浅谈数学期望
数学期望的原理及应用
数学期望的原理及应用数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。
具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。
数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn)其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。
具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = ∫x*f(x)dx数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。
例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。
2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。
通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。
3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。
例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。
4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。
游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。
5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。
通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。
6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。
通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。
总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。
随机变量的数学期望和方差
随机变量的数学期望和方差随机变量是概率论中的重要概念，用来描述一个随机事件可能取到的不同值及其对应的概率。
对于一个随机变量而言，数学期望和方差是常用的统计量，用于描述随机变量的平均水平和离散程度。
一、数学期望数学期望是随机变量的平均值，表示了随机变量在大量重复实验中的长期平均表现。
通常用E(X)或μ来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量X可能取到的值，P(X=x)为其对应的概率。
以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，点数可能取到1、2、3、4、5、6，每个点数的概率相等。
则计算掷骰子的数学期望为：E(X) = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值与其数学期望的偏差的平方的平均值，用于衡量随机变量的离散程度。
通常用Var(X)或σ^2来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))^2P(X=x)以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，其数学期望为3.5。
则计算掷骰子的方差为：Var(X) = (1-3.5)^2 ×1/6 + (2-3.5)^2 ×1/6 + (3-3.5)^2 ×1/6 + (4-3.5)^2 ×1/6 + (5-3.5)^2 ×1/6 + (6-3.5)^2 ×1/6 = 2.9167对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx方差的平方根被称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。
浅谈数学期望在生活中的应用
浅谈数学期望在生活中的应用浅谈数学期望在生活中的应用一、数学期望的定义引例某射手在一次射击比赛中共发射了10发子弹,其中有一发中7环,有二发中8环,有三发中9环,有4发中10环,求该射手在此次射击比赛中每发子弹击中的平均环数. 解平均环数这里的平均环数并不是这10发子弹击中的4个值的简单平均,而是以取这些值的次数与射击总次数的比值为权重的加权平均.在某种程度上说,这个加权平均可以用来衡量该射手的射击水平.二、数学期望的应用1.数学期望在疾病普查中的应用在一个人数为N的人群中普查某种疾病,为此要抽验N个人的血,如果将每个人的血分别检验,则共需检验N次,为了能减少工作量,一位统计学家提出一种方法:按k个人一组进行分组,把同组k个人的血样混合检验,如果这混合血样呈阴性反应,就说明此k个人的血都呈阴性反应,此k个人都无此疾病,因而这k个人只需要检验一次就够了,相当于每个人检验1/k次,检验的工作量明显的减少了.如这混合血样呈阳性反应,就说明此k个人中至少有一个人的血呈阳性反应,则在对这k个人的血样分别进行检验,因而这k个人的血要检验1+k次,相当于每个人检验1+1/k 次,此时增加了检验次数,假设该疾病的发病率为р且得此病相互独立,试问此种方法能否减少平均检验次数? 分析看能否减少平均检验次数,可以求出每个人检验次数的数学期望,根据数学期望大小再判断.解设以k个人为一组时,组内每个人检验次数为x,则x是一个随机变量,其分布规律为所以每人平均检验次数为 .由此可知,只要选择k使就可减少验血次数,而且也可以通过不同的发病率р计算出最佳分组人数,此外,也得知:发病率越小,分组检验的效益越大.在二战期间,美国对新兵验血就是使用这种方法来减少工作量的.2.数学期望在揭开赌场骗局中的应用在我国南方流行一种称为“捉水鸡”的押宝,其规则如下:由庄家摸出一只棋子放在密闭的盒中,这只棋子可以是红的或黑的将、士、象、车、马、炮之一.赌客把钱押在一块写有上述12个字(六个红字,六个黑字)的台面的某一个字上,押定后,庄家揭开盒子露出原来的棋子,凡押中者(字和颜色都对)以一比十得奖金,不中者其押金归庄家,此押宝赌博对谁有利? 分析这道题的思想简单,与0-1分布一样.解不妨设一个赌徒押了10元,而收回奖金X元,若押中,X=100;若不中,X=0.X的概率分布列为因此数学期望元.由于支付10元,和期望收入8.33元不等.因此这是不公平的赌博,明显对庄家有利,事实上,当赌徒进入赌场,他面临的都是这种不公平的赌博,否则赌场的巨额开支业主的高额利润从何而来.3.数学期望在通信中的应用设无线电台发出的呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2,信号每隔5秒钟拍发一次,直到收到对方的回答为止.若发出信号到收到对方回答信号之间至少要经过16秒时间,求在双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号的平均次数.分析明显,此题是考查几何分布数学期望的求法,但是又隐藏陷阱“若发出信号到收到对方回答信号之间至少要经过16秒时间”,意味随机变量X最小取值为4.解设双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号次数为X,则X～Ge(0.2).因为有16秒相隔时间,X的最小拍发次数为4. 于是X的分布列为 P(X=K)=0.2×0.8k-4,k=4,5,... X的期望为因此在双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号的平均次数为8次.这个例题虽是很简单的一个求数学期望的问题,但是“若发出的信号到收到对方回答信号之间至少要经过16秒时间”这个条件极易被忽略.上面这几题都是关于离散型随机变量数学期望一些性质应用的例子,接下来的4、5两个例子都是关于连续型随机变量数学期望一些性质,还要注意函数是分段函数. 4.数学期望在交通上的应用地铁列车到达某一站时刻为每个整点的第5分,25分,45分,设某一乘客在早上8点到9点之间随时到站候车,求他的平均候车时间.分析此题主要考查分段函数求期望的方法,必须先求出分段函数的表达式及X的密度函数.解设他到达地铁站的时刻为X,他候车时间为Y,则由题意知X～U(0,60),则有又知Y是变量X的函数, 由期望的性质知利用此例题可准确地对乘客的平均等待时间进行了预测,可以更好地指导实际,为人民群众服务. 5.数学期望在决策中的应用设某种商品每周需求量是区间[10,30]上的均匀分布随机变量,而经销商店进货数量为区间[10,30]中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元,若供大于求时则削价处理,每处理一单位商品亏损100元,若供不应求时,可从外部调剂供应,此时每一单位商品获利300元,为使商品获利润值不少于9280元, 试确定最少进货多少?分析本题主要考查分段函数数学期望的求法,但是此处应注意分段函数的求法及均匀分布的密度函数的表达式. 解设进货数量为a,利润为g(X),则X的密度函数为得21≤a≤26.故所获利润期望值不少于9280元,最少进货为21单位. 接下来继续看6、7两个应用随机变量的和式分解这个性质解题的例子.这种方法可以解决用期望的定义不能直接求,甚至无法求解的题目,大大降低了求期望的难度,即使随机变量不是同分布也可以运用这一性质. 6.数学期望在电梯运行中的应用一架电梯载有8位乘客,从一楼上升,每位乘客在20层的每一层都可以下电梯,如果没人下,那一层电梯就不停.设每位乘客在各层楼下电梯是等可能的,且各乘客是否下电梯是相互独立的.以X表示电梯停下的次数,求E(X).分析显然X是一个离散型的随机变量,X=1,2,…,20,直接不易求出.不妨转换思想,若电梯在i层停,则Xi=1,否则Xi=0,那么 .现在用数学期望的性质易求出E(X). 解设随机变量则即xi(i=1,2,...,20)的分布规律为由此可知本例将随机变量分解为多个相互独立的随机变量之和的形式,再利用数学期望的性质.这个处理方法在实际应用中具有普遍意义.如果不用和式分解法几乎无从着手. [。
数学期望是什么意思
数学期望是什么意思
数学期望是一种重要的数字特征，它反映随机变量平均取值的大小，是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
这里的“期望”一词来源于赌博，大概意思是当下注时，期望赢得多少钱。
以大数据眼光看问题体现了数学期望中的大量试验出规律，不能光看眼前或特例，对一种现象不能过早下结论，要多听、多看从而获得拿个隐藏在背后的规律；
以大概率眼看光问题对应数学期望中的概率加权，大概率对应的取值对最后之结果影响大，所以当有了一个目标，为了实现它，就要找一条实现起来概率最大的路径。
期望的计算方法及其性质
期望的计算方法及其性质期望是数学中一种重要的概念，表示事物发生的平均值。
在概率论、统计学、经济学、物理学等众多领域中都有着广泛的应用。
在计算期望时，需要根据不同的情况选择合适的方法，以达到正确计算的目的。
本文将对期望的计算方法及其性质进行探讨，希望能够为读者提供一些有价值的参考。
一、期望的定义在概率论中，期望是事件发生的平均值。
设X是一个随机变量，其分布函数为F(x)，则X的期望E(X)定义如下：E(X)=∫xf(x)dx其中f(x)是X的概率密度函数。
当X是离散型随机变量时，其期望可以表示为：E(X)=∑x p(x)x其中p(x)是X取到值为x的概率。
当X是连续型随机变量时，其期望可以表示为积分的形式。
二、期望的基本性质1. 线性性设X和Y是两个随机变量，a和b是常数，则有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)这种关系称为期望的线性性。
当a=b=1时，此式表述了期望的可加性。
这一性质十分重要，其意义在于，期望可以将事件的发生情况抽象成一个实数，使其具有线性的演算。
例如，在经济学中，我们可以将利润或收益看做一种随机变量，通过期望的线性性质，便可以对其进行计算和统计。
2. 单调性若X≤Y，则有：E(X)≤E(Y)这是期望的单调性质。
从定义上来看，当X≤Y时，X的取值总是小于等于Y的，因此X的期望值也应该小于等于Y的期望值。
这一性质告诉我们，期望可以衡量事件发生的趋势，可以用来进行决策和分析。
3. 平移性设Z=X+c，则有：E(Z)=E(X+c)=E(X)+c这是期望的平移性质。
从定义上来看，当Z=X+c时，Z的期望值应该等于X的期望值加上c。
这一性质告诉我们，期望可以平移，可以用来分析事物发生的变化趋势。
三、常见的计算方法1. 直接求期望直接求期望是一种最简单的计算方法。
对于离散型随机变量，我们可以直接按照期望的定义进行求解。
例如，设X是一个随机变量，其概率分布如下：X 1 2 3 4P(X) 0.1 0.2 0.3 0.4则X的期望可以表示为：E(X)=∑x p(x)x=0.1×1+0.2×2+0.3×3+0.4×4=2.8对于连续型随机变量，我们可以采用积分的方式进行求解。
数学期望（ξ）浅析
数学期望（ξ）浅析前⾔：为初赛⽽奋⽃谨以此系列祝愿我通过CSP-J初赛QwQ正⽂：期望是什么？我们先说⼀下期望(符号是ξ，在经过百度以后，我们发现⼀个定义：数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和举个栗⼦⼩明在银⾏存了100元定期，利率是2%。
我们知道，定期⼏乎没有风险，那么期望代表的就是⼩明从这个定期存款种所希望得到的利息。
那么这个期望怎么算呢？由于没有风险，所以得到的概率是100%。
也就是说⼩明从定期所预计得到的利息就是:ξ=100%×2%×100元=2元由于⼩明很有钱,他⼜买了100元的股票。
70%赚10%，30%亏5%，那么他期望得到的钱数是：可能盈利部分: ξ1=70%×10%×100元=7元可能亏损部分: ξ2=30%×(−5%)×100元=−0.3元最后期望收益: ξ总=7元+(−0.3)元=6.3元这么看来期望是很好理解的，实际上就是帮助你预算⾃⼰的收益，那么接下来我们捉2只初赛题来看看：第⼀题noip2013提⾼组t22⾸先我们看完题，你可能会觉得有⼀点难以理解。
⾸先我们先要读懂题，下⾯讲为您分点解释：1、青蛙可能傻傻地原地不动题⽬中⼜说：“青蛙再k点可能等概率地跳到1k号荷叶上”。
那么它每次都有1k的概率跳到1k任意⼀点上。
那么会发现它竟然很有可能站在原地不动啊。
那么这个概率的计算就很恶⼼⼈了，⼩学数学并不能告诉我这种奇葩的概率应该怎么计算。
这时需要记住⼀点：它要求的是平均次数。
在平均次数中，青蛙确实有可能原地不动并跳上⽆数次，但是每次它都只有1k的概率跳回k点。
⽽我们不能考虑它原地不动所造成的影响。
但是，因为越往后发展青蛙⼀直不动的概率就越⼩，⼩到可以忽略不记，所以就基本不需考虑了。
那么"平均次数"到底怎么算呢（加和取平均值？∞咋办？？），且听下⾯分解。
2、平均次数的计算：期望值相加既然我们讲到期望，那么这⾥的分析就肯定不⽌是⼀个⽅法啦。
概率论——数学期望
概率论——数学期望
数学期望是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量的平均值。
在数学上，数学期望可以定义为随机变量的每个可能取值乘以其对应的概率，并将这些乘积相加。
设随机变量X的取值有n个，分别记为x1, x2, …, xn，对应的概率为p1, p2, …, pn。
则X的数学期望E(X)可以表示为：
E(X) = x1*p1 + x2*p2 + … + xn*pn
数学期望可以理解为随机变量所取得值的加权平均。
每个取值乘以其概率，再将所有乘积相加，就得到了数学期望。
数学期望在实际应用中有着广泛的应用，例如在赌博中，可以用数学期望来计算每次下注的预期收益；在保险业中，可以用数学期望来评估保险责任的大小；在金融学中，可以用数学期望来衡量金融产品的风险与回报等。
需要注意的是，数学期望不一定是随机变量取值的实际可能值，而是其平均值。
因此，即使随机变量的可能值与数学期望相差较大，在大量重复实验中，随机变量的平均取值仍然趋近于数学期望。
这正是数学期望的统计意义所在。
数学期望是概率论中用于描述随机变量的平均值的概念。
它可以通过将随机变量的可能取值与对应的概率相乘，再将所有乘积相加得到。
数学期望在实际应用中有着广泛的应用，可以用于预测和评估各种概率事件的平均效果。
初中数学 什么是期望
初中数学什么是期望
期望是概率论和统计学中一个重要的概念，用来描述随机变量的平均值或者预期值。
在数学上，期望值可以帮助我们理解随机变量的中心位置，即在不同试验中出现的平均结果。
期望值是一个多样化的概念，可以用于描述随机变量的各种特性和性质。
在概率论中，期望值通常用E(X)来表示，其中X代表随机变量。
期望值的计算方法取决于随机变量的类型，包括离散随机变量和连续随机变量。
对于离散随机变量，期望值可以通过对所有可能取值的加权平均来计算。
具体地，期望值E(X)可以通过以下公式计算：
E(X) = Σ x * P(X=x)
其中，x代表随机变量X可能取的值，P(X=x)代表X取值为x的概率。
通过将所有可能取值的乘积与其对应的概率相加，可以得到随机变量X的期望值。
对于连续随机变量，期望值的计算会涉及到积分。
具体地，期望值E(X)可以通过以下公式计算：
E(X) = ∫ x * f(x) dx
其中，f(x)代表随机变量X的概率密度函数。
通过对随机变量的所有可能取值进行积分，可以得到连续随机变量X的期望值。
期望值在概率论和统计学中具有广泛的应用，可以用来描述随机变量的平均表现，帮助我们预测未来事件的结果。
期望值的计算方法是概率论中的基础知识，对于初学者来说，理解和掌握期望值的概念是非常重要的。
浅谈数学期望在经济问题中的应用
［摘要］数学期望又称均值，是概率论中的一个重要概念。
随着社会经济的迅速发展，竞争越来越明显，企业所面临的经济问题也越来越多，许多实际经济问题可以通过数学期望的应用来解决。
对经济问题决策的作用进一步分析，提出数学期望可以提高经济问题解决的效率，促进经济问题解决的科学性，解析了数学期望在经济生活若干问题中的运用。
［关键词］随机变量；数学期望；经济问题；利润最大［中图分类号］O211.67［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2021）39-0154-02浅谈数学期望在经济问题中的应用傅桂清（福建经贸学校，福建泉州362000）一、数学期望数学期望又称均值，是概率论中的一个概念。
数学期望通过研究随机变量取值反映出的平均水平，对事物的数量关系进行分析来掌握事物的变化规律。
随着社会经济的迅速发展，竞争越来越明显，企业所面临的经济问题也越来越多。
为了能够在这残酷的竞争中屹立不倒，并能同时获取较高收益，企业就必须降低风险，降低成本，减少损失，那么决策者们就需要采用科学的方法来做出正确的经济决策，解决经济问题。
但是现实的经济社会除了受到外部因素和决策者们主观因素的影响外，还包含很多不确定性因素的影响。
所以，就需要通过数学期望来综合分析这些因素，从中选取较为合理的解决方案。
二、数学期望在经济问题决策中的作用（一）数学期望对提高经济问题解决的效率有促进作用企业决策者在企业运营的过程中将会面对很多复杂的问题，需要决策者对企业的经营情况和在行业所处的情况进行了解和把握，这不仅需要耗费大量的时间，还需要管理者投入较多的精力去思考和判断，这就使在一些决策确定后已经耽误了市场先机，使企业陷入被动。
那么企业在面临决策的时候就可以将数学期望的计算方法应用到里面，同时借助计算机的辅助工具快速地得到有效的结果，进而有利于企业管理者确定方案，极大地提高了决策的效率。
（二）数学期望为经济问题解决的科学性提供理论依据知识来源于生活，是人们在生活中科学认识事物规律的总结。
数学期望概念的教学方法研究
数学期望概念的教学方法研究数学期望是概率论中非常重要的概念，它描述了一个随机变量的平均值或预期值。
在数学期望的教学过程中，如何让学生理解这一概念并灵活运用成为了教师们需要思考的问题。
本文将从数学期望的概念、教学方法以及教学策略三个方面展开研究，以期探索一种更有效的数学期望教学方法。
一、数学期望的概念数学期望是描述随机变量平均值的概念，对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)可以通过如下公式来计算：E(X) = Σ x * P(X=x)x代表X可能取的值，P(X=x)表示X取到x的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算则涉及到积分。
数学期望的意义在于描述了一个随机变量的平均特征，它能够帮助我们在不确定的情况下做出合理的决策。
数学期望在概率论、统计学以及实际问题中都有着广泛的应用。
二、数学期望的教学方法在教学数学期望的过程中，教师需要考虑如何让学生理解这一概念，并在解决实际问题中能够应用灵活。
下面将介绍几种常见的数学期望教学方法。
1.讲解法讲解法是最为传统的教学方法，教师通过讲解数学期望的概念、性质和计算方法，让学生初步了解数学期望。
在讲解的过程中，可以通过具体的例子和应用场景来说明数学期望的意义和应用价值，激发学生的学习兴趣。
2.案例分析法案例分析法是一种通过实际案例来引导学生学习的方法。
教师可以选取一些与学生生活息息相关的案例，引导学生分析和计算其中的数学期望。
通过具体案例的分析，学生能够更加深入地理解数学期望的概念，并学会将其运用到实际问题中。
3.课堂互动法课堂互动法是一种通过讨论、提问和解答问题等方式来进行教学的方法。
在教学数学期望时，教师可以通过提问引导学生思考，让学生在互动中逐步理解和掌握数学期望的相关知识。
学生之间的讨论和交流也能够激发学习的热情，帮助他们更好地理解数学期望。
4.实践体验法1.注重案例引导2.强调思维训练数学期望的计算涉及到概率计算和数学推理，教师在教学中可以强调学生的思维训练。
数学期望概念的教学方法研究
数学期望概念的教学方法研究数学期望是概率论中的一个重要概念，在数学和统计学中有着广泛的应用。
它在各种领域都有着重要的作用，比如金融、工程、经济学等。
教学数学期望的方法就显得尤为重要。
本文将围绕数学期望的概念展开，探讨如何有效地教授这一概念，使学生能够更好地理解和运用它。
一、数学期望的概念数学期望，又称期望值或均值，是对随机变量取值的平均数的度量。
它是对随机变量的可能取值的一个加权平均。
在离散型随机变量的情况下，数学期望的公式为：E(X) =ΣxP(X=x)，即每个取值乘以其发生的概率的加权和。
在连续型随机变量的情况下，数学期望的公式为：E(X) = ∫xf(x)dx，即每个取值乘以其概率密度函数的加权积分。
二、教学方法1. 从实际问题出发数学期望的概念抽象而晦涩，学生往往难以理解。
教学数学期望时，可以从一些实际问题出发，引入概念，使学生能够更容易地理解。
可以通过掷骰子的例子引入数学期望的概念，让学生计算骰子的期望值。
这样可以让学生在具体的实际问题中感受到数学期望这一概念，并且能够更好地理解和运用它。
2. 结合图表和案例分析在教学数学期望时，可以结合图表和案例进行分析和讨论。
可以通过绘制直方图和概率分布图的方式来展示数学期望的计算过程，让学生通过观察图表来理解数学期望的计算方法。
可以通过案例分析的方式，让学生应用数学期望的概念解决实际的问题，这样可以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
3. 实例演练在教学数学期望时，可以设计一些实例演练，让学生通过实际的计算来理解和掌握数学期望的计算方法。
可以设计一些离散型和连续型随机变量的例题，让学生逐步理解数学期望的计算过程，并且通过实例演练来加深对这一概念的理解。
可以设计一些拓展性问题，让学生应用数学期望的概念解决更为复杂的问题，从而提高学生的学习兴趣和自主学习能力。
4. 分层引导由于数学期望的概念较为抽象，学生可能很难一次理解透彻。
在教学过程中，可以采取分层引导的方式，逐步引入数学期望这一概念。
数学期望值的概念和意义
数学期望值的概念和意义数学期望值是概率论中的一个重要概念，它是每个可能结果的概率与其对应的值的乘积的总和。
数学期望值可以用来描述一个随机变量所具有的平均水平，它反映了随机变量的中心位置。
在统计学和概率论中，数学期望值有着重要的意义和应用。
首先，数学期望值可以用来描述一个随机事件的平均结果。
在离散型随机变量的情况下，数学期望值是每个可能取值乘以其概率的总和。
例如，掷骰子的随机变量X的取值为1、2、3、4、5、6，每个取值的概率均为1/6，那么X的数学期望值为(1×1/6)+(2×1/6)+(3×1/6)+(4×1/6)+(5×1/6)+(6×1/6)=3.5。
这表示在长期实验中，掷骰子的平均结果将接近于3.5，即我们可以预期掷出的点数在平均意义下接近于3.5。
其次，数学期望值还是一个随机变量的重要性质之一。
在随机变量的分布中，数学期望值属于一个固定的值，它是随机变量所在分布的特征之一。
通过计算随机变量的数学期望值，我们可以获得关于随机变量的重要信息，比如该随机变量的平均值、期望值等。
例如，对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，那么X的数学期望值可以通过积分计算得到，即E(X)=∫xf(x)dx。
数学期望值能够提供关于随机变量的重要特征，帮助我们更好地理解和分析随机变量。
此外，数学期望值还可以用来评估不同概率分布下的随机变量性质。
对于给定的随机变量X，其数学期望值与方差密切相关。
方差是随机变量与其期望之间的离散程度的度量，方差越大表示随机变量的值离期望值越远。
因此，数学期望值可以通过方差来衡量随机变量的离散程度。
如果随机变量的方差较大，那么数学期望值可能不能很好地反映其平均水平。
通过比较不同概率分布下随机变量的数学期望值和方差，我们可以评估其分布特征的不同，选择适合的概率分布模型来描述随机变量的性质。
此外，数学期望值还在实际问题中具有广泛的应用。
浅谈数学期望在生活中的应用
科技 论 坛 ｌＩ ｆ
浅谈数学期望在生活中的应用
谢 彬
（ 北京冶金设备研 究设计总院， 北京 １０ ２ ） ０ ０９
摘 要： 学期望是随机 变量最重要 的数 学特征之一。通过几个例子 ， 数 阐述 了概率论与数理统计 中的数学期 望在 生活中的应用， 内容包括 工程 承包决策、 罚款额度的确定、 井平均逃生时间的计算、 矿 商场进货数量决策和识破街头诱人游戏等。 关键词 ： 学期望 ； 率； 数 概 随机 变量 ； 应用 数学期望是概率统计 中随机变量最基本的 数学特征之一， 是随机变量按概率的加权平均， 又 称期望或均值， 它是简单算术平均的一种推广。 在 生活中， 有许多问题可以利用数学期望来解决。 １承包工程的决策 某工程队计划承包一项工程。 若三天完成可 获利 ８０ 元 ， ００ 四天完成可获利 ５０ 元 ， ００ 五天完成 要被罚款 １０ ０ ００ 元。由以往经验知 ， 该工程队三 天、四天、五天完成此项工程的概率分别为 ｏ 、 ３ ０、 ， ． ｏ 获利金额的概率分布见下表。 如果你是 ５２ 问， 经理， 愿意承包这项工程吗？ 计算出利润的数学期 通道（ 概率是 １ ）花时间 ｔ ／， ２ 就可以成功逃生 ； 若 针停在阴影区 才能得奖， 假设圆盘周长为 １０ ｍ ０ｅ ， 开始他选择了第一条通道（ 概率也是 ｖ ）回到 圆周上的每一阴影弧长为 ２ ｅ ， ２， ． ｍ共有四条阴影弧 ５ 原处后他不会再选第一条通道了， 必然走人第二 线， 总阴影弧长为 １ｃ ， ０ｍ 假设圆盘质地均匀 ， 则每 条通道 ， 经过时间 ｔｔ ｉ ＋ 后可以成功逃生。这样， 其 次转动指针后 ， 它停在阴影区的概率为： ｌｃ ／ Ｐ Ｏ ｍ － ＝ ｌ Ｏ ｍ＝ ．。 Ｏ ｃ Ｏ １ 成功逃生花费时间的数学期望为： ｔ ＋ ） ＋ 显然 ， ＋ ｔ ｔ。 为了能够尽陕逃生 ， 特 的老板的平均获利 。 ５ 若学生交给老板 １ ． １ 元钱，转动指针一次， 别当ｔ 。 的值较大时， 被困者对走过的路做标记是 必要的。 森林里的迷路者， 边走边用小刀在树上留 获奖的概率是 Ｑ ， １ 获奖后老板奖励给学生 ２ 元 钱。老板的毛收益为 ｌ ， 元 支出的数学期望为： ２ ｘ 下有意义的痕迹， 就是这个道理。 ０１０ 元 。 ． ． 老板的平均净收益为 ： ０ ＝ ．元。 ＝２ １ ．０ －２ ８ ４商场进货数量的决策 某商场计划在盛夏来临之前 ， 完成一批某种 ５ 若学生交 ２ ． ２ 元钱， 转动指针两次， 就是进 望就知道 答案 了。 夏装的采购。根据经验， 如果进货量太小 ， 最后可 行了 ２ 重贝努利试验，指针的转动结果服从 ｎ ２ ＝， 能会出现无货可卖的局面 ， 从而失去获利的机会 ； Ｐ Ｏ 的二 －． １ 项分布 ， 见下表。 老板的毛收益为２ 元， 兰垂！ ！ ： Ｐ ０３ ０５ ０２ ２ ． ＋ ６０ １０ ２ ｘ１ ０ ５ 老板 如果进货量太大， 很可能夏季已经过去了， 该批夏 支出的数学期望为： ０ ８１ｘ ． ＝ ． 元 ， 承包此项工程获利的数学期望是 ：００ ０ ＋ 装还有剩余， ８０ ｘ ３ ２０ ＝． 元。 －． ４ ５ 最后只能降价处理甚至赔本甩卖 ， 的平均净收益为 ： － ２ １ ８ 因 ５０ｘ５ １０００－９０ ， ０００ —００ｘ．２０ 元 就是说， ２ － 虽然有被罚 为 放到第二年再卖 ， 增加了 商场的保管成本， 万一 苎 里 垦 ！ ！ 墅 ！ Ｐ ０ ８ １ ０ｌ ０Ｏ ８ １ 款的可能， 但平均说来 ， 承包这样的工程是可以获 到了第二年服装的样式过时， 损失会更大。 ５ 若学生交 ３ ＿ ３ 元钱， 转动指针三次 ， 进行了 利的。 假设基于往年 的情况和专业人员对近期市 重贝 努利试验，指针的转动结果服从 ｎ３Ｐ Ｏ ＝， ． ＝１ ２罚款额度的确定 场形势的评估 ， 在夏季 ， 该商场至少能卖出 ５０ ０ 件 ３ 某些不法商贩每卖一批不合格 的货物可获 该种夏装 。 至多 １０ 件 ， ０ ０ 卖出的件数近似均匀分 的二项分布， 见下表。老板的毛收益为 ３元 ， 支出 利 １０ ０ ， ０ ０ 元 被查处 的概率为 ０ ， ２ 即不被查处 的 布， 可知夏装销售件数的概率密度函数为 ： 的数学期望为 ：ｘ ． ３ １ｘ．２＋ Ｏ ｘ． １１ ２ ２ ０ ４ ＋６Ｏ ７ ｌＯ Ｏ ０ ＝． ２ Ｏ Ｏ ０ 概率为 ０ ， 罚款额为多少时， ． 问， ８ 基本上可 以禁止 ㈧”ｌ，ｓ １ 元， 老板的平均净收益为： １ ２ １ ８ ３ ． ＝ ． 元。 —０ ９ ： Ｊ５ ｘ ｏ ｏ ≤ｏ …０ ｏ Ｘ ０次 １ 次 ２次 ３次 这些商贩的不法行为？ ｏ，它 其 。 假设在夏季每卖出—件平均 Ｐ ｏ７ ９ ２ ０２ ３ ００ ７ ０ Ｏ ４ ．２ ０ｌ 假设罚款额为 Ｆ 为了禁止该类不法行为 ， ， 应 获利 １０ ， ５ 元 夏季内没有卖出去的衣服平均每件 该让不法 商贩获利 的数学期 望小于等 于 ０ 即 亏损 ６ 元。 ， ０ 现在要确定进货的件数 ｙ ， 使得商场的 ５ 若学生交 ４ ． ４ 元钱， 转动指针四次 ， 进行了 １００ ）－ｘ２ ０得到 Ｆ ４００ ， ００，． Ｆ０ ＿ ， Ａ８ ＜ ＞ ＿ ００ 元 则罚款额 平均利润最大。显然，肯定介 于 ５０ １ ０ ｙ ０ 到 ０ 之 ４ ０ 重贝努利试验， ， 同理 可以得到指针转动结果的 至少应是 ４００ ００ 元。我们常说要加大查处力度和 间。设 Ｘ 为实际销售件数 ， ＞ 时。 当ｘ ｙ 也就是当 － 实 概率分布 ， 见下表。 这时 ， 老板的平均净收益为： － ４ － 加重处罚 ， 就是要增大不法行为被查处的概率和 际销售量大于等于进货量时 ， 衣服不会有剩余 ， （ｘ． １ ＋６ ０ ４ ６ １０ ０ ０６ ６ ０ Ｏ ０ １＝ 每 ２ ０ ９ ６ １ ｘ． ８ ＋０ ｘ ． ３ ＋ ０ ｘ． ０） ２ ０ ０ Ｏ 增加罚款额度 ， 让不法商贩获利的数学期望变为 件衣服都可获利 ； ｘｙ 也就是当实际销售量 ２ ２ 。 当 ＜ 时， ２ 元
数学期望的计算方法探讨
数学期望的计算方法探讨数学期望是统计学中的重要概念，用于表示一个随机变量的平均值。
它的计算方法可以通过多种途径进行探讨。
本文将通过概率论和统计学的角度，详细探讨数学期望的计算方法。
首先，我们来看数学期望的定义。
对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)定义为：E(X)=ΣxP(X=x)，其中x是随机变量X可能取到的值，P(X=x)是X取值为x的概率。
计算数学期望可以通过以下几种方法进行探讨：1.直接计算法：对于简单的随机变量，可以通过直接计算每个可能取值的概率乘以对应取值的数值，然后将所有结果相加，得到数学期望。
这种方法适用于取值较少且规律明显的离散型随机变量。
2.均值法：对于服从正态分布的随机变量，可以使用均值法计算数学期望。
根据正态分布的性质，期望值等于均值。
因此，可以直接使用样本均值作为数学期望的估计值。
3.条件概率法：对于复杂的随机变量，可以使用条件概率法进行计算。
该方法通过条件概率的性质，将复杂的问题转化为多个简单问题的求解。
具体步骤是先计算条件概率，然后使用条件概率的定义计算数学期望。
4.矩法：矩法是一种常用的数学期望计算方法，尤其适用于连续型随机变量计算。
它通过计算随机变量的各阶矩，然后利用矩序列的性质求解数学期望。
具体步骤是先计算均值和方差，然后使用矩的性质计算数学期望。
5.生成函数法：生成函数法是一种高级的数学期望计算方法，适用于较为复杂的离散型随机变量。
它通过构建生成函数，将数学期望的计算问题转化为生成函数的求导和求值问题。
具体步骤是先构建生成函数，然后对生成函数求导和求值，得到数学期望。
以上是数学期望计算的几种常用方法，它们在不同情况下具有不同的适用性。
在实际问题中，根据具体的随机变量以及问题的性质，可以选择最合适的方法进行计算。
在选择方法时需要考虑计算的复杂性、精确性以及可行性。
总结起来，数学期望的计算方法可以通过直接计算法、均值法、条件概率法、矩法和生成函数法等途径进行探讨。
高考数学期望知识点
高考数学期望知识点数学作为高考的一门基础学科，在社会发展的过程中扮演着重要的角色。
而其中的数学期望概念，更是每个高中学生必须掌握的知识点之一。
本文将从不同角度对高考数学期望知识点展开深入的探讨，希望对广大考生有所帮助。
1. 数学期望的定义数学期望是统计学中的一个重要概念，用来描述一组数据的平均值。
在高考数学中，期望值通常用符号E(X)表示，其中X是随机变量。
数学期望的计算方法根据不同的随机变量类型而异，比如离散型随机变量和连续型随机变量。
对于离散型随机变量，期望可以通过每个事件发生的概率乘以对应的取值，再求和来计算；对于连续型随机变量，期望可以通过概率密度函数进行积分求解。
2. 数学期望的应用数学期望在实际生活中有着广泛的应用。
以购买彩票为例，假设一张彩票中奖的概率为p，中奖金额为x，不中奖的金额为y。
那么购买一张彩票的期望收益可以表示为(1-p)y+px，其中(1-p)y为不中奖的期望收益，px为中奖的期望收益。
通过计算这个期望值，可以帮助人们做出更明智的决策。
在金融领域，数学期望也扮演着重要的角色。
例如，在投资理财中，人们可以通过计算不同投资方案的期望收益来评估风险和回报。
通过对期望收益的比较，可以选择最合适的投资组合，以达到最佳的资产配置目标。
3. 数学期望的性质数学期望具有一些特殊的性质，这些性质在高考中也经常被考察。
其中，最重要的性质是线性性质。
即期望运算对于常数的线性性质，对于随机变量X,Y和常数a,b，有E(aX+bY) = aE(X) +bE(Y)。
这个性质使得计算复杂随机变量的期望值变得相对简单。
另外，数学期望还具有一个重要的性质，即保序性。
对于两个随机变量X和Y，如果对于任意的实数x，有P(X≤x) ≤ P(Y≤x)，那么有E(X) ≤ E(Y)。
这个性质直观地表明了数学期望可以用于比较不同随机变量的概率分布。
4. 高考数学期望题型在高考数学中，期望作为一个重要的考察点，经常出现在各种题型中。
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式数学期望和方差是概率论和统计学中重要的概念，在许多领域中有广泛的应用。
它们是度量随机变量分布的指标，可以帮助我们了解随机现象的平均值和离散程度。
本文将详细介绍数学期望和方差的定义、性质以及计算公式。
一、数学期望数学期望，也称为均值或平均值，是衡量随机变量平均值的指标。
对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = Σx * P(X = x)其中，x代表随机变量X可能取到的值，P(X = x)表示随机变量取到x的概率。
对于连续型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
数学期望具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意两个随机变量X和Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
2. 递推性质：对于离散型随机变量X，可以通过递推公式E(X) = Σx * P(X = x)来计算。
3. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有E(X + c) = E(X) + c。
数学期望的计算公式可以帮助我们求解随机变量的平均值，进而了解随机现象的集中程度。
二、方差方差是衡量随机变量取值的离散程度的指标，它表示随机变量与其均值之间的差异程度。
对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx方差具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意随机变量X和Y，有Var(aX + bY) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y)。
2. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有Var(X + c) = Var(X)。
3. 零偏性：Var(X) >= 0，当且仅当X是一个常数时，等号成立。
数学期望与方差解析
数学期望与方差解析数学期望和方差是统计学中重要的概念，我们经常在数据分析和概率论中会用到这两个概念。
本文将对数学期望和方差进行详细解析，包括定义、性质、计算方法等内容，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、数学期望数学期望是随机变量的平均值的概念，用来衡量随机变量的集中趋势。
对于一个随机变量X，其数学期望E(X)定义为：E(X) = Σ x * P(X=x)其中，x为随机变量X的取值，P(X=x)为随机变量X取值为x的概率。
数学期望的计算方法是将随机变量所有可能取值与其对应的概率相乘，然后求和。
数学期望的意义在于它可以用来描述随机变量的平均水平。
数学期望有以下性质：1. 线性性质：对于任意常数a、b和随机变量X、Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。
2. 非负性质：对于任意非负随机变量X，有E(X) ≥ 0。
3. 单调性质：若X和Y是两个随机变量，且X≤Y，则E(X) ≤ E(Y)。
二、方差方差是衡量随机变量离散程度的指标，计算随机变量与其数学期望之间的差异。
对于随机变量X，其方差Var(X)定义为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]方差的计算方法是将随机变量与其期望之间的差值平方后取期望。
方差越大，表示随机变量的取值波动越大；方差越小，表示随机变量的取值趋于稳定。
方差是衡量随机变量分散程度的量，可以帮助我们更好地理解随机变量的变化情况。
方差的性质包括：1. 非负性质：方差永远不会小于0，即Var(X) ≥ 0。
2. 方差与数学期望之间的关系：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2。
通过数学期望和方差的解析，我们可以更好地理解随机变量的特征和分布规律，为数据分析和概率推断提供有力支持。
掌握数学期望和方差的计算方法和性质，对于深入学习统计学和概率论具有重要意义。
愿本文对读者有所帮助，引发更多关于概率统计的思考和讨论。
为什么要了解数学期望
1、为什么要了解数学期望？现在社会上正流行各种彩票、奖卷等，那么对购买者和销售者最关心的是什么？其实就是数学期望，这时数学期望可以被购买者视为平均获利，让我们来观察一个最简单例子：例：张三对李四说：让我们打一个赌，如果你赢了，你得100元，如果我赢了，你付1元，请问李四会参加吗？如果你是李四的话，你如果回答参加，那么未免操之过急了。
为什么？其实你已经在思考这是一个什么样的赌局，换而言之，李四的获利期望是多少呢？假设一，李四获利的概率为0，张三获胜的概率为1，则期望为100*0+(－1)*1=－1(元)李四定付出1元。
这时即使李四获胜后得利1万元，甚至1百万，1亿。
期望仍为－1，为什么，因为李四获胜概率为0。
假设二，李四获胜的概率为0.0001，张三获胜的概率为0.9999，则期望为100×0.0001＋（－1）×0.9999＝－0.9899（元）这时李四仍不应该参加。
而此时若获胜后得1万元，失利后付出1元。
则期望为10000×0.0001＋（－1）×0.9999＝0.0001（元）这时李四才建议参加。
但请你注意，这一期望值是在你多次参与（如赌局超过10万，甚至100万局）的一个活期望值，并不是说李四赌了2、3局就获利0.0001元，为什么？因为李四获胜概率为0.0001（即万分之一），而2—3局中。
李四获胜一局的概率才约为0.0003，为什么？因为上面的这个例子虽然简单，但很生动，对理解数学期望有很大的帮助，请同学们仔细体会。
以后当你在社会上碰到一些人推销、热买等所谓的“好事”时，请你多想想数学期望和概率。
2、如何理解方差、标准差的意义？随机变量ξ方差的意义在于描述随机变量稳定与波动、集中与分散的状况。
标准差则体现随机变量取值与其期望值的偏差。
标准差是方差的平方根，在量纲上它与数学期望一致。
在实际问题中，若有两个随机变量ξ1、ξ2，且Eξ1=Eξ2或Eξ1与Eξ2比较接近时，我们常用Dξ1与Dξ2来比较这两个随机变量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈数学期望摘要概率统计是研究随机现象与统计规律的学科，数学期望是反映随机变量总体取值的平均水平的一个数字特征。
虽然随机变量的概率分布能完整地描述随机变量的统计规律，但是在实际问题中，要获得随机变量的概率分布不是一件简单的事情，所以我们往往要知道一些从某些方面刻画随机变量特征的数值，从而也可以清晰地解决实际问题。
数学期望则完美地演绎了这一角色。
这篇论文主要介绍了数学期望的来源，定义，性质以及应用。
让我们更加深刻地认识数学期望应用的广泛性以及对于分析实际问题的重要性。
关键词：概率统计，数学期望，统计规律，应用AbstractProbability and Statistics is the study of random phenomena and statistical rules and disciplines, mathematical expectation is reflected in the overall average value of a random variable feature a number.Although the probability distribution of the random variable can complete description of the statistical laws of random variables. However, in practical problems, It’s not easy to get the probability distribution of the random variable , so we tend to know some portray in some ways of the numerical characteristics of random variables, which can clearly solve practical problems. Mathematical expectation plays this role perfectly. This paper introduces the mathematical expectation of origin, definition, properties, and applications. Let us deeper understanding that the breadth and application of mathematical expectation for the analysis of the importance of practical problems.Keywords: Probability and Statistics ,mathematical expectation, application1·一般随机变量的数学期望1.1引言数学期望是刻画随机变量平均取值的数字特征，它是一类在概率论中最重要，也是最基本的与随机变量密切相关的数值。
虽然它不能像随机变量概率分布那样完整地描述随机变量的统计规律，在实际问题中，利用概率统计知识可以获得合理的决策，但是要求出随机变量的分布函数并不是那么简单。
实际上，我们只需要知道随机变量的某些重要特征也可以做出合理的决策，而数学期望则是随机变量中最重要的特征数。
近年来，不管是在自然界还是社会生活，数学期望在各种决策中频繁“亮相”，并为决策者作出最优决策提供了重要的理论依据。
1.2数学期望的源来数学期望源于一个赌博分本的问题。
17世纪中叶一位赌徒向法国数学家帕斯卡请教让他困惑许久的了一个摊分赌本的问题：甲乙赌徒相约，用硬币赌博，谁先赢三局就可以获得全部赌本100法郎，当甲赢了两局，乙赢了一局时，由于某些原因被迫停止赌博，问应该怎样分配赌本比较合理？帕斯卡做出了如下的回答：当甲赢两局乙只赢了一局的时候。
最多再玩两局就本100法郎，只有A 4出现时，甲得到0法郎，乙得到100法郎。
由于这四种结果出现的可能性都等可能的，所以甲应该得到100法郎的概率为3/4，乙应该得到100法郎的概率为1/4。
所以甲赢得的赌本的数学期望为100⨯(3/4)+0⨯(1/4)=75法郎。
这就是帕斯卡的回答。
这就是说：如果进行多次这样的赌博，甲平均每次获得75法郎。
1.3数学期望的定义定义1 设离散型随机变量X 的分布律为：P{X=x k }=p k ，k=1,2,... 若级数k k k p x ∑+∞=1 绝对收敛，则称 k k kp x ∑+∞=1的和数为X 的数学期望（简称期望，又称均值），记为E（X ）,即E （X ）=k k k p x ∑+∞=1。
若级数 k k kp x ∑+∞=1 发散，则说X 的数学期望不存在。
定义2 设连续随机变量X 概率密度为f(x),若积分dx x xf ⎰+∞∞_)( 绝对收敛，则称积分 dx x xf ⎰+∞∞_)(的值为X 的数学期望（简称期望，又称均值），记为E(X),即E(X)= .dx x xf ⎰+∞∞_)(。
若积分 dx x xf ⎰+∞∞_)(发散，则说X 的数学期望不存在。
注意：随机变量的数学期望不一定存在。
例如：（1）若随机变量X 的取值为x k =(-1)k 2k /k ，k=1,2...容易验证p k =1/2k(k=1,2...)满足分布律的两个条件，但k k k p x ∑+∞=1=∑+∞∞-(-1)k 2k /k (1/2k )=∑+∞=1k (-1)k/k =∑+∞=11k k发散，所以X 的数学期望不存在。
（2）若随机变量X 的概率密度为∏=1)(x f 2^11x +,即X 服从柯西分布，因为dx x x dx x f x 2^112)(+⋅∞+∞-∏=∞+∞-⎰⎰=∏1In(1+x 2)=∞+发散，所以X 的数学期望不存在。
1.4数学期望的性质数学期望具有以下几个重要的性质（设以下遇到的随机变量的数学期望均存在）（1） 若C 为常数，则E （C ）=C ；（2） 设X 是一个随机变量，C 为常数，则E （CX ）=CE(X)；（3） 设X,Y 是两个随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；这一性质可以推广到任意有限葛随机变量的情形：对于任意n 个随机变量X 1，X 2，...Xn ，有E(X 1+X 2+...+Xn)=E(X 1)+E(X 2)+...+E(Xn)(4) 若X ，Y 相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；这一性质可以推广到任意有限个随机变量的情形：若n 个随机变量X 1，X 2，...Xn 相互独立，则E(X 1X 2...Xn)=E(X 1)E(X 2)...E(Xn);(5) 若X ≥O,则E(X)≤0.由数学期望的定义可知，性质（1）（2）（5）都是显然的，下面只对连续随机变量的情况证明性质（3）（4），对于离散随机变量也可以类似地证明。
证明：设随机变量（X,Y ）的概率密度是f(x,y)，其边缘概率密度为f x (x),f y (y),则E(X+Y)= ⎰⎰+∞∞+∞∞+__),()(dxdy y x f y x =dxdy y x yf dxdy y x xf ⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-+),(),(=E(X)+E(Y ）性质（3）得证！若X 和Y 相互独立，则f(x,y)=x f (x)y f (y),故有E(XY)=dxdy y x f xy ),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞- =dy y yf dx x xf y x )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅=E(X)E(Y)性质（4）得证！2·数学期望的应用2.1最佳进货量问题商场要进某种商品, 作为商场而言, 必定要考虑准备多少货源, 既能满足市场需求, 又不会产生积压, 使资金使用最佳、收益最优。
在概率论中, 运用数学期望的概念, 此问题可以从平均收益, 即期望着手处理。
例1设某种商品每周的需求量X 服从区间[10,30]上的均匀分布，而经销商场的进货数量为区间[10,30]中的某一整数，商场销售以1单位就获得利润500元，若供大于求，则销价处理，每处理以单位商品，就会亏损100元；若供过于求则从外部调剂，这时仅有利润300元；为使得商场利润不少于9280千元，试确定最少进货量。
解：设进货量为a ，利润为y,则利润函数为500a+300(x-a) , a<x<30y(x)= 500x-100(a-x) , 10<x<a因为X 服从[10,30]的均匀分布。
所以X 的概率密度函数为201 , 10<x<30)(x f =0 , 其他利润期望为E(y)=⎰3010201y(x)dx=⎰a 10201(600x-100a)dx+⎰30201a (200a+300x)dx =-7.5a 2+350a+5250若要 E(y)=-7.5a 2+350a+5250≥9280解得3220≤a ≦26 故在使得商场利润大于9280元时，最少进货量应该为21单位。
2.2商场抽奖活动问题买彩票，摸球，高奖销售固然激动人心，每个人都希望自己能成为那个拿大奖的幸运儿。
然而事实真的像我们所期望的那样吗？下面从计算期望的角度可以看出，我们还是应该少参加这些活动。
例2某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱里摇出的球可能的颜色为黄球和白球均有8个，每次只会摇出8个球，黄球记10分，白球记5分，摇出的球分数和作为中奖分数：一等奖80分或40分，风扇一台价值500元， 二等奖75分或45分，电锅一个价值50元； 三等奖70分或50分，瓷锅一个价值20元； 四等奖65分或55分，交10元送金属碗一个（假设成本5元）；五等奖60分罚款20元;解：从表面上看整个活动都是有利于消费者的，因为前三名的奖品的价值都是相当可观的，而四，五等奖只需要给相当少的一部分钱。
但是经过分析，商家真的会亏本吗？顾客真的有很大的机会拿到大奖吗？根据中奖规则摇出来的球会有5种情况，假设为i A （i=1,2,..5）其中事件一等奖表示摇出8个黄球或者8个白球；二等奖为摇出7个黄球1个白球或者7个白球1个黄球；三等奖为摇出6个黄球球2个白球或者6个白球2和黄球；四等奖为摇出5个黄球3个白球或者5个白球3个黄球；五等奖为摇出4个黄球4个白球；对应的概率为p(i A )=C K8C 8-K 8/C 8 16可以计算出数学期望E(X)=)(51i i i x p x ∑==-7.044145，也就是说商家在每一次抽奖中平均获得7.044145元，而平均每一位抽奖者要花费7.044145元享受一次抽奖机会。