高考数学-考点22-简单多面体与球练习

考点22 简单多面体与球1.（2010·四川高考理科·Ｔ11）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ,AD 分别与球面交于点M ，N ，那么M ,N 两点间的球面距离 是（ ）（A ）17arccos25R （B ）18arccos25R（C ）13R π（D ）415Rπ【命题立意】本题考查了两点间的球面距离（即求弧长）问题，解三角形，平行线等分线段成比例的知识，考查了学生利用平面几何知识解决空间几何体问题的能力.【思路点拨】欲求M ,N 两点间的球面距离，根据弧长公式可知，需求MON ∠的弧度数，进而转化为求线段MN 的长度.∵题目中所给条件大多集中在BCD ∆内，故探求MN 与CD 的数量关系. 【规范解答】选A . 连结BM ，∵AB 为球O 的直径，∴BM AC ⊥，在Rt ABC ∆中，222,,5AB R BC R AC AB BC R ===+= 由射影定理可得225BC BC CM CA CM R CA =⋅⇒==.则45AM AC CM R=-=.同理，连结BN ,则△ABM ≌△ABN,则AN AM =,又AC AD =,∴MN ∥CD .∴45MN AM CDAC ==, 即4455MN CD R ==. 在三角形MON ∆中, OM=OM=R,45MN R=利用余弦定理可得：22217cos =225OM ON MN MON OM ON +-∠=⋅，∴17arccos25MON ∠=,∴M,N 两点间的球面距离为17R arccos25.2.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ12）已知在半径为2的球面上有A ，B ，C ，D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）(A) 233(B)433 (C) 23 (D) 833【命题立意】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【思路点拨】当AB CD ⊥时体积最大，选择合适的底和高，利用三棱锥体积公式求解. 【规范解答】选B.方法一： 当AB CD ⊥时，体积最大，如图： 过CD 作平面PCD ，使AB PCD ⊥平面, 交AB 与点P ,设点P 到CD 的距离为h ,则有1112223323PCD ABCD hV S AB h ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,22max 22123h =-=,故max 433V =.方法二：如图：当异面直线AB 与CD 间的距离最大，且AB CD ⊥时， 四面体ABCD 的体积最大，分别取AB 与CD 的中点E ，F ， 连结EF，此时球心O为线段EF的中点，则222222123EF OA AE =-=-=.1114322323323A BCD ECD V S AB -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=.3．（2010·湖北高考理科·Ｔ13）圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm. 【命题立意】本题主要考查圆柱和球的体积公式以及考生的运算求解能力．【思路点拨】圆柱形容器的容积减去圆柱内高度为8cm 的水的体积即为3个球的体积和。

【规范解答】设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为2366r r r ππ⨯=，高度为8cm的水的体积为28r π，3个球的体积和为334343r r ππ⨯=，由题意36r π-28r π=34r π解得4r =.【答案】44. （2010·江西高考文科·Ｔ１６）长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为 .【命题立意】本题主要考查棱锥、球的基本知识，考查多面体与球体的内接问题，考查球面距离问题，考查空间想象力．1A B 1C 1D ADCB【思路点拨】先求体对角线长即为球的直径，再求球心角，最后由弧长公式求两点间的球面距离.【规范解答】设球的半径为R ，则.1,2)2(1122221==++==R AC R 设球心为O ，则21121122cos 22222=⨯-=-=∠R AB R AOB ，所以,3π=∠AOB 所求A,B 两点间的球面距离为.3π【答案】3π5. （2010·上海高考理科·Ｔ１2）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O,剪去AOB ∆,将剩余部分沿OC,OD 折叠，使OA,OB 重合，则以A （B ）,C,D,O 为顶点的四面体的体积为．【命题立意】本题考查立体几何中的折叠问题和几何体体积的求法． 【思路点拨】先确定折叠后的几何体的形状，再由体积公式求体积． 【规范解答】折叠后的图形如图所示,∵,BO OC AO OD ⊥⊥，∴()A B O COD ⊥平面. ∴AO 为四面体()A B COD -的高，∴AO OC OD 2131AO S 31OCD CDO -A ⨯⨯⨯⨯=⨯=∆四面体V3282222222131=⨯⨯⨯⨯=．【答案】823【方法技巧】折叠问题的关键是找到折叠前后，变与不变的量．一般在折线同侧的量（包括角和距离）不变，跨过折线的量要改变．6.（2010·上海高考文科·Ｔ6）已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱锥的体积是．【命题立意】本题考查棱锥的体积公式的应用，属容易题． 【思路点拨】按棱锥的体积公式代入数值求解．【规范解答】11166896333ABCD P ABCD V S h S PA -=⨯=⨯=⨯⨯⨯-正方形四棱锥底=96.【答案】967. （2010·上海高考文科·Ｔ20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.【命题立意】本题是个应用题，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，涉及函数求最值、几何体的三视图等相关知识.【思路点拨】（1）建立S 关于r 的函数，根据函数的性质求最值； （2）确定几何体的有关数据后，按三视图的要求画图．【规范解答】（1）设圆柱形灯笼的高为h ，则4(42)9.6r h +=，所以 1.22h r =- 所以2222(.22)S S S r rh r r r ππππ=+=+=+-侧底(1.2-2r)22.43r r ππ=-(00.6)r <<．所以，当4.0)3(24.2=-⨯-=ππr 时S 有最大值．最大值为51.1)4.0(34.04.22≈-⨯ππ（平方米）（2）由（1）知0.3r =时，0.6h =其正视图与侧视图均为边长是0.6的正方形，俯视图是半径为0.3的圆．如图：8. （2010·重庆高考文科·Ｔ20）如题图，四棱锥P ABCD -中， PA ABCD ⊥底面，底面ABCD 为矩形，2PA AB ==，点E 是棱PB 的中点.（1）证明：AE PBC ⊥平面；（2）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，考查余弦定理及其应用，考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合的思想，考查转化与化归的思想. 【思路点拨】（1）通过证明线线垂直证明结论：线面垂直，（2）作出二面角的平面角，再利用三角函数、余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函数值.【规范解答】方法一：（1）如图所示，由PA ABCD ⊥底面得PA AB ⊥.又PA AB =知PAB ∆为等腰直角三角形，而点E 是棱PB 的中点，所以AE PB ⊥.由题意知BC AB ⊥，又AB 是PB 在面ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC PB ⊥，从而BC PAB ⊥平面，故BC AE ⊥。

因为AE PB ⊥，AE BC ⊥，PB ∩BC=B 所以AE PBC ⊥平面.（2）由（1）知BC PAB ⊥平面，又AD ∥BC ，得AD PAB ⊥平面，故AD AE ⊥.在Rt PAB ∆中，2PA AB ==，所以2211122AE PB PA AB ==+=，所以在Rt DAE ∆中，222DE AE AD =+=.在Rt CBE ∆中，222CE BE BC =+=，又2CD =，所以CDE ∆为等边三角形.取CE 的中点F ,连结DF ,则DF CE ⊥.因1BE BC ==，且BC BE ⊥，则EBC ∆为等腰直角三角形，连结BF ，则BF CE ⊥，所以BFD ∠为所求的二面角的平面角.连结BD ，在BFD ∆中，6sin3DF CD π==，1222BF CE ==,223BD BC CD =+=，所以222cos 2DF BF BD BFD DF BF +-∠=⋅⋅ 33=-，故二面角B EC D --的平面角的余弦值为33-.方法二：（1）以A 为坐标原点，射线,,AB AD AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系A xyz -.如图所示.设(0,,0)D a ，则B ,0,0)2(，C(2,,0)a ，P )2(0,0,，E)22,0,22(。

于是22AE (,0,)22=，BC (0,,0)a =，PC (2,,2)a =-，则0,0AE BC AE PC ⋅=⋅=，所以,AE BC AE PC ⊥⊥，故AE PBC ⊥平面.（2）设平面BEC 的法向量为1n ，由（Ⅰ）知，AE BEC ⊥平面，故可取122n EA 022==-（，，）2)2-.设平面DEC 的法向量2222,,n x y z =（），则220,0n DC n DF ⋅=⋅=DE 0=，由AD 1=，得D ）,1,00（，C ）,1,02（，从而）,0,02（DC =，22DE ,1,22=（-），故2222022022x x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以20x =，222z y =，可取21y =，则2012n =（，，），从而1212123cos ,3n n n n n n <>==-.【方法技巧】（1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题. 9. （2010·重庆高考理科·Ｔ１9）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥底面，6PA AB ==，点E 是棱PB 的中点.（1）求直线AD 与平面PBC 的距离；（2）若3AD =，求二面角A EC D --的平面角的余弦值.【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、三垂线定理等，考查线面距离的求法、二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想方法、转化与化归的能力. 【思路点拨】（1）把直线到平面的距离转化为点到平面的距离， 寻找过此点与平面垂直的直线；（2）作出二面角的平面角， 再根据三角函数、余弦定理等求解.【规范解答】方法一：（1）如图1，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，从而AD ∥平面PBC ，故求直线AD 与平面PBC 的距离就是点A 到平面PBC 的距离.因为PA ABCD ⊥底面，所以PA AB ⊥，由PA AB =知PAB ∆为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 的中点.故AE PB ⊥，又在矩形ABCD 中，BC AB ⊥，而AB 是PB 在底面ABCD 上的射影，由三垂线定理得BC PB ⊥，从而BC PAB ⊥平面，故BC AE ⊥，从而AE PBC ⊥平面，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离.在Rt PAB ∆中，6PA AB ==，所以2211322AE PB PA AB ==+=AD 与平面PBC 的距离是3.（2）过点D 作DF CE ⊥，交CE 于F ，过点F 作FG CE ⊥，交AC 于点G ，则DFG ∠为所求二面角的平面角.因为BC PAB ⊥平面，又AD ∥BC ，得AD PAB ⊥平面，故AD AE ⊥，从而226DE AE AD =+=在Rt CBE ∆中，226CE BE BC =+，又因为6CD =所以CDE∆为等边三角形，故F 为CE 的中点，且32sin32DF CD π==.因为AE PBC ⊥平面，故AE CE ⊥，又FG CE ⊥，知12FG AE=且FG ∥AE ，从而3FG =，且G 点为AC 的中点.连结DG ，则在Rt ADC ∆中，22113222DG AC AD CD ==+=.所以2226cos 2DF FG DG DFG DF FG +-∠==⋅⋅.方法二：（I ）如图2，以A 为坐标原点，射线,,AB AD AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系A xyz -.设(0,,0)D a ，则6,0,0)B ，)6,,0Ca ，66(0,06),P E ,因此66(,0,),(0,,0)AE BC a ==,(6,,6)PC a =，则0,0AE BC AE PC ⋅=⋅=，所以AE PBC ⊥平面，又因为AD ∥BC ，所以AD∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为3AE =（2）因为AD3AD =，则3,0),(6,3,0)D C ，设平面AEC 的法向量为1111(,,)n x y z =，则110,0n AC n AE ⋅=⋅=，又66(6,3,0),(,0,AC AE ==，所以1111630660x x z +=+=，所以11112,y x z x =-=-，取12x =-，则1(2,2,n =-2).设平面EDC的法向量2222(,,)n x y z =，则220,0n DC n DE ⋅=⋅=.又66(6,0,0),(,3,)22DC DE ==-，所以22220663022x x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以2220,2x z y ==，取21y =，则2(0,1,2)n =.所以1212126cos ,3n n n n n n ⋅<>==，所以二面角A EC D --的平面角的余弦值为63.【方法技巧】（1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题，并体会法向量在求空间角中的作用.10. （2010·江西高考文科·Ｔ２０）如图，BCD ∆与MCD ∆ 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，23AB =. （1）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小； （2）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值.【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系，考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题，考查空间向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、化归转化能力和运算求解能力。