实变函数解读

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4.本课程希望解决的一些问题
（1）《微积分》或《数学分析》中讨论的函数都是比较好的 函数，即没有太多的间断点，基本上是连续函数，这些函数都有 很好的可微性与可积性，但在实际应用（理论与工程应用）中的
1 1, x是 0，中的有理数 D x 1 0, x是 0，中的无理数
第一讲
实变函数
非 线 性 分 析
稳 定 性 理 论
泛 函 分 析
程积 分 方
数 理 方 程
论遍 析小 历 波 性 分 理
论概 率
神经网络理论
生物工程 计算机工程
图像处理与图像传输


3.实变函数的特点与学习方法
1）实变函数论是数学本科各专业的重要专业基础课程。 2）实变函数论是本科难度最高的数学课程。 特点：高度抽象，逻辑严密。 学习方法： a.课前必须认真预习（怎样预习？）。 b.课后要抓紧时间做作业。 教学方法：“画龙点睛”
问题 2 怎样推广积分的定义使其类似于上述的定理在条 件更弱的情况下有同样的结论？ 本课程将通过引入 Lebesuge 积分来解决上述各问题。
第一讲
一． 言归正传 第1章 集合 §1.1 集合的运算 一． 集合的定义及其运算 1. 集合运算的定义 (1) 并： A
B，
m n 1
An ，
n 1
An ，

A
A
(2) 交： A B ， (3) 差： A B
m n 1
An ，
n 1
An ，

(4) 补：设 A S ，则 Cs A : S A
第一讲
1. 集合运算的基本性质 定理 1 (1) A A A , A A A (2) A A , A A , A A (3) A B B A , A B B A (4) A B C A B C , A (6) A B C A C B C (7) C A B C AUB (8) A B A B
n n
An 称为 A 的极限，记为 lim A 。 列 A 收敛，并将 lim n
n
n
命题 1 (a1) (a2)
limAn x x 属于无穷多个 An
n
lim An x n0
n
, n n0 x An
第一讲
问题 3，怎样的集合列一定存在极限？ 定义 1’ (b1)集合序列 An 称为是单调上升（单调递增）的， 如果 n ， An An1 . (b2) 集合序列 An 称为单调下降 （单调递减） 的， 如果 n ， An An1 . 定理 2 (c1)若 An 是单调上升的集列，则
D
x, y y x y y
1
2
y2 x 在 a, b 连续， x , a x b 连续， 且 y1 x ，
则

D b y2 x f x, y dxdy f x, y dx a y1 x

则有
S A S A (9’) A S A (10’) S
第一讲
一． 集合序列的上、下限集 定义 1. 假设 An 是一列集合， 称集合 上限集，记作 limA 或 lim sup A ；称集合
n
收敛于函数 f x ，则 f x 在 a, b 可积，并且
第一讲

b a
f x dx lim f n x dx
n a
b
lim f n x dx lim f n x dx 即 a n a n
b
b
（1） 在《微积分》和《数学分析》中，化重积分为 累次积分的条件也很强： f x, y 化重积分为累次积分定理 ．．．．．．．．．．． 若 在
1 的每一点不可微，在 0， 1 在《数学分析》中，这个函数在 0， 不可积。 问题 1.怎样推广导数的概念和可积得概念， 使诸如 Dirichlet 之类的函数具有相应的运算性质？ （2）在《微积分》或《数学分析》中，积分与极限交换顺序 定理条件很强。
积分与极限交换定理 若每个函数 fn x n 1,2,3, 在区间 a, b 可积， 且函数列 f x 在区间 a, b 一直收敛于函数 f x ，则 f x 在 a, b 一致
B
C A B C
(5) A B C A B A C
A
B ，其中 A B A B
B A
第一讲
(9) A B C A B A C (10) A B C A B A C (11) 若 B A S ，则 Cs A Cs B (12) 若 B A ，则 B A B ， A B A De Morgan 定律 设 S 是一个集合， A 是一族集合，
实变函数
主讲人：朱培勇
第一讲
教学内容： （1）课程简介 （2）第1章 集合

第一讲
一、实变函数课程简介
1.什么是实变函数 定义：（1）实变函数：定义域为实数集合的函数。即，自变 量为实数变量的函数。 （2）实变函数论：研究实变函数的性质、特征的理论。即， 关于实变函数的一系列定义、命题及其逻辑框架结构。 2.为什么要学习实变函数论 实变函数论是数学的一个重要分支。它在现代数学的许多分 支有重要应用，也在许多应用基础研究中有重要应用。数学与工 程中的许多问题需要《实变函数》。
x n
x n

Am n 1 m n

为序列 An 的
Am
n 1 m n
为 An 的下限集，记
作 lim A 或者 lim inf A 。
n n
x
n
如果 limA
x
n
lim An ，则称集合序列
n
An 有极限，或称集合序