：教师给出问题，学生探讨，学生代表作答.设计意图：让学生运用函数思想解决数列问题，并意识到数列的n 只能是正整数.注意事项：教师引导学生归纳解决问题的方法.活动6 总结整理，提炼升华本堂课，我们学习了哪些知识？本节课学习的主要内容有：1.数列的概念和分类;2.数列的通项公式；3.数列的表示方法与函数的关系.师生活动：教师给出问题，学生整体回答.设计意图：总结本堂课的内容和方法.注意事项：教师要注意知识的补充：数列的通项公式不一定唯一；不是所有的数列都有通项公式；数列是特殊的函数，定义域为自然数集（或子集），图象是离散的点.活动7 课后思考，课后练习问题 数列的第n 项n a 与第1n +项1n a +之间是否存在等式关系，数列是否还有其他的表示方法？（三角形数）课后练习 教材31页A 组练习1,2,3,5.师生活动：教师给出思考，学生课后阅读教材和资料，完成思考，并巩固练习.设计意图：通过练习巩固新知，通过思考让学生课后探究发现数列项与项之间的等式，发现递推公式也是表示数列的一种方法.。
辽宁省庄河市高中数学第二章数列2.1.1数列教案新人教B版必修5
2.1.1数列●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣 ●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义） 上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序. 从而引出数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式：,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1=来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
王后雄学案必修1
∙第一章集合与函数概念o 1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示∙ 1∙下列条件所指对象能构成集合的是()．A．与0非常接近的数B．我班喜欢唱歌的同学C．我校学生中的团员D．我班的高个子学生∙∙ 2∙若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是()A．3.14B．－5C．D．∙∙ 3∙用符号∈或填空．(1)－3________N；(2)3.14________Q；(3)________Z；(4)0________N；(5)________Q；(6)________R；(7)1________N*；(8)π________R．∙∙ 4∙下列语句是否能确定一个集合？(1)你所在的班级中，体重超过75kg的学生的全体；(2)大于5的自然数的全体；(3)某校高一(1)班性格开朗的女生全体；(4)质数的全体；(5)平方后值等于－1的实数的全体；(6)与1接近的实数的全体；(7)英语字母的全体；(8)小于99，且个位与十位上的数字之和是9的所有自然数．∙∙ 5. 下列四个集合中，不同于另外三个的是()．A．{y|y＝2} B．{x＝2}C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}∙ 6∙(2011年浙江)设a，b，c为实数，f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．记集合S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是()．A．|S|＝1且|T|＝0B．|S|＝1且|T|＝1C．|S|＝2且|T|＝2D．|S|＝2且|T|＝3∙∙7∙已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()．A．0∉M B．2∈M C．－4∉M D．4∈M ∙∙8∙定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为()A．0 B．2 C．3 D．6 ∙9∙由实数x，－x，，所组成的集合里最多有______个元素．∙10∙用“∈”或“”符号填空：(1)；(2)32________N；(3)π________Q；(4)；(5)；(6)．∙∙11∙设，则集合中所有元素之积为________．∙设数集A中含有两个元素2a和a2＋a，求a满足的条件．∙用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标构成的集合．∙∙13∙集合可化简为________．以下是两位同学的答案，你认为哪一个正确？试说明理由．学生甲：由得x＝0或x＝1，故A＝{0，1}；学生乙：问题转化为求直线y＝x与抛物线y＝x2的交点，得到A＝{(0，0)，(1，1)}．∙∙14∙已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}．(1)若A中只有一个元素，求a的取值范围；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．1.1.2 集合间的基本关系1如果A＝{x|x＞－1}，那么正确的结论是()．A．0A B．{0}A C．{0}∈A D．∅∈A2给出下列命题，其中正确的个数是()①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④如果集合B A，那么若元素不属于A，则必不属于B．A．1B．2C．3D．43下列四个集合中，是空集的是()．A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}4已知集合M＝{0，1，2}，则集合M的非空真子集有________个．5已知集合{2x，x2－x}有且只有4个子集，则实数x的取值范围为________．(用集合表示)6判断下列表示是否正确：(1)a{a}；(2){a}∈{a，b}；(3){a，b}{b，a}；(4){－1，1}{－1，0，1}；(5){－1，1}；(6){x|x2－x＝0}＝{x∈R|x2＋1＝0}．7下列命题或记法中正确的是()．A．N∈Q B．∅{0}C．空集是任何集合的真子集D．(1，2){(1，2)}设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()．A．a≥2B．a≤1C．a≥1D．a≤29在“①0∈{0}，②0∈∅，③{0}∅，④{0}＝∅”这四个表达式中正确的是()．A．全部B．只有①和②C．只有①和③D．只有②和③10集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是()．A．B．C．D．11设，，则下列各式中正确的是()．A．a M B．M{a} C．{a}∈M D．{a}M12定义A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1，3，4，6}，B＝{2，4，5，6}，则A*B的子集个数为()．A．3B．4C．5D．613若集合A＝{1，3，x}，B＝{x2，1}，且B A，则满足条件的实数x的个数为()．A．1B．2C．3D．414(2007年全国)设a，b∈R，集合，则b－a＝()．A．1B．－1C．2D．－215设集合A＝{2，a}，B＝{a2－2，2}，若A＝B，则实数a＝________．16设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，，则A、B的关系是________．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B A，则实数m＝________．18(2008年山东)满足M{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是________．19.设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，(1)若B A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围1.1.3 集合的基本运算1(2010年全国)设全集U＝{x∈N*|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则(A∪B)＝()．A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}2已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|x－y＝0，x，y∈R}，则集合A∩B 的元素个数是()．A．0B．1C．2D．33已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且，则实数a的取值范围是() A．a≤1B．a＜1C．a≥2D．a＞24(2008年浙江)已知U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤－1}，则()．A．∅B．{x|x≤0}C．{x|x＞－1} D．{x|x＞0或x≤－1}5已知A＝{1，4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，求x的值及集合B．6在①(M∩N)N；②(M∪N)N；③(M∩N)(M∪N)；④若M N，则M∩N＝M这四个结论中，正确的个数是()．A．1B．2C．3D．47(2011年湖北)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，5}，则(A ∪B)＝()．A．{6，8} B．{5，7}C．{4，6，7} D．{1，3，5，6，8}8(2009年山东)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为()．A．0B．1C．2D．49(2009年安徽)若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B是()．A．{1，2，3} B．{1，2}C．{4，5} D．{1，2，3，4，5}10(2011年辽宁)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩M＝，则M∪N＝()．A．M B．N C．I D．11(2009年江西)已知全集U＝A∪B中有m个元素，中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()．A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n12(2010辽宁)已知集合U＝{1，3，5，7，9)，A＝{1，5，7)，则＝()．A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}13(2010年江苏)设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．14(2009上海)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．15(2009湖南)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．16(2009年江西)50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．17设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B，A∩B．18集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}．(1)若A∩B＝，求a的取值范围；(2)若A∪B＝{x|x ＜1}，求a的取值范围．19已知集合S＝{1，3，x3＋3x2＋2x}，A＝{1，|2x－1|}，如果＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，说明理由．o 1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念∙ A∙下列说法中，不正确的是()．A．函数的值域中每一个数在定义域中都有数与之对应B．函数的定义域和值域一定是不含数0的集合C．定义域和对应法则完全相同的函数表示同一个函数D．若函数的定义域中只有一个元素，则值域也只含有一个元素∙∙ B∙函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为()．A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}∙∙ C∙与y＝|x|为同一函数的是()．D．y＝x A．B．C．∙∙ E∙已知f(x)＝x2＋2x，则f(x－1)＝________．∙∙ F∙已知函数f(x)＝ax＋b，且f(3)＝7，f(5)＝－1，求f(0)，f(1)的值．∙∙G∙下列表达式中表示函数的有()．①y＝x(x－3)②③y＝x0(x≠0)④f(x)＝1A．4个B．3个C．2个D．1个∙∙H∙下列函数中，定义域不是R的是()．A．y＝kx＋b B．C．y＝x2－c D．∙∙I∙下列对应为A到B的函数的是()．A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x| B．A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2C．A＝Z，B＝Z，f：D．A＝[－1，1]，B＝{0}，f：x→y＝0∙∙J∙下列各组函数中，表示同一函数的为()．A．f(x)＝|x|，B．，C．，g(x)＝x＋1D．，∙∙K∙(2008年全国)函数的定义域为()．A．{x|x≥0} B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}A(2009江西)函数的定义域为()．A．[－4，1B．[－4，0)C．(0，1] D．[－4，0)∪(0，1]B设A到B的函数为f1：x→y＝2x＋1，B到C的函数为f2：y→z＝y2－1，则A到C的函数f是()．A．f：x→z＝4x(x＋1) B．f：x→z＝2x2－1C．f：x→z＝2－x2D．f：x→z＝4x2＋4x＋1C若f(x)的定义域为[－1，4]，则f(x2)的定义域为()．A．[－1，2] B．[－2，2] C．[0，2] D．[－2，0]D(2011年浙江)设函数，若f(α)＝2，则实数α＝________．E若函数y＝f(x)的定义域是[0，1]，则函数F(x)＝f(x＋a)＋f(2x＋a)(0＜a＜1)的定义域是________．F已知，g(x)＝x2＋2，则f(2)＝________，f[g(2)]＝________．G将长为a的铁丝折成矩形，则面积y与一边长x之间的函数关系式为________，定义域为________．H已知(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(2)]的值；(3)求f[g(x)]的解析式．I求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)(x ∈{0，1，2，3})．J已知函数，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m＞1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．K已知函数在(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．1.2.2 函数的表示法A若f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于()．A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋7B一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为()A．y＝50x(x＞0) B．y＝100x(x＞0) C．(x＞0) D．(x＞0)C如图是函数y＝－|x|(x∈[－2，2])的图象是()．A．B．C．D．D已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f：A→B下对应的元素，且对任意的a∈A，f(a)＝|a|，则集合B中元素的个数是()．A．4B．5C．6D．3E一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：要使每天的收入最高，每间房的定价应为________元．F函数的值域为________．G设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|1≤y≤2}，给出下列四个图形，如图所示，其中能表示从集合M到N 的函数关系的有________个．H某商店有游戏机12台，每台售价200元，试求售出台数与收款总数之间的函数关系(用解析法表示)，并作出函数的图象．A以下几个论断：①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射；②函数y＝x－1，x∈Z且x∈(－3，3]的图象是一条线段；③函数的图象是抛物线．其中正确的论断有()．A．0个B．1个C．2个D．3个B下列关于分段函数的叙述正确的有()．①定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；②尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是一个函数；③若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则D1∩D2＝．A．1个B．2个C．3个D．0个C设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列的对应不表示从P到Q的映射的是()．A．f：B．f：C．f：D．f：E(2008年山东)设函数则的值为()．A．B．C．D．18F(2008年重庆)函数的最大值为()．A．B．C．D．1G(2010安徽)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()．A．B．C．D．H(2010天津)设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，则f(x)的值域是()．A．[，0]∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C．[，＋∞)D．[，0]∪(2，＋∞)I(2011年浙江)设函数若f(a)＝4，则实数a＝________．J(2012年宁波)f(x)的图象如图所示，则f(x)＝________．K已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则f[g(1)]的值为________；当g[f(x)]＝2时，x＝________．L(2011年湖南)给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f(n)＝n－k．(1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为________；(2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为________．M某质点在30s内运动速度v是时间t的函数，它的图象如图所示．用解析法表示出这个函数，并求出9s时质点的速度．A作出函数y＝|x－3|＋|x＋7|的图象，并根据图象求出函数的值域．B试画出函数f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(－2)，f(1)，f(3)的大小；(2)若0＜x1＜x2，试比较f(x1)与f(x2)的大小．C对定义域分别是D f、D g的函数y＝f(x)、y＝g(x)，规定：函数(1)若函数f(x)＝－2x＋3，x≥1，g(x)＝x－2，x∈R，写出函数h(x)的解析式；(2)求问题(1)中函数h(x)的最大值．。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 2.1 数列 2.1.1 数列》_6
《2.1.1数列的概念》问题导读评价单【学习目标】
1.理解数列及其有关概念，了解数列的简单分类；
2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会
根据其前几项写出它的个通项公式；
3.了解数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以
进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
【重点难点】
教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。
教学难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
【知识链接】
1.集合的概念是什么？
2集合的表示方法有哪些？
【预习评价】
问题1.数列概念是什么？
问题2.什么是数列的通项公式？
问题3.数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
问题4.对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？
【我的问题】
1．
2．。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 2.1 数列 2.1.1 数列》_24
数列专题复习——数列求和教学目标：1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式； 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．教学重点：等差、等比数列的求和公式及非等差、等比数列求和的几种常见方法的应用．教学难点：非等差、等比数列的求和．教学方法：启发式、讲练结合．教学过程：一、复习回基本公式1.公式法：即直接用公式求数列的前n 项和Sn=a1+a2+a3+…+an①等差数列前n 项和： ②等比数列前n 项和：⎪⎩⎪⎨⎧=--≠=)1(1)1()1(11q qq a q na s n n ③1+2+3+….+n=2)1(+n n ④)12)(1(61 (3212)222++=++++n n n n ⑤233332)1(......321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n 例1. 1+3+5+….+(2n-1)=＿ =+++++n 2.....222132＿二、学生活动1．等差、等比数列直接运用公式求和（直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法）2．分析、概括各种数列的特征，从特征中寻求解决的方法．三、建构数学题型1公式法求和．题型2分组求和法．有一类数列，既不是等差数列，又不是等比数列，若将这类数列适当拆开，则可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其相加，即可得出原数列的和．题型3裂项相消法求和．这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，错位相减法求和．题型4这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求d n n na a a n s n n 2)1(2)(11-+=+=数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列．例2． n aa a a S 1.......111132+++++=（对a 进行=1和≠1分类讨论）备用例题：1、求数列a ，2a 2，3a 3，4a 4，…，na n ，…(a 为常数)的前n 项和．解析若a ＝0， 则S n ＝0．若a ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n +1)2 ．若a ≠0且a ≠1，则S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋ na n ，∴aS n ＝ a 2＋2 a 3＋3 a 4＋…＋na n +1，练习.练习：已知实数a 、b 满足，4a 2+9b 2-4a-6b+2=0求a+a 2b+a 3b 2+…+a 100b 99总结：在求等比数列前n 项和时，要特别注意公比q 是否为1。
数学人教B版必修5教学设计：2.1.1数列 含答案 精品
教学设计2．1.1 数列整体设计教学分析本节教材通过举例引出数列概念，教材上列举了7个例子，这7列数的排列都具有一定的规律，教学时也可举几个各项数是随机的、没有什么规律的例子．注意函数定义域的表述．符号N＋与N*表示正整数或非0自然数．教材中的例1可由学生自己完成．例2中的3个小题都要通过观察并分析数的性质，有一定难度．例3是为了加强数列与函数的联系，教学时要重视．对数列概念的引入可作适当拓展．一方面从研究数的角度提出数列概念，使学生感受数列是刻画自然规律的基本数学模型；另一方面可从生活实际引入，如银行存款利息、购房贷款等，使学生对这些现象的数学背景有更直观认识，感受数列研究的现实意义，以激发学生学习数列的兴趣．(1)教学中要注意留给学生回味、思考的空间和余地．(2)数列是一种特殊函数，其定义域是正整数集N*(或它的有限子集)，值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的对应值．教科书通过数列的定义域与值域之间这种一一对应关系的列表，让学生加深对数列是一种特殊函数的认识．(3)对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，这些函数值也可以组成一个数列，教学中要注意数列与函数的这种关系的把握．教材上对数列进行了两种分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，常数列，摆动数列．这些分类的严格定义不要求学生记忆，只要学生知道上述分类是依据不同分类标准得出的并能对所给数列的类别作出准确判断就可以了．三维目标1．通过本节学习，让学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊函数，把数列融于函数之中；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式．2．通过探究、思考、交流、实验、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，大胆猜想．培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度．3．通过本节章头图的学习，体会数学来源于生活，理解大自然的丰富多彩，感受“大自然是懂数学的”，从而提高学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：理解数列及其有关的概念，了解数列通项公式的意义；了解数列和函数之间的关系．教学难点：根据数列的前几项，归纳出数列的通项公式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图引入)斐波那契(Fibonacci Leonardo，约1170～1250)，意大利著名数学家，保存至今的斐波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》，《算盘全书》中许多有趣的问题中最富成功的问题是著名的兔子繁殖问题：如果每对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄)，而子兔在出生后第三个月里就又能生1对子兔．试问一对兔子50个月会有多少对兔子？由此展开新课的探究．思路2.(直接引入)利用多媒体打出教材前言中的几列数．这是与集合中的元素不同的一列数，有一定的次序，告诉学生这就是我们要研究的数列，由此直接进入新课．推进新课新知探究提出问题(1)阅读课本章头图，列出前5个月中每个月兔子的总对数.(2)每个同学取一张纸对折，假设纸的原来厚度为1个长度单位，面积为1个面积单位，那么随着依次对折的次数增加，它的厚度和每层纸的面积分别是多少？(3)怎样理解数列？与集合有什么不同？什么是数列的项？怎样表示数列a1，a2，a3，…，a n，…？(4)你能举出身边的哪些数列？(5)怎样对数列分类？什么是有穷数列？什么是递增数列？(6)怎样理解数列与函数的关系？(7)什么是数列的通项公式？(8)数列有哪些简单的表示方法？活动：教师引导学生阅读课本章头的插图，直观感知大自然是懂数学的，激起进一步探究的欲望．通过阅读课本，知道三角形数是1,3,6,10，….由于这些数都能够表示成三角形，就将其称为三角形数，知道正方形数是1,4,9,16，….由于这些数都能够表示成正方形，所以被称为正方形数．教师将两列数用课本演示出来，引导学生观察它们的共同特征．接下来让学生折纸可得到两列数，随着对折数的增加，厚度依次为2,4,8,16，…，256，…；随着对折数的增加，面积依次为12，14，18，116，…，1256，….教师引导学生阅读课本并弄清有穷数列、无穷数列的概念，之后提出问题：相同的一组数按不同顺序排列时，是否为同一个数列？一个数列中的数可以重复吗？0,0,0，…，0，…是数列吗？让学生结合数列的概念进行辨析．显然，根据数列的概念1,2,3；2,3,1是两个不同的数列.0,0,0，…，0，…也是数列．这点与集合不同．集合讲究无序性、互异性、确定性，而数列强调有顺序，且同一数字可重复．也就是说数列具有确定性、有序性、可重复性，这样根据数列的每一项随序号变化的情况可以对数列进行分类，按项数多少可分为有穷数列、无穷数列；按各项的变化规律可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．根据以上探究，数列中的数与它的序号是一种怎样的关系呢？序号可看作是自变量，数列中的项可看作是随之变动的量．这就让我们联想到了函数，认识到数列也是函数，是一种特殊的函数，特殊到自变量只能取非零自然数．如数列2,4,8,16，…，256，…中，项与序号之间的对应关系如下：项 2 4 8 16 32 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 一般形式则为项 a 1 a 2 a 3 … a n … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 … n …由此得出，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数a n ＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数y ＝f(x)，如果f(i)(i ＝1、2、3、4、…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….因此，如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．函数与数列的比较(由学生完成此表)：关于数列的表示方法，与函数一样，数列也可以用图象法、列表法等方法来表示．由于数列中的自变量只能取正整数，所以其图象应是一系列孤立的点．例如上面问题中提出的函数y ＝2x ，当x 依次取1,2,3，…时，我们可以得到函数值构成的数列2,4,6，…，2n ，…，这个数列还可用列表法与图象法表示如下：对于数列的图象法表示，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ，a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1，12，13，14，…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．讨论结果：(1)1,1,2,3,5(3)按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，又可简记为{a n }．(7)数列的通项公式也就是相应的函数的解析式．(8)数列的几种简单表示方法有通项公式法(解析式法)、列表法和图象法． (2)(4)(5)(6)略．应用示例例1(教材本节例2)活动：本例3个小题，都要通过观察，并分析数的性质，有一定难度．教师可引领学生一起分析，然后由学生完成．同时要让学生领悟题目中为什么要求写出“一个”通项公式．如第2小题奇数项为0，偶数项为2，显然具备这种特点的数学式子不是唯一的．点评：解完本例后要让学生领悟，这种由数写出数列前几项的题目，解决的关键是找出这列数与序号之间呈现的规律性的东西．然后通过归纳写出这个数列的通项公式．但要注意，根据数列的若干项写出通项公式的形式可能不是唯一的．如本例中的2学生可能就有以下几种写法：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，(n 为奇数)，2，(n 为偶数)或a n ＝2|sin n ＋12π|或a n ＝2|cos nπ2|，等等．因此教师可就此点拨学生：由函数的观点可知，数列的通项公式实质上就是函数的对应法则的解析式表示，而我们知道函数的对应法则并不是都能用解析式表示出来的，因此也不是所有的数列都能写出通项公式来，即使存在通项公式也不一定唯一．变式训练根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9,11，…；(2)0,1,0,1,0,1，…；(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…；(4)2，－6,12，－20,30，－42，….解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝1＋(－1)n2；(3)将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1，…， ∴a n ＝n ＋1＋(－1)n2；(4)将数列变形为1×2，－2×3,3×4，－4×5,5×6，…， ∴a n ＝(－1)n ＋1n(n ＋1)．例2(教材本节例3)活动：教材设计本例的目的是为了加强数列与函数的联系，用研究函数性质的方法研究数列的性质．这一点非常重要，应引起学生的极大重视．本例中的第1问实际上就是函数的有界性，第2问的递增递减数列就是函数的单调性．教师与学生一起分析后，可由学生自己完成．点评：解完本例后，可让学生结合思考与讨论，总结本例的思想方法．因为这一点学通了，后面的内容就好学了．变式训练写出数列1，24，37，410，513，…的通项公式，并判断它的增减性．解：数列的通项公式为a n ＝n3n －2， ∵a n ＋1－a n ＝n ＋13(n ＋1)－2－n3n －2＝－2(3n ＋1)(3n －2)＜0，即a n ＋1＜a n ，这说明每相邻的两项中，后项小于前项，由此可知数列为递减数列．例3写出下面数列的一个通项公式：(1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)1,0，－13，0，15，0，－17，0，…. 解：(1)a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(2)a n ＝n 22.原数列可写成12，42，92，162，252，…，这样数列中各项数的规律就一目了然了．(3)a n ＝1n sin nπ2.原数列可写成11，02，－13，04，15，06，－17，08，…，这样分母依次为1,2,3，…，而分子依次为1,0，－1,0，由此想到三角函数．变式训练以下通项公式中，不是数列3,5,9，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝n 2－n ＋3C ．a n ＝－23n 3＋5n 2－253n ＋7 D ．a n ＝2n ＋1答案：D例4求数列{－2n 2＋9n ＋3}中的最大项．活动：教师首先引导学生熟悉这个数列，即是10,13,12，…，－2n 2＋9n ＋3，…，其通项公式为a n ＝－2n 2＋9n ＋3，可以看出a n 与n 构成二次函数，可完全类比二次函数求最值的方法，但要注意这里n ∈N *这一隐含条件．解：由题意，知a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2(n －94)2＋1058.∵n 为正整数，由二次函数的图象和性质，知 当n ＝2时，a n 取到最大值13.∴数列{－2n 2＋9n ＋3}中的最大项为a 2＝13.点评：数列的项与项数之间构成特殊的函数关系．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意到函数的定义域为正整数集这一约束条件．变式训练已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2(n 2＋3)－2，那么log 23是这个数列的第__________项．答案：3例5图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形．在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．图3解：如题图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1，所以这个数列的一个通项公式是a n ＝3n －1.该数列在直角坐标系中的图象如下图．点评：本例是用通项公式和图象两种方法表示谢宾斯基三角形中着色三角形个数构成的数列．解完此题后，让学生总结数列的表示方法．变式训练根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有__________个点．答案：n2－n＋1解析：经观察，第n个图中间1个点向n个方向发散，每个方向上另有(n－1)个点，所以第n个图中点的总个数为n(n－1)＋1＝n2－n＋1.知能训练1．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是：(1)1,8,27,64，…；(2)3，3，15，21，….2．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n(n＋1)，则380是这个数列的第__________项．答案：1．(1)a n＝n3；(2)a n＝3(2n－1).2．由380＝n(n＋1)，n∈N*，可解得n＝19.课堂小结1．由学生总结本节课所学习的主要内容：数列的有关概念；根据数列的前几项写出数列的通项公式，反过来，根据数列的通项公式求其任意一项；数列与函数的关系．2．通过知识性的小结，尽快地把课堂探究的知识转化为学生的素质能力；通过特殊到一般、类比等思想方法的运用，更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用．并通过章头插图的阅读与理解，更加热爱大自然、保护大自然．作业课本本节习题2—1 A 组1～6；习题2—1 B 组1～3.设计感想本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念．设计的教学方法是让学生自主探究，呈现“现实情境——数学模型——应用于现实问题”的特点．让学生通过观察、分析、归纳、猜想，培养学生主动探究的精神．感受到大自然的神奇与奥妙，激发热爱大自然的热情，并自发保护大自然，真切领悟到大自然才是我们人类智慧的源泉．本教案设计体现对学生发散性思维的培养，本节的难点之一就是由数列的前几项写出它的一个通项公式，这个通项公式不是唯一的．设计中鼓励学生根据所学知识，充分施展种种奇思妙想，最大限度地开挖学生的潜能．本教案的设计加强了数学思想方法的运用，这也是本章的特色，可以说本章简直就是数学思想方法的王国．如不把握好这一点，正如入宝山而空手回．如类比思想、归纳思想及特殊到一般的思想方法等．备课资料备用习题1．数列3,7,13,21,31，…的通项公式是( ) A ．a n ＝4n －1 B ．a n ＝n 3－n 2＋n ＋2 C ．a n ＝n 2＋n ＋1 D ．不存在 2．根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项： (1)a n ＝nn ＋1；(2)a n ＝(－1)n ·n. 3．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)2,0,2,0.4．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值是__________．5．已知数列{9n 2－9n ＋29n 2－1}：(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间(13，23)内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．参考答案：1．C 解析：代入选择支验证即可．2．解：(1)a 1＝12；a 2＝23；a 3＝34；a 4＝45；a 5＝56.(2)a 1＝－1；a 2＝2；a 3＝－3；a 4＝4；a 5＝－5. 3．解：(1)a n ＝(－1)n ＋1n；(2)a n ＝(－1)n ＋1＋1.4.6116解析：∵a 1a 2＝22，a 1a 2a 3＝32，a 1a 2a 3a 4＝42，a 1a 2a 3a 4a 5＝52， ∴a 3＋a 5＝3222＋5242＝6116.5．解：(1)设f(n)＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －23n ＋1，令n ＝10，得a 10＝f(10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300， 此方程在自然数集内无解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1， 又∵n ∈N *， ∴0＜33n ＋1＜1.∴0＜a n ＜1.(4)令13＜a n ＝3n －23n ＋1＜23.∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，即⎩⎨⎧ n>76，n<83.∴76＜n ＜83. ∴当且仅当n ＝2时上式成立．故区间(13，23)上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. (设计者：周长峰)。
【非常学案】2014-2015学年高中数学 2.1.1 数列课件 新人教B版必修5
4 · . 3n－1
数列通项公式的简单应用
数列{an}的通项公式是 an＝(－1)
n－1
n2 · ， 2n－1n＋1
81 写出该数列的前 5 项， 并判断170是否是该数列中的项？如果是， 是第几项，如果不是，请说明理由．
【思路探究】 (1)通项公式已知，如何求 a1，a2，a3，a4， a5？(2)怎样说明某一数是不是一数列中的项？
类别
含义
递增数列 从第二项起，每一项 大于它的前一项的数列
递减数列 从第二项起，每一项 小于 它的前一项的数列
常数列 摆动数列 各项 相等 的数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项 小于它的前一项的数列
数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个函数 式 an＝f(n) 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 .
an2＋b 7 已知数列 2，4，2，„的通项公式为 an＝ cn ，求这个数 列的第四项和第五项．
a＋b＝2， c an2＋b 【解】 由 an＝ cn ，得 4a＋b 7 ＝4， 2 c c a＝2， a＋b＝2c， 即 得 8a＋2b＝7c， b＝3c， 2
此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归 纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具 体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为 同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、 分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－ 1)k＋1 处理．
c 2 3c 2n ＋ 2 n2＋3 所以 an＝ cn ＝ 2n . 当 n＝3 时，a3＝2 符合上式，故 16＋3 19 25＋3 28 14 a4＝ 8 ＝ 8 ，a5＝ 10 ＝10＝ 5 .
等比数列的前n项和王后雄学案
2.3.2 等比数列的前n 项和教材知识检索考点知识清单1．等比数列}{n a 的前n 项和为当公比1=/q 时，=n s =当q=l 时，=n S 2．若数列}{n a 的前n 项和),1(n n q p s -=且,1,0=/=/q q 则数列}{n a 是3．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有n n S q n a a ,,,,1五个量，在这五个量中 4．在等比数列中，若项数为偶s N n n ),(2+∈与分别为偶数项与奇数项的和，则=÷奇偶S S 5．数列}{n a 为等比数列，为其前n 项和，则--n n n n s s s s 32,,,,2 n s 仍构成要点核心解读1．等比数列前n 项和公式 (1)前n 项和公式的导出，解法一：设等比数列 ,,,,,321n a a a a 它的前n 项和是⋅+++=n n a a a S 21由等比数列的通项公式可将写成112111-++++=n n q a q a q a a s①式两边同乘以q ，得.131211n n q a q a q a q a qs ++++= ②①一②，得,)1(11n n q a a S q -=-由此得1=/q 时，qq a s n n --=1)1(1 ,11-=n n q a a所以上式可化为qqa a s n n --=11当q=l 时，⋅=1na s n解法二：由等比数列的定义知⋅====-q a aa a a a n n12312当1=/q 时，,12132q aa a aa a n n=++++++- 即⋅=--q a S a s nn n 1故当1=/q 时，qq a q q a a S n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，⋅=1na s n解法三：112111-++++=n n q a q a q a a S)(21111-++++=n q a q a a q a 11-+=n qs a ).(1n n a s q a -+=当1=/q 时，qq a q q a a s n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，⋅=1na S n(2)注意问题，①上述证法中，解法一为错位相减法，解法二为合比定理法，解法三为拆项法．各种解法在今后的解题中都经常用到，要用心体会，②公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论．③当已知n q a ,,1时，用公式,1)1(1qq a S n n --=当已知,,1q a 时，用公式q q a a S n n --=11④在解决等比数列问题时，如已知n n s q n a a ,,,,1中的任意三个量，可由通项公式或前n 项和公式求解其余两个量．(3)等比数列前n 项和的一般形式一般地，如果q a ,1是确定的，那么--=--=q a qq a S n n 11)1(11,11n q q a -设,11q a A -=则上式可写为⋅=/-=)1(q Aq A s n n2．等比数列前n 项和的性质(1)数列}{n a 为等比数列，为其前n 项和，则,,2n n n s S S - ,23n n S S -仍构成等比数列，且有⋅-⋅=-)()(2322n n n n n s S s s s(2)若某数列前n 项和公式为),1,0(1=/=/-=a a a s n n 则}{n a 为等比数列．(3)在等比数列中，若项数为奇偶与S S N n n ),(2+∈分别为偶数项与奇数项的和，则⋅=÷q S S 奇偶 (4)若}{n a 是公比为q 的等比数列，则⋅⋅+=+m n n m n s q S s 由此性质，在解决有些问题时，能起到简化解题过程的作用．如：设}{n a 是由正数组成的等比数列，它的前n 项和为试比较222log log ++n n S S 与12log 2+n S 的大小．解：设}{n a 的公比为q ，由已知,0,01>>q a,,11211++++=+=n n n n qS a S qS a S+=+-+=-∴++++11111212)()(a S S qS a qS a S S S S n n n n n n n n 1111+++--n n n n n S qS a S S qS.0)(1111<-=-=++n n n a a s s a.212++<∴n n n S S S 而,0>n S 且函数x y 2log =在),0(+∞上单调递增，⋅<+∴++12222log 2log log n n n S S S典例分类剖析考点1前n 项和公式的应用 命题规律(1)等比数列前n 项和公式在具体题目中的应用．(2)含有参数的等比数列中，如何运用等比数列的求和公式． [例1]在等比数列}{n a 中，,263,2763==s S 求⋅n a [答案] 方法一：由已知,236S S =/ 则,1=/q 又,263,2763==s S 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=--=-⋅-②①2631)1(,271),1(611q q a qq a ②÷①得,913=+q 所以.2=q 可求出211=a ，因此2112--==n n n q a a 方法二：已知等比数列}{n a 中，n m S S 15求g ，还可利用性质m nn m n S q s s +=+转化为mnm n ns S S q -=+ 求得，即,827283363==-=S s s q ,2=∴q 再代入,1)1(313qq a s --=求得⋅=211a2112--==∴n n n q a a[误区诊断]解答此类题目容易漏掉对q=l 这一步的讨论．[方法技巧]使用等比数列的前n 项和公式要注意公比q=1和q ≠1情况的区别，而在解方程组的过程中，一般采用两式相除的方法．[例2] 已知数列}{n a 是等差数列，且++=21,2a a a i ,123=a (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,3n n n a b ⋅=求数列}{n b 的前n 项和公式．[答案] (1)设数列}{n a 的公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又,21=a 得.2=d 所以.2n a n = (2)由,323n n n n n a b ⋅=⋅=得n n n n n S 323)22(343212⋅+⋅-++⋅+⋅=- 132323)22(34323+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n s①一②得13232)3333(22+⋅-++++=-n n n n S,3)21(332)13(311--=⋅--=++n n n n n所以⋅+⋅-=+2332121n n n s [方法技巧] 本题第(1)问主要是将问题转化为利用基本量口，和d 联立方程组求解，从而确定出通项公式；第(2)问结合{b n }的特点采用错位相减法求和，变形时式子较复杂，要注意运算准确．母题迁移 1．若数列}{n a 成等比数列，且,0>n a 前n 项和为80，其中最大项为54，前2n 项之和为6560，求⋅100S2．求和.3232n n nx x x x s ++++=考点2等比数列前n 项和性质的应用 命题规律（1)利用等比数列前n 项和的性质简化运算，优化解题过程． (2)等比数列前n 项和的性质在解题中的灵活运用． [例3] 已知数列}{n a 是等比数列， (1)若,112,492==n n S s 求,3n S(2)若⋅+++≡==2019181784%/,6.2a a a a S S [答案] (1)由性质可得.)()(2223n n n n n S s s s S -=-,63)112(4923=-∴n S 解得.1933=n s,,,)2(812484s s S s s --构成等比数列，设为},{n b 公比为g ，.2,24481=-==∴s S S q b .3222441201918175=⨯=⋅=+++=∴q b a a a a b[启示] 等比数列前凡项和具有的一些性质：(1)连续m 项的和（如),,,232 m m n m m s s s S S --仍组成等比数列（注意：这连续m 项和必须非零才能成立）．}){2(n a 为等比数列⋅=++=⇔)0(B A B Aq s n nn m m m n S q s S +=+)3(（q 为公比）． 利用性质(1)可以快速地求某些和．如等比数列}{n a 中，.60,202==m m S S 求⋅m S 3}{n a 为等比数列，m m m m m s s S S S 232,,--∴也成等比数列，且首项为20，公比为,80240222=⨯=-=-⋅m hn mm m S S s S s .1403=∴m S但在运用此性质时，要注意的是 ,,,232m m m m m S s s s S --成等比数列，而不是 ,,,32m m m S s S 成等比数列．母题迁移3．(1)已知：数列}{n a 是等比数列，,0>n a 若=+++=103231365log log log ,9.a a a a a (2)在101与11之间插入10个正数，使这12个数成等比数列，则所插入的这10个正数之积为 (3)一个等比数列中，,60,482==n n S s 则=n s 3(4)等比数列}{n a 中，,126,128.,66121===+-n n n s a a a a 则q=考点3等比数列前n 项和的应用问题 命题规律(1)从实际问题中抽象出等比数列前n 项和的数学模型． (2)利用等比数列前n 项和公式解决一些简单的应用问题．[例4]某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房，假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%． (1)分别求2005年底和2006年底的住房面积； (2)求2024年底的住房面积．（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） [答案] (1)2005年底的住房面积为1200(1+5%) -20 =1240（万平方米）， 2006年底的住房面积为128220%)51(20%)51(12002=-+-+（万平方米）． ∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米． (2)2024年底的住房面积为--+-+-+ 181920%)51(20%)51(20%)51(120020%)51(20-+05.0105.120%)51(12002020-⨯-+=64.2522≈（万平方米）．∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米．母题迁移4．一件家用电器现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期一月，购买后一个月付款一次，再过一个月后又付款一次，共付12次，即购买一年后付清．如果按月利率8‰每月复利一次计算，那么每期应付款多少？)1.1008.1(12≈学业水平测试1．等比数列}{n a 的各项都是正数，若,16,8151==a a 则它的前5项和是( )．179.A 211.B 243.C 275.D2．等比数列}{n a 的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列}1{na 则 }1{na 的前n 项的和是( ) 51.A S q B n 1.1.-n qsC S qD n .3．各项均为实数的等比数列}{n a 的前n 项和记作若=10S ,70,1030=S 则等于( )．150.A 200.-B 200150.-或C 50400.-或D4．设),(22222)(131074N n n f n ∈+++++=+ 则)(n f 等于( )．)18(72.-n A )18(72.1-+n B )18(72.3-+n C )18(72.4-+n D 5．数列 ,213,,819,416,213n n 的前n 项和为6．已知等比数列}{n a 的公比,1>q 第17项的平方等于第24项，求使n a a a a ++++ 321na a a 11121+++>成立的n 的取值范围， 高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．（2009年辽宁高考题）设等比数列}{n a 的前n 项和为若,336=S s 则=69s s ( )． 2.A 37.B 38.C 3.D 2．一个小球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，设它第n 次着地时，共经过了,2,≥n m a n 则有( )．312100.--+=n n n a a A 212100.--+=n n n a a B n n n a a C 2100.1+=-21210021.--+=n n n a a D 3．（2010年东北八校联考题）某人为了观看2010年世博会，从2003年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2010年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为( )．7)1(.p a A +8)1(.p a B +)]1()1[(.7p p p a C +-+)]1()1[(.8p p paD +-+4．在14与87之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为,877则此数列的项数为( )． 4.A 5.B 6.C 7.D5．等比数列}{n a 的首项为1，公比为g ，前n 项和为S ，则数列}1{na 的前n 项之和为( )． s A 1.S B .1.-n q S C Sq D n 11.- 6．设数列}{n x 满足,0(log 1log 1>+=+a x x n u n u 且,1=/a ),+∈N n 且,100121=+++ωx x x 则200102101x x x +++ 的值为( )．a A 100.2101.a B 100101.a C 100100.a D7．（2010年福建部分重点中学联考题）已知等比数列}{n a 的公比,0<q 前n 项和为则54a S 与45a s 的大小关系是( )．4554.a S a s A =4554.a S a S B >4554.a S a S C <D ．无法确定8．已知等比数列}{n a 的首项为n S ,8是其前n 项的和，某同学经计算得,36,2032==S S ,654=S 后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为( )．1.S A2.S B3.S C4.S D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） 9．（2009年浙江高考题）设等比数列}{n a 的公比,21=q 前n 项和为则=44a s10.某科研单位，欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第七名恰好将奖金分完，则需拿出奖 金万元． 11．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设}{n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列}{n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组．（写出所有符合要求的组号） 21s s 与①32S a 与②n a a 与③1n a q 与④（其中n 为大于1的整数，为}{n a 的前n 项和）12. 一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是．三、解答题（本题包括3小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）（2011年山东高考题）等比数列}{n a 中，321,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且321,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n b 满足：,ln )1(n n n n a a b -+=求数列}{n b 的前2n 项和⋅n s 214.（13分）（2010年浙江模拟题）在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加230元徊公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%．设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A 、B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？ 15.（14分）（2010年山东模拟题）函数)(x f 定义在（-1，1）上，,1)21(-=f 且仅当)1,1(,-∈y x 时，恒有：),()()(xy i yx f y f x f --=-又数列}{n a 满足=+=1,211n a a ⋅+212nna a 设⋅+++=)(1)(1)(121n n a f a f a f b (1)证明：)(x f 在（-1，1）上为奇函数； (2)求)(n a f 的表达式；(3)是否存在自然数m ，使得对任意+∈N n 都有48-<m b n 成立；若存在，求出m 的最小值；若不存在，说明理由.单元知识整合二、本章知识整合1．数列的概念．(1)定义：按一定次序排列的一列数，从函数观点看，对于一个定义域为正整数集（或它的真子集{1，2，3，4，…，n}）的函数来说，数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值．(2)数列的表示法有三种：列表法、解析法（通项公式和递推公式法）、图象法．(3)分类：按项数可分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列．(4)前n 项和与通项的关系：⎩⎨⎧⋅≥-==-)2(),1(11n s S n S a n nn3．数学思想方法总结．(1)函数的思想．数列是一个定义域为正整数集(或它的有限子集{1，2，…，n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，并且，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看做以项数n 为自变量的函数，用函数的观点处理数列问题，是我们常用的方法．(2)方程的思想，在等差数列中，通项公式和前n 项和公式共有5个量,,1d a n a n ,和这5个量中知道其中3个量的值，就可以通过列方程的方法求l 出另外2个量的值，在等出数列中，也有类似的性质．方程的思想是本章最重要的思想方法．(3)分类讨论的思想，当给出一个数列的前n 项和的表达式求数列的通项时，一定要分别去求及),2(≥n a n 即⎩⎨⎧≥-==-),2(),1(11n s S n S a n nn （当n=l 时，若两个式子一致，要写成))((+∈=N n n f a n 的形式）；关于等比数列的前n 项和公式有两个，即1=q 与1=/q 的公式不同，所以在运用等比数列求和公式时，要对q=l 和q#l 两种情况进行讨论．雀关于绝对‘值的数列问题中，要注意脱去绝对值符号时需分类讨论，在一些判断题中也常用到分类讨论．(4)转化与化归的思想将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想称之为转化与化归的思想，它一般表现为将陌生的问题转化为我们熟悉的或已经解决了的问题或方法．在数列中，将非等差、非等比数列转化为等差、等比数列问题：是我们常采用的方法．(5)整体的思想．在数列部分，根据式子的结构特点，视某一部 分为一个整体，采用整体代换、整体消元，可以大大简化运算量，还可以沟通已知与未知的联系，提高解题速度．(6)类比的思想．类比是指通过两个对象类似之处的比较，而由其中一个对象已有的性质去推出另一对象也有类似的性质，是我们认识事物发展规律的重要思想方法，等差数列与等比数列有着密切的内在联系，在平时的学习中，将二者类比，能够增强对概念和性质的记忆及理解，使知识系统化、网络化，4.数列中两类重要问题的解法．(1)求一般数列通项公式的常用方法．数列的通项公式是数列的核心之一 ，有了数列的通项公式，便可求出数列的任何一项，研究数列的单调性，求数列的前n 项和，因此我们应熟练掌握求数列通项公式的常用方法，①观察归纳法：通过观察、分析数列的各项与其项数之间的关系，经归纳得到通项公式，②累加法：若给出或由题设可得到与)(1n f a a n n =-+)}({n f <是可求和的数列），则可由)(121-=-+=∑i i n i n a a a a 求⋅n a③累乘法：若给出或由题设可得到与)(1n f a an n =+)}({n f <是可求积的数列），则可由123121....-=n n n a a a a a a a a )2(≥n 求⋅n a ④构造法：若由给出的条件直接求较难，可以通过变形、转化，并运用整体思想，构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项．⑤利用和的关系：若给出或可求出则可利用⋅⎩⎨⎧≥-==n n n a n S S S a 求（.)2),1n (1-n 1由上式算出和)2(≥n a n 后，若将)2(≥n a n 中的n 取1算得的值正好等于则将统一到)2(≥n a n 中，得通项为⋅∈+)(N n a n(2)数列求和的常用方法．数列求和是数列部分的重要内容，因此我们应掌握数列求和的常用方法.①公式法：直接利用等差数列、等比数列或某些常见数列的求和公式求和，常见数列的求和公式有：2)1(321+=++++n n n （特殊的等差数列）； ;6)12)(1(3212222++=++++n n n n .)1(41)321(3212223333+=++++=++++n n n n ②分组法：根据数列或其通项的特征，将数列的前n 项和分成易于求和的若干组，通过对各组分别求和得到整个数列的和．③倒序相加法：若数列中与首末两项等距离的两项的和为定值或有某种特殊关系，则可用推导等差数列求和公式的方法（倒序相加法）求和.④错位相减法：若数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 是等比数列，则求数列}{n n b a 的前n 项和可用推导等比数列求和公式的方法（错位相减法）求和．⑤裂项法：根据通项的特征，将通项进行合理的分拆，然后再分组或消去中间若干项，转化为易求和的数列求和问题．5．有关数列在分期付款中的应用问题在日常生活中，一些商家为了促销商品，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上较为灵活，可以一次性付款，也可以分期付款，采用分期付款时，又可以提供几种方案以便选择，到底选用哪种方式更合算呢？(1)分期付款的几种模型，①银行存：款计息方式有两 种：单利和复利，它们分别以等差数列和等比数列为模型，②单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为：利息=本金×利率×存期，以符号P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金和利息和，则有 ).1(nr P S +=③复利：把上期末的本息和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式是.)1(nr P S +=④分期付款中，每月的利息均按复利计算，规定每期所付款额相同．⑤各期所付款额连同到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和．(2)复利的概念和计算．银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利． 一般地，一期期满后，借贷者（银行）收到的款额为=1s ),1(0r S +⋅其中为初始贷款额，r 为每期的利率，假若在一期期满后，银行又把贷出，利率不变，则银行在下一期期满时，可以收取的款额为 .)1()1(2012r S r S s +=+=依次类推，若把贷出t 期，期利率为r ，这笔款额到期后就会增到.)1(0t t r S s +=注意此处的利息是重复计算的，我们称为复利（期复利）．(3)关于分期付款方案的确定．分期付款即借款后不是一次性付清，而是分几次分别付款的一种借款方法，对于每一种分期付款方案，应明确以下几点：①规定多长时间内付清全部款额；②在规定的时间内分几期付款，并且规定每期的付款额相同；③规定多长时间结算一次利息，并且在规定的时间段内利息按复利计算．在选择分期付款方案时，必须计算出各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于顾客比较，从而选择优化方案，三、重要专题选讲专题1求数列的通项数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式一样，有解析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式，便可求出任何一项及前几项和等，现将求数列的通项公式几种常见类型及方法总结如下：1．观察归纳法．[例1] 根据数列的前几项，写出下歹Jj 数列的一个通项公式．;,3231,1615,87,43,21)1( ;,63,51,43,31,23,1)2( --- ;,177,73,115,21,53)3( ;,26,17,10,5,2)4(;,541,431,321,211)5( ⨯⨯-⨯⨯- ,15,10,6,3,1)6([答案] (1)观察数列的结构特征，每一项都是一个分式，分母是数列2，4，8，16，32，…，可用项数表示为分子是数列1，3，7，15，31，…， 每一项比对应的分母少1，可用项数表示为,12-n所以，所求的数列的通项公式是;212nn n a -= (2)这个数列即：,512,412,312,212,112--+--+--,,612 +其结构特征是：①分母与项数相同；②分子是2加上或减去l ，即;)1(2n -+③各项的符号为负、正相间，即为.)1(n -所以，所求的通项公式是;)1(2.)1(n a nnn -+-= (3)观察数列的项，这个数列可以按分母、分子由小到大重新排列为：,,177,146,115,84,53 分母、分子各自成等差数列，显然，其通项公式为;232++=n n a n (4)每一项都是项数的平方加上1，其通项公式为;12+=n a n(5)通项公式是;)1()1(+-=n n a nn (6)仔细观察各项，不难发现其项与项之间有如下规律：=-=-=-342312;3;2a a a a a a.54145n a a a a n n =-⋅⋅=-⋅--++-+-+-+=∴n n a a a a a a a a a ()()()(3423121 +++=-321)1n a 2)1(+=+n n n [启示] (1)根据所给数列的前n 项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号n 之间的关系．(2)记住以下数列的前n 项：},2{},1{},{},{22n n n n ±⋅+±)}1({},3{},12{n n nn(3)第(6)小题通过观察很难总结规律，可用如下方法进行：-⋅=-⋅=-=-=-n a a a a a a a a a ,54,3,245342312 .1n a n =-+=-++-+-+=∴-1)()()(123121n n n a a a a a a a a 2)1(32+=+++n n n 2．公式法．数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出与d 或与q ，再代入公式d n a a n )1(1-+=或=n a 11-⋅n q a 中即可．[例2]数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 是等比数列，数列}{n c 中，对任何+∈N n 都有,n n n b a c -= 且,61,021==c c ,547,9243==c c 求数列N n a }{数列N n b }{数列}{n c 的通项公式．[答案] 设数列}{n a 的首项为公差为d ，数列}{n b 的首项为公比为q ．由已知条件可得 ;011=-b a;6111=-+q b d a ;922211=-+q b d a ⋅=-+5473311q b d a 联立①②③④，解得,34,21,111====q d b a 由此可以得到,2121)1(211+=-+=n n a n ,)34()34(11111---=⨯==n n n n q b b 1)34(2121--+=-=∴n n n n n b a c 3．利用与的关系．如果给出条件中是与的关系式，可利用⎩⎨⎧≥-===-),2(),1(111n S s a n S a n n n 先求出,11S a =若计算出的中，当1=n 时，求出,11s a =则可合并为一个通项公式，否则要分段．[例3](1)数列}{n a 的前n 项和,)1(1n S n n +-=求(2)数列}{n a 的前n 项和,23n n s +=求⋅n a[答案] (1)当2≥n 时，1--=n n n s s a)1()1()1(1----=+n n n n),21()1(n n --=当n=l 时，,11)1(21=⨯-==l s a上式中,1)21()1(11=--=a⋅--=∴)21()1(n a n n(2)当n ≥2时，,2)23(23111---=+-+=-=n n n n n n S s a当n=l 时，⋅=+==,523111s a 上式中,12111==-a⎩⎨⎧⋅≥==∴-)2(2),1(51n n a n n [启示] 已知求即已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是),2(1≥-=-n S S a n n n 这里常常因为忽略了条件n ≥2而出错，即1--=n n n S s a 求得时的n 是从2开始的自然数，否则会出现当n=l 时01s s n =-而与前n 项和的定义矛盾，可见由此求得的不一定是它的通项公式，必须验证1=n 时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数=n a ⎩⎨⎧≥-=-)2(),1(11n S S n s n n 来表示．[例4]数列}{n a 的首项,11=a 前n 项和与之间满足).2(1222≥-=n S S a n n n (1)求证：数列⋅}1{ns 是等差数列； (2)求数列}{n a 的通项公式．[解析] 审题知}1{⋅⋅nS 应为构造的等差数列，可利用公式先求出)(1n f s n =来，进一步用⎩⎨⎧≥-==-),2(),1(11n s S n S a n n n 即可解决． [答案],,2)1(1--=≥n n n s s a N n⋅-=-∴-12221n n n n S s S S .2)12)((21n n n n S S s s =--∴-.111,211111===-∴-a s s S n n 11}1{1=∴s s n 是以为首项，2为公差的等差数列，,122)1(11)2(1-=⨯-+=n n s s n ⋅-=∴121n S n 当n ≥2时，1)1(211211----=-=-n n S S a n n n ,)32)(12(2---=n n ⎪⎩⎪⎨⎧≥---==∴).2()32)(12(2),1(1n n n n a n思考：若直接求}{n a 的通项公式怎样求呢？4．累差法．[例5] 已知,2,111n a a a n n n -=-=+求⋅n a[解析]2≥n 时．++-+-+= )()(23121a a a a a a n ).(1--n n a a[答案],21n a a n n n -=-+,32,22,12334223112-=--=--=-∴a a a a a a2≥n 时，),1(211--=---n a a n n n2≥∴n 时，有++-+++=--21[)222(121n n a a ⋅-++|)1(3n2)1()2221(12--++++=∴-n n a n n .12)1(2---=n n n 而11=a 也适合上式．}{n a ∴的通项公式.12)1(2---=n n a n n [启示]形如：已知且)()[1n f n f a a n n <=-+是可求和数列]的形式均可用累差法．5．累商法．[例6] 已知,2,111nn a a a n n +==+求 [解析]2≥n 时，,....123121-=n n n a a a a a aa a 故可用累商法． [答案],21nn a a n n +=+2≥∴n 时，⨯⨯⨯⨯=-46352413....1342312n n a a a a a a a a 2)1(11257+=-+⨯-⨯⨯n n n n n n 即2)1(1+=n n a a n 又2)1(,11+=∴=n n a a n 而11=a 也适合上式，}{n a ∴的通项公式).1(21+=n n a n [启示]形如：已知且))[(1n f n f a a nn <=+是可求积的数列]的形式均可利用累商法． 6．换元法．[例7] 已知,32,311+==+n n a a a 求⋅n a[答案],321+=+n n a a∴可设),(21ββ+=++n n a a由待定系数法可得.3=β解法一：由,321+=+n n a a 得⋅+=⋅++)3(231n n a a令⋅=∴=++n n n n b b b a 2,31}{n b ∴是等比数列，其首项,6311=+=a b 公比为2．,261-⨯=∴n n b 即1263-⨯=+n n a).12(33261-=-⨯=∴-n n n a解法二：由321+=+n n a a 得2≥n 时，.321+=-n n a a).(211-+-=-∴n n n n a a a a}{1--∴n n a a 是公比为2的等比数列，其首项为=-12a a 2126,6--⋅=-∴n n n a a则有-⨯=-⨯=-=-n a a a a a a a ,,26,26,62342312 ,2621--⨯=n n a).12(621)21(611-⋅=--=-∴--n n t n a a ).12(33261-=-⨯=∴-n n n a而31=a 也适合上式，)12(3-=∴n n a 即为}{n a 的通项公式．[启示] 形如：已知q p q pa a a n rt ,(,11+=+为常数）均可用上述两种方法， 特别地，若1=p 时，}{n a为等差数列；若,0=q 0=/p 时，}{n a 为等比数列．强化练习11．写数列 ,3,3,3,32311π--+--k h 的一个通项公式．[答案] 观察数列从首项起，各项的符号正、负相间，故通项公式中含有,)1(1+-n 各项的幂底数为3，指数为,1,12+ ,223,12--指数依次改写为 ,)12(,)12(21--即 2221)12(,)12----（ ,)12(,)122423----，（ 故2)12(13)1(--+⋅-=n n n a2．(1)已知数列}{n a 的前n 项和,)1(1n s n n +-=求(2)已知数列的前n 项和,23n n S +=求⋅n a[答案](1)当2≥n 时，--=-=+-n S s a n n n n .)1(11=--)1()1(n n ),21()1(n n --当1=n 时，==11s a ,11)1(2=⋅-上式中.1)21()1(11=-⨯-=a即当1=n 时，适合∴⋅≥--=)2)(21()1(n n a n n 数列}{n a 的通项公式为⋅-⋅-=)21()1(n a n n(2)当2≥n 时，;2)23(23111---=+-+=-=n n n n n n s s a 当1=n 时，,523111=+==s a 上式中,12111==-a 即1=n 不适合上式．∴通项公式⎩⎨⎧⋅≥==-)2(2),1(51n n a n n [启示] 已知求即已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是⋅≥-=-)2(1n s s a n n n 这里常常因忽略了条件n ≥2而出错，即由1--=n n n S s a 求得的n 是从2开始的自然数，否则会出现当1=n 时，⋅=-01s S n 而与前n 项和的定义相矛盾．由此可见，此法求得的不一定是它的通项公式，必须验证n=l是否也成立，若不成立，通项公式只能用．分段函数⎩⎨⎧≥-==-)2(),1(11n s s n S a n nn 表示．3．已知数列),2()1(1,1},{11≥-+==-n n n a a a a n n n 求数列}{n a 的通项公式. [答案]),2)(111()1(111≥--+=-+=--n nn a n n a a n n n nn a a n n 1111--=-∴- ,21112-=-∴a a,312123-=-a a ……nn a a n n 1111--=-- +-++-+-=-∴--)()()(2123121n n n a a a a a a a a =--)(1n n a a +-+-3121211=--+nn 111 n11- n a n 12-=∴当1=n 时，11121=-=a 也适合上式． n a n 12-=∴4．(1)已知数列}{n a 中，,22,111+==+n nn a a a a 求通项公式 (2)数列}{n a 中，,132,111+==+n n a a a 求通项公式⋅n a [答案]⋅=+∴+=+++1.112)2(,22)1(n n n n n n n a a a a a a a ⋅-=+122n n n a a a 两边同除以,.21n n a a +得 ∴=-+.21111n n a a 数列⋅}1{n a 为等差数列，首项为,111=a 公差为+=∴⋅11121a a n ∴+=⨯-.2121)1(n n .12+=n a n ,132)2(1①=-+n n a a .)2(1321②≥=-∴-n a a n n ①②两式相减得，321=-+n n a a ),(1--n n a a 令 ,1n n n a a b -=+则}{321n n n b b b =-是以3213211121=-+=-=a a a a b 为首项，以32为公比的等比数列． ,)32()32(321n n n b =⨯=∴-即n n n a a )32(1=-+③，结合已知条件，①一③，得⨯-=33n a .)32(n [启示] 若数列}{n a 满足)0(.,11=/+==+c d a c a b a n n 的条件，求通项公式时，通常转化为}{A a n + 为等比数列，利用待定系数法确定A 的值，先求出A a n +的表达式，再求⋅n a专题2数列求和数列的求和是数列的一个重要内容，是数列知识的综合体现，求和问题在高考试题中经常出现，它考查我们分析问题和解决问题的能力，可以利用数列的前n 项和求数列的某些元素，如q d n a a n ⋅,,,1等．应当注意任何一个数列的前n 项和都是从第一项一直加到第n 项，求数列前n 项和的常用方法有： (1)公式法，即对于等差数列或等比数列，直接应用其前n 项和公式；(2)对于非等差数列或等比数列，常利用错位相减、倒序求和、裂项求和等方法，将数列变得有规律，再加以求和． 1．公式法．[例1] 设数列}{n a 的通项为),(72+∈-=N n n a n 则=+++||||||1521a a a [解析] 由,0≥n a 得,27≥n 取.4≥n 则+++ ||||21a a +++++-=5432115)(||a a a a a a （+++=+)531()15a =++++)23531( .15312)231(219=⨯++[答案】 153[启示] 要求几个含有绝对值的式子的和，关键是要去掉绝对值符号．去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法，所以此题的关键就是要看的符号，又因为数列}{n a 是等差数列，所以只需确定0≥n a 或0≤n a 时n 的值，然后再分开求和．[例2] 已知等比数列}{n a 中，,321-⨯=n n a 求此数列的偶数项组成的新数列的前n 项和． [答案]数列}{n a 的偶数项也是等比数列，设为},{n b 则数列的首项为,621==a b 公比为.932==q所以数列}{n b 的前n 项和为=--=--=91)91(61)1(1n n n q q b S ⋅-)19(43n2．倒序相加法．[例3]设,244)(+=xx x f 求和+++= )222()221(.ωωf f S ⋅)20022001( [解析]：本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后进行解决．[答案] 因为,244)(+=xx x f 所以=+=---244)1(11x x x f ,2424244+=⋅+x x 所以.1)1()(=-+x f x f所以),2002120(.)20022()20021(0f f f s +++= ⋅⋅+++=)20021()20022000()20022001(f f f s ①+②得,2001)]20022001(.)20021([20012=+=f f S 所以⋅=22001S [例4] 求在区间),,](,[+∈>N b a a b b a 上分母是3的不可约的分数之和．[解析]本题主要考查如何确定区间[a ，b]上的数哪些是符合条件的，然后寻找各数之间的关系，利用数列 问题求解．[答案] 解法一：（倒序相加法）因为+-+++++++++=323353343323313b a a a a S ,313-b 所以+++++++++= )35()34()32()31(a a a a S ),31()32(-+-b b而又有++-⋅+-+-+-= )35()34()32()31(b b b b s ⋅+++)31()32(a a两式相加得⋅++++++=)()()(2b a b a b a S 其个数是以3为分母的所有分数个数减去可约分数个数． 即).(2)1(1)(3a b a b a b -=+--+-所以),)((22b a a b S +-=所以.22a b S -= 解法二：区间[a ，b]上分母为3的所有分数是,313,33+a a ,1,323++a a ,,2,353,343 +++a a a ,33,323,1b b b --它是以33a 为首项．以31为公差的等差数列，项数为,133+-a b 其和=S ).)(133(21b a a b ++-其中，可约分数是,,,2,1,b a a a ++其和).)(1(21/b a a b S ++-=故不可约分数之和为-+-+<=-)133)[(21a b b a S S .)]1(22a b a b -=+-[启示] 当数列}{n a 满足=+-k n k a a 常数时，可用倒序相加法求数列}{n a 的前n 项和． 3．错项相减法．若在数列}{n n b a ⋅中，}{n a 成等差数列，}{n b 成等比数列，则可采用错项相减法求和． [例5] 求和).(3232N n na a a a n∈++++ [答案]记,)1(32132n n n na a n a a a S +-++++=- 则1132)1()2(2+-+-+-+++=n n n n na a n a n a a as 两式相减，得132)()1(+-++++=-n n n na a a a a S a 若,1=a 则;2)1(21+=+++=n n n s n 若,1=/a 则a na a a a S n n n ----=+1)1()1(12 [例6] 求和.2)23(27242132n n n S ⨯-++⨯+⨯+⨯=[解析] 本题是由等差数列23-=n a n 及等比数列n n b 2=对应项的乘积构成的，故可以使用乘公比错位相减求和．[答案] 因为-++⨯+⨯+⨯=n s n (3[27242132 ,2)23(2]2)11n n n ⨯-+⨯--⨯-+⨯--++⨯+⨯=)23(2]2)1(3[2421232n n S n n ,21+n ②所以①一②得1322)23(23232321+⨯--⨯++⨯+⨯+⨯=-n n n n s42)23()222(312-⨯--+++=+n n n 42)23()22(311-⨯---=++n n n4223623211-+⨯--⨯=+++n n n n.102)1(3212-⨯-+=++n n n所以.1022)1(321+-⨯-=++n n n n s4．裂项相消法， 所谓裂项相消，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项折成两项之差，以达到隔项相消之目的． 常用的裂项变形有;111)1(1)1(+-=+=n n n n a n);121121(21)12)(12(1)2(+--=+-=n n n n a n];)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1)3(++-+=++=n n n n n n n a n;!)!1(.)4(n n n n a n -+==)];1()1()2)(1([31)1()5(+--++=+=n n n n n n n n a n-+++<=++=)3)(2)(1[41)2)(1()6(n n n n n n n a n ⋅++-)]2)(1()1(n n n n[例7] (1)求数列,,431,321,211 +++,11++n n 的前n 项和(2)求和1)1(1)1(14141313121222222222-+++++-++-++-+=n n S n [解析] 首先弄清的特征． 在第(1)题中，=++=11n n a n ;1)1)(1(1n n n n n n nn -+=++-+-+在第(2)题中，=++=+++=-+++=)2(212221)1(1)1(2222n n nn n n n n a n ⋅+-+)211(1n n [答案],111)1(n n n n a n -+=++=-+++-+-+-=∴1)34()23()12(n S n （ .11)-+=n n=+++=-+++=nn n n n n a n 2221)1(1)1()2(2222 ),211(1)2(21+-+=++n n n n +-++-+=∴)]4121(1[)]311(1[n s +-+)]5131(1[)]6141(1[-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++1[)11311n n （++--++--+)]1111(1[)]121(n n n n =+-+)]211(1[n n ⋅+-+-+211123n n n [启示] (I)分母有理化是一种常用的数学方法．(2)使用拆项法时，不妨多写出几项以便于找出变化规律． 5．分解求和法与并项求和法．[例8] (1)求和：++-+-= 221111211n s ;2221111.2+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n n(2)求和：);12()1(11975311--++-+-+-=-n S n n (3)求和：.)12(5312222-++++n[解析]通项公式是解决数列求和问题的关键，先求出通项公式，分析通项公式的特点，判断采用哪种求和方法．[答案] (1)因为)999(92)9999(912...22111122 个个个个n n n n n a ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅= )]110(2110[912-⨯--⋅=n n ),110(31)110(312-=-=n n 所以)110(31)110(31)110(312-++-+-=nn S←-+++=])101010[(312n n n n .31110)110(10.31---= ⋅--=+32710101n n(2)当)(2+∈=N k k n 时，)14()1(1197531122--++-+-+-=-k S k k)]14()34[()119()75()31(---++-+-+-=k k ;2k -=当)(12+∈-=N k k n 时，--++-+-+-=-)74[)119()75()31(12k s k （ )34()]54(-+-k k.12342...22)1-=-+-++-+-=-k k k个（）（）（）（ 综上：⋅∈-=++)()1(1N n n S n n (3)因为,144)12(22+-=-=n n n a n所以++-+++++=+21[4])1321[422221n S n （ ++⨯=+++++n n n n )(1(614)1)]1(3（ -+)32)(2n +++⨯)2)(1(214n n ⋅+++=+)384)(1(31)1(2n n n n[启示] (1)和(3)不能直接求和，但可以分解为特殊数列再求和；(2)注意正负相间可以将两项并在一起再求和． 强化练习21．(1)求和++++= 333333n s ;333个n (2)求数列)13(,,103,72,41+⋅⋅⋅n n 的前n 项和 [解析] (1)此数列的通项为),110(313...33-==nn n a个既不是等差数列也不是等比数列，但}10{n 却是一个等比数列，因此可转化为等比数列求和的问题．[答案]⋅-==)110(31333n n a )110(31)110(31)110(312-++-+-=∴n n S3101)101(10313)101010(312n n n n---⨯=-+++= ⋅--=3)110(2710n n ,3)13()2(2n n n n +=+n n S n ++++⨯++⨯++⨯=∴22223333223113)321()321(32222n n +++++++++=2)1(6)12)(1(3++++⨯=n n n n n.)1(2+=n n2．(1)求数列]21)12[(,,815,413,211nn +- 的前n 项和． (2)求数列： ,3211,,3211,211,1n +++++++的前n 项和． [答案]]21)12[(815413211)1(n n n s +-++++=n n 21...814121)12531(+++++-++++=（211])21(1[212)121(--+-+=n n n n n 2112-+=122)1(23211)2(+-=+=++++=n n n nn a n -++-+-==∴∑=n a S ni i n 1()3121()211[(21=+)]11n )111(2+-n 12+=n n 3．求和：132)12(7531--+++++=n n x n x x x S。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 2.1 数列 2.1.1 数列》_0
《数列》单元教学设计【教材分析】数列是人教（A）版必修5第二章的内容，分为5节：2.1数列的概念与简单表示法；2.2等差数列；2.3等差数列的前n项和；2.4等比数列；2.5等比数列的前n项和。
数列，特别是等差数列与等比数列，有着较为广泛的实际应用，比如在产品尺寸标准化方面有着重要作用,其次，数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，比如数，式，方程，函数等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫。
【课标分析】1.课标要求：（1）数列的概念和简单表示法通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数．（2）等差数列、等比数列．①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念．探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式．②能在具体的问题情境中，发现数列的等差和等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．③用函数的角度去看待数列，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。
2.课标的理解（1）《新课标》强调数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。
教学时要体现数列的生活背景，多举几个生活实例，让学生感受到学习数列的意义，并通过实例的分析，从中归纳出数列的概念。
数列的通项公式不仅是表示数列的一种方法，而且是研究数列的性质和相关问题时最重要的工具。
对于常见的一些特殊的数列，如1，4，9，16，…2 n，还有著名的斐波纳契数列等，可以给予适当补充，拓宽学生的视野．（2）等差数列与等比数列是本章的核心内容，尽管是两类不同的数列，但等差数列和等比数列在内容上是完全平行的，包括它们的定义、性质(等差还是等比)，通项公式、前n项和的公式、两个数的等差(等比)中项等。
因此，应以等差数列为重心，在充分理解与掌握等差数列探究的方法基础上，采用类比教学的方法，让学生自己探究等比数列有关内容，这样能起到事半功倍的作用。
导学案1：2.1.1 数列
2.1.1 数列【学习目标】1. 理解数列及其有关概念；2. 理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 了解数列与函数的关系，会根据数列的前几项写出它的通项公式．【重、难点】重点：理解数列及其有关概念.难点：认识数列是一种特殊的函数.【知识链接】函数的概念：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f :A→B为集合A到集合B的一个函数. 记作y = f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域，与x对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.【新知探究】探究一. 数列的概念问题1. 观察下面的一些数：（1）三角形数：1，3，6，10，…… ；（2）正方形数：1，4，9，16，……；（3）自然数：0，1，2，3，……. 它们的共同特点是________________.具有这种特点的数我们就称为数列，即按照__________排列着的一列数称为数列.数列中的__________叫做这个数列的项. 数列中的每一项都和它的______有关，排在第n位的数称为这个数列的_______.数列的一般形式可写成_____________________________，简记为_____. 特别地，我们通常称a1为数列的______.【答案】都是按照一定的顺序排列的；一定的顺序；每一个数；序号；第n项；a1，a1，a1，⋯，a n，⋯；{a n}；首项.问题2. {a n}与a n的含义一样吗？答：不一样. {a n}表示数列a1，a2，…，a n，…，而a n只表示数列{a n}的第n项．问题3. 数列与数集有什么不同？答：（1）数列中的数是有序的，而数集中的数是无序的，比如：{1，2，3，4}与{1，3，2，4}表示相同的数集，而1，2，3，4和1，3，2，4表示不同的数列；（2）数列中的数可以相同，而数集中的数是互异的．问题4.根据定义，数列对其项数有限制吗？如果按项数的多少对数列分类，该怎样分？答：没有限制. 如果按项数的多少对数列分类，应分为：有穷数列和无穷数列.（2）1,2,3,4和1,2,3,4，…有区别吗？答：有区别．数列1,2,3,4表示有穷数列，而1,2,3,4，…表示无穷数列．探究二. 数列的通项问题5.观察数列1，，，，，…，数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系能否用一个公式来表示？答：该数列的对应关系为数列的每一项为这一项序号的倒数，通项公式a n ＝来表示这个数列．问题6.什么是数列的通项公式？答：当数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个______来表示时，这个______就叫做这个数列的通项公式．例1. 已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n =(−1)n ，b n =cosnπ，请分别写出这 两个数列，并指出它们是否表示同一个数列？【解析】数列{a n }为：−1，1，−1，1，…，(−1)n ，… ；数列{b n }为：−1，1，−1，1，…，(−1)n ，… .显然，这两个数列表示同一个数列.【解题反思】（1）如何根据数列的通项公式求数列中的项？（2）一个数列的通项公式是否唯一？答：（1）根据数列的通项公式求数列中的项，只需将n 的取值代入通项公式即可；（2）不一定，有的数列的通项公式不唯一.变式1. 根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝；(2)a n ＝sin .【解析】(1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列{a n }的前5项为0,1，，，； (2)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列{a n }的前5项为1,0，－1,0,1.例2. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数.（1）－1，12，−13， 14； （2）2，0，2，0. 【解析】（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为a n =(−1)n ＋1n .（2）这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1＋1.【解题反思】如何由数列的若干项写出其通项公式？答：求数列的通项公式，即寻找数列中的项a n与相应的项数n之间的对应关系式，因而只需观察并分析数列中的项关于n的构成规律，然后将项表示为项数的函数关系式即可．变式2. 分别写出下面两个数列的一个通项公式，数列的前4项已给出．(1)12，−16，112，−120，⋯；(2) 0.9，0.99，0.999，0.9999，….【答案】(1)−1n(n+1)；(2)1 −110n.例3. 已知数列√2，√5，2√2，√11，⋯（1）写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；（2）判断4√2和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由.【解析】（1）由于2√2=√8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为a n=√3n−1；（2）令√3n−1=4√2，两边平方整理得3n=33，解得n=11，是正整数.令√3n−1=10，两边平方整理得3n=101，解得n=1013，不是正整数.∴42是数列的第11项，10不是数列中的项.【解题反思】如何判断某数是不是数列中的项？答：判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式，通过解方程求n的值，若能求出方程有正整数解，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．变式3.下列四个数中，哪个是数列{n(n+1)}中的项（）A.380B.392C.321D.232【答案】A探究三. 数列与函数的关系问题7. 数列与函数有关系吗？如果有，是什么关系？答：有关系，是特殊与一般的关系，即数列是一种特殊的函数.事实上，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1,2,3，…，n}）为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、…，f(n)，….问题8. 函数y ＝7x＋9与y＝3x，当x依次取1,2,3，…时，写出由其函数值构成的数列，并指出它们各有什么特点？答：由y ＝7x＋9的得到的数列：16，23，30，37，…，7n＋9，…. 该数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于7；由y＝3x得到的数列：3，9，27，81，…，3n，…. 该数列从第2项每起，每一项是前一项的3倍．问题9. 数列是特殊的函数，其特殊性表现在哪些方面？根据函数的表示方法，猜想数列的表示方法有哪些？答：（1）作为特殊的函数，数列的特殊性主要表现在以下三个方面：①数列是以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数；②数列的函数值a n是与它在数列中的序号n相对应的；③数列的图象是一些孤立的点，这些点的横坐标即为n的取值：1，2，3，….（2）猜想数列的表示方法有：解析法，列表法，图象法.探究四. 数列的分类问题10.（1）根据定义，数列对其项数有限制吗？如果按项数的多少对数列分类，该怎样分？答：没有限制. 如果按项数的多少对数列分类，应分为：有穷数列和无穷数列.（2）1,2,3,4和1,2,3,4，…有区别吗？答：有区别．数列1,2,3,4表示有穷数列，而1,2,3,4，…表示无穷数列．问题11. (1)根据定义，数列对其项的大小顺序有限制吗？如果按项的大小对数列分类，该怎样分？(2)你能从项的大小上对下面的数列进行分类吗？①1，0.1，0.01，0.001，…… ；②1，0，1，0，…… ；③3，3，3，3，…….答：(1)没有限制. 如果按项的大小对数列分类，应分为：递增数列，递减数列，常数列和摆动数列. (2) ①递减数列；②摆动数列；③常数列.例4. 已知函数f(x)＝，设a n＝f(n)(n∈N＋)：(1)求证：a n<1；(2){a n}是递增还是递减数列？为什么？【解析】(1)证明：因为a n＝＝1－，又因为n∈N＋，所以1≥>0.因此a n<1.(2) {a n}是递增数列．因为a n＋1－a n＝(1－)－(1－)＝，又因为n＋1>n≥1，所以a n＋1－a n>0，即a n＋1>a n.所以{a n}是递增数列．变式4. 数列{a n}的通项公式a n＝(n＋1)·()n(n∈N＋)，写出数列的第7项，第8项，第10项，并求出数列中的最大项．【解析】∵a n＝(n＋1)·()n，∴a7＝8·()7，a8＝9·()8，a10＝11·()10.∴{a n}中每一项都是正数．令≥1(n≥2)，即≥1，整理得≥，解得n≤10，即a1<a2<a3<…<a9＝a10.令≥1，即≥1，整理得≥，解得n≥9，∴a9＝a10>a11>a12>…，∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{a n}先递增，后递减．∴可知a9＝a10＝最大．【解题反思】如何判断数列的单调性？答：通过作差a n＋1－a n或作商比较a n＋1与a n的大小.。
2.1.2 数列的递推公式 (选学)-王后雄学案
张喜林制2.1.2 数列的递推公式（选学）教材知识检索考点知识清单1．如果已知数列的第1项（或前几项），且从 开始的任一项n a 与 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 2．递推公式与通项公式的异同：3．定义：数列}{n a 的和称为该数列的前n 项和，一般记作,n S 即=n s ．数列}{n a 的 的和称为该数列的各项和，一般记作．S ，S=n n a S 与.4的关系：数列前n 项和n s 与通项n a 间的关系为=n a ⎩⎨⎧∈≥=+).,2_________(),1________(N n n n 要点核心解读1．数列的递推公式已知数列}{n a 的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式．通过递推公式给出的数列，一般称为递推数列．常见的递推公式如：=⋅=+=+--111;;n n n n n a q a a d a a ,1-+n n a a 等等，又如，数列：1，3，5，…，2n-1，…用递推法表示为：,11=a ),2(21≥+=-n a a n n 其中21+=-n n a a 是递推公式．[注意] (1)用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列}{n a 的第1项或前几项；②递推关系——数列}{n a 的任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．如果两个条件缺一个，数列就不能确定，例如，已知数列}{n a 的,2,121==a a 这个数列就不能确定，因为有的说,n a n =有的说,21-=n n a 等等．再如，已知数列}{n a 满足=n a ),2(21≥-n a n 你能说出这个数列的第1项、第2项、第n 项是多少吗？（不能．）(2)递推公式是给出数列的一种方法，并不是一种新的数列．应注意，类似].+=n n n a a b 这样的公式不是递推公式，数列}{n b 是由数列}{n a 中的项通过公式.m n a b =1+n a 构造出来，不是由}{n b 中的项经过递推得到的．(3)与并不是所有的数列都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式；递推公式也是给出数列的一种重要方法，有时候并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的递推公式，即可解决问，题，有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化．2．数列的前几项和n s 与通项n a 的关系数列}{n a 的前n 项和n s 与n 的关系，可以用一个公式表示，则这个公式叫做这个数列的前n 项和公式，即++=21a a S n ,3n a a ++ 如543215a a a a a s ++++=表示数列}{n a 的前5项和．,11S a =即1S为数列}{n a的首项，而++++=- 3211a a a s n1-n a,2≥<a且),+∈N n故有.2{,11,1⎰≥=--=--r hn sa n nS n x n S L这就是数列}{n a的前n 项和n s与通项n a的关系．已知数列}{n a的前 n 项和,n s则这个数列的通项n a一定可求，利用n s与n a的关系求通项是一个重要内容，应注意对n s与n a间关系的灵活运用．[注意] (1)要重视分类讨论的应用，分n-l 和n ≥ 2两种情况讨论，要特别注意1--=n n n S s a中必须是n ≥2，这是因为当n=l 时，1-n s无意义． (2)由n n n a S S =--1推得的,n a当n=l 时，1a也适合n ua式”，则需统一“合写”． (3)由n n n a s s =--1推得的,n a当凡=f 时，1a不适合n ua式”，则数列的通项公式应分段表示（“分写”），即.2,,{11,1N hn S a nn a hn s n ≥⋅=--±⋅=典例分类剖析考点1 由递推公式求数列的通项 命题规律(1)利用前n 项和与数列通项间的关系来求通项．(2)通过递推公式求数列的项并猜想通项公式． [例1] 已知数列}{n a满足)1(1,11]-+==-n n a a a n n).2(≥n写出该数列的前5项及它的一个通项公式． [解析],11=a;2321112112=+=⨯+=a a ;35610612323123==+=⨯+=a a;4712211213534134==+=⨯+=a a⋅==+=⨯+=5920362014745145a a ,)1(11-+=-n n a a n nnn n n l a a n n 111)1(1--=-=-∴-则;112121---=---n n a a n n ;312123-=-a a⋅-=-21112a a则以上各式左右分别相加有：,111na a n -=-即nn n n a n 12121)11(-=-=+-=[方法技巧] 由递推公式求通项公式：一是可先列出前几项进行归纳，二是可由n a与1+n a的关系综合求解． 1．已知下面各数列}{n a的前n 项和n s的公式，求}{n a的通项公式．;32)1(2n n S n -= .23)2(-=n n S考点2 递推公式求通项公式的类型 命题规律(1)利用累加、累商、迭代等方法求数列的通项公式．(2)善于将递推公式变形，转化为常见的等差、等比数列．[例2] 已知数列),(22,1,}{11++∈+==ΦN n a a a a a n nn n 求通项⋅n a[答案],2)2(,2211n n n n nn a a a a a a =+∴+=++ ⋅-=∴++1122n n n n a a a a两边同除以n n a a 12+得,21111=-+n n a a ,2111,,2111,211112312=-=-=-∴-n n a a a a a a 把以上这n-l 个式子叠加，得⋅-=-21111n a a n 又⋅+=∴=12,11n a a n [技巧点拨] 本题是转化法求通项公式的典例，1122++=-n n n n a a a a的处理方式是两边同除以,21+n n a a从而转化为“等差”数列． [例3] 已知数列}{n a中，,11=a且,21n n n a a =+求通项 公式．[答案] 解法一：（求商相消法）由已知,21n n n a a =+得.21nnn a a =+ 将n 用n-l ，n-2，…，3，2，l 代入得.2,,2,211222111===-----a a a a a a n n n n n n将上面n-l 个式子相乘，得,2.22211⋅⋅=-- n n n a a 又,22,12)1(12)2()1(1-+++-+-==∴=n n n n n a a2)1(2-=∴n n n a解法二：（迭代法） [方法技巧] 形如==--11.2n n n a a=---)2(2221n n n a.2221--⋅n n.2.22212⋅⋅==--- n n n a ,.21123)2()1(1a a n n ++++-+-=2)1(12,1-=∴=n n n a a且),2,1,0()(| ==/=+n a a n f a n n n可以用求商相消法或用迭代法．,1a x =2．已知数列 中，}{n a求通项公式．22,111+==+n nn a a a a ),(+∈N n考点3 递推数列在实际中的应用 命题规律(1)把实际问题转化为数学问题，建立恰当的数学模型．(2)利用递推数列来建立数学模型．[例4] (1)（有趣的汉诺塔问题）一块黄铜平板上装着三根金刚石细柱，其中一根细柱A 上套着64个大小不等的环形金盘，大的在下，小的在上，如图2 -1-2 -1所示．这些盘子可每次一个地从一根柱子转移到另一根柱子，但不允许 较大盘子放在较小盘子的上面，若把这64个金盘从一根柱子全部移到另一根柱子上，至少需移动多少次？ (2)（花钱中的学问）某人看n 元钱，他每天买— 次物品，每次买物品的品种很单调，或者买一元钱的甲物品，或者买；元钱的乙物品，或者买二元钱的丙物品．问他花完这n 元钱有多少种不同的方式．[答案] （l ）用n a表示将几个盘子从一根柱子移到另一 根柱子上至少需移动的次数．显然.3,1,020===a a a i对于n 个盘子，可看成先把柱子A 的n-l 个盘子看成一个 整体，套到柱子C 上，此时，需要1-n a次，再把A 中底下的大盘移到B 柱，然后再把C 中的n-l 个盘子移到日柱，此时需要1+1-n a次．所以有.121+=-n n a a由数列知识可得.12-=n n a回到原问题上来，则至少需移动1264-次．(2)设花完n 元钱的方法有n a种，则易知,,3,121 ==a a在花完n 元钱时有三种情形：花完n-l 元时再花1元买甲物品到，1元；花完n -2元时再花2元买乙物品到n 元；花完n -2元时再花2元买丙物品到n 元，此时则有关系式212--+=n n n a a a⋅≥)3(n由数列知识，可求得⋅-+=+])1(2[311n n n a[启示] 从上述几例可以看出应用递推方法的一般步骤是：(1)求初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系求解．3．(1)（体育课上的思考）体育课上，4名同学互相传球，要求接球后马上传给别人，由甲开始作为第一次传球，经过10次传球后球仍回到甲手中的传球方式有多少种？(2)（每天走过的楼梯）已知楼梯共12阶，某学生上楼梯时，每步上1阶或2阶，当他走完后有多少种不同的走法？优化分层测讯学业水平测试1．在数列}{n a中，),2(2)1(,3111≥⋅-==-n a a a n n n则=5a( )．316.-A316.B38.-C38.D2．已知}{n a中),2()1(,1111≥-+==--n a a a a n n n n 则53a a 的值为( )．3.-A4.-B43.C34.D3．某数列第一项为l ，并且对所有,,2N n n ∈≥数列的前n 项之积为.2n则2≥n时，这个数列的通项公式是( )．12.-=n a A n2.n a B n =2)1(.-=n n a C n22)1(.n n a D n +=4．在数列}{n a中，,3,21221n n n a a a a a -===++则=4a5．已知数列}{n a中，),2(111,211≥-=+=n a a a nn则=16a6．已知数列}{n a中，,21,311n n a a a ==+则=5a7．已知数列}{n a的第1项是1，第2项是2，以后各项由=n a),2(21+--∈>+N n n a a n n给出．(1)写出这个数列的前5项；(2)利用上面的数列},{n a通过公式nn n a a b 1+= 构造一个新的数列},{n b试写出数列}{n b的前5项，高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括7小题，每小题6分，共42分．每小题只有一个选项符合题意）1．数列}{n a中，,11=a以后各项由公式=n a a a a (321)2n给出，则53a a +等于( )．925.A 1625.B 1661.C 1531.D 2．（2008年江西高考题）在数列}{n a中，+==+n n a a a 11,2),11ln(n +则=n a( )．n A ln 2.+n n ln )1(2.8-+n n C ln 2.+n n D ln 1.++3．（2010年江苏省模拟题）在数列}{n a中，,12,1111+==--n n n a aa a则12a等于( )．211.A231.B251.C271.D4．<高考题改编）已知数列}{n a满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅≤≤-≤≤=+)121(12),210(21n n n n n a a a a a若,761=a则2010a的值为( )．76.A75.B73.C71.D5．一给定函数)(x f y =的图象在图2 -1-2 -2中，并且对任意),1,0(1∈a由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a满足),(1++∈>N n a a n n则该函数的图象是( )．6．已知数列}{n x满足,3,1),(2112==∈-=+++x x N n x x x n n n记,21n n x x x s +++=则下列结论正确的是( )．5,1.11=-=ωωS x A5,3.1001=-=∞s x B2,3.100100=-=s x C2,1.1100=-=∞s x D7．已知n s表示数列}{n a的前，n 项和，且11++=+n n n a S s),(+∈N n那么此数列是( )．A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）8．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图2 -1-2 -3所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f=)(;n f（答案用n 表示）．9．（2009年湖北高考题）已知数列}{n a满足：m m a <=1为正整数），,*.,2{,131x h T a a a n nhkhr a a n n r n -±⇒⋅⋅=±++≡-⋅β 若,16=a则m 所有可能的取值为10.（2009年四川高考题）设数列}{n a中，++==+n a a a n n 11,21，则通项=n a11．（全国高考题）设}{n a是首项为1的正项数列，且).1(+n),,3,2,1(01221 ==+-++n a a na a n n n n 则它的通项公式是三、解答题（本题包括3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12．（12分）已知数列}{n a中，),(22,111++∈+==N n a a a a n n n 求通项 ⋅n a13.（12分）设数列}{n a的前凡项和为,n S已知==+11,n a a a⋅∈++N n s n n ,3(1)设,3n n n s b -=求数列}{n b的通项公式；(2)若,,1++∈≥N n a a n n求Ⅱ的取值范围．14.（14分）（2010年北京海淀区模拟题）观察蜜蜂爬过六边形蜂房所取的不同路线（如图2 -1-2 -4），假定该蜜蜂总是向相邻的蜂房移动，并且总是向右移动，那么，蜜蜂到蜂房O 有1条路，到蜂房1有2条路，到蜂房2有3条路，到蜂房3有5条路，依此规律，蜜蜂到蜂房10有多少条路？。
人教B版高中数学必修五《第二章数列2.1数列2.1.1数列》10
数列教课方案第三章数列（第一课时）人教版整日制一般高中教科书（必修5）教课目的【研究性学习目标】研究性课题，主假如针对某些数学识题的深入商讨，或许从数学角度对某些平时生活中和其余学科中出现的问题进行研究。
目的在于培育学生的创新精神和创建能力。
它要讨教师给学生供给研究的问题及背景，让学生自主研究知识的发生发展过程。
从问题的提出、研究的过程及猜想的成立均主要由学生自主达成，教师不行取代，但作为组织者，可供给必需指导。
【学科知识目标】经过教课使学生理解数列的观点，认识数列的表示法，能够依据通项公式写出数列的随意一项；关于比较简单的数列，会依据其前几项写出它的一个通项公式。
进一步培育学生的察看、抽象归纳能力；浸透函数思想．形成知识网络，培育学生由特别到一般的归纳猜想能力。
增强知识间的鉴识与联系。
【能力目标】在解决问题的过程中，培育学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，要点培育创新能力和实践能力。
【德育目标】经过相关数列实质应用的介绍，激发学生学习研究数列的踊跃性．增强爱国感情、环保意识，激发学生为国富民强而勤劳学习的精神。
【感情目标】经过小组议论，培育学生发现问题。
研究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。
【美育目标】数学的抽象美在“数列”上表现得酣畅淋漓。
【研究方法】察看发现，找寻规律。
找序号与项的关系，得出通项公式【组织形式】小组合作，集体议论。
【教课方法】第一由一个传说故事及一些生活中的例子，指引学生仔细察看各数列的特点，激发学生的民族骄傲感和创建欲念，而后指引学生得出相关数列的基本知识（研究的基础）及指引学生发现序号与项的关系的规律（研究的策略），渐渐发现其规律，从而抽象、归纳其通项公式。
让学生对数列学习进行初步的研究试试活动，让学生充足睁开思想进入研究状态。
【特色剖析】教师主导启迪，学生主体参加。
例子的多样性、察看的开放性给学生的研究供给了必定的创新空间。
【多媒体演示】黑板与多媒体的有机整合展现，帮助学生更简单搜寻此中的规律，获取更大的创新空间。
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张喜林制2.1.1 数列教材知识检索考点知识清单1．数列、数列的项： 叫做数列， 叫做这个数列的项． 2．数列的通项公式： ———————————————————.就叫做这个数列的通项公式．3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，数列的图象是一些 ，它们位于 ．4.根据数列的项数可以把数列分为 和 ，根据数列中项与项的大小关系可以把数列分，为 、 、 和 ．5.数列与函数的关系： ．要点核心解读1．数列的概念(1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做数列的项，数列的一般形式：,,,,,,321 n a a a a 简记为n n a a },{是数列}{n a 的第n 项．（2）数列可以看成以正整数集+N （或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数),(n f a n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 2．数列的通项公式如果数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.通项公式是数列的一个重要概念．如果已知一个数列的通项公式，那么只要依次用1，2，3，…，代替公式中的n ，就可以求出这个数列的各项．要由数列的项写出数列的一个通项公式，只需观察、分析数列中的项的构成规律（即寻找项与项数的函数关系），将项n a 表示为项数n 的函数关系．3．数列的表示(1)通项公式；(2)列表；(3)图象（一群孤立的点）．4．数列的分类(1)按数列中项数的有限与无限分类：(2)按数列中项与项之间的大小关系分类：(3)按各项绝对值是否小于某一个正数分类：（注：后两种分类课本未介绍，但了解它对以后的学习有利，故在此加以介绍） 5．应注意的问题(1)由数列的定义可知：①数列中的项是数（包括表示数的式），不能是其他；②数列中的项是要考虑顺序的，不像集合里的元素有无序性；③数列中不同的项可以相等，不像集合里元素必须互异；n n a a 与④}{ 是不同的，}{n a 表示一个数列，而n a 是数列}{n a 的第n 项．(2)对于通项公式应注意：①通项公式实质是数列的项与其项数之间的函数关系式，只不过定义域是正整数集+N （或它的有限子集{1，2，3，…，n}），因此可以用函数方法研究数列的有关问题；②并不是所有的数列都有通项公式；③有些数列的通项公式有不同的形式，特别是只给出前面几项的数列更是如此；④数列的通项公式可以用分段函数表示．(3)利用数列的单调性研究数列的有关问题时，一定要注意自变量n （项数）只能取正整数．典例分类剖析考点1 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式 命题规律(1)根据数列的前几项，归纳出数列的通项公式．(2)根据数列的递推 关系，归纳、猜 想数列的通项公式．[例1]写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数．;,225,8,29,2,21)1( ;,9,7,5,3,1)2( -- ;,,,,,,)3( b a b a b a ,9999,999,99,9)4([解析] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：,,225,216,29,24,21 所以，它的一个通项公式为⋅=22n a n(2)数列各项的绝对值为1，3， 5，7，9，…，是连续的正奇数；考虑1)1(+-n 具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为).12()1(1--=+n a n n(3)这是个摆动数列，可寻找其摆动平衡位置与摆动振幅，平衡位置：,2b a +振幅：,2ba -用n )1(- 或1)1(+-n 去调节，则⋅--++=+2)1(21ba b a a n n (4)各项加l 后，变为,,10000,1000,100,10 此数列的通项公式为,10n 可得原数列的通项公式为.110-=n n a[答案] 2)1(2n a n = )12()1()2(1--=+n a n n =n a )3(2)1(21ba b a n --+++ 110)4(-=n n a[误区诊断] (1)奇数列l ，3，5，7'．，一的通项公式易误写为2n +1．应为2n -1．(2)正负相间用1)1(+-n 来调节，负正相间用n )1(-来调节．[方法技巧] 根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认知过程，解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系． 具体可参考以下几个思路：①先统一项的结构，如都化成分数、根式等．②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如本例(1)中可将分子、分母分别处理.③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以k )1(-处理符号，如本例(2).④对于周期出现的数列，如本例(3)可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．还必须熟练地掌握一些基本数列的通项公式，比如下面这些数列均属于基本数列，它们的通项公式必须记住．(1)数列-1，l ，-1，1，…的通项公式是;)1(n n a -= (2)数列1，2，3，4，…的通项公式是,n a n = (3)数列l ，3，5，7，…的通项公式是;12-=n a n (4)数列2，4，6，8，…的通项公式是⋅=n a n 2 (5)数列1，2，4，8，…的通项公式是,21-=n n a (6)数列1，4，9，16，…的通项公式是,2n a n = (7)数列 ,41,31,21,1的通项公式是na n 1=（其中).+∈N n 母体迁移 1．设数列,31,0},{11nnn n a a a a a -+==+写出数列的前4项并归纳出该数列的通项公式， 考点2 用递推公式法求数列中的项命题规律(1)利用简单的递推公式去求数列的通项． (2)利用递推公式去求数列中的某些项．[例2] （2010年黄冈市训练题）数列，}{n a 中求==21,1a a ,,612n n n a a a -=++求⋅2010a . [解析] 本题若从一般入手，难以求出其通项公式，因此不妨从特例入手，看一看数列的构成规律．一[答案] ,5,6,1,5,6,1654321-=-=-====a a a a a a 6,1,5,6,11110987-=-====a a a a a .512-=a 猜想}{n a 是以6为周期的周期数列（即相同的6项循环地出现的数列）．事实上，n n n a a a -=++12n n n a a a --=-1,,31n n n a a a -=∴-=+--=∴+6n a ⋅=+n n a a 3即}{n a 是以6为周期的周期数列． .5633562010-===∴⨯a a a[启示] 本例中，通过特例（求出数列}{n a 的前几项）发现一般规律（周期数列），再利用这一般规律求出特殊项),2010a （这正是特殊与一般的思想方法的具体体现，也是人类思维活动的程序“实践—一认识——再实践——再认识……”的特殊情形．母体迁移 2．若数列}{n a 的前8项的值互异且=+8n a n a 对任意+∈N n 都成立，则下列数列中可取遍 }{n a 的前8项值的数列为( )．（其中)N k ∈ }.{12+k a A }.{13+k a B }.{14+k a C }.{16+k a D考点3 数列与函数命题归律(1)通过函数的思想来判断数列的单调性．(2)通过求函数最值的思想方法来求数列的最值． [例3] 已知数列}{n a 的通项公式为,452+-=n n a n 则 (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值．[解析] 数列的通项n a 与n 之间构成二次函数关系，可结合二次函数知识去进行探求，同时要注意n 的取值范围．[答案] (1)由,0452<+-n n 解得.41<<n .3,2,=∴∈+n N n∴ 数列中有两项是负数．,49)25(45)2(22--=+-=n n n a n∴ 对称轴方程为.5.225==n 又因,+∈N n 故2=n 或3时，n a 有最小值，其最小值为-22.2425-=+⨯母体迁移 3．在数列}{n a 中，nn n a )1110)(1(+=⋅∈+)(N n (1)求证：数列}{n a 先递增，后递减； (2)求数烈}{n a 的最大项．优化分层测讯学业水平测试1．下列说法中，不正确的是( )． A ．数列1，1，1，…是无穷数列B ．数列l ，2，3，…不一定是递增数列C ．数列)}({n f 就是定义在正整数集+N 上或它的有限子集},,3,2,1{n 上的函数．)(n f 的一列函数值D ．已知数列,,,,,,321 n a a a a 则}{1++n n a a 也是一个数列2．下列解析式中不是数列l ，-1，1，-1，1，…的通项公式的是( )．n n a A )1(.-= 1)1(.+-=n n a B 1)1(.--=n n a C ⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n a D n ,1,1.3．设数列,,11,22,5 则52是这个数列的( )．A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项4．数列 ,177,73,115,21,53的一个通项公式为5．若数列}{n a 的通项公式是,23n n a -=则=n a 2=32a a6．求数列}392{2++-n n 中的最大值．高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括7小题，每小题5分，共35分，每小题只有一个选项符合题意） 1．（2010年辽宁调考题）数列2417,810,35ba b a -+，中，有序数对(a ，b)可以是( )． )5,21.(-A )1,16.(-B )211,241.(-C )211,241.(-D 2．数列 ,151,71,31,1--的通项n a 是( )． 121)1(--⋅n A n121)1(--⋅n nB 12)1(.1---nC n 12)1(.1---n n D3．数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有..321 a a a ⋅⋅,2n a n =则53a a +等于( )．1661.A 925.B 1625.C 1531.D4．（2010年山东烟台训练题）已知数列}{n a 满足：=>+n n a a a 11,0,21则数列}{n a 是( )．A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．不确定、 5．数列}{n a 的前n 项和为,242+-=n n S n 则该数列的通项公式为( )．)(58.+∈-=N n n a A n⎩⎨⎧∈≥-==+),2(58),1(5.N n n n n a B n )2(58.≥-=n n a C n )1(58.≥-=n n a D n6．已知数列}{n a 的前n 项和.92n n s n -=第k 项满足,85<<k a 则=k ( )．9.A 8.B 7.C 6.D7．（湖南高考题）已知数列}{n a 满足133,011+-==+n n n a a a a ),(+∈N n 则=20a ( )．0.A 3.-B 3.C 23.D 二、填空题（本题包括4小题，每小题6分，共24分）8．若数列}{n a 的前n 项和),3,2,1(102 =-=n n n S n 则此数列的通项公式为 ；数列}{n na 中数值最小的项是第 项． 9．（2010年黄冈市模拟题）把数列{2n,+l}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为,11,9(),7,5(),3(),21,19,17,15(),13 ,37,35(),33,31,29),27,25(),23(< ),43(),41,39则第104个括号内各数之和为10.如图2-1 -1 -1，这是一个正六边形的序列：则第(n)个图形的边数为11.（2011年陕西高考题）观察下列等式照此规律，第n 个等式为三、解答题（本题包括3小题，共41分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12.（13分）设数列}{n a 的前n 项和为,n S 且方程=--n n a x a x 20有一根为 ,3,2,1,1=-n s n (1)求,,21a a(2)求n a 的通项公式．（不要求证明）13. (14分)已知数列}{n a 是递增数列，且对于任意,+∈N n 都有n n a n λ+=2恒成立，(1)求实数λ的取值范围；(2)对于(1)中的λ值，数列中有没有最大或最小项？若有，求出最大或最小项的值；若没有，说明理由．14．（14分）设),10(4log log )(2<<-=x x x f x 又知数列}{n a 的通项n a 满足⋅∈=+)(2)2(N n n f n a(1)试求数列}{n a 的通项公式； (2)判断数列}{n a 的增减性．。