北交大激光原理第4章高斯光束部分-final

第四章高斯光束理论一、学习要求与重点难点

学习要求

1．掌握高斯光束的描述参数以及传输特性；

2．理解q参数的引入，掌握q参数的ABCD定律；

3．掌握薄透镜对高斯光束的变换；

4．了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导；

5．理解高斯光束的聚焦和准直条件；

6．了解谐振腔的模式匹配方法。

重点

1.高斯光束的传输特性；

2.q参数的引入；

3.q参数的ABCD定律；

4.薄透镜对高斯光束的变换；

5.高斯光束的聚焦和准直条件；

6.谐振腔的模式匹配方法。

难点

1.q参数，及其ABCD定律；

2.薄透镜对高斯光束的变换；

3.谐振腔的模式匹配。

二、知识点总结

22

()220

020()()112()lim 2r w z z e w z w w R R z z z w z e z w πλλθπ-→∞??=??

????????

=+? ????????

?

?===???

振幅分布：按高斯函数从中心向外平滑降落。光斑半径高斯光束基本性质等相位面：以为半径的球面，远场发散角：基模高斯光束强度的点的远场发散角， ()0

1/2

221

22

22

00()()1()()()1()11()()()

()()w f w z w z R z R z z R z w z i q z R z w z W z R Z w q z if z q z i z πλλπλππλ--??????=+?? ?????

????→??????=+??? ?????????

=-→=+=+=+0（或）及束腰位置w 高斯光束特征参数光斑半径w(z)和等相位面曲率半径R(z)，

q 参数，将两个参数和统一在一个表达式中，便于研究???????????????

????

??

高斯光束通过光学系统的传输规律

121

121121A B C D AR B R R ABCD CR D Aq B q q Cq D θθθθ??+????

=??

+????

+?

?=→??+??

??+=??

+??

??????

121r r r

傍轴光线的变换规律r 傍轴球面波的曲率半径的变换规律遵从相同的变换规律公式

高斯光束参数的变换规律 121'

00'

000''ABCD Aq B q Cq D q w w F l l l l l w w F +=

+??

???????→????=+???

??

公式高斯光束的聚焦:只讨论单透镜

高斯光束的准直：一般为双透镜

高斯光束参数的变换规律已知，，确定透镜焦距及透镜距离，高斯光束的模式匹配：实质是透镜变换，分两种情况已知两腔相对位置固定及，确定，如何选择高斯光束的自再现变换和稳定球面腔 220

220

112'1(')(0)()'2()1w F l l w w or q l q F R l l l

w R l l l πλπλ????????

=+ ??????=????

→=→=???=????????

=+? ?????????

透镜高斯光束的自再现变换即稳定球面腔

球面镜

三、典型问题的分析思路

()w z w w ==等相位面曲率半径 220

()1w R z z z πλ??????=+ ???????

高斯光束的q 参数在自由空间中的传输规律2

0()w q z i z q z πλ

=+=+ 2

211Re ()()11()()()11Im ()()R z q z i q z R z w z w z q z λππ

λ???

=??????

=-?????=-??????

基模高斯光束强度的1/e 2

点的远场发散角00

2()

lim 2

z w z z

w λθπ→∞

===的实质是，通过任意光学系统追踪高斯光束的q 参数值。首先要计算傍轴光线通过该系统的变换矩阵?

?

?

?

??D C B A →求出某位置处的q(z)→光束的曲率半径R(z)和光斑大小w(z)。 1）高斯光束通过单个透镜的变换。

已知入射高斯光束的腰斑半径和位置，求出射高斯光束的腰斑半径和位置。求解这类问题的方法是根据傍轴光线通过该系统（透镜）的变换矩阵1

011A B C D F ????

=?

?

??-????

，在透镜左端入射高斯光束的q 参数A q if l =+，求出经过此光学系统变换后的q 参数，然后得到出射高斯光束的腰斑半径和位置。 高斯光束通过双透镜的变换。

高斯光束通过第一个透镜后，出射高斯光束的腰斑半径和位置，然后将第一个透镜的出射光束看成是第二个透镜的入射光束，再重复利用公式 3）高斯光束的聚焦

()()()22200

2

2

22220

w F w F l f l F F l F l F f

w f πλ

'=

-+-'=+-+=

(1) F < f 透镜焦距足够小 无论 l 为何值, 均可使0

0w w '<若 F > f 要使 00w w '<要求()2

22F F l f <-+

即l F l F ><才能聚焦如果

F l F <<不能聚焦

(2). F 一定时0

0'l F w F w l F λπ'=?== 0

l F l w '>?↑→↓00l w l F ''=∞?→→

良好的聚焦效果：使用短焦距透镜；光腰远离透镜；双透镜聚焦 4）高斯光束的准直

a. 单透镜对高斯光束发散角的影响物高斯光束的发散角为 00

2

w λθπ=

像高斯光束的发散角为 00

'2

'w λθπ=

()

22

2

00

2

2

w F

w F l f

'=

-+

0'θ=

当l F =时，'

0w 达到极大值00

'w F w λπ=

00

'2

2

'w w F

λθπ==

在l F =时， F 越大， 0w 越小，像高斯光束的方向性越好。b. 利用望远镜将高斯光束准直方法：先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，获得极小的腰斑，然后用一个长焦距的透镜来改善其方向性，可得到很好的准直效果。

w 0

l F 1

F 2

s

w (l)

w '0

w "0

经过第二个透镜后高斯光束的发

散角0

2w λ

θπ''=

''可以看出0

w θ''''↑→↓，所以要使 0w ''增大 当 2l F '= 时, 0

20w F w λπ'''=最大。所以第二个透镜的焦距2F 要尽可能的大,而且'

0w 要尽可能的小，这就要求1l F >>，这时光腰几乎落在焦平面上, 12S F F ≈+组成一倒装望远镜。

准直倍率(发散角压缩比) ()2

22

210111w l F F F l M F w F f F θθ??'=

=?=+> ?''??

5）高斯光束的模式匹配

模式匹配是使一个谐振腔的振荡模式经透镜变换后能在另一个谐振腔激发出相同的模式。

问题实质是透镜变换。

分两种情况：一种是已知w 0 ，w’0 ，确定透镜焦距（F ）及透镜的距离 l ， l’（即两腔的相对位置）。根据物方高斯光束和像方高斯光束腰斑尺寸和束腰到透镜的距离所满足的公式

00

0w w f πλ

'=

当0F f >并确定时，可求得 ,'l l 第二种情况是两腔相对位置固定 (即两光腰

之间的距离) 'l l l +=0 及w 0, w’0确定，为了实现模匹配, F

如何选择。

l F l F -='-=

将上面两式相加，根据0'l l l =+，得到

0000

02w w l F w w ?

'-=+?'?

其中00

0w w f πλ'=

，设000

0w w A w w ??'=+ ?'??，上面方程变为

()()2

2

2

22000440A F

l F l A f --++=根据此式可求的焦距F 。

四、思考题

1. 高斯光束最多需要几个独立参数来描写

2. 认为描述激光束最重要的一个参数是什么，为什么

3. 何使单透镜对激光束的聚焦效果最好

4. 对激光束聚焦的单透镜应如何选取

5. 如何才能使激光束准直效果最好

6. 聚焦、打孔及准直是高斯光束常见的应用问题，如何取得最佳工作条件

7. 如何加入第二束共线共焦UV 激光(30分)

8. 试说明发散角和球面光波束张角的区别。

五、练习题

1波长为λ的高斯光束入射到位于1z =（图）处的透镜上，为了使出射高斯光束的光腰刚好落在样品的表面上（样品表面距透镜L ），透镜的焦距f 应为多少画出解的简图。

样品

w f

l

L

图

2. 二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的曲率半径2R m =，腔长1L m =。求出它所产生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦参数R z 及发散角θ。

3. 某高斯光束光腰大小为0 1.14mm ω=，波长10.6m λμ=。求与腰相距30cm ，10m ，1km 处光斑的大小及波前曲率半径。

4. 求出上题所给出的个高斯光束的发散角21/e θ。用计算来回答下述问题：在什么条件下可以将高斯光束近似地看作曲率中心在光腰处的球面波即在什么条件下可以用公式()R z z =和公式21/()()e w z R z θ=?来计算高斯光束的光斑大小的波前曲率半径

5. 某高斯光束的0 1.2mm ω=，10.6m λμ=。另用2f cm =的凸透镜来聚焦。当光腰与透镜距离分别为10m 、1m 、0时，出射高斯光束的光腰大小和位置各为多少分析所得的结果。

6. 已知高斯光束的00.3mm ω=，0.6328m λμ=。试求：（1）光腰处；（2）与光腰相距30cm 处；（3）无穷远处的复参数q 值。

7. 两支氦氖激光器的结构及相对位置如图所示，求在什么位置插入一焦距为多大的透镜才能实现两个腔之间的模匹配

11R m =2R =∞'50R cm

='2R =∞

30L cm

='25L cm

=50cm

图

8. 从腔长为1m ，反射镜曲率半径为2m 的对称腔中输出的高斯光束入射到腔长为5cm ，曲率半径为10cm 的干涉仪中去，两腔长相距50cm ，为得到模匹配，应把焦距为多大的透镜放置在何处

9. 某高斯光束的0 1.2w mm =，10.6m λμ=，今用一望远镜将其准直，如图所示，主镜用镀金全反射镜：1R m =，口径为10cm ；副镜为一锗透镜：1 2.5f cm =，口径为1.5cm ，高斯光束的束腰与副镜相距1l m =，求以下两种情况望远镜系统对高斯光束的准直倍率：（1）两镜的焦点重合；（2）从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。

图

10. 月球距地球表面5

3.810km ?，使用波长0.5145m λμ=的激光束照射月球表面。当（1）光束发散角为3

1.010rad -?；（2）光束发散角为6

1.010rad -?时，月球表面被照亮的面积为多少两种情况下，光腰半径各为多少

11. 一高斯光束的光腰半径02w cm =，波长1m λμ=，从距离透镜为d 的地方垂直入射到焦距为4F cm =的透镜上。求：（1）0d =，（2）1d m =时，出射光束的光腰位置和光束发散角。

12一染料激光器输出激光器的波长0.63m λμ=，光腰半径为60m μ。使用焦距为5cm 的凸透镜对其聚焦，入射光腰到透镜的距离为0.50m 。问：离透镜4.8cm 处的出射光斑为多大

13. 一高斯光束的光腰半径为0ω，腰斑与焦距为f 的薄透镜相距为l ，经透镜变换后传输距离0l ，又经一折射率为η，长为L 的透明介质后输出，如图所示。求：（1）高斯光束在介质出射面处的q 参数和光斑半径。（2）若介质移到薄透镜处，即00L =（不考虑可能存在的间隙），求输出高斯光束的远场发散角θ。

2w l 0

l L

η

图

14. 如图所示，波长 1.06m λμ=的钕玻璃激光器的全反射镜的曲率半径1R m =，距全反射镜0.44a m =处放置长为0.1b m =的钕玻璃棒，其折射率为 1.7η=。棒的一端直接镀上半反射膜作为腔的输出端。（1）进行腔的稳定性判别；（2）求输出光斑的大小；（3）若输出端刚好位于0.1f m =的透镜的焦平面上，求透镜聚焦后的光腰大小和位置。

图

13、某二氧化碳激光器，采用平-凹腔，凹面镜的R=2m ，腔长L=1m 。试给出它所产生的高斯光束的束腰斑半径0ω的大小和位置、该高斯光束的f 及0θ的大小。

14、某高斯光束束腰斑大小为0ω=1.14mm ，m 6.10μλ=。求与束腰相距30cm 、10m 、

1000m 远处的光斑半径ω及波前曲率半径R 。

15、若已知某高斯光束之0ω=0.3mm ，8nm .632=λ。求束腰处的q 参数值，与束腰相距30cm 处的q 参数值，以及在与束腰相距无穷远处q 的值。

16、某高斯光束0ω=1.2mm ，m 6.10μλ=。今用F=2cm 的锗透镜聚焦，，当束腰与透镜的距离为10l m =、1m 、10cm 、0时，求焦斑大小和位置，并分析所得结果。

17、二氧化碳激光器输出光m 6.10μλ=，03mm ω=，用一2F cm =的凸透镜来聚

焦，求欲得到'

020m ωμ=及m 2.5μ时透镜应放在什么位置。

18、如图光学系统，入射光m 6.10μλ=，求"

0ω及3l 。

图

19、某高斯光束0ω=1.2mm ，m 6.10μλ=。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射

0=ω5cm

F 2=2cm

F 1=

镜R=1cm ，口径为20cm ；副镜为一锗透镜，5cm .2F 1=，口径为1.5cm ；高斯光束束腰与透镜相距1l m =，如图所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。

20、激光器的谐振腔由两个相同的凹面镜组成，它出射波长为λ的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a 的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数f 的实验原理及步骤。

21、已知一二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜组成，1m R 1=，2m R 2=，0.5m L =。如何选择高斯束腰斑0ω的大小和位置才能使它成为该谐振腔中的自在现光束

22、（1）用焦距为F 的薄透镜对波长为λ、束腰半径为0ω的高斯光束进行变换，并使

变换后的高斯光束的束腰半径（此称为高斯光束的聚焦），在F f >和20F f f πωλ??<= ??

?两

种情况下，如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离l （2）在聚焦过程中，如果薄透镜到高斯光束束腰的距离l 不能改变，如何选择透镜的焦距F

23、试由自在现变换的定义式（2.12.2）用q 参数法来推导出自在现变换条件式（）。 24、试证明在一般稳定腔（1R ，2R ，L ）中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径必分别等于各该镜面的曲率半径。

25、试从式（2.14.12）导出式（），并证明对双凸腔04C B 2

>-。

26、试计算1m R 1=，0.25m L =，5cm .2a 1=，1cm a 2=的虚共焦腔的往返单程和ξξ。若想保持1a 不变并从凹面镜1M 端单端输出，应如何选择2a 反之，若想保持2a 不变并从凸面镜2M 端单端输出，应如何选择1a 在这两种单端输出的条件下，往返单程和ξξ各为多大题中1a 为镜1M 的横截面半径，1R 为其曲率半径，2a 、2R 的意义类似。

六、部分答案

1. 高斯光束最多需要几个独立参数来描写 解答：两个。

2. 认为描述激光束最重要的一个参数是什么，为什么

解答：激光束最重要的一个参数是q 参数，因为它主要决定了高斯光束的场分布和传输特点。 3. 何使单透镜对激光束的聚焦效果最好 解答：

(1) F < f 透镜焦距足够小 无论 l 为何值, 均可使0

0w w '<(2). 若 F > f 要使

0w w '<要求()2

22F F l f <-+即l F l F ><才能聚焦如果

F l F <<不能聚焦

F 一定时0

0'l F w F w l F λπ'=?==

l F l w '>?↑→↓00l w l F ''=∞?→→

4. 对激光束聚焦的单透镜应如何选取

解答：使用短焦距透镜；光腰远离透镜。 5. 如何才能使激光束准直效果最好

解答：先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，获得极小的腰斑，然后用一个长焦距的透镜来改善其方向性，经过短透镜的出射光束聚在长焦距透镜的焦点上。这样可获得很好的准直效果。

6. 聚焦、打孔及准直是高斯光束常见的应用问题，如何取得最佳工作条件 解答：

7. 如何加入第二束共线共焦UV 激光(30分)

解答：

8. 试说明发散角和球面光波束张角的区别。

9. 波长为λ的高斯光束入射到位于1z =（图）处的透镜上，为了使出射高斯光束的光腰刚好落在样品的表面上（样品表面距透镜L ），透镜的焦距f 应为多少画出解的简图。

样品

w f

l

L

图

解答： 如图

f

q '

'q f

f

由

22

1111 '''11''''f f f f f f l l i i q R pw q R pw q q z q q z q q f

=-=-=-=-=-，１

，　， 得：

'''

(1)()

'(1)z zz q z z f f

q q z f f

-++-=-+-

将2'2

00

'q q πωπωλλ

==i ,ｉ 代入上式得： '''''000-(1-)(1-)(-)q q z z zz q q z z f f f f

+=++ 让实部和虚部对应相等得到：

'''000''0-,-(-)q f z zz q q z z f q f z f

==+-

进而得到：

2

'200

24

2022

(1)z f f

ωωπωλ=

-+

'

24

2022(1-)1-(1)z f z f z f f πωλ??????=??-+???

? 将'

,,z l z L ==代入上式可求出f

2. 二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的曲率半径2R m =，腔长1L m =。求出它所产生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦参数R z 及发散角θ。 解：

2R =1l =0

z =

由-1-12

12z z f

R z z z ===-+

=（）（），可得1f m =

由2

0f πωλ

=，可得

001.810.6

1.873.14 1.8

mm

mrad

ωλθπω====?

3. 某高斯光束光腰大小为0 1.14mm ω=，波长10.6m λμ=。求与腰相距30cm ，10m ，1km 处光斑的大小及波前曲率半径。 解答：

2

21z f R z z z

ωω==+

（）（）（）当z =30 cm 时，30302.09,0.79z z z mm R z m ω====（） （） 当z =10 m 时，10102.97,10.015z z z cm R z m ω====（） （） 当z =1000 m 时，100010002.96,1000z z z m R z m ω====（） （）

4. 求出上题所给出的个高斯光束的发散角21/e θ。用计算来回答下述问题：在什么条件下可以将高斯光束近似地看作曲率中心在光腰处的球面波即在什么条件下可以用公式()R z z =和公式21/()()e w z R z θ=?来计算高斯光束的光斑大小的波前曲率半径 解答：

633

02

010.610 2.96101.1410

0.38rad z m λθπωππωλ

---?===???=

=

当0z

z 时

2

022

001z p i z z

z

z z R

z z ωωθ=+=??=+=????

（）（）（）（）

5. 某高斯光束的0 1.2mm ω=，10.6m λμ=。另用2f cm =的凸透镜来聚焦。当光腰与透镜距离分别为10m 、1m 、0时，出射高斯光束的光腰大小和位置各为多少分析所得的结果。 解答： 根据

2

'2

00

24

2022

1-z f f

ωωπωλ=

+（） 242022

1-'11-z

f

z f z f f πωλ??

????=-

?

?+????

（）（） 当z =10 m 时， '

0 2.4,'2m z cm ωμ== 当z =1 m 时，'

0 2.12,' 2.03m z cm ωμ== 当z =0 m 时，''

0 2.64,202m z cm ωμ==

6. 已知高斯光束的00.3mm ω=，0.6328m λμ=。试求：（1）光腰处；（2）与光腰相距30cm 处；（3）无穷远处的复参数q 值。 解答：

由公式2

0,()f q z z if πωλ==+ ，代入数值得 1044.662303044.66344.66z q i z cm q i z q i ====+=∞=+∞

（）时 （）时 （）时 7. 两支氦氖激光器的结构及相对位置如图所示，求在什么位置插入一焦距为多大的透镜才能实现两个腔之间的模匹配

11R m =2R =∞'50R cm

='2R =∞

30L cm

='25L cm

=50cm

图

解答：

根据等相位面曲率半径为

2

21f R z z

=-+()

当-0.3z m =时，等相位面曲率半径11R = ，由上式得

2

1211-0.3f R z f z z m ?=-+=?

?≈??=?

（） 利用2

00.6328w f m πλμλ

== ， 得到40 3.2410w m -≈? 同理, '4

0 3.1710w m -≈?

根据高斯光束得模匹配公式有

'''

0000.75,0.51z F z F w w z z f πλ?

=±???=±

??

??+==≈??

解得

'0.87,0.31,0.44F m z m z m ===

8. 从腔长为1m ，反射镜曲率半径为2m 的对称腔中输出的高斯光束入射到腔长为5cm ，曲率半径为10cm 的干涉仪中去，两腔长相距50cm ，为得到模匹配，应把焦距为多大的透

镜放置在何处 解答：

112

4

202'''

12'0

2'00'

00'

0000.52

(2)40.0254.690.22

L

z m RL L L z z m

L f λωπωωωωωωπωωλ

=

=??=-=????

======

+==='

L(R-L)5

z =

=2R-2L 2A=

00.50.50.05 1.050.25,0.76l f m l m

=++=?==

9. 某高斯光束的0 1.2w mm =，10.6m λμ=，今用一望远镜将其准直，如图所示，主镜用镀金全反射镜：1R m =，口径为10cm ；副镜为一锗透镜：1 2.5f cm =，口径为1.5cm ，高斯光束的束腰与副镜相距1l m =，求以下两种情况望远镜系统对高斯光束的准直倍率：（1）两镜的焦点重合；（2）从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。

图

解答：

1'10121

'(1) 2.5()20f cm w z M M M w f M f M M ====

?==

2'

2

22

0'

50()(2) 2.506()(

) 2.810L f f l f cm

L f w m πωλ

--=+

=--=

=?

250f cm =，主镜上的光斑尺寸超过镜面尺寸，考虑衍射，22M =

10. 月球距地球表面5

3.810km ?，使用波长0.5145m λμ=的激光束照射月球表面。当（1）光束发散角为3

1.010rad -?；（2）光束发散角为6

1.010rad -?时，月球表面被照亮的面积为多少两种情况下，光腰半径各为多少 解答：

根据光斑尺寸为