“一次函数”中的数学思想方法(一)

“一次函数”中的数学思想方法（一）

一、函数思想

函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题.

例1．利用图象解二元一次方程组⎩

⎨⎧-=+=-　②　①.5,22y x y x 分析：方程组中的两个方程均为关于x,y 的二元一次方程，可以转化为y 关于x 的函数.由①得y=2x-2，由②得y=-x-5，实质上是两个y 关于x 的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解.

解：由①得y=2x-2，

由②得y=-x-5.

在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x-2，

y=-x-5的图象如图1所示.

观察图象可知，直线y=2x-2与直线y=-x-5的交点坐标是(-1，-4).

∴原方程组的解是⎩

⎨

⎧-=-=.4,1y x 点评：解方程组通常用消元法.但如果把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解.

例2．我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水，据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05mL.小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x 小时后，水龙头滴了ymL 水.

（1）试写出y 与x 之间的函数关系式；

（2）当滴了1620mL 水时，小明离开水龙头几小时？

分析：已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水，又∵1小时=3600秒，∴1小时滴水3600×2滴，又∵每滴水约0.05mL ，∴每小时约滴水3600×2×0.05＝360mL.

解：（1）y 与x 之间的函数关系式为x=360x(x ≥0).

（2）当y=1620时，有360x=1620，

∴x=4.5.

∴当滴了1620mL 水时，小明离开水龙头4.5小时.

二、数形结合思想

数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法.数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用.

例3．如图2所示，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为A （2，0），且OA=OB ，试求一次函数的解析式.

图 1

图2

分析：通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B 点的坐标即可，因为OB=OA=2，所以点B 的坐标为（0，-2），再结合A 点坐标，即可求出一次函数的关系式.

解：设一次函数的关系式为y=kx+b(k,b 为常数，且k ≠0).

∵OA=OB ，点A 的坐标为(2，0),

∴点B 的坐标为(0，-2).

∵点A ，B 的坐标满足一次函数的关系式y=kx+b ，

∴⎩⎨⎧-=+=+,20,02b b k ∴⎩

⎨⎧-==.2,1b k ∴一次函数的关系式为y=x-2.

点评：利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用.