不等式的基本性质高中
高中数学知识点精讲精析 不等式的基本性质
4.1不等式的基本性质1．不等式的基本性质： ①对称性：a>b b<a; ②传递性：a>b,b>c a>c; ③可加性：a>b a+c>b+c; ④加法法则：a>b,c>d a+c>b+d; ⑤可乘性：a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac<bc; ⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ac>bd;⑦倒数法则：a>b,ab>0 ; ⑧乘方法则：a>b>0 an>bn;⑨开方法则：a>b>0 ;⑩绝对值不等式的性质： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 2．基本不等式（以下√表示根号，＾表示指数）如果a 、b 都为实数，那么a 平方+b 平方≥2ab，当且仅当a=b 时等号成立 证明如下： ∵（a-b)^2≥0 ∴a^2+b^2-2ab≥0 ∴a^2+b^2≥2ab如果a 、b 、c 都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c 时等号成立 如果a 、b 都是正数，那么（a+b ）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b 时等号成立。
（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立。
）和定积最大：当a+b=S 时，ab≤S^2/4（a=b 取等） 积定和最小：当ab=P 是，a+b≥2√P（a=b 取等）ba 11<⇒nn b a >⇒均值不等式：如果a,b 都为正数，那么√(( a 平方+b 平方)/2)≥（a+b ）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b 时等号成立。
）( 其中√(( a 平方+b 平方)/2)叫正数a,b 的平方平均数也叫正数a,b 的加权平均数；（a+b ）/2叫正数a,b 的算数平均数；√ab 正数a,b 的几何平均数；2/（1/a+1/b)叫正数a,b 的调和平均数。
高中数学不等式知识点
高中数学不等式知识点在高中数学的学习中，不等式是一个重要的内容板块，它不仅在数学领域有着广泛的应用，也对我们培养逻辑思维和解决实际问题的能力有着重要的作用。
下面我们就来详细梳理一下高中数学不等式的相关知识点。
一、不等式的基本性质1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。
2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。
3、加法法则：若 a ＞ b ，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
4、乘法法则：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。
这些基本性质是我们解决不等式问题的基础，需要牢记并能熟练运用。
二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （a ≠ 0）的不等式称为一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤为：1、去分母（若有分母）。
2、去括号。
3、移项，将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项。
5、系数化为 1 ，注意当系数为负数时，不等号方向要改变。
例如，解不等式 2x ＋ 5 ＞ 7 ，移项得到 2x ＞ 7 5 ，即 2x ＞ 2 ，系数化为 1 得 x ＞ 1 。
三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （a ≠ 0）的不等式称为一元二次不等式。
解一元二次不等式的关键是求出其对应的二次方程的根。
通过判断二次函数图象的开口方向以及与x 轴的交点情况来确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x² 2x 3 ＜ 0 ，先求出方程 x² 2x 3 ＝ 0 的根，即（x 3)（x ＋ 1) ＝ 0 ，解得 x ＝ 3 或 x ＝－1 。
因为二次函数开口向上，所以不等式的解集为－1 ＜ x ＜ 3 。
四、简单的绝对值不等式1、当|x| ＜ a （a ＞ 0）时，a ＜ x ＜ a 。
高中不等式知识点
高中不等式知识点高中阶段，不等式是数学中的重要内容之一。
不等式不仅在数学中有广泛的应用，也在生活中有很多实际意义。
下面我将重点介绍高中阶段学习不等式的一些重要知识点。
1. 不等式的基本性质：(1) 加减性质：对于不等式两边同时加减同一个数，不等号的方向保持不变；(2) 乘除性质：如果同一个正数或同一个负数同时乘或除不等式两边，不等号方向不变，如果同一个正数乘或除不等式两边，不等号的方向保持不变，如果同一个负数乘或除不等式两边，不等号的方向发生改变；(3) 倒置性质：不等号两边同时倒置，不等号的方向也要倒置。
2. 不等式的解集表示法：(1) 常用解集表示法：使用不等号来表示解集，如x>2表示x 大于2；(2) 区间表示法：使用数轴上的区间来表示解集，如[2, +∞)表示大于或等于2的所有实数。
3. 一元一次不等式：一元一次不等式指的是只含有一个未知数（一元）和一次方程的不等式。
对于一元一次不等式的求解，可以进行类似于方程的运算，通过移项和化简得出解集。
4. 一元二次不等式：一元二次不等式指的是含有一个未知数（一元）以及二次项（平方项）的不等式。
对于一元二次不等式的求解，可以通过变换成二次方程，求出方程的解集，再用数轴上的区间来表示解集。
5. 系统不等式：系统不等式指的是多个不等式组成的一个问题。
对于系统不等式的求解，可以通过图像法，通过画出各个不等式的直线图像，找出满足全部条件的交集部分来表示解集。
6. 约束条件的不等式：在一些实际问题中，不仅有不等式的限制条件，还有其他的约束条件。
对于这种情况，需要将不等式的解集与其他条件进行比较来确定最终的解集。
不等式作为数学中的重要内容，不仅仅是应试的一部分，更是对学生逻辑思维和数学思考能力的考验。
通过学习不等式，可以培养学生的分析问题和解决问题的能力，使他们在解决实际问题时能够灵活运用数学知识。
在生活中，不等式也有很多实际应用，如求解最大值、最小值问题、经济学中的供求关系等等。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
高一基本不等式的知识点
高一基本不等式的知识点在数学学科中，不等式是我们经常遇到的一类问题，也是解决实际问题和推理证明的常用工具。
在高中数学的学习中，如何正确处理和应用不等式是非常重要的。
本文将介绍一些高一阶段常见的基本不等式的知识点，希望能够对同学们的学习有所帮助。
一、正数不等式的基本性质正数不等式是我们在学习不等式时最常见的一种形式。
正数不等式的基本性质有以下几点：1. 加减同项，不等号方向不变。
例如，若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
2. 乘除同正数，不等号方向不变。
例如，若a>b，且c>0，则ac>bc，a/c>b/c。
3. 乘除同负数，不等号方向改变。
例如，若a>b，且c<0，则ac<bc，a/c< b/c。
二、平方不等式的知识点平方不等式是高一阶段经常遇到的一个重要内容。
对于大多数正实数和负实数，我们可以使用平方不等式进行简化和推导。
以下是一些常见的平方不等式知识点：1. 平方不等式基本性质：对于任意实数a和b，若a>b，那么a^2>b^2。
这是由于当a和b都为正数或负数时，平方操作不改变不等关系；而当a为正数，b为负数时，平方操作会改变不等关系。
2. 平方不等式求解方法：对于形如x^2-c>0的平方不等式，我们可以通过因式分解法或配方法将其转化为(x-a)(x-b)>0的形式，然后根据零点的位置关系进行讨论求解。
三、绝对值不等式的知识点绝对值不等式也是高一数学中重要的内容之一。
绝对值不等式的处理方法与普通的不等式稍有不同，需要注意以下几个方面：1. 绝对值不等式基本性质：对于任意实数a和b，若|a|>|b|，那么a^2>b^2。
这是因为绝对值的定义决定了当a和b的符号不同时，|a|>|b|必然意味着a^2>b^2。
2. 绝对值不等式求解方法：对于形如|ax+b|>c或|ax+b|<c的绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其转化为不等式组形式进行求解。
高三不等式知识点归纳图
高三不等式知识点归纳图不等式是高中数学中一个重要的概念，广泛应用于代数、几何和实际问题中。
在高三阶段，学生需要深入理解不等式的性质、求解方法以及在应用问题中的运用。
本文将通过归纳图的形式对高三不等式的知识点进行整理和归纳，帮助学生们更好地理解和掌握这一知识点。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：如果 a>b，b>c，则有 a>c；2. 不等式两边同时加（减）同一个数，不等号方向不变；3. 不等式两边同时乘（除）同一个正数，不等号方向不变；4. 不等式两边同时乘（除）同一个负数，不等号方向改变。
二、一元一次不等式1. 不等式的解集表示法：用集合的形式表示不等式的解集；2. 不等式的图像表示法：用数轴上的点表示不等式的解集；3. 一元一次不等式的解法：通过移项和化简，找到不等式的解集；4. 一元一次不等式组：通过解每个不等式，再求解交集；5. 不等式的解空间：解多个不等式组成的方程组。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解集表示法：用集合的形式表示不等式的解集；2. 一元二次不等式的图像表示法：用数轴上的点表示不等式的解集；3. 一元二次不等式的解法：利用一元二次不等式的性质和变形求解；4. 一元二次不等式组：通过解每个不等式，再求解交集。
四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的性质：|a|＜b 等价于 -b＜a＜b；2. 绝对值不等式的解法：通过移项和化简，根据情况分析绝对值的正负，找到不等式的解集。
五、分式不等式1. 分式不等式的解集表示法：用集合的形式表示不等式的解集；2. 分式不等式的解法：通过移项和化简，确定分式不等式的解集。
六、不等式应用1. 几何意义：利用不等式解决三角形、多边形的不等式问题；2. 实际问题：应用不等式解决数学建模、经济学、物理学等实际问题。
七、不等式的证明1. 证明不等式的基本方法：利用不等式的性质和变形进行证明；2. 数学归纳法的应用：通过数学归纳法证明不等式的正确性。
高中数学教案不等式的性质和解法
高中数学教案不等式的性质和解法高中数学教案：不等式的性质和解法在高中数学中，不等式是一个重要的概念，它可以帮助我们描述数值大小的关系。
掌握不等式的性质和解法对于学生的数学素养的提高至关重要。
本教案将介绍不等式的基本性质以及常用的解法方法，帮助学生深入理解不等式的本质和应用。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：不等式具有传递性的性质，即如果对于实数a、b和c，若a < b，b < c，则有a < c。
这是由实数集的有序性决定的。
2. 不等式的加法性：对于实数a、b和c，若a < b，则有a + c < b + c。
这是由实数加法运算的性质决定的。
3. 不等式的乘法性：对于实数a、b和c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。
若a < b且c < 0，则有ac > bc。
这是由实数乘法运算的性质决定的。
4. 已知不等式的平方：对于实数a，若a > 0，则有a^2 > 0。
若a < 0，则有a^2 > 0。
这是由实数平方的性质决定的。
二、不等式的解法方法1. 图解法：利用数轴上的点、线段和箭头等图形表示不等式的解集。
可以通过图示的方式直观地观察解集的范围。
2. 代数法：通过代数方法，利用不等式的性质，将不等式转化为若干等价的不等式，再通过解等价不等式得到原不等式的解集。
3. 数值法：对于一些简单的不等式，可以通过列举数字的方式求解。
将不等式中的变量替换为具体的数值，并逐个验证是否满足不等式，从而得到解集。
4. 增减法：通过逐步增减变量的值，缩小不等式的解集范围。
通过观察变量的增减趋势，可以确定不等式的解集。
三、应用实例例1：求解不等式2x + 5 > 10。
解：首先，由不等式的加法性质，可以将不等式转化为2x > 5。
然后，再利用不等式的乘法性质，将不等式进一步转化为x > 2.5。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。
平均不等式常用于综合法的标度。
分析方法:不等式两边的关系不够清晰。
通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。
4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。
同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。
不等式知识点
不等式知识点不等式，作为高中数学中一项重要的内容，贯穿着整个数学学习的过程。
它不仅在数学中有重要的地位，也在实际生活中应用广泛。
了解不等式的各种性质和解题方法，不仅可以帮助我们在数学考试中取得好成绩，更能在解决实际问题时发挥巨大的作用。
1. 不等式的基本概念不等式是用不等号连接的两个数或含有变量的代数式。
其中，大于号表示大于关系，小于号表示小于关系。
例如：3 > 2，x + 1 < 5等。
在不等式中，大于号和小于号都可以加上等于号，分别表示大于等于和小于等于的关系。
2. 不等式的性质（1）等价不等式性质：如果两个不等式左右两边互相相等，那么两个不等式的解集也相等。
例如：若a + b < c，则a + b + d < c + d。
（2）加减法性质：在不等式两边同时加或减相同的数，不等关系不变。
例如：若a < b，则a + c < b + c。
（3）乘除法性质：当不等号的一边为正数，另一边为负数时，改变不等关系。
例如：若a < b，则-a > -b。
但需注意，当两边同时乘或除以负数时，不等关系反转。
例如：若a < b，则-a > -b；若a > 0，则2a < a。
（4）倒置性质：如果不等式两边互相交换位置，不等关系也要交换。
例如：若a < b，则b > a。
3. 不等式的解法（1）图像法：将不等式等号两边的代数式分别画成函数图像，在坐标系中找出它们的共同区域，即为不等式的解集。
（2）试值法：根据不等式的性质，用一组特定的数值代替不等式中的变量，判断不等式是否成立。
（3）整理法：通过移动项的位置，使不等式看起来更简单。
例如：对于不等式a + b > c，可以移项为a + b - c > 0，更容易处理。
（4）分析法：对不等式进行逐步分析，通过推理和推导，得到不等式的解集。
4. 不等式在实际问题中的应用不等式在现实生活中有着广泛的应用。
高一不等式性质知识点总结
高一不等式性质知识点总结在高中数学中，不等式是一个重要且常见的概念。
不等式性质是解不等式以及进行数学推理的基础。
在高一学习阶段，学生需要掌握一些基本的不等式性质，并能够运用它们解决问题。
本文将对高一不等式性质进行总结和归纳，帮助学生更好地理解和运用相关知识。
一、基本的不等式性质1. 加减性质：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。
这个性质表示不等式两边同时加（减）相同的数时，不等关系保持不变。
2. 倍数性质：如果a>b，且c>0，那么ac>bc。
这个性质表示不等式两边同时乘以正数时，不等关系保持不变。
3. 倒数性质：如果a>b，且c<0，那么ac<bc。
这个性质表示不等式两边同时乘以负数时，不等关系改变。
4. 等价性质：如果a>b，并且c是一个正数，那么ac>bc；如果c是一个负数，那么ac<bc。
这个性质可以用于推导和证明不等式。
二、不等式的求解方法1. 基于图形的方法：对于简单的一元一次不等式，可以通过在数轴上绘制相关函数的图像来直观地找到解。
2. 基于性质的方法：利用不等式的性质进行数学推理和变形，以求得解的范围。
3. 基于代数的方法：对于复杂的不等式，可以利用代数的方法进行推导和解答。
常用的方法包括因式分解、配方法、平方根法等。
三、常见的不等式类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式，其中a和b是已知的实数，x是未知数。
通过代数的方法解题，可以得到解的范围。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式，其中a、b 和c是已知的实数，x是未知数。
解一元二次不等式的方法包括图像法、配方法和因式分解等。
3. 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式，其中a、b和c是已知的实数，x是未知数。
解绝对值不等式的方法包括分情况讨论和代数方法等。
4. 分式不等式：形如f(x)>g(x)的不等式，其中f(x)和g(x)是已知的分式函数，x是未知数。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结（最新版）目录一、高中不等式知识点总结二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.可积性三、不等式性质的运用1.作差比较法2.作商比较法四、高中数学不等式知识点总结五、结语正文一、高中不等式知识点总结在高中数学的学习中，不等式是一个重要的知识点。
不等式是指用大于号（>）、小于号（<）或大于等于号（≥）、小于等于号（≤）等符号连接的式子。
不等式在数学中有着广泛的应用，因此掌握不等式的相关知识点至关重要。
二、不等式的基本性质不等式具有以下几个基本性质：1.对称性：如果 a>b，那么 b<a；如果 a<b，那么 b>a。
即不等式的方向可以随意改变，不等式仍然成立。
2.传递性：如果 a>b，且 b>c，那么 a>c。
即不等式可以按照顺序进行传递。
3.可加性：如果 a>b，且 c>d，那么 a+c>b+d。
即两个不等式相加，不等号的方向不变。
4.可积性：如果 a>b，且 c>d，那么 ac>bd。
即两个不等式相乘，不等号的方向不变。
三、不等式性质的运用在实际解题过程中，我们可以运用不等式的基本性质来进行计算和比较大小。
例如，在比较两个数的大小时，我们可以通过作差比较法或作商比较法来判断。
作差比较法是指将两个数相减，比较差值的大小；作商比较法是指将两个数相除，比较商的大小。
四、高中数学不等式知识点总结在高中数学中，不等式的知识点涉及到一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、不等式组等。
对于这些不等式，我们需要掌握其解法和性质，并能够熟练运用到实际题目中。
五、结语不等式是高中数学中的一个重要知识点，掌握好不等式的相关性质和解法，对于提高数学成绩具有重要意义。
高中数学不等式求解技巧
高中数学不等式求解技巧高中数学中的不等式求解是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。
掌握一些求解不等式的技巧可以帮助我们更快、更准确地解题。
下面我将从不等式性质、基本不等式以及常用的不等式求解方法等方面进行介绍。
一、不等式性质1. 不等式传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。
2. 不等式加减性：如果 a<b，c>0，则有 a+c < b+c，a-c < b-c。
3. 不等式乘除性：如果a<b，c>0，则有ac < bc，a/c < b/c（前提是除数c不为0）。
二、基本不等式1. 异号的两个数相乘小于零：如果a<0<b，则有ab<0。
2. 两个数的平方关系：如果a≥b≥0，则有a^2≥b^2。
3. 正数的倒数与大小关系：如果 0<a<b，则 1/b<1/a。
三、不等式求解方法1. 移项法：将不等式中的项按照正负移动到一边形成一个等式，例如 x+2<5 可移项为 x<5-2，得到 x<3。
2. 加减法：根据不等式性质，可以加减一个相同的数使得不等式变形。
例如2x-3>5 可以两边加上3，得到2x>8，再除以2，得到 x>4。
3. 乘除法：根据不等式性质，可以乘除一个大于零的数使得不等式变形，但要注意乘以一个负数要改变不等式方向。
例如-3x < 9 可以两边除以-3，但要改变不等式符号方向得到 x>-3。
4. 绝对值法：对于带有绝对值的不等式，可以根据绝对值的性质进行分段讨论。
例如|x-3|<4 可以分为两种情况：当x-3≥0 时，得到x<7；当x-3<0 时，得到x>1。
综合起来，得到 1<x<7。
四、常用的不等式1. 平均值不等式：对于正数a1，a2，...，an，有(a1+a2+...+an)/n ≥√(a1a2...an)，等号成立当且仅当a1=a2=...=an。
(完整版)高中数学不等式知识点总结
选修4--5知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
2.1不等式的基本性质高中
(1)作差； 常用手段:配方法，因式分
(2)变形；
解法。
常见形式:变形为常数；
(3)定号；
一个常数与几
(4)下结论；
个平方和； 几个因式的积。
作商比较两数大小的依据
若 b0
(1) a 1 a b b
(2) a 1 a b b
(3) a 1 a b b
例1：已知a 0,1 b 0 ，那么在
三、例题分析：
例2:(2)已知2x 4y 1 ，比较 x2 y2
作与差210比的较大法:小__xx2_2_y_y2_2__121_0 _
注：特殊值 法容易漏“=”
20
x2
(1 4
1 2
x)2
1（条件 20
2x
4y=1
的应用）
5 x2 - 1 x+ 1 5（x2 - 1 x+ 1 ） 4 4 80 4 5 100
3b 4
1 1 1（乘法单调性）
4 Q2
a
b
3
3
1
-
a
（1 乘法法则）
2b
1 a 1（乘法单调性）
b2
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（4）Q 4 b 3 3 b 4（乘法单调性）
• 上式中的左边反映的是实数的运算性质， 而右边则是实数的大小顺序，合起来就成 为实数的运算性质与大小顺序之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大 小，而且是推导不等式的性质，不等式的 证明，解不等式的主要依据。
高中数学不等式
不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>；4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结不等式是高中数学中的重要内容，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还对培养我们的逻辑思维和解题能力起着关键作用。
下面我们来对高中不等式的知识点进行一个全面的总结。
一、不等式的基本性质1、对称性：若\（a ＞ b\），则\（b ＜ a\）；若\（a ＜ b\），则\（b ＞ a\）。
2、传递性：若\（a ＞ b\）且\（b ＞ c\），则\（a ＞ c\）。
3、加法法则：若\（a ＞ b\），则\（a ＋ c ＞ b ＋ c\）。
4、乘法法则：若\（a ＞ b\），＼（c ＞ 0\），则\（ac ＞ bc\）；若\（a ＞ b\），＼（c ＜ 0\），则\（ac ＜ bc\）。
二、一元一次不等式形如\（ax ＋ b ＞ 0\）（或\（＜ 0\））的不等式称为一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（若有分母）。
2、去括号。
3、移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项。
5、系数化为\（1\）：根据不等式的性质，若系数为正，不等号方向不变；若系数为负，不等号方向改变。
三、一元二次不等式形如\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＞ 0\）（或\（＜ 0\））（＼（a ≠ 0\））的不等式称为一元二次不等式。
其解法可以通过判别式\（＼Delta ＝ b^2 4ac\）来判断：当\（＼Delta ＞ 0\）时，方程\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）有两个不同的实根\（x_1\），＼（x_2\）（＼（x_1 ＜ x_2\）），则不等式的解集为\（x ＜ x_1\）或\（x ＞ x_2\）（大于取两边）；＼（x_1 ＜ x ＜x_2\）（小于取中间）。
当\（＼Delta ＝ 0\）时，方程有两个相等的实根\（x_0\），不等式的解集为\（x ≠ x_0\）（＼（a ＞ 0\））；＼（x 为全体实数\）（＼（a ＜ 0\））。
当\（＼Delta ＜ 0\）时，方程无实根，不等式的解集为\（a ＞ 0\）时，＼（x\）为全体实数；＼（a ＜ 0\）时，无解。
高中数学不等式公式 高一数学不等式知识点总结
高中数学不等式公式高一数学不等式知识点总结1. 不等式的基本性质：- 两边加（减）一个相同的数，不等式的不等关系不变。
- 两边乘（除）一个正数，不等式的不等关系不变。
- 两边乘（除）一个负数，不等式的不等关系反向。
2. 不等式的解集表示：- 不等式的解集可以用区间表示，例如：(a, b)表示大于a小于b的所有实数。
- 不等式的解集也可以用集合表示，例如：{x|x > a}表示大于a的所有实数。
3. 常见的不等式公式：- 两个数的大小关系：若 a < b，则有 a + c < b + c, a - c < b - c, ac < bc (若 c > 0), ac > bc (若 c < 0), a/c < b/c (若 c > 0), a/c > b/c (若 c < 0)。
- 平方不等式：若 a > b，则有 a^2 > b^2。
- 乘方不等式：若 a > b > 0 且 n > 0，则有 a^n > b^n。
- AM-GM 不等式：对于非负实数 a1, a2, ..., an，有 (a1 + a2 + ... + an)/n ≥√(a1a2...an)。
4. 不等式的证明方法：- 利用性质证明法：利用前述不等式的基本性质进行推导，将不等式化为已知的形式。
- 利用数轴法：将不等式的解集在数轴上表示出来，通过移动自变量的位置来判断不等式的成立性。
- 利用函数法：将不等式视为一个函数的性质，通过证明函数的单调性来得出不等式的结论。
- 利用数学归纳法：当不等式涉及到自然数时，可以使用数学归纳法来证明不等式的成立性。
以上是高一数学不等式的一些基本知识点总结，希望对你有帮助。
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步骤
大小的方法：
理论根据
作商比较法
步骤
二、不等式的性质
1、对称性： a b b a
2、传递性： a b,b c a c
abacbc
3、加法性质：a b
c
d
a
c
b
d
同向可加性
二、不等式的性质
4、乘法性质：
a c
b
0
ac
bc
a b 0
c
d
0
ac bd 0
同向同正可乘
5、乘方性质：
Q2a3
1 1 1 （倒数法则）
3a2
3 b2 8（乘法法则）
a
注意：
在求解过程中要避免犯如下错误：
由24
a b
3 3
得 8 ab 9
错因：用乘法法则时不符合其
“同向同正”的前提条件。
• 主要内容
小结
• 基本理论:
• a - b > 0 <=> a > b
• a - b = 0 <=> a = b
ba
解：（4）Q 4 b 3 3 b 4（乘法单调性）
Q2a3
6 ab 1（2 乘法法则）
-12 ab -6 （乘法单调性）
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（4）Q 4 b 3
9 b2 16（乘方法则）
ab
[( )2 ( )2 ] ( a b) a b
b
a
ba
a b b a（分组通分） (a b)( 1 1 )
ba
ba
(a b)( a b) ( a b)( a b)2
ab
ab
（定号）
0
(
a
2
)
1 2
b2 (
1
)2
b
a
a b
三、例题分析：
例4:已知a
0, b
0，比较( a2
x1 )（分组）
(x2
x1 )
(
x1 x2 x1 x2
)
（通分）
(x2
x1 )
(x1x2 1) x1x2
（定号）
(x2
0
x1 )(1
1 x1x2
)
三、例题分析：
例4:已知a
0, b
0，比较( a2
1
)2
b2 (
1
)2
b
a
与 a b 的大小。
解法1:(作差法) Q a 0,b 0
a2 1 b2 1
ba
解：（1）Q 2 a 3, 4 b 3
-2 a+b 0
（加法法则-同向可加性）
（2）Q 4 b 3
3 -b 4（乘法单调性）
Q2a3
5 a b 7（加法法则）
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求
a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（3）Q 4 b 3
1 1 1（倒数法则）
3b 4
1 1 1（乘法单调性）
4 Q2
a
b
3
3
1
-
a
（1 乘法法则）
2b
1 a 1（乘法单调性）
b2
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
一、不等式的相关概念：
1.不等式的定义：
用不等号表示不等关系的式子
按两不等式 同向不等式 的方向分 异向不等式
2.不等式 的分类：
按未知数最 高次幂分
一次不等式 二次不等式 高次不等式
分式不等式 无理不等式
3、两数在数轴上的表示：
在数轴上右边的点比左边的点表示的数大
理论根据 作差比较法
4、比较两式
ab
ab
a2 1 b2 1
( )2 ( )2 a b
b
a
小结：
作差比较大小（变形是关键）
常用手段:配方法，因式分
变形
解法
常见形式:变形为常数；
一个常数与几
个平方和；
几个因式的积
注：平方差，完全平方，立方和、
差等公式的应用
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
用于简单判断或填空题
解法1：特殊值法
解法2：作差比较法
三、例题分析：
例2:(1)已知0 a b, a b 1，则 a,b, 1 , 2ab, a2 b2 从小到大的顺序是
2
_a___2_a_b___12___a_2__b_2___b___ 特殊值法: 取 a 1 ,b 3 44
三、例题分析：
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物 的形状结构，事与事的成因与结果的不同等 等都表现出不等关系，这表明现实世界中的 量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局 部的、相对的。
不等式知识贯穿整个高中数学，也是高 等数学的基础和工具，一直是高考的重点内 容，占相当大的比重。不等式具有应用广泛、 变换灵活的特点。
b
a
三、例题分析：
例4:已知a
0, b
0，比较( a2
1
)2
b2 (
1
)2
b
a
与 a b 的大小。
解法3:(平方作差法) Q a 0,b 0
a2 [(
1
)2
b2 (
1
) 2 ]2
(
a
b)2
立方和baa2 b2( 2 ab) (a b 2 ab)
ba
变形
a3 b3 (a b) (a b)(a b)2 0
a b 0 an bn;
（ n取正整数）
二、不等式的性质
6、开方性质：a b 0 n a n b
（ n取正整数）
ab
7、倒数性质：
ab
0
1 a
1 b
三、例题分析：
例1：已知a 0,1 b 0 ，那么在
a, ab, ab2 这三个数中，最小的数是
__a__，最大的数是__a_b____
1
)2
b2 (
1
)2
b
a
与 a b 的大小。
解法2:(作商法) Q a 0,b 0
(a2
1
)2
(b2
1
)2
b
a
a b
b a (
a)3 (
b )3
a b
a b ( a b) ab
a
b ab
ab
（立方和 公式）
(
a
b)2 ab
a（b 配方）
（定号）
ab
1
(
a
2
)
1 2
(
b2
)
1 2
a
b
ab
例2:(2)已知2x 4y 1 ，比较 x2 y2
作与差210比的较大法:小__xx2_2_y_y2_2__121_0 _
注：特殊值 法容易漏“=”
20
x2
(1 4
1 2
x)2
1（条件 20
2x
4y=1
的应用）
5 x2 - 1 x+ 1 5（x2 - 1 x+ 1 ） 4 4 80 4 5 100
5（x4
110）（2 配方）
0
小结：
作差比较两数大小的步骤
(1)作差；
(2)变形； 常用手段:配方法，因式分
(3)定号；
解法
(4)下结论；
三、例题分析：
例3:已知 x2 x1 1 ，比较
作与差x1比 较x11 法的: Q大x小2 。x12
( x1
1 )
x1
x2
1 x2
11
(x2
x1)
( x2