《线性代数》模拟试卷B及答案
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《线性代数》模拟试卷B 及答案
一、选择题（每小题3分，共30分） （1）若A 为4阶矩阵，则3A =（ ）
(A) 4A (B) 43A (C) 34A (D)3A （2）设A ，B 为n 阶方阵，0A ≠且0AB =，则（ ）
(A)0B = (B)0BA = (C)222()A B A B +=+ (D)00A B ==或 （3）A ，B ，C 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ）
(A) AB BA = (B)0,00A B AB ≠≠≠则 (C) AB A B = (D) ,AB AC B C ==若则 （4）222()2A B A AB B +=++成立的充要条件是（ ）
(A)AB BA = (B) A E = (C)B E = (D)A B =
（5）线性方程组(1)22(1)k x y a
x k y b
-+=⎧⎨
+-=⎩有唯一解，则k 为（ ）
(A)任意实数 (B) 不等于等于不等于0
（6）若A 为可逆阵，则1()A *-=（ ）
(A)A A (B)A A * (C)1
A A - (D)1
A A -*
（7）含有4个未知数的齐次方程组0AX =，如果()1R A =，则它的每个基础解系中解向量的个数为（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
（8）设A 为m n ⨯矩阵，齐次方程组0AX =仅有零解的充要条件是A 的（ ）
(A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关 (C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关 （9）已知矩阵A=3111⎛⎫
⎪-⎝⎭
,下列向量是A 的特征向量的是（ ） (A)10⎛⎫
⎪⎝⎭ (B)12⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C)12-⎛⎫
⎪⎝⎭
(D)
11-⎛⎫
⎪⎝⎭
（10）二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型，则λ 的取值范围是（ ）
(A)21λ-<< (B)12λ<< (C)32λ-<<- (D)2λ>
二、计算题（第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分）
1、计算行列式
4x a a a a x a a
D
a a x a
a a a x
=。（5分）
2、设
321
A=315
323
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
，求A的逆-1
A。（5分）
3、求矩阵方程AX B X
+=，其中
01011
111,20
10153
A B
-
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-=
⎪ ⎪
⎪ ⎪
---
⎝⎭⎝⎭
。（10
分）
4、求向量组()1=-1143T α，()2=2-135T α，()3=1078T
α，()4=5-327T
α的秩，并求出它的一个最大无关组。
（10分）
三、证明题（第1小题9分，第2小题6分，共15分）
1、已知向量组123,,ααα线性无关，112123123,,βαβααβααα==+=++，试证向量组123,,βββ线性无关。（9分）
2、设A 、B 分别为m ，n 阶可逆矩阵，证明：
00A H B ⎛⎫=
⎪
⎝⎭可逆，且11
100B H A ---⎛⎫
= ⎪⎝⎭
。（6分）
四、综合题（第1小题15分，第2小题10分，共25分）
1、λ取何值时，非齐次线性方程组1231232
12
31x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩，（1）有唯一解；
（2）无解；（3）有无穷多个解并在有无穷多个解时求其通解。（15分）
2、已知A 为n 阶方阵，且满足2230A A E --= （1）证明：2A E -可逆，并求()1
2A E --。（5分）
（2）若1A =，求46A E +的值。（5分）
《线性代数》模拟试卷四参考答案与评分标准
一、选择题（30分）
每题3分，共10题，共30分
(1) B （2） D （3） C （4）A （5） B (6) C (7) D (8) A (9) D （10）A 二、计算题（30分）
第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分。 1
、
4x a a a a
x a a D a a
x a a a a x =
=00000
x
a a a a x x a a x x a a x
x a
------=
30000000
x a a
a a x a x a x a
+---
=3()(3)x a x a -+
或以其它方式计算视情况酌情给分，结果正确得5分。 2、对(,)A E 作初等行变换，当A 变为E 时，E 则变为1A -,
1723100
321100632(,)315010~010
112(,)32300111001
022A E E A --⎛
⎫ ⎪
⎛⎫
⎪
⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪
⎝
⎭
……4分