工程力学第9-10节简单拉压静不定问题
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解:（1）列静力学方程 解除约 束，设约束反力为RA.RB.列方程：
Y 0, RA RB P 0
（2）列变形几何条件 设杆受 力P作用后,C点移至 C’，在原有 约束条件下，杆AB的长度不变，
故此时AC段的伸长△lAC 与 CB段的缩短△lCB 应该相等。由
此变形几何条件：
lAC lCB 0 （b）
F
F
剪切实用计算
F
F
图(a)
F
F
图(b)
剪切实用计算
解： 可能造成的破坏：
（1）因铆钉被剪断而使铆接被破坏；
（2）铆钉和板在钉孔之间相互挤压过大，而使铆接被 破坏；
（3）因板有钉孔，在截面被削弱处被拉断。
可采用假设的计算方法： 假定每个铆钉所受的力都是一样的。
剪切实用计算
F/2n
F/n
FQ
F/2n
在假定的前提下进行 实物或模型实验，确 定许用应力。
例题 图示冲床的最大冲压力为400KN，被冲剪钢板的剪切极限 应力为 300103 KN / m2 ,试求此冲床所能冲剪钢板的最大厚度 t。已知 d=34mm。
F
钢板
冲头 t
d 冲模
剪切实用计算
F 解：剪切面是钢板内被
冲头冲出的圆柱体 的侧面：
（2）列变形几何条件
lT 因温度引起的伸长
lR 因轴向压力引起的缩短
lT lR
（3） 列物理条件
lT T l
lR
Rl EA
（4） 建立补充方程
T l Rl
EA
R EA T
R E T
A
• 例 一杆AB ,在C处受轴向外力P, 已知面积A , 弹性模
量E ,求A、B两端的支座反力。
E1A1 l1
2.变形协调方程：
C
D
E3A3
各杆变形的几何关系
l3
E2A2 l2=E1A1 l1
l1 l2 l3cos l3cos
A
l1 l2 A´ l3 FP
3.物理关系
l3
FN3l3 E3 A3
, l1
l2
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1l1 E1 A1
4.将物理关系代入变形协调条件得到补充方程为：
FN3l3 cos FN1l1
（1）铆钉剪切计算
FQ F / 2n [ ]
F/2n
A 1 d 2
4
n 2F
d 2[ ]
3.98
（2）铆钉的挤压计算
j
Fj Sj
F /n t1d
[ j ]
n F
t1d[ j ]
3.72
剪切实用计算
因此取 n=4.
I
F/n
F/n
F/n F/n
I
F/2
（3）主板拉断的校核。 危险截面为I-I截面。
d——铆钉或销钉直径， ——接触柱面的长度
剪切实用计算
*挤压强度条件：
j
Fj Sj
[ j ]
*注意：
名义许用挤压应 力，由试验测定。
在应用挤压强度条件进行强度计算时，要注意连接件与被连接 件的材料是否相同，如不同，应对挤压强度较低的材料进行计 算，相应的采用较低的许用挤压应力。
挖掘机减速器齿轮轴为平键连接 b=28mm,h=16mm,P=12.1kN,
1.6 2
(7.0
2 1.4)
3.36cm2
3.36 104 m2
故轮毂的工作挤压应力为
j
P Aj
12100 3.36 104
36106 Pa
36MPa [ j ] 100MPa
也满足挤压强度条件。
所以，这一键连接的剪切强度和挤压强度都是足够的。
例题 两矩形截面木杆，用两块钢板连接如图示。已知拉杆的 截面宽度 b=25cm，沿顺纹方向承受拉力F=50KN，木材的顺纹许 用剪应力为 [ ] 1MPa , 顺纹许用挤压应力为 [ j ] 10MPa 。试求
j
j
2、剪切构件的强度计算，与轴向拉压时相同，也是按外力分析、内力 分析、强度计算等几个步骤进行的。在作外力和内力分析时，还须 注意以下几点：
（1）首先必须取出剪切构件，明确研究对象，绘出其上的全部外力， 确定外力大小。在此基础上才能正确地辨明剪切面和挤压面。
（2）正确地确定剪切面的位置及其上的剪力。剪切面在两相邻外力 作用线之间，与外力平行。 （3）正确地确定挤压面的位置及其上的挤压力。挤压面即为外力的 作用面，与外力垂直；挤压面为半圆弧面时，可将构件的直径截面视 为挤压面。
压碎或连接件（如销钉）被压扁。
F
*挤压强度问题（以销为例） 挤压力（中间部分）：
Fj F
F/2
F/2
挤压面 S j ：直径等于d，高度为接
触高度的半圆柱表面。
挤压应力 j ：挤压面上分布的正应力。
*挤压实用计算方法： 假设挤压应力在整个挤压面上均匀分布。
j
Fj Sj
挤压面面积的计算：
1、平面接触（如平键）：挤压面面积等于实际的承压面积。
接头处所需的尺寸L和 。
F
b
F
LL
解：剪切面如图所示。剪
F/2
切面面积为：
F
S Lb
剪切面
由剪切强度条件：
F/2
FQ F / 2 [ ]
S Lb
由挤压强度条件：
L F
2b[ ]
100mm
j
Fj Sj
F /2
b
[ j ]
F 2b[ j ]
10mm
例题 F
厚度为t1 12的mm主钢板用两块厚度为
F F/2
F/2
剪切强度计算
剪应力
剪切面
剪力
实用计算方法：根据构件破坏的可能性，以直接试验为基础， 以较为近似的名义应力公式进行构件的强度计算。
名义剪应力：假设剪应力在整个剪切面上均匀分布。
FQ
S
剪切强度条件：
Fs [ ]
A
名义许用剪应力
可解决三类问题： 1、选择截面尺寸; 2、确定最大许可载荷， 3、强度校核。
hl Sj 2
h——平键高度 l——平键长度
F h
b F
l
键:连接轴和轴上的传动件（如齿轮、皮带轮等）,使轴 和传动件不发生相对转动，以传递扭矩。
剪切实用计算
2、柱面接触（如铆钉）：挤压面面积为实际的承压面积在其直径 平面上的投影。 挤压强度条件：
bs
Fb Abs
[ bs ]
F F
S j d
B
D
A
FN1
FN 2
FN3
2 cos
h
FN3
h(1
E3 A3
1
2 cos3
E3 A3 ) E1 A1
例 杆AB长为l ,面积为A ,材料的
弹性模量E和线膨胀系数 ,求温 度升高T 后杆温度应力。
（1）列平衡方程 解除约束，
解：设约束反力为RA.RB.列方程：
X 0, RA RB 0
得 : RA RB R
二、剪切概念及其实用计算
*受力特征：
F
杆件受到两个大小相等，方
向相反、作用线垂直于杆的
轴线并且相互平行且相距很
近的力的作用。
*变形特征：
F 剪切面
杆件沿两力之间的截面发生错动，直至破坏（小矩形 剪切面：发生错动的面。
）。
单剪：有一个剪切面的杆件，如铆钉。
单剪
一个剪切面
Fs
双剪：有两个剪切面的杆件，如螺栓。
（3） 列物理条件 由胡克定律：
l AC
RA 2a EA
lCB
RB a EA
（c）
（4） 建立补充方程，解出约束力
将式（c）代如式（b），得补充方
程
RA 2a RB a 0 EA EA
即
2RA RB
联立方程得：
RA
P 3
,
RB
2P 3
小结
小结
小结
一、工程实例
第十章 剪切
若主要发生相对错动，其他变形较小， 其它变形形式可以忽略不计。
t的2 同6c样m
F
材料的盖板对接如图示。已知铆钉直径为d=2cm，钢板的许b用拉应
力 [ ] 160MPa，钢板和铆钉许用剪应力和许用挤压应力相同，分
别为 [ ] 100MPa， [ j ] 280 MPa 。若F=250KN，试求 （1）每边所需的铆钉个数n；
（2）若铆钉按图(b)排列，所需板宽b为多少？
E3 A3
E1 A1
5.由平衡方程、补充方程接出结果为：
F E1 A1 cos2
FN1
FN 2
1
E3 A3 2E1 A1
cos3
E3 A3
FN3
1
F 2E1 A1
cos3
E3 A3
(拉力) (拉力)
• 温度应力和装配应力概念 • 由于温度变化或杆长存在制造误差，在结构未受力时
即已存在的应力，分别称为温度应力与装配应力。
F
t
F
主板的强度条件为（忽略
应力集中的影响）：
max
(b
F 2d )t1
[ ]
F
b
2d
[ ]t1
0.17m 17cm
小结
1、剪切实用计算所作的主要假设是： （1）假设剪切面上的剪切应力均匀分布，由此得出剪切强度条件为
Q
A
（2）假设挤压面上的挤压应力均匀分布，由此得出挤压强度条件为
FP
(b)静不定。未知力数：5 平衡方程数：3 静不定次数=2
简单拉压静不定问题的解法
B
D 1.平衡方程为
Fx 0 :
FN1sin FN2sin 0
A
Fy 0 :
FN1cos FN2cos FN3 FP 0
FP
y
FN3
FN1 FN2
x
FP
拉伸与压缩/简单拉压静不定问题
B
第9-10节 简单拉压静不定问题
1 静不定的概念
能用静力学平衡方 程求解的问题，称 为静定问题。 未知力多于平衡方 程，用静力学平衡 方程不能求解的问 题，称为静不定问 题
静不定度（次数） 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几 次超静定？
B
DE
B
D
A
C
A
C
FP
(a)静定。未知内力数：3 平衡方程数：3
平键的工作剪应力为
Q A
12100 11.76 104
10.3 106 Pa
10.3MP a [ ] 87MPa
满足剪切强度条件。
（2） 校核 挤压强度 轮毂挤压面上的挤压力为
P=12100N
挤压面的面积与键的挤压面相同， 设
键与轮毂的接触高度为h/2，则挤压
面面积（图f）为
Aj
h 2
lp
l2=70mm,R=14mm,键[]=87MPa， 轮毂[j] = 100 Mpa，校核键连接强度.
解：（1）校核剪切强度
键的受力情况如图c所示，剪 切面上的剪力 Q=P=12.1kN=12100N
对于圆头平键，其圆头部分略 去不计（图e），故剪切面面积 为 A bl p b(l2 2R) 2.8(7 21.4) 11.76cm2 11.76104m2
S dt
F 冲孔所需要的冲剪力：
F S 0
t
故
S
F
0
400 103 300 106
1.33103 m2
即
1.33 103
t
0.1245m 12.45mm
d
F 剪切面
三、挤压概念及其实用计算
挤压：连接件和被连接件在接触面上相互压紧的现象。
F
F/2
F/2
F/2
F/2
F
剪切实用计算
挤压引起的可能的破坏：在接触表面产生过大的塑性变形、
Y 0, RA RB P 0
（2）列变形几何条件 设杆受 力P作用后,C点移至 C’，在原有 约束条件下，杆AB的长度不变，
故此时AC段的伸长△lAC 与 CB段的缩短△lCB 应该相等。由
此变形几何条件：
lAC lCB 0 （b）
F
F
剪切实用计算
F
F
图(a)
F
F
图(b)
剪切实用计算
解： 可能造成的破坏：
（1）因铆钉被剪断而使铆接被破坏；
（2）铆钉和板在钉孔之间相互挤压过大，而使铆接被 破坏；
（3）因板有钉孔，在截面被削弱处被拉断。
可采用假设的计算方法： 假定每个铆钉所受的力都是一样的。
剪切实用计算
F/2n
F/n
FQ
F/2n
在假定的前提下进行 实物或模型实验，确 定许用应力。
例题 图示冲床的最大冲压力为400KN，被冲剪钢板的剪切极限 应力为 300103 KN / m2 ,试求此冲床所能冲剪钢板的最大厚度 t。已知 d=34mm。
F
钢板
冲头 t
d 冲模
剪切实用计算
F 解：剪切面是钢板内被
冲头冲出的圆柱体 的侧面：
（2）列变形几何条件
lT 因温度引起的伸长
lR 因轴向压力引起的缩短
lT lR
（3） 列物理条件
lT T l
lR
Rl EA
（4） 建立补充方程
T l Rl
EA
R EA T
R E T
A
• 例 一杆AB ,在C处受轴向外力P, 已知面积A , 弹性模
量E ,求A、B两端的支座反力。
E1A1 l1
2.变形协调方程：
C
D
E3A3
各杆变形的几何关系
l3
E2A2 l2=E1A1 l1
l1 l2 l3cos l3cos
A
l1 l2 A´ l3 FP
3.物理关系
l3
FN3l3 E3 A3
, l1
l2
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1l1 E1 A1
4.将物理关系代入变形协调条件得到补充方程为：
FN3l3 cos FN1l1
（1）铆钉剪切计算
FQ F / 2n [ ]
F/2n
A 1 d 2
4
n 2F
d 2[ ]
3.98
（2）铆钉的挤压计算
j
Fj Sj
F /n t1d
[ j ]
n F
t1d[ j ]
3.72
剪切实用计算
因此取 n=4.
I
F/n
F/n
F/n F/n
I
F/2
（3）主板拉断的校核。 危险截面为I-I截面。
d——铆钉或销钉直径， ——接触柱面的长度
剪切实用计算
*挤压强度条件：
j
Fj Sj
[ j ]
*注意：
名义许用挤压应 力，由试验测定。
在应用挤压强度条件进行强度计算时，要注意连接件与被连接 件的材料是否相同，如不同，应对挤压强度较低的材料进行计 算，相应的采用较低的许用挤压应力。
挖掘机减速器齿轮轴为平键连接 b=28mm,h=16mm,P=12.1kN,
1.6 2
(7.0
2 1.4)
3.36cm2
3.36 104 m2
故轮毂的工作挤压应力为
j
P Aj
12100 3.36 104
36106 Pa
36MPa [ j ] 100MPa
也满足挤压强度条件。
所以，这一键连接的剪切强度和挤压强度都是足够的。
例题 两矩形截面木杆，用两块钢板连接如图示。已知拉杆的 截面宽度 b=25cm，沿顺纹方向承受拉力F=50KN，木材的顺纹许 用剪应力为 [ ] 1MPa , 顺纹许用挤压应力为 [ j ] 10MPa 。试求
j
j
2、剪切构件的强度计算，与轴向拉压时相同，也是按外力分析、内力 分析、强度计算等几个步骤进行的。在作外力和内力分析时，还须 注意以下几点：
（1）首先必须取出剪切构件，明确研究对象，绘出其上的全部外力， 确定外力大小。在此基础上才能正确地辨明剪切面和挤压面。
（2）正确地确定剪切面的位置及其上的剪力。剪切面在两相邻外力 作用线之间，与外力平行。 （3）正确地确定挤压面的位置及其上的挤压力。挤压面即为外力的 作用面，与外力垂直；挤压面为半圆弧面时，可将构件的直径截面视 为挤压面。
压碎或连接件（如销钉）被压扁。
F
*挤压强度问题（以销为例） 挤压力（中间部分）：
Fj F
F/2
F/2
挤压面 S j ：直径等于d，高度为接
触高度的半圆柱表面。
挤压应力 j ：挤压面上分布的正应力。
*挤压实用计算方法： 假设挤压应力在整个挤压面上均匀分布。
j
Fj Sj
挤压面面积的计算：
1、平面接触（如平键）：挤压面面积等于实际的承压面积。
接头处所需的尺寸L和 。
F
b
F
LL
解：剪切面如图所示。剪
F/2
切面面积为：
F
S Lb
剪切面
由剪切强度条件：
F/2
FQ F / 2 [ ]
S Lb
由挤压强度条件：
L F
2b[ ]
100mm
j
Fj Sj
F /2
b
[ j ]
F 2b[ j ]
10mm
例题 F
厚度为t1 12的mm主钢板用两块厚度为
F F/2
F/2
剪切强度计算
剪应力
剪切面
剪力
实用计算方法：根据构件破坏的可能性，以直接试验为基础， 以较为近似的名义应力公式进行构件的强度计算。
名义剪应力：假设剪应力在整个剪切面上均匀分布。
FQ
S
剪切强度条件：
Fs [ ]
A
名义许用剪应力
可解决三类问题： 1、选择截面尺寸; 2、确定最大许可载荷， 3、强度校核。
hl Sj 2
h——平键高度 l——平键长度
F h
b F
l
键:连接轴和轴上的传动件（如齿轮、皮带轮等）,使轴 和传动件不发生相对转动，以传递扭矩。
剪切实用计算
2、柱面接触（如铆钉）：挤压面面积为实际的承压面积在其直径 平面上的投影。 挤压强度条件：
bs
Fb Abs
[ bs ]
F F
S j d
B
D
A
FN1
FN 2
FN3
2 cos
h
FN3
h(1
E3 A3
1
2 cos3
E3 A3 ) E1 A1
例 杆AB长为l ,面积为A ,材料的
弹性模量E和线膨胀系数 ,求温 度升高T 后杆温度应力。
（1）列平衡方程 解除约束，
解：设约束反力为RA.RB.列方程：
X 0, RA RB 0
得 : RA RB R
二、剪切概念及其实用计算
*受力特征：
F
杆件受到两个大小相等，方
向相反、作用线垂直于杆的
轴线并且相互平行且相距很
近的力的作用。
*变形特征：
F 剪切面
杆件沿两力之间的截面发生错动，直至破坏（小矩形 剪切面：发生错动的面。
）。
单剪：有一个剪切面的杆件，如铆钉。
单剪
一个剪切面
Fs
双剪：有两个剪切面的杆件，如螺栓。
（3） 列物理条件 由胡克定律：
l AC
RA 2a EA
lCB
RB a EA
（c）
（4） 建立补充方程，解出约束力
将式（c）代如式（b），得补充方
程
RA 2a RB a 0 EA EA
即
2RA RB
联立方程得：
RA
P 3
,
RB
2P 3
小结
小结
小结
一、工程实例
第十章 剪切
若主要发生相对错动，其他变形较小， 其它变形形式可以忽略不计。
t的2 同6c样m
F
材料的盖板对接如图示。已知铆钉直径为d=2cm，钢板的许b用拉应
力 [ ] 160MPa，钢板和铆钉许用剪应力和许用挤压应力相同，分
别为 [ ] 100MPa， [ j ] 280 MPa 。若F=250KN，试求 （1）每边所需的铆钉个数n；
（2）若铆钉按图(b)排列，所需板宽b为多少？
E3 A3
E1 A1
5.由平衡方程、补充方程接出结果为：
F E1 A1 cos2
FN1
FN 2
1
E3 A3 2E1 A1
cos3
E3 A3
FN3
1
F 2E1 A1
cos3
E3 A3
(拉力) (拉力)
• 温度应力和装配应力概念 • 由于温度变化或杆长存在制造误差，在结构未受力时
即已存在的应力，分别称为温度应力与装配应力。
F
t
F
主板的强度条件为（忽略
应力集中的影响）：
max
(b
F 2d )t1
[ ]
F
b
2d
[ ]t1
0.17m 17cm
小结
1、剪切实用计算所作的主要假设是： （1）假设剪切面上的剪切应力均匀分布，由此得出剪切强度条件为
Q
A
（2）假设挤压面上的挤压应力均匀分布，由此得出挤压强度条件为
FP
(b)静不定。未知力数：5 平衡方程数：3 静不定次数=2
简单拉压静不定问题的解法
B
D 1.平衡方程为
Fx 0 :
FN1sin FN2sin 0
A
Fy 0 :
FN1cos FN2cos FN3 FP 0
FP
y
FN3
FN1 FN2
x
FP
拉伸与压缩/简单拉压静不定问题
B
第9-10节 简单拉压静不定问题
1 静不定的概念
能用静力学平衡方 程求解的问题，称 为静定问题。 未知力多于平衡方 程，用静力学平衡 方程不能求解的问 题，称为静不定问 题
静不定度（次数） 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则为几 次超静定？
B
DE
B
D
A
C
A
C
FP
(a)静定。未知内力数：3 平衡方程数：3
平键的工作剪应力为
Q A
12100 11.76 104
10.3 106 Pa
10.3MP a [ ] 87MPa
满足剪切强度条件。
（2） 校核 挤压强度 轮毂挤压面上的挤压力为
P=12100N
挤压面的面积与键的挤压面相同， 设
键与轮毂的接触高度为h/2，则挤压
面面积（图f）为
Aj
h 2
lp
l2=70mm,R=14mm,键[]=87MPa， 轮毂[j] = 100 Mpa，校核键连接强度.
解：（1）校核剪切强度
键的受力情况如图c所示，剪 切面上的剪力 Q=P=12.1kN=12100N
对于圆头平键，其圆头部分略 去不计（图e），故剪切面面积 为 A bl p b(l2 2R) 2.8(7 21.4) 11.76cm2 11.76104m2
S dt
F 冲孔所需要的冲剪力：
F S 0
t
故
S
F
0
400 103 300 106
1.33103 m2
即
1.33 103
t
0.1245m 12.45mm
d
F 剪切面
三、挤压概念及其实用计算
挤压：连接件和被连接件在接触面上相互压紧的现象。
F
F/2
F/2
F/2
F/2
F
剪切实用计算
挤压引起的可能的破坏：在接触表面产生过大的塑性变形、