离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列1．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n的概率分布列，简称为的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P （X ＝x i ）＝p i ，i ＝1，2，…，n 和图象表示.（2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况. 2．两个特殊分布 (1)两点分布X 0 1P1－pp若随机变量X p ＝P (X ＝1)为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －M C n N，k ＝0，1，2，…，m ，即X 01…mP C0M C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( )(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( )(4)超几何分布的模型是放回抽样．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( )A.ξ－10 1P 0.30.40.4B.ξ12 3P 0.40.7－0.1C.ξ－10 1P 0.30.40.3D.ξ12 3P 0.30.10.4答案：C若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________． 答案：0.8探究点1 离散型随机变量的分布列某班有学生45人，其中O 型血的有15人，A 型血的有10人，B 型血的有12人，AB 型血的有8人．将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型编号为随机变量X ，求X 的分布列. 【解】 X 的可能取值为1，2，3，4. P (X ＝1)＝C 115C 145＝13，P (X ＝2)＝C 110C 145＝29，P (X ＝3)＝C 112C 145＝415，P (X ＝4)＝C 18C 145＝845.故X 的分布列为X 1 2 3 4 P1329415845求离散型随机变量分布列的一般步骤(1)确定X 的所有可能取值x i (i ＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义． (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P (X ＝x i )＝p i (i ＝1，2，…)． (3)写出分布列．(4)根据分布列的性质对结果进行检验．抛掷甲，乙两个质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上的数字分别为x ，y .设ξ为随机变量，若x y 为整数，则ξ＝0；若x y为小于1的分数，则ξ＝－1；若x y为大于1的分数，则ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)； (2)求ξ的分布列．解：(1)依题意，数对(x ，y )共有16种情况，其中使x y为整数的有以下8种： (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)， 所以P (ξ＝0)＝816＝12.(2)随机变量ξ的所有取值为－1，0，1. 由(1)知P (ξ＝0)＝12；ξ＝－1有以下6种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，故P (ξ＝－1)＝616＝38；ξ＝1有以下2种情况：(3，2)，(4，3)，故P (ξ＝1)＝216＝18，所以随机变量ξ的分布列为ξ －1 0 1 P381218探究点2 设随机变量X 的分布列P (X ＝k5)＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110＜X ＜710)．【解】 (1)由P (X ＝k5)＝ak ，k ＝1，2，3，4，5可知，∑k ＝15P (X ＝k5)＝∑k ＝15ak ＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝115.(2)由(1)可知P (X ＝k 5)＝k15(k ＝1，2，3，4，5)，所以P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45.(3)P (110＜X ＜710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2018·河北邢台一中月考)随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝ck （k ＋1），k＝1，2，3，4，c 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52的值为( )A.45 B.56 C.23D.34解析：选B.由题意c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝1，即45c ＝1，c ＝54， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56.故选B. 探究点3 两点分布与超几何分布一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率．(2)记取得1号球的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．【解】 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n ＝C 36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C 13C 12C 11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P ＝620＝310. (2)由题意知X ＝0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，所以X 的分布列为1．[变问法]在本例条件下，记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列． 解：由题意知η＝0，1，服从两点分布，又P (η＝1)＝C 25C 36＝12，所以随机变量η的分布列为2．[变条件]3次球，每次抽取1个球”其他条件不变，结果又如何？解：(1)取出3个球颜色都不相同的概率P ＝C 13×C 12×C 11×A 3363＝16. (2)由题意知X ＝0，1，2，3. P (X ＝0)＝3363＝18，P (X ＝1)＝C 13×3×3×363＝38. P (X ＝2)＝C 23C 13×3×363＝38， P (X ＝3)＝3363＝18.所以X 的分布列为P18 38 38 18求超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布． (2)在超几何分布公式中，P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N ，k ＝0，1，2，…，m ，其中，m ＝min{M ，n }，且0≤n ≤N ，0≤k ≤n ，0≤k ≤M ，0≤n －k ≤N －M .(3)如果随机变量X 服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X 的所有取值．(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名学生再随机抽取4名参赛，记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列．解：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从理学院中抽出(等价于文学院中没有学生入选代表队)的概率为：C 33C 34C 36C 36＝1100，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为：1－1100＝99100.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X 表示参赛的男生人数， 则X 的可能取值为：1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 13C 33C 46＝15.所以X 的分布列为X 1 2 3 P1535151．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12D.23解析：选B.设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p . 依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故P (ξ＝0)＝1－p ＝13.2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( ) A.1220 B.2755 C.27220 D.2125解析：选C.X ＝4表示取出的3个球为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.3．随机变量η的分布列如下则x ＝________，P 解析：由分布列的性质得0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55. 答案：0 0.554．某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P (ξ＜2)． 解：由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3. 则P (ξ＝0)＝C 04C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (ξ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (ξ＝3)＝C 34C 03C 37＝435.所以随机变量ξ的分布列为P135 **** **** 435P (ξ＜2)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝35＋35＝35.知识结构深化拓展1.离散型随机变量分布列的性质是检验一个分布列正确与否的重要依据(即看分布列中的概率是否均为非负实数且所有的概率之和是否等于1)，还可以利用性质②求出分布列中的某些参数，也就是利用概率和为1这一条件求出参数． 2．超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N 、M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N 求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义.[A 基础达标]1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 解析：选B.号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种．2．随机变量X 所有可能取值的集合是{－2，0，3，5}，且P (X ＝－2)＝14，P (X ＝3)＝12，P (X＝5)＝112，则P (X ＝0)的值为( )A ．0 B.14 C.16 D.18解析：选C.因为P (X ＝－2)＋P (X ＝0)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝1，即14＋P (X ＝0)＋12＋112＝1，所以P (X ＝0)＝212＝16，故选C.3．设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝A.712 B.512 C.14 D.16解析：选B.根据概率分布列的性质得出：13＋m ＋14＋16＝1，所以m ＝14，随机变量X 的概率分布列为所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝12.故选B.4．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2 D ．1≤x <2 解析：选C.由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， 所以P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.5．(2018·湖北武汉二中期中)袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3，现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X ＝3)等于( )A.528B.17C.1556D.27解析：选D.X ＝3第一种情况表示1个3，P 1＝C 12·C 24C 38＝314，第二种情况表示2个3，P 2＝C 22·C 14C 38＝114，所以P (X ＝3)＝P 1＋P 2＝314＋114＝27.故选D. 6．随机变量Y 的分布列如下：则(1)x ＝________(3)P (1＜Y ≤4)＝________．解析：(1)由∑6i ＝1p i ＝1，得x ＝0.1. (2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45. (3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.557．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab .则这名运动员得3分的概率是________． 解析：由题意得，2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，a ＋b ＋c ＝1，且a ≥0，b ≥0，c ≥0， 联立得a ＝12，b ＝13，c ＝16，故得3分的概率是16.答案：168．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________．解析：设10个球中有白球m 个，则C 210－m C 210＝1－79，解得：m ＝5.P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.答案：5129．设离散型随机变量X 的分布列为：试求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 所以m ＝0.3. 列表为：(1)2X ＋1的分布列为：(2)|X －1|10．从集合{1，2，3，4，5}中，等可能地取出一个非空子集．(1)记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率； (2)记所取出的非空子集的元素个数为X ，求X 的分布列． 解：(1)记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A . 基本事件总数n ＝C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝31.事件A 包含的基本事件是{1，4，5}，{2，3，5}，{1，2，3，4}，事件A 包含的基本事件数m ＝3.所以P (A )＝m n ＝331.(2)依题意，X 的所有可能值为1，2，3，4，5. 又P (X ＝1)＝C 1531＝531，P (X ＝2)＝C 2531＝1031，P (X ＝3)＝C 3531＝1031，P (X ＝4)＝C 4531＝531，P (X ＝5)＝C 5531＝131.故X 的分布列为11．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C ．[－3，3] D ．[0，1] 解析：选B.设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1， 故a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.12．袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P (ξ≥8)＝________． 解析：由题意知P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝6)－P (ξ＝4)＝1－C 15C 34C 49－C 44C 49＝56.答案：5613．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g 的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为质量超过505 g 的产品数量，求Y 的分布列． 解：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505 g 的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12(件)．(2)随机变量Y 的可能取值为0，1，2，且Y 服从参数为N ＝40，M ＝12，n ＝2的超几何分布，故P (Y ＝0)＝C 012C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (Y ＝2)＝C 212C 028C 240＝11130.所以随机变量Y 的分布列为Y 0 1 2 P6313028651113014．(选做题)袋中装着外形完全相同且标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ， 则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.(2)由题意，知X 的所有可能取值为2，3，4，5， P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130， P (X ＝3)＝C 22C 14＋C 12C 24C 310＝215， P (X ＝4)＝C 22C 16＋C 12C 26C 310＝310， P (X ＝5)＝C 22C 18＋C 12C 28C 310＝815.所以随机变量X 的分布列为则P (C )＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝215＋310＝1330.。
2离散型随机变量的分布列
X的所有可能取值是0,1,2,3.
P(X=0)=
C36 C130
=
20 120
=
1 6
,
P(X=1)=
C62C14 C130
=
60 120
=
1 2
,
P(X=2)=
C
2 4
C16
C130
=
36 120
=
3 10
,
P(X=3)=
C34 C130
=
4 120
=
1 30
.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
1
1
3
1
P
6
栏目索引
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时
也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.
(2)分布列的性质
(i)pi③ ≥0 ,i=1,2,3,…,n;
n
(ii) pi 1. i 1
栏目索引
3.常见的离散型随机变量的概率分布
η
0
1
2
P
0.1
0.3
0.3
栏目索引
3 0.3
栏目索引
1-2 (2015北京朝阳一模改编)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶 图和频率分布直方图都受到了不同程度的污损,其中,频率分布直方图 的分组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],据此解答以 下问题. (1)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率; (2)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生的失分情况,设 抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X,求X的分布列.
离散型随机变量的分布列及均值、方差
(2)方差
n
称 D(X)＝
(xi－E(X))2pi
i＝1
为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均
值 E(X)的 平均偏离程度 ，并称其算术平方根 DX为随机变量 X 的 标准差 ．
4．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b . (2)D(aX＋b)＝ a2D(X) ．(a，b 为常数)
题型一 分布列的求法 例 1 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，
在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出 36 节云课，为了更好地将课程
内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量 [0,1 000] (1 000,3 000] (3 000，＋∞)
节数
3 5
题型二 均值与方差 例 2 某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有 两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也 可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能 损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
3．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称 E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值或 数学期望 ．它 刻画了离散型随机变量取值的 平均水平 ．
【思维升华】 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布 列，然后利用均值、方差公式直接求解． (2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的 方程(组)，解方程(组)即可求出参数值． (3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题 作出判断．
离散型随机变量及其分布列
p2
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基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布 列，简称X的分布列．有时为了表达简 单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2， …，n 表示X的分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
② i＝1 . ③一般地，离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于这个范围内每个 随机变量值的概率 之和 ．
pi＝1
n
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如何求离散型随机变量的分 布列？ 【思考·提示】 首先确定 随机变量的取值，求出离散型随 机变量的每一个值对应的概率， 最后列成表格．
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2．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是 X P 0 1－p 1 p
则这样的分布列称为两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分 布列，就称X服从 两点 分布，而称p＝ P(X＝1)为成功概率．
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所以随机变量X的概率分布列为
X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
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【解】 (1)法一：“一次取出的 3
3 1
个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则
1 1 C5 C2 C2 C2 2 P(A)＝ ＝ . 3 C10 3
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法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件． C51C22C81 1 因为 P(B)＝ ＝ ， 3 C10 3 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
第七节 离散型随机变量及其分布列
【解析】 由已知得 X 的所有可能取值为 0,1， 且 P(X＝1)＝2P(X＝0)， 1 由 P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得 P(X＝0)＝ . 3
离散型随机变量分布列的性质 设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
求随机变量η＝|X－1|的分布列．
解
(1)由题意，得 X 取 3,4,5,6， 1 2 C3 5 C · C 10 5 4 5 且 P(X＝3)＝ 3＝ ，P(X＝4)＝ 3 ＝ ， C9 42 C9 21 1 3 C2 · C 5 C 1 4 5 4 P(X＝5)＝ 3 ＝ ，P(X＝6)＝ 3＝ ， C9 14 C9 21
1 ．利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值， 此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． 2．若 X是随机变量，则η＝|X－ 1|等仍然是随机变
量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根
据对应的概率写出分布列．
设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项．
随机变量X服从二项分布
特点： （1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发 生； （2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即 相互独立，互不影响试验的结果。
5． 二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列； (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变 量分布列． (4)由三种分布（两点分布、超几何分布、二项分布） 求出离散型随机变量分布列。
离散型随机变量x的分布列
§2 离散型随机变量X 的分布列（3课时） 一、目的要求1、理解离散型的随机变量的分布列的意义，会用某些简单的离散型随机变量的分布列。
2、掌握离散型随机变量的分布的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题。
教学重点：（1）利用概率知识与分布列（2）利用随机变量的分布列性质求参数。
二、教学过程1、复习提问：离散型随机变量概念。
2、分布列定义：设离散型随机变量X 的取值。
12,,,(1,2,)i i a a X a P i = 随机变量取的概率为记作()i i P x a P i === (1)为随机变量X 的分布列如果随机变量X 的分布列为表（2）或（1）式，则使随机变量X 服从这一分布（列），记为1212,,,,a a X P P ⎛⎫ ⎪⎝⎭总结：任一离散型随机变量的分布列的两个简单性质： （1）0,1,2,i P i >= （2）121P P ++=试求常数C 。
（3） 3、已知随机变量X 的分布列为1(),(24)2k P X k P X ==<≤则=（ ）A A ．316 B ．14 C ．116 D ．5164、设离散型随机变量X 的分布列为()(1,2,,)2aP X k k N N=== ，则a= 。
2 5、设随机变量X 的分布列为1()(),1,2,3,3k P X k a k a ===则= ，若*k N ∈，则a= 。
（27213）6、设随机变量的分布列()(1,2,3,4,5)5kP X ak k ===。
（1）求常数a 的值。
（115）（2）求17132()()()1010555P X P X P X <<==+==7、有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，且P(n)与时间t 无关，统计得到1()(0)15()206nP n P n n ⎧⋅≤≤⎪=⎨⎪≥⎩，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率(0)P 的值为 。
离散型随机变量及其分布列知识点
离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。
离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。
离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。
其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。
离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。
2. 取值之间具有间隔或间距。
3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。
4. 概率之和为1。
离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。
3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。
总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。
掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列一．考点知识总结 １．离散型随机变量随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母,,,X Y ξη，…表示． 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ２．离散型随机变量的分布列（１）定义：若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值i x （i ＝１，２，３，…，n ）的概率()=i i P X x p =则表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列有时为了表达简单，也用等式()=i i P X x p =，i ＝１，２，３，…，n 表示X 的分布列（２）离散型随机变量的分布列的性质ａ．0i p ≥（i ＝１，２，３，…，n ） ｂ．=1ni i p ∑＝１３．两点分布若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中()==1p P X 称为成功概率 ４．超几何分布在含有Ｍ件次品的Ｎ件产品中，任取ｎ件，其中恰有X 件次品，则事件{}=X k 发生的概率为()--=k n k M N MnNC C P X k C =，k ＝０，１，２，…，ｍ，其中ｍ＝{}min ,M n ，且,,,,n N M N M N n N *≤≤∈,称分布列为超几何分布列二．跟踪练习１．袋中有３个白球和５个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是Ａ．至少取到１个白球 Ｂ．至多取到１个白球 Ｃ．取到白球的个数 Ｄ．取到的球的个数 ２．下列４个表格中，可以作为离散型随机变量的是 Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．３．已知随机变量X 的分布列为：()1==,2kP X k k ＝１，２，…则()2<4P X ≤＝ Ａ．316 Ｂ．14 Ｃ．116 Ｄ．516４．从４名男生和２名女生中任取３人参加演讲比赛，则所选３人中女生人数不超过１人的概率是５．从装有３个红球和２个白球的袋中随机取出２个球，设其中有X 个红球，则随机变量X的概率分布为６．在一个口袋中装有黑白两个球，从中随机取一球，记下他的颜色后放回，再取一球，有记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为 ７．某一随机变量X 的概率分布如下表，且ｍ＋２ｎ＝１．２，则ｍ－2n＝８．设随机变量X 的概率分布表如下：()()=F x P X x ≤，当x 的取值范围是[１,２)时，()F x ＝９．已知随机变量η的分布列为若X ＝２η－３，则()1<X 5P ≤＝１０．在甲乙等６个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采取抽签的方法随机确定各单位的演出顺序（序号１,２,３,４,５,６）求： （１）甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率 （２）甲乙两单位之间的演出单位个数X 的分布列参考答案１—３．ＣＣＡ ４．45５．X ＝０，P ＝０．１；X ＝１，P ＝０．６；X ＝２，P ＝０．３ ６．７． （０．２） ８．56 ９． （０．６） １０． （１）45（２）。
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示.2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出. 若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量. 并且不改变其属性（离散型、连续型） . 1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 .2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 .即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ .3.两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令⎧⎨⎩1，针尖向上；X =0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ，10<<p ，1=+q p ．4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。
离散型随机变量的分布列 课件
次品，则P(X=k)=
C C k nk M NM
，k=0,1,2,…,m，其中m=min{M,n}，
CnN
且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*，此时称分布列
X
0
1
…
m
P
C C 0 n0 M NM
C C 1 n1 M NM
CnN
CnN
…
C C m nm M NM
CnN
为超几何分布列. 如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超 几何分布.
P 1 P 3 P 5 2 8 2 8 .
15 45 9 15
答案：8
15
3.随机变量ξ的可能取值为1，2，3．
当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只
能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有
P 1
C24 C35
3； 5
当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的第二条 性质. 2.离散型随机变量在某一范围内取值的概率求法 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范 围内各个值的概率的和.即 P(ξ≥xk)=P(ξ=xk)+P(ξ=xk+1)+….
【典例训练】 1.下列各表中可作为随机变量X的分布列的是( ) (A)
0
1
P
1-p
p
如果随机变量X的分布列为上述形式，就称X服从两点分布. (2)称p=P(X=1)为__成__功__概__率__. (3)两点分布又称__0_-_1__分布．由于只有两个可能结果的随机试 验叫伯努利试验，所以还称这种分布为_伯__努__利__分布．
2.1.2 离散型随机变量的分布列
23
11 32
一般地，若离散型随机变量X的所有可能取值
为x1，x2，…，xi，…， xn，X取每一个值xi(i＝ 1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式
表示如下：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X 的分布列.
P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5）
=
C C 3 53 10 3010
C140
C≈350041.0191C150
C55 30 10
C530
C350
C350
思考：若将这个游戏的中奖概率控制在55%左右，那 么应该如何设计中奖规则？
游戏规则可定为至少摸到2个红球就中奖.
【提升总结】 两点分布与超几何分布
(1)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布，它反映 了随机试验的结果只有两种可能，如抽取的奖券是 否中奖；买回的一件产品是否为正品；一次投篮是 否命中等．在两点分布中，随机变量的取值必须是0 和1，否则就不是两点分布； (2)超几何分布列给出了一类用数字模型解决的问 题，对该类问题直接套用公式即可．但在解决相关
变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服
从超几何分布.
例3 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏， 在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除 颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3 个红球就中奖，求中奖的概率.
解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，
其中N=30,M=10,n=5.于是中奖的概率
X∈{1，2，3，4，5，6}， P（X i) 1 ,(i 1,2,3,4,5,6)
6
分布列(2.1.2)
2.1.2 离散型随机变量的分布列知识一 离散型随机变量的分布列 【问题导思】掷一枚骰子，所得点数为x ，则x 可取哪些数字？x 取不同的值时，其概率分别是多少？ 离散型随机变量分布列(1)定义：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：的 ，简称为的 ．为了简单起见，也用等式 ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． (2)性质：①p i ，i ＝1,2，…，n ； ②∑i ＝1np i ＝ .知识二 两个特殊分布 【问题导思】(1)在同时抛掷两枚骰子的随机试验中，令Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 向上点数之和为奇数；1 向上点数之和为偶数.试写出随机变量Y 的分布列；(2)某人从含2个不合格骰子的4个骰子中任取2个同时抛掷，经过大量试验，发现“向上点数之和X ”的各频率值与概率值相差很大，这意味着什么，试分析此现象发生的可能性大小？两个特殊分布 (1)两点分布若随机变量X ＝ 为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝ ，k ＝0,1,2，…，m ， 其中m ＝min {}M ，n ，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布. 类型一 分布列的性质及应用例1.设随机变量X 的分布列P (X ＝k5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值；(2)求P (X ≥35)；(3)求P (110<X <710)．规律方法1．本题利用方程的思想求出常数a 的值．2．利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率． 变式训练已知随机变量X 的分布列如下表：则x 的值为________，P (23<X <92)＝________.类型二 两点分布例2.袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红；1，两球非全红.求X 的分布列．规律方法1．在两点分布中，无论求出P (X ＝0)或者P (X ＝1)都能写出分布列，因为P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1.2．两点分布又称为0－1分布或伯努利分布，它是一种比较特殊的分布列，反映了随机试验的结果只有两种可能且其概率之和为1. 变式训练袋中装有3个红球，2个绿球，从中摸出1个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (摸出绿球)1 (摸出红球)，求X 的分布列．类型三 超几何分布例3.袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．规律方法求超几何分布的分布列，关键是明确随机变量是否服从超几何分布，分清M 、N 、n 、k 的值，然后求出相应的概率，最后列表即可．变式训练若本例条件不变，问题改为“求取出的黑球数X 的分布列”该如何解？离散型随机变量分布列的应用典例.(12分)袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．当堂达标1．(2013·合肥检测)下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的是() A.B.C.D.2则a的值为()A．0.6B．0.7C．0.8D．0.33．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n，若P(ξ<4)＝0.3，则n的值为________．4．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球.求X的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．5.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列．6.一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出3个球，用ξ表示取出的球最大号码，ξ可以取得哪些值？写出ξ的分布列．当堂检测（一）一、基础过关1．若随机变量X( )A.1B.12C.13D.162．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1,2,3，则m 的值为( )A.1718B.2738C.1719D.27193．抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)等于( )A.16B.13C.12D.234．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )A ．1,2,3，…，6B ．1,2,3，…，7C ．0,1,2，…，5D ．1,2，…，5 5．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则 ( ) A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．不能确定6．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为 ( ) A.1112 B.3136 C.536 D.1127．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，C 为常数，则P (0.5<X <2.5)＝________.二、能力提升8．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，13B.⎣⎡⎦⎤－13，13C ．[－3,3]D ．[0,1]9．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.212510．盒中装有大小相等的10个球，编号分别是0,1,2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一，求其概率分布列．11．已知随机变量ξ(1)求η1＝12ξ的分布列；(2)求η2＝ξ2的分布列．12．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X .求随机变量X 的分布列．三、探究与拓展13．安排四名大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．(1)求四名大学生中恰有两人去A 校支教的概率； (2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．当堂检测（二）一、基础过关1．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是 ( )A.150B.125C.1825D.14 950 2．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552 C ．1－C 148C 44C 552 D.C 34C 248＋C 44C 148C 552 3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是 ( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)4．在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为( )A.15B.16C.115D.135．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品6．若离散型随机变量X则c ＝________. 二、能力提升7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于( )A.310B.710C.2140D.740 8．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝____.9．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)10．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．11．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．求X 的分布列．三、探究与拓展12．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X 的分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率．。
离散型随机变量的分布列
练 2 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，不中 得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，求他罚球一 次的得分的分布列．
[解] 用随机变量 X 表示“每次罚球得分值”，根据 题意，X 可能的取值为 0、1，且取这两个值的概率分别为 0.7、0.3，因此所求的分布列是 X 1 0 P 0.7 0.3
练 3 在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品．从这 10 件产品中任取 3 件，求： (1)取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列； (2)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概 率．
(1)从 10 件产品中取出 3 件，这 3 件产品中恰有 Ck C3－k 3 7 k 件一等品的概率 P(X＝k)＝ 3 (k＝0,1,2,3)． C10 所以，随机变量 X 的分布列是 [解] X 0 1 2 3 7 21 7 1 P 24 40 40 120
由本例可知， 利用离散型随机变量分布列可以求随机变 量在某个范围内取值的概率， 此时只需根据随机变量的取值 范围确定随机变量可取哪几个值， 再利用分布列即可得到它 的概率， 注意分布列随机变量取不同的值时所表示的随机事 件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．
i 练 1 设随机变量 X 的分布列为：P(X＝i)＝ (i＝ 10 1,2,3,4)，求： (1)P(X＝1 或 X＝2)； 1 7 (2)P( <X< )． 2 2
思 维 激 活
离散型随机变量的分布列的性质 k 例 1 设随机变量 ξ 的分布列 P(ξ＝ )＝ak(k＝1,2,3,4,5)． 5 3 1 7 (1)求常数 a 的值；(2)求 P(ξ≥ )；(3)求 P( <ξ< )． 5 10 10
离散型随机变量的分布列
3
例5甲乙两名篮球队员独立地轮流投篮，直 到某人投中为止。甲投中的概率为0.4，乙 为0.6，分别求出甲乙两人投篮次数的分布 列。（假设甲先投）
说明：求分布列的关键是正确计算概率。
三、课堂小结
1.会根据实际问题用随机变量正确表示某 些随机试验的结果与随机事件；
离散型随机变量的分布列
一、基本知识概要：
1.随机变量：随机试验的结果可以用一个 变量来表示，这样的变量的随机变量，记
作 , ；
说明：若是随机变量，ab，
其中 a , b 是常数，则 也是随机变量。
一、基本知识概要：
2. 离散型随机变量：随机变量可能取的值， 可以按一定顺序一一列出
连续型随机变量：随机变量可以取某一区 间内的一切值。
称为随机变量 的分布列。
离散型随机变量的分布列的两个性质：
① p1p21
② P(xi)pi 0
求解离散型随机变量的分布列的两个步骤：
①确定该随机变量所有可能的取值；
②分别计算相应的概率。
4.二项分布：在n次独立重复试验中，事件
A发生的次数 是一个随机变量，其所有可
能取的值为0，1，2，3，…，n，并且
说明：①分类依据：按离散取值还是连续 取值。
②离散型随机变量的研究内容：随机变量 取什么值、取这些值的多与少、所取值的 平均值、稳定性等。
3. 离散型随机变量的分布列：
设离散型随机变量 可能取的值
为 x1,x2,,xi,，
且P(xi)pi ，则
x1 x2 … x i …
P
p1 p2 … pi …
个球的概率都属古典概率（等可能性事件
的概率）。
(练习)：从一批有13个正品和2个次品的产 品中任意取出3个,
离散型随机变量的分布列,期望与方差
１、随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示， 那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用 希腊字母 ξ、η 等表示．
随机变量将随机事件的结果数量化．
问题:某人射击一次，可能出现哪些结果？
若设射击命中的环数为ξ， 则ξ是一个随机变量. ξ可取０，1，2，…，10. ξ＝０，表示命中０环；
(1). pi 0, i 1，2，3，
(2). p1 p2 p3 1
例1、某一射手射击所得环数的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概 率
一般地，离散型随机变量在某一范围内的概 率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
例1.设p是 非 负 实 数， 随 机 变 量的 概 率 分 布为
0
1
2
P
1 p 2
p
1 2
则E的 最 大 值 为______,D的 最 大 值 为______
例2.A、B是 治 疗 同 一 种 疾 病 的 两种 药 ， 用 若 干 实 验 组 进 行 对 比 实 验 。每 个 试 验 组 由4个 小 白 鼠 组 成 ， 其 中2只 服 用A， 另2只 服 用B， 然 后 观 察 疗 效 。 若 在 一 个 试 验 组中 ， 服 用A有 效 的 小 白 鼠 的 只 数 比 服 用B有 效 的 多 ， 就 称 该 试 验组 为 甲 类
写出ξ的分布列. 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3.
当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它
两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故
有P(ξ=1)=
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列如果随机试验每一个可能结果e ，都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.随机变量通常用X ，Y…表示。
如果随机变量X 的所有取值都可以逐个列举出来，则称X 为离散型随机变量。
一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为n x x x ，，，...21，其相应的概率为n p p p ，，，...21，记：)...2,1()(n i p x X P i i ，，===或把上式列成下表:上表或上式称为离散型随机变量X 的概率分布列(简称X 的分布列).离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)n i p i ，，，，...210=≥;(2)1...21=+++n p p p 【例题1】全班有40名学生，某次综合素质单项测评的成绩(满分5分)如下:现从该班中任选一名学生，用X 表示这名学生的单项测评成绩，求随机变量X 的分布列.【例题2】设随机变量X 的分布列为4,321)1()(，，，=+==k k k c k X P ，其中c 为常数，求2521(＜＜X P 的值。
【练习】1.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果:(1)将10个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~10，现从袋中任取1个球，被取出的球的编号为X;(2)将15个质地、大小一样的球装入袋中，其中10个红球，5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X;(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.2.用X表示某人进行10次射击击中目标的次数，分别说明下列随机事件的含义.(1){X=8};(2){1<X≤10};(3){X≥1};(4){X<1}3.离散型随机变量X的分布列如下表所示，求p的值4.将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~6.现从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码,(1)求X的分布列;(2)求X>4的概率.两点分布如果随机变量X 只取值0或1，且其概率分布是)1,0(1)0(,)1(∈-====p p X P p X P ，则称随机变量X 服从两点分布，记作：)1(~p B X ，两点分布又称0-1分布，是我们在现实生活中经常会遇到的一种分布，例如，检查产品是否合格，投篮是否命中，一粒种子是否发芽，等等，当只考虑成功与否时，都可以用服从两点分布的随机变量米描述。
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称离散型随机变量ξ服从二项分布
~ B(n, p)
1 k k (1 p)n Cn p(1 p)n1 Cn p (1 p)nk pn
(1 p p)n 1
例3((2000年高考题)某厂生产电子元件，其产品的次品率 为5％。现从一批产品中任意的连续取出2件，写出其中 次品数ξ的概率分布
0 0.9025
1 0.095
2 0.0025
例４、重复抛掷一枚骰子5次，得到点数为6的次数记 为ξ，求P(ξ>3)
解：依题意，随机变量ξ服从二项分布
1 ~ B(5, ) 6
1 45 25 P( 4) C（ ） ， 6 6 7776 1 5 1 5 P( 5) C （ ） 5 6 7776
4 5
13 P（ 3） P( 4) P( 5) 3888
1 例5、如果 ~ B(20, ), 求使P( k )取最大值的k的值 3 一般地，如果 ~ B(n, p)，其中0 p 1, 讨论当k 由0增加到n时，P( k )的变化情况，k取什么值 时，P( k )取最大值？
…
…
ξ
P
x1
P1
x2
P2
…
…
xi
Pi
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。 两个简单性质： (1) Pi≥0，I=1，2，…
(2) P1 +P2 +…=1．
例2、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次 分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止。设分裂 1 n次终止的概率是 n。记ξ为原物体在分裂终止后所生成的 2 子块数目。求ξ的分布列并求P(ξ≤10)
介绍两种常见的ξ分布列
若随机变量ξ的分布如下表
ξ P
0 1-p
1 p
则称ξ服从两点分布 (k ) Cn p (1 p)nk
ξ
P
0
1
…
k
k k Cn p (1 p)nk
… …
n
pn
1 (1 p)n Cn p(1 p)n1 …
解：依题意，随机变量ξ~B（2，5%）。所以，
0 2 P ( 0) C（ 95 % ） 0.9025 ， 2 1 P ( 1) C（ 95%） 0.095 2 5%）（ 2 2 P ( 2) C（ 5 % ） 0.0025 2
因此，次品数ξ的概率分布是
ξ P
依题意，原物体在分裂终止后所生成的子块数目ξ的分布列为
ξ P 2
1 2
4
1 4
8
1 8
16
1 16
… …
2n
1 2n
… …
1 1 1 7 P(ξ ≤10) = P(ξ = 2) + P(ξ = 4) + P(ξ = 8) = + + = 2 8 4 8
一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等 于它取这个范围内各个值的概率之和
石器时代 http://www.shiqi.so/ 石器时代
旧石器时代早期在非洲存在两大石器文化传统：奥杜韦文化和阿舍利文化。旧石器时代中期，在北非有莫斯特文化和阿替林文 化；在撒哈拉以南地区，有中非的石核斧类型文化，如山果文化和卢本巴文化，南非的彼得斯堡文化、奥兰治文化、斯蒂尔贝 文化和班巴塔文化。旧石器时代晚期，非洲气候极为干旱，发现的遗存数少，在北非有与欧洲石叶文化相似的代拜文化，在撒 哈拉以南地区则有奇托利文化等。 满满盛了汤，但汤里熬的不是鱼翅、干贝，而是白芷、江离——都是沐浴用的香草。汤也不烫，最多比皮肤烫一点点，正好让 人躺进去“哦呼！”一声，绝不会对人造成任何实质性伤害，只会把人泡得红通通的，像一只心满意足的大虾。这是一锅上好 的洗澡水。苏明远沉入水中，“哦呼”了一声。世上再没有比淋了一场大雨之后泡个热热的香汤更美的了！一定有所要求的话， 倒是可以锦上添花一把。第二章 蝶楼吹彻玉笙寒(2)“蝶儿，”苏明远唤道，“给我推拿。”“我不是蝶儿。”炉边主人唇边 逸出一抹不知是何滋味的笑容，“我只是个笑话。”他叫蝶宵华。本朝没有“蝶”这个姓，锦城更没有。“蝶宵华”这三个字， 就跟“楚云”、“海棠”、“娇月”、“香红”差不多，都是人家给取的，专为招揽生意用。所谓艺名。叫“楚云”、“海 棠”、“娇月”、“香红”的女孩子，多半会在什么地方做生意，你也想像得出来吧？不过蝶宵华不在勾栏。有的勾栏只收女 孩子，他自然进不去。有的勾栏，兼收男孩子，他也没进。他进的地方，比勾栏还苦一点，要压腿、要下腰、要走台步，要吊 嗓子，所谓梨院。梨院子弟，地位比起勾栏来似乎高那么一点点，有的时候呢，却仿佛还要低上那么一点点。戏子的生活，有 时比妓女还要糜乱得不止一点点。而蝶宵华，是锦城所有戏子中，“那方面”名声最响的一个。像苏明远是举城最受崇拜的贵 公子一样，没有之一。只不过，蝶宵华的名声，未必招人喜爱。有的人嘴里，他是妖魔。有的人嘴里，他简直就是疯的。他像 一出折子戏，不想管来路、不想管去路，所有的美丽、哀艳、甚或是倦怠，都只凝缩在眼前短短一幕，没有明天。他动人得， 像是根本没有明天。苏明远叫他，他就恹恹的站了起来，恹得似一株才抽出新芽、就已不堪盛大春光负荷的垂柳，每迈出一步， 腰肢儿都是软盈盈的。他的斗篷没有扣住，一站，前面就散开了，露出里头衣裳，是遍地金鸦青百花锦袍子，很难压得住的颜 色。而他甚至根本没想过要压，只那么随随便便一站，春风都要为他醉了。他走到苏明远盆边，刚刚那小少女之一，又奔了回 来，手里捧着一只万寿回文金盏，仍然笑成一团，步子都要迈不稳似的，把金盏往蝶宵华足边一放，咬着嘴忍住笑声，回身又 逃了。蝶宵华伸出尖尖的食指，向小少女的背影指了一指：“你啊——”小少女吐吐舌头，还是跑了，他嘴角咬了咬，也没什 么别的话说，自己弯腰捞起金盏，递给苏明远。盏中盛着酒，酒色清碧，似外头窗格嵌的琉璃。苏明远啜了一口，放开手，酒 盏就自己漂在汤面上，似外头的莲花灯。蝶宵华这里的所有东西，似乎都经过精心的布置，不但美，而且一定很实用，一定让 人舒适、让人省力。只有一个很懒、又很
小结
ξ 的概率分布概念（ξ的分布列） 离散型概率分布的两个性质 两点分布的概念 二项分布的概念和书写
练习书本课后作业
非洲旧石器时代考古在世界上占有重要地位。这里不仅发现了迄今为止年代最早的人类化石和石器文化，而是世界上已知的人 类各发展阶段没有缺环、年代前后相继的地区。迄今所知最早的石器发现于东非肯尼亚的科比福拉，以及埃塞俄比亚的奥莫和 哈达尔地区，年代距今约250万～200万年。
例1 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已 知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现 从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0 分，取出绿球得-1分， （1）试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ可能的取值？ （2）并分别求这三种情况下的概率 ξ可取-1，0，1 （且ξ 为离散型随机变量）
解：设黄球的个数为n，依题意知道绿球个数为2n， 红球个数为4n，盒中球的总数为7n。 4n 4 2n 2 n 1 P( 1) , P( 1) , P( 0) 7n 7 7n 7 7n 7
-1 0
2 7
p
1 7
1
4 7
一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1, x2, …，xi,…, ξ取每一个值xi (I=1，2，…)的概率为P(ξ= xi)=Pi， 则称表