第五章一元函数的导数及其应用知识点与综合提升题(原卷版)高二数学复习巩固练习(人教A版2019)

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第5章一元函数的导数及其应用2024高二数学备考复习+PPT(新教材)

3.(2021·山东德州高三阶段检测)已知函数 f(x)＝12x2＋2aln x－(a＋2)x. (1)当 a＝1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)是否存在实宋数老a师，数使学函精数品g工(x作)＝室f(x)＋ax＋49x3 在(0，＋∞)上单调递
增？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
室 ex0＝k，知yy00－＝eexx00x，0＝0，解得kx＝ 0＝e1. ，
【答案】 (1)D (2)D
归纳总结
导数的几何意义
1．导数几何意义的应用
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典例解析
专题 2 利用导数研究函数的单调性
例 2.已知函数 f(x)＝3ax－2x宋师2＋老数ln x，其中 a 为常数且 a≠0. (1)若 a＝1，求函数 f(x)的单学品调精工区间宋；老师 (2)若函数 f(x)在宋区老间师[1，数2学]作上精室为品单工调作数函室学数精，求 a 的取值范围．
(2)存在，a≥274. 因为函数g(x)＝f(x)＋ax＋94x3＝21x2＋2aln x－2x＋49x3，所以g ′(x)＝x＋2xa－2＋34x2．
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要使函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g ′(x)＝x＋2xa－2＋43x2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即4x3＋3x2－6x＋6a≥0，即a≥－4x3＋36x2－6x在(0，＋∞)上恒成立．
法二：因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 f(－
1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得 a 宋老
＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以师数f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(0，0)学处精的切线方程为 y＝x.故选 D. (2)设切点坐标为(宋x0老，y师0)，数因学为品作精工室y品′＝工(e作宋数x)′室老学＝师精ex，所以 y′|x＝x0＝ex0，所以切线方程为 y－y0＝ex0(x－x0)，品即工y作＝ex0x＋y0－ex0x0.故

人教A版高中数学选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (10)(含答案解析)

选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (10)1．已知()f x 为定义在(),-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x ∈R 恒成立，则（）A ．()()()()2202220,20220f e f f e f >⋅>⋅ B ．()()()()2202220,20220f e f f e f <⋅>⋅ C ．()()()()2202220,20220f e f f e f >⋅<⋅ D ．()()()()2202220,20220f e f f e f <⋅<⋅2．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当(),0x ∈-∞时，()'x xf x e e ->-，则不等式()()()()12321111x x x f x f x e e e ----->--的解集为（）A ．()0,2B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()(),02,-∞+∞D ．()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭3．已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x −ln x 存在与直线x ＋y −1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1-+2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦， C ．[−1，＋∞) D ．(−∞，−1]4．已知函数()f x 满足()()221ln x f x xf x x '+=+，()1f e e=，当0x >时，下列说法正确的是（）①()f x 有两个零点；①()f x 只有一个零点；①()f x 有极小值；①()f x 有极大值 A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①5．定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足：()()40x f x e f x +-=， ()21f e =，且当0x >时，()2()f x f x '>，则不等式24(2)x e f x e -<的解集为（） A ．(1,4)B ．(2,1)-C ．(1,)+∞D ．(0,1)6．若函数()sin 2cos 6x a f x x x =++在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围为（） A ．[]4,4-B ．[]3,4-C ．[]4,3--D ．[]3,3-7．已知函数()212x x f x e e x --=-+，则不等式()()2020202121f x f x ++-≤的解集是（）A ．(],4039-∞B ．[)4039,+∞C ．(),4042-∞D ．[)4042,+∞8．若存在x ，(0,)∈+∞y 使得ln(2)ln x ax y x y +=，则实数a 的最大值为（） A ．1eB ．12eC ．13e D ．2e9．已知函数()32f x x bx x =++为定义在[]21,3a a --上的奇函数，则()()210f x f x b -+->的解集为（） A ．1,43⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]2,4C ．1,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[]2,310．已知,,44x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0a ≠且a 是常数，且33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩，则()cos 2x y +=（）A ．12-B ．12C ．1D ．1-11．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()210x f x '+>，()12f =，则关于x 的不等式()1ln 1ln f x x<+的解集是（） A ．()e,+∞B ．()0,eC ．()1,eD ．()0,112．若04a <<且44a a =，05b <<且55b b =，06c <<且66c c =，则（） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a <<D ．a c b <<13．定义()f x ''是()y f x =的导函数()y f x '=的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()0,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．可以证明，任意三次函数32()(0)f x axbx cx d a =+++≠都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断，以下命题正确的是（） A ．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数 B ．函数32()335f x x x x =--+的对称中心是（1，0）C ．存在三次函数()h x ，方程()0h x '=有实数解0x ，且点()()00,x h x 为函数()y h x =的对称中心D ．若函数32115()3212g x x x =--，则123202010102021202120212021g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．设函数()()111ln 0f x x x a a ax ⎛⎫=-+-≠ ⎪⎝⎭，则（）A ．当0a <时，()f x 有两个极值点B ．当0a <时，()1f x >C ．当01a <<时，()f x 在()1,+∞上单调递增D ．当1a >时，存在唯一实数a 使得函数()()2g x f x =-恰有两个零点15．若函数()()()2log 450,1a f x ax x a a =-+>≠在()1,2上单调递增，则a 的取值范围是______．16．已知函数(),()ln ,x f x e g x x a x a R ==+∈ （1）讨论g (x )的单调性；（2）若()()2af x xg x x ++，对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求a 的最大值；17．已知函数()2222x e ax e x g x =++（a ∈R ）有两个极值点为1x ，2x （12x x <）．（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：21221ln 2a e x x a +<+<． 18．已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）设曲线()y f x =在1=x e 处的切线为()y g x =，求证：()()f x g x ≥；（2）若()f x a =有两个根1x ，2x ，求证：1212x x a e e-<++.19．已知函数()()()1ln 1,x f x x g x e -=+=（1）若直线:l y kx b =+既是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线，求直线l 的方程；（2）证明：2ln 1x x x e x <--．（参考数据：0.69ln 20.7<<） 20．已知函数221()(1)2x f x x a e ax a x =---+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在(,0)-∞上只有一个极值，且该极值小于1a e --，求a 的取值范围. 21．已知()()32133f x x ax x a R =+-∈在3x =-处取得极值．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值． 22．已知函数3211()()32f x x ax a =-∈R 在[0,1]上的最小值为16-．（1）求a 的值；（2）若函数()()2()g x f x x b b =-+∈R 有1个零点，求b 的取值范围． 23．已知函数()ln ()f x ax x a R =-∈．（①）当2a =时，求曲线()y f x =的在点1x =处的切线方程；（①）求函数()f x 的单调区间；（①）若()0f x 恒成立，求a 的取值范围．24．已知函数()2ln f x x x ax =+-.（1）若函数()f x 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（2）若0a =且()0,1x ∈，求证：()21e xx x f x ⎡⎤+-<⎣⎦. 25．已知()22ln f x x ax bx =++，且()f x 在12x =和2x =处有极值. （1）求实数a 、b 的值；（2）判断()f x 的单调性.26．已知函数()32f x x x x =+-.（1）求函数()f x 在()()1,1M f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]22-,上的最值. 27．已知函数322()1f x x ax a x =--+，其中0a > （1）若函数()f x 的极大值为3227，求实数a 的值；（2）若曲线()y f x =在点(,())a f a --处的切线与y 轴的交点为(0,)b ，求1b a+的最小值.28．已知函数32()f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且23x =时，()y f x =有极值．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]4,2-上的最大值和最小值．29．若函数，3()4=-+f x ax bx ，当2x =-时，函数()f x 有极值283. （1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围. 30．已知函数19()0cos 2cos 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭，当x =_____时，()f x 的最小值为_____【答案与解析】1．A 【解析】根据结构构造函数()()=x f x g x e，利用导数判断g (x )为增函数，得到()()()()20,20220g g g g >>，整理化简即可得到正确答案.因为函数()f x 为定义在(),-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x ∈R 恒成立，设()()=x f x g x e 则()()()=0xef x f xg x -'>'恒成立，即g (x )为增函数，所以()()()()20,20220g g g g >>，即()()()()220220,202202f e f f e f >>.故选：A 2．B 【解析】令()()x x g x f x e e -=--，求出函数的导数，根据函数的单调性，奇偶性得到关于(21)(1)g x g x ->-以及|21||1|x x -<-，求出不等式的解集即可．解：令()()x x g x f x e e -=--，则()()x x g x f x e e -'='-+，当(,0)x ∈-∞时，()x x f x e e -'>-，故()0g x '>即()g x 在(,0)-∞上单调递增， ()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=-，()()()x x g x f x e e g x -∴-=---=，()g x ∴是偶函数，(21)(1)f x f x ∴---123(1)(1)x x x e e e -->-- 21123()(1)x x x e e e ---=--， 211112x x x x e e e e ---+-=--+等价于211211(21)(1)x x x x f x e e f x e e ---+---->--- 即(21)(1)g x g x ->-，()g x 为偶函数，在(,0)-∞递增，在(0,)+∞递减，|21||1|x x ∴-<-，解得：203x <<，故选：B ． 3．A 【解析】根据题意，曲线23y ax x lnx =+-存在与直线10x y +-=垂直的切线，转化为()1f x '=有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．解：令2()3ln y f x ax x x ==+-，由题意，10x y +-=斜率是1-，则与直线10x y +-=垂直的切线的斜率是1，()1f x ∴'=有解函数的定义域为{|0}x x >，()1f x ∴'=有正根，2()3ln f x ax x x =+-，1()231f x ax x∴'=+-=有正根 22210ax x ∴+-=有正根 221212(1)1a x x x∴=-=-- 21a ∴-， 12a ∴-．故选：A ． 4．D 【解析】令()()2g x x f x =,则()()()2'21ln g x x f x xf x x '=+=+,得到()2ln =x x Cf x x + 由()1f e e=得到()ln =x f x x，()21-=ln xf x x '，利用导数判断f (x )的单调区间和极值即可得到正确答案.令()()2g x x f x =,则()()()2'21ln g x x f x xf x x '=+=+, ①()ln g x x x C =+,即()2=ln x f x x x C +,所以()2ln =x x Cf x x + 因为()1f e e=所以C =0,所以()ln =x f x x，()21-=ln xf x x '当0<x <e 时,()0f x '> ,f (x )单调递增;当x >e 时, ()0f x '<，f (x )单调递减. 所以f (x )在x =e 处取得极大值()1f e e=,无极小值,即①错误,①正确;又f (1)=0,且当x>e 时, f (x )>0恒成立,①f (x )只有一个零点为x =1,即①正确, ①错误①正确的有①①. 故选：D（1）函数的单调性与导数的关系：已知函数()f x 在某个区间内可导，①如果()'f x >0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()'f x <0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；①函数()y f x =在这个区间内单调递增，则有()0f x '≥；函数()y f x =在这个区间内单调递减，则有()0f x '≤；（2）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；①利用数形结合思想研究；①构造辅助函数硏究. 5．A 【解析】由给定的不等式构造函数()()2xf xg x e =对()g x 求导，根据已知条件可判断()g x 非得单调性，将所求解不等式转化为()g x 有关的不等式，利用单调性脱去f 即可求解.令()()2xf xg x e=，则()()2420x x xe g x e e g x -+-=可得()()0g x g x +-= 所以()()2x f x g x e=是(2,2)-上的奇函数，()()()()()224222x x x x f x e e f x f x f x g x e e ''--'==，当0x >时，()2()f x f x '>，所以()0g x '>，()()2xf xg x e=是(0,2)上单调递增，所以()()2x f x g x e=是(2,2)-上单调递增，因为()()222111f e g e e ===，由24(2)x e f x e -<可得()()22242x xe eg x e --<即()()211g x g -<=，由()()2x f x g x e =是(2,2)-上单调递增，可得22221x x -<-<⎧⎨-<⎩解得：14x <<，所以不等式24(2)x e f x e -<的解集为(1,4)，故选：A.关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数()()2xf xg x e =，根据已知条件判断()g x 的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式 . 6．A 【解析】由题意可得()2cos2sin 60f x x a x '=-+，再利用二倍角公式、二次函数的性质，求得a 的范围．解：①()2cos2sin 60f x x a x '=-+≥，①2284sin sin 04sin sin 80x a x x a x --≥⇔+-≤，设()sin 11t x t =-≤≤，即有2480t at -≤+，只需要()()224118041180a a ⎧⨯-+⨯--≤⎪⎨⨯+⨯-≤⎪⎩，解得[]4,4a ∈-. 故选：A. 7．A 【解析】根据条件得到()(2)1f x f x +-=，然后将不等式进行转化，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数的单调性将不等式进行转化求解即可解：因为()212x x f x e e x --=-+，所以()(2)222112(2)122x x x x f x ee x e e x -------=-+-=-+-，所以()(2)1f x f x +-=，所以()f x 的图像关于点11,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，由()()2020202121f x f x ++-≤，得()()[22021212020(2020)](2018)f x f x f x f x =-+=---≤-+，由()212x x f x e e x --=-+，得()'212x x f x e e --=--+，所以()''2x x f x e e --⎡⎤=-⎣⎦，当1x <时，()''0f x ⎡⎤>⎣⎦，当1x >时，()''0f x ⎡⎤<⎣⎦，所以当1x =时，'()f x 取得极大值'11(1)202f e -=-+<，所以'()0f x <恒成立，所以()f x 在R 上为减函数，所以由()(2018)20212f x f x ---≤，得202122018x x -≥--，所以4039x ≤，所以原不等式的解集为(],4039-∞，故选：A关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式问题，解题的关键是由已知函数得到()(2)1f x f x +-=，从而将不等式()()2020202121f x f x ++-≤转化为()(2018)20212f x f x ---≤，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题 8．B 【解析】由已知可得ln 2ln y y a x x =-，令0yt x=>，()ln g t t t =-，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得到答案解：由ln(2)ln x ax y x y +=，得ln 2ln y y a x x =-，令0yt x=>，()ln g t t t =-，则'11()1t g t t t-=-=，当01t <<时，'()0g t >，当1t >时，'()0g t <，所以()g t 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以当1t =时，()g t 取得极大值即最大值(1)1g =-，因为当0t →时，()g t →-∞，所以()(,1]g t ∈-∞-，所以ln21a ≤-，所以102a e<≤，所以实数a 的最大值为12e，故选：B关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数与方程的应用，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是将ln(2)ln x ax y x y +=，化为ln 2lny y a x x =-，令0yt x=>，构造函数()ln g t t t =-，然后利用导数求出函数的值域，从而可得ln2a 的范围，进而可求出实数a 的范围，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 9．C 【解析】根据函数()f x 为奇函数得出：定义域关于原点对称且()()0f x f x -+=，从而求,a b 的值；再根据函数()f x 的单调性结合定义域求不等式的解集. ①函数()f x 为定义在[]21,3a a --上的奇函数， ①2130a a -+-=，得到2a =-，因为函数()f x 为奇函数，所以满足()()0f x f x -+=，则()32320x bx x x bx x -+-+++=，所以220bx =，所以得到0b =所以()3f x x x =+，且函数()f x 的定义域为[]5,5-，则()()210f x f x b -+->等价于()()210f x f x -+>， ①()()()21f x f x f x ->-=-，又因为()2310f x x '=+>，所以()3f x x x =+在[]5,5-上单调递增，①52155521x x x x-≤-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪->-⎩，解得133x <≤，①原不等式的解集为1,33⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C ． 10．C 【解析】设()3sin f x x x =+，根据已知条件可知()()222f x a f y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，根据函数的单调性与奇偶性即可求出结果.令()3sin f x x x =+，所以()23cos f x x x '=+，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，cos 0x ≥，所以()0f x '>，所以()3sin f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，又因为()()()()33sin sin -=-+-=--=-f x x x x x f x ，所以()f x 为奇函数，33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩，即()33sin 202sin 220x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩等价于()()222f x a f y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以20x y +=，所以()cos 2cos01x y +==，故选：C11．C 【解析】设1()()g x f x x=-，（0x >），求导数后确定()g x 的单调性，不等式变形为关于()g x 的不等式，然后由单调性解不等式．设1()()g x f x x=-，（0x >），因为()210x f x '+>，则2221()1()()0x f x g x f x x x'+''=+=>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)2f =，所以(1)(1)11g f =-=，而不等式1(ln )1ln f x x<+可变形为(ln )(1)g x g <，所以0ln 1x <<，1e x <<．故选：C ．本题考查用导数解不等式，解题关键是引入新函数1()()g x f x x=-，（0x >），由导数确定新函数的单调性，不等式变形为关于新函数的不等式，从而利用单调性完成求解． 12．B 【解析】构造函数()ln xf x x=，利用导数分析函数()f x 的单调性，变形可得出()()4f f a =，()()5f f b =，()()6f f c =，利用函数()f x 的单调性可得出()()()456f f f >>，即有()()()f a f b f c >>，利用图形结合函数()f x 的单调性可得出结论. 当04a <<时，由44a a =可得4ln ln4a a =，可得ln ln 44a a =，同理可得ln ln 55b b =，ln ln 66c c =，构造函数()ln x f x x =，其中0x >，则()21ln x f x x -'=. 当0x e <<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，当x e >时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，作出函数()f x 的图象如下图所示：由已知可得()()4f f a =，()()5f f b =，()()6f f c =，因为函数()f x 在(),e +∞上单调递减，且456e <<<，则()()()456f f f >>，由图可知，a 、b 、()1,c e ∈，因为()()()456f f f >>，则()()()f a f b f c >>，因为函数()f x 在()1,e 上单调递增，故a b c >>. 故选：B. 13．BCD 【解析】根据新定义对应各个选项逐个判断，求出()0f x ''=，判断其零点的个数即可判断A ；()66f x x ''=-，将（1，0）代入即可判断B ；设三次函数为3()h x x =，方程()0h x ''=的解只有00x =，从而可判断C ；求出函数()g x 的对称中心为11(,)22-，则()(1)1g x g x +-=-，即可判断D.解：选项A ：因为2()32(0)f x ax bx c a '=++≠，()62f x ax b ''=+，则方程()0f x ''=只有一个实数解，即不存在有两个及两个以上对称中心的三次函数，故A 错误，选项B ：因为2()363f x x x '=--，()66f x x ''=-，方程()0f x ''=只有一个实数解01x =，0()0f x =，则函数()f x 的对称中心为(1,0)，故B 正确，选项C ：设三次函数为3()h x x =，则2()3h x x '=，()6h x x ''=，方程()0h x ''=的解只有00x =，0()0h x =，所以函数()h x 的对称中心为(0,0)，故C 正确，选项D ：因为2()g x x x '=-，()21g x x ''=-，方程()0g x ''=只有一个实数解为012x =，01()2g x =-，所以函数()g x 的对称中心为11(,)22-，则()(1)1g x g x +-=-，所以122020120202201910101011()()()[()()][()()][()()]202120212021202120212021202120212021g g g g g g g g g ++⋯+=++++⋯++ 1010(1)1010=⨯-=-，故D 正确，故选：BCD ． 14．BD 【解析】利用导数确定函数的单调性、最值及极值点判断ABC ，再由单调性确定()()2g x f x =-恰有两个零点等价于1()2f a=，再构造函数()3(1)ln 1h a a a a =-+-，得出其单调性，确定a 的唯一性．22111(1)(1)()1ax x a f x x ax ax +--'=-+=， 0a <时，01x <<时，()0f x '<，()f x 递减，1x >时，()0f x '>，()f x 递增，()f x 极小值1(1)11f a==->，()f x 只有一个极值点，A 错误，B 正确； 01a <<时，01x <<或1x a >时，()0f x '>，11x a <<时，()0f x '<，()f x 在(0,1)和1(,)a+∞上递增，在1(1,)a上递减，C 错误；1a >时，同理可得()f x 在1(0,)a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)a上递减，()f x 极小值(1)f ==111a -<，()()2g x f x =-恰有两个零点，即()2f x =恰有两解，等价于1()2f a=，即3(1)ln 10a a a -+-=，设()3(1)ln 1h a a a a =-+-，1()2ln h a a a'=--，设1()()2ln a h a a a ϕ'==--，22111()0aa a a aϕ-'=-=<，所以()a ϕ递减，即()h a '递减，(1)10h '=>，a →+∞时，()h a '→-∞，所以存在0(1,)a ∈+∞，使得0()0h a '=，在01a a <<时，()0'>h a ，()h a 递增，0a a >时，()0h a '<，()h a 递减，(1)20h =>，则0()0h a >，a →+∞时，()h a →-∞，所以存在唯一的实数10(),a a ∈+∞，使得1()0h a =，故D 正确．故选：BD ．本题考查用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查用导数研究函数的零点问题．解题关键是掌握导数与单调性的关系，掌握极值的定义．对于函数零点问题，注意掌握零点存在定理，把问题进行转化，本题转化为()3(1)ln 1h a a a a =-+-有唯一零点，利用导数确定单调性后可得．15．[)3,12,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】函数()f x 是由log a y t =和245t ax x =-+复合而成，分别讨论1a >和01a <<时log a y t =的单调性，进而可得245t ax x =-+在()1,2上的单调性，再由2450t ax x =-+>对于()1,2x ∈恒成立，由二次函数的性质即可求解.函数()()()2log 450,1a f x ax x a a =-+>≠是由log a y t =和245t ax x =-+复合而成，当1a >时log a y t =单调递增，若函数()()()2log 450,1a f x ax x a a =-+>≠在()1,2上单调递增，则245t ax x =-+在()1,2上单调递增，且2450t ax x =-+>对于()1,2x ∈恒成立， 245t ax x =-+的对称轴为2x a=所以()2114510a t a a ⎧≤⎪⎨⎪=-+=+≥⎩解得：2a ≥，当01a <<时log a y t =单调递减，若函数()()()2log 450,1a f x ax x a a =-+>≠在()1,2上单调递增，则245t ax x =-+在()1,2上单调递减，且2450t ax x =-+>对于()1,2x ∈恒成立， 245t ax x =-+的对称轴为2x a=所以()222485430a t a a ⎧≥⎪⎨⎪=-+=-≥⎩解得：314a ≤<，综上所述：a 的取值范围是[)3,12,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：[)3,12,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭16．（1）见解析；（2）e 【解析】（1）对()g x 求导，然后分0a 及0a <讨论得出单调性情况；（2）原不等式可转化为ln ln x x a a e e x x ++，设()ln (0)h x x x x =+>，求出()h x 的单调性，可知当1x >时，ln xax ，设()(1)ln x x x xϕ=>，求出()ϕx 的最小值即可得解．解：（1）()1(0)ax ag x x xx+'=+=>，当0a 时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，令()0g x '>，解得x a >-，令()0g x '<，解得0x a <<-， ()g x ∴在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；综上，当0a 时，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()g x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；（2）()2()a f x x g x x ++即为ln x a e x a x x ++，即ln ln x x a a e e x x ++，设()ln (0)h x x x x =+>，则11()1x h x xx+'=+=，易知函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，而()()x a h e h x ，所以x a e x ，即ln x a x ，当1x >时，即为ln xa x，设()(1)ln x x x x ϕ=>，则2ln 1()ln x x xϕ-'=，易知函数()ϕx 在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，()x ϕϕ∴（e ）e =， a e ∴，即a 的最大值为e ．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，考查构造函数思想，考查运算求解能力，属于难题．17．（1）()2,2e -∞-；（2）证明见解析．【解析】（1）首先利用极值点的定义，结合导数，转化为22x e e a x +-=，利用导数研究函数()22x e e xh x +=的性质，转化为y a =-与22xee y x+=有两个交点，求实数a 的取值范围；（2）由极值点的定义得212221x x e e a x x --=-，再利用分析法，分别证明不等式的两边.（1）由于()2222x e ax e x g x =++有两个极值点1x ，2x （12x x <），则()222220x e g ax e x '=++=有两个实根1x ，2x ，故22x e e a x+-=．设()22x e e x h x +=，则()()2222222222x x x x e x e e e x e e x x h x '-+--==．设()2222x x e x e e r x =--，则()10r =，()222204224x x x xe x e e r x x e =+-⋅='≥，解得0x ≥．故()r x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()2001r e =--<，0x <时，()()22221x r x e x e e =--<-，故当1x ≤（0x ≠）时，()0r x ≤，()()20r x h x x'=≤；当1x >时，()0r x ≥，()()20r x h x x '=≥．由此()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．从而22a e ->，即22a e <-．综合上述，实数a 的取值范围为()2,2e -∞-．（2）由于()()122211222222202220x x g x e ax e g x e ax e ⎧=++'=⎪⎨=++='⎪⎩，故1222122200x x e ax e e ax e ⎧++=⎨++=⎩．从而()1222210x x eea x x -+-=，即212221x x e e a x x --=-．先证不等式右边：由于()211212221221ln 222x x x x x x a a e e x x e e x x ++--+<⇔<-⇔<- ()()211221120202x x x x t i t t e e e e t t e e t x x -----⇔>⇔->>⇔-->-（0t >）．设()2t t e e t k t -=--（0t >），则()2220t tt e k e -'=+-≥-=，故()k t 在()0,∞+上单调递增，从而()()200t tk e e t t k -=-->=，故0t t e e t --->（0t >）成立，12ln 2a x x -+<．再证不等式左边：21221e x x a+>-．由于1222221111122221122222ln 2()2()22ln x x e t t x ln ax e e ax e a a x ln ax e e ax e e t t a a ⎧⎧⎧=--⎪⎪⎪=--=--⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨=--=--⎪⎪⎪=--⎪⎪⎪⎩⎩⎩（211t ax e =--，222t ax e =--），从而()21212ln ln t t t t a -=--，即()21212ln ln t t a t t --=-，其中211t e x a +=-，222t e x a +=-．由于2222121212122211t e t e e e x x t t a t t a a a a a+++>-⇔+>-⇔+>-⇔+>---()()()221211221222112111212221ln ln ln ln ln 11tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ⎫⎛-⎪---⎝⎭+>⇔>⇔>⇔>-+++（1t >），设()()21ln 1s t t t t -=-+（1t >），则()()()()222114011t s t t t t t -'=-=>++，故()s t 在()1,+∞上单调递增，从而()()()21ln 101t s t t q t -=->=+，故()21ln 1t t t ->+（1t >）成立，从而21221e x x a+>-．综合上述，21221ln 2e a x x a --<+<，即21221ln 2a e x x a +<+<．方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现. 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）先利用导数的几何意义求出切线()y g x =，然后令()()()h x f x g x =-，再利用导数求出()h x 的最小值大于等于零即可得结论；（2）不妨设12x x <，由于直线1y x e =--与y a =相交于点()0,x a ，由（1）可得101x x a e≥=--，所以只要证2x a e ≤+即可，即证()220f x x e -+≥，构造函数()()ln 2x f x x e x x x e ϕ=-+=-+，利用导数求其最小值非负即可证明：（1）由于()ln f x x '=，则11f e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，又12f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 在1=x e 处的切线方程为21y x e e ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即()1y g x x e==--，令()()()()1ln 1h x f x g x x x x e=-=-++，则()ln 1h x x '=+，于是当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()10h x h e ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，即()()f x g x ≥.（2）不妨设12x x <，直线1y x e =--与y a =相交于点()0,x a ，又由（1）知：()()f x g x ≥，则()()011111a x f x g x x e e =--=≥=--，从而101x x a e ≥=--，当且仅当01x e =，2a e=-时取等号.下证：2x a e ≤+.由于()2a f x =，所以()222x a e x f x e ≤+⇔≤+，即证：()220f x x e -+≥，令()()ln 2x f x x e x x x e ϕ=-+=-+，则()ln 1x x ϕ'=-，当()0,x e ∈时，()0x ϕ'<；当(),x e ∈+∞，()0x ϕ'>；所以()x ϕ在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增；故()()0x e ϕϕ≥=，即2x a e ≤+成立，当且仅当2x e =，0a =时取等号. 由于等号成立的条件不能同时满足，所以()1221112x x x x a e a a e e e ⎛⎫-=-<+---=++ ⎪⎝⎭.关键点点睛：此题考查导数的应用，考查导数的几何意义的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是在第2问中设12x x <，直线1y x e =--与y a =相交于点()0,x a ，又由（1）知：()()f x g x ≥，则()()011111a x f x g x x e e=--=≥=--，从而101x x a e≥=--，所以将问题转化为证2x a e ≤+，进一步转化为证明()220f x x e -+≥，然后构造函数()()ln 2x f x x e x x x e ϕ=-+=-+，利用导数求其最值即可，考查计算能力和转化思想，属于较难题19．（1）y x =或11y x e e=+；（2）证明见解析. 【解析】(1)利用函数在某一点处的导数值即为函数在该点处切线的斜率来求解；(2 )通过结论构造新函数加以证明，构造函数()ln 1h x x x =-+，求导函数，分析导函数的符号，得出所构造函数的单调性，从而得出最值，不等式可得证. （1）1()1f x x '=+，1()xg x e '-=，则函数()f x 在点11(,())x f x 处的切线方程为：1111ln(1)()1y x x x x -+=-+，即11111ln(1)11x y x x x x =++-++，函数()g x 在点22(,())x g x 处的切线方程为：22112()x x y e e x x ---=-，即22112(1)x x y e x e x --=+-，因为直线:l y kx b =+既是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线，所以22111112111ln(1)(1)1x x e x x x e x x --⎧=⎪+⎪⎨⎪+-=-⎪+⎩，将211ln(1)x x -=-+代入得1ln(1)1111ln(1)ln(1)1x x x e x x -++-=⋅++，即111ln(1)x x x +=，所以10x =或11x e =-，若10x =，则21x =，此时直线l 的方程为：y x =；若11x e =-，则20x =，则此时直线l 的方程为：11y x e e=+，综上得：y x =或11y x e e=+. （2）设()ln 1h x x x =-+，则11()1xh x x x-'=-=，令()0h x '=，解得1x =，所以当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在(0,1)上单调递增，()h x 在(1,).+∞上单调递减，所以()(1)0h x h <=，所以ln 1≤-x x ，所以2ln x x x x ≤-，设2()21(0)x F x e x x x =-+->，则()41x F x e x '=-+，令()()41x G x F x e x '==-+，则()'4xG x e =-，令()'0G x =，得ln 4x =，所以存在12,x x 使得()F x 满足()F x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，所以{}{}min 22()min (0),()min 0,()F x F F x F x ==，又因为22222222()21252x F x e x x x x =-+-=-+-，且2ln 42x <<，因为2252y x x =-+-在(ln 4,2)上单调递减，所以2222520x x -+->，所以2()0F x >，所以2()210x F x e x x =-+->，即221ln x e x x x x x -->-≥，即2ln 1x x x e x <--.方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.20．（1）答案见解析；（2）(,-∞. 【解析】（1）求得()()()xf x x a a e '=--，分0a ≤和0a >两种情况讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；（2）当0a <时，由（1）()3112a af x e a e =-+<--极小值，求得a <01a <<时，求得函数的单调性，结合()(1)1a h a h e >>--，得到01a <<不合题意；当1a ≥时，由函数()f x 在(,0)-∞递增，无极值，得到不符合题意，即可求解.（1）由题意，函数221()(1)2x f x x a e ax a x =---+，可得()2()()()x xf x x a e ax a x a e a '=--+=--，当0a ≤时，0x e a ->，令()0f x '<，解得x a <；令()0f x '>，解得x a >，故()f x 在(,)a -∞递减，在(,)a +∞递增，当0a >时，令()0f x '=，解得1x a =或2ln x a =，设()ln g a a a =-，可得1()a g a a-'=，当1a >时，()0g a '>；当01a <<时，()0g a '<，故min ()(1)10g x g ==>，故ln a a >，由()0f x '>，解得x a >或ln x a <，由()0f x '<，解得ln a x a <<，故()f x 在(,ln )a -∞递增，在(ln ,)a a 递减，在(,)a +∞递增，综上可得：当0a ≤时，()f x 在(,)a -∞递减，在(,)a +∞递增， 0a >时，()f x 在(,ln )a -∞递增，在(ln ,)a a 递减，在(,)a +∞递增；（2）当0a <时，由（1）知，()f x 在(,)a -∞递减，在(,)a +∞递增，故()31()12a af x f a e a e ==-+<--极小值，解得a <当01a <<时，ln 0a <，由（1）知()f x 在ln x a =处取极大值，设221()(ln )(ln 1)ln ln 2h a f a a a a a a a a ==---+21ln 1ln 2a a a a a a ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，则21()ln 2ln 2h a a a a a '=-+-，因为01a <<，可得ln 0a <，所以()0h a '<，()h a 在(0,1)递减，所以()(1)21a h a h e >=->--，所以01a <<不合题意，当1a ≥时，ln 0a ≥，由（1）知()f x 在(,0)-∞递增，此时()f x 在(,0)-∞无极值，不符合题意，综上可得，实数a 的取值范围是(,-∞.对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21．（1）()f x 的单调增区间为(,3)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为(3,1)-，（2）最大值为9，最小值为53-【解析】（1）先求导，由已知可得'(3)0f -=，求出a 的值，再代入检验，从而可得函数的关系式，然后由导数的正负来求出函数的单调区间；（2）由（1）得出的单调区可求出()f x 的极值，从而可求出()f x 的最值解：（1）由()()32133f x x ax x a R =+-∈，得'2()23f x x ax =+-，因为()()32133f x x ax x a R =+-∈在3x =-处取得极值，所以'(3)0f -=，即()()232330a -+⋅--=，解得1a =，经检验，当1a =时，()f x 在3x =-处取得极值，所以1a =，所以()32133f x x x x =+-，则()2'23f x x x =+-，由()'0f x >，得1x >或3x <-，由()'0f x <，得31x -<<，所以()f x 的单调增区间为(,3)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为(3,1)-，（2）由（1）可知()f x 在[3,1)-上单调递减，在(1,3]上单调递增，所以当1x =时，()f x 取得最小值，即min 15()(1)1333f x f ==+-=-，因为321(3)(3)(3)3(3)93f -=⨯-+--⨯-=，321(3)333393f =⨯+-⨯=，所以 ()f x 的最大值为9，所以()f x 区间[]3,3-上的最大值为9，最小值为53-22．（1）1a =；（2）76b <-或103b >．【解析】（1）利用导数分0a ，01a <<，1a =和1a >四种情况求出函数的最小值，然后列方程可求出a 的值；（2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，可得3211232b x x x =-++，构造函数3211()232h x x x x =-++，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图像可得答案解：（1）由3211()32f x x ax =-，2()()f x x ax x x a =--'=，当0a 时，()'f x 在[0,)+∞上恒大于等于0，所以()f x 在[0,1]上单调递增， min ()(0)0f x f ==，不合题意；当01a <<时，则[0,]x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； [,1]x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以333min 111()()326f x f a a a a ==-=-，31166a -=-，所以1a =，不满足01a <<；当1a =时，在[0,1]上，()0f x '且不恒为0，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f ==-=-，适合题意；当1a >时，在[0,1]上，()0f x '<，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f a ==-=-，所以1a =，不满足1a >；综上，1a =．（2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，所以3211232b x x x =-++，令3211()232h x x x x =-++，则2()2(2)(1)h x x x x x =-++=--+'，所以(2)0,(1)0h h ''=-=，且当1x <-时，()0h x '<；当12x -<<时，()0h x '>；当2x >时，()0h x '<，所以 117()(1)2326h x h =-=+-=-极小， 1110()(2)844323h x h ==-⨯+⨯+=极大，如图：函数()g x 有1个零点，所以76b <-或103b >．23．（①）10x y -+=；（①）见解析；（①）1[e，)+∞．【解析】（①）函数()ln f x ax x =-．当2a =时，()2ln f x x x =-，f （1）2=．切线的斜率为f '（1），利用点斜式即可得出曲线()y f x =的在点1x =处的切线方程．（①）1()f x a x'=-，(0,)x ∈+∞．对a 分类讨论即可得出单调区间．（①）若()0f x 恒成立，则ln xax 在(0,)x ∈+∞上恒成立．令ln ()x g x x=，(0,)x ∈+∞．利用导数研究其单调性即可得出函数()g x 的最大值，即可得出所求．解：（①）函数()ln f x ax x =-，()0x > 当2a =时，()2ln f x x x =-，f （1）2=．1()2f x x'=-， f '（1）1=，∴曲线()y f x =的在点1x =处的切线方程为：21y x -=-，即10x y -+=．（①）1()f x a x'=-，(0,)x ∈+∞．0a 时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减．0a >时，1()()a x a f x x-'=，则函数()f x 在1(0,)x a∈上单调递减，在1(a ，)+∞上单调递增．（①）若()0f x 恒成立，则ln xa x在(0,)x ∈+∞上恒成立．令ln ()xg x x=，(0,)x ∈+∞． 21-ln ()x g x x '=，令21ln ()0xg x x-'==，则x e =，当()0,x e ∈时，()0g x '>，所以ln ()xg x x=在()0,x e ∈递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，所以ln ()xg x x=在(),x e ∈+∞递减，所以()1()max g x g e e==，所以a 的取值范围为1[e，)+∞．24．（1）a ≤（2）证明见解析．【解析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立可求得参数范围；（2）不等式变形为e ln 0x x x x -+>，(0,1)x ∈，引入函数()e ln x g x x x x =-+，(0,1)x ∈，由导数求得其最小值，证明最小值大于0即证．（1）1()2f x x a x '=+-，由题意1()20f x x a x '=+-≥，即12a x x≤+在(0,)+∞上恒成立，0x >时，12x x+≥=12x x =，x =时等号成立．所以a ≤（2）0a =时，2()ln f x x x =+，21()(1ln )e x x x f x x x ⎡⎤+-=-<⎣⎦，即证e ln 0x x x x -+>，(0,1)x ∈，设()e ln x g x x x x =-+，(0,1)x ∈，11ln ()e e ln x x g x x x ++=+-'=，在(0,1)上它是增函数，1e 1()e 10eg '=->，e e e (e )e 0g e --'=-<，所以()'g x 在1(0,)e上存在唯一零点0x ，00e ln 0xx +=，00x x <<时，()0g x '<，()g x 递减，01x x <<时，()0g x '>，()g x 递增，所以0min 0000()()e ln xg x g x x x x ==-+0000ln ln x x x x =--，010,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令1()ln ln ,0,e h x x x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则11()ln 11ln h x x x x x '=+--=-0<，所以10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()h x 是减函数，所以111112()()ln ln 10e e e e e h x h e >=--=->，所以min ()0g x >，所以原不等式成立．本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式．用导数证明不等式的常用方法是：例如不等式变形为()0>g x ，然后用导数求()g x 的最小值，只要最小值大于0即可得．25．（1）1a =，5b =-；（2）在10,2⎛⎫⎪⎝⎭、()2,+∞上单调递增，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【解析】（1）本题首先可求出()22f x ax b x '=++，然后根据题意得出102f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝、()20f '=，最后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可通过求导得出()()()212x x f x x--'=，然后通过()0f x '>、()0f x '<即可得出结果.（1）()22ln f x x ax bx =++，()()220f x ax b x x'=++>，因为()f x 在12x =和2x =处有极值，所以102f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，()20f '=，即40140a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得1a =，5b =-，()2n 52l x x x f x +=-. （2）()2n 52l x x x f x +=-，()()()212225x x f x x x x--'=+-=，0x >，当102x <<时，()0f x '>，()f x 是增函数；当122x <<时，()0f x '<，()f x 是减函数；当2x >时，()0f x '>，()f x 是增函数，。

第五章一元函数的导数及其应用【章末复习】高二数学单元复习(人教A版2019选择性必修第二册)

章末复习
第五章一元函数的导数及其应用
1 知识框架
2 重点题型
题型 1：导数的几何意义
1．导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x ＝x 0 处的导数
f′(x 0)就是曲线 y＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．
2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以
求出曲线上任意一点处的切线方程 y－y0＝f′(x 0)(x－x 0)，明

π π
f(x)在－2，2上没有极大值.

③当 a<－1 时，a<asin x<－a π
x＋1＝0，x∈－，有解，设为
2 2

因为 y＝asin x
π π
在－2，2上单调递减，

β.
2 重点题型
所以当
π

x∈－2，β时，f′(x)>0；当
(2)若函数 f(x)的极大值为
23
2,且在区间[0,3]上的最小值为- 2 ,求
a,b 的值.
分析(1)求出函数的导数,根据导数的符号确定极值点,利用极大值为2求a,b
满足的关系式;(2)可利用极值点x=a与区间[0,3]的位置关系,确定分类讨论
标准后,分类讨论求最小值.
2 重点题型
解 (1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a,
2
107
107
a= 48 ,由于 48 <3,所以不合题意,舍去.
3
综上,a=2,b=- .
2
3
a=2,b=-2.
2 重点题型

新教材2025版高中数学第五章一元函数的导数及其应用5

5．1.2 导数的概念及其几何意义第1课时导数的概念A 级——基础过关练1．(2024年昭通期末)已知函数f (x )在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)，则lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝( ) A ．－13f ′(x 0)B ．－3f ′(x 0)C ．3f ′(x 0)D ．13f ′(x 0) 【答案】C 【解析】依据题意，lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝3lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx＝3f ′(x 0).故选C.2．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时改变率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2【答案】B 3．若lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝k ，则lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝( ) A ．2k B ．kC ．12kD ．以上都不对【答案】A4．(2024年东北师大附中月考)甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是 ( )A.v 甲＞v 乙 B ．v 甲＜v 乙 C ．v 甲＝v 乙 D ．大小关系不确定【答案】B 【解析】设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均改变率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均改变率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均改变率v 乙＝k BC .因为k AC＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．5．(多选)在x ＝1旁边，取Δx ＝0.3，关于下列说法正确的有 ( )A ．函数y ＝x 的平均改变率为1B ．函数y ＝x 2的平均改变率为2.3C ．函数y ＝x 3的平均改变率为3.99 D ．函数y ＝1x的平均改变率为1【答案】ABC 【解析】依据平均改变率的计算公式，可得Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，所以在x ＝1旁边取Δx ＝0.3，则平均改变率的公式为Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3. 下面逐项判定，对于A ，函数y ＝x ，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝1.3－10.3＝1，正确；对于B ，函数y ＝x 2，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝1.32－10.3＝0.690.3＝2.3，正确；对于C ，函数y ＝x 3，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝1.33－10.3＝1.1970.3＝3.99，正确；对于D ，函数y ＝1x ，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝11.3－10.3＝－11.3≠1，错误．故选ABC.6．物体的运动方程为s ＝6t ＋7t 2(s 的单位：米，t 的单位：秒)，则此物体在t ＝10的瞬时速度是________．【答案】146米/秒【解析】设此物体在t ＝10的瞬时速度v ＝lim Δt →0s (10＋Δt )－s (10)Δt＝lim Δt →06(10＋Δt )＋7(10＋Δt )2－60－700Δt ＝lim Δt →0146Δt ＋7(Δt )2Δt ＝lim Δt →0 (146＋7Δt )＝146(米/秒).7．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－2)＝24，则a ＝________．【答案】2 【解析】因为f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )3＋2－(ax 3＋2)Δx＝lim Δx →0[3ax 2＋a (Δx )2＋3ax Δx ]＝3ax 2，∴f ′(－2)＝12a ＝24，∴a ＝2.8．(2024年青岛月考)设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________．【答案】2 【解析】∵f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋4－(a ＋4)Δx＝a ，∴a ＝2.9．(2024年武汉月考)2024年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重实行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成果，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l (单位：m)与时间t (单位：s)之间的关系为l (t )＝2t 2＋32t ，则当t ＝3 s 时，该运动员的滑雪瞬时速度为________m/s.【答案】272 【解析】l (3＋Δt )－l (3)＝2(3＋Δt )2＋32(3＋Δt )－2×32－92＝2(Δt )2＋272Δt ，所以该运动员在 3 s 时的滑雪瞬时速度为l ′(3)＝lim Δt →0l (3＋Δt )－l (3)Δt＝lim Δt →0⎝ ⎛⎭⎪⎫2Δt ＋272＝272(m/s).10．求函数y ＝x 2在x ＝1，2，3旁边的平均改变率，取Δx 的值为13，哪一点旁边的平均改变率最大？解：在x ＝1旁边的平均改变率为k 1＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2旁边的平均改变率为k 2＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3旁边的平均改变率为k 3＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3旁边的平均改变率最大．B 级——实力提升练 11．(2024年南通期末)函数f (x )＝x 2－sin x 在[0，π]上的平均改变率为 ( )A ．1B ．2C ．πD ．π2【答案】C 【解析】依据题意，f (x )＝x 2－sin x ，则f (0)＝0，f (π)＝π2－sin π＝π2，则f (x )在[0，π]上的平均改变率为Δy Δx ＝f (π)－f (0)π－0＝π2－0π－0＝π.12．(多选)已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则对于随意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，下列结论正确的是 ( )A ．()x 1－x 2[]f ()x 1－f ()x 2<0B ．()x 1－x 2[]f ()x 1－f ()x 2>0C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f ()x 1＋f ()x 22D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f ()x 1＋f ()x 22【答案】AD 【解析】由题中图象可知，导函数f ′(x )的图象在x 轴下方，即f ′(x )<0，且其肯定值越来越小，因此过函数f (x )图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f (x )的大致图象如图所示．由图象可知x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)异号，故A 正确，B 不正确；f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22表示x 1＋x 22对应的函数值，即图中点B 的纵坐标，f (x 1)＋f (x 2)2表示当x ＝x 1和x ＝x 2时所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，明显有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2，故C 不正确，D 正确．故选AD.13．(2024年北京期末)日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加．已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x(80<x <100)，则净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时改变率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时改变率的________倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越________(填“快”或“慢”).【答案】25 快【解析】由题意，可知净化所需费用的瞬时改变率为c ′(x )＝5 284×[－(100－x )-2×(－1)]＝ 5 284(100－x )2，所以c ′(95)＝ 5 284(100－95)2＝5 28425，c ′(99)＝ 5 284(100－99)2＝5 284，所以c ′(99)c ′(95)＝5 2845 28425＝25，所以净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时改变率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时改变率的25倍．因为c ′(99)>c ′(95)，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快．14．(2024年承德月考)某人服药后，人汲取药物的状况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值．【答案】－0.002 【解析】c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.15．(2024年长沙月考)设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值．(1)lim Δx →0 f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx ； (2)lim Δx →0 f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )Δx. 解：(1)lim Δx →0f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx＝－m lim Δx →0f (x 0－m Δx )－f (x 0)－m Δx＝－mf ′(x 0). (2)lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )Δx＝lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0)－[f (x 0＋5Δx )－f (x 0)]Δx＝lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0)Δx －lim Δx →0f (x 0＋5Δx )－f (x 0)Δx＝4limΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0)4Δx－5limΔx→0f(x0＋5Δx)－f(x0)5Δx＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0).。

新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.2.3简单复合函数的导数训练提升新人教版选择性

5.2.3简单复合函数的导数课后·训练提升基础巩固1.函数y=(x21)n的复合过程正确的是()A.y=u n,u=x21B.y=(u1)n,u=x2C.y=t n,t=(x21)nD.y=(t1)n,t=x21答案:A2.(多选题)下列求导结果正确的是()A.(x ln(x))'=ln(x)1B.(sin 2x)'=2cos 2xC.(ln(2x+3))'=D.()'=2x答案:BD解析:(x ln(x))'=x'·ln(x)+x(ln(x))'=ln(x)+x·=ln(x)+1,故A错误; (sin2x)'=2cos2x,故B正确;(ln(2x+3))'=(2x+3)'=,故C错误;()'=()·(x21)'=2x,故D正确.3.设函数f(x)=(12x3)10,则f'(1)等于()A.0B.60答案:B解析:因为f'(x)=10(12x3)9(6x2),所以f'(1)=10×(12)9×(6)=60.4.函数y=x ln(2x+5)的导数y'=()A.ln(2x+5)B.ln(2x+5)+x ln(2x+5)D.答案:B解析:y'=[x ln(2x+5)]'=x'ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]'=ln(2x+5)+x··(2x+5)'=ln(2x+5)+.5.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则的值为()A.10B.10答案:C解析:∵f(x)=2ln(3x)+8x,∴f'(x)=+8=8+.根据导数定义知=2=2f'(1)=20.故应选C.6.设曲线y=ax ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a等于()答案:D解析:y'=a,由题意得y'|x=0=2,即a1=2,故a=3.7.函数y=sin 2x cos 3x的导数y'=.答案:2cos 2x cos 3x3sin 2x sin 3x解析:y'=(sin2x)'cos3x+sin2x(cos3x)'=2cos2x cos3x3sin2x sin3x.8.曲线y=x e x1在点(1,1)处的切线的斜率为.答案:2解析:y'=e x1+x e x1=(x+1)e x1,故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1+1)e11=2.9.若函数f(x)=,则f'(x)=.答案:解析:∵f(x)=,∴f'(x)=.10.若曲线y=e x在点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.答案:(ln 2,2)解析:设P(x0,),则y'==2,得x0=ln2,故点P的坐标为(ln2,2).11.求曲线y=2sin2x在点P处的切线方程.解:因为y'=(2sin2x)'=2×2sin x(sin x)'=2×2sin x cos x=2sin2x,所以切线斜率k=2sin=.所以所求切线方程为y,即xy+=0.12.设函数f(x)=a e x ln x+.(1)求导函数f'(x);(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x1)+2,求a,b的值.解:(1)由f(x)=a e x ln x+,得f'(x)=(a e x ln x)'+=a e x ln x+.(2)由于切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x1)+2上,将x=1代入切线方程得y=2,将x=1代入函数f(x)得f(1)=b,故b=2.将x=1代入导函数f'(x)中,得f'(1)=a e=e,故a=1.能力提升1.函数y=sin 2x cos 2x的导数y'=()cosB.cos 2x sin 2xC.sin 2x+cos 2xcos答案:A解析:y'=(sin2x)'(cos2x)'=cos2x·(2x)'+sin2x·(2x)'=2cos2x+2sin2x=2=2cos.故选A.2.曲线y=e2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为()A. B. C.答案:A解析:∵y'|x=0=2e2×0=2,∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y=2x+2.如图,由得x=y=,∴A.故所求三角形的面积为×1=.3.曲线y=e5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案:5x+y3=0解析:因为y'=e5x(5x)'=5e5x,所以切线的斜率k=5,故切线方程为y3=5(x0),即5x+y3=0.4.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f',则φ=;若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=.答案:解析:f'(x)=sin(x+φ).由条件知,f'=s in(π+φ)=sinφ=,∴sinφ=.∵0<φ<π,∴φ=或φ=.∵f(x)+f'(x)=cos(x+φ)sin(x+φ)=2sin,∴若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0,即0=2sin,∴φ+=kπ(k∈Z).又φ∈(0,π),∴φ=.5.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为.答案:2解析:设切点坐标是(x0,x0+1),依题意有解得x0=1,a=2.6.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e x1x,求曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程.解:设x>0,则x<0,f(x)=e x1+x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=e x1+x,所以f'(x)=e x1+1,f'(1)=2,所以所求的切线方程为y2=2(x1),即2xy=0.7.已知曲线y=e2x cos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.解:由y'=(e2x cos3x)'=(e2x)'cos3x+e2x(cos3x)'=2e2x cos3x+e2x(3sin3x)=e2x(2cos3x3sin3x), 得y'|x=0=2.则切线方程为y1=2(x0),即2xy+1=0.由直线l与切线平行,可设直线l的方程为2xy+c=0(c≠1),则两平行线间的距离d=,得c=6或c=4.故直线l的方程为2xy+6=0或2xy4=0.。

第五章一元函数的导数及应用复习与提升高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

第五章
《一元函数的导数及其应用》复习与提升
学习目标
1．将本章知识系统化、网络化 2、会利用本章知识解决相关问题
❖一本章知识系统化、网络化
• 二讲授新课
【例 1】已知函数 f (x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f (x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f (x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线 y＝f (x)的某一切线与直线 y＝－14x＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程．
【例 3】已知函数 f (x)＝x3＋ax2＋b 的图象上一点 P(1，0)且在点 P 处的切线与直线 3x＋y＝0 平行．
(1)求函数 f (x)的解析式； (2)求函数 f (x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值．
[解] (1)因为 f ′(x)＝3x2＋2ax，曲线在 P(1，0)处的切线斜率为 f ′(1)＝3＋2a，即 3＋2a＝－3，a＝－3.
(2)设切点为(x0，y0)，
. 则直线 l 的斜率为 f ′(x0)＝3x20＋1，
∴直线 l 的方程为 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16. 又∵直线 l 过点(0，0)， ∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16. 整理得，x30＝－8， ∴x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
.
跟踪练习 1．设函数 f (x)＝x2＋bx－aln x，若曲线 y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线在 x 轴上的截距为－2，在 y 轴上的截距为 2，求 a 与 b 的值．
[解] f ′(x)＝2x＋b－ax， f (1)＝1＋b，f ′(1)＝2＋b－a， ∴曲线 y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为 y－1－b＝(2＋b－ a)(x－1)，即 y＝(2＋b－a)x＋a－1.

2023-2024学年高二数学单元速记一元函数的导数及其应用(单元重点综合测试)(解析版)

一元函数的导数及其应用（单元重点综合测试）
A．在0到0t范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B．在0到0t范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C．在0t到1t范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D．在0t到1t范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度【答案】BC
【详解】在0到t范围内，甲、乙的平均速度都为
x
故选：ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题
13．（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知函数x y--=，则a b-=
740
16．
（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法方程()0f x =的根就是函数()f x 在1x x =处的切线与x 轴的交点横坐标为接近r .若()32
33f x x x x =-+【答案】
526227/2【详解】因为()323f x x x =-且()(23633f x x x x '=-+=-所以，曲线()y f x =在0x x =
业的诚信度，赢得良好的社会效益，自愿将自身利润降到最低（仅够企业生产物资期间的开销），将每吨。

2023-2024学年高二数学单元速记一元函数的导数及其应用(知识归纳+题型突破)(解析版)

一元函数的导数及其应用反思总结：切线问题注意判断“在型”和“过型”的区别；其中“在型”表示已知点就是切点；反思总结:切线问题注意判断“在型”和“过型”的区别；其中“过型”已知点一般当做非切点处理；巩固训练1．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）过点为．【详解】()e 1xx x =+，求导可得：()f x '=处的切线方程为()110y x -=⨯-，整理可得：()ln xx x=，求导可得：()1g x x -'=处的切线方程为()011y x -=⨯-，整理可得AB 的斜率10101AB k -==--，易知：直线故答案为：2.函数与导函数图象间的关系A ．．．．【答案】A【详解】()2f x x =-+02x≤，轴下方的图象为函数0时，函数()g x ，故排除CD ；A ．．．．【答案】BA．．．．【答案】C【详解】由导函数的图象可知，函数的符号从左至右依次为负、正、负，则函数性从左至右依次为减、增、减，排除选项；()()''上单调递增；A ．()f x 有三个极值点C ．()f x 有一个极大值【答案】C【详解】解：()()g x x f x '=⋅，并结合其图象，可得到如下情况，像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()()21f f ->-B ．1x =是()f x 的极小值点C ．函数()f x 在()1,1-上有极大值D ．3x =-是()f x 的极大值点【答案】AD【详解】由()y f x '=的图象可知：当(,3)x ∈-∞-时，()0f x ¢>，所以函数()f x 单调递增；当(3,1)x ∈--时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减，因此有()()21f f ->-，3x =-是()f x 的极大值点，所以选项A 、D 正确；当(1,1)x ∈-，或(1,)x ∈+∞时，()0f x ¢>，所以函数()f x 单调递增，因此函数()f x 在()1,1-上没有极大值，且1x =不是()f x 的极小值点，所以选项B 、C 不正确，故选：AD2．（多选）（2022下·福建漳州·高二校考阶段练习）设函数()y f x =在R 上可导，其导函数为()y f x '=，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A ．函数()y f x =在(),2-∞-上递减，在()2,+∞上递减B ．函数()y f x =在(),2-∞-上递增，在()2,+∞上递增C ．函数()y f x =有极大值()2f 和极小值()2f -D ．函数()y f x =有极大值()2f -和极小值()2f 【答案】BD-∞上单调递减，反思总结：函数在闭区间上一定有最值，在极值点或端点处取得，解题时比较极值和端点值的大小即可；，而()1e eg =，所以10ln ea <<令()ln ln xh x a x=-，因为()1ln 0h a =-<，()e h为自然对数的底数结合图象可得211e 2ea <<，所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<.2．（2023上·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）（由()()50g x x f x =>，得⎧⎨⎩数形结合可知不等式()g x >综上，不等式()0g x >的解集为故选：A ．。

新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.1函数的单调性训练提升新人教版选择性

5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性课后·训练提升基础巩固1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能是()答案:D解析:∵函数f(x)在区间(0,+∞),(∞,0)内都单调递减,∴当x>0时,f'(x)<0,当x<0时,f'(x)<0.故选D.2.若a>0,且f(x)=x3ax在区间[1,+∞)内单调递增,则a的取值范围是()A.(0,3)B.(0,3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)答案:B解析:由题意得,f'(x)=3x2a≥0在区间[1,+∞)内恒成立,所以a≤(3x2)min=3,又a>0,所以0<a≤3.3.下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递增的是()A.y=sin xB.y=x e xC.y=x3xD.y=ln xx答案:B解析:B项中,y=x e x,y'=e x+x e x=e x(1+x),当x∈(0,+∞)时,y'>0,故y=x e x在区间(0,+∞)内单调递增.4.(多选题)若函数y=e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的为()A.f(x)=2xB.f(x)=3xC.f(x)=x3D.f(x)=x2+2答案:AD解析:A中,e x f(x)=e x·2x=在R内单调递增,故f(x)=2x具有M性质;B中,e x f(x)=e x·3x=在R内单调递减,故f(x)=3x不具有M性质;C中,e x f(x)=e x·x3,令g(x)=e x·x3,则g'(x)=e x·x3+e x·3x2=x2e x(x+3),当x>3时,g'(x)>0,当x<3时,g'(x)<0,故e x f(x)=e x·x3在区间(∞,3)内单调递减,在区间(3,+∞)内单调递增,故f(x)=x3不具有M性质;D中,e x f(x)=e x(x2+2),令g(x)=e x(x2+2),则g'(x)=e x(x2+2)+e x·2x=e x[(x+1)2+1]>0,得e x f(x)=e x(x2+2)在R内单调递增,故f(x)=x2+2具有M性质.5.定义在R内的连续函数f(x),若(x1)f'(x)<0,则下列各项正确的是()A.f(0)+f(2)>2f(1)B.f(0)+f(2)=2f(1)C.f(0)+f(2)<2f(1)D.f(0)+f(2)与2f(1)大小关系不定答案:C解析:∵(x1)f'(x)<0,∴当x>1时,f'(x)<0,当x<1时,f'(x)>0,∴f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,在区间(∞,1)内单调递增,∴f(0)<f(1),f(2)<f(1),∴f(0)+f(2)<2f(1).6.若y=sin x+ax在R内是增函数,则a的取值范围是.答案:[1,+∞)解析:由已知得y'=cos x+a≥0对x∈R恒成立,即a≥cos x对x∈R恒成立.所以a≥1.7.已知函数f(x)=2x3+ax2+1(a为常数)在区间(∞,0),(2,+∞)内单调递增,且在区间(0,2)内单调递减,则a的值为.答案:6解析:由题意得f'(x)=6x2+2ax=0的两根为0和2,可得a=6.8.已知函数f(x)=3x2sin x,若f(a23a)+f(3a)<0,则实数a的取值范围是.答案:(1,3)解析:函数f(x)的定义域为R.∵f(x)=3x2sin x,f(x)=3x+2sin x=f(x),∴函数f(x)为奇函数.又f'(x)=32cos x>0,∴函数f(x)为增函数,f(a23a)+f(3a)<0,即f(a23a)<f(3a)=f(a3),即a23a<a3,解得1<a<3.9.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,f'(x)<2,则不等式f(x)>2x1的解集为. 答案:(∞,1)解析:令g(x)=f(x)2x+1,则g'(x)=f'(x)2<0,又g(1)=f(1)2×1+1=0,所以当g(x)>g(1)=0时,x<1,所以f(x)2x+1>0,即f(x)>2x1的解集为(∞,1).10.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy+7=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调区间.解:(1)由f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2,所以f(x)=x3+bx2+cx+2,f'(x)=3x2+2bx+c.由f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy+7=0,知6f(1)+7=0,即f(1)=1.又f'(1)=6,所以有解得b=c=3.故所求函数解析式为f(x)=x33x23x+2.(2)由(1)知f'(x)=3x26x3.令f'(x)>0,得x<1或x>1+;令f'(x)<0,得1<x<1+.故f(x)=x33x23x+2的单调递增区间为(∞,1),(1+,+∞),单调递减区间为(1,1+).11.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(1)当a=时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,求实数a的取值范围.解:(1)当a=时,f(x)=x2+ln(x+1)(x>1),f'(x)=x+=(x>1).当f'(x)>0时,解得1<x<1;当f'(x)<0时,解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间是(1,1),单调递减区间是(1,+∞).(2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,所以f'(x)=2ax+≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立,即a≤对任意x∈[1,+∞)恒成立.令g(x)==,易知当x∈[1,+∞)时,g(x)min=g(1)=,则a≤.故实数a的取值范围为.能力提升1.函数f(x)=的图象大致为()答案:B解析:函数f(x)=的定义域为(∞,0)∪(0,+∞),排除选项A;当x>0时,f(x)>0,且f'(x)=,故当x∈(0,1)时,函数f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递增,排除选项C;当x<0时,函数f(x)=<0,排除选项D,故选B.2.若函数f(x)=2x2ln x在定义域内的一个子区间(k1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是()A. B.C.(1,2]D.[1,2)答案:A解析:显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x.由f'(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为;由f'(x)<0,得函数f(x)的单调递减区间为.因为函数f(x)在区间(k1,k+1)内不是单调函数,所以k1<<k+1,解得<k<.又因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以k1≥0,即k≥1.综上可知,1≤k<.3.(多选题)下列不等式正确的是()A.>ln 2B.ln 2<lnC.ln 2<D.>5答案:ABC解析:构造函数f(x)=,导数为f'(x)=.当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减.∵32>23,y=ln x在定义域上单调递增,∴ln32>ln23,即2ln3>3ln2,∴>ln2,故A正确;∵e>>2,∴f>f(2),∴,ln ln2,故B正确;∵f(2)<f(e)=,∴,即ln2<,故C正确;∵e>>2,∴f()>f(2),∴,∴2ln ln2,∴ln()2>ln,∴5>,故D错误.故选ABC.4.已知在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf'(x)<0的解集为. 答案:(∞,1)∪(0,1)解析:由xf'(x)<0,可得由题图可知当1<x<1时,f'(x)<0,当x<1或x>1时,f'(x)>0,则解得0<x<1或x<1.故xf'(x)<0的解集为(0,1)∪(∞,1).5.若函数y=x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是.答案:(0,+∞)解析:∵y'=4x2+a,且y=x3+ax有三个单调区间,∴方程y'=4x2+a=0有两个不相等的实根,∴Δ=024×(4)×a>0,∴a>0.6.若函数f(x)=x2+b ln(x+2)在区间(1,+∞)内单调递减,则b的取值范围是. 答案:(∞,1]解析:f'(x)=x+,由题意知f'(x)=x+≤0在区间(1,+∞)内恒成立,即≤x在区间(1,+∞)内恒成立,∵x>1,∴x+2>1>0,∴b≤x(x+2)在区间(1,+∞)内恒成立.设y=x(x+2),则y=x2+2x=(x+1)21,∵x>1,∴y>1,∴要使b≤x(x+2)在区间(1,+∞)内恒成立,则有b≤1.7.已知函数f(x)=+a ln x+x,且曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=2x+2平行,则a=,函数f(x)的单调递增区间是.答案:1(2,+∞)解析:f(x)=+a ln x+x,定义域为(0,+∞),f'(x)=+1=.由题知f'(1)=a1=2,解得a=1,故f'(x)=,令f'(x)=0,得x1=2或x2=1(舍).f'(x)>0,即x2x2>0,且x>0,得x>2,故函数y=f(x)的单调递增区间为(2,+∞).8.若f(x)=(x∈R)在区间[1,1]上单调递增,则a的取值范围是.答案:[1,1]解析:f'(x)=2·,∵f(x)在区间[1,1]上单调递增,∴f'(x)=2·≥0在区间[1,1]上恒成立.∵(x2+2)2>0,∴x2ax2≤0对x∈[1,1]恒成立.令g(x)=x2ax2,则即∴1≤a≤1.故a的取值范围是[1,1].9.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=0,当x>0时,xf'(x)f(x)<0,则使f(x)>0成立的x的取值范围是.答案:(∞,1)∪(0,1)解析:因为f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=0,所以f(1)=f(1)=0.当x≠0时,令g(x)=,则g(x)为偶函数,且g(1)=g(1)=0.又当x>0时,xf'(x)f(x)<0,所以g'(x)='=<0,故g(x)在区间(0,+∞)内单调递减,在区间(∞,0)内单调递增.所以当0<x<1时,g(x)>g(1)=0⇔>0⇔f(x)>0;当x<1时,g(x)<g(1)=0⇔<0⇔f(x)>0.综上所述,使f(x)>0成立的x的取值范围是(∞,1)∪(0,1).10.设函数f(x)=x e kx(k≠0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增,求k的取值范围.解:(1)由f'(x)=(1+kx)e kx=0,得x=(k≠0).若k>0,则当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.若k<0,则当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.综上所述,当k>0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为;当k<0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由(1)知,若k>0,则当且仅当≤1,即0<k≤1时,函数f(x)在区间(1,1)内单调递增.若k<0,则当且仅当≥1,即1≤k<0时,函数f(x)在区间(1,1)内单调递增.综上可知,当函数f(x)在区间(1,1)内单调递增时,k的取值范围是[1,0)∪(0,1].11.已知函数f(x)=x+a(2ln x),a>0,试讨论f(x)的单调性.解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+.令g(x)=x2ax+2,Δ=a28.①当Δ<0,即0<a<2时,对一切x>0,都有f'(x)>0,此时f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;②当Δ=0,即a=2时,当且仅当x=时,有f'(x)=0,对定义域内其余的x都有f'(x)>0,此时f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;③当Δ>0,即a>2时,方程g(x)=0有两个不相等的实根,x1=,x2=,0<x1<x2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.x(0,x1) x1(x1,x2) x2(x2,+∞)f'(x) +0 0 +f(x) 单调递增f(x1) 单调递减f(x2) 单调递增故f(x)在区间和区间内单调递增;在区间内单调递减.。

高中数学第五章一元函数的导数及其应用测评课后提升训练(含解析)新人教A版选择性必修第二册-新人教

第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设f (x )是可导函数,且lim Δx →0f (x 0)-f (x 0-Δx )Δx =2,则f'(x 0)=()A.2B.-1C.1D.-2lim→0f (x 0)-f (x 0-Δx )Δx =lim Δx →0f [x 0+(-Δx )]-f (x 0)-Δx =f'(x 0)=2.故选A .2.(2020某某高二期末)一质点做直线运动,经过t 秒后的位移为s=13t 3-52t 2+4t ,则速度为零的时刻是() A.1秒末 B.4秒末 C.1秒末或4秒末D.0秒或4秒末s=13t 3-52t 2+4t ,所以s'=t 2-5t+4,令t 2-5t+4=0,解得t=1或t=4,所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末,故选C .3.曲线f (x )=x 3+x-2在P 0处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为() A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,-4)f'(x )=3x 2+1=4,解得x=±1,f (1)=0,f (-1)=-4,故P 0点的坐标为(1,0),(-1,-4),故选C .4.函数f (x )=3x 2+ln x-2x 的极值点的个数是() A.0 B.1 C.2D.无数个(0,+∞),且f'(x )=6x+1x -2=6x 2-2x+1x,∵x>0,g (x )=6x 2-2x+1中Δ=-20<0,所以g (x )>0恒成立.故f'(x )>0恒成立,即f (x )在定义域上单调递增,无极值点.5.函数f (x )=(x 2+tx )e x (实数t 为常数,且t<0)的图象大致是()f (x )=0得x 2+tx=0,得x=0或x=-t ,即函数f (x )有两个零点,排除A,C;函数的导数f'(x )=(2x+t )e x +(x 2+tx )e x =[x 2+(t+2)x+t ]e x ,当x →-∞时,f'(x )>0,即在x 轴最左侧函数f (x )为增函数,排除D;故选B .6.若函数f (x )=a sin x+cos x 在[-π3,π4]为增函数,则实数a 的取值X 围是() A.[1,+∞) B.(-∞,-√3] C.[-√3,1]D.(-∞,-√3]∪[1,+∞),f'(x )=a cos x-sin x ≥0在区间[-π3,π4]上恒成立,即a cos x ≥sin x.当x ∈[-π3,π4]时,cos x>0,故a ≥sinx cosx =tan x ,y=tan x 在x ∈-π3,π4时为递增函数, 其最大值为tan π4=1,故a ≥1.所以选A .7.已知定义在R 上的函数f (x )的导数为f'(x ),若满足f (x )+xf'(x )>1,则下列结论:①f (-1)>0;②f (1)<0;③2f (-2)>f (-1);④2f (1)>f 12中,正确的个数是()A.4B.3C.2D.1h (x )=xf (x )-x ,所以h'(x )=xf'(x )+f (x )-1, 因为函数f (x )满足f (x )+xf'(x )>1, 所以h'(x )>0,所以h (x )在R 上是增函数, 因为h (-1)=-f (-1)+1<h (0)=0, 所以f (-1)>1>0,故①正确. 因为h (1)=f (1)-1>h (0)=0, 所以f (1)>1,故②错误.因为h (-2)=-2f (-2)+2<h (-1)=-f (-1)+1,所以2f (-2)>f (-1)+1>f (-1),故③正确. 因为h (1)=f (1)-1>h12=12f12-12,所以2f (1)>f 12+1>f 12,故④正确.故选B .8.定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足xf'(x )=1+x ,且f (1)=2,不等式f (x )≥(a+1)x+1有解,则正实数a 的取值X 围是() A.(0,√e ] B.(0,√e ) C.(0,1e ]D.(0,1e )f'(x )=1+1x ,故f (x )=x+ln x+C ,其中C 为常数.因f (1)=2,所以C=1,即f (x )=x+ln x+1. 不等式f (x )≥(a+1)x+1有解可化为 x+ln x+1≥(a+1)x+1,即lnxx≥a 在(0,+∞)有解. 令g (x )=ln xx,则g'(x )=1-lnxx 2, 当x ∈(0,e)时,g'(x )>0,g (x )在(0,e)上为增函数; 当x ∈(e,+∞)时,g'(x )<0,g (x )在(e,+∞)上为减函数; 故g (x )max =g (e)=1e ,所以0<a ≤1e ,故选C .二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.(2019某某高三月考)下列结论中不正确的是() A .若y=cos 1x,则y'=-1xsin 1xB .若y=sin x 2,则y'=2x cos x 2C .若y=cos 5x ,则y'=-sin 5xD .若y=12x sin 2x ,则y'=x sin 2xA,y=cos 1x,则y'=-1x2sin 1x,故错误;对于B,y=sin x 2,则y'=2x cos x 2,故正确; 对于C,y=cos5x ,则y'=-5sin5x ,故错误;对于D,y=12x sin2x ,则y'=12sin2x+x cos2x ,故错误.故选ACD .10.(2020某某高三月考)设函数f (x )={|lnx |,x >0,e x (x +1),x ≤0,若函数g (x )=f (x )-b 有三个零点,则实数b 可取的值可能是() A .0B .12C .1D .2,函数g (x )=f (x )-b 有三个零点,则g (x )=f (x )-b=0,即f (x )=b 有三个根,当x ≤0时,f (x )=e x (x+1),则f'(x )=e x (x+1)+e x =e x (x+2), 由f'(x )<0得x+2<0,即x<-2,此时f (x )为减函数, 由f'(x )>0得x+2>0,即-2<x ≤0,此时f (x )为增函数,即当x=-2时,f (x )取得极小值f (-2)=-1e2,作出f (x )的图象如图: 要使f (x )=b 有三个根,则0<b ≤1,则实数b 可取的值可能是12,1. 故选BC .11.(2020某某高三月考)已知ln x 1-x 1-y 1+2=0,x 2+2y 2-4-2ln 2=0,记M=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2,则下列说法正确的是() A.M 的最小值为25 B .当M 最小时,x 2=125 C .M 的最小值为45 D .当M 最小时,x 2=65ln x 1-x 1-y 1+2=0得y 1=ln x 1-x 1+2,(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2的最小值可转化为函数y=ln x-x+2图象上的点到直线x+2y-4-2ln2=0上的点的距离的最小值的平方,由y=ln x-x+2得y'=1x -1,与直线x+2y-4-2ln2=0平行且与曲线y=ln x-x+2相切的直线的斜率为-12, 则令1x -1=-12,解得x=2.∴切点坐标为(2,ln2).∴(2,ln2)到直线x+2y-4-2ln2=0的距离d=√1+4=2√55,即函数y=ln x-x+2上的点到直线x+2y-4-2ln2=0上的点的距离的最小值为2√55,∴(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2的最小值为d 2=45.过(2,ln2)与x+2y-4-2ln2=0垂直的直线为y-ln2=2(x-2), 即2x-y-4+ln2=0,由{x +2y -4-2ln2=0,2x -y -4+ln2=0,解得x=125,即当M 最小时,x 2=125,故选BC .12.(2020某某师大附中高二期末)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件:①直线l 在点P (x 0,y 0)处与曲线C 相切;②曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C.则下列结论正确的是()A.直线l :y=0在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=x 3 B .直线l :y=x-1在点P (1,0)处“切过”曲线C :y=ln x C .直线l :y=x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=sin x D .直线l :y=x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=tan x项,因为y'=3x 2,当x=0时,y'=0, 所以l :y=0是曲线C :y=x 3在点P (0,0)处的切线.当x<0时,y<0;当x>0时,y>0,所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确; B 项,y'=1x,当x=1时,y'=1,在P (1,0)处的切线为l :y=x-1. 令h (x )=x-1-ln x , 则h'(x )=1-1x=x -1x(x>0), 当x>1时,h'(x )>0;当0<x<1时,h'(x )<0, 所以h (x )min =h (1)=0.故x-1≥ln x ,即当x>0时,曲线C 全部位于直线l 的下侧(除切点外),结论错误; C 项,y'=cos x ,当x=0时,y'=1,在P (0,0)处的切线为l :y=x ,由正弦函数图象可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确; D 项,y'=1cos 2x ,当x=0时,y'=1,在P (0,0)处的切线为l :y=x ,由正切函数图象可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确. 故选ACD.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.某产品的销售收入y 1(万元)与产量x (千台)的函数关系是y 1=17x 2,生产成本y 2(万元)与产量x (千台)的函数关系是y 2=2x 3-x 2,已知x>0,为使利润最大,应生产(千台).,利润y=y 1-y 2=17x 2-(2x 3-x 2)=18x 2-2x 3(x>0).y'=36x-6x 2,由y'=36x-6x 2=6x (6-x )=0,得x=6(x>0), 当x ∈(0,6)时,y'>0,当x ∈(6,+∞)时,y'<0.∴函数在(0,6)上为增函数,在(6,+∞)上为减函数.则当x=6(千台)时,y 有最大值为144(万元).故答案为6.14.已知函数f (x )=12x 2+2ax-ln x ,若f (x )在区间[13,2]上是增函数,则实数a 的取值X 围是.f (x )在区间[13,2]上是增函数,∴f'(x )=x+2a-1x ≥0在[13,2]恒成立,即2a ≥-x+1x在[13,2]恒成立.∵-x+1x 在[13,2]上是减函数, ∴(-x +1x )max=83,∴2a ≥83,∴a ≥43.[43,+∞)15.已知函数f (x )=x 3+3ax 2+3x+1,当x ∈[2,+∞),f (x )≥0恒成立,则实数a 的取值X 围是.∈[2,+∞),f (x )≥0,即x 3+3ax 2+3x+1≥0,即x+3x+1x 2≥-3a. 令g (x )=x+3x+1x 2, 则g'(x )=x 3-3x -2x 3.下面我们证g'(x )≥0在x ∈[2,+∞)恒成立, 也即x 3-3x-2≥0在x ∈[2,+∞)上恒成立. 令h (x )=x 3-3x-2,则h'(x )=3x 2-3=3(x+1)(x-1), 易知h'(x )≥0在x ∈[2,+∞)上恒成立,∴h (x )在x ∈[2,+∞)内为增函数,∴h (x )≥h (2)=0,也就是x 3-3x-2≥0在x ∈[2,+∞)上恒成立, ∴g'(x )≥0在x ∈[2,+∞)上恒成立,g (x )在x ∈[2,+∞)为增函数, ∴g (x )的最小值为g (2)=154,-3a ≤g (2)=154,解得a ≥-54.-54,+∞)16.若函数f (x )=a ln x+bx 2+3x 的极值点为x 1=1,x 2=2,则a=,b=.(本题第一空2分,第二空3分)(x )的定义域为(0,+∞).f'(x )=a x +2bx+3=2bx 2+3x+a x . 因为函数f (x )的极值点为x 1=1,x 2=2, 所以x 1=1,x 2=2是方程f'(x )=2bx 2+3x+a x=0的两个根,即为方程2bx 2+3x+a=0的两根.所以由根与系数的关系知{-32b =1+2,a 2b =1×2.解得{a =-2,b =-12.2-12四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2020某某高二期末)求下列函数的导数. (1)y=sin x+x ;(2)y=lnxx 2+1.y'=(sin x )'+x'=cos x+1;(2)y'=1x (x 2+1)-2xln x(x 2+1)2=x 2+1-2x 2lnx x (x 2+1)2.18.(本小题满分12分)(2020某某新建一中高二期末)设函数f (x )=a ln x+12x +32x+1,其中a ∈R ,曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于y 轴. (1)求a 的值; (2)求函数f (x )的极值.因为f (x )=a ln x+12x +32x+1,故f'(x )=a x −12x 2+32.由于曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-12+32=0,解得a=-1.(2)由(1)知f (x )=-ln x+12x +32x+1(x>0),f'(x )=-1x −12x 2+32=3x 2-2x -12x 2=(3x+1)(x -1)2x 2,令f'(x )=0,解得x 1=1,x 2=-13(因x 2=-13不在定义域内,舍去),当x ∈(0,1)时,f'(x )<0,故f (x )在(0,1)上为减函数;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,故f (x )在(1,+∞)上为增函数,故f (x )在x=1处取得极小值f (1)=3.19.(本小题满分12分)已知k 为实常数,函数f (x )=x 3-3x 2+k 在[0,2]上的最大值等于1. (1)求k 的值;(2)若函数g (x )在定义域R 上连续且单调递增,g (0)=k ,g (x )≥x+1,写出一个满足以上条件的函数g (x ),并证明你的结论.f'(x )=3x 2-6x=3x (x-2),因为0≤x ≤2,f'(x )≤0,所以f (x )在[0,2]上单调递减; 所以当x ∈[0,2]时,f (x )max =f (0)=k=1, 所以k=1.(2)函数g (x )=e x 满足条件,证明如下:首先函数g (x )=e x 满足在定义域R 上连续且单调递增,且g (0)=1=k. 下面证明:g (x )≥x+1,令h (x )=g (x )-(x+1)=e x -x-1,则h'(x )=e x -1, 由h'(x )=0,得x=0,当x ∈(-∞,0)时,h'(x )<0,h (x )在(-∞,0)上单调递减; 当x ∈(0,+∞)时,h'(x )>0,h (x )在(0,+∞)上单调递增; 所以h (x )≥h (0)=0,即g (x )-(x+1)≥0,所以g (x )≥x+1.20.(本小题满分12分)(2020某某高二期末)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r 米,高为h 米,体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V 表示成r 的函数V (r ),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V (r )的单调性,并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.∵蓄水池的侧面的建造成本为200·πrh 元,底面的建造成本为160πr 2元,∴蓄水池的总建造成本为200·πrh+160πr 2元,即200·πrh+160πr 2=12000π,∴h=15r (300-4r 2),∴V (r )=πr 2h=πr 2×15r (300-4r 2)=π5(300r-4r 3),又由r>0,h>0可得0<r<5√3, 故函数V (r )的定义域为0,5√3. (2)由(1)中V (r )=π5(300r-4r 3),0<r<5√3, 可得V'(r )=π5(300-12r 2)(0<r<5√3),令V'(r )=π5(300-12r 2)=0,则r=5,∴当r ∈(0,5)时,V'(r )>0,函数V (r )为增函数,当r ∈(5,5√3)时,V'(r )<0,函数V (r )为减函数, 所以当r=5,h=8时该蓄水池的体积最大. 21.(本小题满分12分)设函数f (x )=ln x-(1-1x ). (1)证明:当x>1时,f (x )>0; (2)若关于x 的不等式lnxx <a (x-1)对任意x ∈(1,+∞)恒成立,某某数a 的取值X 围.f (x )=ln x-(1-1x ),∴f'(x )=1x −1x 2=x -1x 2. 当x>1时,f'(x )>0.∴f (x )在(1,+∞)内为增函数, ∴f (x )>f (1)=0,得证.h (x )=lnxx -a (x-1),x ∈(1,+∞),则h'(x )=1-lnx x 2-a=1-lnx -ax 2x 2,当a ≥1时,1-ax 2<0,ln x>0,∴h'(x )<0,∴h (x )在x ∈(1,+∞)为减函数, ∴h (x )<h (1)=0恒成立,即不等式lnxx<a (x-1)对任意x ∈(1,+∞)恒成立;当a ≤0时,在(1,+∞)内有h (e)=1e-a (e -1)>0,故不合题意; 当0<a<1时,∵ln x>1-1x 对任意x ∈(1,+∞)恒成立;∴h (x )=lnx x -a (x-1)>1-1x x -a (x-1)=x -1x 2-a (x-1)=x -1x 2(1-ax 2),∴当x ∈(1√a)时,h (x )≥0,故不合题意. 综上,a ≥1.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=e x -12x 2-kx-1,k ∈R . (1)若f (x )在R 上是增函数,某某数k 的取值X 围;(2)讨论函数f(x)的极值,并说明理由;(3)若f(x)有两个极值点x1,x2,求证:函数f(x)有三个零点.x2-kx-1,得f'(x)=e x-x-k,由f(x)=e x-12∵f(x)在R上是增函数,∴f'(x)≥0在R上恒成立,即k≤e x-x在R上恒成立,设g(x)=e x-x,则g'(x)=e x-1,当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,即g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(0)=1,∴k≤1,即k的取值X围为(-∞,1].(2)由(1)知当k∈(-∞,1]时,f(x)在R上是增函数,此时f(x)无极值;当k∈(1,+∞)时,令f'(x)=0,即g(x)=k,∵x→-∞时,g(x)→+∞;g(0)=1;x→+∞时,g(x)→+∞,∴g(x)=k有两个根,设两根为x1,x2且x1<0<x2,可知x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时,f'(x)>0;x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,即f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减,∴f(x)在x=x1处取得极大值f(x1);在x=x2处取得极小值f(x2).综上所述:当k∈(-∞,1]时,f(x)无极值;当k∈(1,+∞)时,f(x)存在一个极大值和一个极小值.(3)由(2)知,f(x)有两个极值点x1,x2,则k∈(1,+∞),且x1<0<x2,∴f'(x1)=e x1-x1-k=0;f'(x2)=e x2-x2-k=0,x12-kx1-1又f(x1)=e x1−12x12-(e x1-x1)x1-1=e x1−12x12-1,=(1-x1)e x1+12x22-1,f(x2)=(1-x2)e x2+12x2-1,令h(x)=(1-x)e x+12则h'(x)=x(1-e x),则h'(x)≤0在R上恒成立,即h(x)在R上单调递减,又h(0)=0,∴x∈(-∞,0)时,h(x)>0;x∈(0,+∞)时,h(x)<0,∵x1<0<x2,∴f(x1)=h(x1)>0,f(x2)=h(x2)<0,word当x→-∞时,f(x)→-∞;当x→+∞时,f(x)→+∞,可得f(x)大致图象如下:∴f(x)有三个零点.11 / 11。

一元函数的导数及其应用(基础提升测试)高二数学考点知识详解+模拟测试(解析版)

一元函数的导数及其应用基础提升测试本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2log 1y x =+，则1x y ='=（） A ．1ln 2B ．1ln 2-C ．ln 2D ．ln 2-【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的导数求解即可【详解】因为2log 1y x =+，故1ln 2y x '=，故11|ln 2x y ='=故选：A2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()'1f =（） A ．e - B ．1-C ．1D ．e【答案】B 【解析】【分析】求得函数的导数()()121f x f x''=+，令1x =，即可求解. 【详解】由题意，函数()()21ln f x xf x '=+，可得()()121f x f x''=+，所以()()1211f f ''=+，则()11f '=-．故选：B.3．已知某函数图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是（）A ．2e (21)()1x x f x x -=-B ．e (21)()1x x f x x +=-C ．e (21)()1x x f x x -=-D ．21()e (1)x x f x x -=-【答案】C 【解析】【分析】根据定义域舍去A 选项；B 选项，根据1,12x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数值大于0舍去B 选项；CD选项，根据导函数求解函数的单调区间，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，2e (21)()1x x f x x -=-的定义域为{}1x x ≠±，故和图象不合，舍去；B 选项，当1,12x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()e 2101x x f x x +=<-，与图象不合，舍去； C 选项，e (21)()1x x f x x -=-定义域为{}1x x ≠，()22e (23)()1x x xf x x -'=-，当32x >，0x <时，()0f x '>，e (21)()1xx f x x -=-单调递增，当01x <<，312x <<时，()0f x '<，e (21)()1x x f x x -=-单调递减，与图象符合， D 选项，21()e (1)x x f x x -=-定义域为{}1x x ≠，()22232()0e (1)x xx f x x -+-=<-'在{}1x x ≠上恒成立，故21()e (1)xx f x x -=-在()(),1,1,-∞+∞上均单调递减，与图象不合，舍去；故选：C4．函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（） A ．(1,1)- B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(0,2)【答案】B【解析】【分析】求导，解不等式()0f x '<可得. 【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞解不等式1(1)(1)()0x x f x x x x-+'=-=<，可得01x <<，故函数21()ln 2f x x x =-的递减区间为(0,1). 故选：B ．5．已知函数()32183833f x x x x =-+-，()ln g x x x =-，若()120,3x x ∀∈，，()()12g x k f x +≥恒成立，则实数k 的取值范围是（）A ．[)2ln 2,++∞B ．[)3,∞-+C ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)3,+∞【答案】D 【解析】【分析】利用导数判断单调性，根据单调性求解最值，根据两个函数最值之间的关系即可求解. 【详解】()()()26824f x x x x x '=-+=--，当()0,2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()2,3x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在()0,3上的最大值是()24f =． ()111x g x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,3x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 在()0,3上的最小值是()11g =，若1x ∀，()20,3x ∈，()()12g x k f x +≥恒成立，则()()max min g x k f x +≥⎡⎤⎣⎦，即14k +≥，所以3k ≥，所以实数k 的取值范围是[)3,+∞．故选:D ．6．已知函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（）A ．21e ,2⎡⎤--⎣⎦B ．213,e ⎡⎤--+∞⎢⎥⎣⎦C ．213,2e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D ．2211e ,3e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【详解】因为函数21y x =+与函数21y x =--的图象关于x 轴对称，根据已知得函数12ln ,(e)e y a x x =-≤≤的图象与函数21y x =--的图象有交点，即方程22ln 1a x x -=--在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，即22ln 1a x x =--在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解．令()22ln 1g x x x =--，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()22212222x x g x x x x x--'=-==，可知()g x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,e 上单调递减，故当1x =时，()()max 12g x g ==-，由于21e e 13g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2e e 1g =-，且2211e 3e -->-，所以212e a -≤≤-．故选：A ．7．若函数()ln f x x =，g (x )=313x 对任意的120x x >>，不等式112212()()()()x f x x f x m g x g x ->-恒成立，则整数m 的最小值为（） A ．2 B ．1C ．0D ．-1【答案】A 【解析】【分析】根据所给不等式转化为120x x >>时，111222()()()()mg x x f x mg x x f x ->-恒成立，构造函数)(()()h x x x mg f x =-知其单调递增，利用导数恒大于等于0求解即可. 【详解】因为31()3g x x =单调递增，120x x >>，所以12()()0g x g x >>，即12()()0g x g x ->，原不等式恒成立可化为122211())((())x m f x x f g x mg x x -->恒成立，即120x x >>时，111222()()()()mg x x f x mg x x f x ->-恒成立，即函数3())ln ((3)m xf x x x x h x mg x ==--在(0,)+∞上为增函数，所以2ln 10()mx h x x '--≥=在(0,)+∞上恒成立，即2ln 1x m x +≥，令2ln )1(k x x x +=，则32l (n )1x k x x '+=-，当120e x -<<时，()0k x '>，()k x 单调递增，当12e x ->时，()0k x '<，()k x 单调递减，故当12e x -=时，函数2ln )1(k x x x +=的最大值为e2，即e2m ≥恒成立，由m ∈Z 知，整数m 的最小值为2. 故选：A8．定义：设函数()f x 的定义域为D ，如果[],m n D ⊆，使得()f x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则称函数()f x 在[],m n 上为“等域函数”，若定义域为21,ee ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的函数()xg x a =（0a >，1a ≠）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则a 的取值范围为（） A ．221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．22e 1,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．221e e e ,e ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．221e ee ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】当01a <<时，根据()g x 单调性，可得m n a na m ⎧=⎨=⎩，化简整理，可得ln ln m m n n =，令()ln k x x x =，利用导数求得()k x 的单调性，分析即可得答案；当1a >时，根据()g x 单调性，可得ln ln x a x =在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，利用导数求得()ln xh x x =的单调性及最值，结合题意，分析计算，即可得答案. 【详解】当01a <<时，函数()xg x a =在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在m ，21,e e n ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦（m n<）使得m n a n a m ⎧=⎨=⎩，所以ln ln ln ln m a nn a m =⎧⎨=⎩，消去ln a ，得ln ln m m n n =，令()ln k x x x =，则()ln 1k x x '=+，当21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0k x '≥，所以()k x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，所以符合条件的m ，n 不存在.当1a >时，函数()xg x a =在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在m ，21,e e n ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦（m n <）使得m a m =，n a n =，即方程x a x =在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即ln ln x a x =在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，设函数()ln x h x x=（21e e x ≤≤），则()21ln x h x x -'=，当1e ex ≤<时，()0h x '>；当2e e x <≤时，()0h x '<，所以()h x 在1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(2e,e ⎤⎦上单调递减，所以()h x 在e x =处取得极大值，也是最大值，所以()()max 1e e h x h ==，又1e e h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()222e e h =，故221ln e ea ≤<，即221e e e e a ≤<. 故选：C. 【点睛】解题的关键是讨论()g x 的单调性，根据题意，整理化简得到新的函数，利用导数求得新函数的单调性和最值，分析即可得答案，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

人教A版高中数学选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (4)(含答案解析)

4．设定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
5．函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．若实数，则下列不等式中一定成立的是（）
11．若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
12．设e为自然对数的底数，函数（），给出如下结论：
① ，至少有一个极值点；
② ，使对恒成立；
③ ，使的极大值大于；
④ ，至多只有一个零点.
其中正确的有______.（填上所有你认为正确结论的序号）
13．已知函数，若函数与有相同的值域，则实数的取值范围为___________.
又，，
故当时，，即，整理得，
的解集为，
故选：A．
关键点睛：本题考查利用导数分析函数单调性的性质及其应用,并求解抽象不等式，综合性较强，关键在于根据题意构造合适的函数，求所构造的函数的导函数，研究构造的函数的单调性，运用其单调性求解不等式．
2．B
【解析】
函数存在零点，即方程有解，当时，，求得函数的值域，即为实数的取值范围，当时，，求得函数的值域，即为实数的取值范围，最后取并集即为所求.
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1，+∞)内与x轴有两个不同的交点，
如图所示.
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，+∞).
15．（1）和；（2）， .
【解析】

人教A版高中数学选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (12)(含答案解析)

（1）证明：，则，
显然，，当时，，
在上为增函数，无极值点；
（2）存在，使得在处取得极小值．理由如下：
，则，
显然是的极小值点的必要条件为，解得，此时，
显然当时，；
当时，，故，
令，则，故在上为减函数，
故当时，，即，
令，则，当时，，故在单调递增，
【答案与解析】
1．A
【解析】
可判断为偶函数，再根据的导数可判断在为增函数，根据对数函数的单调性判断出即可得出大小.
的定义域为R，且，为偶函数，
当时，，
所以在为增函数，
又，，
所以，则，
又，则 .
故选：A.
2．D
【解析】
由已知可得的周期为，从而有，抽象函数值比大小，考虑函数单调性，根据已知构造函数，求导判断在单调性，得出大小关系，即可得出结论.
8．（1）仅有1个极值点且为；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用导数研究函数的单调性，进而确定内极值点的个数.
（2）由题设有，令，应用导数研究在上的单调性，结合零点存在性定理，判断零点存在性和唯一性即可.
（1）当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴函数在区间内有且仅有1个极值点．
在，上单调递增，，
故问题等价于：对于任意的，不等式恒成立，
即恒成立，记，则，
令，则，
所以在上递减，所以，
故，所以在上单调递减，
所以，
即实数的取值范围为．
本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题．对于含有参数的函数的单调性在确定的正负时需要分类讨论，本题是根据一元二次方程的解的情况分类求解．解决不等式恒成立问题的关键是问题的转化，对于多元情形需分清主元与次元，可对多元分别讨论，如本题中先确定的最小值，问题转化为，然后作主元，是次元，分离参数转化为求关于的函数的最值，得所求参数范围．

第五章一元函数的导数及其应用(满分练)-高二数学期末复习制胜宝典(选择性必修第一册)(原卷版)

第五章一元函数的导数及其应用（满分练）-2020-2021学年上学期高二数学期末复习制胜宝典（人教A 版2019选择性必修第二册）1．曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-2．已知函数f (x )＝e x －(x ＋1)2(e 为2.718 28…)，则f (x )的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．3．已知()1010sin x x f x x -=-+，则不等式(21)(4)0f x f x ++-<的解集为（） A ．(,5)-∞-B ．(,5)-∞C ．(5,)-+∞D ．(5,)+∞4．如果关于x 的不等式x 3﹣ax 2+1≥0在[﹣1，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．a ≤0B ．a ≤lC ．a ≤2D ．a 3322≤5．函数()21sin 6f x x ax bx π=-++的最大值为32，且对任意实数x ，都有()()1f x f x -=，则有（）A ．43a =-，43b =-B ．43a =，43b =C ．23a =-，23b =D ．2a =，2b =6．已知1x =是2()(3)23xf x x a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦的极小值点，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,+∞B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(),1-∞7．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，满足()()0f x f x '->，则（） A ．()()xG x e f x =是增函数，()()20202019ef f >B ．()()xG x e f x =是减函数，()()20202019ef f <C ．()()xf x F x e=是增函数，()()20202019f ef > D ．()()xf x F x e=是减函数，()()20202019f ef < 8．已知函数22()(ln )x e f x k x x x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( ) A ．(,]e -∞B ．[]0,eC ．(),e -∞D ．)0,e ⎡⎣9．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数'()3f x <，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为（）A ．(0,)eB ．(,)e +∞C ．(0,1)D ．(1,)+∞10．设()f x 、()g x 在[],a b 上可导，且()()f x g x ''>，则当a x b <<时有（） A ．()()f x g x >B ．()()f x g x <C ．()()()()f x g b g x f b +>+D ．()()()()f x g a g x f a +>+11．函数()f x 的导函数()'f x 的图象如图所示，则（）A ．1x =是最小值点B ．0x =是极小值点C ．2x =是极小值点D ．函数()f x 在1,2上单调递增12．函数()ln sin f x x x =+（x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．13．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞14．函数()[]()3340,1f x x x x =-∈的最大值是( )A ．1B ．12C ．0D ．1-15．函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图象如图所示，给出下列命题：①-3是函数y =f (x )的极值点； ②y =f (x )在区间(-3，1)上单调递增； ③-1是函数y =f (x )的最小值点； ④y =f (x )在x =0处切线的斜率小于零. 以上正确命题的序号是（） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④16．已知0a ≥，函数()()22xf x x ax e =-，若()f x 在[]1,1-上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭17．将曲线()ln f x x =绕着点(0,1)-逆时针方向旋转θ后与y 轴相切，则θ的最小正值是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 18．已知函数23()x f x e -=，1()ln 42xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（） A ．1ln 22+ B ．ln 2C ．12ln 22+ D ．2ln 219．函数()327f x x kx x =+-在区间[]1,1-上单调递减，则实数k 的取值范围是（） A ．(],2-∞-B ．[]22-,C ．[)2,-+∞D ．[)2,+∞20．设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别为()f x 、()g x 的导函数，且满足()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a x b <<时，有（）A ．()()()()f x g x f b g b >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g b f b g x >D ．()()()()f x g x f a g a >21．已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1()()2f x lnx ax a =->，当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a =________.22．已知函数()x e f x x=，22()(1)g x x a =--+，若当0x >时，存在1x ，2x R ∈，使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是_____________.23．函数32()391f x x x x =---的图象与函数()g x a =的图象有三个交点，则实数a 的取值范围是________.24．已知函数()x x f x e ae -=+在[]0,1上不单调，则实数a 的取值范围为______. 25．已知函数()3213f x x bx c =-+，(,b c 为常数)，当2x =时，函数()f x 取得极值，若函数()f x 只有一个零点，则实数c 的取值范围为______．26．已知21()34ln 2f x x x x =--+在(,1)t t +上不单调，则实数t 的取值范围是______________27．函数()f x x =1x =处的导数为______．28．物体按照()234s t t t =++的规律做直线运动，则在4到4t +∆这段时间内的平均速度v 为______． 29．已知函数()2f x x x =-+的图像上的一点()1,2A --及邻近一点()1,2B x y -+∆-+∆，则yx∆=∆______． 30．已知函数f (x )＝x 2＋12，则()()0131lim x f x f x∆→-∆-∆＝_________.31．已知函数f （x ）＝321332x x -﹣4x +1．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当x ∈[﹣2，5]时，求函数f （x ）的最大值和最小值． 32．已知函数2()(1)ln(21)2af x x x =-+-. （1）当2a =-时，求函数()f x 的极值点；（2）记()ln g x a x =，若对任意1≥x 都有()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围. 33．设函数()(2)x f x ae x =+，2()2g x x bx =++，已知它们在0x =处有相同的切线. （1）求函数()f x ，()g x 的解析式；（2）求函数()f x 在[, 1](4)t t t +>-上的最小值. 34．已知函数f(x)＝(x 2－ax)e x (x ∈R)，a 为实数．(1)当a ＝0时，求函数f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在闭区间[－1,1]上为减函数，求a 的取值范围． 35．设函数()2ln 2f x x ax x =-+，a R ∈.（1）若0a =，求函数()f x 在[]1,e 上的最小值；（2）求函数()f x 的极值点.36．已知函数()ln f x x ax =-，0a >.（1）若12a =，求函数()()g x xf x =的单调区间；（2）证明：()21af x a +≤.37．已知函数(),0x x f x a a a -=->且a ≠1,函数2()1xg x x=+. （1）判断并证明f (x )和g (x )的奇偶性; （2）求g (x )的值域;（3）若∀x ∈R ,都有|f (x )|≥|g (x )|成立,求a 的取值范围.38．已知()22ln 3f x x x x ax =+++.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若存在01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ≥成立，求a 的取值范围. 39．已知函数()ln f x x ax =-.（1）当=1a 时，判断函数()f x 的单调性；（2）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（3）已知b a e >>，证明b a a b >. 40．已知曲线32()2=-+f x x x x .(1) 求曲线y f (x)=在()2,2处的切线方程； (2) 求曲线y f (x)=过原点O 的切线方程.41．已知函数()()()2ln 21f x x ax a x a R =++++∈()1讨论函数()f x 的单调性；()2设a Z ∈，对任意()0,0x f x >≤的恒成立，求整数a 的最大值； ()3求证：当0x >时，32ln 210x e x x x x x -+-+->42．已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）．（1）当 2 s t =，0.01?s t ∆=时，求st ∆∆；（2）当 2 s t =，0.001?s t ∆=时，求st∆∆；（3）求质点M 在 2 s t =时的瞬时速度．43．已知以初速度()000v v >竖直上抛的物体， s t 时的高度，s （单位：m ）与t 的函数关系为2012s v t gt =-，求物体在时刻0t 处的瞬时速度．44．一质点做直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，该质点在2到2＋Δt (Δt >0)之间的平均速度不大于5.求Δt 的取值范围． 45．已知函数2()ln 1f x x mx =++，m ∈R . （1）当2m =-时，求函数()f x 的单调区间及极值；（2）讨论函数()f x 的零点个数. 46．已知函数()1xax f x e +=，其中0a <. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）记函数()()2x x g x f x e=--的极小值为m ，若340me +<成立，求实数a 的取值范围.47．已知函数32()21f x x ax =-+(a ∈R ). （1）若3a =,求函数()f x 的单调区间;（2）当0a >时,若函数()f x 在[1,1]-上的最大值和最小值的和为1,求实数a 的值.48．已知函数()22xx a f x e ax e=+-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围.49．已知函数()f x mx =+的图象在14x =处的切线方程为14y =-.（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()ln f x a x =在()1,x ∈+∞上有解，求a 的取值范围. 50．已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在0,内单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>．。

人教A版高中数学选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (39)(含答案解析)

②设函数，记在上的最小值为，求的最大值．
40．设函数，其中．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（3）若，成立，求的取值范围．
41．已知函数．若函数的图象在点处的切线与直线平行，函数在处取得极值，
（Ⅰ）求函数的解析式；
由，可知，
则不等式
当时，，得；
当时，，得 .
综上，原不等式的解集为 .
故选：D.
4．B
【解析】
根据导数的几何意义求出切线方程，然后再求切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
当时，，又因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，
因为与两坐标轴的交点坐标为和，
所以此切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
故选：B.
5．D
【解析】
根据导数的几何意义列方程求点P的坐标.
设切点，
由函数，可得，
可得切线的斜率为，
因为曲线在点处的切线平行于直线，
所以，解得，
当时，可得，此时；
当时，可得，此时 ,
故选：D.
6．A
【解析】
构造函数，利用导数判断其单调性，进而利用单调性可得答案.
令，则，
A．， B．，
C．， D．，，
12．在半径为R的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆柱体的体积最大时，其高为（）
A． RB． RC． RD． R
13．定义在R上的函数，若，，，则比较a，b，c的大小关系为（）
A． B． C． D．
14．已知函数，为的导函数，则等于（）

高二数学(人教A版2019选择性必修二第五章一元函数的导数及其应用单元测试(提升卷)(详细解析版)

第五章一元函数的导数及其应用单元过关检测能力提升B 卷详细解析版题型:8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答）,满分150分,时间:120分钟一、单选题1．如图中的阴影部分由直径为2的半圆和底为1,高为2,3的两矩形构成,设函数()()0S S a a =≥S 是图中阴影部分介于平行线0y =和y a =之间的那一部分的面积,那么函数()S S a =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据图象依次分析[0,1]、[1,2]和[2,3]上面积增长速度的变化情况,从而求得结果. 【详细解析】根据图象可知在[0,1]上面积增长速度越来越慢,在图形上反映出切线的斜率在变小;在[1,2]上面积增长速度恒定,在[2,3]上面积增长速度恒定,而在[1,2]上面积增长速度大于在[2,3]上面积增长速度,在图形上反映出[1,2]上的切线的斜率大于在[2,3]上的切线的斜率,因此C 项符合题意. 【点睛】本题考查函数图象的应用和判断,解题的关键在于得出面积变化速度与函数图像的切线斜率的关系,属中档题.2．函数()y f x =在定义域3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内可导,其图像如图所示．记()y f x =的导函数为()y f x '=,则不等式()0f x '≤的解集为( )A ．[]1,12,33⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．[)31,1,222⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦ D ．31144,,,323233⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 【答案】A 【详细解析】【分析】就是由函数()f x 的减区间得'()0f x ≤的解区间．【详细解析】由图象知1[,1]3-和[2,3]上()f x 递减,因此'()0f x ≤的解集为1[,1]3-[2,3]．故选A ．【点睛】本题考查导数与单调性的关系．'()0f x ≤的解区间是()f x 的减区间,'()0f x ≥的解区间是()f x 的增区间．3．曲线2ln y x =上的点到直线230x y -+=的最短距离为（） AB．C．D ．2【答案】A 【分析】设与直线230x y -+=平行且与曲线2ln y x =相切的直线方程为20x y m -+=.设切点为()00,P x y ,利用导数的几何意义求得切点P ,再利用点到直线的距离公式即可得出结果.【详细解析】设与直线230x y -+=平行且与曲线2ln y x =相切的直线方程为20x y m -+=. 设切点为()00,P x y ,对函数2ln y x =求导得2y x'=, 由022x =,可得01x =,则02ln10y ==,所以,切点为()1,0P.则点P 到直线230x y -+=的距离d ==∴曲线2ln y x =上的点到直线230x y-+=故选:A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式,属于中档题.4．已知函数()2ln f x kx x =-在区间(1)+∞，上单调递增,则k 的取值范围是（） A ．(2)，+∞ B ．(1)+∞， C ．[2)+∞， D ．[1)+∞，【答案】C 【分析】根据函数单调性,将问题转化为()0f x '≥在区间()1,+∞上恒成立求参数范围的问题;再分离参数,则问题得解. 【详细解析】因为()f x 在区间()1,+∞上单调递增, 故()20f x k x=-≥'在区间()1,+∞上恒成立. 即2k x≥在区间()1,+∞恒成立. 故2k ≥. 故选:C . 【点睛】本题考查利用导数由函数的单调性求参数的范围,属基础题.5．若函数2()1f x x =-与函数()ln 1g x a x =-的图象存在公切线,则正实数a 的取值范围是（）A ．(0,)eB ．(0,]eC ．(0,2)eD ．(0,2]e【答案】D 【分析】分别求出两个函数的导函数,设出切点,求得切线的斜率,进而求得切线方程,通过对比系数得出等量关系式,也即原命题的等价命题,结合导数求得正实数a 的取值范围. 【详细解析】21y x =-的导函数'2y x =,ln 1y a x =-的导函数为'ay x=.设切线与21y x =-相切的切点为()2,1n n-,与ln 1y a x =-相切的切点为(),ln 1m a m -,所以切线方程为()()212y n n x n --=-、()()ln 1a y a m x m m --=-,即221y nx n =--、ln 1a y x a a m m=-+-.所以2211ln a n m n a a m⎧=⎪⎨⎪+=+-⎩,所以22ln 4a a a m m =-,由于0a >,所以21ln 4a m m =-,即()21ln 4am m =-有解即可.令()()()21ln 0g x x x x =->,()()'12ln g x x x =-,所以()g x在(上递增,在)+∞上递减,最大值为2eg =,而0x e <<时()0g x >,当x e >时,()0g x <,所以042a e<≤,所以02a e <≤.所以正实数a 的取值范围是(0,2]e .故选:D 【点睛】本小题主要考查两条曲线公切线的问题的求解,考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.6．已知函数3()2f x x ax a =++.过点(1,0)M -引曲线:()C y f x =的两条切线,这两条切线与y 轴分别交于A ,B 两点,若||||MA MB =,则()f x 的极大值点为（）A．BC．D【答案】A 【分析】设切点的横坐标为t ,利用切点与点M 连线的斜率等于曲线C 在切点处切线的斜率,利用导数建立有关t 的方程,得出t 的值,再由MA MB =得出两切线的斜率之和为零,于此得出a 的值,再利用导数求出函数()y f x =的极大值点．【详细解析】设切点坐标为()3,2t t at a ++,∵26y x a '=+,∴32261t at at a t +++=+,即32460t t +=,解得0t =或32t =-.∵MA MB =,∴3020x x y y ==-''+=,即232602a ⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭,则274a =-,()22764f x x -'=.当4x <-或4x >,()0f x '>;当44x -<<时,()0f x '<.故()f x的极大值点为4-.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查利用导数求函数的极值点,在处理过点作函数的切线时,一般要设切点坐标,利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率,考查计算能力,属于中等题． 7．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+,其中()f x '为函数()f x 的导数,则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（）A ．0B ．2C ．2019D ．2020【答案】B 【分析】将函数详细解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++,求得()f x ',进而可求得所求代数式的值. 【详细解析】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++,所以,()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+, ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+,函数()f x '的定义域为R ,()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'==+,所以,函数()f x '为偶函数,因此,()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选:B. 【点睛】结论点睛:本题考查利用函数奇偶性求值,关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性,有如下结论: （1）可导的奇函数的导函数为偶函数;（2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时,首先应对此结论进行证明.8．已知函数()f x =.则下列结论中错误的是（）A ．()f x 的极值点不止一个B ．()f x 的最小值为C ．()f x 的图象关于y 轴对称D ．()f x 在(],0-∞上单调递减【答案】A 【分析】判断函数的值域以及函数的单调性,求解函数的极值,函数的奇偶性、对称性,即可得到结果. 【详细解析】因为()2222424f x x x =++=++()0f x >,所以()f x =则当0x ≥时,()f x 单调递增, 当0x ≤时,()f x 单调递减,所以()()min 0f x f ==,且()f x 只有一个极值点. 因为()()f x f x -=,所以()f x 是偶函数,其图象关于y 轴对称. 所以选项BCD 正确,选项A 错误, 故选:A 【点睛】本题主要考查了函数的图象和性质,函数的关系式,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题.二、多选题9．已知()f x 是定义在R 上的函数,()f x '是()f x 的导函数,给出如下四个结论,其中正确的是（）A ．若()12f -=,且()2f x '>,则()24f x x >+的解集为()1,-+∞B ．若()()0f x f x x'+>,且()0f e =,则函数()xf x 有极小值0C ．若()()0f x f x '+>,且()01f =,则不等式()1xe f x <的解集为()0,∞+D ．若()()0f x f x '->,则()()20202019>f f e【答案】ABD 【分析】根据各选项的条件分别构造出函数()g x ,再利用导数得到函数()g x 的单调性,再根据单调性和已知条件依次判断即可得到答案. 【详细解析】对选项A :设()()24g x f x x =--,因为(1)2f -=,且()2f x '>, 则()()20g x f x ''=->,所以()g x 在R 上增函数, 又因为()()11240g f -=-+-=, 所以当1x >-时,()()240g x f x x =-->, 即()24f x x >+的解集为()1,-+∞,故A 正确. 对选项B ,设()()g x xf x =,()()()g x f x xf x ''=+ 因为()()()()0'+'+=>f x xf x f x f x x x所以当(),0x ∈-∞时, ()()()0g x f x xf x =+'<',()g x 为减函数, 当()0,x ∈+∞时, ()()()0g x f x xf x ''=+>,()g x 为增函数, 故当0x =,()()g x xf x =取得极小值,极小值为()00g =,故B 正确.对选项C ,设()()xg x e f x =,()()()()()x x x g x e f x e f x e f x f x '''⎡⎤=+=+⎣⎦.因为()()0f x f x '+>,0x e >,所以()0g x '>,()g x 在R 上增函数. 又因为()01f =,所以()()0001==g e f .所以当()0,x ∈+∞时,()()1=>xg x e f x ,故C 错误.对选项D ,设()()x f x g x e =,()()()xf x f xg x e '-'= 因为()()0f x f x '->,所以()()()0xf x f xg x e'-'=>,()g x 在R 上增函数.所以()()20202019g g >,()()2020201920202019f f e e >,即()()20202019>f f e. 故D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,极值,同时考查了构造函数,属于中档题.10．若存在m ,使得()f x m ≥对任意x D ∈恒成立,则函数()f x 在D 上有下界,其中m 为函数()f x 的一个下界;若存在M ,使得()f x M ≤对任意x D ∈恒成立,则函数()f x 在D 上有上界,其中M 为函数()f x 的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是（） A ．2是函数()()10f x x x x=+>的一个下界 B ．函数()ln f x x x =有下界,无上界C ．函数()2xe f x x=有上界,无下界D ．函数()2sin 1xf x x =+有界【答案】ABD 【分析】由基本不等式可判断A ;利用导数可确定()1f x e ≥-,即可判断B ;由()20xe f x x=>恒成立即可判断C ;利用放缩法即可判断D. 【详细解析】对于A ,当0x >时,12x x +≥=,当且仅当1x =时取等号, ()2f x ∴≥恒成立,2∴是()f x 的一个下界,故A 正确;对于B ,因为()()ln 10f x x x '=+>,∴当()10,x e -∈时,()0f x '<;()1,x e -∈+∞时,()0f x '>, ()f x ∴在()10,e -上单调递减,在()1,e -+∞上单调递增,()()11f x f e e-∴≥=-,()f x ∴有下界,又x →+∞时,()f x →+∞,()f x ∴无上界,故B 正确;对于C ,20x >,0xe >,()20xe f x x∴=>恒成立,()f x ∴有下界,故C 错误;对于D ,[]sin 1,1x ∈-,2221sin 1111x x x x -∴≤≤+++, 又2111x -≥-+,2111x ≤+,2sin 111x x ∴-≤≤+,()f x ∴既有上界又有下界, 即()f x 有界,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查了函数新定义的应用,关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题,涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值,属于中档题.11．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠,给出定义:设()f x '是函数()y f x =的导数,()f x ''是()f x '的导数,若方程()0f x ''=有实数解0x ,则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,设函数()3211133212x x f x =-+,则以下说法正确的是（） A ．函数()f x 对称中心1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．129899100100100100f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是99 C ．函数()f x 对称中心1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．129899100100100100f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是1 【答案】BC 【分析】根据题意求出函数()f x 对称中心,然后根据函数对称中心的性质进行求解即可. 【详细解析】()32'2''1113()()213212f x x x f x x x f x x =-+⇒=-⇒=-,令''()210f x x =-=,解得12x =,32111111312322212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由题意可知:函数()3211133212x x f x =-+的对称中心为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭;因为函数()3211133212x x f x =-+的对称中心为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以有()(1)2f x f x +-=, 设129899(1)100100100100S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以有999821(2)100100100100S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,(1)(2)+得,2222229999S S =++++=⨯⇒=,即129899100100100100f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是99. 故选:BC 【点睛】本题考查了利用导数求函数的对称中心,考查了利用函数的对称性求函数值之和问题,考查了数学阅读能力和数学运算能力.12．如图,在四面体ABCD 中,点1B ,1C ,1D 分别在棱AB ,AC ,AD 上,且平面111//B C D 平面BCD ,1A 为BCD ∆内一点,记三棱锥1111A B C D -的体积为V ,设1AD x AD=,对于函数()V f x =,则下列结论正确的是（）A ．当23x =时,函数()f x 取到最大值 B ．函数()f x 在2(,1)3上是减函数C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称D ．不存在0x ,使得01()4A BCD f x V ->(其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积).【答案】ABD 【分析】由题意可知111B C D BCD ∽,设0A BCD V V -=,则111120()(1)A B B D V f x x x V -==-.利用导数性质求出当23x =时,函数()f x 取到最大值. 【详细解析】在四面体ABCD 中,点1B ,1C ,1D 分别在棱AB ,AC ,AD 上, 且平面111//B C D 平面BCD ,∴由题意可知111B C D BCD ∽,111C D AD x CD AD==,∴1112B C D BCD S x S ∆=. 棱锥1111A B C D - 与棱锥A BCD - 的高之比为1x -.设0A BCD V V -=,∴111120()(1)A B C D V f x x x V -==-. 200()23f x xV x V ∴'=-,当()0f x '>时,203x <<,当()0f x '<时,23x >, ∴当23x =时,函数()f x 取到最大值.故A 正确; 函数在函数()f x 在2(,1)3上是减函数,故B 正确;函数()f x 的图像不关于直线12x =对称,故C 错误;22224()()(1)33327A BCD A BCD f V V --=-=, ∴不存在0x ,使得01()4A BCD f x V ->(其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积).故D 正确.故选:ABD . 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用,利用导数研究几何体体积最值问题,属于中档题三、填空题13．设()f x 为可导函数,且满足()()113lim1x f f x x→--=,则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是______. 【答案】13【分析】首先根据极限的运算法则,对所给的极限进行整理,写成符合导数的定义的形式,写出导数的值,即可得到函数在这一个点处的切线的斜率【详细解析】解:因为()()113lim1x f f x x→--=,所以()()01133lim13x f f x x →--=,所以()()01131lim 33x f f x x →--=,所以'1(1)3f =, 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为13, 故答案为:13【点睛】此题考查导数的定义,切线的斜率,以及极限的运算,属于基础题 14．在ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,若函数32221()()13f x x bx a c ac x =+++-+有极值点,则B 的范围是__________．【答案】,3π⎛⎫π⎪⎝⎭【详细解析】由题意222'()2()f x x bx a c ac =+++-有两个不等实根, 所以22244()0b a c ac ∆=-+->,222a c b ac +-<,所以2221cos 22a cb B ac +-=<,所以3B ππ<<．故答案为:,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】对定义域内的可导函数来讲,导函数'()f x 的零点是函数极值点的必要条件,只有在0x 的两侧'()f x 的符号正好相反,0x 都是极值点．本题中导函数'()f x 是二次函数,因此要使得'()f x 的零点为()f x 的极值点,只要求相应二次方程有两个不等实根即可．15．为迎接2020年奥运会,某商家计划设计一圆形图标,图标内部有一“杠铃形图案”（如图中阴影部分）,圆的半径为1米,AC ,BD 是圆的直径,E ,F 在弦AB 上,H ,G 在弦CD 上,圆心O 是矩形EFGH 的中心.若23EF =米,2AOB θ∠=,π5π412θ≤≤,则“杠铃形图案”面积的最小值为______平方米.【答案】π123-+【分析】先求出面积关于θ的函数详细解析式,利用导数判断函数单调性,再计算函数最小值．【详细解析】设EF 中点为M ,连接OM ,则cos OM θ=,2sin AB θ=, 则2π2πOAB S θθ=⋅=扇形,112sin cos sin 222OAB S θθθ=⋅⋅=△, 所以“杠铃形图案”的面积为()1242sin 22cos 2sin 2cos 233S θθθθθθθ⋅⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭, 则()()2222221cos sin sin 22sin sin 33S θθθθθθ⎡⎤⎛⎫'=---=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 因为π5π412θ≤≤,所以2212sin sin 2sin sin 033θθθθ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭,()0S θ'>,()S θ单调递增.所以当π4θ=时,()S θ的最小值()min πππ2ππ2sin cos cos 14443423S θ⎛⎫=⨯-+=-+ ⎪⎝⎭.则“杠铃形图案”面积的最小值为π1+23⎛- ⎝⎭平方米.故答案为:π123-+【点睛】关键点点睛:本题主要考察实际问题中函数的应用,根据题意写出面积关于θ的函数详细解析式,再利用导数求函数的最大值,难点在于利用导数求极值,考查了运算能力,属于中档题. 16．若函数()ln f x ax x =-,对于任意的1x ,2(1,)x ∈+∞（其中12x x ≠）不等式()()()21120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦恒成立,则a 的取值范围为________．【答案】[1,)+∞．【分析】转化条件为1a x≥在(1,)+∞上恒成立,求得11x <即可得解.【详细解析】由题意,函数()f x 在()1,+∞上是单调递增函数, 所以1()0f x a x '=-≥即1a x≥在(1,)+∞上恒成立, 因为当(1,)x ∈+∞时,11x<,所以1a ≥, 所以a 的取值范围为[1,)+∞．故答案为:[1,)+∞.四、解答题17．已知二次函数()22f x x x =+.（1）求()f x 在点()()11f ，处的切线方程; （2）讨论函数()()()ln 1g x f x a x =++的单调性【答案】（1）410x y --=;（2）答案见详细解析. 【分析】（1）对函数()f x 求导,根据导数的几何意义,先求出切线斜率,进而可得切线方程;（2）先对()g x 求导,分别讨论0a ≥,0a <两种情况,根据导数的方法研究函数单调性,即可得出结果.【详细解析】（1）由()22f x x x =+得()22f x x '=+,则()f x 在点()()11f ，处的切线斜率为()14k f '==, 又()13f =,所以()f x 在点()()11f ，处的切线方程为()341y x -=-,即410x y --=; （2）因为()()()22ln 11g x x x a x x =+++>-所以()()2212211x aag x x x x ++=++='++当0a ≥时,()g x '在()1,-+∞上恒正; 所以()g x 在()1,-+∞上单调递增当0a <时,由()0g x '=得1x =-+所以当1,1x ⎛∈--+ ⎝时,()0g x '<,()g x 单调递减;当1x ⎛⎫∈-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,()g x 单调递增; 综上所述,当0a ≥时,()g x 在()1,-+∞上单调递增;当0a <时,当1,1x ⎛∈--+ ⎝时,()g x 单调递减; 当1x ⎛⎫∈-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时,()g x 单调递增. 【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程,考查导数的方法求函数单调性,属于常考题型. 18．已知函数2()ln(1)(0)f x ax x x a =-++>．（1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若对于任意的[1,2]a ∈,当1[,3]x a∈时,不等式()ln f x a m +≤恒成立,求实数m 的取值范围．【答案】（1）()f x 在1(1,1)2a --递增,在1(1,0)2a-递减,在(0,)+∞递增（2）3ln 21[)5,++∞【详细解析】【分析】（1）先求函数的定义域以及导数,然后根据导数的零点122aa-与0的大小关系确定分类讨论的标准,再结合()f x '的符号讨论函数()f x 的单调性.（2）结合函数()f x 的单调性,求出max ()2ln 293f x a =+-,则问题转化为2ln2+93ln a a m -+≤对于任意[]1,2a ∈恒成立问题,再求出()ln 92ln23g a a a =++-,[]1,2a ∈的最大值,即可求出m 的范围. 【详细解析】解:（1）()f x 的定义域是()1,-+∞,()()2121x ax a f x x ⎡⎤--⎣⎦'=+, ①当102a <<时,令()0f x '>,解得:10x -<<,或112x a>-, 令()'0f x <,解得:1012x a<<-, 故()f x 在()1,0-递增,在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭递减,在11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增, ②当12a =时,()'0f x ≥,()f x 在()1,-+∞递增, ③当12a >时,令()'0f x >,解得:1112x a-<<-,或0x >, 令()'0f x <,解得:1102a x -<<;故()f x 在11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭递增,在11,02a ⎛⎫-⎪⎝⎭递减,在()0,+∞递增; （2）由（1）知12a ≤≤时,()f x 在1,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增,故()ln f x a +在1,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增,故()()32ln293f x f a ==+-最大值,要使不等式()ln f x a m +≤在[]1,2a ∈恒成立, 只需2ln293ln a a m +-+≤,记()ln 92ln23g a a a =++-,则()190g a a+'=>, 故()g a 在[]1,2递增,()g a 的最大值是()23ln215g =+, 故3ln215m ≥+,故m 的范围是[)3ln215,++∞．【点睛】主要考查了含参函数单调性的讨论,以及恒成立问题,属于难题.对于恒成立问题,关键是等价转化为函数最值问题.而含参函数单调性的讨论的步骤:（1）确定函数的定义域; （2）求出函数的导数;（3）根据定义域以及函数导数的零点确定分类标准; （4）根据导数的符号讨论函数的单调性.19．如图,某市地铁施工队在自点M 向点N 直线掘进的过程中,因发现一地下古城(如图中正方形ABCD 所示区域)而被迫改道.原定的改道计划为:以M 点向南,N 点向西的交汇点O 为圆心,OM为半径做圆弧MN ,将MN 作为新的线路,但由于弧线施工难度大,于是又决定自P 点起,改为直道PN .已知3ON OM ==千米,点A 到OM ,ON 的距离分别为12千米和1千米,//AB ON ,且1AB =千米,记PON θ∠=.（1）求sin θ的取值范围;（2）已知弧形线路MP 的造价与弧长成正比,比例系数为3a ,直道PN 的造价与长度的平方成正比,比例系数为a ,当θ为多少时,总造价最少? 【答案】（1）240,25⎛⎫ ⎪⎝⎭;（2）当θ为π6时,总造价最少. 【分析】（1）以O 为原点,ON 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,根据题意,求出直线CN 的方程,MN 所在圆的方程,联立直线与圆的方程,求出交点C 的坐标,当PN 过点C 时,求出sin θ,结合图形,即可得出结果;（2）先由题意,得到MP 的长为32πθ⎛⎫-⎪⎝⎭,设(3cos ,3sin )P θθ,得出()33(1818cos )2f a a πθθθ⎛⎫=⨯-+- ⎪⎝⎭,0(0,)θθ∈,024sin 25θ=,用导数的方法求出其最小值即可.【详细解析】（1）以O 为原点,ON 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则(3,0)N ,1,12A ⎛⎫⎪⎝⎭,3,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以直线CN 的方程为4(3)3y x =--, MN 所在圆的方程为229x y +=,联立224(3),39,y x x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩解得21,2572,25x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 当PN 过点C 时,21,252725P ⎛⎫⎪⎝⎭,24sin 25θ=, 所以sin θ的取值范围是240,25⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）由题意,MP 的长为32πθ⎛⎫-⎪⎝⎭,设(3cos ,3sin )P θθ, 则222(3cos 3)(3sin )1818cos PN θθθ=-+=-,所以总造价()33(1818cos )2f a a πθθθ⎛⎫=⨯-+- ⎪⎝⎭918918cos 2a πθθ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,0(0,)θθ∈,024sin 25θ=,所以()(18sin 9)f a θθ'=-, 令()0f θ'=得,124sin 0,225θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以π6θ=,列表如下:所以当6θ=时,()f θ有极小值,也是最小值. 答:当θ为π6时,总造价最少.【点睛】本题主要考查导数的应用,熟记导数的方法求函数的最值即可,属于常考题型.20．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠,给出定义:设()f x '是函数()y f x =的导数,()f x ''是()f x '的导数,若方程()0f x ''=有实数解0x ,则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数()321133212m x f x x =-+. （1）当1m =时,求129899100100100100f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值; （2）若不等式()2ln 30x x f x +'+≥恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】（1）99;（2）(],4-∞ 【分析】（1）将1m =代入,结合定义可求得对称中心,进而可知()()12f x f x +-=.结合所求式子特征即可求解.（2）将()2f x x mx '=-代入不等式,结合定义域可分离参数m ,构造函数()22ln 3x x t x x x++=,求得()t x '并令()0t x '=,求得极值点,即可由导函数符号判断函数的单调性,进而求得()min t x ,即可确定m 的取值范围. 【详细解析】（1）函数()321133212m x f x x =-+, 当1m =时,()3211133212x x f x =-+ 因为()2f x x x '=-, ∴()21f x x ''=-,令()210f x x ''=-=,解得12x =, 则对称中心的纵坐标为112f ⎛⎫=⎪⎝⎭,故对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭, 所以()()12f x f x +-=, 所以1992100100f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2982100100f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,… 则129899249199100100100100f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）∵()2ln 30x x f x +'+≥,()2f x x mx '=-,即22ln 3mx x x x ≤++, 又0x >,∴22ln 3x x x m x ++≤在()0,x ∈+∞上恒成立.令()22ln 332ln x x x x x x t xx ++==++.∴()min m t x ≤.∵()()()22223123231x x x x t x xx x x +-+-=+-==', 令()0t x '=,得1x =或3x =-（舍去）.当()0,1x ∈时,()0t x '<,函数()t x 在()0,1上单调递减;当()1,x ∈+∞时,()0t x '>,函数()t x 在()1,+∞上单调递增.∴()()min 14t x t ==.∴()min 4m t x ≤=,即m 的取值范围为(],4-∞.【点睛】本题考查了函数新定义的应用,导函数的运算及中心对称性质的应用,分离参数并构造函数法求参数的取值范围,由导数研究函数的单调性与最值,属于中档题.21．已知函数()()211ln ,.2f x x a x a x a R =+--∈ （1）若()f x 存在极值点1,求a 的值;（2）若()f x 存在两个不同的零点12,x x ,求证:12 2.x x +>【答案】(1) 1a =;(2) 见详细解析.【详细解析】试题分析:（1）由()f x 存在极值点为1,得()10f '=,可解得a.(2)是典型的极值点偏移问题,先证明()()()20h x f a x f x =-->,再利用()f x 在()0,a 上的单调性,即可得证.试题详细解析:(1) ()1a f x x a x'=+--,因为()f x 存在极值点为1,所以()10f '=,即220,1a a -==,经检验符合题意,所以1a =.(2) ()()111(0)a a f x x a x x x x ⎛⎫=+--=+-> ⎪⎝⎭' ①当0a ≤时,()0f x '>恒成立,所以()f x 在()0,∞+上为增函数,不符合题意;②当0a >时,由()0f x '=得x a =,当x a >时,()0f x '>,所以()f x 为增函数,当0x a <<时,()0f x '<,所()f x 为减函数,所以当x a =时,()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点12,x x ,所以()0f a <,即()211ln 02a a a a a +--<整理得1ln 12a a >-, 作()y f x =关于直线x a =的对称曲线()()2g x f a x =-,令()()()()()2222ln a x h x g x f x f a x f x a x a x-=-=--=-- ()()()2222222202a a h x a x x x a a=-+=-+--+'≥- 所以()h x 在()0,2a 上单调递增,不妨设122x a x a <<<,则()()20h x h a >=,即()()()()22212g x f a x f x f x =->=,又因为()()2120,,0,,a x a x a -∈∈且()f x 在()0,a 上为减函数,故212a x x -<,即122x x a +>,又1ln 12a a >-,易知1a >成立, 故122x x +>.点晴:本题主要考查导数在函数中的应用,具体涉及到函数的极值,函数的极值点偏移问题.第一问中()f x 存在极值点1,所以()10f '=,解得1a =;第二问处理极值点问题有两个关键步骤:一是在(),2a a 构造函数()()()2h x f a x f x =--证明其大于于0恒成立,二是利用()f x 在()0,a 上为减函数 ,两者结合即可证明结论成立.22．已知m R ∈,函数1()ln m f x mx x x -=--,1()ln g x x x=+ （1）求()g x 的最小值;（2）若()()y f x g x =-在[1,)+∞上为单调增函数,求实数m 的取值范围; （3）证明:2ln 2ln3ln 4ln 2342(1)n n n n ++++<+（*n N ∈）【答案】(1)1.(2)[1,)+∞.（3）证明见详细解析.【详细解析】分析:（1）先求()g x 的极值,有唯一的极小值,极小值为最小值．（2）220m y m x x '=+-≥在[)1,+∞上恒成立,分离变量,221x m x ≥+在[)1,x ∈+∞上恒成立,求解函数221x x +在[)1,x ∈+∞上的最大值．（3）利用（2）问的结论进行放缩．详细解析:（1）函数()g x 的定义域为()0,+∞,()22111x g x x x x -=-+='. 当()0,1x ∈,()0g x '<,当()1,x ∈+∞,()0g x '>,∴1x =为极小值点,极小值()11g =.（2）∵112ln 2ln m m y mx x mx x x x x-=---=--. ∴220m y m x x '=+-≥在[)1,+∞上恒成立,即221x m x ≥+在[)1,x ∈+∞上恒成立. 又222111x x x x=≤++,所以1m ≥,所以,所求实数m 的取值范围为[)1,+∞. （3）由（2）,取1m =,设()()()()12ln 10h x f x g x x x h x =-=--≥=, 则12ln x x x≤-,即2ln 1112x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭,于是2ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭ ()*n N ∈. 2232ln1ln2ln3ln 111111232123n n n n ⎡⎤⎛⎫++++≤-++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()1111121?22?33?41n n n ⎡⎤⎛⎫<-++++⎢⎥ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()211111*********12121n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-++-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 所以()2ln2ln3ln4ln 23421n n n n ++++<+ ()*x N ∈. 点睛:（1）函数极值与最值的性质:有唯一的极小值,极小值为最小值．（2）对于任意性和存在性问题的处理,遵循以下规则:1、[]()x a,b ,f x m ∀∈≥恒成立,等价于[]()x a,b ,[f x ]m min ∈≥2、[]0x a,b ∃∈使得()f x m ≥成立,等价于[]()0x a,b ,[f x ]m max ∈≥（3）利用导数证明不等式,再利用不等式对数列进行放缩,解决证明数列不等式很有效,本题还可以采用数学归纳法证明．。

第五章一元函数的导数及其应用知识点与综合提升题(解析版)高二数学复习巩固练习(人教A版2019)

专题15人教A 版（2019）第五章一元函数的导数及其应用知识点与综合提升题——寒假作业15（解析版）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①'0()C C =为常数；②1()'n n x nx -=；11()'()'n n nx nx x ---==-；1()'m mnn m x x n-==③(sin )'cos x x=； ④(cos )'sin x x=- ⑤()'x xe e = ⑥()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x =三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时试卷第2页，总19页的导数()0f t '，即有()00V f t '=。

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原专题15人教A 版（2019）第五章一元函数的导数及其应用知识点与综合提升题——寒假作业15（原卷版）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①'0()C C =为常数；②1()'n n x nx -=；11()'()'n n nx nx x ---==-；1()'m mnn m x x n-==③(sin )'cos x x=； ④(cos )'sin x x=- ⑤()'x xe e = ⑥()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x =三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，试卷第2页，总7页即有()00V f t '=。

2.V ＝s /(t) 表示即时速度。

a=v /(t) 表示加速度。

四．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。

于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。

题型三．用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。

相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-（2）曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。

五．函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，（1）'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数；（2）'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；注意：当'()f x 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍是递增（或递减）的。

（3）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立；（4）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f (x)在某一区间上单调性：步骤：（1）求导数 )(x f y '='(2)判断导函数)(x f y '='在区间上的符号 (3)下结论①'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； ②'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数)(x f y =单调区间的步骤为：（1）分析 )(x f y =的定义域；（2）求导数 )(x f y '=' （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立；（2）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。

注意：若函数f （x ）在（a ，c ）上为减函数，在（c ，b ）上为增函数，则x =c 两侧使函数f '（x ）变号，即x=c 为函数的一个极值点，所以'()0f c =六、函数的极值与其导数的关系：1.①极值的定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x <（或0()()f x f x >，则称0()f x 为函数的一个极大（或小）值，0x 为极大（或极小）值点。

②可导数()f x 在极值点．．．0x 处的导数为0（即0'()0f x =），但函数()f x 在某点0x 处的导数为0，并不一定函数()f x 在该处取得极值（如3()f x x =在00x =处的导数为0，但()f x 没有极值）。

③求极值的步骤：第一步：求导数'()f x ；第二步：求方程'()0f x =的所有实根；第三步：列表考察在每个根0x 附近，从左到右，导数'()f x 的符号如何变化，原若'()f x 的符号由正变负，则0()f x 是极大值；若'()f x 的符号由负变正，则0()f x 是极小值；若'()f x 的符号不变，则0()f x 不是极值，0x 不是极值点。

2、函数的最值：①最值的定义：若函数在定义域D 内存0x ，使得对任意的x D ∈，都有0()()f x f x ≤，（或0()()f x f x ≥）则称0()f x 为函数的最大（小）值，记作max 0()y f x =（或min 0()y f x =）②如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间[,]a b 上必有最大值和最小值。

③求可导函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最值方法：第一步；求()f x 在区间[,]a b 内的极值；第二步：比较()f x 的极值与()f a 、()f b 的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。

注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。

极值≠最值。

函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。

最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。

2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）3、注意：极大值不一定比极小值大。

如1()f x x x=+的极大值为2-，极小值为2。

注意：当x=x 0时，函数有极值⇒ f /(x 0)＝0。

但是，f /(x 0)＝0不能得到当x=x 0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。

题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用题型四、导数图象与原函数图象关系导函数原函数 '()f x 的符号 ()f x 单调性 '()f x 与x 轴的交点且交点两侧异号 ()f x 极值'()f x 的增减性 ()f x 的每一点的切线斜率的变化趋势（()f x 的图象的增减幅度）'()f x 的增 ()f x 的每一点的切线斜率增大（()f x 的图象的变化幅度快）'()f x 减 ()f x 的每一点的切线斜率减小（()f x 的图象的变化幅度慢）一、单选题1．下列求导运算正确的是（） A ．()sin cos cos sin x x x x '+=+ B ．()1ln x x x'=C ．()22xx e e '=D ．1x xx x e e '-⎛⎫= ⎪⎝⎭2．已知函数()f x 在0x x =处的导数为1，则()()000limh f x h f x h→+-=（）A ．1B ．-1C ．3D ．-3试卷第4页，总7页3．曲线2()sin f x x x =-在点()()0,0f 处的切线方程为（） A ．y x =-B ．2y x =-C ．12y x =-D ．13y x =-4．如图，点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2））在函数f （x ）的图象上，且x 2＜x 1，()'f x 为f （x ）的导函数，则1()f x '与2()f x '的大小关系是（）A ．12()()''>f x f x B ．12()()''<f x f xC ．12()()f x f x ''=D ．不能确定5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()232xf x x xf e '=++，则()2f '的值等于（）A ．2-B ．222e -C ．22e -D ．222e --6．曲线2y x x=+在点()1,3处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（） A ．4B ．2C ．16D ．87．若函数()()sin cos xf x e x a x =+在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．()1,+∞8．函数()xxf x e =在区间[]0,3上的最大值为（） A ．0B ．1eC ．22eD ．33e 9．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，若()()1,(0)2021f x f x f '-<=，则不等式()20201x f x e >⋅+(e 为自然对数的底数)解集为（）原A ．()(),00,-∞⋃+∞B ．()2020,+∞C ．()0,∞+D ．()(),02020,-∞⋃+∞10．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，函数()()1'()g x x f x =-的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在(),2-∞-，()1,2上为减函数B ．()f x 在()2,1-，()2,+∞上为增函数C ．()f x 的极小值为()2f -，极大值为()2fD ．()f x 的极大值为()2f -，极小值为()2f11．设函数()f x '是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．()()1,01,-⋃+∞B ．()(),10,1-∞-⋃C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞12．已知函数()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数m 的最小值是（） A ．3 B ．3 C 3D 3二、填空题13．曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为______．试卷第6页，总7页14．已知函数在()3223(,)f x x mx nx m m n R =+++∈，1x =-时取得极小值0，则m n +=__________．15．若函数()32f x x bx cx d =+++的单调递减区间为()1,3-，则b c +=_________．16．设曲线()2ln 0y a x xa =+>上任意一点的切线为l ，若l 的倾斜角的取值范围是,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则实数a =______.三、解答题17．已知函数3()3 1 f x x ax =--在1x =-处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）当[2,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值. 18．已知函数()2ln f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()0f x '>的解集.19．已知函数()ln ),(f x x x ax b a b R =++∈在点()()1,1f 处的切线为320x y --=．（1）求函数()f x 的解析式：（2）若存在实数m ，使得2()1f x m m x --<在x 1,14⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时成立，求m 的取值范围． 20．已知()3223f x x ax bx a =+++（1a >）在1x =-时有极值0. （1）求常数a ，b 的值；（2）求函数()y f x =在区间[]4,0-上的值域.21．已知函数3()f x x a =+，点(0,0)A 在曲线()y f x =上. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）求曲线()y f x =在点(1,1)--处的切线方程；（3）求曲线()y f x =过点(2,0)E 的切线方程. 22．已知函数()()1cos xf x x e m =+-，其中m 为常数.原（1）当0m =时，求曲线()f x 在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，求m 的取值范围.。