2016年高考数学文试题立体几何

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2016年高考数学文试题分类汇编

立体几何大题

1、【2016年北京高考】如图,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,,AB DC DC AC ⊥∥ (I )求证:DC PAC ⊥平面;

(II )求证:PAB PAC ⊥平面平面;

(III )设点E 为AB 的中点,在棱PB 上是否存在点F ,使得//PA 平面C F E ?说明理由.

解:(I )因为C P ⊥平面CD AB ,

所以C DC P ⊥.

又因为DC C ⊥A ,

所以DC ⊥平面C PA .

(II )因为//DC AB ,DC C ⊥A ,

所以C AB ⊥A .

因为C P ⊥平面CD AB ,

所以C P ⊥AB .

所以AB ⊥平面C PA .

所以平面PAB ⊥平面C PA .

(III )棱PB 上存在点F ,使得//PA 平面C F E .证明如下:

取PB 中点F ,连结F E ,C E ,CF .

又因为E 为AB 的中点,

所以F//E PA .

又因为PA ⊄平面C F E ,

所以//PA 平面C F E .

2、【2016年江苏省高考】如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱B 1B 上,且11B D A F ⊥ ,1111AC A B ⊥.

求证:(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ;

(2)平面B 1DE ⊥平面A 1C1F.

(2)在直三棱柱111ABC A B C -中,1111AA ⊥平面A B C

因为11AC ⊂平面111A B C ,所以111AA ⊥A C

又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=I ,平面平面

所以11AC ⊥平面11ABB A

因为1B D ⊂平面11ABB A ,所以111AC B D ⊥

又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=I F ,平面平面

所以111C F B D A ⊥平面

因为直线11B D B DE ⊂平面,所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面

3、【2016年山东高考】在如图所示的几何体中,D 是AC 的中点,EF ∥

DB.

(I )已知AB=BC ,AE=EC.求证:AC ⊥FB ;

(II )已知G,H 分别是EC 和FB 的中点.求证:GH ∥平面ABC.

解析:(Ⅰ))证明:因BD EF //,所以EF 与BD 确定一个平面,连接DE ,因为E EC AE ,=为AC 的中点,所以AC DE ⊥;同理可得AC BD ⊥,又因为D DE BD =I ,所以⊥AC 平面BDEF ,因为⊂FB 平面BDEF ,FB AC ⊥。

(Ⅱ)设FC 的中点为I ,连HI GI ,,在CEF ∆中,G 是CE 的中点,所以EF GI //,又

DB EF //,所以DB GI //;在CFB ∆中,H 是FB 的中点,

所以BC HI //,又I HI GI =I ,所以平面//GHI 平面ABC ,因为⊂GH 平面GHI ,所以//GH 平面ABC 。 I

F

E H

G

B

D

C A

4、【2016年上海高考】将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆

柱,如图,»AC 长为56π ,¼

11A B 长为3

π,其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.

(1)求圆柱的体积与侧面积;

(2)求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.

【解析】(1)由题意可知,圆柱的高1h =,底面半径1r =.计算体积与侧面积即得.

(2)由11//O B OB 得C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角,计算C ∠OB 即得. 试题解析:(1)由题意可知,圆柱的母线长1l =,底面半径1r =.

圆柱的体积22V 11r l =π=π⨯⨯=π,

圆柱的侧面积22112S rl =π=π⨯⨯=π.

(2)设过点1B 的母线与下底面交于点B ,则11//O B OB ,

所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角.

由¼11A B 长为3π,可知1113

π∠AOB =∠A O B =, 由»C A 长为56π,可知5C 6π∠AO =,C C 2

π∠OB =∠AO -∠AOB =, 所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π. 5、【2016年四川高考】如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥CD ,AD ∥BC ,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12

AD 。

(I )在平面PAD 内找一点M ,使得直线CM ∥平面PAB ,并说明理由;

(II )证明:平面PAB ⊥平面PBD 。

【解析】

(I)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:

因为AD‖BC,BC=1

2

AD,所以BC‖AM, 且BC=AM.

所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM‖AB.

又AB⊂平面PAB,CM ⊄平面PAB,

所以CM∥平面PAB.

(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点) (II)由已知,PA⊥AB, PA ⊥CD,

因为AD∥BC,BC=1

2

AD,所以直线AB与CD相交,

所以PA ⊥平面ABCD. 从而PA ⊥BD.

因为AD∥BC,BC=1

2 AD,

所以BC∥MD,且BC=MD.

所以四边形BCDM是平行四边形.

所以BM=CD=1

2

AD,所以BD⊥AB.

又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.

又BD⊂平面PBD,

所以平面PAB⊥平面PBD.

6、【2016年天津高考】如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF||AB,

AB=2,BC=EF=1,6,DE=3,∠BAD=60º,G为BC的中点.

(Ⅰ)求证:FG||平面BED;

(Ⅱ)求证:平面BED⊥平面AED;

(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.

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