完全平方公式讲解
完全平方公式讲解
完全平方式
公式一： (a+b)²=a²+2ab+b²
公式二：(a-b)²=a²-2ab+b²
总结：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
相关介绍：
1. 公式中字母可代表的含义
公式中的a 和b 可代表一个字母，一个数字及单项式．
2. 几何解释
如图：
图中最大正方形的面积可用两种形式表示：
① （a ＋b ）2 或者
② a2＋2ab ＋b2
由于这两个代数式表同一块面积，所以应相等，即（a ＋b ）2＝a2＋2ab ＋b2
3. 注意：
公式右边2ab 的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab 取“＋”，若这两项异号，则2ab 的符号为“－”．公式右边2ab 的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab 取“＋”，若这两项异号，则2ab 的符号为“－”．
4. 举例：
计算：（x ＋2y ）2－（x －2y
）2
解：（x ＋2y ）2－（x －2y
）2
＝（x2＋xy ＋42y ）－（x2－xy ＋42
y ）
＝x2＋xy ＋42y －x2＋xy －42
y
＝2xy。
4.3.2 完全平方公式 北师大版八年级数学下册授课课件
知2－练
2 下列各式能用完全平方公式进行因式分解的 是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
知2－练
3 (中考·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正
确的是( A )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
4 把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( C )
(2)原式＝(a2－2)2－2a2(a2－2)＋(a2)2 ＝(a2－2－a2)2 ＝(－2)2＝4.
知2－讲
总结
知2－讲
利用完全平方公式分解因式在计算或化简中应 用广泛且巧妙，要注意灵活运用，往往能获得意想 不到的解题效果．
1 把下列各式因式分解： (1)x2－12xy＋36y2； (2)16a4＋24a2b2＋9b4； (3)－2xy－x2－y2； (4)4－12(x－y)＋9(x－y)2.
( A) A．64 C．32
B．48 D．16
知1－练
4 已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值
为( D )
A．8
B．±8
C．24
D．±24
知1－练
5 给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个 完全平方式，则加上的单项式是 __4_x_4(_答__案__不__唯__一__)__(写出一个即可)．
错解解析： 错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间 项的符号是负的情况，产生漏解．
正确解法： 因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22， x2＋(m－3)x＋4是完全平方式， 所以(m－3)x＝±2x·2. 所以(m－3)x＝±4x. 因此m－3＝±4. 所以m＝7或m＝－1.
《完全平方公式(1)》参考课件
《完全平方公式(1)》参考 课件
目录
• 引言 • 完全平方公式的内容 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识 • 练习与思考 • 参考资料
01
引言
课程背景
面向学生
初中生、高中生及其他对数学感兴趣的人群。
课程背景介绍
介绍完全平方公式的起源、发展和应用背景。
完全平方公式简介
公式形式
计算三角形的面积
在已知三角形的三边长的情况下，利用完全平方公式可以方 便地计算出三角形的面积。
完全平方公式在实际问题中的应用
解决实际问题
在一些实际问题中，如物体从高处下落、物体移动等，可以利用完全平方公 式来解决问题。
金融问题
在金融领域，如计算复利、解决贷款问题等，也需要用到完全平方公式进行 计算。
02
完全平方公式的内容
完全平方公式的定义
完全平方公式
$a^{2}+2ab+b^{2}$
非负数
$a,b\geq 0$
完全平方公式的形式
代数形式
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
几何形式
边长为$a$和$b$的正方形，扩大后形成边长为$a+b$的正方形
完全平方公式的证明
代数证明
推广到向量
在向量空间中，完全平方公式可以推广到向量的点积和叉积运算中，如$(a \cdot b)^2 = (a \times b)^2$。
运用完全平方公式进行因式分解
将式子化成完全平方式
通过运用完全平方公式，将一个较复杂的式子化成两个完全平方式相加或相减的 形式，从而进行因式分解。
分解二次三项式
对于形如$ax^2 + bx + c$的二次三项式，可以利用完全平方公式将其因式分解 为$a(x+ \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$。
41完全平方公式(基础)知识讲解
完全平方公式（基础）【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式1、（2016•普宁市模拟）下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（）． A ．221x x -++ B ．221x x -+- C ．221x x -- D ．224x x -+ 【思路点拨】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各项分析判断后利用排除法求解.【答案】B ；【解析】A 、221x x -++其中有两项-x 2、12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；B 、2221(1)x x x -+-=--，符合完全平方公式特点，故本选项正确；C 、221x x --其中有两项x 2、-12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；D 、224x x -+，不符合完全平方公式特点，故本选项错误.【总结升华】本题主要考察了能用完全平方公式分解因式的式子特点，熟记公式结构是解题的关键.举一反三：【变式】（2015春•临清市期末）若x 2+2（m ﹣3）x+16是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．﹣1B ． 7C ． 7或﹣1D ． 5或1【答案】C.2、分解因式：（1）21449x x ++； （2）29124x x -+； （3）214a a ++； （4）22111162a b ab -+． 【答案与解析】解：（1）22221449277(7)x x x x x ++=+⋅⋅+=+．（2）22229124(3)2322(32)x x x x x -+=-⋅⋅+=-． （3）2222111124222a a a a a ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （4）222221111112111162444a b ab ab ab ab ⎛⎫⎛⎫-+=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】本题的关键是掌握公式的特征，套用公式时要注意把每一项同公式的每一项对应．举一反三：【变式】分解因式：（1）29()12()4a b a b +-++； （2）222()()a a b c b c ++++； （3）21025a a --； （4）22()4()()4()x y x y x y x y +++-+-． 【答案】解：（1）29()12()4a b a b +-++22[3()]23()22a b a b =+-⋅+⋅+ 22[3()2](332)a b a b =+-=+-．（2）222()()a a b c b c ++++22[()]()a b c a b c =++=++．（3）()2210251025a a a a --=--+2(5)a =--． （4）22()4()()4()x y x y x y x y +++-+- 22()2()2()[2()]x y x y x y x y =+++-+-g g22[()2()](3)x y x y x y =++-=-．3、分解因式：（1）2234162x y xy y ++；（2）4224168a a b b -+；（3）222(3)(1)x x x +--． 【答案与解析】解：（1）2234162x y xy y ++22222()()1624x xy x y y y y =++=+． （2）4224168a a b b -+222222(4)[(2)(2)](2)(2)a b a b a b a b a b =-=+-=+-． （3）222(3)(1)x x x +--22(31)(31)x x x x x x =++-+-+ 2222(41)(21)(41)(1)x x x x x x x =+-++=+-+．【总结升华】分解因式的一般步骤：一“提”、二“套”、三“查”，即首先有公因式的提公因式，没有公因式的套公式，最后检查每一个多项式因式，看能否继续分解． 举一反三：【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++．（2）22224()4()()x y x y x y +--+-．（3）2244x y xy --+；（4）322344x y x y xy ++；（5）()()2222221x xx x -+-+；【答案】解：（1）原式22[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++⋅+⋅+++ 22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++．（2）原式22[2()]22()()()x y x y x y x y =+-⋅+⋅-+- 22[2()()](3)x y x y x y =+--=+．（3）原式()()222442x y xy x y =-+-=-- （4）原式＝()()222442xy x xy y xy x y ++=+（5）原式()()242211x x x =-+=-类型二、配方法 4、（2015春•江都市期末）已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．【思路点拨】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；（2）原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将各自的值代入计算即可求出值．【答案与解析】解：（1）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=（x+y ）2﹣2xy=9+16=25；（2）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=x 2y 2﹣（x 2+y 2）+1=64﹣25+1=40．【总结升华】要先观察式子的特点，看能不能将式子进行变形，以简化计算.举一反三：【变式】已知x 为任意有理数，则多项式x －1－142x 的值为（ ）． A ．一定为负数 B ．不可能为正数 C ．一定为正数 D ．可能为正数，负数或0【答案】B ；提示：x －1－142x ＝221111042x x x ⎛⎫⎛⎫--+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
完全平方公式(基础)知识讲解
完全平方公式（基础）【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】 要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式1、 下列各式是完全平方式的是（ ）． A ．412+-x xB ．21x +C ．1++xy xD ．122-+x x【思路点拨】完全平方式是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 【答案】A ；【解析】221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭.【总结升华】形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 举一反三：【变式】（1）如果多项式219x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为 ；（2）如果多项式24x kx -+是一个完全平方式，那么k 的值为 .【答案】（1）23k =±；（2）4k =±. 2、分解因式：（1）21449x x ++； （2）29124x x -+； （3）214a a ++； （4）22111162a b ab -+． 【答案与解析】解：（1）22221449277(7)x x x x x ++=+⋅⋅+=+． （2）22229124(3)2322(32)x x x x x -+=-⋅⋅+=-．（3）2222111124222a a a a a ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（4）222221111112111162444a b ab ab ab ab ⎛⎫⎛⎫-+=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结升华】本题的关键是掌握公式的特征，套用公式时要注意把每一项同公式的每一项对应． 举一反三：【变式】分解因式：（1）29()12()4a b a b +-++； （2）222()()a a b c b c ++++；（3）21025a a --； （4）22()4()()4()x y x y x y x y +++-+-．【答案】解：（1）29()12()4a b a b +-++22[3()]23()22a b a b =+-⋅+⋅+22[3()2](332)a b a b =+-=+-．（2）222()()a a b c b c ++++22[()]()a b c a b c =++=++． （3）()2210251025a a a a --=--+2(5)a =--． （4）22()4()()4()x y x y x y x y +++-+-22()2()2()[2()]x y x y x y x y =+++-+- 22[()2()](3)x y x y x y =++-=-．3、分解因式：（1）2234162x y xy y ++；（2）4224168a a b b -+；（3）222(3)(1)x x x +--． 【答案与解析】解：（1）2234162x y xy y ++22222()()1624x xy x y y y y =++=+． （2）4224168a a b b -+222222(4)[(2)(2)](2)(2)a b a b a b a b a b =-=+-=+-．（3）222(3)(1)x x x +--22(31)(31)x x x x x x =++-+-+2222(41)(21)(41)(1)x x x x x x x =+-++=+-+．【总结升华】分解因式的一般步骤：一“提”、二“套”、三“查”，即首先有公因式的提公因式，没有公因式的套公式，最后检查每一个多项式因式，看能否继续分解． 举一反三：【高清课堂400108 因式分解之公式法 例4】 【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++． （2）22224()4()()x y x y x y +--+-． （3）2244x y xy --+； （4）322344x y x y xy ++； （5）()()2222221x x x x -+-+；【答案】解：（1）原式22[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++⋅+⋅+++22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++．（2）原式22[2()]22()()()x y x y x y x y =+-⋅+⋅-+-22[2()()](3)x y x y x y =+--=+．（3）原式()()222442x y xy x y =-+-=--（4）原式＝()()222442xy x xy y xy x y ++=+（5）原式()()242211x x x =-+=-类型二、配方法4、若x 731，则223x x ++＝________．【思路点拨】此题不能直接代入求值，先将原式配方后代入比较简便. 【答案】75；【解析】()2222321212x x x x x ++=+++=++，将x 731代入得273275+=.【总结升华】对于数据比较复杂的代入求值问题，要先观察式子的特点，看能不能将式子进行变形，以简便计算. 举一反三：【变式】已知x 为任意有理数，则多项式x －1－142x 的值为（ ）． A ．一定为负数 B ．不可能为正数 C ．一定为正数 D ．可能为正数，负数或0 【答案】B ；提示：x －1－142x ＝221111042x x x ⎛⎫⎛⎫--+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【巩固练习】一.选择题1. 将224144a a ++因式分解，结果为( ).A.()()188a a ++B.()()1212a a +-C.()212a +D.()212a -2．2()nm x y -是下列哪一个多项式分解的结果（ ）A ．22nm x y - B ．2n n m m x x y y -+ C ．222nn m m xx y y -+ D ．2n n m m x x y y --3. 下列各式可以化为完全平方式的是( ).A.21x x ++ B.221x x +- C.244a a ++ D.22a b + 4. 如果222536a mab b ++可分解为()256a b -,那么m 的值为( ).A.30B.－30C.60D.－60 5. 如果229x kxy y ++是一个完全平方公式，那么k 是（ ） A.6 B.－6 C.±6 Ｄ.18 6. 下列各式中，是完全平方式的是（ ）A.2991x x -- B.2691y y -++ Ｃ.2169y y -- D.2931y y --二.填空题7. 若()22416-=+-x mx x ，那么________m =．8. 因式分解:()()225101a b a b -+-+＝____________. 9. 分解因式：214m m ---＝_____________. 10. 分解因式：221nn xx -+＝_____________.11. 分解因式：()()154a a +++ ＝_____________. 12. （1）()()225=a a -+；（2）()()22412m mn -+=.三.解答题13. 若13x x +=，求221x x+的值. 14. 已知1x y +=，316xy =，求32232x y x y xy -+的值．15. 把()()3322x y x y x xy y +=+-+称为立方和公式，()()3322x y x y x xy y -=-++称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解: (1)38a +； (2)3271a -. 【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；2. 【答案】C ； 【解析】2222()nn m m n m xx y y x y -+=-.3. 【答案】C ；【解析】()22442a a a ++=+.4. 【答案】D ；【解析】()22256256036a b a ab b -=-+.5. 【答案】C ；【解析】()22222229239693x kxy y x x y y x xy y x y ++=±⋅⋅+=±+=±.6. 【答案】B ；【解析】()2269131y y y -++=-.二.填空题7. 【答案】8；【解析】()224816x x x -=-+.8. 【答案】()2551a b -+；【解析】()()()()()222251015251551a b a b a b a b a b -+-+=-+⋅-+=-+⎡⎤⎣⎦.9. 【答案】212m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；【解析】222111442m m m m m ⎛⎫⎛⎫---=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.10.【答案】()21nx -； 【解析】()()222212111nn n n n xx x x x -+=-⋅⋅+=-.11.【答案】()23a +；【解析】()()()22154693a a a a a +++=++=+.12.【答案】（1）255,42a -；（2）29,23n m n -. 三.解答题13.【解析】解：222222111222327x x x x x x ⎛⎫+=++-=+-=-= ⎪⎝⎭.14．【解析】解：原式＝()()()222224xy x xy yxy x y xy x y xy ⎡⎤-+=-=+-⎣⎦∵1x y +=，316xy =， ∴原式＝316（1－4×316）＝316×（1－34）＝316×14＝364．15. 【解析】解：（1）()()333282224a a a a a +=+=+-+ （2）()()()3322713131931a a a a a -=-=-++.。
8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用 在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)． 故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。
这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。
首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。
根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。
而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。
这就是所谓的完全平方。
根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。
接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。
对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。
我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。
如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。
3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。
4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。
所以，我们需要做一个额外的变形。
6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。
进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方（perfectsquare）公式是数学中最重要的公式之一，它可以用于快速解决许多数学问题的解法。
它的用处非常广泛，由于它的实用性，它被广泛应用于学校，大学，实验室和工作岗位中。
完全平方公式有三种基本形式：一是把一个根号中的式子化简为一个完全平方；二是将一个简单的数学表达式转换为另一个完全平方；三是将一个复杂的数学表达式化简为一个完全平方。
首先，要讲解完全平方公式，先来讲解求根数的完全平方形式。
这种情况下，要求根数是将一个数x开方，例如求根162，就是求x=162的根号，其公式的形式为：y=a^2+bx+c由此可得：y=(a-b)^2 + 2ab + c，a,b,c是常数。
若要求根数，要满足 y=a^2+bx+c=0，那么可以得到x=(-b+(b^2-4ac))/2a，此就可以得到x的值，也就是我们要求的根数。
其次，要解释完全平方公式，要讲解如何将一个简单的数学表达式转换成另一个完全平方的形式。
以熟悉的表达式y= ax^2+ bx+ c为例，如果要将它化简成完全平方的形式，可以这样做：令y=(ax+b)^2+c，y=a^2x^2+2axb+b^2+ c，令a^2=d，d减去b^2就是c的值，最后可以得到y=(ax+b)^2+d-b^2，也就是常见的完全平方形式。
最后，要讲解完全平方公式，要讲解如何将一个复杂的数学表达式化简为完全平方。
在这种情况下，我们通常会使用一些数学方法，根据原数学表达式的结构，把它分解分解成多个部分，每一部分作为一个完全平方求解，最后把这些部分综合起来，就可以得到一个完全平方的表达式。
总之，完全平方公式是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们快速解决许多数学问题。
通过对它的正确使用，我们可以提高我们的解题能力，从而获得更好的成绩。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这里，a和b可以是任意数，a^2和b^2分别被称为二次项，2ab被称为二次项的第一次乘积。
我们从(a+b)^2入手进行推导。
(a+b)^2=(a+b)(a+b)（根据平方定义）=a(a+b)+b(a+b)（分配律）= a^2 + ab + ab + b^2 （使用分配律）= a^2 + 2ab + b^2通过这个推导过程，我们可以得到完全平方公式。
通过完全平方公式，我们可以将二次多项式转化成完全平方的形式，进而进行一些简化操作。
这对于解方程、求解二次函数的最值等问题非常有用。
1.解二次方程：当我们需要解二次方程时，可以使用完全平方公式将其转化为完全平方形式，从而更方便地求解。
例如，对于方程x^2+6x+9=0，我们可以将其写成完全平方的形式(x+3)^2=0，然后解得x=-32.求解二次函数的最值：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a不等于0，完全平方公式可以帮助我们求解该二次函数的最值。
例如，对于函数 f(x) = x^2+ 6x + 8，我们可以将其转化成完全平方形式 f(x) = (x + 3)^2 + 1，从而可以很容易地看出该函数的最小值为1，并且该最小值在x = -3时取得。
3.分解因式：在分解二次多项式的过程中，我们可以使用完全平方公式将其转化为完全平方形式，从而更容易地进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+4x+4，我们可以将其写成完全平方的形式(x+2)^2，并且可以进一步分解为(x+2)(x+2)。
通过以上几个例子，我们可以看到完全平方公式在解方程、求解二次函数的最值以及分解因式时的重要性。
在这些应用中，一个关键的步骤就是将二次多项式转化为完全平方的形式，通过完全平方公式，我们可以很容易地完成这一步骤。
总结：完全平方公式是一种将二次多项式转化为完全平方的方法。
它可以帮助我们解方程、求解二次函数的最值，以及分解因式。
完全平方公式知识点
完全平方公式知识点完全平方公式是高中数学中常用的一个重要公式，它在解决二次方程相关问题时起到了关键作用。
它的形式为：若a是实数，那么二次方程ax^2+bx+c=0的解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
完全平方公式的应用范围很广泛，涉及到解方程、求根、求解问题等多个方面。
接下来我们将从不同角度来讲解完全平方公式的相关知识点。
一、完全平方公式的推导过程完全平方公式的推导过程相对简单，我们可以通过配方法将二次方程化简为完全平方的形式，从而得到该公式。
具体推导过程如下：对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过配方法将其化简为(a·x^2+b·x+c)=a(x^2+(b/a)·x+(c/a))=a((x+(b/2a))^2-(b/2a)^2+c/a)=a(x+(b/2a))^2+(c-b^2/4a)。
由此可得，原二次方程的解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
二、完全平方公式的含义和应用完全平方公式的含义在于，它可以将一个二次方程转化为一个完全平方的形式，使得求解过程更加简便。
在实际应用中，完全平方公式常被用来求解二次方程的根，解决与二次方程相关的各种问题。
1. 求解二次方程的根完全平方公式可以帮助我们求解任意形式的二次方程的根。
通过将二次方程化简为完全平方的形式，我们可以直接得到方程的解。
2. 求解几何问题在几何问题中，完全平方公式也有重要的应用。
例如，求解一个矩形的对角线长度时，我们可以将其转化为一个二次方程，并利用完全平方公式求解。
3. 解决实际问题完全平方公式不仅仅在数学问题中有应用，它还可以帮助我们解决一些实际问题。
例如，在物理学中，通过将一些物理量表示为二次方程的形式，再利用完全平方公式求解，可以得到一些有用的结果。
三、完全平方公式的注意事项在应用完全平方公式时，我们需要注意以下几点：1. 判断二次方程是否适合使用完全平方公式。
七年级下册完全平方公式讲解
七年级下册完全平方公式讲解一、引入在数学中，我们经常会遇到一些形式为a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2的式子。
这些式子被称为完全平方公式。
完全平方公式在代数运算中非常重要，可以帮助我们简化复杂的式子，提高解题效率。
二、定义完全平方公式定义为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2这两个公式分别表示了两个数的和或差的平方，等于它们的平方和加上或减去它们积的二倍。
三、推导过程我们可以使用多项式乘以多项式的方法来推导完全平方公式。
具体来说，(a+b)^2 = (a+b)×(a+b) = a×a + a×b + b×a + b×b = a^2 + 2ab + b^2。
同样地，(a-b)^2 = (a-b)×(a-b) = a×a - a×b - b×a + b×b = a^2 - 2ab + b^2。
四、应用完全平方公式在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如，在计算一些复杂的代数式时，我们可以利用完全平方公式将其简化。
此外，完全平方公式还可以用于解决一些几何问题，如计算一些图形的面积或周长。
五、注意事项在使用完全平方公式时，要注意公式的适用范围。
只有当a和b都是实数时，才能使用完全平方公式。
在计算过程中，要注意运算的顺序和法则，确保计算的正确性。
在应用完全平方公式时，要注意公式的变形和运用，以便更好地解决问题。
六、总结完全平方公式是七年级数学中的一个重要知识点，它可以帮助我们简化复杂的代数式，提高解题效率。
通过学习和掌握完全平方公式，我们可以更好地理解和掌握代数运算的基本方法和技巧。
七年级数学完全平方公式
完全平方公式是数学中的一个重要概念，用于求解一元二次方程。
在七年级的数学学习中，我们还没有接触到二次方程，但了解完全平方公式对于我们以后的学习非常重要。
本文将详细介绍完全平方公式，并给出一些例题进行讲解。
一、什么是完全平方公式？在数学中，一个完全平方是指一个数的平方，即这个数乘以自己。
例如，4是一个完全平方，因为4=2×2，即4等于2的平方。
同样，9也是一个完全平方，因为9=3×3对于任意一个整数a，我们可以将其表示成两个整数的平方的形式：a=b×b，其中b为任意一个整数。
这个表达式就是完全平方公式的基本形式。
二、完全平方公式的推导我们仔细观察一下完全平方公式的基本形式a=b×b，并进行一些推理。
首先，我们可以将a的表达式展开，得到a=b×b=b²。
其次，我们可以对a的表达式进行因式分解，得到a=(b+1)×(b-1)。
由此可得，如果一个数a是完全平方，那么a的因式分解必然是(a=b²)或(a=(b+1)×(b-1))的形式。
三、完全平方公式的应用由于完全平方公式是关于二次方程的，所以我们还没有学习二次方程，因此需要一些等价的公式简化我们的计算。
1.计算完全平方首先，我们可以根据完全平方公式，求解一个完全平方的平方根。
例如，求解25的平方根，我们可以根据完全平方公式得到25的两个因式分解形式：25=5×5，或者，25=(5+1)×(5-1)。
由此我们可以得到，25的平方根是5同样的，我们可以求解49的平方根：49=7×7，或者，49=(7+1)×(7-1)，由此我们可以得到，49的平方根是72.计算不是完全平方的数的平方根有时候，我们需要求解一个不是完全平方的数的平方根。
这时候，我们可以使用完全平方公式来判断这个数是否是完全平方。
例如，我们要求解40的平方根。
首先，我们观察40的因子，发现40没有两个因子是相同的，那么40就不是一个完全平方数。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式。
它通过分解复数式，使得许多数学问题变得简单明了，也可以用于求解非线性方程，是一个必不可少的数学理论的重要组成部分。
完全平方公式的定义：如果a和b是整数，那么a的完全平方公式表示为：a2 + b2 = c2，其中c也是一个整数。
这里的a和b是两个不同的整数，而c是由a和b构成的两个不同数字的和。
完全平方公式的算法：1.于两个不同的整数a和b，将它们求和，即a+b，然后将该和平方，即（a+b）2。
2.该平方值减去a2和b2，求出它们的差值，即（a+b）2 - a2 - b2。
3.后，根据此差值，结合a和b的值，求出c的值，即a2 + b2 = c2，即 c =（a2 + b2）。
完全平方公式的应用：1.以用完全平方公式来求解非线性方程，即求解x2+2x+1=0，在这个例子中，它可以转化为x2+2x= -1，那么用到完全平方公式，即x2+2x+1=0可以求得x=-1±√2。
2.全平方公式还可以帮助我们解决类似于a2+b2+c2+d2的多项式的求根问题。
例如：a2+b2+c2+d2=3，那么用到完全平方公式，可以求得a2+b2=3-c2-d2，即a2+b2=1，这样就可以把这个问题转变成一个完全平方的求根问题。
3.全平方公式还可以用来解决类似于a2+2ab+b2=c2+2cd+d2的多项式方程。
例如，a2+2ab+b2=4，c2+2cd+d2=9，那么可以分别求出a2，b2和c2，d2，即a2=2，b2=2，c2=7，d2=7，从而求出a，b，c，d的值。
完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式，给予解决数学问题带来极大的便利，是研究数学理论的最佳工具之一。
它的应用非常广泛，几乎可以用于各种数学问题的解决，也可以用来解决复杂的非线性方程，对于提高数学水平有重要的意义。
初一人教版七年级下册数学完全平方公式
初一人教版七年级下册数学完全平方公式知识点归纳总结一、完全平方公式的概念完全平方公式是数学中一种重要的恒等式，它描述了一个二次多项式如何表示为一个平方的形式。
具体地说，完全平方公式是形如a²±2ab+b²=(a±b)²的等式。
其中，a和b 是任意实数或代数式，它们可以是数字、字母、单项式或多项式。
二、完全平方公式的定义完全平方公式可以定义为：一个二次多项式，如果它可以表示为(a±b)²的形式，则称该二次多项式为完全平方公式。
其中，a和b可以是任意实数或代数式。
三、完全平方公式的性质唯一性：对于给定的a和b，完全平方公式(a±b)²是唯一的。
这意味着没有其他形式的二次多项式可以表示为完全平方。
展开性：完全平方公式可以展开为a²±2ab+b²的形式。
这是完全平方公式的一个重要性质，它允许我们将一个看似复杂的二次多项式简化为一个更简单的形式。
对称性：完全平方公式具有对称性，即(a+b)²=(b+a)²和(a-b)²=(b-a)²。
这意味着在完全平方公式中，a和b的位置可以互换而不影响公式的值。
四、完全平方公式的特点平方项：完全平方公式的第一项和最后一项都是平方项，即a²和b²。
这两项代表了公式中的主要部分，它们决定了公式的整体形状。
乘积项：完全平方公式的中间项是a和b的乘积的两倍，即±2ab。
这项是公式中的关键部分，它连接了平方项并使整个公式成为一个整体。
正负号：完全平方公式中的正负号取决于中间项是正是负。
如果中间项是正数，则公式为(a+b)²；如果中间项是负数，则公式为(a-b)²。
五、完全平方公式的规律二次项和一次项的关系：在完全平方公式中，二次项（a ²）和一次项（±2ab）之间存在密切的关系。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是一种常见的数学公式，可以用来解决方程和多项式中的完全平方的技巧，是学习数学的必备技能之一。
完全平方公式的知识包括本质上的概念和方法以及它的计算方法与应用。
本文将详细讲解完全平方公式的定义、公式的计算方法和应用，以便读者能够更加全面的了解这一概念和方法。
完全平方公式的本质概念是指任何一个多项式的平方，可以表示为一个乘积公式，其中一个项称为完全平方项（Perfect Square），完全平方公式中，其它项也可以化简表示，这就是完全平方公式的本质概念。
完全平方公式的计算方法和应用主要有三种：（1）完全平方的求解：完全平方公式可以用来求解任何一个多项式的完全平方，首先要将多项式化简为一元二次方程，然后用完全平方公式对多项式求完全平方，最后将该完全平方进行拆解，得到完全平方根，从而解决问题。
（2）将含平方项的多项式化简：完全平方公式也可以用来将多项式中有平方项的含有x的项整理成完全平方，以便更容易求解多项式，进而求解多项式方程的解。
（3）求多项式的最小完全平方根：可以通过分解多项式的完全平方，来求出所求多项式的最小完全平方根，这样就可以求出多项式问题的最终解。
完全平方公式在数学上有很多应用，以上讲解的三种应用方法只是其中常见的应用。
完全平方公式也可以应用到复数、矩阵、非线性方程等情况，以求解更复杂的数学问题，比如求解复数的线性方程组和求解非线性方程组等。
此外，完全平方公式也可以用来求解更大的数学问题，如求解椭圆的矩阵、求解多项式的极值问题等。
完全平方公式是学习数学的必备技能，数学学习者只要能够理解完全平方公式的概念和方法，就可以通过完全平方公式求解多项式、矩阵、复数、非线性方程组等数学问题。
完全平方公式是一种具有广泛应用的数学工具，只要学习者掌握了完全平方公式，就能更好地解决数学问题。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是数学中的一种重要概念，作为学习数学的基本概念，它在帮助我们掌握数学的过程中发挥了重要作用。
完全平方公式是一种表明数学关系的工具，有助于理解数学中的概念和现象。
下面将对完全平方公式做一个详细的说明。
完全平方公式可以表达多项式中数学性质的关系，对于指定的数学现象能够有效地剖析。
完全平方公式的形式一般为$ax^2 +bx+c=0$，其中a，b，c是实数，a≠0。
完全平方公式可以解释如下：$ax^2+bx+c$表示等式左侧，等式右侧也可以写成一个完全平方形式：$(x+α)^2+β=0$。
α和β是两个实数，α=－b/2a，β=c/a。
完全平方公式可以用来解决多项式的根，即求出多项式的原根，也可以直接得出结果。
下面用完全平方公式来解决求解多项式根的问题，$ax^2 +bx+c=0$，求解x的值：$(x+α)^2+β=0$将其化为一元二次方程，有：$x^2+2αx+α^2+β=0$根据二次公式：$x_1,x_2=-αpm sqrt{α^2-4(1)β}$将α和β的值代入，可得：$x_1,x_2=frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$将该公式带入到多项式中，就能得出多项式的根：$x_1=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}，x_2=frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}$完全平方公式还可以用来解决含有绝对值的一元二次不等式，新的形式如下：$|ax^2 +bx+c|=0$。
可以看出，此类不等式左侧的绝对值变成了括号，这就使其转换成普通的一元二次不等式，此时就可以使用完全平方公式来解决了。
完全平方公式的用途还不止如此，它还可以用来处理有理函数，特别是能够使有理函数形式更清楚、更简便，更具有可读性。
因此，完全平方公式也被广泛应用于高等数学中。
完全平方公式也可以解决三次方程，其具体步骤如下：首先，将三次方程转化为一次二次mixed型方程，即有如下形式：$ax^3+bx^2+cx+d=0$，然后，利用完全平方公式将其中的二次项处理，将它变成完全平方的形式，有：$(x^2+2αx+α^2)+β=0$，将α和β的值代入，即可得出解，最后，将解代入原方程中，检查解的有效性。
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完全平方公式讲解第一部分概念导入1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______；2．学生计算3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1（m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1（m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+44．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。
（1）（2）之间只差一个符号。
推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】得到公式，分析公式（1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．（2）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”．（3）公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式．（4）几何解释图1－5图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．【学习方法指导】［例1］计算（1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b2注意：（2）中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”．［例2］计算（1）（－m－n）2（2）（－5a－2）（5a＋2）点拨：（1）可直接用完全平方公式．由于－m与－n是同号，所以公式中的2ab取“＋”．（2）中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“－”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算．解：（1）（－m－n）2＝（－m）2＋2·（－m）（－n）＋（－n）2＝m2＋2mn＋n2（2）（－5a－2）（5a＋2）＝－（5a＋2）（5a＋2）＝－（5a＋2）2＝－（25a2＋20a＋4）＝－25a2－20a－4小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算．［例3］计算（1）（x－2y）2－（x－y）（x＋y）（2）（m－n）（m2－n2）（m＋n）点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简．（2）可先利用平方差公式将m－n与m＋n相乘，再将所得结果m2－n2与中间括号里的m2－n2相乘，可利用完全平方公式．解：（1）（x－2y）2－（x－y）（x＋y）＝（x2－4xy＋4y2）－（x2－y2）＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2＝－4xy＋5y2（2）（m－n）（m2－n2）（m＋n）＝（m－n）（m＋n）（m2－n2）＝（m2－n2）（m2－n2）＝（m2）2－2·m2·n2＋（n2）2＝m4－2m2n2＋n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可．［例4］计算：（x ＋2y ）2－（x －2y ）2点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ），将此题转化为平方差公式进行计算．解法一：（x ＋2y ）2－（x －2y ）2＝（x 2＋xy ＋42y ）－（x 2－xy ＋42y ）＝x 2＋xy ＋42y －x 2＋xy －42y＝2xy解法二：［例5］计算：（a －2b ＋1）（a ＋2b －1）点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同．先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成（a ＋b ）（a －b ）的形式，利用平方差公式进行简化运算．关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！ 随堂练习一、选择题1．下列运算中，正确的是（ ）A ．3a+2b=5abB ．（a －1）2=a 2－2a+1C ．a 6÷a 3=a 2D ．（a 4）5=a 92．下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（）A．（x+y）2=x2+y2B．（x－y）2=x2－y2C．（－x+y）2=x2－2xy+y2D．（－x－y）2=x2－2xy+y23．下列各式计算结果为2xy－x2－y2的是（）A．（x－y）2B．（－x－y）2C．－（x+y）2D．－（x－y）2 4．若等式（x－4）2=x2－8x+m2成立，则m的值是（）A．16 B．4 C．－4 D．4或－4 二、填空题5．（－x－2y）2=_____．6．若（3x+4y）2=（3x－4y）2+B，则B=_____．7．若a－b=3，ab=2，则a2+b2=______．8．（_____－13y）2=94x2－xy+______；（_____）2=916a2－6ab+_____．三、解答题9．利用完全平方公式计算：（1）20082；（2）782．10．先化简，再求值：（2x－1）（x+2）－（x－2）2－（x+2）2，其中x=－1 3．11.利用公式计算：196212.某正方形边长a cm，若把这个正方形的边长减小3 cm，则面积减少了多少？13.已知x+y=1，求12x2+xy+12y2的值．14.已知a+1a=5，分别求a2+21a，（a－1a）2的值15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加3米，•则它的面积就增加39平方米，求这个正方形花坛的边长．16.小明在计算2222009200820092007200920092+-时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不需要用计算器，而且很快说出了答案．你知道他是怎么做的吗？17．已知：a ＋b ＝－5，ab ＝－6，求a 2＋b 2．18.利用公式计算：992－119.计算 （1）)1)(1(+-ab ab ； （2）)32)(32(---x x ；（3）1022； （4）992.（5）)1)(1(-+++b a b a ；（6）2)2(p n m +-.20.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加392cm ,这个正方形的边长是多少?21.当2)2()23)(23(1,1b a b a b a b a---+=-=时，求的值22.求证：当n 为整数时，两个连续奇数的平方差22)12()12(--+n n 是8的倍数23.观察下列等式：10122=-，31222=-，52322=-，73422=-，……请用含自然数n 的等式表示这种规律为：________________.24.已知2294y Mxy x+-是一个完全平方式,求M 的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过20052天的后一天是星期几?答案一、1．B2．C 点拨：（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，所以A 不正确；（x －y 2=x 2－2xy+y 2，所以B 不正确；（－x+y ）2=（－x ）2+2（－x ）·y+y 2=x 2－2xy+y 2，所以C 正确；（－x －y ）2=（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，所以D 也不正确，故选C ．3．D4．D 点拨：因为（x －4）2=2－8x+16，所以若（x －4）2=x 2－8x+m 2成立，则m 2=16，从而得m=±4，故选D ．二、5．x 2+4xy+4y 2 点拨：（－x －2y ）2=[－（x+2y ）] 2=（x+2y ）2=x 2+4xy+4y 2．6．48xy 点拨：B=（3x+4y ）2－（3x －4y ）2=9x 2+24xy+16y 2－（9x 2－24xy+16y 2）•=•9x 2+•24xy+16y 2－92+24xy －16y 2=48xy ．7．13 点拨：因为a －b=3，ab=2，所以a 2+b 2=（a －b ）2+2ab=32+2×2=9+4=13．8．32x ；19y 2；34a －4b ；16b 2三、9．解：（1）20082=（2000+8）2=20002+2×2000×8+82=4000000+32000+64=4032064；（2）782=（80－2）2=802－2×80×2+22=6400－320+4=6084．10．解：（2x －1）（x+2）－（x －2）2－（x+2）2=2x 2+4x －x －2－（x 2－4x+4）－（x 2+4x+4）=2x 2+3x －2－x 2+4x －4－x 2－4x －4=3x －10．当x=－13时，原式=3×（－13）－10=－1－10=－11． 11.思路：196接近整数200，故196＝200－4，则此题可化为（200－4）2，利用完全平方公式计算． 解：1962① ＝（200－4）2 ②＝2002－2×200×4＋42＝40000－1600＋16＝38416说明：Ⅰ．可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算．12.思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积＝边长×边长”，表示出两个正方形的面积，用“大－小”即可得出所求．计算的关键在完全平方式的展开．解：原正方形面积：a 2现正方形面积：（a －3）2面积减少了a 2－（a －3）2＝a 2－（a 2－6a ＋9）＝a 2－a 2＋6a －9＝（6a －9）（cm 2）答：面积减少了（6a －9） cm 2．13.解：因为x+y=1，所以（x+y ）2=1，即x 2+2xy+y 2=1． 所以12x 2+xy+12y 2=12（x 2+2xy+y 2）=12×1=12．点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值．14.因为a+1a =5，所以a 2+21a =（a+1a ）2－2·a·1a =52－2=23，所以（a －1a ）2=a 2+21a －2·a·1a =23－2=21．点拨：注意公式的一些变形形式，例如：a 2+b 2=（a+b ）2－2ab ，a 2+b 2=（a －b ）2+2ab ，（a+b ）2=（a －b ）2+4ab ，（a －b ）2=（a+b ）2－4ab 等等．15.解：设这个正方形花坛的边长为x 米，依题意列方程得，（x+3）2－x 2=39，•即x 2+6x+9－x 2=39，6x=30，x=5．答：这个正方形花坛的边长为5米．点拨：适当引进未知数，•根据题中的相等关系得到方程，解方程即可．16．解：知道，做法如下：2222009200820092007200920092+-=22220092008(200920081)(200920081)2-++- =222200920082009200822009200812009200822009200812-⨯+++⨯+-=2220092008220092008⨯=12．点拨：由200920072=（20092008－1）2，200920092=（20092008+1）2，运用完全平方公式化简即可．17.点拨：同时存在a ＋b ，ab ，a 2＋b 2的公式为完全平方公式（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可．注意：Ⅰ．不要分别求出a 和b ，运算繁琐．Ⅱ．若已知a ＋b （或a －b ），ab ，a 2＋b 2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者．解：a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab当a ＋b ＝－5，ab ＝－6时原式＝（－5）2－2×（－6）＝25＋12＝37．18.点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案．19.【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab 看成是a ，1看成是b 来计算.（2）利用加法交换律将原式变形为)23)(23(x x --+-,然后运用平方差公式计算.（3）可将1022改写为2)2100(+,利用两数和的平方公式进行简便运算. （4）可将992改写为2)1100(-，利用两数差的平方公式进行简便运算.解：（1）)1)(1(+-ab ab =11)(222-=-b a ab ； （2）)32)(32(---x x= )23)(23(x x --+-=22249)2()3(x x -=--； （3）1022= 2)2100(+=1040444001000022100210022=++=+⨯⨯+； （4）992=2)1100(-=98011200100001110021002=+-=+⨯⨯-.【点拨】（5,6）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将)(b a +看作是一项.先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.解：（5）)1)(1(-+++b a b a =121)(]1)][(1)[(222-++=-+=-+++b ab a b a b a b a ；（6）2)2(p n m +-=222)2(2)2(])2[(p p n m n m p n m +⋅-⋅+-=+- =2224244p np mp n mn m +-++-.【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：222)(b a b a +=+或222)(b a b a -=-这样的错误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.20. 【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解.解：设原正方形的边长为xcm,则39)3(22+=+x x即399622+=++x x x ，解得 x=5.答:这个正方形的边长是5cm .21. 【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a 、b 的值代入计算出结果. 解：)44(49)2()23)(23(22222b ab a b a b a b a b a +---=---+ =2222228484449b ab a b ab a b a-+=-+--； 当时，1,1=-=b a 222848)2()23)(23(b ab a b a b a b a -+=---+=8（-1）81)1(42-⨯-+=-4.22.【点拨】运用完全平方公式将22)12()12(--+n n 化简，看所得的结果是否是8整数倍. 证明:22)12()12(--+n n =)144(14422+--++n n n n =n n n n n 814414422=-+-++，又∵n 为整数,∴8n 也为整数且是8的倍数.23.【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交流一下.答案为:n n n n n 且1(12)1(22≥-=--为整数).24.【点拨】已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式,22y x 与项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2)32(y x ±,由完全平方公式就可以求出M.解：根据2)32(y x±=229124y xy x +±得: 12±=-M . ∴12±=M答:M 的值是±12. 25.【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过20052天的后一天是星期几，可以想办法先求出20052是7的多少倍数还余几天.解：20052=93)2867(2)2867()32867(22+⨯⨯⨯+⨯=+⨯ =277)2866()2867(2++⨯⨯+⨯.显然2005年12月1日是星期四，再过20052天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.。