高考数学建模及应用复习
如何备考高考数学建模
如何备考高考数学建模高考数学建模是高中生所面临的一项重要考试，对于大多数学生来说，备考数学建模可能是一件相对较为困难的事情。
然而，只要我们采用科学、合理的备考方法，就能够更好地应对数学建模考试。
下面将介绍一些备考数学建模的有效方法。
一、了解考试要求首先，我们需要仔细研读数学建模考试的考试要求和评分标准。
了解考试要求有助于我们明确备考的重点和方向。
数学建模的考试内容常常与实际问题有关，需要我们运用数学知识解决实际问题。
因此，我们还需要熟悉一些基本的数学知识和常见的数学模型。
二、掌握基本知识备考数学建模的第二步就是掌握基本数学知识。
数学建模考试中常用的数学知识主要包括数学分析、线性代数、概率统计等。
我们可以通过查阅相关教材和参加培训班来学习这些知识。
另外，我们还可以通过参加一些数学建模竞赛来提高自己的数学建模技巧。
三、练习实战题备考数学建模的关键在于实战演练。
通过大量的实战演练，我们可以提高解题速度和解题能力。
我们可以从过去的高考数学建模试题中选择一些典型题目进行训练。
同时，我们也可以参加一些模拟考试，提前体验真实的考试环境，适应考试规则。
四、加强团队合作数学建模考试通常是以小组合作的形式进行，因此，我们需要培养团队合作的能力。
与同学们一起组队并解决一些实际问题，可以提高我们的团队协作能力和解决问题的能力。
此外，团队合作还可以使我们相互之间相互学习和共同进步。
五、培养创新思维数学建模考试重视对问题的创新解决方案。
因此，我们需要培养创新思维。
我们可以学习一些创新的方法和思维模式，学会从不同角度来思考和解决问题。
同时，我们还可以关注一些科技创新的前沿知识，了解最新的数学建模方法。
六、持之以恒备考数学建模需要持之以恒，不能急于求成。
尽管备考过程可能会遇到一些困难和挫折，但只要我们保持积极的态度，坚持不懈地努力，就一定能够成功。
备考数学建模同样需要合理安排时间，根据自己的实际情况，分配好每天的学习时间，实现有序备考。
专题七 数学建模 2023高考数学二轮复习课件
角度一 指数、对数运算模型
【例1】 某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8 mg/mL，此
时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小
时后他血液中的酒精含量在0.2 mg/mL以下，则n的最小整数值为(参考数
据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
(B )
cos 45°＝22ar＝22ab＝ 22，即ba＝ 22，故离心率 e＝ac＝ 故选 B.
1－ba2＝
1－12＝
2 2.
目录
02
类型2 构造新模型求解
目录
角度一 构造函数模型
【例4】 f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f′(x)，xf′(x)＞2f(x)，则下列不等式成
立的是
(A)
A．2 0212f(2 022)＞2 0222f(2 021)
以下，所以 n 的最小值为 7，故选 B.
目录
|技法点拨| 先计算出100 mL血液中酒精含量，再构建指数型函数模型，根据 n小时后血液中酒精含量列出不等式即可求解．
目录
在流行病学中，基本传染数是指每个感染者平均可传染的人数．当基本传染
数高于 1 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病
B．2 0212f(2 022)＜2 0222f(2 021)
C．2 021f(2 022)＞2 022f(2 021)
D．2 021f(2 022)＜2 022f(2 021)
目录
解析
令
g(x)
＝
f（x） x2
(x>0)
，
则
g′(x)
＝
x2f′（x）－2xf（x） x4
＝
高考数学建模技巧有哪些应用
高考数学建模技巧有哪些应用在高考数学中，建模技巧是一项非常重要的能力。
它不仅能够帮助我们更好地理解和解决实际问题，还能培养我们的逻辑思维和创新能力。
那么，高考数学建模技巧究竟有哪些应用呢？首先，建模技巧在函数问题中的应用十分广泛。
函数是高中数学的核心内容之一，许多实际问题都可以通过建立函数模型来解决。
比如，在经济领域中，成本、利润和销量之间的关系往往可以用函数来表示。
我们可以通过建立成本函数、收入函数和利润函数，来分析企业的生产经营状况，从而做出最优决策。
例如，某工厂生产某种产品，其成本函数为 C(x) ＝ 2x^2 ＋ 10x ＋50（其中 x 表示产量），收入函数为 R(x) ＝ 30x。
那么，利润函数 L(x) ＝ R(x) C(x) ＝ 30x （2x^2 ＋ 10x ＋ 50) ＝－2x^2 ＋ 20x 50。
通过对这个利润函数进行分析，我们可以求出当产量为多少时，利润最大。
这就需要运用到函数的单调性、极值等知识，以及建模的思想，将实际问题转化为数学问题。
其次，在几何问题中，建模技巧也能发挥重要作用。
比如，在测量建筑物的高度、河流的宽度等问题时，我们可以通过建立相似三角形的模型来求解。
假设要测量一座塔的高度，我们可以在塔旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子和塔的影子长度。
由于太阳光线是平行的，所以杆子和塔与其影子构成的两个三角形是相似的。
设杆子的高度为h1，影子长度为 l1，塔的高度为 h2，影子长度为 l2，根据相似三角形的性质，我们可以得到 h1 ／ l1 ＝ h2 ／ l2，从而求出塔的高度 h2 ＝ h1 ×l2 ／ l1。
再者，建模技巧在概率统计问题中的应用也不容忽视。
例如，在调查某种产品的合格率、某种疾病的发病率等问题时，我们可以通过抽样调查建立概率模型来估计总体的情况。
假设要调查一批灯泡的合格率，我们从这批灯泡中随机抽取一定数量的灯泡进行检测，记录合格灯泡的数量。
版高考数学一轮总复习数学建模与实际应用的综合案例解析与思考
版高考数学一轮总复习数学建模与实际应用的综合案例解析与思考版本高考数学一轮总复习数学建模与实际应用的综合案例解析与思考[引言]在高考数学一轮总复习中，数学建模与实际应用作为一个重要的考点，对学生的数学能力进行全面考察。
本文将通过分析综合案例，探讨数学建模与实际应用的相关问题并进行思考，以期能够帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
[正文]一、案例背景介绍本案例涉及的是一个关于电力发电厂的问题。
某发电厂用汽轮机发电，其电功率与发电机的转速和效率有关。
而转速的控制与调节是通过调节阀门的孔径来实现的。
我们将在此基础上进行数学建模与实际应用的综合分析。
二、问题分析1. 问题一：某一时刻的转速与车内的电功率之间的关系如何表示？在汽轮机中，转速与电功率之间存在着一定的关系。
我们可以通过观察和实验数据的整理，得出转速与电功率之间的数学表达式，比如一个线性关系或者一个非线性关系。
2. 问题二：如何通过调节阀门的孔径来实现转速的控制与调节？在实际应用中，调节阀门的孔径可以通过电子系统来实现，该系统将实时监测转速，并根据设定的转速范围来调节阀门的孔径。
通过不断的调整，使得转速稳定在期望的范围内。
3. 问题三：如何确定合适的转速范围以及效率的最大值？转速范围的确定需要考虑到发电机的结构和性能，以及安全性和运行效率等因素。
通过对转速范围和效率的建模和实际测试，可以找到最佳的转速范围和效率最大值。
三、建模与实际应用1. 建立转速与电功率之间的关系模型通过收集一定的实验数据，利用回归分析等方法，我们可以建立转速与电功率之间的关系模型。
以直线函数为例，模型可以表示为：y = kx + b，其中y代表电功率，x代表转速，k和b为模型参数。
2. 优化调节阀门的孔径在实际应用中，为了实现转速的控制与调节，我们需要设计一个控制系统来监测转速，并根据设定的转速范围来控制阀门的孔径。
可以采用PID控制器等方法，通过调整控制器的参数来达到稳定转速的目的。
高考数学一轮复习第14讲 数学建模——函数的模型及其应用
第14讲数学建模——函数的模型及其应用激活思维1.某沙漠地区的某天某时段气温(单位：℃)与时间(单位：h)的函数关系是f(t)＝－t2＋24t －101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大温差是( )A. 54 ℃B. 58 ℃C. 64 ℃D. 68 ℃2.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A. 3B. 4C. 6D. 123. 将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝a e nt.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有a4 L，则m的值为( )A. 5B. 8C. 9D. 104.某人2017年7月1日到银行存入一年期款a元，若年利率为x，按复利计算，到2020年7月1日可取回款( )A. a(1＋x)3元B. a(1＋x)4元C. a＋a(1＋x)3元D. a(1＋x3)元5. 在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据如下表：则对x，yA. y＝2xB. y＝x2－1C. y＝2x－2D. y＝log2x知识聚焦1. 数学模型及数学建模数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学的角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．2. 解函数应用题时，要注意四个步骤：第一步：阅读理解；第二步：引入数学符号，建立数学模型；第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果；第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．以上过程用框图表示如下：3. 指数、对数、幂函数模型性质比较分类解析目标1 利用函数的图表刻画实际问题(例1)2018年翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，如图反映了在空中高速飞行的某翼人从某时刻开始15min内的速度v(x)与时间x的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象是( )A BC D物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )目标2 已知函数模型求解实际问题(1) 研究发现，当对某学科知识的学习次数x不超过6次时，对该学科的掌握程度f(x)＝0.1＋15lnaa－x.根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，其掌握程度是85%，则该学科是(参考数据：e0.05≈1.05，e0.85≈2.34)( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 三者均可能(2) (2021·青岛调研)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(单位：万件)与广告费x(单位：万元)之间的函数关系为y＝1＋3x x＋2(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(单位：元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A. 30.5万元B. 31.5万元C. 32.5万元D. 33.5万元天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1)，其中星等为m i的星的亮度为E i(i＝1,2)．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)( )A. 1.24B. 1.25C. 1.26D. 1.27目标3 构造函数模型求解实际问题响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，当年产量不足8万件时，W(x)＝1 3x2＋2x，当年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋100 x－37.每件产品售价6元，通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？(2020·西安模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(单位：元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )A. y＝(x－50)2＋500B. y＝10x25＋500C. y＝11 000(x－50)3＋625D. y＝50[10＋lg(2x＋1)]课堂评价1.如图给出了某种豆类生长枝数y(单位：枝)与时间t(单位：月)的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是( )(第1题)A. y＝2t2(t＞0)B. y＝log2t(t＞0)C. y＝t3(t＞0)D. y＝2t(t＞0)2.李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋9 00x－16 000，L2＝300x－2 000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( )A. 11 000元B. 22 000元C. 33 000元D. 40 000元3.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q 10(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1) 求出a，b的值；(2) 若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？。
2024版高考数学总复习：函数模型及其应用教师用书
第九节函数模型及其应用考试要求：1．在实际情景中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．2．结合现实情景中的具体问题，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．一、教材概念·结论·性质重现1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)．(2)反比例函数模型：f (x )＝��(k 为常数，k ≠0)．(3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)．(4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(5)指数型函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)．(6)对数型函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)．(7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)．(8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋��01．不要忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果的合理性．函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化各有不同值的比较存在一个x 0，当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)幂函数增长比直线增长更快．(×)(2)不存在x0，使��0<�0�<log a x0.(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．(√) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×) 2．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝0.001e x B．y＝1000ln xC．y＝x1000D．y＝1000·2xA解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，排除B，C；指数函数中，底数越大，函数增长速度越快．故选A.3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)B解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B. 4．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.99 2.01 3.98y－0.990.010.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2xD解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.5．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_________．3解析：设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形的面积为y，则y＝x·24−4�＝2x(6－x)＝－2(x－3)22＋18，∴当x＝3时，y最大．考点1利用函数的图象刻画实际问题——基础性1．如图，一个高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()B解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；开始时，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B.故选B. 2．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()B解析：由函数图象可判断出该容器的形状不规则，又函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故选B.3．(多选题)(2022·北京东城区模拟)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确的是()A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本BC 解析：由题图(1)可设y 关于x 的函数为y ＝kx ＋b ，k ＞0，b ＜0，k 为票价，当k ＝0时，y ＝b ，则－b 为固定成本．由题图(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则－b 变小，固定成本减小，故A 错误，B 正确；由题图(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，即k 变大，票价提高，b 不变，即－b 不变，固定成本不变，故C 正确，D 错误．4．某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (单位：千克)随时间x (单位：天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．1909解析：前10天满足一次函数关系．设为y ＝kx ＋b .将点(1，10)和点(10，30)的坐标代入函数解析式得10=�+�，30=10�+�，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709.当x ＝6时，y ＝1909.1．解决这类问题一般要根据题意构建函数模型，先建立函数模型，再结合模型选图象，并结合五个幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第3题，根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证答案是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点2已知函数模型解决实际问题——综合性汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度．设d 表示停车距离，d 1表示反应距离，d 2表示制动距离，则d ＝d 1＋d 2.如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图．序号速度(km/h)停车距离14017.025026.536035.747046.058052.769070.7710085.48110101.0由图中数据得到如表的表格，根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择模型①：d ＝av ＋b ；模型②：d ＝av 2＋bv ；模型③：d ＝av ＋��；模型④：d ＝av 2＋��(其中v 为汽车速度，a ，b 为待定系数)进行拟合．如果根据序号3和序号7两组数据分别求出四个函数模型的解析式，并通过计算120km/h 时的停车距离与实验数据比较，则拟合效果最好的函数模型是()A．d ＝av ＋b B．d ＝av 2＋bv C．d ＝av ＋��D．d ＝av 2＋��B 解析：若选择模型①，则60�+�=35.7，100�+�=85.4，解得a ＝1.2425，b ＝－38.85.故d ＝1.2425v －38.85.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为1.2425×120－38.85＝110.25.若选择模型②，则3600�+60�=35.7，10000�+100�=85.4，解得a ＝0.006475，b ＝0.2065.故d ＝0.006475v 2＋0.2065v .当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.006475×1202＋0.2065×120＝118.02.若选择模型③，则60�+�60=35.7，100�+�100=85.4，解得a ＝0.9996875，b ＝－1456.875.故d ＝0.9996875v －1456.875�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.9996875×120－1456.875120＝107.821875.若选择模型④，则3600�+�60=35.7，10000�+�100=85.4，解得a ＝15.9951960，b ＝379.2857143.故d ＝15.9951960v 2＋379.2857143�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为15.9951960×1202＋379.2857143120＝120.675.由实验数据可知当v ＝120时，停车距离为118m．模型②的预测值更接近118m，故模型②拟合效果最好．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．→→→1．某市家庭煤气的使用量x (单位：m 3)和煤气费f (x )(单位：元)满足关系f (x )＝�，0<�≤�，�+��−�，�>�.已知某家庭2021年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费1月份4m 34元2月份25m 314元3月份35m 319元若4月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元A 解析：根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝4，0<�≤5，4−5，�>5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，该企业考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：年份2018201920202021…投资成本x 35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．解：(1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得1=3�+�，2=5�+�，解得�=12，�=−12，所以y ＝12x －12.当x ＝9时，y ＝4，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)，得1=��3，2=��5，解得�=24，�=2，所以y ＝24·(2)x＝2�−32当x ＝9时，y ＝29−32＝8，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)，得1=log �3+�，2=log �5+�，解得�=2，�=−1，所以y ＝log 2(x －1)．当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系．(2)令log 2(x －1)＞6，则x ＞65.因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．考点3构造函数模型解决实际问题——应用性考向1二次函数、分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝50�−115，3≤�≤6，�∈�，−3�2+68�−115，6＜�≤20，�∈�.(2)对于y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，显然当x＝6时，y max＝185.对于y＝－3x2＋68x－115＝－3�−＋8113，6＜x≤20，x∈Z，当x＝11时，y max＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成．如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(1)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年B解析：若2018年是第一年，则第n年科研费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n ×0.05>0.19，n >3.8，n ≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2000万元．故选B.(2)基本再生数R 0与世代间隔T 是流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒感染初始阶段，可以用指数模型I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天B 解析：因为R 0＝3.28，T ＝6，R 0＝1＋rT ，所以r ＝3.28−16＝0.38，所以I (t )＝e rt ＝e 0.38t .设在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e 0.38�＋�1＝2e 0.38t ，所以e 0.38�1＝2，所以0.38t 1＝ln 2，所以t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8(天)．故选B.(1)要先学会合理选择模型．与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．1．某位股民买入某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．无法判断盈亏情况C．没有盈利也没有亏损D．略有亏损D解析：设买入股票时的价格为m (m >0)元．先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m ×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m <m ，所以该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损．故选D.2．某汽车销售公司在A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元C解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－110·�−＋110×2124＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．3．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e-8b＝12a.故e-8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e-8b)3＝e-24b，则t＝24，所以再经过16min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．课时质量评价(十四)A组全考点巩固练1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x(分钟)的函数图象为()D解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，排除B.故选D.2．气象学院用32万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用，第n天的维修保养费为4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止，则一共要使用()A．300天B．400天C．600天D．800天B 解析：使用n 天的平均耗资为3202�+2�+48元，当且仅当320000�＝2n 时取得最小值，此时n ＝400.3．(2023·济南月考)某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)，河水污染质量指数m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝��+�0−e −���(m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)()A．1个月B．3个月C．半年D．1年C 解析：由题意可知，m (t )＝�0e−180�＝0.1m 0，则e −180�＝0.1，即－180t ＝ln 0.1≈－2.30，所以t ≈184，则要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是184天，即半年．故选C.4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元D解析：设毛利润为L (p )元，则由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p－20)＝－p 3－150p 2＋11700p －166000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0，30)时，L ′(p )>0；当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0.故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23000.5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)8解析：设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%×1−≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.6．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x ，在理想情况下，对折次数n 有下列关系：n ≤23·log 2��(注：lg 2≈0.3)．根据以上信息，一张长为21cm，厚度为0.05mm 的纸最多能对折________次．8解析：由题知n ≤23log 24200＝23log 24+log 21000+log ＝232+3log 210+log 2因为log 210＝1lg 2≈10.3，0<log 22120<1，所以n ≤8＋23log 22120，n 的最大值为8.B 组新高考培优练7．(2022·聊城一模)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm 3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%.当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm 3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为()(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)A．5B．7C．8D．9C 解析：设该污染物排放前过滤的次数为n (n ∈N *)，由题意1.2×0.8n≥6，两边取以10为底的对数可得lg≥lg 6，即n lg2＋lg 3，所以n ≥lg 2+lg 31−3lg 2.因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，所以lg 2+lg 31−3lg 2≈0.3+0.4771−3×0.3＝7.77，所以n ≥7.77，又n ∈N *，所以n min ＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．故选C.8．(多选题)(2022·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们行走的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，则下列结论正确的是()A．当x >1时，甲走在最前面B．当x >1时，乙走在最前面C．当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲CD 解析：甲、乙、丙、丁的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以A 不正确；当x ＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，所以B 不正确．根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，所以C 正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D 正确．9．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，有多部数学著作，其中《益古演段》主要研究平面图形问题，求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是________步、________步(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)．2060解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．10．(2023·泰安模拟)某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y (单位：微克)随着时间x (单位：时)变化的函数关系式近似为y＝≤�≤6，12−�6＜�≤12．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？解：(1)设服用1粒，经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克，可得0≤�≤6，2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.所以163小时后该药能起到有效抗病毒的效果．(2)设经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克．若0≤x ≤6，药物浓度2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.若6＜x ≤12，药物浓度(12－x �−6x 2－20x ＋100≥0，所以6＜x ≤12；若12＜x ≤18，药物浓度12－(x －6)≥4，解得x ≤14，所以12＜x ≤14.综上，x 14，所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为263小时．。
版高考数学一轮总复习数学建模技巧详解
版高考数学一轮总复习数学建模技巧详解高考数学一轮总复习数学建模技巧详解数学建模是高考数学中的一个重要内容，也是学生们较为薄弱的部分。
本文将细致详解一些数学建模的技巧，以帮助同学们更好地应对高考。
一、问题分析和建模思路在开始解决一个数学建模问题之前，首先需要对问题进行透彻的分析，明确问题的要求和限制条件。
然后，根据问题的特点选择合适的数学模型，并确定模型的主要变量、参数和约束条件。
同时，合理假设和简化问题，以便更好地建立模型和求解。
二、合理运用数学原理和方法高考数学建模涉及到多种数学知识，包括函数、微积分、概率论、线性代数等。
在解决问题时，要善于运用这些数学原理和方法，例如巧用极限、导数和积分等概念，在模型的建立和求解过程中起到关键性作用。
另外，多利用图表、公式以及数学工具软件进行计算和验证，确保解题的准确性和可靠性。
三、灵活应用模型和算法对于不同类型的数学建模问题，需要选择合适的数学模型和求解算法。
常用的数学模型包括线性规划模型、非线性规划模型、随机模型等，对于一个具体问题，需要根据问题的特点和要求进行选择。
另外，对于复杂的问题，可以采用分步骤、逐步逼近的方法来求解，以提高解决问题的效率。
四、充分利用实际数据和背景知识数学建模是建立在实际问题基础上的，因此在解决问题时要充分利用已经收集到的数据和相关的背景知识。
通过对数据的分析和处理，可以更好地建立数学模型和求解问题。
同时，对于问题中涉及到的相关领域的知识，应该有一定的了解和掌握，以便更好地理解问题并进行模型的建立。
五、合理组织解题过程和结果展示在解决数学建模问题的过程中，要合理组织解题的思路和步骤，保持逻辑清晰和连贯。
解题过程中的每一步骤都需要有明确的目的和意义，不能盲目操作。
解题的结果展示可以通过文字、图表等方式进行，要有条理和清晰，使读者能够明确地了解到解题的过程和结果。
总结：通过合理运用数学原理和方法、灵活应用模型和算法、充分利用实际数据和背景知识、问题的分析与建模思路以及合理组织解题过程和结果展示，可以更好地解决高考数学建模问题。
2023高中数学数学建模与应用复习 题集附答案
2023高中数学数学建模与应用复习题集附答案2023高中数学数学建模与应用复习题集附答案本文为高中数学数学建模与应用复习题集，涵盖了相关题目及其解答。
以下是题目与解答的具体内容：一、单选题1. 已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2+3x+2$，则$f(-3)=$A. 4B. 5C. 6D. 7解答：将$x=-3$代入函数$f(x)$，得到：$$f(-3)=\frac{1}{2}(-3)^2+3(-3)+2=7$$因此，答案为D. 7。
2. 设数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-3n+5$，则$a_5=$A. 11B. 14D. 25解答：将$n=5$代入数列通项公式，得到：$$a_5=5^2-3\times5+5=11$$因此，答案为A. 11。
二、多选题1. 函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，则必定在该区间上必存在一点$c$，使得$f(c)$等于下列哪些值？A. $f(a)$B. $f(b)$C. $\frac{f(a)+f(b)}{2}$D. $f(\frac{a+b}{2})$解答：根据连续函数的性质，若函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，则必定在该区间上存在介于最大值和最小值之间的所有值。
因此，答案为A、B、C、D。
2. 以下哪些数对应的立方根是有理数？A. 2C. 8D. 27解答：立方根是有理数的条件是原数是一个整数的立方。
根据选项，只有8是另一个整数的立方，因此答案为C. 8。
三、填空题1. 若正方形的面积为16平方米，则它的边长是\_\_\_米。
解答：设该正方形的边长为$x$，根据题意可得：$$x^2=16$$解得$x=4$，因此答案为4米。
2. 已知函数$f(x)$的定义域为$[-1, 1]$，则$f(-1)=$\_\_\_。
解答：将$x=-1$代入函数$f(x)$，得到：$$f(-1)=-1$$因此，答案为-1。
四、解答题1. 某校有男生和女生各500人，其中30%的男生和20%的女生是学习数学建模的，那么同时学习数学建模的学生有多少人？解答：男生学习数学建模的人数为$0.3\times500=150$人，女生学习数学建模的人数为$0.2\times500=100$人，因此，同时学习数学建模的学生共有150+100=250人。
数学建模基础与应用 2024高考数学
数学建模基础与应用 2024高考数学数学建模是一门综合性学科，通过将数学方法和技术应用于实际问题的建模过程，从而解决或理解这些问题。
在2024年的高考数学中, 数学建模已成为一个重要的考点。
本文将介绍数学建模的基础知识和实际应用，帮助考生提高数学建模能力，为高考做好准备。
一、数学建模基础知识1.1 数学建模的定义数学建模是指将实际问题转化为数学问题，通过数学分析和求解，得到对问题的理解、描述和解决方案的过程。
数学建模需要有良好的数学基础，包括代数、几何、概率与统计等知识。
同时，还需要具备一定的实际问题分析和抽象能力。
1.2 数学模型的构建过程数学模型的构建过程包括问题的分析、建立数学模型、模型求解和结果的验证等几个步骤。
具体而言，问题的分析包括对问题的背景和要求进行理解和梳理；建立数学模型是将实际问题转化为数学问题，并提出假设和约束条件；模型求解是根据所建立的数学模型进行计算和求解；结果的验证是将求得的解通过实际情况进行检验和验证。
1.3 常用的数学建模方法数学建模有多种方法和技巧，常用的包括数理统计、微积分、最优化、概率论等。
在不同的问题情境下，适用的方法和技巧也有所不同。
因此，学生需要根据问题的性质和要求选择合适的数学方法和技巧。
二、数学建模的应用2.1 物理建模物理建模是数学建模的一个重要领域。
物理建模的研究对象包括各种物理现象和工程问题，如天体力学、流体力学、热传导等。
通过建立数学模型，可以对物理问题进行描述和求解，并为工程设计和科学研究提供理论依据。
2.2 经济建模经济建模是将数学方法应用于经济学领域的建模过程。
经济建模研究的问题包括市场分析、货币政策、经济增长等。
通过建立数学模型，可以对经济问题进行预测和分析，为决策提供参考和支持。
2.3 生物建模生物建模是在生物学领域应用数学方法进行建模的过程。
生物建模的研究内容包括生物进化、生物群体行为、生物传播等。
通过建立数学模型，可以对生物系统进行分析和研究，并为生物学研究提供新的思路和方法。
高考数学一轮复习练习 数学建模——函数模型及其应用
数学建模——函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台3.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=1t2米,那么,此人()2A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了(1.2x)%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.186.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质,至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)含量减少137.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=a e-bt cm3,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12).不考虑树的粗细,现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图像大致是()10.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年11.如图,直角边长为2 cm的等腰直角三角形ABC,以2 cm/s 的速度沿直线l向右运动,则该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(单位:cm2)与时间t(单位:s)的函数关系(设0≤t≤3)为,y的最大值为.12.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.创新应用组13.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg I给出,其中I为声强(单位:W/m2).10-12(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m 2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?参考答案课时规范练13 数学建模——函数模型及其应用1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1 L 汽油的行驶路程可大于5 km,所以选项A 错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少,所以选项B 错误;甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,故行驶1小时的路程为80 km,消耗8 L 汽油,所以选项C 错误;当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项D 正确.2.C 设利润为f (x )万元,则f (x )=25x-(3 000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3 000(0<x<240,x ∈N *).令f (x )≥0,得x ≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C .3.B 由题意,设利润为y 元,租金定为(3 000+50x )元(0≤x ≤70,x ∈N ),则y=(3 000+50x )(70-x )-100(70-x )=(2 900+50x )(70-x )=50(58+x )(70-x )≤5058+x+70-x 22=204 800,当且仅当58+x=70-x ,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B .4.D 已知s=12t 2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t 2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时,d 取得最小值7.所以不能追上汽车,但期间最近距离为7米,故选D .5.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t 万元,分流x 人后,每年创造的产值为(100-x )[1+(1.2x )%]t ,则{0<x <100,x ∈N *,(100-x )[1+(1.2x )%]t ≥100t , 解得0<x ≤503.因为x ∈N *,所以x 的最大值为16,故选B . 6.8 设至少过滤n 次才能达到市场要求,则2%1-13n ≤0.1%,即23n ≤120, 所以n lg 23≤-1-lg 2,解得n ≥7.39,所以n=8.7.16 当t=0时,y=a ,当t=8时,y=a e -8b =12a ,所以e -8b =12,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=a e -bt =18a ,e -bt =18=(e -8b )3=e -24b ,则t=24,所以再经过24-8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.解 (1)根据所给的曲线,可设y={kt ,0≤t ≤1,(12) t -a ,t >1.当t=1时,由y=4,得k=4,由121-a =4,得a=3.则y={4t ,0≤t ≤1,(12) t -3,t >1.(2)由y ≥0.25,得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12) t -3≥0.25,解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-116=7916(h).9.B 设AD 的长为x m,则CD 的长为(16-x ) m,则矩形ABCD 的面积为x (16-x ) m 2.因为要将点P 围在矩形ABCD 内,所以a ≤x ≤12.当0<a ≤8时,当且仅当x=8时,u=64;当8<a<12时,u=a (16-a ).画出函数图像可得其形状与B 选项接近,故选B .10.C 若2019年是第1年,则第n 年全年投入的科研经费为1 300×1.12n 万元,由1 300×1.12n >2 000,可得lg 1.3+n lg 1.12>lg 2,所以n ×0.05>0.19,得n>3.8,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C .11.y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,2-12(2t -4)2,2<t ≤32 如题图,当0≤t<1时,重叠部分面积y=12×2t ×2t=2t 2;当1≤t ≤2时,重叠部分为直角三角形ABC ,重叠部分面积y=12×2×2=2(cm 2); 当2<t ≤3时,重叠部分为梯形,重叠部分面积y=S △ABC -12(2t-4)2=2-12(2t-4)2=-2t 2+8t-6. 综上,y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,-2t 2+8t -6,2<t ≤3,故可得y 的最大值为2.12.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )=x (x-q )2+p.(2)对于f (x )=x (x-q )2+p ,由f (0)=4,f (2)=6,可得p=4,(2-q )2=1,又q>1,所以q=3,所以f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5).(3)因为f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5),所以f'(x )=3x 2-12x+9, 令f'(x )<0,得1<x<3.所以函数f (x )在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月,10月两个月内价格下跌. 13.解 (1)当声强为10-6 W/m 2时,由公式Y=10lgI 10-12,得Y=10lg 10-610-12=10lg 106=60(分贝).(2)当Y=0时,由公式Y=10lg I 10-12,得10lgI 10-12=0.所以I10-12=1,即I=10-12 W/m 2,则最低声强为10-12 W/m 2.(3)当声强为5×10-7 W/m 2时,声强级为Y=10lg 5×10-710-12=10lg(5×105)=50+10lg 5(分贝),因为50+10lg 5>50,故这两位同学会影响其他同学休息.。
高中数学的归纳数学建模与应用总结
高中数学的归纳数学建模与应用总结数学作为一门科学学科，在高中阶段占据着重要的地位。
而归纳数学建模与应用则是高中数学领域中的一项重要内容。
本文将对高中数学的归纳数学建模与应用进行总结与分析。
一、归纳数学的基本概念归纳数学是指通过观察和抽象出来的数学模型，对数学问题进行分析与求解的一种方法。
它是通过数学规律的总结与归纳，寻找问题的共性和规律性，从而解决具体问题的方法。
二、归纳数学的步骤与方法1. 确立问题：首先要明确问题的具体内容和要求，确保理解准确。
2. 观察现象：仔细观察现象，提取相关的数据和信息，为建模提供基础。
3. 建立数学模型：根据观察到的现象和数据，进行抽象与归纳，建立数学模型。
4. 求解问题：利用建立的数学模型，进行推理和计算，得出问题的解答。
5. 分析与验证：对求解结果进行分析和验证，确保解答的正确性和合理性。
三、归纳数学在高中数学中的应用1. 几何问题的解决：归纳数学可以帮助解决几何问题中的推理和证明，如相似三角形的性质、平行线与角的关系等。
2. 等差数列与等比数列的应用：归纳数学可以帮助解决等差数列与等比数列的问题，如求和公式、通项公式等。
3. 概率问题的分析：归纳数学可以帮助分析概率问题，如排列组合、条件概率等。
4. 函数与方程的研究：归纳数学可以帮助研究函数与方程的性质与应用，如一次函数、二次函数的图像与变化规律等。
5. 数据统计分析：归纳数学可以帮助对数据进行整理和分析，如求均值、方差、标准差等。
四、归纳数学在实际生活中的意义1. 能力培养：归纳数学可以培养学生的观察力、抽象思维和逻辑思维能力，提高解决实际问题的能力。
2. 应用实践：归纳数学可以帮助学生将所学的数学知识应用到实际情境中，从而更好地理解和掌握数学的实际应用。
3. 基础搭建：归纳数学为学生未来深入学习工程数学、应用数学以及相关学科打下坚实的基础。
4. 锻炼思维：归纳数学让学生在解决问题的过程中锻炼思维能力，提高逻辑思考和问题解决的能力。
高考数学数学建模知识点梳理
高考数学数学建模知识点梳理在高考数学中，数学建模是一个重要的考点，它要求考生能够运用数学知识解决实际问题。
为了帮助考生更好地复习和准备高考数学数学建模，本文将对数学建模中的一些重要知识点进行梳理。
一、建模过程在进行数学建模时，我们需要遵循一定的建模过程，主要包括以下几个步骤：1.问题的理解与分析：仔细阅读问题，明确问题的目标和约束条件。
2.建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择恰当的数学方法建立数学模型。
3.模型求解：运用数学方法解决所建立的数学模型，得到问题的解答。
4.模型检验与分析：对模型的解答进行检验，分析解答的合理性和可行性。
5.模型评价与改进：对模型的优缺点进行评价，进一步改进和优化模型。
二、数学建模中的数学知识点数学建模中所涉及的数学知识点较为广泛，包括但不限于以下几类：1.函数与方程：- 一元函数与方程：常见的一元函数类型、一元方程的求解方法。
- 多元函数与方程：常见的多元函数类型、多元方程的求解方法。
2.微积分：- 极限与连续：函数极限的定义与性质、连续函数的性质与判定。
- 导数与微分：函数导数的计算、微分的定义与应用。
- 积分与定积分：不定积分的计算、定积分的应用。
3.概率与统计：- 事件与概率：事件的定义与性质、概率的计算方法。
- 随机变量与概率分布：常见的离散型与连续型随机变量、概率分布的计算与应用。
- 统计与抽样：样本的收集与处理、统计指标的计算与分析。
4.线性代数：- 向量与线性方程组：向量的基本性质与运算、线性方程组的求解方法。
- 矩阵与行列式：矩阵的运算与性质、行列式的计算与应用。
5.图论与最优化：- 图的基本概念：图的表示方法、连通性与路径问题。
- 最优化问题：目标函数与约束条件、线性规划与整数规划问题。
三、数学建模实例为了进一步说明数学建模的应用，我们将给出一个具体的数学建模实例。
实例：某城市每天的交通拥堵情况会影响到学生的作息时间和学习效果，为了解决这个问题，需要设计一个优化模型来安排学生的作息时间，使得学生在交通拥堵最小时上学，同时又保证有足够的睡眠时间。
第14讲数学建模函数的模型及其应用2023高三数学一轮复习提高版课件共32张PPT
是均匀的，故为一次函数模型．
目标 2 已知函数模型求解实际问题
已知某物体的温度 θ(单位：℃)随时间 t(单位：min)的变化规律为 θ＝m·2t＋
21－t(t≥0，且 m>0)．
(1) 如果 m＝2，求经过多长时间，物体的温度为 5 ℃； 【解答】 若 m＝2，则 θ＝2·2t＋21－t＝22t＋21t， 当 θ＝5 时，2t＋21t＝52， 令 2t＝x≥1，则 x＋1x＝52， 即 2x2－5x＋2＝0，解得 x＝2 或 x＝12(舍去)，此时 t＝1. 所以经过 1 min，物体的温度为 5 ℃.
时，P(x)max＝P(300)＝25 000.
当 x＞400 时，函数 P(x)＝60 000－100x 是减函数，没有最大值，且 p(x)<20 000.
综上，总利润最大时，该网店经营的天数为 300.
实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系 式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下 两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的 最大(或最小)值．
一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相
等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要
保留原面积的14.已知到
2019
年为止，森林剩余面积为原来的
2 2.
(1) 求每年砍伐面积的百分比； 【解答】 设每年砍伐面积的百分比为 x(0＜x＜1)，则 a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝
(2) 若物体的温度总不低于 2 ℃，求 m 的取值范围．
【解答】 物体的温度总不低于 2 ℃，即 θ≥2 恒成立，
高中数学知识点总结数学建模与实际应用
高中数学知识点总结数学建模与实际应用高中数学知识点总结：数学建模与实际应用在高中数学的学习过程中，数学建模与实际应用是一个重要的方向。
通过将数学理论与实际问题相结合，学生既可以更好地理解数学知识，又可以培养解决实际问题的能力。
本文将对高中数学中与数学建模与实际应用相关的知识点进行总结。
一、函数与图像的关系函数是数学建模中常用的工具，它可以描述输入与输出之间的关系。
函数可以用图像的方式表示，通过图像可以更直观地理解函数的性质和变化规律。
在数学建模中，我们常常需要根据实际问题中的数据建立函数模型，并通过图像来分析和解释模型的意义。
二、微积分在数学建模中的应用微积分是数学建模的重要工具，它可以描述变化率和累积效应。
在实际问题中，往往存在着变化的过程，需要通过微积分来描述和解决。
比如，利用微积分可以求解曲线的斜率，解决最优化问题等。
在数学建模中，我们需要掌握微积分的基本概念和理论，并能够将其应用到实际问题中。
三、概率与统计在数学建模中的应用概率与统计也是数学建模的重要内容。
通过概率与统计的方法，我们可以对随机事件进行描述和分析，从而得到一定的结论和预测。
在实际问题中，往往需要通过抽样调查和数据分析来获取相关的数据，并利用概率与统计的理论进行建模和预测。
因此，学生需要掌握概率与统计的基本概念和方法，并能够应用到具体的问题中。
四、线性方程组与矩阵运算线性方程组与矩阵运算也是数学建模的常用工具。
通过线性方程组和矩阵的运算，我们可以描述多个变量之间的关系，并通过解方程组来求解未知量。
在实际问题中，往往需要建立多个变量之间的数学模型，并通过线性方程组和矩阵的运算来求解模型中的未知量。
因此，学生需要掌握线性方程组和矩阵运算的基本方法，并能够将其应用到具体的问题中。
五、几何与空间的应用几何与空间也是数学建模中重要的内容之一。
通过几何与空间的方法，我们可以描述和分析物体的形状、大小和位置等。
在实际问题中，往往需要通过几何与空间的方法来建立模型并解决问题。
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4. 某 水 库 年 初 有 水 量 a(a≥10000) ， 其 中 含 污 染 物 P0(设水与污染物能很好地混合)，当年的降水量 与 月 份 x 的 关 系 是 f(x)=20-|x-7|(1≤x≤12 ， x∈N) ， 而每月流入水库的污水与蒸发的水量都为r，且污 水含污染物P(P＜r)，设当年水库中的水不作它用 (1)求第x月份水库的含污比g(x)的表达式(含污比= 污染物/总库容)； (2)当P0=0时，求水质最差的月份及此月的含污，到2000年底全县的 绿化率只有30%，其余为沙漠化土地，从2001年 开始，计划每年把原有沙漠面积的16%栽树改造 为绿洲，而同时，原有绿洲面积的4%，又被侵蚀， 变成沙漠. (1) 设 该 地 区 的 面 积 为 1,2000 年 底 绿 洲 面 积 为 a1=3/10，经过一年绿洲面积为a2，经过n年绿洲 面积为an+1，求an+1与an关系式； (2)求an的通项公式； (3)问至少需要经过多少年的努力才能使该地区的 绿洲面积超过60%(年数取整数，lg2≈0.3010)
2020/10/9
2020/10/9
3.学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭 烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用 煤烧开水每吨开水费用为S元，用电炉烧开水每吨 开水费用为P元
S=5x+0.2y+5， P=10.2y+20炉时的费用，则仍用原 来的锅炉烧水，否则就用电炉烧水. (1)如果两种方法60元，则用煤烧时每吨 煤的最高价是多少?
专题复习 第8课 建模与应用
2020/10/9
2020/10/9
(2)一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不 少于4.5米时是安全的.如果某船的吃水深度(船底 与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能 够安全进港?若该船欲当天安全离港，它在港内停 留的时间最多不能超过多长时间(忽略离港所用的 时间)?