2.1.1 数列-王后雄学案

张喜林制
2.1.1 数列
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考点知识清单
1．数列、数列的项： 叫做数列， 叫做这个数列的项． 2．数列的通项公式： ———————————————————.就叫做这个数列的通项公式．
3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，数列的图象是一些 ，它们位于 ．
4.根据数列的项数可以把数列分为 和 ，根据数列中项与项的大小关系可以把数列分，为 、 、 和 ．
5.数列与函数的关系： ．
要点核心解读
1．数列的概念
(1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做数列的项，
数列的一般形式：,,,,,,321 n a a a a 简记为n n a a },{是数列}{n a 的第n 项．
（2）数列可以看成以正整数集+N （或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数),(n f a n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 2．数列的通项公式
如果数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
通项公式是数列的一个重要概念．
如果已知一个数列的通项公式，那么只要依次用1，2，3，…，代替公式中的n ，就可以求出这个数列的各项．
要由数列的项写出数列的一个通项公式，只需观察、分析数列中的项的构成规律（即寻找项与项数的函数关系），将项n a 表示为项数n 的函数关系．
3．数列的表示
(1)通项公式；(2)列表；(3)图象（一群孤立的点）．
4．数列的分类
(1)按数列中项数的有限与无限分类：
(2)按数列中项与项之间的大小关系分类：
(3)按各项绝对值是否小于某一个正数分类：
（注：后两种分类课本未介绍，但了解它对以后的学习有利，故在此加以介绍） 5．应注意的问题
(1)由数列的定义可知：①数列中的项是数（包括表示数的式），不能是其他；②数列中的项是要考虑顺序的，不像集合里的元素有无序性；③数列中不同的项可以相等，不像集合里元素必须互异；n n a a 与④}{ 是不同的，}{n a 表示一个数列，而n a 是数列}{n a 的第n 项．
(2)对于通项公式应注意：①通项公式实质是数列的项与其项数之间的函数关系式，只不过定义域是正整数集+N （或它的有限子集{1，2，3，…，n}），因此可以用函数方法研究数列的有关问题；②并不是所有的数列都有通项公式；③有些数列的通项公式有不同的形式，特别是只给出前面几项的数列更是如此；④数列的通项公式可以用分段函数表示．
(3)利用数列的单调性研究数列的有关问题时，一定要注意自变量n （项数）只能取正整数．
典例分类剖析
考点1 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式 命题规律
(1)根据数列的前几项，归纳出数列的通项公式．
(2)根据数列的递推 关系，归纳、猜 想数列的通项公式．
[例1]写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数．
;,2
25
,8,29,2,21)1( ;,9,7,5,3,1)2( -- ;,,,,,,)3( b a b a b a ,9999,999,99,9)4(
[解析] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：,,2
25
,216,29,24,
21 所以，它的一个通项公式为⋅=22
n a n
(2)数列各项的绝对值为1，3， 5，7，9，…，是连续的正奇数；考虑1
)
1(+-n 具有转换符号的作用，
所以数列的一个通项公式为).12()1(1--=+n a n n
(3)这是个摆动数列，可寻找其摆动平衡位置与摆动振幅，平衡位置：,2b a +振幅：,2
b
a -用n )1(- 或1)1(+-n 去调节，则⋅--++=
+2
)1(21b
a b a a n n (4)各项加l 后，变为,,10000,1000,100,10 此数列的通项公式为,10n 可得原数列的通项公式为
.110-=n n a
[答案] 2)1(2n a n = )12()1()2(1--=+n a n n =n a )3(2
)1(21b
a b a n --+++ 110)4(-=n n a
[误区诊断] (1)奇数列l ，3，5，7'．，一的通项公式易误写为2n +1．应为2n -1．
(2)正负相间用1)1(+-n 来调节，负正相间用n )1(-来调节．
[方法技巧] 根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认知过程，解决这类问题一定要
注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系． 具体可参考以下几个思路：
①先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如本例(1)中可将分子、分母分别处理.
③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以k )1(-处理符号，如本例(2).
④对于周期出现的数列，如本例(3)可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
还必须熟练地掌握一些基本数列的通项公式，比如下面这些数列均属于基本数列，它们的通项公式必须记住．
(1)数列-1，l ，-1，1，…的通项公式是;)1(n n a -= (2)数列1，2，3，4，…的通项公式是,n a n = (3)数列l ，3，5，7，…的通项公式是;12-=n a n (4)数列2，4，6，8，…的通项公式是⋅=n a n 2 (5)数列1，2，4，8，…的通项公式是,21-=n n a (6)数列1，4，9，16，…的通项公式是,2n a n = (7)数列 ,41,31,21,
1的通项公式是n
a n 1
=（其中).+∈N n 母体迁移 1．设数列,31,0},{11n
n
n n a a a a a -+==+写出数列的前4项并归纳出该数列的通项公式， 考点2 用递推公式法求数列中的项
命题规律
(1)利用简单的递推公式去求数列的通项． (2)利用递推公式去求数列中的某些项．
[例2] （2010年黄冈市训练题）数列，}{n a 中求==21,1a a ,,612n n n a a a -=++求⋅2010a . [解析] 本题若从一般入手，难以求出其通项公式，因此不妨从特例入手，看一看数列的构成规律．一
[答案] ,5,6,1,5,6,1654321-=-=-====a a a a a a 6,1,5,6,11110987-=-====a a a a a .512-=a 猜想}{n a 是以6为周期的周期数列（即相同的6项循环地出现的数列）．事实上，n n n a a a -=++12
n n n a a a --=-1,,31n n n a a a -=∴-=+--=∴+6n a ⋅=+n n a a 3即}{n a 是以6为周期的周期数列． .5633562010-===∴⨯a a a
[启示] 本例中，通过特例（求出数列}{n a 的前几项）发现一般规律（周期数列），再利用这一般规律求出特殊项),2010a （这正是特殊与一般的思想方法的具体体现，也是人类思维活动的程序“实践—一认识——再实践——再认识……”的特殊情形．
母体迁移 2．若数列}{n a 的前8项的值互异且=+8n a n a 对任意+∈N n 都成立，则下列数列中可取遍 }{n a 的前8项值的数列为( )．
（其中)N k ∈ }.{12+k a A }.{13+k a B }.{14+k a C }.{16+k a D
考点3 数列与函数
命题归律
(1)通过函数的思想来判断数列的单调性．
(2)通过求函数最值的思想方法来求数列的最值． [例3] 已知数列}{n a 的通项公式为,452+-=n n a n 则 (1)数列中有多少项是负数？
(2)n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值．
[解析] 数列的通项n a 与n 之间构成二次函数关系，可结合二次函数知识去进行探求，同时要注意n 的取值范围．
[答案] (1)由,0452
<+-n n 解得.41<<n .3,2,=∴∈+n N n
∴ 数列中有两项是负数．
,4
9
)25(45)2(22--=+-=n n n a n
∴ 对称轴方程为.5.22
5
==
n 又因,+∈N n 故2=n 或3时，n a 有最小值，其最小值为-2
2.2425-=+⨯
母体迁移 3．在数列}{n a 中，n
n n a )11
10)(1(+=⋅∈+)(N n (1)求证：数列}{n a 先递增，后递减； (2)求数烈}{n a 的最大项．
优化分层测讯
学业水平测试
1．下列说法中，不正确的是( )． A ．数列1，1，1，…是无穷数列
B ．数列l ，2，3，…不一定是递增数列
C ．数列)}({n f 就是定义在正整数集+N 上或它的有限子集},,3,2,1{n 上的函数．)(n f 的一列函数值
D ．已知数列,,,,,,321 n a a a a 则}{1++n n a a 也是一个数列
2．下列解析式中不是数列l ，-1，1，-1，1，…的通项公式的是( )．
n n a A )1(.-= 1
)
1(.+-=n n a B 1
)
1(.--=n n a C ⎩⎨⎧-=为偶数
为奇数
n n a D n ,1,1.
3．设数列,,11,22,5 则52是这个数列的( )．
A ．第6项
B ．第7项
C ．第8项
D ．第9项
4．数列 ,17
7
,73,115,
21,53的一个通项公式为
5．若数列}{n a 的通项公式是,23n n a -=则=n a 2=3
2a a
6．求数列}392{2++-n n 中的最大值．
高考能力测试
（测试时间：90分钟测试满分：100分）
一、选择题（本题包括7小题，每小题5分，共35分，每小题只有一个选项符合题意） 1．（2010年辽宁调考题）数列
24
17,810,35b
a b a -+，中，有序数对(a ，b)可以是( )． )5,21.(-A )1,16.(-B )211,241.(-
C )2
11
,241.(-D 2．数列 ,15
1
,71,
31,1--的通项n a 是( )． 121)1(--⋅n A n
1
21)1(--⋅n n
B 12)1(.1---n
C n 12)1(.1---n n D
3．数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有..321 a a a ⋅⋅,2n a n =则53a a +等于( )．
16
61.
A 925.
B 1625.
C 1531
.D
4．（2010年山东烟台训练题）已知数列}{n a 满足：=>+n n a a a 11
,0,21
则数列}{n a 是( )．
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．摆动数列
D ．不确定、 5．数列}{n a 的前n 项和为,242+-=n n S n 则该数列的通项公式为( )．
)(58.+∈-=N n n a A n
⎩⎨
⎧∈≥-==+),2(58),
1(5.N n n n n a B n )2(58.≥-=n n a C n )1(58.≥-=n n a D n
6．已知数列}{n a 的前n 项和.92
n n s n -=第k 项满足,85<<k a 则=k ( )．
9.A 8.B 7.C 6.D
7．（湖南高考题）已知数列}{n a 满足1
33
,011+-=
=+n n n a a a a ),(+∈N n 则=20a ( )．
0.A 3.-B 3.C 2
3.
D 二、填空题（本题包括4小题，每小题6分，共24分）
8．若数列}{n a 的前n 项和),3,2,1(102 =-=n n n S n 则此数列的通项公式为 ；数列}{n na 中数值最小的项是第 项． 9．（2010年黄冈市模拟题）把数列{2n,+l}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三
个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为,11
,9(),7,5(),3(),21,19,17,15(),13 ,37,35(),33,31,29),27,25(),23(< ),43(),41,39则第104个括号内各数之和为
10.如图2-1 -1 -1，这是一个正六边形的序列：
则第(n)个图形的边数为
11.（2011年陕西高考题）观察下列等式
照此规律，第n 个等式为
三、解答题（本题包括3小题，共41分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12.（13分）设数列}{n a 的前n 项和为,n S 且方程=--n n a x a x 20有一根为 ,3,2,1,1=-n s n (1)求,,21a a
(2)求n a 的通项公式．（不要求证明）
13. (14分)已知数列}{n a 是递增数列，且对于任意,+∈N n 都有n n a n λ+=2恒成立，
(1)求实数λ的取值范围；
(2)对于(1)中的λ值，数列中有没有最大或最小项？若有，求出最大或最小项的值；若没有，说明理由．
14．（14分）设),10(4log log )(2<<-=x x x f x 又知数列}{n a 的通项n a 满足⋅∈=+)(2)2(N n n f n a
(1)试求数列}{n a 的通项公式； (2)判断数列}{n a 的增减性．。