2015年中考复习二次函数综合题精选(教师版)

中考复习《二次函数的综合》精选

1．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-29,3，与x 轴交于A 、B 两点．

⑴求c 的值；

⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

解：⑴ ∵抛物线经过点D (2

9

,3-)

∴29)3(212=+-⨯-c

∴c=6.

⑵过点D 、B 点分别作AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，设AC 与BD 交点为M ， ∵AC 将四边形ABCD 的面积二等分，即：S △ABC =S △ADC ∴DE =BF 又∵∠DME =∠BMF ， ∠DEM =∠BFE ∴△DEM ≌△BFM

∴DM =BM 即AC 平分BD

∵c =6. ∵抛物线为621

2+-=x y

∴A （0,32-）、B （0,32） ∵M 是BD 的中点 ∴M （

4

9

,23） 设AC 的解析式为y =kx +b ，经过A 、M 点

∴

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

=

+

-

4

9

2

3

3

2

b

k

b

k

解得

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

5

9

10

3

3

b

k

∴直线AC的解析式为

5

9

10

3

3

+

=x

y.

⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=43，于是以A点为圆心，AB=43为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．

2．已知一次函数y＝1

2

1

+

x的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；二次函数c

bx

x

y+

+

=2

2

1

图象与一次函数y＝1

2

1

+

x的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点的坐标为)0,1(（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEF的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）∵由题意知:当x=0时,y=1, ∴B（0，1）,当y=0时,x=－2, ∴A（－2，0）

∴

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

+

=

2

1

1

c

b

c

解得

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

-

=

=

2

3

1

b

c

,所以1

2

3

2

1

2+

-

=x

x

y

（2）当y=0时, 0

1

2

3

2

1

2=

+

-x

x,解得x1=1,x2=2,∴D(1,0) E(2,0) ∴AO=3,AE=4. S=S△CAE

－S△ABD，S=OB

AD

AE⨯

-

⨯

2

1

3

2

1

，S=4.5,

(3)存在点P(a,0),当P为直角顶点时,如图,过C作CF⊥x轴于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC,

由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE，

∴

CF OP PF BO =．即3

41a a =-,整理得:a 2

－4a －3=0,解得a =1或a =3,所以所求P 点坐标为(1,0)

或(3,0).综上所述,满足条件的点P 有两个.

3．如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .

4b >-时，上述关系还b ；若不

解：

（

1）将x =0，代入抛物线解析式，得点A 的坐标为（0，－4） （2）当b ＝0时，直线为y x =，由2

4y x y x x =⎧⎨=+-⎩解得112x y =⎧⎨⎩，22x =-⎧⎨ 所以B 、C 的坐标分别为（－2，－2），（2，2） 14242ABE S =⨯⨯=，1

4242ACE S =⨯⨯=

所以ABE

ACE

S

S

=（利用同底等高说明面积相等亦可） 当4b >-时，仍有ABE

ACE

S S

=成立. 理由如下

由2

4y x b y x x =+⎧⎨=+-⎩，解得11x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22x y b

⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以B 、C b ），b ）， 作BF y ⊥轴，CG y ⊥轴，垂足分别为F 、G ，则BF CG == 而ABE 和ACE 是同底的两个三角形， 所以ABE

ACE

S

S

=.

（3）存在这样的b .