2015年中考复习二次函数综合题精选(教师版)
人教版中考数学专题复习 二次函数综合题
人教版中考数学专题复习二次函数综合题1．已知二次函数2(0)y ax bx a =+≠，其对称轴为直线x=t ．（1）当a=1，b=4时，t=________；（2）当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n ，则t 的取值范围是________；（3）已知点C(0，a)，D(2，3a -2b)，若此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．2．如图，已知顶点是M 的抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）点P 是x 轴上方抛物线上的一点，若PAB △的面积等于3，求点P 的坐标．（3）是否在y 轴存在一点Q ，使得QBM 为直角三角形？若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由．3．如图，抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣4的图象与x 轴交于的A 、B 两点，与y 轴交于点D ，抛物线的顶点为C ．（1）求△ABD 的面积；（2）求△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为4时，求所有符合条件的点P 的坐标；（4）点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为8时，求所有符合条件的点P 的坐标；（5）点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为10时，求所有符合条件的点P 的坐标．4．如图，已知抛物线经过点(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作//MN y 轴交抛物线于N 点，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长；（3）在（2）的条件下，连接NB ，NC ，当m 为何值时，BNC 的面积最大．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++，与y 轴交于点A 与x 轴交于点E 、B ．且点()0,5A ，()5,0B ，点P 为抛物线上的一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，若点P 在AC 的上方，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，连接PA ，PC ，当245AOE APCD S S ∆=四边形时，求点P 坐标； （3）设抛物线的对称轴与AB 交于点M ，点Q 在直线AB 上，当以点M 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q 的坐标．6．如图是二次函数y ＝（x+2）2的图象，顶点为A ，与y 轴的交点为B ．（1）求经过A，B两点的直线的函数关系式；（2）请在第二象限中的抛物线上找一点C，使△ABC的面积与△ABO的面积相等；（3）已知抛物线上存在点P，使△PAB为等腰三角形，则所有符合条件的这样的点P共有几个?7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，﹣3)，动点P在抛物线上．（1）b= ，c= （直接填写结果）（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；8．已知，点A是平面直角坐标系内的一点，将点A绕坐标原点O逆时针旋转90°得到点B，经过A、O、B 三点的二次函数的图象记为G．（1）若点A的坐标为（1，2），求二次函数G的解析式；（2）若点A的坐标为（m，2m）（m≠0），图象G所对应的函数表达式为y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）．写出b 的值，并用含m 的代数式表示a ．（直接写出即可）（3）在（2）的条件下，直线x=-2与图象G 交于点P ，直线x=1与图象G 交于点Q ．图象G 在P 、Q 之间的部分（包含P 、Q 两点）记为G 1．①当图象G 在-2≤x≤1上的函数值y 随自变量x 的增大而增大时，设图象G 1的最高点的纵坐标为h 1，最低点的纵坐标为h 2，记h=h 1-h 2，求h 的取值范围．②连结PQ ，当PQ 与图象G 1围成的封闭图形与x 轴交于点D （点D 不与坐标原点重合）．当OD≥12时，直接写出m 的取值范围．9．如图，直线y ＝﹣12x ＋2交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线y ＝﹣14x 2＋bx ＋c 经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．（1）点A 的坐标为 ，点C 的坐标为 ，并求抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；（3）将线段OA 绕x 轴上的动点P （m ，0）顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请你直接写出m 的取值范围．10．如图，平面直角坐标系xoy 中，抛物线223y x x =--与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．（1）求顶点D 的坐标；（2）求ABC 的面积．11．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣2，0），B （4，0），C （0，8）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，求△CBF 的最大面积及此时点E 的坐标．12．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点（x ，y ）的坐标值：（2）如图1，直线1y kx =+()0k <与抛物线交于P ，Q 两点，交抛物线对称轴于点T ，若QMT 的面积是PMT 面积的两倍，求k 的值；（3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF⊥x 轴，垂足为F ，ABD 的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点左侧，B 点的坐标为（4，0），与y 轴交于C （0，﹣4）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P ，使四边形POP′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线21522y x bx =-++与x 轴交于点1,0A ，抛物线的对称轴l 经过顶点B ，作直线AB ．P 是该抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点Q ，过点P 作PNl 于点N ，以PQ 、P N 为边作矩形PQMN ．（1）b =______；（2）当点P 在抛物线A ，B 两点之间时，求线段PQ 长度的最大值；（3）矩形PQMN 与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G ，G 的最高点的纵坐标为m ，最低点纵坐标为n ，当2m n -=时，求点P 的坐标．。
2015中考数学真题分类总汇编_二次函数填空选择精选50题(含解析汇报)(1)
2015中考数学真题分类汇编：二次函数（选择题）一．选择题（共30小题）1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+2．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．C．D．4．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．5．二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．2的图象时，列出了下面的表格：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …）A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣58．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．11．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）13．对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．414．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧15．已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数16．二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（）A．x=4 B．x=﹣4 C．x=2 D．x=﹣217．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m 的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣118．如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜019．设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）20．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）221．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜022．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）B．顶点坐标是（1，﹣3）C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）D．当x＜0时，y随x的增大而减小23．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．424．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（）A．②④B．①④C．①③D．②③25．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B 两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤26．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（）A．a＜0 B．b＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＜027．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是（）①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0．A．1 B．2 C．3 D．428．如图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1，下列结论中：①ab＞0， ②a+b+c＞0， ③当﹣2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个29．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．130．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共21小题）1．二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．2．已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x时，y随x的增大而减小．3．函数y=x2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x＜2时，y随x的增大而（填写“增大”或“减小”）．4．下列函数（其中n为常数，且n＞1）①y=（x＞0）；②y=（n﹣1）x；③y=（x＞0）；④y=（1﹣n）x+1；⑤y=﹣x2+2nx（x＜0）中，y的值随x的值增大而增大的函数有个．5．对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2x2+2x+8．当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．6．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m1﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是．（只填写序号）7．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）8．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．9．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．10．在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M 的坐标为．（2）若点P在函数y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的取值范围是．11．当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为．12．抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是．13．如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．14．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．16．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm2．17．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．18．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大．19．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为m2．20．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．21．如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2015•兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义，可得答案．解答：解：A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误；B、y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，故B错误；C、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确；D、y=x2+不是二次函数，故D错误；故选：C．2．（2015•宁夏）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．解答：解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．故选：B．点评：本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．3．（2015•衢州）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：计算题．分析：利用一次函数，二次函数，以及反比例函数的性质判断即可．解答：解：当x＞0时，y随x的增大而减小的是，故选B4．（2015•锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．解答：解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选C．点评：此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．5．（2015•湖北）二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．分析：根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．解答：解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＞0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=图象在第一三象限，只有C选项图象符合．故选C．点评：本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致．解答：解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．点评：本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．7．（2015•泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5考点：二次函数的图象．分析：根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．解答：解：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x2+1x=2时y=﹣11，故选：D．点评：本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．8．（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象．分析：根据二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．解答：解：二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标．9．（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．分析：由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．解答：解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，∵方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两个不相等的根x1＞0，x2＞0，∴x1+x2=﹣＞0，∴﹣＞0，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∵a＞0，开口向上，∴A符合条件，故选A．点评：本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2015•泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．解答：解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx 来说，图象开口向下，对称轴y=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx 来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．故选：C．点评：此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．11．（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．分析：①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值；②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和；④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．解答：解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．点评：本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．12．（2015•新疆）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．解答：解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选D．点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．13．（2015•梅州）对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：二次函数的性质．分析：利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案．解答：解：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，正确；②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1，错误；③当y=0，则x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2，故它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），正确；④∵a=﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），∴当0＜x＜2时，y＞0，正确．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．14．（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧考点：二次函数的性质．分析：根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x＜2，从而得出﹣2＜＜0，即可判定抛物线对称轴的位置．2解答：解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质，根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键．15．（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数考点：二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．分析：求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断．解答：解：设一次函数解析式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∵k＞0，∴y随x的增大而增大，∴A、B错误，设反比例函数解析式为：y=，由题意得，k=﹣4，k＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，∴C错误，当抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而减小．故选：D．点评：本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌握各个函数的增减性是解题的关键．16．（2015•甘孜州）二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（）A．x=4 B．x=﹣4 C．x=2 D．x=﹣2考点：二次函数的性质．分析：直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可．解答：解：二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为：x=﹣=﹣=﹣2．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键．17．（2015•常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．解答：解：抛物线的对称轴为直线x=﹣，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣≤1，解得m≥﹣1．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．18．（2015•玉林）如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜0考点：二次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：把（﹣，m）代入y=ax2+bx图象的顶点坐标公式得到顶点（﹣，﹣），再把（﹣，﹣）代入得到k=，由图象的特征即可得到结论．解答：解：∵y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m），∴﹣=﹣，即b=a，∴m==﹣，∴顶点（﹣，﹣），把x=﹣，y=﹣代入反比例解析式得：k=，由图象知：抛物线的开口向下，∴a＜0，∴a＜k＜0，故选D．点评：本题考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．19．（2015•台州）设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M 在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x=3，点M在直线l上则点M的横坐标一定为3，从而选出答案．解答：解：∵二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线x=3，∴直线l上所有点的横坐标都是3，∵点M在直线l上，∴点M的横坐标为3，故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数y=a（x ﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴是x=h．20．（2015•兰州）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．解答：解：y=（x+2）2的对称轴为x=﹣2，A正确；y=2x2﹣2的对称轴为x=0，B错误；y=﹣2x2﹣2的对称轴为x=0，C错误；y=2（x﹣2）2的对称轴为x=2，D错误．故选：A．点评：本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键．21．（2015•益阳）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0考点：二次函数的性质．分析：利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．解答：解：由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），根据题意，，解不等式（1），得m＞0，解不等式（2），得m＞﹣1；所以不等式组的解集为m＞0．故选B．点评：本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．22．（2015•黔南州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）B．顶点坐标是（1，﹣3）C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）D．当x＜0时，y随x的增大而减小考点：二次函数的性质；二次函数的图象．分析：A、将x=0代入y=x2﹣2x﹣3，求出y=﹣3，得出函数图象与y轴的交点坐标，即可判断；B、将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，即可判断；C、将y=0代入y=x2﹣2x﹣3，求出x的值，得到函数图象与x轴的交点坐标，即可判断；D、利用二次函数的增减性即可判断．解答：解：A、∵y=x2﹣2x﹣3，∴x=0时，y=﹣3，∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），故本选项说法正确；B、∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标是（1，﹣4），故本选项说法错误；C、∵y=x2﹣2x﹣3，∴y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1，∴函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0），故本选项说法正确；D、∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为直线x=1，又∵a=1＞0，开口向上，∴x＜1时，y随x的增大而减小，∴x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确；故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解决本题的关键．23．（2015•安顺）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c ＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．解答：解：①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选C．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．24．（2015•恩施州）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（）A．②④B．①④C．①③D．②③考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确由图象可知：对称轴x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故②错误；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0；故③错误；由图象可知：当x=﹣1时y＞0，∴点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，故④正确．故选B点评：此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．25．（2015•日照）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．专题：数形结合．分析：根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．解答：解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选C．点评：本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当。
2015陕西中考数学典题专练系列：中考第24题之二次函数典型题精选(pdf版)
中考数学24题之二次函数精练（2015•工大3模）如图，抛物线经过A （4，0）、B （1，0）、C （0，﹣2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是第一象限内抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2015•铁一1模）如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （4，0）、B （1，3）．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P （m ，n ）在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值．（2015•高新2模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝90°，∠ACB ＝30°，点A 的坐标为(0，3).(1)求点B 和点C 的坐标；(2)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的表达式；(3)设点M 是(2)中抛物线的顶点，P 、Q 是抛物线上的两点，要使△MPQ 为等边三角形，求点P 、Q 的坐标.（2015•师大4模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，4），顶点为（1，）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，试在对称轴上找出点P ，使△CDP 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标；（3）若点E 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点E 作EF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．（2015•工大5模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于点A （﹣4，0），B （﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D ．①如图（1），若四边形ODAE 是以OA 为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE 的面积为6时，请判断平行四边形ODAE 是否为菱形？说明理由．②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q 、C 两点，过点D 作直线DF ⊥x 轴于点H ，交QC 于点F ．请问是否存在这样的点D ，使点D 到直线CQ 的距离与点C 到直线DF 的距离之比为：2？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（2015•师大2模）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．中考数学24题之二次函数答案（2015•工大3模）如图，抛物线经过A （4，0）、B （1，0）、C （0，﹣2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是第一象限内抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．m m ）代入得，（x x 点纵坐标为：m m ==时，（﹣m m ==时，（﹣m m（2015•铁一1模）如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （4，0）、B （1，3）．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P （m ，n ）在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值．（2015•高新2模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝90°，∠ACB ＝30°，点A 的坐标为(0，3).(1)求点B 和点C 的坐标；(2)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的表达式；(3)设点M 是(2)中抛物线的顶点，P 、Q 是抛物线上的两点，要使△MPQ 为等边三角形，求点P 、Q 的坐标.【分析】(1)根据在Rt △AOC 中，∠ACB 的正切值求出OC 的值，在Rt △ABO 中，∠ACB 的正切值求出OB 的值即可求解；(2)设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入解析式可得方程组，解方程组即可求解；(3)由(2)可得)，要使△MPQ 为等边三角形，只要PQ ，设NQ ＝m ，则NP ＝m ，MN ＝3m ，将点P 或点Q 的坐标代入抛物线解析式求得m 即可求解.【解析】解:(1).在Rt △AOC 中，OC= OA/tan30°= 在Rt △ABO 中，OB=OA tan30°， ∴B(，C((2).设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c 根据题意得，c=327a+3a 解得:a=13-，，c=3 ∴所求抛物线的表达式为y=13-x 2x+3. (3).由(2)可得，如图，要使△MPQ 为等边三角形，只要PQ ， 设NQ ＝m ，则NP ＝m ，MN，∴，；∴13-2-m)+3. 解得m=m=0(不符合题意舍去)，∴，【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用.熟练掌握和理解二次函数的综合应用，二次函数解析式的求法，等边三角形的性质，直角三角形中三角函数值的求法等知识，这是解答此题的关键所在.（2015•师大4模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，4），顶点为（1，）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，试在对称轴上找出点P ，使△CDP 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标；（3）若点E 是线段AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点E 作EF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．，然后将与，﹣）x x+，配方后即可求得最大值，从而求得）=4（）），（=0（与= ×EBMF= = ﹣ x x+=（＜（2015•工大5模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于点A （﹣4，0），B （﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D ．①如图（1），若四边形ODAE 是以OA 为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE 的面积为6时，请判断平行四边形ODAE 是否为菱形？说明理由．②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．，解得x x+3OA．x x+3=，，﹣）或（﹣））时，）时，CN=m m+3m+3m﹣mm m=m﹣（m m+3m﹣mm m=m或m m+3=﹣（﹣，﹣）的坐标为（﹣，﹣）（2015•师大2模）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．﹣﹣，x ，﹣t t OB OC﹣）﹣．若以m（﹣m，解方程﹣m，求出）﹣（﹣m m m，2+﹣2+=1，x，﹣ttOB×（﹣tOC×，x（，，）﹣．，﹣mm﹣mm，解得：）﹣（﹣=m±，经检验适合题意，﹣2+2+﹣，。
人教中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题附答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【解析】【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解；（2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润．【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩， 即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.2．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r ，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。
2015届九年级下数学基础复习卷(5)二次函数(含答案)
（第三章 二次函数 时间： 60 分钟 满分： 100 分）
班别：
姓名：
一、选择题： （每小题 3 分，共 30 分）
1．在抛物线 y x 2 4 上的一个点是（
学号： ）
成绩：
A ．（ 4， 4）
2．抛物线 y ( x 2) 2
轴与抛物线 y 1 x2 交于点 Q，则图中阴影部分的面积 2
为 ________________ ．
三、解答题： （每小题 8 分，共 32 分）
17．求抛物线 y
1 x 2 x 的开口方向、顶点坐标和对称轴． 2
（图 7）
18．若 y ax 2 bx c ，由下列表格的信息， 求 y 与 x 之间的函数关系式．
y
E A
O
x
C
B
（图 10）
的距离的 4 倍，记抛物线顶点为
E． [来源 :]
（ 1）求双曲线和抛物线的解析式；
（ 2）计算△ ABC 与△ ABE 的面积；
（ 3）在抛物线上是否存在点 D，使△ ABD 的面积等于△ ABE 的面积的 8 倍．若存在，
请 求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
D． c 3
8．设 A ( 2, y1), B(1, y2), C(2, y3) 是抛物线 y ( x 1)2 m 上的三点， 则 y1, y2, y3 的大
小关系为（
）
A ． y1 y2 y3
B． y1 y3 y2
C． y3 y2 y1
D． y2 y1 y3
9．二次函数 y ax2 bx 的图象如图 2 所示，若一元二次方程
2015中考数学真题分类汇编：二次函数压轴题(含答案解析可打印)
2015中考数学真题汇编：二次函数1．（13分）（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．解答：解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴抛物线的对称轴是x=2，∵直线y=x+m，∴直线与坐标轴的交点坐标为（﹣m，0），（0，m），∴交点到原点的距离相等，∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，故答案为x=2、45°．（2）设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，S△POQ=S△PAQ不成立；①当点B落在线段OA上时，如图①，==，由△OBE∽△ABF得，==，∴AB=3OB，∴OB=OA，由y=x2﹣4x得点A（4，0），∴OB=1，∴B（1，0），∴1+m=0，∴m=﹣1；②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，同理可得OB=OA=2，∴B（﹣2，0），∴﹣2+m=0，∴m=2，综上，当m=﹣1或2时，S△POQ=S△PAQ；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，∵∠CDQ=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，∴PH=PM，∴当PM最大时，PH最大，∴当点P在抛物线顶点出时，PM最大，此时PM=6，∴PH的最大值为6，即PD+DQ的最大值为6．②由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，则DQ﹣a，∴PD•DQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，∵当点P在抛物线的顶点时，a=3，∴PD•DQ≤18．∴PD•DQ的最大值为18．2．（10分）（2015•莆田）抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线y=ax2+bx+c 为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线y=x2﹣的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q 为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．解答：（1）证明：由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵抛物线y=ax2+bx+c，当x=﹣1时，y=0，∴“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A（﹣1，0）；（2）解：存在；理由如下：∵“恒定”抛物线y=x2﹣，当y=0时，x2﹣=0，解得：x=±1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0时，y=﹣，∴顶点P的坐标为（0，﹣），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在两种情况：①如图1所示：作QM⊥AC于M，则QM=OP=，∠QMC=90°=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵点A和点C是抛物线上的对称点，∴AM=MC=1，∴点Q的坐标为（﹣2，﹣），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=a（x+2）2﹣，把点A（﹣1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：y=（x+2）2﹣，即y═x2+4x+3；②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，∴点C坐标为（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴点Q坐标为（0，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=ax2+，把点C（1，0）代入得：a=﹣，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+；综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3，或y=﹣x2+．3．（13分）（2015•泉州）阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．解答：解：（1）当x=0时，y=k•0+1=1，则点C的坐标为（0，1）．根据题意可得：AC=AE，∴∠AEC=∠ACE．∵AE⊥EF，CO⊥EF，∴AE∥CO，∴∠AEC=∠OCE，∴∠ACE=∠OCE．同理可得：∠OCF=∠BCF．∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°，∴2∠OCE+2∠OCF=180°，∴∠OCE+∠OCF=90°，即∠ECF=90°；（2）①过点P作PH⊥EF于H，Ⅰ．若点H在线段EF上，如图2①．∵M为EF中点，∴EM=FM=EF．根据勾股定理可得：PE2+PF2﹣2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2=2PH2+EH2+HF2﹣2（PH2+MH2）=EH2﹣MH2+HF2﹣MH2=（EH+MH）（EH﹣MH）+（HF+MH）（HF﹣MH）=EM（EH+MH）+MF（HF﹣MH）=EM（EH+MH）+EM（HF﹣MH）=EM（EH+MH+HF﹣MH）=EM•EF=2EM2，∴PE2+PF2=2（PM2+EM2）；Ⅱ．若点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上，如图2②．同理可得：PE2+PF2=2（PM2+EM2）．综上所述：当点H在直线EF上时，都有PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②连接CD、PM，如图3．∵∠ECF=90°，∴▱CEDF是矩形，∵M是EF的中点，∴M是CD的中点，且MC=EM．由①中的结论可得：在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．∵MC=EM，∴PC2+PD2=PE2+PF2．∵PE=PF=3，∴PC2+PD2=18．∵1＜PD＜2，∴1＜PD2＜4，∴1＜18﹣PC2＜4，∴14＜PC2＜17．∵PC＞0，∴＜PC＜．4．（12分）（2015•福建）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB 相似时，请你直接写出点M的坐标．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，将B点坐标代入函数解析式，得（5﹣1）2a﹣1=3，解得a=．故抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣1；（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（5﹣1）2+（3+1）2=32，OA2+AB2=OB2，∴∠OAB=90°，O到直线AB的距离是OA=；（3）设M（a，b），N（a，0）当y=0时，（x﹣1）2﹣1=0，解得x1=3，x2=﹣1，D（3，0），DN=3﹣a．①当△MND∽△OAB时，=，即=，化简，得4b=a﹣3 ①M在抛物线上，得b=（a﹣1）2﹣1 ②联立①②，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣2，b=，M1（﹣2，），当△MND∽△BAO时，=，即=，化简，得b=12﹣4a ③，联立②③，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，M2（﹣17，80）．综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2，），（﹣17，80）．5．（14分）（2015•漳州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t 之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？解答：解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴C（0，3），D（1，4），故答案为：0；3；1；4；（2）∵在三角形中两边之差小于第三边，∴延长DC交x轴于点P，设直线DC的解析式为y=kx+b，把D、C两点坐标代入可得，解得，∴直线DC的解析式为y=x+3，将点P的坐标（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，如图1，点P（﹣3，0）即为所求；（3）过点C作CE∥x，交直线BD于点E，如图2，由（2）得直线DC的解析式为y=x+3，由法可求得直线BD的解析式为y=﹣2x+6，直线BC的解析式为y=﹣x+3，在y=﹣2x+6中，当y=3时，x=，∴E点坐标为（，3），设直线P′C′与直线BC交于点M，∵P′C′∥DC，P′C′与y轴交于点（0，3﹣t），∴直线P′C′的解析式为y=x+3﹣t，联立，解得，∴点M坐标为（，），∵B′C′∥BC，B′坐标为（3+t，0），∴直线B′C′的解析式为y=﹣x+3+t，分两种情况讨论：①当0＜t＜时，如图2，B′C′与BD交于点N，联立，解得，∴N点坐标为（3﹣t，2t），S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′=×6×3﹣（6﹣t）×（6﹣t）﹣t×2t=﹣t2+3t，其对称轴为t=，可知当0＜t＜时，S随t的增大而增大，当t=时，有最大值；②当≤t＜6时，如图3，直线P′C′与DB交于点N，立，解得，∴N点坐标为（，），S=S△BNP′﹣S△BMP′=（6﹣t）×﹣×（6﹣t）×=（6﹣t）2=t2﹣t+3；显然当＜t＜6时，S随t的增大而减小，当t=时，S=综上所述，S与t之间的关系式为S=，且当t=时，S 有最大值，最大值为．6．（12分）（2015•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c，经过点A（0，﹣4），∴c=﹣4又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的两个根，∴x1+x2=b，x1x2=6由已知得（x2﹣x1）2=25又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=b2﹣24∴b2﹣24=25解得b=±，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=﹣．（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+）2+，∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D．（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与抛物线y=﹣x2﹣x﹣4的交点，∴当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上7．（10分）（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C （5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴y=x﹣，∵点P的横坐标为3，∴y=×3﹣=，∴P（3，）．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4，把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4），此时：NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NG•OC=×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时，△CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N（，﹣3）．8．（12分）（2015•兰州）已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．（1）求二次函数y=ax2的解析式；（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．①当m=时（图①），求证：△AOB为直角三角形；②试判断当m≠时（图②），△AOB的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）解答：（1）解：∵y=ax2过点（2，1），∴1=4a，解得a=，∴抛物线解析式为y=x2；（2）①证明：当m=时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，1），B（8，16），分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，如图1，∴AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，∴==，且∠ACO=∠ODB，∴△ACO∽△ODB，∴∠AOC=∠OBD，又∵∠OBD+∠BOD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，∴△AOB为直角三角形；②解：△AOB为直角三角形．证明如下：当m≠时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，∴A（2m﹣2，（m﹣）2），B（2m+2，（m+）2），分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，如图2，∴AC=（m﹣）2，OC=﹣（2m﹣2），BD=（m+）2，OD=2m+2，∴==，且∠ACO=∠ODB，∴△ACO∽△OBD，∴∠AOC=∠OBD，又∵∠OBD+∠BOD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，∴△AOB为直角三角形；（3）解：由（2）可知，一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的交点为A、B，则△AOB恒为直角三角形．（答案不唯一）．9．（12分）（2015•天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）∴点B的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，∴，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣x2+2x﹣1．（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），∴直线AC的解析式为y=x﹣1，∵直线的斜率为1，∴△P′PM是等腰直角三角形，∵PP′=，∴P′M=PM=1，∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，∵y=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣2）2+1，∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+2，令y=0，则0=﹣（x﹣3）2+2，解得x1=1，x=52，∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解，得或∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′==2．∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2．10．（10分）（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴y=x﹣，∵点P的横坐标为3，∴y=×3﹣=，∴P（3，）．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4，把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4），此时：NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NG•OC=×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时，△CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N（，﹣3）．11．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．解答：解：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．12．（14分）（2015•广州）已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t上．（1）求点C的坐标；（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．解答：解：（1）令x=0，则y=c，故C（0，c），∵OC的距离为3，∴|c|=3，即c=±3，∴C（0，3）或（0，﹣3）；（2）∵x1x2＜0，∴x1，x2异号，①若C（0，3），即c=3，把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=3，即t=3，∴y2=﹣3x+3，把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0，即x1=1，∴A（1，0），∵x1，x2异号，x1=1＞0，∴x2＜0，∵|x1|+|x2|=4，∴1﹣x2=4，解得：x2=﹣3，则B（﹣3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，则当x≤﹣1时，y随x增大而增大．②若C（0，﹣3），即c=﹣3，把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=﹣3，即t=﹣3，∴y2=﹣3x﹣3，把A（x1，0），代入y2=﹣3x﹣3，则﹣3x1﹣3=0，即x1=﹣1，∴A（﹣1，0），∵x1，x2异号，x1=﹣1＜0，∴x2＞0∵|x1|+|x2|=4，∴1+x2=4，解得：x2=3，则B（3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则当x≥1时，y随x增大而增大，综上所述，若c=3，当y随x增大而增大时，x≤﹣1；若c=﹣3，当y随x增大而增大时，x≥1；（3）①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，则当x≤﹣1﹣n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x+3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=﹣1﹣n，y3≥y4，即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，解得：n≤﹣1，∵n＞0，∴n≤﹣1不符合条件，应舍去；②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1，综上所述：n≥1，2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，∴当n=时，2n2﹣5n的最小值为：﹣．13．（2015•深圳）如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．解答：解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，（2）存在，当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，设P（﹣1，m），则PM=PD•sin∠ADE=（4﹣m），PE=m，∵PM=PE，∴（4﹣m）=m，m=﹣1，∴P点坐标为（﹣1，﹣1）；当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，设P（﹣1，n），则PN=PD•sin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n，∵PM=PE，∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1，∴P点坐标为（﹣1，﹣﹣1）；综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；（3）∵S△EBC=3，2S△FBC=3S△EBC，∴S△FBC=，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，如图3，∵S△FBC=FQ•OB=FQ=，∴FQ=9，∵BC的解析式为y=﹣3x+3，设F（x0，﹣x02﹣2x0+3），∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，解得：x0=或（舍去），∴点F的坐标是（，）．14．（9分）（2015•珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．（1）求证：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．解答：（1）证明：∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，∴∠BDE=∠BCE=90°，∵∠BAD=90°，∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，∴△ABD∽△ODE；（2）证明：∵=，∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，∴CE=DE=5x，∴AB=OC=CE+OE=8x，又∵△ABD∽△ODE，∴==，∴DA=6x，∴BC=OA=10x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，当x=10时，代入可得y=，∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，∴BF=DF，又M为Rt△BDE斜边上的中点，∴MD=MB，∴MF为线段BD的垂直平分线，∴MF⊥BD；（3）解：由（2）可知抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为H、G，令y=0，可得0=﹣x2+x+3，解得x=﹣4或x=12，∴H（﹣4，0），G（12，0），①当PD⊥x轴时，由于PD=8，DM=DN=8，故点Q的坐标为（﹣4，0）或（12，0）时，△PDQ是以D为直角顶点的等腰直角三角形；②当PD不垂直与x轴时，分别过P，Q作x轴的垂线，垂足分别为N，I，则Q不与G重合，从而I不与G重合，即DI≠8．∵PD⊥DQ，∴∠QDI=90°﹣∠PDN=∠DPN，∴Rt△PDN∽Rt△DQI，∵PN=8，∴PN≠DI，∴Rt△PDN与Rt△DQI不全等，∴PD≠DQ，另一侧同理PD≠DQ．综合①，②所有满足题设条件的点Q的坐标为（﹣4，0）或（12，0）．15（12分）（2015•河池）如图1，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）．（1）写出D的坐标和直线l的解析式；（2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；（3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线l的解析式为y=kx+b，把C（0，3），E（4，0）分别代入得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+3；（2）如图（1），当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则B（3，0），设直线BD的解析式为y=mx+n，把B（3，0），D（1，4）分别代入得，解得，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，则P（x，﹣2x+6），∴S=•（﹣2x+6+3）•x=﹣x2+x（1≤x≤3），∵S=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，S有最大值，最大值为；（3）存在．如图2，设Q（t，0）（t＞0），则M（t，﹣t+3），N（t，﹣t2+2t+3），∴MN=|﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）|=|t2﹣t|，CM==t，∵△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′，M′落在y轴上，而QN∥y轴，∴MN∥CM′，NM=NM′，CM′=CM，∠CNM=∠CNM′，∴∠M′CN=∠CNM，∴∠M′CN=∠CNM′，∴CM′=NM′，∴NM=CM，∴|t2﹣t|=t，当t2﹣t=t，解得t1=0（舍去），t2=4，此时Q点坐标为（4，0）；当t2﹣t=﹣t，解得t1=0（舍去），t2=，此时Q点坐标为（，0），综上所述，点Q的坐标为（，0）或（4，0）．16．（10分）（2015•南宁）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax2（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y 轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．解答：解：（1）如图1，∵AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE=BE=1，∵∠AOB=90°，∴OE=AB=1，∴A（﹣1，1）、B（1，1），把x=1时，y=1代入y=ax2得：a=1，∴抛物线的解析式y=x2，A、B两点的横坐标的乘积为x A•x B=﹣1（2）x A•x B=﹣1为常数，如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，∴∠AMO=∠BNO=90°，∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°，∴∠MAO=∠BON，∴△AMO∽△BON，∴，∴OM•ON=AM•BN，设A（x A，y A），B（x B，y B），∵A（x A，y A），B（x B，y B）在y=x2图象上，∴，y A=，y B=，∴﹣x A•x B=y A•y B=•，∴x A•x B=﹣1为常数；（3）设A（m，m2），B（n，n2），如图3所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．∴，即，整理得：mn（mn+1）=0，∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=﹣1．设直线AB的解析式为y=kx+b，联立，得：x2﹣kx﹣b=0．∵m，n是方程的两个根，∴mn=﹣b．∴b=1．∵直线AB与y轴交于点D，则OD=1．易知C（0，﹣2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．设P（a，﹣2a﹣2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=﹣a，GD=OG﹣OD=﹣2a﹣3．在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，即：（﹣a）2+（﹣2a﹣3）2=32，整理得：5a2+12a=0，解得a=0（舍去）或a=﹣，当a=﹣时，﹣2a﹣2=，∴P（﹣，）．16．（2015•北海）如图1所示，已知抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上．（1）直接写出D点和E点的坐标；（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，S△HGF：S△BGF=5：6？（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9∴D点的坐标是（2，9）；∵E为对称轴上的一点，∴点E的横坐标是：﹣=2，设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），∵将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上，∴△CEC′是等腰直角三角形，∴解得或（舍去），∴点E的坐标是（2，3），点C′的坐标是（0，1）．综上，可得D点的坐标是（2，9），点E的坐标是（2，3）．（2）如图1所示：令抛物线y=﹣x2+4x+5的y=0得：x2﹣4x﹣5=0，解得：x1=﹣1，x2=5，所以点A（﹣1，0），B（5，0）．设直线C′E的解析式是y=kx+b，将E（2，3），C′（0，1），代入得，解得：，∴直线C′E的解析式为y=x+1，将y=x+1与y=﹣x2+4x+5，联立得：，解得：，，∴点F得坐标为（4，5），点A（﹣1，0）在直线C′E上．∵直线C′E的解析式为y=x+1，∴∠FAB=45°．过点B、H分别作BN⊥AF、HM⊥AF，垂足分别为N、M．∴∠HMN=90°，∠ADN=90°．又∵∠NAD=∠HNM=45°．∴△HGM∽△ABN∴，∵S△HGF：S△BGF=5：6，∴．∴，即，∴HG=5．设点H的横坐标为m，则点H的纵坐标为﹣m2+4m+5，则点G的坐标为（m，m+1），∴﹣m2+4m+5﹣（m+1）=5．解得：m1=，m2=．（3）由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4（x﹣1）+5=﹣x2+6x．将x=5代入y=﹣x2+6x得：y=5，∴点T的坐标为（5，5）．设直线OT的解析式为y=kx，将x=5，y=5代入得；k=1，∴直线OT的解析式为y=x，①如图2所示：当PT∥x轴时，△PTQ为等腰直角三角形，将y=5代入抛物线y=﹣x2+6x得：x2﹣6x+5=0，解得：x1=1，x2=5．∴点P的坐标为（1，5）．将x=1代入y=x得：y=1，∴点Q的坐标为（1，1）．②如图3所示：由①可知：点P的坐标为（1，5）．∵△PTQ为等腰直角三角形，∴点Q的横坐标为3，将x=3代入y=x得；y=3，∴点Q得坐标为（3，3）．③如图4所示：设直线PT解析式为y=kx+b，∵直线PT⊥QT，∴k=﹣1．将k=﹣1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10，∴直线PT的解析式为y=﹣x+10．将y=﹣x+10与y=﹣x2+6x联立得：x1=2，x2=5∴点P的横坐标为2．将x=2代入y=x得，y=2，∴点Q的坐标为（2，2）．综上所述：点Q的坐标为（1，1）或（3，3）或（2，2）．17．（10分）（2015•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y 轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1，∴，解得：．∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令y=﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或x=1，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在y=﹣x2﹣2x+3上，∴设点P（x，﹣x2﹣2x+3）①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD即y=﹣x2﹣2x+3=2，解得x=﹣1（舍去）或x=﹣﹣1，∴点P（﹣﹣1，2）；②∵S四边形BCPA=S△OBC+S△OAC=2+S△APC∵S△AOC=，S△OCP=x，S△OAP=•3•|y P|=﹣x2﹣3x+∴S△APC=S△OAP+S△OCP﹣S△AOC=x+（﹣x2﹣3x+）﹣=﹣x2﹣x=﹣（x﹣）2+，∴当x=﹣时，S△ACP最大值=，此时M（﹣，﹣），S四边形PABC最大=．18．（12分）（2015•桂林）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O 时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：y=﹣x2+3x+8；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=3，c=8，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+8，故答案为：y=﹣x2+3x+8；（2）∵点A（0，8）、B（8，0），∴OA=8，OB=8，令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，解得：x18，x2=2，∵点E在x轴的负半轴上，∴点E（﹣2，0），∴OE=2，根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，∴OD=8﹣t，∴DE=OE+OD=10﹣t，∴S=•DE•OC=•（10﹣t）•t=﹣t2+5t，即S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+，∴当t=5时，S最大=；（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，∴当t=5时，OC=5，OD=3，∴C（0，5），D（3，0），由勾股定理得：CD=，设直线CD的解析式为：y=kx+b，将C（0，5），D（3，0），代入上式得：k=﹣，b=5，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+5，过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，如图1，设直线EF的解析式为：y=﹣x+b，将E（﹣2，0）代入得：b=﹣，∴直线EF的解析式为：y=﹣x﹣，将y=﹣x﹣，与y=﹣x2+3x+8联立成方程组得：，解得：，，∴P（，﹣）；过点E作EG⊥CD，垂足为G，∵当t=5时，S△ECD==，∴EG=，过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，如图2，可得△EGD∽△DMN，∴，即：，解得：DM=，∴OM=，由勾股定理得：MN==，∴N（，），过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，如图2，设直线NH的解析式为：y=﹣x+b，将N（，），代入上式得：b=，∴直线NH的解析式为：y=﹣x+，将y=﹣x+，与y=﹣x2+3x+8联立成方程组得：，解得：，，∴P（8，0）或P（，），综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（，﹣）或P（8，0）或P（，）．19．（14分）（2015•安顺）如图，抛物线y=ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标．解答：解：（1）由题意得，解得：，∴y=﹣x2+2x+．（2）设直线AB解析式为：y=kx+b，则有，解得：，∴y=x+，则D（m，﹣m2+2m+），C（m，m+），CD=（﹣m2+2m+）﹣（m+）=﹣m2+m+2，∴S=（m+1）•CD+（4﹣m）•CD=×5×CD=×5×（﹣m2+m+2）=﹣m2+m+5∵﹣＜0，∴当m=时，S有最大值，当m=时，m+=×+=，∴点C（，）．20．（16分）（2015•毕节市）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得y=（x﹣1）2﹣4，M点的坐标为（1，﹣4），M′点的坐标为（1，4），设AM′的解析式为y=kx+b，将A、M′点的坐标代入，得，解得，AM′的解析式为y=2x+2，联立AM′与抛物线，得，解得，C点坐标为（5，12）．S△ABC=×4×12=24；（3）存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形，由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），①当顶点P（1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，将A点坐标代入函数解析式，得a（﹣1﹣1）2﹣2=0，解得a=，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣2，②当P（1，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+2，将A点坐标代入函数解析式，得a（﹣1﹣1）2+2=0，解得a=﹣，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2，综上所述：y=（x﹣1）2﹣2或y=﹣（x﹣1）2+2，使得四边形APBQ为正方形．21．（16分）（2015•六盘水）如图，已知图①中抛物线y=ax2+bx+c经过点D（﹣1，0），D （0，﹣1），E（1，0）．（1）求图①中抛物线的函数表达式．（2）将图①中的抛物线向上平移一个单位，得到图②中的抛物线，点D与点D1是平移前后的对应点，求该抛物线的函数表达式．（3）将图②中的抛物线绕原点O顺时针旋转90°后得到图③中的抛物线，所得到抛物线表达式为y2=2px，点D1与D2是旋转前后的对应点，求图③中抛物线的函数表达式．（4）将图③中的抛物线绕原点O顺时针旋转90°后与直线y=﹣x﹣1相交于A、B两点，D2与D3是旋转前后如图④，求线段AB的长．解答：解：（1）将D、C、E的坐标代入函数解析式，得，解得．图①中抛物线的函数表达式y=x2﹣1；（2）将抛物线的函数表达式y=x2﹣1向上平移1个单位，得y=x2，该抛物线的函数表达式y=x2；（3）将抛物线的函数表达式y=x2绕原点O顺时针旋转90°，得x=y2，图③中抛物线的函数表达式x=y2；（4）将图③中抛物线的函数表达式x=y2绕原点O顺时针旋转90°，得y=﹣x2，联立，。
2015年中考数学压轴题精选—二次函数(16题)_附详细解答和评分标准
2015全国中考数学压轴题精选——二次函数1、（10广东茂名25题）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）解：解：（1）解法一： ∵抛物线y =－32x 2+b x +c 经过点A （0，－4）， ∴c =－4 ……1分又由题意可知，x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c =0的两个根， ∴x 1+x 2=23b ， x 1x 2=－23c =6 ·························································· 2分 由已知得（x 2-x 1）2=25 又（x 2-x 1）2=（x 2+x 1）2－4x 1x 2=49b 2－24 ∴49b 2－24=25 解得b =±314···························································································· 3分当b =314时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b =－314． ··························································································· 4分 解法二：∵x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c=0的两个根， 即方程2x 2－3bx +12=0的两个根．（第25题图）x∴x =4969b 32-±b ， ································································· 2分∴x 2－x 1=2969b 2-=5，解得 b =±314 ·················································································· 3分 （以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上， ···················································································· 5分又∵y =－32x 2－314x －4=－32（x +27）2+625····························· 6分 ∴抛物线的顶点（－27，625）即为所求的点D ． ································· 7分（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与抛物线y =－32x 2-314x -4的交点， ···················································· 8分 ∴当x =－3时，y =－32×（－3）2－314×（－3）－4=4，∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ··············· 9分 四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ············································· 10分 2、（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.解：（1）由5x x 122+=0， ··································································· （1分）得01=x ，5122-=x ． ······································································· （2分） ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（512-，0）． ································· （3分）（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， ·························· （4分）分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形 ············································· （5分） =22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-21)8144(⨯+ ······························· （6分）=5（个单位面积） ······························································ （7分）（3）如：)(3123y y y -=． ······························································· （8分）事实上，)3(12)3(523a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ． 3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ． ··········· （9分） ∴)(3123y y y -=． ········································································ （10分） 3、（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60 后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）点E 在y 轴上 ··············································································· 1分 理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =，2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠=由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ······························································· 3分x第26题图（2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD = ，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =，2OM = 点D 在第一象限，∴点D 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭， ············································································· 5分 由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，∴点A的坐标为( ··············································································· 6分 抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=由题意，将(A ，12D ⎫⎪⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得32131242a a ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩解得89a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴所求抛物线表达式为：2829y x x =-+ ················································ 9分 （3）存在符合条件的点P ，点Q ． ······························································ 10分 理由如下： 矩形ABOC的面积AB BO == ∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边，又OB =OB ∴边上的高为2 ···················································································· 11分依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线2829y x =-+上282299m m ∴--+=解得，10m =，28m =-1(02)P ∴，，228P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB == ∴当点1P 的坐标为(02)，时， 点Q的坐标分别为1(Q，2Q ；当点2P的坐标为2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，点Q的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，42Q ⎫⎪⎪⎝⎭． ········································ 14分4、（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线y =与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)y ax x c a =+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(0C ············································································· 1分 点A C ，都在抛物线上，x0a c c⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2y x x =················································· 3分 ∴顶点1F ⎛ ⎝⎭ ·················································································· 4分 （2）存在 ································································································ 5分1(0P ······························································································ 7分2(2P ····························································································· 9分 （3）存在 ······························································································ 10分理由： 解法一：延长BC 到点B '，使BC B C '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点．········································································· 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H ．B点在抛物线2y x x =(30)B ∴，在Rt BOC △中，tan OBC ∠=，30OBC ∴∠=，BC =在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '=，3OH ∴=，(3B '∴--， ········································ 12分 设直线B F '的解析式为y kx b =+33k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨-=+⎪⎩解得2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩62y x ∴=-················································································· 13分xy y x ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩解得37x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛ ⎝⎭，． ·· 14分 5、（08青海西宁28题）如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1） 圆心1O 的坐标为(20)，，1O 半径为1，(10)A ∴，，(30)B ，……1分二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A B ，，∴可得方程组10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩····································································· 2分 解得：43b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数解析式为243y x x =-+- ······································· 3分 （2）过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ． ······················································ 4分OM 是1O 的切线，M 为切点，1O M OM ∴⊥（圆的切线垂直于经过切点的半径）． 在1Rt OO M △中，1111sin 2O M O OM OO ∠== 1O OM ∠ 为锐角，130OOM ∴∠= ························ 5分1cos3022OM OO ∴==⨯=图14在Rt MOF △中，3cos3022OF OM ===．1sin 3022MF OM ===． ∴点M 坐标为322⎛ ⎝⎭，············································································· 6分设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠32k =，k ∴=····· 7分∴切线OM 的函数解析式为y x =··························································· 8分 （3）存在． ····························································································· 9分 ①过点A 作1AP x ⊥轴，与OM 交于点1P ．可得11Rt Rt APO MOO △∽△（两角对应相等两三角形相似）11tan tan 30P A OA AOP =∠==，11P ⎛∴ ⎝⎭····································· 10分 ②过点A 作2AP OM ⊥，垂足为2P ，过2P 点作2P H OA ⊥，垂足为H ． 可得21Rt Rt APO O MO △∽△（两角对应相等两三角开相似）在2Rt OP A △中，1OA = ，2cos30OP OA ∴==在2Rt OP H △中，223cos 4OH OPAOP =∠== ，2221sin 2P H OP AOP =∠== ，234P ⎛∴ ⎝⎭ ································· 11分∴符合条件的P 点坐标有1⎛ ⎝⎭，34⎛ ⎝⎭·············································· 12分6、（08山东济宁26题）（12分）ABC △中，90C ∠= ，60A ∠= ，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ．（1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；（3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？解：（1）当点P 在AC 上时，AM t = ，tg60PM AM ∴== ．21(01)22y t t ∴==≤≤． ······························································ 2分当点P 在BC 上时，tan 30)PM BM t ==-．21)(13)2y t t t =-=≤≤． ··········································· 4分（2）2AC = ，4AB ∴=．413BN AB AM MN t t ∴=--=--=-．tan 30)3QN BN t ∴==- ． ······························································ 6分由条件知，若四边形MNQP 为矩形，需PM QN =)t =-， 34t ∴=． ∴当34t =s 时，四边形MNQP 为矩形．························································ 8分 （3）由（2）知，当34t =s 时，四边形MNQP 为矩形，此时PQ AB ∥，PQC ABC ∴△∽△． ··············································································· 9分除此之外，当30CPQ B ∠=∠=时，QPC ABC △∽△，此时tan 30CQ CP ==1cos 602AM AP ==，22AP AM t ∴==．22CP t ∴=-． ························ 10分cos302BN BQ ==，)BQ t ∴==-．又BC =)CQ t ∴=-=·································· 11分322t ∴=-12t =． ∴当12t =s 或34s 时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似． ··············· 12分7、（08四川巴中30题）（12分）30．已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？解：（1）在2334y x =-+中，令0y =23304x ∴-+=12x ∴=，22x =-(20)A ∴-，，(20)B ， ········································· 1分又 点B 在34y x b =-+上302b ∴=-+32b =BC ∴的解析式为3342y x =-+ ··································································· 2分（2）由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩222x y =⎧⎨=⎩ ············································· 4分 914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)B ，4AB ∴=，94CD =················································································· 5分 1994242ABC S ∴=⨯⨯=△ ············································································ 6分（3）过点N 作NP MB ⊥于点P EO MB ⊥ NP EO ∴∥BNP BEO ∴△∽△ ·················································································· 7分 BN NP BE EO ∴= ··························································································· 8分 由直线3342y x =-+可得：302E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴在BEO △中，2BO =，32EO =，则52BE = 25322t NP∴=，65NP t ∴= ··········································································· 9分 16(4)25S t t ∴=-2312(04)55S t t t =-+<< ········································································ 10分2312(2)55S t =--+ ················································································ 11分此抛物线开口向下，∴当2t =时，125S =最大∴当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为125． ······················· 12分。
重庆市2015年中考数学26题二次函数综合题专题练习一副本
重庆市2015年中考数学26题---二次函数综合题专题练习一1.（2015•沙坪坝区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x 轴0.交于点A（-3，0）、C（1，0），与y轴交于点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．①过点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以PA为边作正方形APMN，当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．2 (2014河南）. 如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0）两点，直线y=－34x+3与y轴交于点C，，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x 轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。
（1）求抛物线的解析式；（2）若PE =5 EF,求m的值；（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
3．（2014•哈尔滨）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．4．如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过A (3，0)、B (4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；(3) 如图②，若点N 在抛物线上，且∠NBO ＝∠A BO ，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)．A B DOx y第22题图① A B D O x y 第22题图②N5．（2014•龙岩）如图①，双曲线y=（k≠0）和抛物线y=ax2+bx（a≠0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求的值．6、如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．(2014年福建漳州)已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2014•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值；（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标．9．（2014•贺州）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM 平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．10. （2014南宁）在平面直角坐标系中, 抛物线=y 2x +()k x k --1与直线1+=kx y 交于A , B 两点，点A 在点B 的左侧.(1) 如图112-，当1=k 时，直接写出．．．．A ，B 两点的坐标；(2) 在(1)的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标； (3) 如图212-，抛物线=y 2x + ()k x k --1()0>k 与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）.在直线1+=kx y 上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC =90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由.11．（2014•贵阳）如图，经过点A（0，﹣6）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点．（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；（3）在（2）的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．12．(2014年贵州黔西南州)已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=计算．例如：求点P（﹣2，1）到直线y=x+1的距离．解：因为直线y=x+1可变形为x﹣y+1=0，其中k=1，b=1．所以点P（﹣2，1）到直线y=x+1的距离为d====．根据以上材料，求：（1）点P（1，1）到直线y=3x﹣2的距离，并说明点P与直线的位置关系；（2）点P（2，﹣1）到直线y=2x﹣1的距离；（3）已知直线y=﹣x+1与y=﹣x+3平行，求这两条直线的距离．13.(2014年贵州黔西南州)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．。
2015版武汉中考二次函数专题练习及答案
2015版武汉中考二次函数综合题讲练（2015武汉中考）24．（本题12分）已知抛物线y＝x2＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，交y 轴于点C(1) 求抛物线的解析式(2) 点E(m，n)是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG，求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）(3) 如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长解：（1）把A（﹣1，0）代入得c=﹣，∴抛物线解析式为（2）如图1，过点C作CH⊥EF于点H，∵∠CEF=∠CFG，FG⊥y轴于点G∴△EHC∽△FGC∵E（m，n）∴F（m，）又∵C（0，）∴EH=n+，CH=﹣m，FG=﹣m，CG=m2又∵，则∴n+=2∴n=（﹣2＜m＜0）（3）由题意可知P（t，0），M（t，）∵PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，∴△OPM∽△QPB．∴．其中OP=t，PM=，PB=1﹣t，∴PQ=．BQ=∴PQ+BQ+PB=．∴△PBQ的周长为2．yQ FEO xO MDCB Axy6、如图1，抛物线23y ax bx =++经过点A （-3，0），B （-1，0）两点， （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M ，直线y=-2x+9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上，若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或者取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过点Q （0，3）作不平行于x 轴的直线交抛物线于E 、F 两点，问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使△PEF 的内心在y 轴上。
若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
图 1图2答案：（1）抛物线32++=bx ax y 经过A(-3,0),B(-1,0)⎩⎨⎧=+-=+-∴030339b a b a ，解得⎩⎨⎧==41b a ∴抛物线的解析式：342++=x x y 。
2015全国中考数学真题分类汇编：-二次函数
分类训练十三二次函数时间：40分钟满分100分得分考点1 二次函数的图像与性质（每小题4分，共36分）1 、（2015•锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．2、（2015•宁夏）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3、（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．4、（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．5、（2015•杭州）函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=；当1＜x＜2时，y随x的增大而；（填写“增大”或“减小”）．6、（2015•常州）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是7、（2015•漳州）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x时，y随x的增大而减小．8、（2015•怀化）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．9、（2015•临沂）定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有（填上所有正确答案的序号）①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2（x＞0）；④y=﹣．考点2 二次函数的图像与系数的关系（每小题4分，共12分）1、（2015•南宁）如图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1，下列结论中：•①ab＞0， ②a+b+c＞0， ③当﹣2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点2第3题图考点2第1题图考点2第2题图2、（2015•烟台）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（）A．b2＞4abB．ax2+bx+c≥﹣6C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞nD．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣13、（2015•聊城）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．考点3 二次函数解析式的求法（1---2每小题4分，3题14分，共22分）1、(2014年山东淄博)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+22、（2013•来宾）已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是．3、(（2015•黑龙江）如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点4 二次函数的应用（1--3题各10分，共30分）1、（2015•天水）天水“伏羲文化节”商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．（1）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式．（2）每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？2、（2015•毕节市）某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？3、（2015•玉林）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？分类训练十三二次函数答案考点1 二次函数的图像1、D．解析：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．故选D．2、B．解析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．故选：B．3、D．解析：本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致．解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．4、D．解析：根据二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．解：二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选：D．5、﹣1，增大．解析：将y=0代入y=x2+2x+1，求得x的值即可，根据函数开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．解：把y=0代入y=x2+2x+1，得x2+2x+1=0，解得x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大；故答案为﹣1，增大．6、（1，﹣2）．解析：此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．解：∵y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x2﹣2x+1）﹣2=﹣（x﹣1）2﹣2，故顶点的坐标是（1，﹣2）．故答案为（1，﹣2）．7、x＜2．解析：根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．解：在y=（x﹣2）2+3中，a=1，∵a＞0，∴开口向上，由于函数的对称轴为x=2，当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．故答案为：x＜2．8、解析：先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．解：∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．故答案为：（﹣1，﹣1），x=﹣1．9、①③．解析：根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行分析即可得到答案．解：y=2x，2＞0，∴①是增函数；y=﹣x+1，﹣1＜0，∴②不是增函数；y=x2，当x＞0时，是增函数，∴③是增函数；y=﹣，在每个象限是增函数，因为缺少条件，∴④不是增函数．故答案为：①③．考点2 二次函数的图像与系数的关系1、D．分析：①由抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，判断a，b 与0的关系，得到•ab＞0；故①错误；②由x=1时，得到y=a+b+c＞0；故②正确；③根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可．解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b＞0∴•ab＞0；故①正确；②∵观察图象知；当x=1时y=a+b+c＞0，∴②正确；③∵抛物线的对称轴为x=﹣1，与x轴交于（0，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴当﹣2＜x＜0时，y＜0；故③正确；故选D．2、C．解析：由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对B进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对C进行判断；根据二次函数的对称性可对D进行判断．解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ab＞0所以b2＞4ab，故A选项正确；B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．故选C．3、C．解析：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C．考点3 二次函数解析式的求法1、A．解析：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2，∴A（﹣2，4），将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得：，解得：b=﹣1，c=﹣2，则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．故选A．2、y=x2﹣7x+12．解析：由于已知了二次函数与x轴的两交点坐标，则可设交点式易得其解析式．解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣4），而a=1，所以二次函数的解析式为y=（x﹣3）（x﹣4）=x2﹣7x+12．故答案为y=x2﹣7x+12．3、解析：（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可．解：（1）由题意得，，解得b=4，c=3，∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；（2）∵点A与点C关于x=2对称，∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，，解得，k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）∴点P的交点坐标为：（2，1）．考点4 二次函数的应用1、解析：（1）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，根据等量关系列出函数关系式；（2）将（1）中的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值．解：（1）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，列出方程式为：y=（x﹣8）[20﹣4（x﹣9）]，即y=﹣4x2+88x﹣448（9≤x≤14）；（2）将（1）中方程式配方得：y=﹣4（x﹣11）2+36，∴当x=11时，y最大=36元，答：售价为11元时，利润最大，最大利润是36元．2、解析：（1）根据题意列方程组即可得到结论；（2）①由题意列出关于x，y的方程即可；②把函数关系式配方即可得到结果．解：（1）根据题意得：，解得：；（2）①由题意得：y=（x﹣20）【100﹣5（x﹣30）】∴y=﹣5x2+350x﹣5000，②∵y=﹣5x2+350x﹣5000=﹣5（x﹣35）2+1125，∴当x=35时，y最大=1125，∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====3、解析：（1）由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式；（2）每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．解：（1）设y=kx+b，由图象可知，，解之，得：，∴y=﹣2x+60；（2）p=（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣2x+60）=﹣2x2+80x﹣600，∵a=﹣2＜0，∴p有最大值，当x=﹣=20时，p最大值=200．即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．源-于-网-络-收-集。
2015中考二次函数的综合题与应用_答案
2015湖南中考复习二次函数的综合题及应用考点一：确定二次函数关系式例1 （1）如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，-3） （1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．思路分析：（1）利用待定系数法把A （1，0），C （0，-3）代入）二次函数y=x 2+bx+c 中，即可算出b 、c的值，进而得到函数解析式是y=x 2+2x-3；（2）首先求出A 、B 两点坐标，再算出AB 的长，再设P （m ，n ），根据△ABP 的面积为10可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m 的值即可得到P 点坐标．解：（1）∵二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，-3），∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数的解析式为y=x 2+2x-3；（2）∵当y=0时，x 2+2x-3=0，解得：x 1=-3，x 2=1；∴A （1，0），B （-3，0）， ∴AB=4，设P （m ，n ），∵△ABP 的面积为10， ∴12AB •|n|=10， 解得：n=±5，当n=5时，m 2+2m-3=5， 解得：m=-4或2，∴P （-4，5）（2，5）；当n=-5时，m 2+2m-3=-5， 方程无解，故P （-4，5）（2，5）；点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．（2）在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴的负半轴相交于点C ，如图3-3，点C 的坐标为（0，－3），且BO ＝CO （1） 求这个二次函数的解析式；（2） 设这个二次函数的图象的顶点为M ，求AM 的长.【考点要求】本题考查二次函数解析式的确定。
【思路点拨】由题目条件，可用待定系数法求解析式（1）(0,3),|3|3,3C OC c -=-=∴=-Q ，OC BO =Q 又，，9330,630,2b b b +-=+==-。
二次函数中考冲刺真题精讲(教师讲义带答案)
二次函数中考冲刺真题精讲一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的性质1、二次函数的性质2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上a <0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ） 3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
中考二次函数综合题复习(含答案)
中考二次函数综合题复习（含答案）一、二次函数与面积面积的求法：①公式法：S=1/2*底*高 ②分割法/拼凑法 1、如何表示各图中阴影部分的面积？2、抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ，（1）求四边形BOCD 的面积. （2）求△BCD 的面积.3、已知抛物线4212--=x x y 与x 轴交与A 、C 两点，与y 轴交与点B ， （1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC 的面积.xyOM E NA 图五 O xyDC 图四 xyODCEB图六 PxyOA B图三xyO A BD 图二Exy OABC 图一4、已二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P. （1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；（2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；（3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=,若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.变式二：在双曲线3y x=上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.5、抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点， 点E 运动到什么位置时，△EBC 的面积最大,并求出此时点E 的坐标和△EBC 的最大面积．CPO A B y A yBOC变式一图A x yOB C 变式二图【模拟题训练】1．（2015•三亚三模）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（﹣1，0）．（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．二、二次函数与相似【相似知识梳理】二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。
2015年北京中考汇编——27题二次函数综合题(可编辑)
得
………………………………………………………………………… 2 分
∴ 抛物线的解析式为 y ∵y
1 4 x
2
1 4
x
2
x
．
1 4
x
1 4
x
2
4x 4 4
x
2 1
2
∴抛物线的顶点坐标为
2 , 1
…………………………………………………… 3 分 （2）设直线 CD 的解析式为 y 根 据
点 C 平移后的对应点为点 C 代入直线表达式 y
2 x 5
'(3, t 5 )
，解得 t 4 ．…….6 分
结合图象可知，符合题意的 t 的取值范围是 0 t 4 ． …….7 分
西城区
27．27 已知一次函数 y 1
2
kx b
（k≠0）的图象经过 ( 2 , 0 ) ， ( 4 ,1) 两点，二次函数
0
）个单位后与直线
AB 只有一个公共点，求 t 的取值范围．
27 . 解： （1）∵抛物线 y a x 2 b x 1 过 A (1， 3 ) ， B ( 2， 1) 两点． ∴
a b 1 3 4 a 2b 1 1 a 2 b 4
．…….1 分
x
27．解： （1）∵ 抛物线经过 0 , 0 ， 4 ∴
c 0 1 6 a 4 b 0 , 36a 6b 3.
, 0
， 6
, 3
三点，
…………………………………………………………………… 1 分
解
1 a ， 4 b 1 ， c 0．
2015中考数学真题分类汇编：二次函数(压轴题)资料
26．（13分）（2015•福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．考点：二次函数综合题．分析：（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可求得对称轴；求得直线与坐标轴的交点坐标，即可证得直线和坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，从而求得直线PQ与x轴所夹锐角的度数；（2）分三种情况分别讨论根据已知条件，通过△OBE∽△ABF对应边成比例即可求得；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，可得△CHQ是等腰三角形，进而得出AD⊥PH，得出DQ=DH，从而得出PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，因为当PM最大时，PH最大，通过求得PM的最大值，从而求得PH的最大值；由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，则DQ﹣a，得出PD•DQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，当点P在抛物线的顶点时，a=3，得出PD•DQ≤18．解答：解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴抛物线的对称轴是x=2，∵直线y=x+m，∴直线与坐标轴的交点坐标为（﹣m，0），（0，m），∴交点到原点的距离相等，∴直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，故答案为x=2、45°．（2）设直线PQ交x轴于点B，分别过O点，A点作PQ的垂线，垂足分别是E、F，显然当点B在OA的延长线时，S△POQ=S△PAQ不成立；①当点B落在线段OA上时，如图①，==，由△OBE∽△ABF得，==，∴AB=3OB，∴OB=OA，由y=x2﹣4x得点A（4，0），∴OB=1，∴B（1，0），∴1+m=0，∴m=﹣1；②当点B落在线段AO的延长线上时，如图②，同理可得OB=OA=2，∴B（﹣2，0），∴﹣2+m=0，∴m=2，综上，当m=﹣1或2时，S△POQ=S△PAQ；（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，如图③，可得△CHQ是等腰三角形，∵∠CDQ=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD+DQ=PH，过P点作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形，∴PH=PM，∴当PM最大时，PH最大，∴当点P在抛物线顶点出时，PM最大，此时PM=6，∴PH的最大值为6，即PD+DQ的最大值为6．②由①可知：PD+PH≤6，设PD=a，则DQ﹣a，∴PD•DQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，∵当点P在抛物线的顶点时，a=3，∴PD•DQ≤18．∴PD•DQ的最大值为18．点评：本题是二次函数的综合题，考查了抛物线的性质，直线的性质，三角形相似的判定和性质，难度较大．25．（10分）（2015•莆田）抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线y=x2﹣的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，得到b=a+c，即a﹣b+c=0，即可确定出抛物线恒过定点（﹣1，0）；（2）先求出抛物线y=x2﹣的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在两种情况：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2﹣，把点A坐标代入求出a的值即可；②顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+，把点C坐标代入求出a的值即可．解答：（1）证明：由“恒定”抛物线y=ax2+bx+c，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵抛物线y=ax2+bx+c，当x=﹣1时，y=0，∴“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A（﹣1，0）；（2）解：存在；理由如下：∵“恒定”抛物线y=x2﹣，当y=0时，x2﹣=0，解得：x=±1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0时，y=﹣，∴顶点P的坐标为（0，﹣），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在两种情况：①如图1所示：作QM⊥AC于M，则QM=OP=，∠QMC=90°=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵点A和点C是抛物线上的对称点，∴AM=MC=1，∴点Q的坐标为（﹣2，﹣），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=a（x+2）2﹣，把点A（﹣1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：y=（x+2）2﹣，即y═x2+4x+3；②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，∴点C坐标为（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为y=ax2+，把点C（1，0）代入得：a=﹣，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+；综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3，或y=﹣x2+．点评：本题是二次函数综合题目，考查了新定义“恒定”抛物线、用待定系数法求抛物线的解析式、全等三角形的判定与性质、抛物线的对称性、坐标与图形性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线证明三角形全等求出点的坐标才能得出抛物线的解析式．26．（13分）（2015•泉州）阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．考点：二次函数综合题；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：综合题；阅读型．分析：（1）如图1，只需令x=0，即可得到点C的坐标．根据题意可得AC=AE，从而有∠AEC=∠ACE．易证AE∥CO，从而有∠AEC=∠OCE，即可得到∠ACE=∠OCE，同理可得∠OCF=∠BCF，然后利用平角的定义即可证到∠ECF=90°；（2））①过点P作PH⊥EF于H，分点H在线段EF上（如图2①）和点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上（如图2②）两种情况讨论，然后只需运用勾股定理及平方差公式即可证到PE2+PF2﹣2PM2=2EM2，即PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②连接CD，PM，如图3．易证▱CEDF是矩形，从而得到M是CD的中点，且MC=EM，然后根据①中的结论，可得：在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．由MC=EM可得PC2+PD2=PE2+PF2．根据PE=PF=3可求得PC2+PD2=18．根据1＜PD＜2可得1＜PD2＜4，即1＜18﹣PC2＜4，从而可求出PC的取值范围．解答：解：（1）当x=0时，y=k•0+1=1，则点C的坐标为（0，1）．根据题意可得：AC=AE，∴∠AEC=∠ACE．∵AE⊥EF，CO⊥EF，∴AE∥CO，∴∠AEC=∠OCE，∴∠ACE=∠OCE．同理可得：∠OCF=∠BCF．∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°，∴2∠OCE+2∠OCF=180°，∴∠OCE+∠OCF=90°，即∠ECF=90°；（2）①过点P作PH⊥EF于H，Ⅰ．若点H在线段EF上，如图2①．∵M为EF中点，∴EM=FM=EF．根据勾股定理可得：PE2+PF2﹣2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2=2PH2+EH2+HF2﹣2（PH2+MH2）=EH2﹣MH2+HF2﹣MH2=EM（EH+MH）+MF（HF﹣MH）=EM（EH+MH）+EM（HF﹣MH）=EM（EH+MH+HF﹣MH）=EM•EF=2EM2，∴PE2+PF2=2（PM2+EM2）；Ⅱ．若点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上，如图2②．同理可得：PE2+PF2=2（PM2+EM2）．综上所述：当点H在直线EF上时，都有PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②连接CD、PM，如图3．∵∠ECF=90°，∴▱CEDF是矩形，∵M是EF的中点，∴M是CD的中点，且MC=EM．由①中的结论可得：在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．∵MC=EM，∴PC2+PD2=PE2+PF2．∵PE=PF=3，∴PC2+PD2=18．∵1＜PD＜2，∴1＜PD2＜4，∴1＜18﹣PC2＜4，∴14＜PC2＜17．∵PC＞0，∴＜PC＜．24．（12分）（2015•福建）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；（2）根据勾股定理，可得OA2、OB2、AB2的长，根据勾股定理的逆定理，可得∠OAB的度数，根据点到直线的距离的定义，可得答案；（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可得方程①③，根据解方程组，可得M点的坐标．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，将B点坐标代入函数解析式，得（5﹣1）2a﹣1=3，解得a=．故抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣1；（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（5﹣1）2+（3+1）2=32，OA2+AB2=OB2，∴∠OAB=90°，O到直线AB的距离是OA=；（3）设M（a，b），N（a，0）当y=0时，（x﹣1）2﹣1=0，解得x1=3，x2=﹣1，D（3，0），DN=3﹣a．①当△MND∽△OAB时，=，即=，化简，得4b=a﹣3 ①M在抛物线上，得b=（a﹣1）2﹣1 ②联立①②，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣2，b=，M1（﹣2，），当△MND∽△BAO时，=，即=，化简，得b=12﹣4a ③，联立②③，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，M2（﹣17，80）．综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2，），（﹣17，80）．点评：本题考查了二次函数综合题，（1）设成顶点式的解析式是解题关键，（2）利用了勾股定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的性质，图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．25．（14分）（2015•漳州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线与坐标轴交点坐标求法和顶点坐标求法计算即可；（2）求|PD﹣PC|的值最大时点P的坐标，应延长CD交x轴于点P．因为|PD﹣PC|小于或等于第三边CD，所以当|PC﹣PD|等于CD时，|PC﹣PD|的值最大．因此求出过CD两点的解析式，求它与x轴交点坐标即可；（3）过C点作CE∥x轴，交DB于点E，求出直线BD的解析式，求出点E的坐标，求出P′C′与BC 的交点M的坐标，分点C′在线段CE上和在线段CE的延长线上两种情况，再分别求得N点坐标，再利用图形的面积的差，可表示出S，再求得其最大值即可．解答：解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴C（0，3），D（1，4），故答案为：0；3；1；4；（2）∵在三角形中两边之差小于第三边，∴延长DC交x轴于点P，设直线DC的解析式为y=kx+b，把D、C两点坐标代入可得，解得，∴直线DC的解析式为y=x+3，将点P的坐标（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，如图1，点P（﹣3，0）即为所求；（3）过点C作CE∥x，交直线BD于点E，如图2，由法可求得直线BD的解析式为y=﹣2x+6，直线BC的解析式为y=﹣x+3，在y=﹣2x+6中，当y=3时，x=，∴E点坐标为（，3），设直线P′C′与直线BC交于点M，∵P′C′∥DC，P′C′与y轴交于点（0，3﹣t），∴直线P′C′的解析式为y=x+3﹣t，联立，解得，∴点M坐标为（，），∵B′C′∥BC，B′坐标为（3+t，0），∴直线B′C′的解析式为y=﹣x+3+t，分两种情况讨论：①当0＜t＜时，如图2，B′C′与BD交于点N，联立，解得，∴N点坐标为（3﹣t，2t），S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′=×6×3﹣（6﹣t）×（6﹣t）﹣t×2t=﹣t2+3t，其对称轴为t=，可知当0＜t＜时，S随t的增大而增大，当t=时，有最大值；②当≤t＜6时，如图3，直线P′C′与DB交于点N，立，解得，∴N点坐标为（，），S=S△BNP′﹣S△BMP′=（6﹣t）×﹣×（6﹣t）×=（6﹣t）2=t2﹣t+3；显然当＜t＜6时，S随t的增大而减小，当t=时，S=综上所述，S与t之间的关系式为S=，且当t=时，S有最大值，最大值为．点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形三边关系、平移的性质和二次函数的性质等知识点．在（1）中掌握二次函数的顶点式是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用t分别表示出E、M、N的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大．28．（12分）（2015•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用两根关系及|x2﹣x1|=5，对式子合理变形，求b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c，经过点A（0，﹣4），∴c=﹣4又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的两个根，∴x1+x2=b，x1x2=6由已知得（x2﹣x1）2=25又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=b2﹣24∴b2﹣24=25解得b=±，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=﹣．（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+）2+，∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D．（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与抛物线y=﹣x2﹣x﹣4的交点，∴当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上点评：本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法．28．（10分）（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x ﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB 的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴y=x﹣，∵点P的横坐标为3，∴y=×3﹣=，∴P（3，）．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4，把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4），此时：NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NG•OC=×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时，△CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N（，﹣3）．点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．28．（12分）（2015•兰州）已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．（1）求二次函数y=ax2的解析式；（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．①当m=时（图①），求证：△AOB为直角三角形；②试判断当m≠时（图②），△AOB的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）考点：二次函数综合题．分析：（1）把点（2，1）代入可求得a的值，可求得抛物线的解析式；（2）①可先求得A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，结合条件可证明△ACO∽△ODB，可证明∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形；②可用m分别表示出A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，表示出AC、BD的长，可证明△ACO∽△ODB，结合条件可得到∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形；（3）结合（2）的过程可得到△AOB恒为直角三角形等结论．解答：（1）解：∵y=ax2过点（2，1），∴1=4a，解得a=，∴抛物线解析式为y=x2；（2）①证明：当m=时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，1），B（8，16），分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，如图1，∴AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，∴==，且∠ACO=∠ODB，∴△ACO∽△ODB，∴∠AOC=∠OBD，又∵∠OBD+∠BOD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，∴△AOB为直角三角形；②解：△AOB为直角三角形．证明如下：当m≠时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或，∴A（2m﹣2，（m﹣）2），B（2m+2，（m+）2），分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，如图2，∴AC=（m﹣）2，OC=﹣（2m﹣2），BD=（m+）2，OD=2m+2，∴==，且∠ACO=∠ODB，∴△ACO∽△OBD，∴∠AOC=∠OBD，又∵∠OBD+∠BOD=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，∴△AOB为直角三角形；（3）解：由（2）可知，一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的交点为A、B，则△AOB恒为直角三角形．（答案不唯一）．点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角的判定和性质、直角三角形的判定等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意表示出A、B两点的坐标，构造三角形相似是解题的关键，在（3）中答案不唯一，可结合（2）的过程得出．本题知识点较多，综合性很强，难度较大．26．（12分）（2015•天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x 轴，交于M点，根据直线AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得与x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论；（3）如答图3所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．解答：解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）∴点B的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，∴，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣x2+2x﹣1．（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x 轴，交于M点，∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），∴直线AC的解析式为y=x﹣1，∵直线的斜率为1，∴△P′PM是等腰直角三角形，∵PP′=，∴P′M=PM=1，∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，∵y=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣2）2+1，∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+2，令y=0，则0=﹣（x﹣3）2+2，解得x1=1，x=52，∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解，得或∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′==2．∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2．点评：本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称﹣最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．28．（10分）（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x ﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB 的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．解答：解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴y=x﹣，∵点P的横坐标为3，∴y=×3﹣=，∴P（3，）．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4，把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4），此时：NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NG•OC=×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时，△CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N（，﹣3）．点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．24．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．解答：解：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．25．（14分）（2015•广州）已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t上．（1）求点C的坐标；（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O，C两点间的距离为3求出即可；（2）分别利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，﹣3），即c=﹣3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；（3）利用①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，得出y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x ﹣1+n）2﹣4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．解答：解：（1）令x=0，则y=c，故C（0，c），∵OC的距离为3，∴|c|=3，即c=±3，∴C（0，3）或（0，﹣3）；（2）∵x1x2＜0，∴x1，x2异号，①若C（0，3），即c=3，把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=3，即t=3，∴y2=﹣3x+3，把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0，即x1=1，∴A（1，0），∵x1，x2异号，x1=1＞0，∴x2＜0，∵|x1|+|x2|=4，∴1﹣x2=4，解得：x2=﹣3，则B（﹣3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，则当x≤﹣1时，y随x增大而增大．②若C（0，﹣3），即c=﹣3，把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=﹣3，即t=﹣3，∴y2=﹣3x﹣3，把A（x1，0），代入y2=﹣3x﹣3，则﹣3x1﹣3=0，即x1=﹣1，∴A（﹣1，0），∵x1，x2异号，x1=﹣1＜0，∴x2＞0∵|x1|+|x2|=4，∴1+x2=4，解得：x2=3，则B（3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则当x≥1时，y随x增大而增大，综上所述，若c=3，当y随x增大而增大时，x≤﹣1；若c=﹣3，当y随x增大而增大时，x≥1；（3）①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，则当x≤﹣1﹣n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x+3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=﹣1﹣n，y3≥y4，即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，解得：n≤﹣1，∵n＞0，∴n≤﹣1不符合条件，应舍去；②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1，综上所述：n≥1，2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，∴当n=时，2n2﹣5n的最小值为：﹣．点评：此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及二次函数增减性等知识，利用分类讨论得出n 的取值范围是解题关键．23．（2015•深圳）如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标；（3）可先求得△FBC的面积，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，可求得FQ的长，可设出F 点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长，可求得F点坐标．解答：解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，（2）存在，当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，设P（﹣1，m），则PM=PD•sin∠ADE=（4﹣m），PE=m，∵PM=PE，∴（4﹣m）=m，m=﹣1，∴P点坐标为（﹣1，﹣1）；当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，设P（﹣1，n），则PN=PD•sin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n，∵PM=PE，∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1，∴P点坐标为（﹣1，﹣﹣1）；综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；（3）∵S△EBC=3，2S△FBC=3S△EBC，∴S△FBC=，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，如图3，∵S△FBC=FQ•OB=FQ=，∴FQ=9，∵BC的解析式为y=﹣3x+3，设F（x0，﹣x02﹣2x0+3），∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，解得：x0=或（舍去），∴点F的坐标是（，）．点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、角平分线的性质、三角函数、三角形面积等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意分点P在∠DAB的角平分线上和在外角的平分线上两种情况，在（3）中求得FQ的长是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性很强，难度适中．22．（9分）（2015•珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．（1）求证：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题．。
2015年全国中考数学试卷分类汇编专题13 二次函数
A.60m2 C.64m2
B.63m2[ D.66m2
考点:二次函数的应用..
专题:应用题. 分析:设 BC=xm,表示出 AB,矩形面积为 ym2,表示出 y 与 x 的关系式,利用二次函数性质求出 面积最大值即可. 解答:解:设 BC=xm,则 AB=(16﹣x)m,矩形 ABCD 面积为 ym2,
5. (2015•四川乐山,第 6 题 3 分)二次函数
A.3
B.4
C.5
D.6
的最大值为( )
第 3 页 共 180 页
【答案】C. 【解析】 试题分析:
,∵
<0,∴当 x=1 时,y 有最大值,最大值为 5.故选 C.
考点:二次函数的最值.
6.(2015 湖北荆州第 4 题 3 分)将抛物线 y=x2﹣2x+3 向上平移 2 个单位长度,再向右平移 3 个 单位长度后,得到的抛物线的解析式为( )
时,
;当
时,
;故③错误;
④∵二次函数
的图象过点(3,0),∴x=3 时,y=0,即
故选 B. 考点:1.二次函数图象与系数的关系;2.二次函数图象上点的坐标特征.
,故④正确.
12.(2015·贵州六盘水,第 10 题 3 分)如图 5,假设篱笆(虚线部分)的长度 16m,则所围成矩形 ABCD 的最大面积是( )
第 1 页 共 180 页
点的横坐标和纵坐标都大于 0 列出不等式组. 解答: 解:由 y=(x﹣m)2+(m+1)=x2﹣2mx+(m2+m+1),
根据题意,
,
解不等式(1),得 m>0,
解不等式(2),得 m>﹣1;
2015年广西中考数学总复习课件第41课时二次函数综合题(共84张PPT)
第41课时
二次函数综合题
变式题2
如图Z－41－3，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴正
半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8.将矩形的边BC绕点B逆时
针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．
(1)若抛物线经过A，B，C三点，求该抛物线的函数解析式． (2)若点M是直线AB 上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于 点N.是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的坐 标；若不存在，说明理由．
第41课时
二次函数综合题
图Z－41－2 第41课时 二次函数综合题
[方法点拨] (1)若四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积 的4倍，则四边形PB′OB的面积是△A′B′O面积的3倍；(2)连接 PO，可以将四边形PB′OB分割为两个三角形．
第41课时
二次函数综合题
解：(1)△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′，B′的坐 标分别为(－1，0)，(0，2)． 因为抛物线与x轴交于点A′(－1，0)，B(2，0)，设其函数 解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，将B′(0，2)的坐标代入，得a＝－ 1. 所以该抛物线的函数解析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x ＋2.
第41课时
二次函数综合题
(2)S△A′B′O＝1. 如果S四边形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3S△A′B′O＝3. 连接PO，设点P的坐标为(x，－x2＋x＋2)． 1 1 S△PB′O＝ B′O²xP＝ ³2x＝x. 2 2 1 1 S△PBO＝ BO²yP＝ ³2(－x2＋x＋2)＝－x2＋x＋2. 2 2 所以S四边形PB′OB＝S△PB′O＋S△PBO＝－x ＋2x＋2. 解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1. 所以点P的坐标为(1，2)．
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中考复习《二次函数的综合》精选1．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点．⑴求c 的值；⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）解：⑴ ∵抛物线经过点D (29,3-)∴29)3(212=+-⨯-c∴c=6.⑵过点D 、B 点分别作AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，设AC 与BD 交点为M ， ∵AC 将四边形ABCD 的面积二等分，即：S △ABC =S △ADC ∴DE =BF 又∵∠DME =∠BMF ， ∠DEM =∠BFE ∴△DEM ≌△BFM∴DM =BM 即AC 平分BD∵c =6. ∵抛物线为6212+-=x y∴A （0,32-）、B （0,32） ∵M 是BD 的中点 ∴M （49,23） 设AC 的解析式为y =kx +b ，经过A 、M 点∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-492332bkbk解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==591033bk∴直线AC的解析式为591033+=xy.⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=43，于是以A点为圆心，AB=43为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．2．已知一次函数y＝121+x的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；二次函数cbxxy++=221图象与一次函数y＝121+x的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点的坐标为)0,1(（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEF的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）∵由题意知:当x=0时,y=1, ∴B（0，1）,当y=0时,x=－2, ∴A（－2，0）∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=211cbc解得⎪⎩⎪⎨⎧-==231bc,所以123212+-=xxy（2）当y=0时, 0123212=+-xx,解得x1=1,x2=2,∴D(1,0) E(2,0) ∴AO=3,AE=4. S=S△CAE－S△ABD，S=OBADAE⨯-⨯21321，S=4.5,(3)存在点P(a,0),当P为直角顶点时,如图,过C作CF⊥x轴于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC,由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE，∴CF OP PF BO =．即341a a =-,整理得:a 2－4a －3=0,解得a =1或a =3,所以所求P 点坐标为(1,0)或(3,0).综上所述,满足条件的点P 有两个.3．如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .4b >-时，上述关系还b ；若不解：（1）将x =0，代入抛物线解析式，得点A 的坐标为（0，－4） （2）当b ＝0时，直线为y x =，由24y x y x x =⎧⎨=+-⎩解得112x y =⎧⎨⎩，22x =-⎧⎨ 所以B 、C 的坐标分别为（－2，－2），（2，2） 14242ABE S =⨯⨯=，14242ACE S =⨯⨯=所以ABEACESS=（利用同底等高说明面积相等亦可） 当4b >-时，仍有ABEACES S=成立. 理由如下由24y x b y x x =+⎧⎨=+-⎩，解得11x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22x y b⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以B 、C b ），b ）， 作BF y ⊥轴，CG y ⊥轴，垂足分别为F 、G ，则BF CG == 而ABE 和ACE 是同底的两个三角形， 所以ABEACESS=.（3）存在这样的b .因为90BF CG,BEF CEG,BFE CGE =∠=∠∠=∠=︒ 所以BEF CEG ≅所以BE CE =，即E 为BC 的中点所以当OE =CE 时，OBC 为直角三角形 因为44GE b b b b GC =++-=+= 所以 24CE b =⋅+，而OE b =所以24b b ⋅+=，解得124,2b b ==-， 所以当b ＝4或－2时，ΔOBC 为直角三角形.4． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式． （2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.【答案】解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得⎩⎨⎧-==+33c c b解得：⎩⎨⎧-=-=32c b所以二次函数的表达式为：322--=x x y（2）存在点P ，使四边形POP /C 为菱形．设P 点坐标为（x ，322--x x ），PP /交CO 于E若四边形POP /C 是菱形，则有PC ＝PO ．连结PP / 则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC =23∴y =23-．∴322--x x =23-解得1x =2102+，2x =2102-（不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为（2102+，23-）…………………………8分 （3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，322--x x ），易得，直线BC 的解析式为3-=x y 则Q 点的坐标为（x ，x －3）.EB QPOE QP OC AB S S S S CPQ BPQ ABC ABPC ⋅+⋅+⋅=++=∆∆∆212121四边形 3)3(2134212⨯+-+⨯⨯=x x =87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x当23=x 时，四边形ABPC 的面积最大 此时P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-415,23，四边形ABPC 的面积875的最大值为． 5．如图，已知在直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ，将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴于E 和F ．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）当B E 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）连接EF ，设△BEF 与△BFC 的面积之差为S ，问：当CF 为何值时 S 最小，并求出这个最小值.．【答案】由题意得：A （0，2）、B （2，2）、C （3，0），设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为2y ax bx c =++，则2422930c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：23432a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以224233y x x =-++．（2）由224233y x x =-++＝228(1)33x --+，所以顶点坐标为G （1，83），过G 作GH ⊥AB ，垂足为H ，则AH ＝BH ＝1，GH ＝83－2＝23，∵EA ⊥AB ，GH ⊥AB ，∴EA ∥GH ，∴GH 是△BEA 的中位线，∴EA ＝3GH ＝43，过B 作BM ⊥OC ，垂足为M ，则MB ＝OA ＝AB ，∵∠EBF＝∠ABM ＝90°，∴∠EBA ＝∠FBM ＝90°－∠ABF ，∴R t △EBA ≌R t △FBM ，∴FM ＝EA ＝43，∵CM ＝OC －OM ＝3－2＝1，∴CF ＝FM ＋CM ＝73． （3）设CF ＝a ，则FM ＝ a －1或1－ a ，∴BF 2＝FM 2＋BM 2＝(a －1)2＋22＝a 2－2a ＋5，又∵△EBA ≌△FBM ，∴BM ＝BF ，则22111(25)222BEF S BE BF BF a a =⨯==-+，又11222BFC s FC MB a a =⨯=⨯⨯=，∴S ＝ 22115(25)2222a a a a a -+-=-+，即S ＝211(2)22a -+，∴当a ＝2（在2＜a ＜3）时，12S =最小值．6．如图12已知△ABC 中，∠ACB ＝90°以AB 所在直线为x 轴，过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ） （1）试求点C 的坐标（2）若抛物线2y ax bx c =++过△ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式．（3）点D （ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线y=－x －1 交（2）中的抛物线于点E ，那么在x 轴上点B 的左侧是否存在点P ，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由。
【答案】（1）∵∠ACB ＝90°，C O ⊥AB ，△ACO ∽△CBO ，∴COAOOB CO =，CO=2， 则C （0，2）；（2）抛物线2y ax bx c =++过△ABC 的三个顶点，则⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-204160c c b a c b a ，∴2,23,21==-=c b a ，抛物线的解析式为223212++-=x x y ；（3）点D （ 1，m ）在抛物线上，3=m ，∴D （1，3），把直线y=－x －1与抛物线DGH223212++-=x x y 联立成方程组⎪⎩⎪⎨⎧++-=--=2232112x x y x y ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=65,012211y x y x ， ∴E （5，－6）,过点D 作DH 垂直于x 轴,过点E 作EG 垂直于x 轴,DH=BH=3,∴∠DBH=45°, BD=23,AG=EG=6, ∴∠EAG=45°,AE=26,当P 在B 的右侧时,∠DBP=135°≠∠ABE,两个三角形不相似,所以P 点不存在；当P 在B 的左侧时 ⅰ) △DPB ∽△EBA 时，26235,==BP AE DB BA BP ，25=BP ，∴P 的坐标为（23，0）， ⅱ) △DPB ∽△BEA 时，52326,==PB BA DB EA PB ，536=BP ，∴P 的坐标为（516-，0）， 所以点P 的坐标为（23，0）或（516-，0）。