蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法
目录
Contents
01 蒙特卡罗方法的基础知识 02 随机数和随机抽样 03 蒙特卡罗方法的应用
01
蒙特卡罗方 法的基础知识
蒙特卡罗方法的基础知识
蒙特卡罗（MC）方法又称随机抽样法、随机模拟或 统计试验法。
简单地说，蒙特卡罗方法是一种利用随机统计规律 进行计算和模拟的方法。他可用于数值计算，也可用于数 字仿真。
因此，用蒙特卡罗方法求解问题时，首先要建立一个随机模型，然后 要构造一系列的随机变量用以摸你这个过程，最后做统计性处理。
蒙特卡罗方法的基础知识
随机变量及其分布函数 在一定条件下发生的事件分为必然事件（必然发生）、不可能事件
（恒不发生）和随机事件（可能发生也可能不发生）。事件发生的可能性 大小用概率p表示。必然事件发生的概率为1，不可能事件的概率为0；随机 事件发生的概率为0≤p≤1.由于测量的随机误差和物理现象本身的随机性， 一次测量得到的某个值是随机的。因此，实验观测的物理量实随机变量， 被研究的物理问题是一个随机事件。通常，描写随机事件A发生的概率用 p(A)表示，显然，0≤ p(A) ≤ 1。经常碰到的随机变量有两类：一类是离散型 随机变量，这种随机变量只能取有限个数值，能够一一列举出来：另一类 是连续型随机变量，这种随机变量的可能值是连续的分布在某个区间。
随机数和随机抽样
随机抽样 随机抽样就是产生给定分布的随机变量。随机抽样的方法很多，在计算机上实现
时要考虑运算量的大小，也就是所谓“抽样费用”。因为应用蒙特卡罗方法求解一 个物理问题时，大量的计算时间将用于随机抽样，所以随机抽样方法的选取往往决 定算题的费用。但对不同问题、不同机器和不同的方法也可以有不同的评价。下面 介绍几种常用的随机抽样方法。 1. 连续型分布的抽样方法 ① 直接抽样方法 ② 变换抽样方法 2. 离散型随机变量抽样法
蒙特卡罗方法的基础知识
1. 连续型分布 2. 离散型分布 3. 概率密度分布
a) 均匀密度分布函数 b) 正态分布 c) 指数分布
蒙特卡罗方法的基础知识
蒙特卡罗方法的基础知识
随机数和随机
02
抽样
随机数和随机抽样
用蒙特卡罗方法在计算机上模拟一个随机过程，就是要产 生满足这个随机过程概率分布的随机变量。最简单和最基础的 随机变量就是[0,1]区间上均匀分布的随机变量，这些随机变 量的抽样值成为随机数。所以以后谈到随机数，如果不加特别 说明，就是指[0,1]区间上均匀分布的随机数。其他分布的随 机变量的抽样值可借助均匀分布的随机数得到。
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随机数和随机抽样
蒙特卡罗方法求解物理问题的基本思路和基本步骤 用蒙特卡罗方法可以处理两类问题：一类是随机性问题。例如，中子
在介质内的传播问题和后面要介绍的原子核裂变问题等。对于这一类问题， 通常采用直接模拟方法：首先，必须根据物理问题的规律，建立一个概率 模型（随即向量或随机过程），然后用计算机进行抽样试验，从而得到对 应于这一物理问题的随机变量分布。
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基本概念 为了对MC方法有初步的认识，先介绍应用MC方法的几个例子。 ① 浦丰投针问题 ② 射击问题（打靶游戏） 从上述几个例子可以看到，当所有要求的问题是某种时间出现的概率，
或者是某个随机变量的期望值时，可以通过某种“试验”方法，得到这个 时间出现的频率，或者这个随机变量的平均值，并以此平均值作为问题的 解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
蒙特卡罗方法的计算过程就是用统计方法模拟实际的物理过程，它主 要是在计算机上产生已知分布的随机变量样本，以代替昂贵的甚至难以实 现的实验。蒙特卡罗方法又被看作是用计算机来完成物理实验的一种方法。
随机数和随机抽样
蒙特卡罗方法可以求解的另一类问题就是确定性问题。在 求解确定性问题时，首先要建立一个有关这个确定性问题的概 率统计模型，是所求的解就是这个模型的概率分布或数学期望； 然后对这个模型做随机抽样；最后用其算数平均值作为求解的 近似值。
随机数和随机抽样
随机数和随机抽样
随机性统计校验 一个好的随机数发生器或一个好的随机数生成程序必须满足两个条件：
第一，所生成的随机数序列应当具有足够长的周期：第二，所生成的随机 数序列应当具有真正随机数序列所具有的统计性质。其周期的长短比较容 易测试和判断。通常对统计性质的检验方法是采用频数分布检验：对于一 个均匀分布的随机数发生器，设所产生的随机数序列的值域为[0,1]，则所 产生的随机数字应与0-1均匀的频数分布相一致。