2017考研数学三真题及答案解析

（D） n( X )2 服从 2 分布
n
解：（1）显然 ( X i ) ~ N (0,1) ( X i ) 2 ~ 2(1), i 1, 2, n 且相互独立，所以 ( X i )2 服从 i 1
2 (n) 分布，也就是（A）结论是正确的；
（2）
n i 1
(Xi
X )2
(n 1)S 2
1 1 2x2
dx
8
1
2 2
17．（本题满分 10 分）
求
lim
n
n k 1
k n2
ln
1
k n
【详解】由定积分的定义
lim
n
n k 1
k n2
ln
1
k n
lim
n
1 n
n k 1
k n
ln
1
k n
1 xln(1 x) dx
0
1 1ln(1 x)dx2 1
20
4
18．（本题满分 10 分）
2
DX
．
【详解】显然由概率分布的性质，知 a b 1 1 2
EX 2 1 1 a 3b a 3b 1 0 ，解得 a 1 ,b 1
2
44
EX 2 2 a 9b 9 ， DX EX 2 E 2 (X ) 9 ．
2
2
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
x
求极限 lim 0 x0
x tetdt x3
【详解】令 x t u ，则 t x u , dt du ， x x tetdt x uexudu
0
0
x
lim 0
x0
x tetdt
eFra Baidu bibliotek x
lim 0
x3
x0
ue udu
x
lim 0
x3
x0
ue udu
lim
x3
x0
xex 2 3x 3 2
4
16．（本题满分 10 分）
2017 年考研数学三真题及解析
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
1．若函数
f
(x)
1 cos ax
x , x 0 在 x 0 处连续，则
b,
x0
（A） ab 1 （B） ab 1 （C） ab 0 （D） ab 2
2
2
【详解】 lim f (x) lim 1 cos
已知方程 1 1 k 在区间 (0,1) 内有实根，确定常数 k 的取值范围． ln(1 x) x
【详解】设 f (x) 1 1 , x (0,1) ，则 ln(1 x) x
f
(x)
(1
1 x) ln 2(1
x)
1 x2
(1 x) ln 2(1 x) x2 x2(1 x) ln 2(1 x)
（C） A,C 不相似， B,C 相似 （D） A,C 不相似， B,C 不相似
【详解】矩阵 A, B 的特征值都是 1 2 2,3 1 ．是否可对解化，只需要关心 2 的情况．
0 0 0
对于矩阵
A
，2E
A
0 0
0 0
11 ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值 2 存在两个线性无关的特
条件是（ ）
（A） A, B 相互独立
（B） A, B 互不相容
（C） AB,C 相互独立
【详解】
（D） AB,C 互不相容
2
P((A B)C) P(AC AB) P(AC) P(BC) P(ABC) P(A)P(C) P(B)P(C) P(ABC)
P(A B)P(C) (P(A) P(B) P(AB))P(C) P(A)P(C) P(B)P(C) P(AB)P(C) 显然， A B 与 C 相互独立的充分必要条件是 P( ABC) P( AB)P(C) ，所以选择（C ）．
（2）所以对于幂级数 an xn ， 由和函数的性质，可得 S(x) nanx n1 ，所以
n0
n1
(1 x)S(x) (1 x) nanx n1 nanx n1 nanx n
n1
n1
n1
(n 1)an1xn nanxn
a1 a0
(n 1)!
也就得到 an1
an
(1)n1
1 ,n (n 1)!
1, 2,
an1
(an1 an ) (an
an1) (a2
a1) a1
n
(1) k1
k 2
1 k!
lim n n
an
n
lim n
1 1 2! 3!
1 lim n! n
n e 1 ，所以收敛半径 R 1
ln 2
ln 2
2
．
5
19．（本题满分 10 分）
设
a0
1, a1
0, an1
n
1
1
(na
n
a n 1 )(n
1, 2,3 ),
，
S(x)
为幂级数
n0
an xn
的和函数
（1）证明 an xn 的收敛半径不小于1． n0
（2）证明 (1 x)S(x) xS(x) 0(x (1,1)) ，并求出和函数的表达式．
（C）．
5．设 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则
（A） E T 不可逆
（B） E T 不可逆
（C） E 2 T 不可逆
（D） E 2 T 不可逆
【详解】矩阵 T 的特征值为1和 n 1个 0 ，从而 E T , E T , E 2 T , E 2 T 的特征值分别
为 0,1,1,1； 2,1,1,,1 ； 1,1,1,,1； 3,1,1,,1 ．显然只有 E T 存在零特征值，所以不可逆，应
该选（A）．
2 0 0
2 1 0
1 0 0
6．已知矩阵
A
0 0
2 0
1 1
，
B
0 0
2 0
0
1
，C
0 0
2 0
0 2
，则
（A） A,C 相似， B,C 相似 （B） A,C 相似， B,C 不相似
0 1 1
为
．
1 0 1 1 0 1 1 0 1
【详解】对矩阵进行初等变换
A
1 0
1 1
2 1
0 0
1 1
11
0 0
1 0
1 0
，知矩阵
A
的秩为
2，由于
1,2 ,3 为线性无关，所以向量组 A1, A2 , A3 的秩为 2．
14．设随机变量 X 的概率分布为 PX 2 1 ， PX 1 a ， PX 3 b ，若 EX 0 ，则
AC
B2
，发现只有在点
(1,1)
处满足
y
AC B2 3 0 ，且 A C 2 0 ，所以 (1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D）
3．设函数 f (x) 是可导函数，且满足 f (x) f (x) 0 ，则
（A） f (1) f (1) （B） f (1) f (1) （C） f (1) f (1) （D） f (1) f (1)
（D） (1,1)
【详解】 z y(3 x y) xy 3y 2xy y 2 ， z 3x x2 2xy ，
x
y
2z x2
2
y,
2z y 2
2x, 2z 2z 3 2x xy yx
解方程组
z
x z
3y 3x
2xy y 2 x2 2xy
0 0
，得四个驻点．对每个驻点验证
f (x, y)
【详解】df (x, y) ye ydx x(1 y)e ydy d (xye y ) ，所以 f (x, y) xye y C ，由 f (0, 0) 0 ，得 C 0 ，
所以 f (x, y) xye y ．
1 0 1
13 ． 设 矩 阵
A
1
1
2 ， 1,2 ,3 为 线 性 无 关 的 三 维 列 向 量 ， 则 向 量 组 A1, A2 , A3 的 秩
.
3
【详解】答案为1 (1 Q)eQ ．
平均成本 C(Q) 1 eQ ，则总成本为 C(Q) QC(Q) Q Qe Q ，从而边际成本为
C(Q) 1 (1 Q)e Q.
12．设函数 f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知 df (x, y) ye ydx x(1 y)e ydy ， f (0, 0) 0 ，则
(n 1)S 2 2
~
2(n 1)
，所以（C）结论也是正确的；
（3）注意 X ~ N (, 1) n ( X ) ~ N (0,1) n( X ) 2 ~ 2(1) ，所以（D）结论也是正确的； n
（4）对于选项（B）： ( X n X1) ~ N (0, 2)
Xn X1 ~ 2
N (0,1)
x lim
1x 2
1
， lim
f (x) b
f (0) ，要使函数在 x 0 处连续，
x0
x0
ax
x0 ax 2a x0
必须满足 1 b ab 1 ．所以应该选（A）
2a
2
2．二元函数 z xy(3 x y) 的极值点是（ ）
（A） (0, 0)
（B） (0, 3)
（C） (3, 0)
8．设
X1, X 2,, X n(n
2)
为来自正态总体 N (,1) 的简单随机样本，若
X
1 n
n i 1
Xi
，则下列结论中不
正确的是（ ）
n
（A） ( X i )2 服从 2 分布 i 1
（B） 2 X n X1 2 服从 2 分布
n
（C） ( X i X )2 服从 2 分布 i 1
0
2
10．差分方程 yt1 2 yt 2t 的通解为
．
【详解】齐次差分方程 yt1 2 yt 0 的通解为 y C 2x ；
设
yt 1
2 yt
2t
的特解为
yt
at 2t
，代入方程，得 a
1 2
；
所以差分方程
yt 1
2 yt
2t
的通解为
y
C 2t
1 t2t. 2
11．设生产某产品的平均成本 C(Q) 1 eQ ，其中产量为 Q ，则边际成本为
计算积分
D
(1
y3 x2
y4 )2 dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线
y
x 与 x 轴为边界的无界区域．
【详解】
D
(1
y3 x2
y4 )2 dxdy
dx
0
0
x
y3
(1 x2
y4)2
dy
1
4
dx
0
0
x
d(1 x2 y4) (1 x2 y4) 2
1
4
1 0 1 x2
【详解】设 g(x) ( f (x))2 ，则 g(x) 2 f (x) f (x) 0 ，也就是 f (x)2 是单调增加函数．也就得到
f (1)2 f (1) 2 f (1) f (1) ，所以应该选（C）
4．
若级数
n2
sin
1 n
k
ln(1
1 n
)
收敛，则 k
（
）
（A）1
令 g(x) (1 x) ln 2(1 x) x 2 ，则 g(0) 0, g(1) 2 ln 2 2 1
g(x) ln2(1 x) 2 ln(1 x) 2x, g(0) 0
g(x)
2(ln(1 1
x) x
x)
0, x (0,1)
，所以
g(x)
在 (0,1)
上单调减少，
由于 g(0) 0 ，所以当 x (0,1) 时，g(x) g0) 0 ，也就是 g(x) g(x) 在 (0,1) 上单调减少，当 x (0,1)
【详解】（1）由条件 an1
n
1
1
(nan
an1 )
(n
1)an1
nan
an1
也就得到 (n 1)(an1
an)
(an
an1)
，也就得到
an1 an an an1
n
1
1
,
n
1, 2,
an1 an an1 an an an1 a2 a1 ( 1)n 1
a1 a0 an an1 an1 an2
征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ．
0 1 0
对于矩阵
B
，2E
B
0 0
0 0
0 1
，秩等于
2
，也就是矩阵
A 属于特征值
2 只有一个线性无关的特
征向量，也就是不可以对角化，当然 B, C 不相似故选择（B）．
7．设 A, B ， C 是三个随机事件，且 A,C 相互独立， B,C 相互独立，则 A B 与 C 相互独立的充分必要
时， g(x) g(0) 0 ，进一步得到当 x (0,1) 时， f (x) 0 ，也就是 f (x) 在 (0,1) 上单调减少．
lim
x0
f
( x)
lim
x0
1 ln(1
x)
1 x
lim
x0
x ln(1 x) x ln(1 x)
1 2
，
f (1)
1 1 ，也就是得到 1 1 k 1
（B） 2
（C） 1
（D） 2
1
【详解】iv n
时 sin
1 n
k
ln(1
1) n
1 n
k
1 n
1 2
1 n
2
o
1 n 2
(1
k)
1 n
k 2
1 n2
o
1 n 2
显然当且仅当 (1 k) 0 ，也就是 k 1 时，级数的一般项是关于 1 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择 n
1( 2
X
n
X1)
2
~
2(1)
，所以（B）结
论是错误的，应该选择（B）
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
9． (sin3 x 2 x2 )dx
．
解：由对称性知 (sin3 x 2 x2 )dx 2 2 x2 dx 3 ．