三角形三内角和
三角形的所有性质
三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的距离相等。
界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。
性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
7.一个三角形最少有2个锐角。
8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a??+b??=c??那么这个三角形就一定是直角三角形。
三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
08 三角形三内角和——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较
三角形三内角和——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学．尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学，但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果，所以，今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”．罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理，几年的努力都失败了，失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的．1826年，身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设，提出了与欧几里得几何（简称欧氏几何）完全相反的公设：“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行．”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”．由罗氏公理很容易推出以下结论：“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行．”罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理．如果不涉及与平行有关的内容，罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同．但是只要与平行有关，那么结果就相差甚远．下表对罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、欧氏几何不同的定理作了说明．图7－11欧氏几何说：“三角形的三内角和等于180 o．”现实生活中有没有这种几何模型呢？有！平面上的三角形的内角和就等于180 o，如图7－12左图．罗氏几何说“三角形的三内角和小于180o”．难道现实生活中也会有这样的几何模型吗？有！1868年意大利数学家贝特拉米找到了一种曲面，人们给它起名叫“伪球面”．在“伪球面”上可以证明：“三角形内角和小于180 o”，如图7－12中间的图．图7－12现实生活中有没有“三角形的内角和大于180 o”的几何学？有！这是德国著名数学家黎曼于1854年提出来的，如图7－12右图．黎曼生于德国汉诺威，父亲是牧师，他遵照父亲的愿望进入哥廷根大学学习哲学和神学．可是进哥廷根大学后，他很快被数学所吸引．于是就放弃神学专攻数学，并成为大数学家高斯的学生．1851年他获得数学博士学位，博士论文受到高斯极高的评价．1859年他成为哥廷根大学的教授，1866年因患肺结核死于意大利，年仅40岁．黎曼提出了一种与前两种几何完全不同的新几何，叫做“黎曼几何”．黎曼几何的模型是球面，在黎曼几何中“三角形内角之和大于180 o.”后来，人们把罗氏几何和黎曼几何合在一起统称“非欧几何”．非欧几何在现代物理中，特别是相对论提出之后找到了具体用处，使得非欧几何并不像有些人说的是“想象中的几何”，而成了有着重要现实意义的几何学．。
2023年中考数学考点总结+题型专训专题06 全等三角形的性质与判定篇(原卷版)
专题06 全等三角形的判定与性质知识回顾1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。
2.三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。
3.三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。
大于它不相邻的任意一个内角。
4.全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。
5.全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。
②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。
③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。
④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。
全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。
在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。
微专题1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝123，则BC＝，BF＝．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有P A+PB＝PC（或P A+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．。
三角形的内角和
课后作业
1、书P32 练一练 1、2、3； 2、学习评价手册P14~P15 《三角形内角 和》（第一课时）
答:∠A,∠B,∠C的度数分别是30°,60°,90°.
应用延伸
3、根据下图填空：
y° (y- 30) °
y+(y-30)=90
y=____ 60°
直角三角形的两个锐角互余.
应用延伸
4、(1)如图, △ABC中, ∠A=44°,∠B=36°, 那么∠ACB△ABC的边BC延长，得到 80° ∠ACD，那么∠ACD=_____. A (3)从上面计算结果可以 得出∠ ACD与∠A、∠B 大小之间有什么规律？ B ∠ ACD=∠A+∠B
解：∠A+∠B=∠C+∠D. 在△AOB中， B ∠A+∠B+∠AOB=180°, 即 ∠A+∠B=180°－∠AOB. 在△COD中， ∠C+∠D+∠COD=180°, 即 C ∠C+∠D=180°－∠COD. 因为∠AOB与∠COD是对顶角， 所以∠AOB=∠COD， 所以∠A+∠B=∠C+∠D. A O D
1、根据下图填空：
80° 70° n°
x° x° 100°
30° n=____
x=____ 40°
应用延伸
2、已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的 度数之比是1﹕2﹕3，求∠A，∠B， ∠C的度数分别是多少？ 解: 设∠A的度数是x°，那么∠B，∠C 的度数是分别是2x°和3x° ， 由题意，得：x＋2x＋3x＝180 解这个方程，得：x＝30 所以，2x＝60，3x＝90
课堂小结
1、内容总结：探究了三角形3个内角之 间的关系以及三角形外角的性质：
三角形内角和定理
3、在本题的证明中，添加平行线的作用之一是移动角。
在这里，为了证明的需要，在原 来的图形上添画的线叫做辅助线。在 平面几何里，辅助线通常画成虚线。
思路总结
为了证明三个角的和为1800,转化 为一个平角或同旁内角互补,这种转 化思想是数学中的常用方法. 三角形内角和定理:
三角形的内角和等于1800.
活动1：比一比，赛一赛
看哪一组做得又°∠B=500， 则∠C＝＿＿＿＿。 (2) 在△ABC中，∠C=90°∠B=500， 则∠A＝＿＿＿＿。 (3)在△ABC中, ∠A=400，∠A=2∠B，则∠C＝＿＿＿＿。
2 (4)在△ABC中, ∠A等于直角的一半，∠B等于直角的 ，则∠C＝＿＿。 3
练一练
已知：如图在△ABC中,AD垂直BC，点D为 垂足, ∠ BAD=∠C 求证: △ABC为直角三角形
A
B
D
C
求证:三角形的内角和是180° l
D 1
A
2
E
已知：△ABC.
求证：∠BAC +∠B +∠C =180° 证明： 过A作ED∥BC
B C
C B 1 2 ∴∠___=∠___, ∠___=∠___（两直线平行,内错角相等） 1 2 （平角定义） BAC ∵∠___+∠______+∠____=180° B BAC C （等量代换） ∴∠____+∠______+∠____=180°
综合运用
？ C 例：如图,从A处观测C处时仰角 ∠CAD＝30°,从B处观测C处时 仰角∠CBD＝45°.从C处观测A、 30° 45° D A B两处时视角∠ACB是多少? B
题组二:
做一做 1、如图,在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°, ∠C=70°,则 ∠ADE=__________ 50°
三角形内角和
三角形内角和xx年xx月xx日contents •引言•三角形内角和的基本概念•三角形内角和的应用•特殊三角形的内角和•三角形内角和定理的推广•总结与回顾目录01引言目的和背景02了解三角形内角和的应用场景03提高数学素养和解决问题的能力常见三角形的类型和特点等腰三角形两边长度相等，内角不一定相等等边三角形三边长度相等，内角均为60°直角三角形有一个角为90°，其他两个角互余锐角三角形三个锐角，任意两个角之和大于90°钝角三角形有一个钝角，其他两个角互补02三角形内角和的基本概念角度是测量两条射线或线段从同一点延伸并相交时所形成的角度的大小。
通常使用量角器来测量角度的大小。
角度的测量方法角度的单位是度（°），它是一个以圆心为基准的弧度。
此外，还有分、秒等单位用于更精确的测量角度。
角度的单位角度的基本概念三角形内角和定理三角形的三个内角的和等于180度。
这是三角形内角和的基本定义。
内角与外角在三角形中，与三角形的一条边相邻的两个角称为三角形的内角，第三个角称为三角形的外角。
三角形内角和的定义直观证明通过将三角形的三个内角分别划分为两个较小的三角形，可以得到两个三角形的内角和为180度，从而直观地证明了三角形内角和定理。
代数证明通过在三角形的一边上作一条平行线，可以将三角形的三个内角划分为两个较小的三角形，利用平行线的性质和三角形内角和定理，可以证明三角形内角和定理。
三角形内角和定理的证明03三角形内角和的应用在几何学中，三角形内角和定理可以用来计算三角形的角度大小。
总结词三角形内角和定理指的是三角形的三个内角之和等于180度。
这个定理可以用来解决各种与角度计算相关的问题，例如在几何学中判断两个角是否为钝角或锐角。
详细描述利用三角形内角和定理计算角度总结词三角形内角和定理在几何学中有着广泛的应用。
详细描述利用三角形内角和定理，可以解决各种与三角形相关的几何问题，例如证明某个四边形是矩形、判断一个多边形是否为凸多边形等。
三角形三内角和教学教案
三角形三内角和教学教案这是一篇由网络搜集整理的关于三角形三内角和教学教案的文档，希望对你能有帮助。
三角形三内角和教学教案1教学目标：1.通过直观操作的方法，探索并发现三角形内角和等于180°，在实验活动中，体验探索的过程和方法。
2.能运用三角形内角和的性质解决一些简单的问题。
教学重点：知道三角形内角和为180°，并能根据已知两个内角的度数求出第三个角。
教学难点：知道三角形内角和为180°，并能根据已知两个内角的度数求出第三个角。
教学过程：一、导入板书课题：三角形三内角和师：今天我们学习什么新内容三角形三内角和指的是什么导入二、新授（一）认识三角形三内角1.在黑板中画一个三角形2.请学生上台来指一指三角形三内角3.标上字母，用一个算式表示我们今天所学知识4.猜一猜：三角形三内角和的度数5.思考：要想知道三角形三内角的度数和，可以怎么求证明黑板中的这种三角形的内角和度数够了没有为什么（二）画一画、量一量1.四人一小组，分别画一个锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
组长负责检查画得是否标准。
2.画三角形的同学分别测量出它们内角度数，组长负责检查并做好登记。
3.反馈（三）拼一拼，折一折1.打开数学书，独立思考，你是否能看到书中的方法。
2.让学生上台演示（四）试一试完成数学书28页练习三、巩固练习1.完成书中练一练1，2，3三题。
2.能力提升题,四边形、五边形的内角你能求吗四、课堂小结/三角形三内角和教学教案2一、学生知识状况分析学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的，因此，学生具有良好的基础。
活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验.二、教学任务分析上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《三角形内角和定理的证明》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的定理解决相关问题。
三角形内角和的探究过程
在探索三角形内角和之前，先来认识三角形的内角。
在认识三角形时，已经知道了三角形有三个角，那么这三个角指的就是三角形的三个内角。
既然有“内”角，那么就有“外”角，它们是相对于三角形的位置来说的。
其中∠1、∠2、∠3是位于三角形的内部，就被称为三角形的内角。
∠4、∠5、∠6是位于三角形的外部，被称为三角形的外角。
下面要进行探究的三角形的内角和，就是求∠1、∠2、∠3这三个角的度数和。
可以先让孩子思考：你打算怎样去求三角形三个内角度数的和？首先想到的是用量角器去度量三个内角的度数，再把量出的结果相加。
可以先度量三角尺上的角，会很快得出三个内角度数和是180°；再去度量画在纸上的三角形的三个内角（注意：所画三角形的形状、大小尽量不同，数量要多，才能在量角后的拼角、折角活动中形成正确的、深刻的认知。
），可能会出现一些度量误差，三个内角和不正好是180°。
这时，孩子的心里还是有些疑虑的，为了验证三角形的内角和为180°，可以把在纸上画的任意三角形都剪下来，三个内角分别表上∠1、∠2、∠3，再把剪掉的三个角拼在一起（角的顶点重合，角的一边重合），就会直观看到正好拼成一个平角，也就验证了结论。
当然，也可以用对折角等其他方法，对折三个内角使三个顶点重合，边重合，同样会拼成一个平角。
回顾一下探索过程，首先利用三角尺制造的精准性，通过度量它的三个内角，计算出三角形内角和为180°；再通过测量所画三角形的内角，产生对内角和是180°的怀疑；最后通过拼角或折角等操作活动，验证了三角形内角和是180°。
看似枯燥乏味的数学知识，通过孩子的量一量、画一画、拼一拼、折一折等动手操作活动，变得十分有趣起来：不管什么样子的三角形都有一个相同的结论，这真是一件奇怪的事情！从而极大激发了孩子对数学学习的兴趣。
三角形中的三角函数
11.锐角 △ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边. (1)若 (a+c)(a-c)=b(b-c), 求 A 的大小; (2)y=2sin2B+sin(2B+ 6 ) 取最 大值时, 求 B 的大小.
解: (1)∵(a+c)(a-c)=b(b-c), ∴b2+c2-a2=bc. b2+c2-a2 = 1 . 故由余弦定理得 cosA= 2bc 2 ∵A 是锐角三角形的内角, ∴0<A< 2.
课后练习
1. △ABC 中, A, B 的对边分别为a, b, 且 A=60, a= 6, b=4, 那 么满足条件的 △ABC ( C ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 充要 条件. 2.在 △ABC 中, A>B 是sinA>sinB 成立的_____ 3.在 △ABC 中, (1+tanA)(1+tanB)=2, 则 log2sinC= - 1 2 . 4. △ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 若 (a+b+c) (sinA+sinB-sinC)=3asinB, 则 C= 60 .
法二: 角换边
B
例2 已知 △ABC 的三边均为有理数, A=3, B=2, 试证 cos5 与 cos 均为有理数.
证: 由余弦定理知, cosA, cosB, cosC 为有理数,
∴cos5 即 -cosC 为有理数, 而cos=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB, 证明 sinAsinB 为有理数即可(由正弦定理可证). 或由 coscos5=cos(3-2)cos(3+2) =cos23cos22-sin23sin22 =cos23cos22-(1-cos23)(1-cos22) =cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B) 为有理数, 且 cos0, cos5 为有理数知: cos 为有理数.
三角形三边关系三角形内角和定理
三角形三边关系三角形内角和定理三角形三边关系与三角形内角和定理三角形是几何学中的基本图形，由三条边和三个顶点构成。
在三角形中，三边之间有一系列内在的关系，而三角形的内角和也有一个重要的定理与之对应。
本文将详细介绍三角形三边关系和三角形内角和定理。
一、三角形三边关系三角形的三边之间存在着一系列特殊的关系，下面将介绍三个重要的三边关系。
1. 三边长关系在任意三角形中，任意两条边之和大于第三条边的长度。
即对于三角形的边长a、b、c，有以下关系：a +b > ca + c > bb +c > a这个关系被称为三边长关系，它是构成三角形的必要条件。
2. 三边长比较关系当我们知道三角形的两条边长和它们的夹角时，可以通过角的余弦定理来比较三条边的长度。
角的余弦定理表达式如下：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中，a、b、c分别表示三角形的边长，C表示夹角的度数。
3. 直角三角形的特殊边关系直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，三边之间有一种特殊的关系，即勾股定理。
勾股定理表达式如下：c² = a² + b²其中，a、b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边的长度。
二、三角形内角和定理三角形的内角和定理是指三角形内角的度数和为180度。
即在任意三角形ABC中，有以下关系：∠A + ∠B + ∠C = 180°这个定理是三角形的基本性质之一，有助于我们在解决三角形相关问题时进行推理和计算。
三、应用举例三角形的三边关系和内角和定理在几何学中有着广泛的应用。
下面将通过几个具体的例子来展示其应用。
例1：已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，夹角为60度，求第三边的长度。
根据角的余弦定理，可以得到：c² = 3² + 4² - 2*3*4*cos(60°)= 9 + 16 - 24*cos(60°)= 25 - 12= 13因此，第三边的长度为√13 cm。
三角形内角和评课意见缺点
三角形内角和评课意见缺点三角形是一个基本的几何形状，由三条边和三个内角组成。
在数学中，我们经常需要计算三角形的各种属性，其中一个重要的属性就是三角形的内角和。
本文将详细介绍如何计算三角形的内角和，并讨论一些评课意见缺点。
一、三角形的内角和1. 定义：三角形的内角和是指三个内角的度数之和。
2. 性质：对于任意一个三角形ABC，其内角和满足以下性质：- 内角和等于180度：∠A + ∠B + ∠C = 180°。
- 任意两个内角之和大于第三个内角：∠A + ∠B > ∠C，∠A + ∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。
二、计算三角形的内角和计算三角形的内角和可以通过以下两种方法进行：1. 已知边长求内角如果已知三条边长a、b、c，可以使用余弦定理来计算每个内角。
- 余弦定理公式：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(∠C)，其中c为斜边（对应∠C），a、b为两条边。
- 根据余弦定理，可以计算出∠C的值。
- 同样的方法，可以计算出∠A和∠B的值。
- 将三个内角的度数相加即可得到内角和。
2. 已知角度求内角如果已知三个内角的度数，可以直接将它们相加得到内角和。
三、评课意见缺点评课是对教师授课过程进行评价和反馈的一种方式。
在评课过程中，可能存在一些缺点和不足之处，下面是一些常见的评课意见缺点：1. 主观性：由于评课是基于个人感受和观察进行的，因此评价结果可能受到主观因素的影响。
不同人对同一节课可能会有不同的看法和评价结果。
2. 不全面性：评课往往只关注教师授课环节，而忽略了其他因素对学生学习效果的影响。
例如学生自身学习态度、家庭环境等因素也会对学习成绩产生影响，但这些因素在评课中常常被忽略。
3. 缺乏客观依据：在评价教师授课效果时，往往缺乏客观可量化的依据。
评价结果往往只是基于观察和感受，缺乏具体的数据支持。
4. 忽视个体差异：评课结果可能没有考虑到学生个体差异的影响。
三角形中的三角函数
三角形内角和,外角和定理
三角形内角和，外角和定理三角形是我们初中数学学习的重点，而三角形内角和，外角和定理是我们学习三角形时需要掌握的基础知识。
本文将详细介绍三角形内角和，外角和定理，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，让我们来看一下三角形内角和定理。
三角形的内角和是指一个三角形内部所有角度之和。
对于任意一个三角形ABC，它的内角和可以表示为：∠A+∠B+∠C=180°。
这个定理也可以写成：一个三角形的任意两个内角的和等于第三个内角的补角。
那么如何证明这个定理呢？这里我们来介绍一种简单的证明方法。
首先，我们假设在三角形ABC中，有一条线段DE平行于BC，如下题所示。
因为DE || BC，所以∠CDE=∠B。
又因为三角形ADE和三角形ABC中有两个角相等（∠A和∠D），所以它们的第三个角也相等（∠E和∠C）。
同理，三角形AED和三角形ABC中的第三个角也相等（∠A和∠E）。
因此，我们可以得出以下结论：∠A+∠B+∠C=∠A+∠D+∠E+∠C=180°因此，一个三角形的任意两个内角的和等于第三个内角的补角，也就是三角形内角和定理。
接下来，让我们来看一下三角形外角和定理。
一个三角形的外角是指这个三角形中任意一个顶点所对的补角。
例如，在下题中，∠D是三角形ABC中顶点A所对的外角。
对于任意一个三角形ABC，它的外角和可以表示为：∠A'+∠B'+∠C'=360°。
这个定理也可以写成：一个三角形的任意一个外角等于其它两个内角之和。
同样地，我们也可以通过证明来理解这个定理。
假设在三角形ABC中，有一条线段DE平行于BC，并且交于顶点A处，如下题所示。
因为DE || BC，所以∠CDE=∠B。
又因为∠A'是∠D的补角，所以∠D=180°-∠A'。
同理，我们可以得到以下结论：∠A'+∠B'+∠C'=∠D+∠E+∠C'=180°+180°-∠A'=360°-∠A'因此，一个三角形的任意一个外角等于其它两个内角之和，也就是三角形外角和定理。
三角形内角和
这节课你有那形的内角
福建省莆田中山中学 张立业
三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀的说： “我的体积比你大，所以我的内角和比你大！” 红不服气的说：“那可不好说噢，你自己量量 看！”
蓝用量角器量了量自己和红，就不再说话 了！
同学们，你们知道其中的道理吗？
三角形的三个内角和是多少? 180°
你有什么办法可以验证呢?
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上 添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通 常画成虚线。
为了证明三个角的和为1800,转化为一个平 角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常 用方法。
三角形内角和定理: 三角形的内角和等于1800
新知应用
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °
则∠ C= 102 ° .
（2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4，
则∠A = 40 ° ，∠B= 60 ° ， ∠ C= 80 ° .
典例示范
（3）在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数。
练习
如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是 △ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
三角形内角和
2
2
3
3
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三角形内角和是180°
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我是小判官：（下列说法对的打“√”，错的打“×”）
1、内角分别是50°、60°、70°的三角形不存在。（×）
2、等腰直角三角形的底角一定是45度。 （√ ）
3、三角形越大，它的内角和就越大。 （×） 4、一个三角形中有两个角是锐角，则第三个角一定也是锐角。
三角形内角和
廊坊开发区第一小学，刘佩
我们三个内角的和加起来叫 做三角形的内角和。
1
1
2
3
2
1 3 2
3
我的个头大, 我的内角和一 定比你大!
我的内角和 不一定比你 小
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量
600
锐角三角形
480
720
680＋500＋610＝1790
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量
380 260
钝角三角形 0
116
1210＋200＋410＝18640
260
直角三角形
900
900＋260＋640＝1800
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三角形的内角和
3 平角：1800
平角：1800
平角：1800
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折一折
1
2
1
3
折一折
三角形内角和等于1800。
（ ×）
练一练
算出下面各个未知角的度数。
练一练
求出三角形各个角的度数
试一试
多边形的内角和是多少度
三角形的内角和
2∠BOC=∠A
课堂小结
1、三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180°。 2、三角形的外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和。
解：BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB
又∠ABC+∠ACB+ ∠A = 180° ∠OBC+∠OCB+∠BOC= 180°
∴∠BOC= 180°-(∠OBC+∠OCB)
变式训练
2、将上题改成若∠ABC的角平分线与△ABC的外角 ∠ACD相交于点O，∠BOC与∠A又有怎样的关系？
解： ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD= ∠ABC+∠A.
三角形的内角和
塘田市镇中学 唐红兵
激趣引入
小明想测量一块三角形木板的一个角，但这个角刚好被 一块沉重的大理石地砖压住了，不移开地砖，你能得到 这个角的度数吗？
我们只要量出另两个角的度数，再用180°减去这两个 角的度数，就可得到被遮挡的那个角的度数。
因为三角形的三个内角和等于180°。
探究新知
一个三角形中最多有几个直角？最多有几个钝角？ 为什么？ 一个三角形中最多有一个直角或一个钝角。
若一个三角形中有两个或两个以上的直角或钝角， 则三个内角之和大于180°， 这与三角形的三个内角和等于180°不符，故一个 三角形中最多有一个直角或一个钝角。
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD ， 像这样，三角形的一边和另一边的延长线所组成的 角，叫三角形的外角。
三角形的内角和
考考你
把大三角形平均分成两个小三角 说一说，这两个三角形哪个内角和大？ 形，其中的一个小三角形的内角和是 多少度？
考考你
两个小三角又拼在一起它的内角和 是多少度？
考考你 判断对错并说明原因
一个三角形中可以有两个直角。 （ ×）
一个三角形中至少有两个角是锐角。（ √ ）
一个三角形的三个内角度数是80度，75度，
400 1800－700 －700 1800－700×2 700 700
一个等腰三角形的风筝, 它的一个底角是70°，它 的顶角是多少度？
数学文化
帕斯卡——法国 数学家，物理学家， 近代概率论的奠基者。 早在300多年前这位 法国的科学家就已经 发现了任何三角形的 内角和是180度，而 他当时才的内角和？
拓展应用
根据所学的知识，你能想办 法求出下列图形的内角和吗？
24度。 形的内角和是360°。 （ ×） （√ ）
两个相同的三角形拼成一个大四边形，四边
游戏：找朋友
（每组卡片中，哪三个角可以组成三角形？）
400
900
700 200
580
360
720
500
解决生活中的问题
爸爸带小明去放风筝， 聪明的小明发现这是一个 等腰三角形的风筝,它的一 个底角是70°，它的顶角 是多少度？
闯关游戏
3
2 1
由三条线段围成的图形（每 我们把三角形里面的这三 相邻两条线段的端点相连） 个角分别叫做三角形的内角。 叫做三角形。
三角板
30
算一算，三角板（特殊 三角形）的三个内角度 数的和是多少呢？
把三角形三个内角 的度数之和就叫做 三角形的内角和。
猜一猜
任意三角形的内角和又是多少度呢？
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三角形的内角和教学案例
教学内容：三角形内角和。
教材分析：
三角形内角和是三角形的重要特征，它是学生比较熟悉了平角等知识，学习了三角形的分类的基础上学习的一个知识点。
早在三年级已经具备了一定的动手操作能力和合作学习的习惯，根据教材画面与意图，必须留给学生足够的探索空间，让学生通过量一量，算一算，拼一拼等数学活动，使学生发现，归纳出三角形的三个内角和是180度。
教学目标：
1让学生通过亲自动手量、剪、拼等数学活动，来发现证实三角形内角和是180度，并会应用这一规律进行计算。
2通过学生的动手手实践活动，把三角形三内角和转化成平角，渗透转化思想，培养学生动手能力和探索精神。
3让学生体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：使学生经历“三角形三内角和是180度”这一知识的形成，发展和应用的全过程。
教学难点：应用三角形内角和进行计算。
教学准备：三角板，硬纸板，剪刀量角器等。
教学过程：
一引入
⑴提出问题：三角形按角来分可以分那几类呢？
⑵出示三角板：知道三角板的每个角的度数吗？三个角的和是多少度？
是不是任何一个三形的三内角和都是180度呢？
二探索发现，构建知识
操作实验：
⑴用量角器量：小组合作，同学在硬纸板上画出一个三角形，分别用量角器量出三角形三内角的度数，再算度数和。
⑵交流，讨论
通过交流，有的同学三内角和是180度，有的则说接近180度，到底是不是呢？
⑶拼三角形的三个内角：把三角形的三个内角剪下来，拼一拼，成为一个平角，证明三角形三内角是180度。
三巩固应用
⑴根据三角形三内角和是180度，那么知道了三角形其中的二个角，求另一个角的度数，怎么计算呢？
学生试着完成“做一做，”再交流订正。
⑵巩固练习：课本88面9题中的⑶小题，12题。
四总结与扩展
今天我们学习了什么？如果知道了等腰三角形的顶角，能求出另外二个底角的度数吗？
板书设计三角形三内角和
三角形三内角和是180度
教学反思：三角形三内角和这一课，经历了三个阶段，即建立表象，验证结论和巩固应用三个阶段，通过让学生亲手动手量一量，算一算，画一画，拼一拼等一系列的数学实践活动，
使学生牢牢地记住了三角形三内角和是180度，虽然花了大量的时间去证实这一结论，可我看到孩子们积极参与，愉快合作的表情和那获得成功的满足感，不正是我教学中所追求的吗？。