15-3 数学分析全套课件

其中 an , bn 为 f 的傅里叶系数.
lim
n
π π π
f ( x)cos nx dx 0,
lim
n
-π
f ( x)sin nx dx 0,
推论2 若 f 为可积函数,则
源自文库
lim
n
π 0
f
(
x
)sin
n
1 2
xdx
0,
lim
n
π π
f
(
x)sin
n
1 2
xdx
0,
预备定理2 若 f 是以2 π为周期的函数, 且在 [π, π]
f
2( x)dx 2
f ( x)Sm( x)dx
Sm2
(
x
)dx
(2)
f ( x)Sm ( x)dx
2
a02
m n1
(an2
bn2
)
(3)
Sm2
(
x)dx
2
a02
m n1
(an2
bn2
)
回
a02
2
(an2 bn2 )
n1
1 π
π π
f 2( x)dx.
推论1 若 f 为可积函数, 则
上可积, 则它的傅里叶级数的部分和 Sn( x)可写成
1
Sn(x)= π
π
f
(
x
t
)
sin
n
1 2
t
dt
,
π
2sin t
2
定理15.3 若以2π为周期的函数 f 在 [π, π] 上按段
光滑, 则在每一点 x [π, π],
f
(x
0) 2
f
(x
0)
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx),
§3 收敛定理的证明
预备定理1 (贝塞尔(Bessel)不等式) 若函数 f 在
[π, π] 上可积, 则
a02
2
(an2 bn2 )
n1
1 π
π π
f 2( x)dx.
其中 an , bn为 f 的傅里叶系数. 上式称为贝塞尔不等
式.
(1)
(
f (x)
Sm ( x))2 dx