2016年高考数学文试题立体几何
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2016年高考数学文试题分类汇编
立体几何大题
1、【2016年北京高考】如图,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,,AB DC DC AC ⊥∥ (I )求证:DC PAC ⊥平面;
(II )求证:PAB PAC ⊥平面平面;
(III )设点E 为AB 的中点,在棱PB 上是否存在点F ,使得//PA 平面C F E ?说明理由.
解:(I )因为C P ⊥平面CD AB ,
所以C DC P ⊥.
又因为DC C ⊥A ,
所以DC ⊥平面C PA .
(II )因为//DC AB ,DC C ⊥A ,
所以C AB ⊥A .
因为C P ⊥平面CD AB ,
所以C P ⊥AB .
所以AB ⊥平面C PA .
所以平面PAB ⊥平面C PA .
(III )棱PB 上存在点F ,使得//PA 平面C F E .证明如下:
取PB 中点F ,连结F E ,C E ,CF .
又因为E 为AB 的中点,
所以F//E PA .
又因为PA ⊄平面C F E ,
所以//PA 平面C F E .
2、【2016年江苏省高考】如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱B 1B 上,且11B D A F ⊥ ,1111AC A B ⊥.
求证:(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ;
(2)平面B 1DE ⊥平面A 1C1F.
(2)在直三棱柱111ABC A B C -中,1111AA ⊥平面A B C
因为11AC ⊂平面111A B C ,所以111AA ⊥A C
又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=I ,平面平面
所以11AC ⊥平面11ABB A
因为1B D ⊂平面11ABB A ,所以111AC B D ⊥
又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=I F ,平面平面
所以111C F B D A ⊥平面
因为直线11B D B DE ⊂平面,所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面
3、【2016年山东高考】在如图所示的几何体中,D 是AC 的中点,EF ∥
DB.
(I )已知AB=BC ,AE=EC.求证:AC ⊥FB ;
(II )已知G,H 分别是EC 和FB 的中点.求证:GH ∥平面ABC.
解析:(Ⅰ))证明:因BD EF //,所以EF 与BD 确定一个平面,连接DE ,因为E EC AE ,=为AC 的中点,所以AC DE ⊥;同理可得AC BD ⊥,又因为D DE BD =I ,所以⊥AC 平面BDEF ,因为⊂FB 平面BDEF ,FB AC ⊥。
(Ⅱ)设FC 的中点为I ,连HI GI ,,在CEF ∆中,G 是CE 的中点,所以EF GI //,又
DB EF //,所以DB GI //;在CFB ∆中,H 是FB 的中点,
所以BC HI //,又I HI GI =I ,所以平面//GHI 平面ABC ,因为⊂GH 平面GHI ,所以//GH 平面ABC 。 I
F
E H
G
B
D
C A
4、【2016年上海高考】将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆
柱,如图,»AC 长为56π ,¼
11A B 长为3
π,其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.
(1)求圆柱的体积与侧面积;
(2)求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.
【解析】(1)由题意可知,圆柱的高1h =,底面半径1r =.计算体积与侧面积即得.
(2)由11//O B OB 得C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角,计算C ∠OB 即得. 试题解析:(1)由题意可知,圆柱的母线长1l =,底面半径1r =.
圆柱的体积22V 11r l =π=π⨯⨯=π,
圆柱的侧面积22112S rl =π=π⨯⨯=π.
(2)设过点1B 的母线与下底面交于点B ,则11//O B OB ,
所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角.
由¼11A B 长为3π,可知1113
π∠AOB =∠A O B =, 由»C A 长为56π,可知5C 6π∠AO =,C C 2
π∠OB =∠AO -∠AOB =, 所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π. 5、【2016年四川高考】如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥CD ,AD ∥BC ,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12
AD 。
(I )在平面PAD 内找一点M ,使得直线CM ∥平面PAB ,并说明理由;
(II )证明:平面PAB ⊥平面PBD 。
【解析】
(I)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:
因为AD‖BC,BC=1
2
AD,所以BC‖AM, 且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM‖AB.
又AB⊂平面PAB,CM ⊄平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点) (II)由已知,PA⊥AB, PA ⊥CD,
因为AD∥BC,BC=1
2
AD,所以直线AB与CD相交,
所以PA ⊥平面ABCD. 从而PA ⊥BD.
因为AD∥BC,BC=1
2 AD,
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=1
2
AD,所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
6、【2016年天津高考】如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF||AB,
AB=2,BC=EF=1,6,DE=3,∠BAD=60º,G为BC的中点.
(Ⅰ)求证:FG||平面BED;
(Ⅱ)求证:平面BED⊥平面AED;
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.