411-2微分方程的基本概念11
经济数学知识点总结
经济数学知识点总结一、函数与极限1、函数11 函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数x∈D，按照一定的法则f，变量y 总有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。
111 函数的定义域：使函数有意义的自变量取值的集合。
112 函数的值域：函数值的集合。
113 函数的性质：有单调性、奇偶性、周期性、有界性等。
114 基本初等函数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
115 复合函数：设 y ＝ f(u)，u ＝φ(x)，则称 y ＝fφ(x)为复合函数。
116 反函数：设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
对于y∈R，在 D 中存在唯一确定的 x 与之对应，这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f^（－1)（y)。
2、极限21 数列的极限：对于数列{xn}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜xn A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列{xn}的极限，记作lim(n→∞） xn ＝ A。
211 函数的极限：当自变量 x 趋于某个值 x0 （或趋于无穷大）时，函数 f(x) 无限接近于某个确定的常数 A，则称 A 为函数 f(x) 当 x 趋于x0 （或趋于无穷大）时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A 或lim(x→∞）f(x) ＝ A 。
212 极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。
213 极限的运算法则：包括四则运算、复合函数的极限法则。
二、导数与微分1、导数11 导数的定义：设函数 y ＝ f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量Δx （点 x0 ＋Δx 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy ＝ f(x0 ＋Δx) f(x0) ；如果Δy 与Δx 之比当Δx→0时的极限存在，则称函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处的导数，记作 f'（x0) 。
常微分方程(1,2章)
强迫微小振动 若单摆还受到一个始终与运动方向相同的力F ( t )，则单摆 的运动微分方程为
d2kdgF(t) (1.19)
dt2 mdt l lm
初始状态 要确定摆的某一特定运动时，还应该给出摆的初始状态，即当 t = 0 时，
0,
d
dt
0
它们分别代表摆的初始位置和初始角速度.
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( 1 .2 8 )
此模型称为SIS模型，σ 称为称为每个病人的有效接触人数 .
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如一些有很强免疫性的传染病，病人治愈后不会再被感染 . 设在时刻 t 时的 愈后免疫人数为 r ( t ) (称为移出人数）, 而治愈率 l 为常数， 即
dr(t) lx(t) dt
则
x ( t) y ( t) r ( t) n ( 1 .2 9 )
常微分方程
第一章 绪 论
§1.1 微分方程 过程的数学模型 §1.2 微分方程的基本概念
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§1.1 微分方程 – 变化过程的数学模型
函数是反映事物变化过程中的量与量之间的关系， 但是现 实中稍微复杂一点的关系，一般都是很难直接找到的，而却比 较容易找到这些量和这些量与量之间的导数（变化率）的关系 式 . 这种联系着自变量、未知函数和它的导数（微分）的关系 式称为微分方程 .
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例5 传染病模型 设传染病传播期间其地区总人数不变，为常数 n，开始
时染病人数为x0，在时刻 t 时健康人数为 y ( t )，染病人数为x ( t ) .
基本假设: 单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比
例常数为 k，称为传染系数 .由此假设可得以下微分方程
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中的一个重要分支，用来研究包含未知函数及其导数的方程。
它在物理学、工程学、经济学等学科中有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念，包括一阶和二阶微分方程、初值问题以及常见的解析解方法。
一、一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的导数只出现一阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{dy}}{{dx}} = f(x, y)\]其中，y是未知函数，f(x, y)是已知的函数。
一阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
为了求解一阶微分方程，我们可以使用分离变量法、恰当方程法或者线性方程法等解析解方法。
分离变量法要求将未知函数y与自变量x 的项分开，并进行适当变换，使得两边可以分别积分得到解。
恰当方程法要求将一阶微分方程化为全微分形式，然后积分求解。
线性方程法则适用于具有形如\(\frac{{dy}}{{dx}} + p(x)y = q(x)\)的方程，通过乘以合适的因子，将其转化为恰当方程求解。
二、二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的导数出现在方程中的最高阶为二阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = f(x, y, \frac{{dy}}{{dx}})\]其中，y是未知函数，f(x, y, \(\frac{{dy}}{{dx}}\))是已知的多元函数。
二阶微分方程的解是函数y(x)，使得方程对于所有的x成立。
与一阶微分方程类似，二阶微分方程的求解也可以通过解析解方法进行。
其中，常见的解法包括常系数线性齐次方程法、特殊非齐次方程法和变量分离法等。
常系数线性齐次方程法适用于形如\(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} + a\frac{{dy}}{{dx}} + by = 0\)的方程，通过猜测解的形式，将其代入方程并化简求解。
常微分方程的基本概念
esin x esin xesin xdx C
esin x x C .
例2. 解方程 (x 1) dy y ex (x 1)1, (为常数)
dx
解：dy y ex (x 1)
dx x 1 利用求解公式
y
e
(
)dx x1
[
ex (x
1)
e
(
)dx x1
dx
C]
e [ ln(x1) e x (x 1) e ln(x1)dx C]
代入上式后化简,
k
得特解
v
m
g
(1
e
k m
t
)
v
mg k
k
5.2.2 可化为可分离变量的方程
形如y' f ( y )的微分方程称为齐次微分方程. x
解齐次方程时,通常用变量替换法,即 设u y ,
x
将齐次方程化为可变量分离的方程.
由y ux, dy u x du , 代入原方程 ,得u x du f (u)
[解] 令 u y , y ux , y' u xu'
x
则 u xu' 1 u 1u
即 xu' 1 2u u2 1u
两端积分
1u 1 2u
u2
du
1 x
dx
凑微分
1 2
d(u2 1 2u
2u 1) u2
1 x
dx
得
1 2
ln(u2
2u
1)
ln
x
ln
C1
u2
2u 1
C x2
B.质点自由下落
一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求 质点下落距离S与时间t的函数关系。
微分方程在实际中的应用
微分方程在实际中的应用【摘要】本文通过举例，说明了微分方程在生物、经济、物理等交叉学科中的作用，进一步揭示了掌握微分方程理论知识的重要性。
【关键词】竞争种群;供求均衡;混沌一、微分方程的基本概念：表示自变量、函数、导函数关系的等式称为微分方程，如果函数只有一个自变量，那么称其为常微分方程（ODEs），若函数有多个自变量，称其为偏微分方程（PDEs）。
只含一阶导数的微分方程称为一阶微分方程，含有阶导数的方程称为阶微分方程，阶微分方程通过变换可以化成由个一阶微分方程构成的方程组;如果函数和它的导函数都是一次的微分方程称为线性微分方程，否则称非线性微分方程。
二、在生物种群模型中的应用：两个竞争种群A、B在时刻密度分别为和，和是关于时间的连续可微函数。
种群A、B不断繁殖导致密度变化，而由于A、B之间相互竞争，导致它们各自作为对方的食饵而相互抵消，这样影响它们各自密度变化率的有两个因素：一是自身的增长消亡，二是相互竞争导致的消亡。
由此有了下面著名的V olterra模型：这里，和分别表示了在时刻种群A、B的密度变化，分别为A、B的自然增长率，表示它们自身的消亡。
而、表示A、B的内禀增长率，表示在B的影响下，种群A的减少程度;表示在A的影响下，种群B的减少程度，且要求系数均是大于0的常数。
这是一个一阶非线性常微分方程组，它的平衡点为A、B、C、P，当时，平衡点P具有生态意义，即它是渐进稳定的正平衡点，当时，，说明在一定条件下经过长期竞争后，可以使种群A、B 密度（数量）趋于稳定。
三、在数量经济中的应用：在完全市场竞争条件下，商品价格由供求关系决定，即商品在时刻的供给量及需求量与时刻的商品价格有关，假设供给函数与需求函数分别为，其中，均为常数，且。
则供求均衡的静态模型为，此时均衡价格为。
假设初始价格为，而时刻价格变化率与供求量的差值成正比，即有这是一个一阶线性常微分方程的初值问题，其中为比例常数，，这个方程的解为由于，则，即最终供求平衡使得商品价格达到一个稳态。
微分方程基本概念(2)
布莱克—舒尔斯期权定价模型
• 假设条件： 1）市场的无摩擦性 2）从时刻t=0到t=T，都可以以一相同不变的
利率借贷，利率按连续复利r计算 3）从时刻t=0到t=T股票不分红 4）标的物股票价格的变化遵循对数正态分布
的随机过程
伊藤过程
• 在以上假设条件下，股票价格的运动遵循 一种称之为带漂移的几何布朗运动的规律 ，在数学上则表现为称作伊藤过程的一种 随机过程
dt
(t2x)dtxdx0,
z x y, x
微分方程的实质: 体现自变量,函数以及函 数的某些导数(或微分)之间关系的等式
2.微分方程的分类:
分类(1): 根据未知函数是一元或多元来分
常微分方程, 偏微分方程.
dY Y yxy, y2y3yex,
dt
(t2x)dtxdx0,
z x y, x
ftrfS S f 1 2 S 2f22S2rf f
既然可以认为资产收益率服从正态分布，那么通过考 察资产价格与收益率之间的关系，便可探求资产价格的变 化规律
lo g
~
S (T
)
~
N
( T ,
2T
)
S (0)
E
~
S (T
)
T
S (0)
Var
~
S
(T
)
2T
S (0)
~E (S (T来自)) S (0) exp( T
1
2T
)
2
利用连续计息方式计息的连续复
利
rt 365
log1
~
Rt
365
log
~
St
~
St1
r
log1
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念第一章常微分方程微分方程是数学理论（尤其是微积分）与实践相结合的重要途径之一。
它是研究许多自然科学、工程技术、生物技术、农业、经济和许多其他问题的有力工具。
因此，微分方程具有重要的应用价值。
本章主要介绍常微分方程的一些基本概念和几种常见微分方程的一些基本解。
下面我们通过两个具体例题来说明微分方程的基本概念。
示例一曲线通过点（1,2），曲线任意点m（x，y）的切线斜率为2x。
求出曲线方程。
解设所求的曲线方程为y=y(x),则根据导数的几何意义可知，未知函数y=y(x)应满足下面的关系：阿迪？2X，（1）DX，当x=1，y=2，也就是说，y（1）=2（2）到（1）dy?2x两端积分，得dx2y=2xdx?x?c(3)其中c是任意常数。
如果y（1）=2代，C=1代（3），即得所求曲线方程y?x?1（4）例2质量为M的粒子只有在重力的作用下才能从静止状态自由下落。
试着找到它的运动方程解在中学阶段就已经知道，从高度为h处下落的自由落体，离地面高度s的变化规律为s=h－程．二百一十二gt，其中g为重力加速度．这个规律是怎么得到的呢？下面我们给出推导过2m?取质点下落的铅垂线为s轴，它与地面的交点为原点，并规定正?h向朝上．设质点在时刻t的位置在s(t)（如图1-1）．因为质点只受方向向下的重s(t)力的作用(空气阻力忽略不计)，由牛顿第二定律f=ma，得D2S（T）M=-mg。
参见图1-11D2S（T），即=G（5）2dt根据质点由静止状态自由下降的假设，初始速度为0，所以s=s(t)还应满足下列条件s|t=0=h，Ds | t=0=0，（6）DT积分方程（6）的两边，和ds(t)=－g?dt=－gt+c1，(7)dt两边再积分，得s（t）=？（？gt？c1）dt=－12gt+c1t+c2，(8)2其中c1，c2均为任意常数．将条件（7）代入方程（8）和（9）中，得到C1=0和C2=h。
然后运动方程为s(t)=－十二gt+h．(9)2上述两个例子中的关系式（1）和（5）中，都含有未知函数的导数，自变量也都只有一个，且方程都附加有一定的条件。
微分方程求解-解微分方程
微分方程求解-解微分方程微分方程求解求解微分方程：简单地说，就是去微分，将方程化成自变量与因变量关系的方程。
近来做毕业设计遇到微分方程问题，搞懂后，特发此文，来帮广大同学，网友。
1.最简单的例子：——————》求微分方程的通解。
dx解方程是可分离变量的，分离变量后得两端积分：得：从而：又因为。
仍是任意常数，可以记作C 。
非齐次线性方程2y 求方程的通解解：非齐次线性方程。
先求对应的齐次方程的通解。
5，，用常数变易法：把C换成u(x)，即令则有，dx12，代入原方程式中得两端积分，得。
33再代入式即得所求方程通解。
3法二：假设待求的微分方程是:我们可以直接应用下式得到方程的通解，其中，2，代入积分同样可得方程通解5，3232.微分方程的相关概念：(看完后你会懂得各类微分方程)一阶微分方程：或可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为的形式，解法：得：称为隐式通解。
，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设，则，，分离变量，积分后将代替u，齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：当时,为齐次方程，当时，为非齐次方程，，全微分方程：如果中左端是某函数的全微分方程，即：应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：时为齐次时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中的系数；2、求出式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：，p,q为常数型，为常数；型3.工程中的解法：四阶定步长Runge-Kutta算法其中h 为计算步长，在实际应用中该步长是一个常数，这样由四阶Runge-Kutta算法可以由当前状态变量Xt 的值求解出下状态变量Xt +1 的值亲们，你们满意吗？一阶微分方程的解一阶微分方程的常数变易法的应用探析The exploration of linear ordinary differential equation of first order with method of leadingvariables作者：刘*专业：数学与应用数学指导老师：杜* *完成时间：2016年9月1号摘要常数变易法是作为求解一阶线性方程的解法给出的。
常微分方程总结
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
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二、y f (x, y) 型的微分方程 即含自变量x,
不含未知函数y
设 y p (x) ,
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证: 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得
[C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
Q(x)[C1y1 C2 y2 ] C1[ y1 P(x) y1 Q(x) y1]
dx
令z
y1
n
,则
dz dx
(1 n)yn
dy dx
dz (1 n) P(x) z (1 n)Q(x) (线性方程)
dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
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内容小结
1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
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微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
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一、一阶线性微分方程
第四章第一节微分方程的基本概念
第四章第一节微分方程的基本概念基本内容1. 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数(或微分)与自娈量之间的关系的方程称为微分方程。
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数)(xyy=称为微分方程的解。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
3.特解：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件，确定了通解中的任意常数后得到的解称为微分方程的特解。
习题选解1.试指出下列各微分方程的阶数（1）220 x dy y dx-=解：一阶（2）43()0 y y y y''''''-=解：二阶（3）220 d Q dQ QL Rdt Cdt++=解：二阶。
（4）(76)()0 x y dx x y dy-++=解：一阶（5）2sin ddρρθθ+=解：一阶（6）(5)20 y y y y''''-++=解：5阶2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解（1）30dy xy dx +=，3C y x = 解：因为343()dy C Cdxx x '==-，代入微分方程，得： 左边=333330dy C C xy dx x x +=-+==右边，所以3C y x =是微分方程的解。
（2）222220d y dyx x y dx dx -+=， 223y x x =-解：因为2(23)26dy x x x dx '=-=-，22(26)6d y x dx '=-=-代入微分方程，得： 左边222222262(26)2(23)0d y dy x x y x x x x x dx dx =-+=---+-==右边，所以223y x x =-是微分方程的解。
(完整版)高等数学期末复习考试之常微分方程部分
第11章 常微分方程习题课一. 内容提要1.基本概念含有一元未知函数)(x y (即待求函数)的导数或微分的方程,称为常微分方程;其中出现的)(x y 的最高阶导数的阶数称为此微分方程的阶;使微分方程在区间I 上成为恒等式的函数=y )(x ϕ称为此微分方程在I 上的解;显然一个微分方程若有解,则必有无穷多解;若n 阶微分方程的解中含有n 个不可合并的任意常数,则称其为此微分方程的通解;利用n 个独立的附加条件(称为定解条件)定出了所有任意常数的解称为特解;微分方程连同定解条件一起,合称为一个定解问题;当定解条件是初始条件(给出)1(,,,-'n y y y Λ在同一点0x 处的值)时,称为初值问题.2.一阶微分方程),(y x f y ='的解法(1)对于可分离变量方程)()(d d y x xy ψϕ=, 先分离变量(当0)(≠y ψ时)得x x y ψy d )()(d ϕ=, 再两边积分即得通解 C x x y y +=⎰⎰d )()(d ϕψ.(2)对于齐次方程d d y y f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 作变量代换x y u =,即xu y =,可将其化为可分离变量的方程,分离变量后,积分得C x x u u f u +=-⎰⎰d )(d ,再以xy 代替u 便得到齐次方程的通解.(3)形如)(111d d c y b x a c by ax f x y ++++=的方程, ①若1,c c 均为零,则是齐次方程;②若1,c c 不全为零,则不是齐次方程,但当k b b a a ==11时,只要作变换y b x a v 11+=,即可化为可分离变量的方程111)(d d a c v c kv f b x v +++=; 当11b b a a ≠时,只要作平移变换⎩⎨⎧-=-=00y y Y x x X ,即⎩⎨⎧+=+=00y Y y x X x (其中),(00y x 是线性方程组⎩⎨⎧=++=++0 0111c y b x a c by ax 的惟一解),便可化为齐次方程)(d d 11Yb X a bY aX f X Y ++=. (4)全微分方程若方程0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 之左端是某个二元函数),(y x u u =的全微分,则称其为全微分方程,显然C y x u =),(即为通解,而原函数),(y x u 可用曲线积分法、不定积分法或观察法求得. 通常用充要条件xQ y P ∂∂=∂∂来判定0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P 是否为全微分方程.对于某些不是全微分方程的0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P ,可乘上一个函数),(,y x μ使之成为全微分方程0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P μμ(注意到当0),(≠y x μ时0d ),(d ),(=+y y x Q x y x P μμ与原方程同解),并称),(,y x μ为积分因子;一般说来,求积分因子比较困难,但有时可通过观察得到.(5)一阶线性微分方程)()(x Q y x p y =+'的通解公式当)(x Q 不恒为零时,称其为一阶线性非齐次微分方程;当)(x Q 恒为零,时,即0)(=+'y x p y 称为一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的方程,易知其通解为⎰=-x x p C Y d )(e ;由此用“常数变易法”即可得到非齐次微分方程的通解)(d e )(e d )(d )(⎰⎰+⎰=-x x Q C y x x p x x p .(6)对于Bernoulli 方程n y x Q y x p y )()(=+' (1,0≠n ),只需作变换n y z -=1,即可化为一阶线性方程)()1()()1(d d x Q n z x p n xz -=-+. 3.高阶方程的降阶解法以下三种方程可通过变量代换降成一阶方程再求解:(1)对于方程)()(x f y n =,令)1(-=n y z 化为)(x f z =';在实际求解中,只要对方程连续积分n 次,即得其通解n n n n C x C x C x x f x y ++++=--⎰⎰111d )(d Λ4434421Λ次. (2)对于),(y x f y '=''(不显含y ),作变换y P '=,则P y '='',于是 化一阶方程),(P x f P =';显然对),()1()(-=n n y x f y 可作类似处理.(3)对于),(y y f y '=''(不显含x ),作变换y P '=,则y P P y d d ='',于是可化为一阶方程),(d d P y f yP P =.4.线性微分方程解的结构(1)线性齐次微分方程解的性质对于线性齐次微分方程来说,解的线性组合仍然是解.(2)线性齐次微分方程解的结构若n y y y ,,,21Λ是n 阶线性齐次微分方程的线性无关的解,则其通解为n n y c y c y c Y +++=Λ2211.(3)线性非齐次微分方程解的结构线性非齐次微分方程的通解y ,等于其对应的齐次方程的通解Y 与其自身的一个特解*y 之和,即*+=y Y y .(4)线性非齐次微分方程的叠加原理1ο设*k y (m k ,,2,1Λ=)是方程)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y k n n n n =+'+++--Λ的解,则∑=*mk k y 1是方程∑=--=+'+++mk k n n n n x f y x p y x p y x p y11)1(1)()()()()(Λ 的解. 2ο若实变量的复值函数)(i )(x v x u +是方程=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n )()()(1)1(1)(Λ)(i )(21x f x f + 的解,则此解的实部)(x u 是方程)()()()(11)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--Λ的解;虚部)(x v 是方程)()()()(21)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--Λ的解.(5)线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系线性非齐次方程任意两个解的差是对应的齐次方程的解.5.常系数线性微分方程的解法(1)求常系数线性齐次微分方程通解的“特征根法”1ο写出01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n Λ的特征方程0111=++++--n n n n p r p r p r Λ，并求特征根；2ο根据特征根是实根还是复根以及重数写出通解中对应的项(见(2)下列两种情况可用“待定系数法”求常系数线性非齐次方程的特解ο1对于x m x P x f λe )()(=,应设特解x m k x Q x y λe )(=*x m m m m k a x a x a x a x λ)e (1110++++=--Λ, 其中k 等于λ为特征根的重数(n k ≤≤0),01,,,m a a a L 是待定系数.将*y 代入原方程,可定出01,,,m a a a L ,从而求得*y .ο2对于()e [()cos sin ]x l s f x P x x P x λωω=+ (0≠ω),应设特解 ]sin )(cos )([e x x T x x R x y m m x k ωωλ+=*,其中k 等于i μλω=+为特征根的重数(20n k ≤≤),)(),(x T x R m m 是待定的},max{s l m =次多项式.将*y 代原方程,即可定出)(),(x T x R m m ,从而求得*y .或因为()e [()cos ()sin ]x l s f x P x x P x x λωω=+Re e (()i ())(cos isin )x l s Px P x x x λωω⎡⎤=-+⎣⎦ (i )Re ()e x m Q x λω+⎡⎤=⎣⎦（其中()m Q x ()i ()l s P x P x =-是max{,}m l s =次的复系数多项式）.对于方程()(1)11n n n n y p y p y p y --'++++=L (i )()e x m Q x λω+可设其特解 (i )()e k x m Y x Z x λω*+=，（()m Z x 是m 次待定复系数多项式，k 等于i μλω=+为特征根的重数），将(i )()e k x m Y x Z x λω*+=代入方程()(1)11n n n n y p y p y p y --'++++=L (i )()e x m Q x λω+中，可定出()m Z x ，于是(i )()e k x m Y x Z x λω*+=，从而原方程的特解Re y Y **=.3o 特例(i )()(1)(i )11()e ()cos ()e ()sin ()e ,()e x x l l x l n n x n n l f x P x x f x P x x Y Z x y p y p y p y P x λλλωλωωω*+-+-==='++++=L 当或时,设将其代入,求得,Re Im .Y y Y y Y *****==则原方程的一个特解或6.Euler 方程的解法(1) 形如)(1)1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++---Λ的线性变系数微分方程称为Euler 方程,是一种可化为常系数的变系数微分方程.(2) 解法只需作变换 t x e =,即x t ln =,即可将其化为常系数线性微分方程.若引入微分算子td d D =,则 y y x D =',y y x )1D(D 2-='',,Λy n y x n n )1(D )1D(D )(+--=Λ, 于是很容易写出对应的齐次方程的特征方程.7. 应用常微分方程解决实际问题的一般步骤(1) 在适当的坐标系下,设出未知函数)(x y y =,据已知条件写出相关的量;(2) 根据几何、物理、经济及其它学科的规律（往往是瞬时规律或局部近似规律）建立微分方程;(3) 提出定解条件;(4) 求定解问题的解;(5) 分析解的性质，用实践检验解的正确性.二.课堂练习(除补充题外,均选自复习题12)1.填空题(1)已知2e 1x y =及2e 2x x y =是方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解,则其通解为 )(e 212x C C x +.解:因2e 1x y =,2e 2x x y =都是解,且线性无关,故)(e 212x C C x +是通解.(2)设一质量为m 的物体,在空气中由静止开始下落 .若空气阻力为v k R =,则其下落的距离s 所满足的微分方程是s g m ''=, 初始条件是 (0)0,(0)0 s s '==. 解:因为ma F =,而v k mg F -=,s v '=,s a ''=,故得方程s m s k mg ''='-,化简得g s mk ='+''s ; 在如图所示的坐标系下,初始条件为 0)0(,0)0(='=s s . (3)微分方程x x y y y e 62=+'-''的特解*y 的形式为 )e ( 2x b ax x +.解: 因为特征方程为0122=+-r r ,121==r r ,而1=λ是二重特征根,故应设x b ax x y )e (2+=*.(4)若x x x x y x y x y 522322221e e ,e ,++=+==都是线性非齐次微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解,则其通解为25212 e e x x C C x ++.解:由线性非齐次方程的解与对应的齐次方程解的关系可O s (0)s ()s t知,x y y Y 2121e =-=, x y y Y 5232e =-=都是对应的齐次方程的解,且线性无关,故对应的齐次方程的通解为x x C C Y C Y C Y 52212211e e +=+=;由非齐次方程解的结构得其通解252211e e x C C y Y y x x ++=+=.(5)(补充)已知)(x f 满足⎰+=x t t f t x xf 0 2d )(1)(,则221() e x f x x =.解:两边对x 求导得)()()(2x f x x f x x f ='+,整理得()1()()f x x f x x'=-, 分离变量后积分得c x x x f ln ln 2)(ln 2+-=,即22e )(x x c x f =,0≠x ; 又当1=x 时,)1e (1d e 1)1(211 0 222-+=+=⎰c t t c t f t ,即c c c -+=2121e 1e 故1=c ,所以22e 1)(x xx f =. (6)(补充)设)(x f 有连续导数,且1)0(=f .若曲线积分⎰-+L y x x f x x yf 2d ])([d )(与路径无关,则 22e 3 )(--=x x f x .解: 记2)(),(x x f Q x yf P -==.因为积分与路径无关,故有xQ y P ∂∂=∂∂,即x x f x f 2)()(-'=,亦即x x f x f 2)()(=-'.它的通解为 ]d e 2[e ]d e 2[e )(d d c x x c x x x f x x x x +=+⎰⎰=⎰⎰--x c x e 22+--=. 由1)0(=f 得3=c ,于是22e 3)(--=x x f x .2π4(),=()1(0)π,(1) πe .y x y y x x y o x x y y αα∆=∆=+∆+==(7)(补充)已知在任意点处的增量其中， 则解：由题设知，2d .d 1y y x x =+ arctan 12π4d d ln arctan ,e .1(0)ππ,(1)πe .x y xy x C y C y xy C y ==+=+===分离变量得，积分得即由得故2.选择题(1)函数221e c x c y +=(21,c c 为任意常数)是微分方程02=-'-''y y y 的(A) 通解. (B)特解.(C)不是解. (D)解,但不是通解,也不是特解.答( D )解:因为221e c x c y +=x c 2e =,经检验是解,但含有任意常数,故不是特解,又因为只含一个独立的任意常数,故也不是通解.(2)微分方程x y y 2sin 222='-'',其特解形式为=*y(A)x C x B A 4sin 4cos ++. (B)x Cx x Bx A 4sin 4cos ++.(C)x C x B Ax 4sin 4cos ++. (D)x Cx x Bx Ax 4sin 4cos ++. 答( C)解:x y y 2sin 222='-''1cos 4x =-,特解为***+=21y y y .因为022=-r r ,2,021==r r ,而0=λ是特征方程的单根,故应设Ax y =*1;而i 4i =+ωλ不是特征方程根,故应设x C x B y 4sin 4cos 2+=*,因此***+=21y y y x C x B Ax 4sin 4cos ++=.(3)微分方程x y x y y x d )45(d )2(+=-是(A)一阶线性齐次方程. (B)一阶线性非齐次方程.(C)齐次方程. (D)可分离变量方程.答( C )解:原方程可化为x yx y yx y x x y -⋅+=-+=245245d d .(4)(补充)具有特解x y -=e 1,x x y -=e 22, x y e 33=的三阶常系数线性齐次微分方程是(A)0=+'-''-'''y y y y . (B)0=-'-''+'''y y y y . (C)0=-'+''-'''y y y y . (D)0=+'-''+'''y y y y .答( B )解: 由方程的特解可知,其特征根为1,1321=-==r r r ,于是特征方程为0)1()1(2=-+r r 即0123=--+r r r ,故方程为0=-'-''+'''y y y y .(5)(补充)方程09=+''y y 通过点)1,(-π且在该点处与直线1πy x +=-相切的积分曲线为(A)x C x C y 3sin 3cos 21+=. (B)x C x y 3sin 3cos 2+=. (C)x y 3cos =. (D)x x y 3sin 313cos -=.答( D) 解:因为092=+r ,i 32,1±=r ,故通解为x C x C y 3sin 3cos 21+=.由初始条件1)(,1)(='-=ππy y 得31,121-==C C ,所以所求积分曲线为 x x y 3sin 313cos -=.(6)(补充) 方程x y y x sin 3e )4(+=-的特解应设为 (A)x B A x sin e +.(B)x C x B A x sin cos e ++.(C)x C x B Ax x sin cos e ++. (D))sin cos e (x C x B A x x ++.答(D)解:对应的齐次方程的特征方程为014=-r ,特征根为 i ,i ,1 ,14321-==-==r r r r .令)()(sin 3e )(21x f x f x x f x +=+=.对于x x f e )(1=,因1=λ是 单特征根,故设x Ax y e 1=*;对于x x f sin 3)(2=,因i i μλω=+=是单特征 根,故设)sin cos (2x C x B x y +=*；从而)sin cos e (21x C x B A x y y y x ++=+=***. (7)(06考研)函数212e e e x x x y C C x -=++满足的一个微分方程是 (A)23e x y y y x '''--=. (B) 23e x y y y '''--=. (C) 23e x y y y x '''+-=. (D) 23e x y y y '''+-=.答(D)解:因为121,2r r ==-，即特征方程为220r r +-=，故排除（A ）、 （B ）.由1λ=是特征方程的单根，知()e x f x A =，故排除（C ）. 3.求下列方程的通解(2) ()x y y x y -=ln 2d d ; 解:方程化为y yx y y x ln 22d d =+,是一阶线性方程.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C y y y x y y yyd e ln 2e d 2d 12⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=⎰C y y y y y d ln 2122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-=C y y y y 22241ln 2121221ln -+-=Cy y .(5)0d d d d 22=+-++y x yx x y y y x x ;解:原方程可化为()()0arctan d 21d 21d 22=⎪⎭⎫⎝⎛++y x y x ,故通解为C yx y x =++arctan 212122. (10) y x x y +=+'2.解:设y x u +=2,即y x u +=22,则x xu u x y2d d 2d d -=.代入原方程得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=121d d u x x u .此为齐次方程,再设xu v =,则x v x v x u d d d d +=,故方程化为v v x v x v 21d d +=+.分离变量为 x x v v v v d 112d 22-=--，两边积分得 ()()()12ln ln 1ln 3112ln 3112ln 21C x v v v v +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---.代回原变量并整理得 ()C xy x y x ++=+23332.4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)()0d 2d 223=-+y xy x x y ,11==x y;解:原方程化为()2232d d x xy y x y -=,即2322d d x yx y y x -=-.令1-=x Z ,得322d d yZ y y Z =+.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C y y Z y yyyd e 2ed 23 d 2()C y y +=ln 212,即 ()C y y x +=ln 2112,故通解为()C y x y +=ln 22.由11==x y,得1=C ,所以特解为 ()1ln 22+=y x y . (3)02sin 2=-''y y ,()20π=y ,()10='y ;解:令y P '=,则y P P y d d ='',原方程化为 y y yP P cos sin 2d d 2=,即y y P P sin d sin 2d 2=.积分得 C y P +=22sin .由()20π=y ,()10='y ,得0=C ,故y P y sin =='.解之得C x y+=2tan ln .由()20π=y ,0=C .故特解为 x y e arctan 2=.5(补充).设x y e =是微分方程x y x p y x =+')(的一个解,求此微分方程满足条件0)2(ln =y 的特解.解:将x y e =代入微分方程得)(e x p x x +x x =e ,解之得x x x p x -=-e )(,于是此微分方程为x y x x y x x =-+'-)e (,即1)1e (=-+'-y y x .其对应的齐次方程的通解为xxC Y +-=ee ,于是此微分方程的通解为xxx C y e ee +=+-.由0)2(ln =y 得21e--=C ,故特解为21e ee -+--=x xx y .6(补充).设)(:x y y L =是一条向上凸的连续曲线,其上任意一点),(y x 处的曲率为211y '+,且此曲线上点)1,0(处的切线方程为1+=x y ,求该曲线的方程.解:因为曲线向上凸,故0<''y ,于是有='+''-32)1(y y 211y '+,化简得二阶方程)1(2y y '+-=''.令y P '=,则P y '='',故方程化为)1(2P P +-='.分离变量后积分得x C P -=1arctan .由题设有1)0()0(='=y P ,于是可定出41π=C ,所以πtan()4y P x '==-,再积分得2πln cos()4y x C =-+.由1)0(=y 得2ln 2112+=C ,因此该曲线:L π1ln cos()1ln 242y x =-++. 7(补充).某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V ,流入湖泊内不含A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V .已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过Vm 0.问至少需经过多少年,湖泊中污物A 的含量降至0m 以内?(注:设湖水中A 的浓度是均匀的.)解:设2000年初(记此时0=t )开始,第t 年湖泊中污物A 的总量为m ,浓度为V m ,则在时间间隔]d ,[t t t +内,排入湖泊中污染物A 的量为t mt V V m d 6d 600=⋅,流出湖泊的水中A 的量为t m t V V m d 3d 3=⋅,因而在此间隔内湖泊中污染物A 的改变量为t m mm d )36(d 0-=,005m m t ==.分离变量解得30e 2t C m m --=,由005m m t ==得029m C -=,故)e 91(230t m m -+=.令0m m =,解得 3ln 6=t ,即至少需经过3ln 6年湖泊中污物A 的含量降至0m 以内.8.求下列Euler 方程的通解(2)x y y x y x =+'-''642.解:设tx e =,方程化为 t y t yty e 6d d 5d d 22=+-.………………….（*）0652=+-r r ⇒21=r ,32=r . t t C C y 32 21e e +=. 设t a y e =*,代入方程（*），得 ()t t a a a e 65e =+-.由此定出21=a ,故ty e 21=*.从而原方程的通解为 x x C x C y 213221++=.9.设对于半空间0>x 内任意的光滑有向封闭曲面S , 都有0d d e d d )(d d )(2=--⎰⎰y x z x z x xyf z y x xf xS， 其中()x f 在()+∞,0内具有连续的一阶导数,且()1lim 0=+→x f x ,求()x f .解:由曲面积分与曲面无关的条件0=∂∂+∂∂+∂∂zRy Q x P ,有 ()()()0e 2=--+'x x xf x f x f x ,即()()x x x f x x f 2e 111=⎪⎭⎫ ⎝⎛--'.所以 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-C x x x f x x x x x d e e 1e d 112d 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅=⎰-C x x x x x x x d e e 11e 2()C xx x +=e e 1.由()1lim 0=+→x f x ,即()1e e 1lim 0=++→C xx x x ,可求出1-=C ,故 ()()1e e 1-=x x xx f .10(补充).设函数)0)((≥x x y 二阶可导且1)0(,0)(=>'y x y .过曲线)(x y y =上任意一点),(y x P ,作该曲线的切线及Ox 轴的垂线,上述二直线与Ox 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间] ,0[x 上以)(x y y =为曲边的曲边梯形面积记为2S ,并设212S S -恒为1,求此曲线)(x y y =的方程.解:曲线)(x y y =上点),(y x P 处的切线方程为))((x X x y y Y -'=-.切线与Ox 轴的交点为)(0 ,)()(x y x y x '-.由1)0(,0)(=>'y x y ,知0)(>x y ,于是211()()()2()2()y x y x S y x x x y x y x ⎛⎫=--= ⎪''⎝⎭;而⎰=x t t y S 0 2d )( (0≥x );故由条件1221≡-S S 得1d )( 02=-'⎰x t t y y y ,由此还可得1)0(='y .将1d )( 02=-'⎰x t t y y y 两边对x 求导并整理得2)(y y y '=''.令P y =',则y P P y d d ='',于是方程化为P yP y =d d ,解之得y C P y 1==',由1)0(='y 和1)0(=y 得11=C ,于是y y =',从而x C y e 2=.再由1)0(=y 得12=C ,故所求曲线方程为x y e =.11(06考研).设函数()f u 在(0, )+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式22220zz x y ∂∂+=∂∂. （1） 验证()()0f u f u u'''+=； （2） 若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. 解: （1）由(),z f u u ==()2222223222()()()y z z x f u f u f u x x x y x y ∂∂''''==⋅+⋅∂∂++，()2222223222()()()y z z x f u f u f u y y x y x y ∂∂''''==⋅+⋅∂∂++. 因为22220z z x y ∂∂+=∂∂，所以有()0f u ''+=，即 ()()0f u f u u'''+=. （2）由（1）得11()f u C u '=+，由(1)1f '=知10C =，即1()f u u'=；于是得2()ln f u u C =+，由(1)0f =，得20C =，所以()ln f u u =.12(07考研).解初值问题2(),(1)1,(1) 1.y x y y y y ''''⎧+=⎨'==⎩解：令2,,(),y P y P P x P P '''''==+=则原方程化为即d 1.d x x P P P-=于是()11d d 111e e d d ().PPPP x C P P P C P P C P ---⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由11d (1)1,0,d x yP y C P x='=====得且即解得322221,(1)1,33y x C y C =+==又由得故3221.33y x =+12（07考研）. 设幂级数0n n n a x ∞=∑在(, )-∞+∞内收敛，其和函数()y x 满足 240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--=== （I ）证明22,1,2,;1n n a a n n +==+L（II ）求()y x 的表达式.解：（I ）对0n n n y a x ∞==∑求一、二阶导数，得1212,(1),n n n n n n y na xy n n a x ∞∞--=='''==-∑∑代入240y xy y '''--=并整理得201(1)(2)240.nnnn n nn n n n n ax na x a x ∞∞∞+===++--=∑∑∑ 于是 202240,(1)(2)2(2)0,1,2,,n n a a n n a n a n +-=⎧⎨++-+==⎩L从而有 22,1,2,.1n n a a n n +==+L（II ）因为01(0)0,(0)1,y a y a '====故 20,0,1,2;k a k ==L212121*********,0,1,2,.21!!k k k k a a a a a k k k k k k k +---=======-L L所以22212121000()e ,(, ).!!k k nk x n k n k k k x x y a x a xx x x k k ∞∞∞∞+++=========∈-∞+∞∑∑∑∑213().()()3()6,()1().f x xf x f x x y f x x x D x f x '-=-==补充设满足且由曲线与 直线及轴所围的平面图形绕轴旋转一周得到的旋 转体的体积最小,求33d d 3232.()36,1()e6e d 6d 6.xx xx f x y y x x y f x C x x x C x x Cx x ---⎰⎰'-=-⎡⎤⎡⎤==+-=-⎰⎰⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+满足的方程解可写为 其通解：()112322001265402()π()d π(6)d π(1236)d 36 π2.75V C f x x Cx x x C x Cx x xC C ==+⎰⎰=++⎰=++旋转体的体积为()2322π()π207,()0,777.()67.C V C C V C C f x x x '''=+==-=>=-=-令，得惟一驻点且故是极小值点，也是最小值点于是。
微分方程介绍（ＰＤＦ）
微分方程综述目录微分方程综述 (1)一、微分方程理论产生的总体背景 (2)1.1生产背景 (2)1.2科学背景 (2)1.3学科背景 (3)1.3.1数学同力学的联系。
(4)1.3.2数学与物理的结合 (5)1.3.3几何学的需要 (5)1.3.4分析学分支之间的相互促进 (6)二、微积分创立中的常微分方程 (6)2.1牛顿与莱布尼茨之前的微分方程 (6)2.1.1对数创立与微分方程 (7)2.1.2巴罗三角形与微分方程 (8)2.1.3“切线的反问题”与微分方程 (9)2.2牛顿的微积分与微分方程 (11)2.2.1牛顿研究微分方程的历史背景 (11)2.3莱布尼茨的微积分与微分方程 (12)2.3.1莱布尼茨微分方程思想的来源 (13)2.3.2名词“微分方程”的首次提出 (13)三、常微分方程与微积分的分离 (14)3.1伯努利时代的前驱性贡献(1690-1740) (15)3.1.1莱布尼茨在微分方程求解方面的贡献 (15)3.1.2伯努利家族对微分方程求解的贡献 (15)3.2欧拉时代在求解微分方程方面的贡献(1730-1740) (17)3.2.1求解特殊类型微分方程的巨大成就 (17)四、一个求解微分方程的新方法 (17)五、计算机数学软件在常微分方程中的应用 (18)5.1计算机数学软件 (18)5.2常微分方程计算机辅助分析的具体处理 (19)六、微分方程的展望 (19)参考文献 (20)一、微分方程理论产生的总体背景在17-18世纪社会生产力发展的需求与科学数学化进程的影响下，微积分本身进一步深入发展并在力学、物理学、声学和几何学等方面广泛应用，刺激和推动了一系列应用分支的形成，微分方程理论正是在这一时代背景下应时而兴的. 同期出现的还有微分几何、变分法、无穷级数等，它们与微分方程理论相互影响，相互促进，共同组成了18世纪庞大的数学分支—分析学。
1.1生产背景17世纪始，欧洲经济出现巨大增长，所有的经济行业，如采掘业、纺织业、航海业、造船业、军械业以及交通运输业等都急需使用机械，又要求不断改进机械，因而技术问题以前所未有的速度前进。
高等数学@习题课：微分方程总结
A. C1 sin2 x C2 cos2 x
B. C1 C2 cos 2 x
C. C1 sin2 2x C2 tan2 x D. C1 C2 cos2 x
3. 设方程 y py qy 0 ， 则q<0是该方程有单调递增解的（ A ）
A. 充分非必要条件 B.充分必要条件 C. 必要非充分条件 D.非充分也非必要条件
三、试解下列各题
1.求微分方程
y x dy dx
y2 dy dx
满足y(0)=2的特解.
( x 1) dy y y2 , dx
y
dy y2
dx x1
y
dy y2
dx , x1
……
(
1 y
1 )dy y1
dx , x1
2.求微分方程 y 4 y 3 y 0 的积分曲线方程,
定理1 如果函数 y1( x)与 y2( x)是方程(1)的两个解, 那么 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常数）
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
x
2
,
d2x 4x 8cos4t dt2 ,
x4x 8cos4Байду номын сангаас,
x t0 0,
x t0 2,
作业：P353:总习题七 T3(1)(2)(3)(7)
二、选择题
1.函数y=C–x与微分方程
微分方程及其解定义
微分方程什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.例1 物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系.解如图1-1建立坐标系，设为t时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为加速度为质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律F = ma (力=质量×加速度)可以列出方程(·= ）(1.1) 其中k ＞0为阻尼系数，g是重力加速度.(1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程(1.1)可化为(1.2)将上式对t积分两次得(1.3)其中和是两个独立的任意常数，它是方程(1.2)的解.一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程（1.4）（1.5）(·=)（1.6）(′=)（1.7）在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为（1.8）如果在(1.8)中能将y′解出，则得到方程（1.9）或（1.10）(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微分形式的一阶方程.n 阶隐式方程的一般形式为（1.11）n 阶显式方程的一般形式为(1.12)在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y 为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：（1.13）显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.定义1.１设函数在区间I上连续，且有直到n阶的导数.如果把代入方程(1.11)，得到在区间I上关于x的恒等式，则称为方程(1.11)在区间I上的一个解.这样，从定义1.1可以直接验证：1. 函数y = x2＋Ｃ是方程(1.4)在区间(-∞，+∞)上的解，其中C是任意的常数.2. 函数是方程(1.5)在区间（-1,+1）上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.3. 函数是方程(1.6)在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.4. 函数是方程(１.７)在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，在(-∞，+∞)上有所以在（－∞，＋∞）上有从而该函数是方程(1.6)的解.从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n 阶常微分方程(1.11)的含有n个独立的任意常数C1，C2，…，Cn的解，称为该方程的通解，如果方程(1.11)的解不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积分.由上面的定义，不难看出，函数和分别是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函数是方程(1.7)的通积分，而函数y =±１是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件.初值问题例1中的函数(1.3)显然是方程(1.2)的通解，由于和是两个任意常数，这表明方程(1.2)有无数个解，解的图像见下面的图a和图b所示.图a（C1＞固定，C2＞0）图b（C1=0,C2＞0）而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个初始值条件，即初始位置x(0)= H 初始速度代入到通解中，推得于是，得到满足上述初值条件的特解为(1.14)它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律.求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题.于是我们称(1.14)是初值问题的解.对于一个n 阶方程，初值条件的一般提法是(1.15)其中是自变量的某个取定值，而是相应的未知函数及导数的给定值.方程(1.12)的初值问题常记为(1.16)初值问题也常称为柯希（Cauchy）问题.对于一阶方程，若已求出通解，只要把初值条件代入通解中，得到方程从中解出C，设为，代入通解，即得满足初值条件的解.对于n 阶方程，若已求出通解后，代入初值条件(1.15)，得到n个方程式(1.17)如果能从(1.17)式中确定出，代回通解，即得所求初值问题的.例2 求方程的满足初值条件的解.解方程通解为求导数后得将初值条件代入，得到方程组解出和得故所求特解为积分曲线为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.9)的一个特解的图象是xoy平面上的一条曲线，称为方程(1.9)的积分曲线，而通解的图象是平面上的一族曲线，称为积分曲线族.例如，方程(1.4)的通解+C是xoy平面上的一族抛物曲线.而是过点(0，0)的一条积分曲线.以后，为了叙述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程，也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将在第4章详细讨论.最后，我们要指出，本书中按习惯用分别代表，而分别代表本节要点：1．常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程.2．常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分.3．初值问题及初值问题解的求法.4．解的几何意义，积分曲线.。
高等数学 常微分方程
9
当 f ( u) u 0时,
即 x Ce
( u)
得
du ln C1 x , f ( u) u
,
（ ( u)
du ） f ( u) u
( )
y x
y 将 u 代入 , x
得通解 x Ce
,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0,
2
第十二章习题课
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22
2）. y f ( x , y ) 型的微分方程 .
【方程特点】方程右端不显含未知函数 y
【解法】令 y p( x ) ,则 y p( x ) 代入方程
得 p( x) f ( x, p( x ))
这是一个关于自变量 x 和未知函数 p( x ) 的一阶微分方程,
ln y P ( x )d x ln C
y C e P ( x )d x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
第十二章习题课
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12
y ( x ) u ( x ) e 用常数变易法: 作变换
P ( x )d x
, 则
( 2) 2 x ln x d y y ( y 2 ln x 1 ) d x 0
［提示］(1) 原方程化为 令 u = x y , 得 du (2) 将方程改写为
u ln u dx x
(分离变量方程)
dy 1 y3 y (贝努里方程) 令 z y 2 d x 2 x ln x 2x
【解】 ① 全微分方程 所求通解为
② 一阶线性非齐次微分方程
微分方程应背内容
订正：“G4”卷子中第五题的第9)小题改为：⎰++dxxx x 2211微分方程应背内容1、 微分方程的概念：微分方程、解、通解、特解、初始条件、积分曲线。
2、可分离变量方程：)()(x g x f dxdy ⋅=；解法：⎰⎰=dxx f dy y g 1)()(3、齐次方程：)(xy dxdy ϕ=；解法：令xy u=⇒'+='='=⇒代回xx x u x u xu y dxdy )(可分离变量方程4、一阶线性方程：QPy y =+'其通解⎰+⎰⎰=-][C dx Qe e y PdxPdx5、伯努利方程：nyQ Py y =+'；解法：令1n yu +-= 代回0)1(-n 1)Q(-n Pu 1n u ≠++=+-+'⇒)(6、可降阶方程 （1）)()(x f yn = 积分n 次.(2)、无y 型 0y y x f ='''),,( ，令y u'= 化为u u x f ='),,((3)无x 型0y y y f ='''),,(令p p y p y y p yx y ⋅'='⋅'='''=, 化为0p p p,y f y=⋅'),(7、叠加原理：如果22y ,y 分别是)()(x f Q(x)yy x P y 1=+'+''，)()(x f Q(x)y y x P y 2=+'+'' 的解，则2211y c y c y+=是、)()()(x f c x f c Q(x)yy x P y 2211+=+'+'' 的解。
（1） 如果22y ,y 是Q(x)yy x P y =+'+'')(的两个无关的解（即≠12y y/常数），则2211y c y c y +=是其通解（即0f f 21==）2(2)非齐通解=齐次通解+非齐特解(即1c c 0f 211===,) ；(3)两非齐解之差为齐次解(即-1c 1c f f 2121===,,) ；8、Rq p,∈时，0qy y p y =+'+''的通解y 与0q p 2=+λ+λ的两根21λλ,的关系是：(1)21λ≠λ实x2x121ec e c y λλ+=⇒，(2) 21λ=λ实x2x1xec ec y 11λλ+=⇒(3)0i 1,2≠ββ±α=λ,xsin e c x cos e c y x 2x 1β+β=⇒αα.9、当+β+⋅⋅⋅++=-αx )cos a xa xa e f(x)m 1m 1m0x[(](x )sin b xb xb m 1m 1m0β+⋅⋅⋅++-时，f(x)qy y p y =+'+''的特解+β+⋅⋅⋅++=-αx c)cos bxaxx ey1m mk x[(*](x f)sin ex dx 1m mβ+⋅⋅⋅++-其中k 满足β+αi 是q p 2=+λ+λ的k 重根。
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（ 1 ） 分 离 变 量 ： d f ( x ) d y ( g ( y ) 0 ) x ； g ( y )
（ 2 ） 两 边 积 分 ： g d ( y ) f y ( x ) d ； x
（ 3 ） 求 出 积 分 ， 得 通 解 ： G ( y ) F ( x ) C ， 其 中 G ( y )F ( , x ) 分 别 是 1 ,f ( x ) 的 原 函 数 。 g ( y )
u2 v2
，
代回变量ux3，vy2，得
原 方 程 的 通 解 e ar x y 2 3 c C ( x t 3 a ) 2 ( y n 2 ) 2 。
再见
例
2.解方程
ytanx y3 y( )0 2
.，4 2 21．齐次微分方程的一般形式：
若 当 t 0 时 ， 有 f ( t , t ) f ( x , y ) x y ① 则 称 方 程 d f ( x , y ) 为 y 齐 次 方 程 。
dx
在 ① 中 令 t 1 ， 得 f ( x , y ) f ( 1 , y ) ( y ) ， 故
5 .
称 附 加 条 件 y(x )y,y(x )y1 ,y(x )y2, ,y(n 1 )(x )yn 1 为 n 阶 微 分 方 程 F (x ,y,y,y, ,y(n )) 0的 初 始 条 件 。 称 问 题 y F ( x ( x ) , y y , ,y y , ( y x ,) , y 1 y , ( n ) ) , 0 y , ( n 1 ) ( x ) y n 1 . 为 初 值 问 题 。 微 分 方 程 满 足 初 始 条 件 的 解 称 为 特 解 。
即 d a b ( u u ) ， 这 f 是 可 分 离 变 量 方 程 。 dx
例 4．求方程 ysin(x y) 的通解。
4 ． y f ( a a 2 1 x x b b 1 2 y y c c 1 2 ) a 1 b 2 ( b 1 a 2 ) 型 的 方 程
例 5．解微分方程 y x y5 x y1
中 含 有 两 个 或 三 个 任 意 常 数 ， 则 需 求 二 阶 或 三 阶 导 数 。
§ 4 . 2 一 阶 微 分 方 程
一 阶 微 分 方 程 的 一 般 形 式 为 F ( x , y , y ) 0
4 2 1
可 分 离 变 量 方 程 的 一 般 形 式 为 d f ( x y ) g ( y ) ① dx
x2 y xy4 y3x4 。
4 . 微 分 方 程 的 解
能 使 微 分 方 程 成 为 恒 等 式 的 函 数 称 为 微 分 方 程 的 解 。 若 该 函 数 是 显 式 的 ， 则 称 为 显 式 解 ； 若 是 隐 式 的 ， 则 称 为 隐 式 解 。
若 微 分 方 程 的 解 中 含 有 任 意 常 数 ， 而 且 独 立 的 任 意 常 数 的 个 数 与 方 程 的 阶 数 相 等 ， 则 称 这 个 解 为 微 分 方 程 的 通 解 。
解 析 几 x 何 u 中 3 坐 标 y 平 v 移 2 的 思 路 可 解 决 这 个 问 题 。
d d ， d d 。 x u y v
原 微 分 方 程 就 可 化 为 齐 次 方 程 型 d d u u u v v 1 1 u v v ， u
arctanv
可得 e
u C
2 .
微 分 方 程 中 所 含 未 知 函 数 的 导 数 的 最 高 阶 数 称 为 微 分 方 程 的 阶 。 未 知 函 数 的 最 高 阶 导 数 为 n 的 微 分 方 程 称 为 n 阶 微 分 方 程 。
例3 . 如n ： ddxy xy0 ；
F (x x,ddxy 22y,y xy,2y s,iy nx,； y (n )) 0 .
x
x x
齐 次 方 程 的 形 式 为 d ( y ) y dx x
②
2 ． 齐 次 微 分 方 程 的 解 法
在 d ( y ) 中 ， 令 y u y ， 则 y x ， d u x d ， u y d x x x d d x
代 入 原 方 程 得 : u x d ( u ) ， u dx
例 2．验证函数 yC1coskxC2sinkx ①
是 微 分 方 程 d d 2 2 y k 2 x y 0 ( k 0 )
②
的 通 解 ， 并 求 方 程 ② 满 足 初 始 条 件 y x 0 A ，
d d x 0 x y 0 的 特 解 。
例4．试求以下列函数为通解的微分方程：
即 x d ( u ) u u ， 为 可 分 离 变 量 方 程 。 dx
例 3．求方程 y2dx( x2 xy)dy0 的通解。
3 ． y f ( a b ) 型 的 方 程 x y
令 u a b ， yx 1(uy ax) y 1(ua)
b
b
代 入 原 方 程 得 ： u a b ( u ) ， f
（ 4 ） 若 方 程 给 出 初 始 条 件 ， 则 根 据 初 始 条 件 确 定
常 C ， 得 方 程 的 数 特 解 。 （ 5 ） 若 有 g ( y ) 0 ， 把 y y 代 入 ① 式 可 知 ， y y 也
是 ① 的 一 个 解 ， 则 此 解 称 为 常 数 解 。
例1．求微分方程 y1xy2x2y的通解。
解 ： 令 x u h ， y v k ，
分 析 ： 则 这 x 个 方 y 程 5 不 u 是 h 齐 次 v 方 k 程 5 ， ， 它 与 齐 次 方 程 的 差 别 x y 1 u h v k 1
在 一 于 种 令 分 变 子 换 h h 与 ， k k 分 使 1 5 母 新 0 0 多 的 了 表 k h 常 达 数 式 3 2 项 中 。 ， 不 为 出 了 现 消 常 去 数 常 项 数 ， 项 借 ， 用 通 平 过 面
（ 1 ） y C a x . r e csi
（ 2 ） y C 1 c 3 x C 2 s 3 x 。 o in
例4．试求以下列函数为通解的微分方程：
（ 1 ） y C a x . r e csi
（ 2 ） y C 1 c 3 x C 2 s 3 x 。 o in
注 ： 这 类 问 题 的 解 法 是 先 求 导 ， 再 消 去 任 意 常 数 ， 若 通 解