电子科技大学线性代数-1998真题
线性代数试卷
学习中心/函授站_姓 名学 号西安电子科技大学网络与继续教育学院2022学年上学期《线性代数》期末考试试题（综合大作业） 题号一 二 三 总分 题分25 30 45 得分考试说明：1、大作业试题公布时间：2022年4月22日；2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计；3、答案须用《西安电子科技大学网络与继续教育学院2022春期末考试答题纸》（个人专属答题纸）手写完成，要求字迹工整、卷面干净、整齐；4、拍照要求完整、清晰，一张图片对应一张个人专属答题纸（A4纸），正确上传。
一、简算题。
（共5小题，每题5分，共25分）1. 利用对角线法则计算下列行列式(1) (2) (3) 381141102---b a c a c b c b a 222111c b a c b a 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数;(1) 1 2 3 4; (2)4 1 3 2;二、计算题（共3题，每题10分，共30分）1. 已知线性变换:, ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.2. 设, 求A k . ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A3. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系: ;⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x 三、证明题（共3题，每题15分，共45分）(1) 证明=(a -b )3 1112222b b a a b ab a + (2) 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2.(3) 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.。
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案
试 题 二 （考试时间：120分钟）一、填空（每小题4分，共32分） 1．若矩阵A 相似于矩阵{}2,1,1−diag ，则31−A= 。
2．设33)(×=ij a A 是实正交矩阵且111=a ，Tb )0,0,1(=，则方程组A X =b 的解为 3．设n 阶方阵A 满足2340A A E −+=，则1)4(−+E A = 。
4．设A 为4×3阶矩阵，且R (A )=2，又⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=301020204B ，则R (A B)- R (A )=5．若二次型31212322213212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定的，则t 满足 。
6．已知三阶方阵A 的特征值为2，3，4，则A 2= 。
7．已知五阶实对称方阵A 的特征值为0，1，2，3，4，则R (A )= 。
8．设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1201A 则=kA 。
（k 为正整数）。
二、（10分）计算行列式：11223000000000000011111n n a a a a a D a a −−−=−L L L M M M O M M L L 三、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+−+=+−+=+−+32343242432143214321x x x x x x x x x x x x λ讨论λ为何值时，方程组无解，有解？在有解的情况下，求出全部解。
四、（10分）已知二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=（1）把二次型f 写成Ax x x x x f T=)(321，，的形式； （2）求矩阵A 的特征值和特征向量；（3）求正交阵Q，使f 通过正交变换X QY =化为标准形。
五、（10分）已知向量组T)2,0,4,1(1=α，T)3,1,7,2(2=α，T a ),1,1,0(3−=α，Tb )4,,10,3(=β，试讨论（1）a,b 取何值时，β不能由331,,ααα线性表出；（2）a,b 取何值时，β可以由331,,ααα线性表出。
1998年考研数学试题详解及评分参考
解：取沉放在原点 O, OY 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得
m
d2y dt 2
=
mg
-
Br
-
kv
，
将
d2y dt 2
=
v
dy dt
代入以消去 t
，得 v与y
之间的微分方程 mv
=
y - b3 b1 - b2
=
z - c3 与直 线 c1 - c2
x - a1 a2 - a3
=
y - b1 b2 - b3
=
z - c1 c2 - c3
(A) 相交于一点 (B) 重合
(D) 平行但不重合
(D) 异面
【答】 应选 (A) .
éa1 b1 c1 ù
a1 b1 c1
【解】 因 êêa2
则 ( A* ) 2 + E 必有特征值
.
【答】 应填 [ A ]2 +1. l
【解】 因 A 有特征值 l ，故 A-1 必有特征值 1 , 从而 A* = A A-1 必有特征值 | A | ，
l
l
因此 ( A* ) 2 + E 必有特征值 ( A )2 +1. l
(5) 设平面区域 D 由曲线 y = 1 及直线 y = 0, x = 1, x = e2 所围成，二维随机变量 ( X ,Y ) 在
【解】
¶z ¶x
=
-
1 x2
f (xy) +
y x
f ¢(xy) +
yj ¢(x +
y) = yf ¢¢( xy) + j ¢(x +
y) +
yj ¢¢(x +
成都电子科技大学高等数学2003-2016年考研初试真题+答案
第 1 页 共 2 页2015年电子科技大学硕士研究生入学考试试题考试科目：602高等数学注：所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、 填空题（本题满分28分，每小题4分）21.lim x p ®= .()()()132.0+2== .设时，可导函数满足，则x f x f x f f x x xæö¢>ç÷èø 222222lim 12n n n n n n n n ®¥æö+++=ç÷+++èøL 3. . ()()()24.00=1.1当时，是比高阶的无穷小量，函数在任意点处的增量且，则x x y x x y x y y y xa a p D ®D D D =+=+ ()215..32幂级数的收敛区间为nn n n x n ¥=×+-å 6.cos .二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式 为y y x x ¢¢+= 1()()d ()d (2).7.设是连续函数，，则t x y f x F t y f x x F ¢==òò二、（本题满分10分）求极限0x ® 三、（本题满分10分） ()()()2010lim 1.求微分方程满足的特解x x xy x y e x y x +®¢+-=<<+¥= 四、（本题满分10分） 若点0000(,,)M x y z 是光滑曲面(,,)0F x y z =上与原点距离最近的点， 试证过点0000(,,)M x y z 的法线必通过坐标原点.。
1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题库及答案
1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1) 22limx x→= . (2) 设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2zx y ∂=∂∂ .(3) 设L 为椭圆221,43x y +=其周长记为a ,则22(234)L xy x y ds ++=⎰ . (4) 设A 为n 阶矩阵,0A ≠,*A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值λ,则*2()A E +必有特征值 . (5) 设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,y x x e ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为 _ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1) 设()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-=⎰ ( ) (A) 2()xf x (B) 2()xf x - (C) 22()xf x (D) 22()xf x - (2) 函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是 ( )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (3) 已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy xα∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于 ( ) (A) 2π (B) π (C) 4e π (D) 4e ππ(4) 设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线 111232323x a y b z c a a b b c c ---==--- ( )(A) 相交于一点 (B) 重合(C) 平行但不重合 (D) 异面(5) 设A B 、是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有( )(A) (|)(|)P A B P A B = (B) (|)(|)P A B P A B ≠ (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z L --==-在平面:210x y z ∏-+-=上的投影直线0L 的方程,并求0L 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数λ,使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()A x y xy x y i x x y j λλ=+-+为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,)u x y .五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y (从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m ,体积为B ,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0)k k >.试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式()y =y v .六、(本题满分7分)计算212222(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半球面z =,a 为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎝⎭八、(本题满分5分)设正项数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11()1nn n a ∞=+∑是否收敛？并说明理由.九、(本题满分6分)设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1) 试证存在0(0,1)x ∈,使得在区间[]00,x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间[]0,1x 上以()y f x =为曲边的梯形面积. (2) 又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的.十、(本题满分6分)已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=,可以经过正交变换x y P z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦化为椭圆柱面方程2244ηζ+=,求,a b 的值和正交矩阵P .十一、(本题满分4分)设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组0kA x =有解向量α,且10k A α-≠, 证明：向量组1,,,k A A ααα-是线性无关的.十二、(本题满分5分)已知线性方程组1111221,222112222,221122,220,0,()0n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x I a x a x a x ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩的一个基础解系为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,)TTTn n n n n n b b b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,试写出线性方程组1111221,222112222,221122,220,0,()0n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y II b y b y b y ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩的通解,并说明理由.十三、(本题满分6分)设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、(本题满分4分)从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大？附表：标准正态分布表22()t zz dt -Φ=⎰z1.28 1.645 1.962.33 ()z Φ0.9000.9500.9750.990十五、(本题满分4分)设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程. 附表：t 分布表{()()}p P t n t n p ≤=1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】14-【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式22x→=24x →-=)221lim4x x →=2220112112lim 24x xx x →-- =-.方法2：采用洛必达法则.原式)()022limxx →''洛0x →= 0x →=0x →=0x → 洛 14==-.方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至2x 项,()22111128x x o x =+-+()22211128x x o x =--+, 从而 原式()()2222122011111122828lim x x x o x x x o x x →+-++--+-= ()()222122014lim x x o x o x x→-++=14=-. (2)【答案】()()()yf xy x y y x y ϕϕ'''''++++【分析】因为1()(),,z f xy y x y f xϕϕ=++具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求z x ∂∂或z y∂∂均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. 方法1：先求z x∂∂. 211()()()()()z y f xy y x y f xy f xy y x y x x x x x ϕϕ∂∂⎡⎤''=++=-+++⎢⎥∂∂⎣⎦, 2221()()()11()()()()()11()()()()()()()().z y f xy f xy y x y x y y x x yf xy x f xy f xy x x y y x y x x xf xy f xy yf xy x y y x y x xyf xy x y y x y ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂⎛⎫''=-+++ ⎪∂∂∂⎝⎭'''''''=-++++++'''''''=-++++++'''''=++++ 方法2：先求z y∂∂. 11()()()()()()()(),z f xy y x y f xy x x y y x y y y x xf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ∂∂⎡⎤''=++=++++⎢⎥∂∂⎣⎦''=++++ []22()()()()()().z z f xy x y y x y x y y x xyf xy x y y x y ϕϕϕϕ∂∂∂''==++++∂∂∂∂∂'''''=++++ 方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：()[][][]21()()1()()()()()()().z f xy y x y x y x y x y x f xy x y x y x x y f xy y x y x yyf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤=++ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎣⎦∂∂⎡⎤''=++⎢⎥∂∂⎣⎦∂∂''=++∂∂'''''=++++ 评注：本题中,,f ϕ中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对x 求导时,y 视为常数；对y 求导时,x 视为常数就可以了. (3)【答案】12a【解析】L 关于x 轴(y 轴)对称,2xy 关于y (关于x )为奇函数20Lxyds ⇒=⎰.又在L 上,22222213412(34)1212.43L L x y x y x y ds ds a +=⇒+=⇒+==⎰⎰因此, 原式222(34)12LLxyds xy ds a =++=⎰⎰.【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分(),lf x y ds ⎰,设(),f x y 在l 上连续,如果l 关于y 轴对称,1l 为l 上0x ≥的部分,则有结论：()()()()12,,,,0,l lf x y ds f x y x f x y ds f x y x ⎧ ⎪=⎨ ⎪⎩⎰⎰关于为偶函数,，关于为奇函数. 类似地,如果l 关于x 轴对称,2l 为l 上0y ≥的部分,则有结论：()()()()22,,,,0,l lf x y ds f x y y f x y ds f x y y ⎧ ⎪=⎨ ⎪⎩⎰⎰关于为偶函数,，关于为奇函数. (4)【答案】 21A λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】方法1：设A 的对应于特征值λ的特征向量为ξ,由特征向量的定义有,(0)A ξλξξ=≠.由0A ≠,知0λ≠(如果0是A 的特征值0A ⇔=),将上式两端左乘A *,得A A A A A ξξλξλξ***===,从而有 *,AA ξξλ=(即A *的特征值为Aλ).将此式两端左乘A *,得()22**AA A A ξξξλλ⎛⎫== ⎪⎝⎭.又E ξξ=,所以()()22*1A A E ξξλ⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故*2()A E +的特征值为21A λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.方法2：由0A ≠,A 的特征值0λ≠(如果0是A 的特征值0A ⇔=),则1A -有特征值1λ,A *的特征值为A λ；*2()A E +的特征值为21A λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11A ααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值. 若AX X λ=,则()()A kE X AX kX k X λ+=+=+.即若λ是A 的特征值,则A kE +的特征值是k λ+.2.矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠,且11A A A-*=. (5)【答案】14【解析】首先求(,)X Y 的联合概率密度(,)f x y .21(,)|1,0D x y x e y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭,区域D 的面积为22111ln 2.e e D S dx x x===⎰1,(,),(,)20, x y D f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他.其次求关于X 的边缘概率密度.当1x <或2x e >时,()0X f x =；当21x e ≤≤时,1011()(,)22x X f x f x y dy dy x+∞-∞===⎰⎰. 故1(2).4X f =二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1)【答案】(A)【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换22,u x t =-2:0:0t x u x →⇒→,()222du d x t tdt =-=-12dt du t⇒=-,222022220001()()211()(),22xx xx tf x t dt u x t tf u dt t f u du f u du ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰()2220022221()()211()()2(),22x x d d tf x t dt f u du dx dx f x x f x x xf x -='=⋅=⋅=⎰⎰选(A).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t ft t f t ββαα'''=⋅-⋅.(2)【答案】(B)【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.22()(2)1f x x x x x =---,当0,1x ≠±时()f x 可导,因而只需在0,1x =±处考察()f x 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.由 22222222(2)(1),1,(2)(1),10,()(2)(1),01,(2)(1),1,x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x ⎧---<-⎪----≤<⎪=⎨---≤<⎪⎪---≤⎩⇒ ()()22111(2)(1)0(1)lim lim 011x x f x f x x x x f x x ---→-→-------'-===++, ()()22111(2)(1)0(1)lim lim 011x x f x f x x x x f x x +++→-→-------'-===++,即()f x 在1x =-处可导.又()()22000(2)(1)0(0)lim lim 2x x f x f x x x x f x x ---→→-----'===,()()22000(2)(1)0(0)lim lim 2x x f x f x x x x f x x+++→→-----'===-, 所以()f x 在0x =处不可导.类似,函数()f x 在1x =处亦不可导.因此()f x 只有2个不可导点,故应选(B).评注：本题也可利用下列结论进行判断：设函数()()f x x a x ϕ=-,其中()x ϕ在x a =处连续,则()f x 在x a =处可导的充要条件是()0a ϕ=. (3)【答案】(D) 【解析】由2,1y x y x α∆∆=++有2.1y y x x xα∆=+∆+∆令0,x ∆→得α是x ∆的高阶无穷小,则0lim0x xα∆→=∆,0limx y x ∆→∆∆20lim 1x y x x α∆→⎛⎫=+ ⎪+∆⎝⎭200lim lim 1x x y x x α∆→∆→=++∆21y x =+ 即21dy y dx x =+. 分离变量,得2,1dy dx y x =+ 两边积分,得 ln arctan y x C =+,即arctan 1.xy C e =代入初始条件(0),y π=得()arctan0110.y C e C π===所以,arctan x y e π=.故 arctan 1(1)xx y eπ==arctan1eπ=4.e ππ=【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (4)【答案】(A) 【解析】设3331121212:x a y b z c L a a b b c c ---==---,1112232323:x a y b z c L a a b b c c ---==---,题设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则由行列式的性质,可知 11112121222223232333333312230a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ------≠行减行，行减行, 故向量组121212(,,)a a b b c c ---与232323(,,)a a b b c c ---线性无关,否则由线性相关的定义知,一定存在12,k k ,使得11212122232323(,,)(,,)0k a a b b c c k a a b b c c ---+---=,这样上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾.121212(,,)a a b b c c ---与232323(,,)a a b b c c ---分别为12,L L 的方向向量,由方向向量线性相关,两直线平行,可知12,L L 不平行.又由333121212x a y b z c a a b b c c ---==---得333121212111x a y b z c a a b b c c ----=-=----,即()()()312312312121212x a a a y b b b z c c c a a b b c c ---------==---. 同样由111232323x a y b z c a a b b c c ---==---,得111232323111x a y b z c a a b b c c ---+=+=+---,即 ()()()123323323232323x a a a y b b b z c c c a a b b c c -+--+--+-==---, 可见12,L L 均过点()213213213,,a a a b b b c c c ------,故两直线相交于一点,选(A). (5)【答案】C【分析】由题设条件(|)(|)P B A P B A =,知A 发生与A 不发生条件下B 发生的条件概率相等,即A 发生不发生不影响B 的发生概率,故,A B 相互独立.而本题选项(A)和(B)是考虑(|)P A B 与(|)P A B 是否相等,选项(C)和(D)才是事件A 与B 是否独立.【解析】由条件概率公式及条件(|)(|),P B A P B A =知{}{}{}{}{}{}{}1P AB P AB P B P AB P A P A P A-==-, 于是有 {}{}{}{}{}1P AB P A P A P B P AB -=⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 可见 {}{}{}P AB P A P B =. 应选(C).【相关知识点】条件概率公式：{}{}{}|P AB P B A P A =.三、(本题满分5分)【解析】方法1：求直线L 在平面∏上的投影0L ：方法1：先求L 与∏的交点1N .以1,:,1x t L y t z t =+⎧⎪=⎨⎪=-⎩代入平面∏的方程,得(1)2(1)101t t t t +-+--=⇒=.从而交点为1(2,1,0)N ；再过直线L 上点0(1,0,1)M 作平面∏的垂线11:112x y z L --'==-,即1,,12.x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩并求L '与平面∏的交点2N ：1(1)()2(12)103t t t t +--++-=⇒=-,交点为2211(,,)333N .1N 与2N 的连接线即为所求021:421x y zL --==-. 方法2：求L 在平面∏上的投影线的最简方法是过L 作垂直于平面∏的平面0∏,所求投影线就是平面∏与0∏的交线.平面0∏过直线L 上的点(1,0,1)与不共线的向量(1,1,1)l =- (直线L 的方向向量)及(1,1,2)n =-(平面∏的法向量)平行,于是0∏的方程是111110112x y z ---=-,即3210x y z --+=. 投影线为 0210,:3210.x y z L x y z -+-=⎧⎨--+=⎩下面求0L 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面S 的方程.为此,将0L 写成参数y 的方程：2,1(1).2x y z y =⎧⎪⎨=--⎪⎩ 按参数式表示的旋转面方程得S 的参数方程为,,.x y y z θθ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩消去θ得S 的方程为()222212(1)2x z y y ⎡⎤+=+--⎢⎥⎣⎦,即2224174210.x y z y -++-=四、(本题满分6分)【解析】令42(,)2(),P x y xy x y λ=+242(,)(),Q x y x x y λ=-+则(,)((,),(,))A x y P x y Q x y =在单联通区域右半平面0x >上为某二元函数(,)u x y 的梯度Pdx Qdy ⇔+在0x >上∃原函数(,)u x y ⇔,0.Q Px x y∂∂=>∂∂ 其中,42242132()()4Qx x y x x y x xλλλ-∂=-+-+⋅∂, 424212()2()2Px x y xy x y y yλλλ-∂=+++⋅∂. 由Q Px y∂∂=∂∂,即满足 4224213424212()()42()2()2x x y x x y x x x y xy x y y λλλλλλ---+-+⋅=+++⋅,424()(1)01x x y λλλ⇔++=⇔=-.可见,当1λ=-时,所给向量场为某二元函数的梯度场.为求(,)u x y ,采用折线法,在0x >半平面内任取一点,比如点(1,0)作为积分路径的起点,则根据积分与路径无关,有2(,)42(1,0)2(,)x y xydx x dyu x y C x y -=++⎰244210200xy x x dx dy C x x y⋅-=++++⎰⎰(折线法) 242yx dy C x y-=++⎰ 2242(1)yx dy C y x x -=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(第一类换元法)222222004221(1)(1)yy x x y y d C d C x x y y x x x ⋅⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 2arctan yC x =-+(基本积分公式) 其中C 为任意常数.【相关知识点】1.二元可微函数(,)u x y 的梯度公式：u u gradu i +j x y∂∂=∂∂. 2.定理：设D 为平面上的单连通区域,函数()P x,y 与(,)Q x y 在D 内连续且有连续的一阶偏导数,则下列六个命题等价：(1),(,)Q Px y D x y∂∂≡∈∂∂； (2) 0,LPdx Qdy L +=⎰为D 内任意一条逐项光滑的封闭曲线；(3)LABPdx Qdy +⎰仅与点,A B 有关,与连接,A B 什么样的分段光滑曲线无关；(4) 存在二元单值可微函数(,)u x y ,使du Pdx Qdy =+(即Pdx Qdy +为某二元单值可微函数(,)u x y 的全微分； (5) 微分方程0Pdx Qdy +=为全微分方程；(6) 向量场P +Q i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度u P +Q =grad i j .换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线法求函数(,)u x y .五、(本题满分6分)【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O ,铅直向下作为Oy 轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：mg ,浮力的大小：F B ρ=-浮；阻力：kv -,则由牛顿第二定律得202,0,0.t t d ym mg B g kv y vdtρ===--== (*)由22,dy d y dv dv dy dv dy v v v dv dt dt dt dy dt dy===⋅==,代入(*)得y 与v 之间的微分方程10,0y dy mv mg B kv v dv ρ-=⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.分离变量得 mvdy dv mg B kv ρ=--,两边积分得 mvdy dv mg B kv ρ=--⎰⎰,2222()()()Bm m g Bm m g mv k k k k y dv mg B kv m Bm m g mg B kv k k k dv mg B kv m g Bm m k dvk mg B kv m m mg B dv dvk k mg B kv ρρρρρρρρρρ+--+=------+=--⎛⎫- ⎪=-+ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭-=-+--⎰⎰⎰⎰⎰1()()()()m mg B m k v d mg B kv k k mg B kv ρρρ-⋅-=-+----⎰ (第一类换元法) 2()ln()m m mg B v mg B kv C k k ρρ-=----+.再根据初始条件0|0,y v ==即22()()ln()0ln()m mg B m mg B mg B C C mg B k kρρρρ----+=⇒=-. 故所求y 与v 函数关系为()2ln .m mg B m mg B kv y v k k mg B ρρρ-⎛⎫--=-- ⎪-⎝⎭六、(本题满分7分)【解析】方法1：本题属于求第二类区面积分,且不属于封闭区面,则考虑添加一平面使被积区域封闭后用高斯公式进行计算,但由于被积函数分母中包含12222()x y z ++,因此不能立即加、减辅助面2221:0x y a z ⎧+≤∑⎨=⎩,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简：2212222()1().()axdydz z a dxdy I axdydz z a dxdy a x y z ∑∑++==++++⎰⎰⎰⎰ 添加辅助面2221:0x y a z ⎧+≤∑⎨=⎩,其侧向下(由于∑为下半球面z =侧,而高斯公式要求是整个边界区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,和∑的上侧组成整个边界区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有11222211()()()1()().D I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a a z a ax dV a dxdy a x z ∑+∑∑Ω=++-++⎛⎫⎡⎤∂+⎛⎫∂⎣⎦ ⎪=-+-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一个积分前面加负号是由于我们取边界区面的内侧,第二个积分前面加负号是由于1∑的方向向下；另外由曲面片1∑在yoz 平面投影面积为零,则10axdydz ∑=⎰⎰,而1∑上0z =,则()22z a a +=.21(2())D I a z a dV a dxdy a Ω⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰,其中Ω为∑与1∑所围成的有界闭区域,D 为1∑在xoy 面上的投影222{(,)|}D x y x y a =+≤. 从而,220322001321232.3D a I a dv zdv a dxdy a a a d rdr a a a ππθπΩΩ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⋅-+⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一个积分用球体体积公式；第二个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公式.()2042400242200242300224224440411222112()21()1122242412a a a aI a d r z dr a a a d r a r dr a a d a r r draa r r a a a a a a a a a a ππππθππθπθππππππ⎛⎫⎛=--+ ⎪⎝⎝⎭⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+⋅-=-+⋅- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰4342a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 方法2：逐项计算：2212222212()1()()1().axdydz z a dxdyI axdydz z a dxdy a x y z xdydz z a dxdy I I a ∑∑∑∑++==++++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中,12,Dyz DyzDyzI xdydz ∑==-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一个负号是由于在x 轴的正半空间区域∑的上侧方向与x 轴反向；第二个负号是由于被积函数在x 取负数.yz D 为∑在yoz 平面上的投影域222{(,)|,0}yz D y z y z a z =+≤≤,用极坐标,得2102203223320212()2222()(0),333aI d a r a r a a ππθππππ=-=-⋅--=-=-=-⎰⎰⎰(222222002302300042230044411()1(22)2(22)2222123422(3Dxya a a a a a a I z a dxdy a dxdya a d a r rdra a r r dr a a rdr a r dr a r a r a a a a a a aπθππππ∑=+=-=-=-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3),46a π=其中yz D 为∑在yoz 平面上的投影域222{(,)|}yz D y z y z a =+≤.故312.2I I I a π=+=-【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.七、(本题满分6分)【分析】这是n 项和式的极限,和式极限通常的方法就两种：一、把和式放缩,利用夹逼准则求极限；二、把和式转换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题,把两种方法结合到一起来求极限.当各项分母均相同是n 时,n 项和式2sin sinsin n n n n n x nnnπππ=+++是函数sin x π在[0,1]区间上的一个积分和.于是可由定积分1sin xdx π⎰求得极限lim nn x→∞.【解析】由于sinsin sin ,1,2,,11i i i n n n i n n n n iπππ≤≤=⋅⋅⋅++,于是,111sinsin sin 11nn ni i i i i i n n n n nn iπππ===≤≤++∑∑∑.由于 1011sin12limlim sin sin nnn n i i i i n xdx n n n ππππ→∞→∞=====∑∑⎰,10111sin112lim lim sin lim sin sin 11nn nn n n i i i i n i i n xdx n n n n n n πππππ→∞→∞→∞===⎡⎤=⋅===⎢⎥++⎣⎦∑∑∑⎰根据夹逼定理知,1sin2lim1nn i i n n iππ→∞==+∑. 【相关知识点】夹逼准则：若存在N ,当n N >时,n n n y x z ≤≤,且有lim lim n n n n y z a →+∞→+∞==,则lim n n x a →+∞=.八、(本题满分5分)【解析】方法1：因正项数列{}n a 单调减少有下界0,知极限lim n n a →∞存在,记为a ,则n a a ≥且0a ≥.又1(1)nn n a ∞=-∑发散,根据莱布尼茨判别法知,必有 0a >(否则级数1(1)n n n a ∞=-∑收敛).又正项级数{}n a 单调减少,有11,11nnn a a ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭而1011a <<+,级数11()1n n a ∞=+∑收敛.根据正项级数的比较判别法,知级数11()1nn n a ∞=+∑也收敛. 方法2：同方法1,可证明lim 0n n a a →∞=>.令1,1nn n b a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭则11lim1,11n n na a →∞==<++根据根值判别法,知级数11()1nn n a ∞=+∑也收敛. 【相关知识点】1.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥= (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<反之,若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑发散,只是满足条件(1),则可以反证说明此级数一定不满足条件(2)lim 0n n u →∞=,所以有lim 0.n n u →∞>(否则级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛)2.正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则(1)当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；(2)当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；(3)当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.3.根值判别法：设0n u >,则当111, 1, lim 0,1, .n n n n n n n u u u ρ∞=∞→∞=⎧<⎪⎪⎪=>≠⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑时收敛，时发散，且时此判别法无效九、(本题满分6分)【解析】(1)要证0(0,1)x ∃∈,使0100()()x x f x f x dx =⎰；令1()()()x x xf x f t dt ϕ=-⎰,要证0(0,1)x ∃∈,使0()0x ϕ=.可以对()x ϕ的原函数0()()x x t dt ϕΦ=⎰使用罗尔定理：(0)0Φ=,11111111000(1)()()(())()()()0,xx x x x dx xf x dx f t dt dxxf x dx x f t dt xf x dx ϕ==Φ==-⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分部又由()f x 在[0,1]连续()x ϕ⇒在[0,1]连续,()x Φ在[0,1]连续,在(0,1)可导.根据罗尔定理,0(0,1)x ∃∈,使00()()0x x ϕ'Φ==.(2) 由()()()()()2()0x xf x f x f x xf x f x ϕ'''=++=+>,知()x ϕ在(0,1)内单调增,故(1)中的0x 是唯一的.评注：若直接对()x ϕ使用零点定理,会遇到麻烦：1(0)()0,(1)(1)0f t dt f ϕϕ=-≤=≥⎰.当()0f x ≡时,对任何的0(0,1)x ∈结论都成立；当()f x ≡0时,(0)0,ϕ<但(1)0ϕ≥,若(1)0ϕ=,则难以说明在(0,1)内存在0x .当直接对()x ϕ用零点定理遇到麻烦时,不妨对()x ϕ的原函数使用罗尔定理. 【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数()f x 满足 (1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.十、(本题满分6分)【解析】经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相似.由题设知,二次曲面方程左端二次型对应矩阵为111111b A b a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则存在正交矩阵P ,使得 1000010004P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 记,即A B 与相似.由相似矩阵有相同的特征值,知矩阵A 有特征值0,1,4.从而,211014,3, 1.(1)0.a a b A b B ++=++⎧⎪⇒==⎨=--==⎪⎩从而,111131.111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当10λ=时,()1110131111E A ---⎡⎤⎢⎥-=---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦1(1)23⨯-行分别加到，行111020000---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 于是得方程组(0)0E A x -=的同解方程组为12320,20.x x x x ---=⎧⎨-=⎩(0)2r E A -=,可知基础解系的个数为(0)321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选1x 为自由未知量,取11x =,解得基础解系为1(1,0,1).Tα=-当21λ=时,()011121110E A --⎡⎤⎢⎥-=---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3(1)2⨯-加到行011011110--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 1(1)2⨯-行加到行011000110--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦23，行互换011110000--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 于是得方程组()0E A x -=的同解方程组为23120,0.x x x x --=⎧⎨--=⎩()2r E A -=,可知基础解系的个数为()321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选1x 为自由未知量,取11x =,解得基础解系为2(1,1,1).Tα=-当34λ=时,()3114111113E A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦12，行互换111311113--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 1行的3,(-1)倍分别加到2，3行111024024--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦23行加到行111024000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,于是得方程组(4)0E A x -=的同解方程组为123230,240.x x x x x -+-=⎧⎨-=⎩(4)2r E A -=,可知基础解系的个数为(4)321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选2x 为自由未知量,取22x =,解得基础解系为3(1,2,1).Tα=由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,可知123,,ααα相互正交. 将123,,ααα单位化,得111222333,,.TTTαηααηααηα======因此所求正交矩阵为0P ⎡⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎣. 评注：利用相似的必要条件求参数时,iiiia b=∑∑是比较好用的一个关系式.亦可用E A E B λλ-=-比较λ同次方的系数来求参数.【相关知识点】1.特征值的性质：11nni iii i aλ===∑∑2.相似矩阵的性质：若矩阵A B 与相似,则A B =.十一、(本题满分4分)【解析】用线性无关的定义证明.设有常数011,,,,k λλλ-⋅⋅⋅使得10110.()k k A A λαλαλα--++⋅⋅⋅+=*两边左乘1k A-,则有()110110k k k A A A λαλαλα---++⋅⋅⋅+=,即 12(1)0110k k k k A A Aλαλαλα---++⋅⋅⋅+=. 上式中因0kA α=,可知()2110k k A A αα-+===,代入上式可得100.k A λα-=由题设10k Aα-≠,所以00.λ=将00λ=代入()*,有1110k k A A λαλα--+⋅⋅⋅+=.两边左乘2k A-,则有 ()21110k k k A A A λαλα---+⋅⋅⋅+=,即123110k k k A A λαλα---+⋅⋅⋅+=.同样,由0kA α=,()2110k k A A αα-+==,可得110.k A λα-=由题设10k Aα-≠,所以10.λ=类似地可证明210,k λλ-=⋅⋅⋅==因此向量组1,,,k A A ααα-⋅⋅⋅是线性无关的. 【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k 使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．十二、(本题满分5分) 【解析】()II 的通解为1122n n k k k ξξξ++⋅⋅⋅+,其中,111121,2(,,,),Tn a a a ξ=⋅⋅⋅221222,2(,,,),,T n a a a ξ=⋅⋅⋅12,2(,,,)T n n n n n a a a ξ=⋅⋅⋅,12,,,n k k k ⋅⋅⋅为任意常数.理由：可记方程组22()0,()0,n n n n I A X II B Y ⨯⨯==()I ,()II 的系数矩阵分别记为,A B ,由于B 的每一行都是20n n A X ⨯=的解,故0T AB =.TB 的列是()I 的基础解系,故由基础解系的定义知,TB 的列向量是线性无关的,因此()r B n =.故基础解系所含向量的个数2()n n r A =-,得()2r A n n n =-=.因此,A 的行向量线性无关.对0TAB =两边取转置,有()0TT T ABBA ==,则有T A 的列向量,即A 的行向量是0BY =的线性无关的解.又()r B n =,故0BY =基础解系所含向量的个数应为2()2n r B n n n -=-=,恰好等于A 的行向量个数.故A 的行向量组是0BY =的基础解系,其通解为1122n n k k k ξξξ++⋅⋅⋅+,其中,111121,2(,,,),Tn a a a ξ=⋅⋅⋅221222,2(,,,),,T n a a a ξ=⋅⋅⋅12,2(,,,)T n n n n n a a a ξ=⋅⋅⋅,12,,,n k k k ⋅⋅⋅为任意常数.十三、(本题满分6分)【分析】把X Y -看成一个随机变量,根据独立正态随机变量的线性组合必然为正态分布的性质,可以知道N(0,1)X Y-,这样可以简化整题的计算.【解析】令Z X Y =-,由于,X Y 相互独立,且都服从正态分布,因此Z 也服从正态分布,且()()()0E Z E X E Y =-=,11()()()122D Z D X D Y =+=+=. 于是,(0,1)Z X Y N =-~.()()()()()()()22222()1.D X Y D ZE ZE Z D Z E Z E ZE Z-==-=+-=-而2222z z E Z z dz ze dz +∞+∞---∞==⎰222222z z z ed e +∞+∞--⎡⎤⎛⎫==-=⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦ 故21.D X Y π-=-【相关知识点】1.对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.2.方差的定义：22()DX EX EX =-.3.随机变量函数期望的定义：若()Y g X =,则()()EY g x f x dx +∞-∞=⎰.十四、(本题满分4分) 【解析】由题知：212,,,~(3.4,6)n X X X N ,11nn i i X X n ==∑,各样本相互独立,根据独立正态随机变量的性质,211~(,)n n i i X X N n μσ==∑.其中11n n i i EX E X n μ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑,211n n i i DX D X n σ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑.根据期望和方差的性质,1122222211111 3.4 3.4,11166.n nn i i i i n n nn i i i i i i n EX E X EX n n n n DX D X D X DX n n n n n μσ=====⎛⎫===== ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑所以,2116~(3.4,)n n i i X X N n n ==∑.把n X 标准化,~(0,1)X U N =. 从而,{}{}{}{}1.4X 5.4 1.4 3.4X 3.4 5.4 3.42X 3.42X 3.42210.95,P P P P P <<=-<-<-=-<-<=-<=<=Φ-≥⎝⎭⎪⎩⎭故0.975,3⎛⎫Φ≥⎪ ⎪⎝⎭查表得到 1.96,3≥即()21.96334.57,n ≥⨯≈所以n 至少应取35. 【相关知识点】1.对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数. 2.若2~(,)Z N u σ,则~(0,1)Z uN σ-十五、(本题满分4分)【解析】设该次考试的考生成绩为X ,则2~(,)X N μσ,设X 为从总体X 抽取的样本容量为n 的样本均值,S 为样本标准差,则在显著性水平0.05α=下建立检验假设：001:70,:70,H H μμμ==≠由于2σ未知,故用t 检验.选取检验统计量,X T ==在070μμ==时,2~(70,),~(35).X N T t σ 选择拒绝域为{}R T λ=≥,其中λ满足：{}0.05P T λ≥=,即{}0.9750.975,(35) 2.0301.P T t λλ≤===由0 36,66.5,70,15,n x s μ====可算得统计量T 的值：1.42.0301t ==<.所以接受假设0:70H μ=,即在显著性水平0.05下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) 0x →= .(2) 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = .(3)2ln sin sin xdx x =⎰ .(4) 设()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-=⎰ . (5) 曲线1ln()(0)y x e x x=+>的渐近线方程为 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞=,则下列断言正确的是 ( )(A) 若n x 发散,则n y 发散 (B) 若n x 无界,则n y 必有界 (C) 若n x 有界,则n y 必为无穷小 (D) 若1nx 为无穷小,则n y 必为无穷小 (2) 函数23()(2)f x x x x x =---的不可导点的个数是 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (3) 已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy xα∆∆=++其中α是比(0)x x ∆∆→高阶的无穷小,且(0),y π=,则(1)y = ( ) (A) 4e ππ (B) 2π (C) π (D) 4e π (4) 设函数()f x 在x a =的某个邻域内连续,且()f a 为其极大值,则存在0δ>,当(,)x a a δδ∈-+时,必有 ( )(A) ()[()()]0x a f x f a --≥ (B) ()[()()]0x a f x f a --≤(C) 2()()lim0()()t af t f x x a t x →-≥≠- (D) 2()()lim 0()()t a f t f x x a t x →-≤≠- (5) 设A 是任一(3)n n ≥阶方阵,A *是其伴随矩阵,又k 为常数,且0,1k ≠±,则必有()kA *= ( )(A) kA *(B) 1n k A -* (C) n k A * (D) 1k A -*三、(本题满分5分)求函数tan()4()(1)x x f x x π-=+在区间(0,2)π内的间断点,并判断其类型.四、(本题满分5分)确定常数,,a b c 的值,使30sin lim(0).ln(1)x x b ax xc c t dtt →-=≠+⎰五、(本题满分5分)利用代换cos u y x=将方程cos 2sin 3cos xy x y x y x e '''-+=化简,并求出原方程的通解.六、(本题满分6分)计算积分312⎰七、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y (从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m ,体积为B ,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0)k k >.试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式()y =f v .八、(本题满分8分)设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1) 试证存在0(0,1)x ∈,使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在0[,1]x 上以()y f x =为曲边的梯形面积.(2) 又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()()f x f x x'>-,证明(1)中的0x 是唯一的.九、(本题满分8分)设有曲线y =过原点作其切线,求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.十、(本题满分8分)设()y y x =是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(,)x y,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为1y x =+,求该曲线的方程,并求函数()y y x =的极值.十一、(本题满分8分)设(0,1)x ∈,证明： (1) 22(1)ln (1);x x x ++< (2)11111.ln 2ln(1)2x x -<-<+十二、(本题满分5分)设11(2)TE C B A C ---=,其中E 是4阶单位矩阵,TA 是4阶矩阵A 的转置矩阵,1232120101230120,,0012001200010001B C --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求A .十三、(本题满分8分)已知123(1,4,0,2),(2,7,1,3),(0,1,1,),(3,10,,4)T T T Ta b αααβ===-=,问：(1) ,a b 取何值时,β不能由123,,ααα线性表示？(2) ,a b 取何值时,β可由123,,ααα线性表示？并写出此表达式.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】14-【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式22x→=24x →-=)221lim4x x →=2220112112lim 24x x xx →-- =-.方法2：采用洛必达法则.原式)()022limx x →''洛0x →= 0x →=0x →=0x → 洛 14==-.方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至2x 项,()22111128x x o x =+-+()22211128x x o x =--+, 从而 原式()()2222122011111122828lim x x x o x x x o x x →+-++--+-= ()()222122014lim x x o x o x x →-++=14=-. (2)【答案】3712【分析】求曲线与x 轴围成的图形的面积,应分清楚位于x 轴上方还是下方,为此,要先求此曲线与x 轴交点.【解析】322y x x x =-++与x 轴的交点,即322(2)(1)0x x x x x x -++=--+=的根。
2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷
2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷电子科技大学研究生试卷（考试时间： 14点 至 16 点 ，共 2小时）课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式： （学生填写）1．把方程22222320u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂化为标准型，指出其类型，求出其通解. (10分)2.设定解问题：(10分)2000(),0,0,,0(),(),0.tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ϕψ====⎧-=<<>⎪⎪==>⎨⎪==≤≤⎪⎩将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。
学 号 姓 学 院 教 座位……………………密……………封……………线……………以……………第 1页3．长为l 的均匀细杆，其侧面与左端保持零度，右端绝热，杆内初始温度分布为()x ϕ，求杆内温度分布(,)u x t .(20分)4．求下面的定解问题：（10分）22009,(,0)18,sin 18tttxx t t t u u x e x R t u x x u x ==⎧-=∈>⎪⎨=++=+⎪⎩.第2页5．求22cos()a e x d ϖτϖϖ+∞-⎰.（10分）6． 22223()(22)(25)s s F s s s s s ++=++++，求Laplace 逆变换1(())L F s -.（10分）第3页7．写出球形域的Dirichlets 问题对应的：(1) Green 函数及其定解问题. (2) Green 函数相对于边界外侧的方向导数.（10分）8．设n ϖ(n=1,2,…)是0()0J x =的所有正根，将函数2()1(01)f x x x =-<<展开为Bessel 函数0()n J x ϖ的级数.（10分）9．（1）写出Legendre 多项式的一般形式或罗德利克表示形式； （2）将函数2()23,1f x x x x =++≤用Legendre 多项式展开.（10分）第4页。
1998考研数四真题及解析[精品文档]
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1998年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.)(1) 设曲线()nf x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ则lim ()n n f ξ→∞=________.(2)2ln 1x dx x -=⎰____________.(3) 设矩阵,A B 满足*28A BA BA E =-,其中100020001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,E 为单位矩阵,*A 为A的伴随矩阵,则B =____________.(4) 设,A B 均为n 阶矩阵,2,3A B ==-,则*12A B -=____________.(5) 设一次试验成功的概率为p ,进行100次独立重复试验,当p =____________时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为____________.(注：第一空2分,第二空1分)二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设周期函数()f x 在(),-∞+∞内可导,周期为4,又0(1)(1)lim12x f f x x→--=-,则曲线()y f x =在点()5,(5)f 处的切线的斜率为 ( )(A)12(B) 0 (C) 1- (D) 2- (2) 设函数21()lim 1nn xf x x →∞+=+,讨论函数()f x 的间断点,其结论为 ( )(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点1x = (C) 存在间断点0x = (D) 存在间断点1x =-(3) 若向量组,,αβγ线性无关,,,αβδ线性相关,则 ( )(A) α必可由,,βγδ线性表示 (B) β必不可由,,αγδ线性表示 (C) δ必可由,,αβγ线性表示 (D) δ必不可由,,αβγ线性表示 (4) 设,,A B C 是三个相互独立的随机事件,且0()1P C <<,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是 ( ) (A) A B C +与 (B) AC C 与 (C) A B C -与 (D) AB C 与(5) 设1()F x 与2()F x 分别为随机变量12X X 与的分布函数.为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ( )(A) 32,55a b ==- (B) 22,33a b == (C) 13,22a b =-= (D) 13,22a b ==-三、(本题满分6分)求21lim(tan )n n n n→∞(n 为自然数).四、(本题满分6分)设arctan22()y xz x y e-=+,求dz 与2zx y∂∂∂.五、(本题满分5分)设22{(,)|}D x y x y x =+≤,求D.六、(本题满分6分)设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定0t =)就售出,总收入为0R (元).如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,t 年末总收入为0R R =.假定银行的年利率为r ,并以连续复利计算,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求0.06r =时的t 值.七、(本题满分6分)设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()()1f a f b ==,试证存在,(,)a b ξη∈,使得[()()]1e f f ηξηη-'+=.八、(本题满分9分)设直线y ax =与抛物线2y x =所围成图形的面积为1S ,它们与直线1x =所围成的图形面积为2S ,并且1a <.(1) 试确定a 的值,使12S S +达到最小,并求出最小值.(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.九、(本题满分9分)设向量12(,,,)T n αααα=,12(,,,)T n b b b β=都是非零向量,且满足条件0T αβ=.记n 阶矩阵TA αβ=,求：(1) 2A ；(2) 矩阵A 的特征值和特征向量.十、(本题满分7分)已知下列非齐次线性方程组(Ⅰ) 1241234123264133x x x x x x x x x x --=-⎧⎪---=⎨⎪--=⎩ (Ⅱ) 123423434521121x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪--=-⎨⎪-=-+⎩(1) 求解方程组(I),用其导出组的基础解系表示通解；(2) 当方程组(II)中的参数,,m n t 为何值时,方程组(I)与(II)同解.十一、(本题满分8分)设某种商品每周的需求量X 是服从区间[1030],上均匀分布的随机变量,而经销商店进货数量为区间[1030],中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元；若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元.为使商品所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.十二、(本题满分8分)某箱装有100件产品,其中一、二和三等品分别为80、10和10件,现在从中随机抽取一件,记1,(1,23)0,i i X i ⎧==⎨⎩若抽到等品,其他.,试求：(1) 随机变量1X 与2X 的联合分布；(2) 随机变量12X X 和的相关系数ρ.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】1e【解析】曲线ny x =在点(1,1)处的切线斜率1x y ='()1nx x='=11n x n x n -===,根据点斜式,切线方程为：1(1).y n x -=-令0y =,代入1(1)y n x -=-,则11x n =-,即在x 轴上的截距为11n n ξ=-, lim ()n n f ξ→∞lim n n n ξ→∞=1lim(1)n n n →∞=-()()11lim(1)x x x --→∞=-1e=.(2)【答案】ln xC x-+【解析】由分部积分公式,2ln 1x dx x -⎰()1ln 1x dx x '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰()1ln 1x d x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰ ln 11(ln 1)x d x x x - -+-⎰分部2ln 11x dx x x-=-+⎰ ln 11x dx x x '-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰ln 11x C x x -=--+ln x C x =-+. 【相关知识点】分部积分公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则,uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或者.udv uv vdu =-⎰⎰(3)【答案】200040002⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】由题设 *28A BA BA E =-,由于20A =-≠,所以A 可逆.上式两边左乘A ,右乘1A -,得*11128AA BAA ABAA AA ---=-28A B AB E =-(利用公式：*1,AA A E AA E -==) 28A B AB E -=-(移项)()28A E A B E -=-(矩阵乘法的运算法则)将2A =-代入上式,整理得()14E A B E +=. 由矩阵可逆的定义,知E A +,B 均可逆,且()114B E A --=+11002002401040100021002-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦200040002⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(4)【答案】2123n --【解析】,A B 均为n 阶矩阵,且20,30A B =≠=-≠,故,A B 均为n 阶可逆矩阵,则有*12A B -*12A B -=(利用公式：AB A B =)*12n A B -=(利用公式：n kA k A =) 112n n AB --=(利用公式：1*n A A-=)112n n AB -=(利用公式：11B B-=) 2123n -=-.(代入2,3A B ==-)(5)【答案】1,52【解析】100次独立重复试验,每次试验结果不是成功就是失败,则成功次数X 服从二项分布(100,)B p ,X=因为()f x =在[0,)+∞上单调递增,所以求的最大值即是求()(1)g p p p =-的最大值,而()10g p p p '=--=⇒驻点为12p =.()20g p ''=-<,所以12p =为极大值点,由函数图像知12p =即为最大值点.此时11()24g =.5==.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】根据导数定义：()0()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆0(1)(1)lim 2x f f x x →--01(1)(1)lim 2x f x f x →--=-1(1)2f '=1=- 所以 0(1)(1)(1)lim 2.x f x f f x→--'==--因为()f x 周期为4,()f x '的周期亦是4,即()(4)f x f x ''=+, 所以(5)f '(14)f '=+(1)2f '==-.所以曲线()y f x =在点()5,(5)f 处的切线的斜率为(5)f '(1)2f '==-.选(D). (2)【答案】(B)【分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该()f x 的(分段)表达式,然后再讨论()f x 的性质.不能隔着极限号去讨论. 【解析】现求()f x 的(分段)表达式： 当1x >时,21()lim 1n n xf x x →∞+=+2122lim 1n n n n x x x ---→∞+=+()()2122lim 01lim 1n n n n n x x x --→∞-→∞+==+0=； 当1x =时,21()lim1n n x f x x →∞+=+211lim 11n n →∞+=+22=1=；当1x =-时,21()lim1n n x f x x →∞+=+()211lim 11n n →∞-=+-02=0=； 当1x <时,21()lim 1n n x f x x →∞+=+()()2lim 1lim 1n n n x x →∞→∞+=+2011n x x →+ 1x =+. 由此, 0,1,0,1,()1,1,1,1,0,1.x x f x x x x x <-⎧⎪=-⎪⎪=+<⎨⎪=⎪>⎪⎩当当当当当 即0,11,()1,1,1, 1.x x f x x x x ≤->⎧⎪=+ <⎨⎪ =⎩当或当当 再讨论函数()f x 的性质：在1x =-处,()1lim x f x +→-()1lim 1x x +→-=+11=-0=,()()1lim 10x f x f -→-=-=,所以,()()11lim lim 0x x f x f x +-→-→-==,函数()f x 在1x =-处连续,不是间断点.在1x =处,()1lim x f x +→1lim 0x +→=0=；()1lim x f x -→()1lim 1x x -→=+2=； 所以()1lim x f x +→()1lim x f x -→≠,函数()f x 在1x =处不连续,是第一类间断点.故选(B). (3)【答案】(C)【解析】方法1：由向量组,,αβγ线性无关,知,αβ线性无关.又因,,αβδ线性相关,故δ必可由,αβ线性表出,因此δ必可由,,αβγ线性表示,从而选(C).方法2：由题设向量组,,αβγ线性无关(),,3r αβγ⇔=,同时,由整体线性无关,任何部分也线性无关,知,αβ也线性无关(),2r αβ⇔=. 又由,,αβδ线性相关(),,3r αβδ⇔<,所以,(),,2r αβδ=. 故()(),,,,3r r αβγαβγδ=⎡⎤=⎣⎦,故方程组123x x x αβγδ++=有解,则δ可由,,αβγ线性表出. 【相关知识点】1、定理：若12,,,s ααα线性无关,12,,,,s αααβ线性相关,则β可由12,,,s ααα线性表出,且表示法唯一.2、整体线性无关,任何部分也线性无关.3、非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,方程组Ax b =有唯一解()().r A r A n ⇔==4、定理：β能由12,,,s ααα线性表出⇔,1,2,,i i s αβ=为列向量的非齐次线性方程组1122s s x x x αααδ+++=有解.(4)【答案】B【解析】相互独立的随机事件12,,,n A A A 中任何一部分事件,包括它们的和、差、积、逆等运算的结果必与其他一部分事件或它们的运算结果都是相互独立的.所以(A)、(C)、(D)三对事件必为相互独立的.当{}{}1,0P C P AC <>时,如果AC 与C 独立,即AC 与C 也独立,则有{}{}{}P AC C P AC P C =,也就是说 {}{}{}{}P AC P ACC P AC P C ==.因为{}0P AC >,等式两边同除以{}P AC ⇒{}1P C =,与题目已知条件矛盾. 所以AC 与C 不独立. (5)【答案】A【解析】根据分布函数的性质,lim ()()1x F x F →+∞=+∞=,得121lim ()()()()x F x F aF bF a b →+∞==+∞=+∞-+∞=-.只有A 满足1a b -=,所以选A.【相关知识点】分布函数()F x 的性质： (1) ()F x 单调不减；(2) lim ()()0,lim ()()1;x x F x F F x F →-∞→+∞=-∞==+∞=(3) ()F x 是右连续的.三、(本题满分6分)【解析】此数列的极限可改为考虑函数的极限210tan lim x x x x +→⎛⎫⎪⎝⎭. 因为0tan lim 1,x x x+→=201lim x x +→=∞,故此为“1∞”型极限. 方法1： 21tan x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭21tan 11x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3tan tan tan 1x x xx x x x x x -⋅--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,而 223222000tan sec 11cos lim lim lim 33cos x x x x x x xx x x x+++→→→---=洛 2220sin lim 3cos x x x x +→=220sin lim 3x x x +→=220lim 3x x x +→ 等价13=, 根据重要极限()10lim 1xx x e →+=,所以tan 0tan lim 1xx xx x x x +-→-⎛⎫+ ⎪⎝⎭tan x xt x-=()10lim 1tt t →+e =所以,32tan 1tan 00tan tan lim lim 1x xx xx xxx x x x x x x ++--→→⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦30tan limtan 0tan lim 1x x x x x x xx x x x +→+--→⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦13e =所以, 21lim(tan )n n n n→∞210tan lim x x x x +→⎛⎫= ⎪⎝⎭13e =. 方法2: 210tan lim x x x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭12tan ln 0lim x x x x e +⎛⎫ ⎪⎝⎭→=21tan ln 0lim x x x x e +⎛⎫⎪⎝⎭→=201tan limln x x x x e+→⎛⎫⎪⎝⎭=其中 22001tan 1tan lim ln lim ln 1x x x x x x x x x ++→→-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20tan tan ln 11tan lim x x x x x xxx x x x +→--+-⎛⎫⎛⎫ ⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭223222000tan sec 11cos lim lim lim 33cos x x x x x x xx x x x +++→→→---==洛 2220sin lim 3cos x x x x +→=220sin lim 3x x x +→=220lim 3x x x +→ 等价13=, 从而 21130tan lim ,x x x e x +→⎛⎫= ⎪⎝⎭2131lim(tan )n n n e n→∞=.【相关知识点】一般地,对于形如()()v x u x ()()()0,1u x u x >且不恒等于的函数,如果()()lim 0,lim u x a v x b => =,那么 ()()lim v x b u x a =.四、(本题满分6分) 【解析】 arctanarctan2222()()()y y xxdz ed x y x y d e--=+++[]arctan22arctan222arctan22arctan22()(arctan )122()()1()22(2)(2)y xyxy xy xy exdx ydy x y d x y exdx ydy x y d y x x xdy ydx e xdx ydy x x ex y dx y x dy ----⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=+-+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦-⎡⎤=+-⋅⎢⎥⎣⎦=++-由全微分与偏微分的关系可知,其中dx 的系数就是z x∂∂,即arctan (2)yxz x y ex -∂=+∂.再对y 求偏导数,得222arctanarctanarctan 222211(2).1yyyxxxzy xy x e x y ee y x yxx y x ---⎛⎫⎪∂--=-+= ⎪∂∂+ ⎪+⎪⎝⎭五、(本题满分5分)【解析】22{(,)}D x y x y x =+≤表示圆心为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为12的圆及其内部,画出区域D ,如右图. 方法1:{(,)|01,D x y x y =≤≤≤≤所以, 1102D===⎰⎰⎰,t =,则21x t =-,2dx tdt =-,:10t →所以上式1350122210082(1)(2)4(1)43515t t t t t dt t t dt ⎛⎫=-⋅-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰.方法2:引入极坐标系cos ,sin x r y r θθ= =,于是(,)|,0cos 22D r r ππθθθ⎧⎫=-≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭,3cos cos 2222232048cos .515Dd r drd ππθθπππθθθθ--====⎰⎰⎰⎰⎰其中倒数第二步用了华里士公式：21342cos 1253n n n d n n πθθ--=⋅⋅⋅⋅⋅-⎰,其中n 为大于1的正奇数.六、(本题满分6分)【分析】根据连续复利公式,在年利率为r 的情况下,现时的A (元)在t 时的总收入为()e rt R t A =,反之,t 时总收入为()R t 的现值为()()ertA t R t -=,将0R R =入的现值与窖藏时间t 之间的关系式,从而可用微分法求其最大值.【解析】由连续复利公式知,这批酒在窖藏t 年末售出总收入R 的现值为()e rt A t R -=,而由题设,t 年末的总收入0R R =,据此可列出()A t ：0()ert rtA t R R -==,令 dAdt 0rtd R dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭00rtR r ⎫==⎪⎭, 得惟一驻点 02125t t r ==. 22d A dtd dA dt dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭0rtd R r dt ⎛⎫⎫= ⎪⎪⎭⎝⎭00rtrtd d R r R r dt dt ⎛⎫⎫⎫=⋅-+- ⎪⎪⎪⎭⎭⎝⎭200rt rtR r R ⎛⎫⎫=-+ ⎪⎭⎝20rt R r ⎡⎤⎫=-⎢⎪⎭⎢⎣1232502(12.5)0r t td AR e r dt ==-<. 根据极值的第二充分条件,知：0t t =是()A t 的极大值点,又因驻点惟一,所以也是最大值点.故窖藏2125t r =年出售,总收入的现值最大.当0.06r =时, ()21250.06t =⋅100119=≈(年). 【相关知识点】极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=,0()0f x ''≠,当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极大值；当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极小值.七、(本题满分6分)【分析】本题中要证的结论中出现两个点ξ和η,这种问题一般要将含有ξ和η的分别移到等式两边,即本题只要证[()()]e f f e ηξηη'+=.由等式左端不难看出应考虑辅助函数()()x F x e f x =.【解析】方法一:令()()x F x e f x =,则()F x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在(,)a b η∈,使[]()()()()()b a x x e f b e f a e f x e f f b aηηηη=-''⎡⎤==+⎣⎦-.由条件()()1f a f b ==,得[]()()b ae e ef f b aηηη-'=+-. 再令()x x e ϕ=,则()x ϕ在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在(,)a b ξ∈,使得b ae e e b aξ-=-,从而有[]()()e e f f ξηηη'=+, 即 [()()]1e f f ηξηη-'+=.方法二:由于本题中没有作ξη≠的要求,因此,可取ξη=,即只要证明存在(,)a b η∈,使()()1f f ηη'+=即可.作()x ϕ使()x ϕ满足罗尔定理条件,即()x ϕ在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,()()a b ϕϕ=,且()()()1x f x f x ϕ''=+-,或()()()()1(),()0x f x f x x x ϕψψ''=+-≠.用“微分方程法”构造()x ϕ,将()()10f x f x '+-=看成一个微分方程,分离变量,得()()1df x dx f x =--,两边积分,得 1ln ()1,f x x C -=-+ 化简,得 1()1,C x f x e e --=去掉绝对值符号,并改写常数,得()()1x f x e C -=. 令 ()()()1x x f x e ϕ=-,则()()()()1x x e f x f x ϕ''=+-,符合当初设想的要求,又()()1f a f b ==,所以()()()()10,()()10,a b a f a e b f b e ϕϕ=-==-=满足罗尔定理条件,故存在(,)a b η∈使()0ϕη'=,即()()()10e f f ηηη'+-=,又0e η≠,所以()()10,f f ηη'+-=或写成()()1f f ηη'+=.令ξη=,01e e ηξ-==,于是有[()()]1e f f ηξηη-'+=.八、(本题满分9分)【分析】为解决(2)首先要求出(1)中的a .为求a ,需根据01a <<和0a ≤两种情况分别求出对应的1S 和2S ,利用导数方法判定12S S +的极小值点,然后比较两种情况下12S S +的最小值,从而确定a .【解析】(1)因为题中仅设1a <,所以还应分01a <<与0a ≤讨论.当01a <<时,如下图1,y ax =与2y x =的交点(0,0)与2(,)a a .()223310011236aaaS ax x dx x x a ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰,()1123232111,32326a a a a S x ax dx x x a ⎡⎤=-=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰31211.323a S S S a =+=-+求S 的极值,令2102S a '=-=,得a =a =舍去)()01a <<.又0,S ''=>根据极值的第二充分条件,当a =S 为极小值.因驻点惟一,故当a =S 为最小.311min 33S S ==-+⎝⎭⎝⎭图1 图2再考虑0a ≤时的情况.如上图2,此时,()02233111,236a a aS ax x dx x x a ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰()1123220011,3232a a S x ax dx x x ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰31211.326a S S S a =+=--22111(1)0,222S a a '=--=-+<因此,在0a ≤范围内,S 单调减,故当0a =时S 取最小值,()min 0S S =1010326=--⋅1.3=1,3<所以当a =S 取得最小值,. (2)当a =,计算该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.根据旋转体体积公式,有()()1224401235523053553411,1556aa a a V ax x dx x ax dxa x x x a x a πππππππ⎡⎤⎡⎤=-+-⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-⎰⎰其中2a =代入a ,经计算,V =. 【相关知识点】1、极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=,0()0f x ''≠,当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极小值.2、由连续曲线()y f x =、直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积为：2()baV f x dx π=⎰.九、(本题满分9分)【解析】(1)对等式0Tαβ=两边取转置,有()0TTT αββα==,即0T βα=.利用0Tβα=及矩阵乘法的运算法则,有()22T T T A αβαβαβ==()00T T T T αβαβαβαβ===0=,即2A 是n 阶零矩阵.(2)设λ是A 的任一特征值,(0)ξξ≠是A 属于特征值λ的特征向量,即A ξλξ=.对上式两边左乘A 得2A ξ()()A A λξλξλλξ===2λξ=,由(1)的结果20A =,得220A λξξ==,因0ξ≠,故0λ=(n 重根),即矩阵的全部特征值为零.下面求A 的特征向量：先将A 写成矩阵形式[]1111212212221212,,,n n Tn n n n n n a a b a b a b a a b a b a b A b b b a a b a b a b αβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.不妨设110,0a b ≠≠,则有111212122212(0)n n n n n n a b a b a b a b a ba b E A a b a b a b ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦12212221121()n n n n n n b b b a b a ba b a a b a b a b ⎡⎤⎢⎥---⎢⎥÷-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦行1(2,,)i a i i n ⨯=行加到行1200000n b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是得方程组(0)0E A x -=同解方程组11220n n b x b x b x +++=,这样基础解系所含向量个数为(0)1n r E A n --=-.选2,,n x x 为自由未知量,将它们的组值111(,0,,0),(0,,,0),(0,0,,)b b b 代入,可解得基础解系为12123111(,,0,,0),(,0,,,0),,(,0,0,,)n n b b b b b b ξξξ-=-=-=-则A 的属于0λ=的全部特征向量为112211n n k k k ξξξ--+++,其中121,,,n k k k -为不全为零的任意常数.十、(本题满分7分)【分析】所谓两个方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解,即(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也全是(Ⅰ)的解.若{(Ⅰ)的解}⊂{(Ⅱ)的解},且r {(Ⅰ)的解}=r {(Ⅱ)的解}s =,则r {(Ⅰ)的解,(Ⅱ)的解}s =,那么{(Ⅱ)的解}⊂{(Ⅰ)的解}.【解析】(1)对方程组(Ⅰ)的增广矩阵作初等行变换,有110264111131103A --⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦11026()0517********a --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 11026()01014041621b --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 11026()0101400125c --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中,()a 变换：将第1行分别乘以(-4)、(-3)加到第2行、第3行；()b 变换：将第3行乘以(-1)加到第2行；()c 变换：将第2行乘以(-4)加到第3行.由于()()34r A r A ==<,则由非齐次线性方程组有解的判定定理知,方程组(Ⅰ)有无穷多解.方程组(Ⅰ)对应齐次方程组的同解方程组为124243420,0,20.x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 选4x 为自由未知量,取41x =,求得对应齐次方程的基础解系为[]1,1,2,1Tξ=；取40x =,求得方程组(Ⅰ)的特解为[]2,4,5,0Tη*=---.故方程组(Ⅰ)的通解为k ξη*+,其中k 是任意常数. (2) 将方程组(Ⅰ)的通解122144252510k k k k k k ξη*--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦代入到方程组(Ⅱ)中,整理得(2)(4)0,(4)(4)0,6.m k n k t --=⎧⎪--=⎨⎪=⎩因为k 是任意常数,故2,4,6m n t ===.此时方程组(Ⅰ)的解全是方程组(Ⅱ)的解(任意常数k 无关).此时,方程组(Ⅱ)的增广矩阵1211504121100125B ---⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,显然()()()()3r B r B r A r A ====.所以r {(Ⅰ)的解}=r {(Ⅱ)的解}=r {(Ⅰ)的解,(Ⅱ)的解}.因此,(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解,从而(Ⅰ)与(Ⅱ)同解. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组)设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则（1） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< （3） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.十一、(本题满分8分)【解析】需求量X 在区间[10,30]上服从均匀分布,其概率密度为1,1030,()200,X x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他. 设进货量为a ,则销售所得利润与需求量有关.当X a >时,进货量全售出得利润500a ,差额从外调剂获利润()300X a -； 当X a ≤时,销售得利润500X ,多余数量作削价处理亏损了()100a X -. 所以利润函数为：()()500300,30,(;)500100,10300200,30,600100,10a X a a X g X a X a X X a X a a X X a X a +-<≤⎧⎪=⎨--≤≤⎪⎩+<≤⎧=⎨-≤≤⎩..再求得数学期望为：[]()()30102(;)(;)()1160010030020020207.53505250.X aa E g X a g x a f x dxx a dx x a dx a a +∞-∞==-⋅++⋅=-++⎰⎰⎰由题意利润期望值不少于9280元,所以由27.535052509280a a -++≥,用因式分解法解此不等式有22026,3a ≤≤因为a 为整数,所以21a =为最小进货量.十二、(本题满分8分)【解析】(1)12(,)X X 是二维离散型随机变量,其可能的取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).当120,0X X ==时,说明随机抽取的一件不是一等品,也不是二等品,则必为三等品,所以事件概率 {}120,0P X X =={}310.1,P X === 类似地, {}{}1220,110.1;P X X P X ====={}{}1211,010.8;P X X P X ====={}{}121,10.P X X P ===∅=所以得到联合分布如下：(2) 由上知,1X ,2X 的边缘分布均为01-分布,由01-分布的数学期望和方差公式得1122111222{1}0.8,{1}0.1;{1}{0}0.80.20.16,{1}{0}0.10.90.09.EX P X EX P X DX P X P X DX P X P X ==========⨯=====⨯= 二者乘积的数学期望和协方差为：12()000.1010.1100.81100,E X X =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 121212(,)()()()0.08,Cov X X E X X E X E X =-=-所以由相关系数公式得23ρ===-.2X1X0 1jp 0 1 0.1 0.1 0.8 0 i p0.9 0.10.2 0.8。
1998年考研数学三真题及全面解析.docx
1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 把答案填在题中横线上 .)(1) 设曲线 f ( x)x n在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点为 (n ,0) , 则 lim f (n ).n(2)ln x 1dx.x 2(3) 差分方程 2 y t 110 y t 5t0 的通解为.1 0 0(4)设矩阵 A, B 满足 A * BA 2BA8E , 其中 A0 2 0 , E 为单位矩阵 , A *为 A0 01的伴随矩阵 , 则 B.(5) 设 X 1, X 2 , X 3, X 4 是来自正态总体 N 0,22的简单随机样本 ,X a X 1 2 X 2 2b 3X 3 4X 42ab时 , 统计量 X 服从2分布 ,. 则当 ,其自由度为.二、选择题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 共 15 分 . 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 .)(1)f x,内可导 , 周期为 4.f 1f 1 x1, 则曲线设周期函数在又 lim2xxyf x 在点 5, f 5 处的切线的斜率为( )(A)1 (B)(C)1(D)221 x2n , 讨论函数 f(2) 设函数 fxlim x 的间断点 , 其结论为()n1 x(A)(B)存在间断点 x 1不存在间断点(C) 存在间断点 x 0 (D)存在间断点 x 1x 1 x 22x 3 0,(3) 齐次线性方程组x 1 x 2x 3 0, 的系数矩阵记为 A . 若存在三阶矩阵B 0 使得x 1 x 2x 3AB 0, 则( )(A)2 且 | B | 0 (B)2 且 | B | 0(C)1 且 | B | 0(D)1 且 | B | 0(4) 设 n n 3 阶矩阵1a a L aa1a L aA a a1L a,M M M Ma a a L1若矩阵 A 的秩为 n 1, 则a必为( )(A)1(B)1(C)1(D)1 1 n n 1(5) 设F1( x)与F2( x)分别为随机变量X1与 X2的分布函数.为使F x aF1 (x) bF2 ( x)是某一变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取()(A)3,b2(B)a22 a5,b3 53(C)a 1,b3(D)a1,b3 2222三、 ( 本题满分 5 分 )设 z (x2y2 )e arctan y2z . x , 求dz与x y四、 ( 本题满分 5 分 )设 D x, y x2y2x ,求xdxdy .D五、 ( 本题满分 6 分 )设某酒厂有一批新酿的好酒, 如果现在 ( 假定t0 )就售出,总收入为R0(元).如果窖藏t 年末总收入为2t起来待来日按陈酒价格出售,R R0e5. 假定银行的年利率为r ,并以连续复利计息 , 试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大. 并求r0.06 时的t值.六、 ( 本题满分 6分 )设函数 f ( x) 在a, b上连续 , 在(a,b)内可导 , 且f( x)0. 试证存在 ,(a, b), 使得f()e b e af()b ae .七、 ( 本题满分 6分 )设有两条抛物线y nx21和 y (n1)x21, 记它们交点的横坐标的绝对值为n n1a n .(1)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积S n；(2) 求级数S n的和 .n 1a n八、 ( 本题满分7 分 )设函数 f ( x) 在 [1,) 上连续.若由曲线 y f ( x), 直线 x1, x t(t 1) 与 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为V (t)t 2 f (t) f (1) .32试求 y f (x) 所满足的微分方程, 并求该微分方程满足条件y x 2的解 .9九、 ( 本题满分9 分 )设向量T(b1, b2 ,L , b n )T, 且满足条件T0. 记( a1, a2 ,L , a n ) ,都是非零向量n 矩阵 A T . 求：(1)A2；(2)矩阵 A 的特征值和特征向量.十、 ( 本题满分7 分 )101设矩阵A020, 矩阵 B ( kE A)2 , 其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵101, 使B与相似 , 并求k为何值时 , B为正定矩阵 .十一、 ( 本题满分 10分 )一商店经销某种商品, 每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量 , 且都服从区间[10,20] 上的均匀分布 . 商店每售出一单位商品可得利润1000 元；若需求量超过了进货量, 商店可从其他商店调剂供应, 这时每单位商品获利润为500 元 . 试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.十二、 ( 本题满分9 分 )设有来自三个地区的各10 名、 15 名和 25 名考生的报名表 , 其中女生的报名表分别为 3份、 7 份和 5 份 . 随机地取一个地区的报名表, 从中先后抽出两份 .(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p ；(2)已知后抽到的一份是男生表 , 求先抽到的一份是女生表的概率q .1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 把答案填在题中横线上.)(1)【答案】1e【解析】曲线 y x n在点 (1,1)处的切线斜率yx 1x n n x n 1x 1n ,根据点斜x 1式, 切线方程为：y 1n(x 1).令 y 0 ,代入 y1n( x1) ,则x11,即在 x 轴上的截距为n11,n n lim f ( n )lim n n lim(11)n lim(11)x 11.n n n n x x eln x(2) 【答案】Cx,【解析】由分部积分公式ln x 1dx ln x 11dx ln x 1 d1x2x xln x111)ln x11分部x x d(ln x x x2 dxln x 11dx ln x 1 1C ln x C .x x x x x【相关知识点】分部积分公式：假定u u(x) 与v v( x) 均具有连续的导函数, 则uv dx uv u vdx, 或者udv uv vdu.(3) 【答案】y t C (5)t 5(t1)1265t ,其齐次方程对应的特征方程及【解析】首先把差分方程改写成标准形式y t1 5 y t2特征根分别为r50, r5,故齐次方程的通解为Y t C ( 5)t, C 为常数.将方程右边的5t 改写成5t 1t,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为22y t At B,从而 y t 1A(t 1) B, 代入原方程,得A(t 1) B5( At B)5t,526A 6B 0,, A2故A 5, B5 .12 72 5(t1).于是通解为y tY t y tC( 5)t126(4) 【答案】20 0 0 4 00 2【解析】由题设 A * BA 2BA 8E ,由于 A20 , 所以 A 可逆 . 上式两边左乘A , 右乘 A 1, 得AA * BAA 1 2 ABAA 1 8AA 1A B 2 AB 8E ( 利用公式： AA * A E, AA 1E )A B 2 AB 8E ( 移项 )A E 2 A B8E ( 矩阵乘法的运算法则 )将A2 代入上式 , 整理得 1E A B E . 4由矩阵可逆的定义 , 知 EA ,B 均可逆 , 且2 0 11 0 02 0 02B 111 0 4 01 04 0 . 4 E A4 00 210 22(5) 【答案】1 , 1, 2 20 100【解析】由于 X 1, X 2 , X 3, X 4 相互独立 , 均服从 N (0, 22 ) , 所以由数学期望和方差的性质 ,得E( X 1 2 X 2 ) 0, D (X 1 2 X 2 ) 1 22 22 22 20 ,所以 (X 1 2 X 2 ) : N (0, 20) , 同理 (3 X 34 X 4 ) : N (0,100) .又因为 ( X 2X ) 与 (3 X 4 X )相互独立 , 且1( X 1 2 X 2 ) : N (0,1) ； 1 (3 X 3 4 X 4 ) : N (0,1) ,20100由2分布的定义 , 当 a1, b1 时,120100 1X( X 1 2X 2 )2 (3X 3 4X 4 )2 :2(2) .20 100即当 a1 , b 1 时 , X 服从2 分布 , 其自由度为 2 . 20 100 1 1 , b严格地说 , 当 a 0,b 时, X : 2 (1) ；当 a0 时 , X : 2 (1)也是正确的 . 100 20【相关知识点】 1、对于随机变量 X 与 Y 均服从正态分布 , 则 X 与 Y 的线性组合亦服从正态分布 .若 X 与 Y 相互独立 , 由数学期望和方差的性质, 有E(aX bY c) aE ( X ) bE (Y) c ,D (aXbY c)a 2 D ( X )b 2 D (Y) ,其中 a, b, c 为常数 .2、定理：若 X : N ( , 2) , 则X: N (0,1) .3、2分布的定义：若Z 1,L , Z n 相互独立 , 且都服从标准正态分布N (0,1) , 则nZ i 2 ~2(n) .i 1二、 选择题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 共 15 分 . 每小题给出的四个选项中 , 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 .)(1) 【答案】 (D)【解析】根据导数定义：f xlim f ( xx) f (x)x 0xlim f (1)f (1 x) 1lim f (1 x) f (1)1f (1)1x 02x 2 x 0x 2所以f (1)f (1 x)f (1) 2.limxx 0因为 f (x) 周期为 4, f (x) 的周期亦是 4, 即 f ( x) f ( x4) ,所以 f (5) f (14) f (1)2 .所以曲线 yf ( x) 在点 5, f (5) 处的切线的斜率为f (5) f (1) 2 . 选(D).(2) 【答案】 (B)【分析】讨论由极限表示的函数的性质, 应分两步走 . 先求出该f ( x) 的 ( 分段 ) 表达式 , 然后再讨论 f ( x) 的性质 . 不能隔着极限号去讨论.【解析】现求 f ( x) 的 ( 分段 ) 表达式：当 x1 时 ,lim 1limx2 n1 2nlimx 2n x 1 2n0 0 ；f ( x) xxn2nn1 2 nnx2 n1lim x11xn当 x1 时 ,f ( x) lim 1 x lim 1 12 1 ；2 n2 nn1 xn1 12当 x1 时 ,f ( x) lim 1 xlim 1 12n0 ；12 n1 1 2nxn当 x1时 ,f ( x)由此 ,f ( x)lim 1 x lim 1 xn2n x 2nn1 2 nlim 1 xxn0, 当x 1, 0,当x1,1 x, 当 x 1, 即 f (x)1, 当x 1, 0,当x1.1x1 x .10, 当x 1或x 1,1 x, 当x 1,1,当x 1.再讨论函数 f (x) 的性质：在 x1 处,lim f xlim1 x 11 0 , lim f xf 1 0 ,x1x1x1所以 ,lim f xlim f x0 , 函数 f ( x) 在 x1 处连续 , 不是间断点 .x1x1在 x1 处 , lim f xlim 00 ； lim f xlim 1 x2 ；x 1x 1x1x 1所以 lim fxlim f x , 函数 f ( x) 在 x1 处不连续 , 是第一类间断点 . 故选 (B).x 1x 1(3) 【答案】 (C)【解析】方法 1: 由 AB0 知 r (A) r ( B)3, 又 A0, B 0 , 于是 1 r ( A) 3,1 r (B) 3 , 故 A 0, B 0 , 即120 1A 110 12 0 ,1 1(1 ) 1111 11得1.应选 (C).方法 2: 由 AB0 知 r (A) r ( B) 3 , 又 A0, B 0 , 于是 1 r ( A) 3, 1 r (B)3 , 故B 0 .1 1 1显然 ,1时 A 1 1 1 , 有 1 r ( A)3, 故应选 (C).1 1 1作为选择题 , 只需在2 与1中选择一个 , 因而可以用特殊值代入法 .评注： 对于条件 AB 0 应当有两个思路： 一是 B 的列向量是齐次方程组 Ax 0 的解；二是秩的信息 , 即 r ( A) r (B) n , 要有这两种思考问题的意识 .(4) 【答案】 (B)【解析】1 aa L a 1 aa L aa 1 a L a a 1 1 a0 L 0 Aa a 1 L a (1) a 1 01 a LM M MM uur M MMMa aaL1a 1 0L1 a1(n 1)a a a L a1 a 0 L 0 (2) 0 0 1 a LuurMM MM0 0L 1 a其中 (1)变换：将 1行乘以 (-1) 再分别加到其余各行；(2) 变换：将其余各列分别加到第1列 .由阶梯形矩阵知 , 当 1 (n 1)a 0 , 即 a1时 , 有 r ( A) n 1 , 故应选 (B).1 n(5) 【答案】 (A)【解析】根据分布函数的性质lim F( x)1 , 即x1 lim F ( x) F () aF 1( ) bF 2 ( ) a b . x在所给的四个选项中只有 (A) 满足 ab 1 , 故应选 (A).【相关知识点】分布函数F x 的性质：(1)F x 单调不减；(2) limF( )( ) 0, limF ( x ) F ( ) 1; xx Fx(3)F x 是右连续的 .三、 ( 本题满分 5 分 )dz earctan yy 2 ) ( x 2arctan y【解析】xd (x 2 y 2 )d (ex )earctan y2 ydy (x2y 2) d ( arctan y)x2xdxxeearctanyxarctanyx2xdx 2 ydy (x2y 2)1 d ( y)y ) 2 x1 (x 2xdx 2 ydy x 2 xdyydxx 2ye arctany)dx (2 y x)dyx(2 x, 其中 dx 的系数就是z , 即 z(2 x y)earctan y由全微分与偏微分的关系可知x. 再对 y 求偏导数 , 得xx2 zey(2 x y)ey11 y2xy x2 yarctan arctanarctanx yy 2 xx 2 y 212x四、 ( 本题满分 5 分 )【解析】 D {( x, y) x2y2x} 表示圆心为1,0 , 半径为y21的圆及其内部 , 画出区域 D , 如右图 .2方法 1: D(x, y) | 0 x 1,xx 2yx x 2Ox1x x 21x 2 dx 21所以 ,xdxdyxdxx x 2dy2 x x 0x 1 xdx ,D令 1 xt , 则 x1 t2 , dx2tdt , t :10 所以1t3t 51上式2t 2 ) t ( 2t )dt 42(1 t 2 )dt(1t 413 5 08 .15方法 2: 引入极坐标系 x r cos , y r sin , 于是D( r ,) |,0 r cos22xdxdycos r cos rdr2 dD24 2 cos 3 d 8 .5 015其中倒数第二步用了华里士公式：,32cos dcosr 2dr22cos ndn 1 n3 L4 2 1 , 其中 n 为大于 1 的正奇数 .nn2 5 3五、 ( 本题满分 6 分 )【分析】根据连续复利公式, 在年利率为 r 的情况下 , 现时的 A ( 元 ) 在 t 时的总收入为2tR( t) Ae rt, 反之 , t 时总收入为 R(t ) 的现值为 A(t ) R(t)e rt, 将 R R 0 e5代入即得到总收入的现值与窖藏时间 t 之间的关系式 , 从而可用微分法求其最大值 .【解析】由连续复利公式知 , 这批酒在窖藏 t 年末售出总收入 R 的现值为 A(t)Re rt , 而由题t2 t设, 年末的总收入 RR 0e 5 , 据此可列出 A( t) ：Re rt2 trtA(t)R 0 e 5,dA d221t rtR 0 e5t rt0 ,令dtR 0 e55 rdtt得惟一驻点tt 0125r 2 .d 2 Ad dAd2 t rt1R 0 e5rdt 2dt dtdt5td2 t rt1 r2t rtd 1rdtR 0 e 55 tR 0 e 5dt 5 t2 t rt122 t rt1R 0e5rR 0e55 t 10 t32 t rt121R 0e5r5 10 t 3td 2A1 12.5r 3)R e 25 r ( 0 .dt 2t t 0根据极值的第二充分条件,知：t t0是 A( t) 的极大值点,又因驻点惟一,所以也是最大值1年出售 ,总收入的现值最大 .点. 故窖藏t25r 2当 r0.06 时,t110011(年). 250.0629【相关知识点】极值的第二充分条件：设函数 f ( x) 在 x0处具有二阶导数且 f ( x0 )0 , f ( x0 )0 ,当 f( x0 )0时 , 函数f (x)在x0处取得极大值；当f( x0 ) 0时 , 函数f (x)在x0处取得极小值.六、 ( 本题满分 6分 )【分析】本题要证的结论中出现两个中值点和 , 这种问题一般应将含有和的项分别移到等式两边后再用微分中值定理, 为此本题只要证f ( )(b a) (e b e a ) f ( )e .【解析】方法 1: 函数f (x)在a, b上连续 , 在( a, b)内可导 , 满足拉格朗日中值定理的条件,对函数 f (x) 在a, b上用拉格朗日中值定理,有f (b) f (a)f()(b a), a b.又函数 f ( x) 与 e x满足柯西中值定理的条件, 将函数f ( x)与e x在a,b上用柯西中值定理,有f (b) f (a) f ( ) , a b ,即 f (b) f ( a)（ e b e a）f () .e b e a e e从而有f ()(b a)（e b e a）f ( ),即f ()e b e a e , ,(a,b) .e f ()b a方法 2：题中没有限制, 因此取, 即成为要去证存在( a, b) 使ebe a e .b a在 a,b 上对函数e x用拉格朗日中值定理, 存在(a,b) 使e b e a e ,即 e b e a e 1.b a b a再取, 则f()1e b e a e, 原题得证 .【相关知识点】 1. 拉格朗日中值定理：如果函数 f ( x) 满足在闭区间[ a,b] 上连续,在开区间a,b 内可导,那么在a,b 内至少有一点(a b) ,使等式 f (b) f (a) f ( )(b a) 成立.2.柯西中值定理：如果函数 f (x) 及 F (x) 满足(1)在闭区间 [a,b] 上连续；(2)在开区间 (a,b) 内可导；(3)对任一 x (a,b) , F ( x) 0 ,那么在 (a, b) 内至少有一点, 使等式f (b)f (a) f ()成立 .F (b) F (a) F ()七、 ( 本题满分 6 分 )【解析】 (1) 由y nx21与 y( n1)x21得 a n1.n n 1n(n1)因图形关于 y 轴对称,所以,所求图形的面积为S n a n nx21(n1)x21dx20n n1212a n341a n a n2x dx2.0n(n1)n(n1)33n(n 1) n(n 1) (2)由 (1) 的结果知S n41 4 (11) ,a n 3 n(n 1) 3 n n1根据级数和的定义,S nlim n S k4nn 1 a n k 1 a k limn 3 n k 111414k k 1lim 1n 1.3 n3八、 ( 本题满分7 分 )【分析】本题是微分方程的几何应用问题. 在题目中给出了由曲线y f (x) 等围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体体积V (t) 与包含函数 f 的一个恒等式,这正是列方程的依据 .tf 2 ( x) dx ,于是,依题意得【解析】由绕x 轴旋转的旋转体体积公式得 V (t)1t2 ( x)dxt 2f (t) f (1) , 即 3 tf 2( x)dxt 2f (t) f (1).f3 11两边对 t 求导 , 化成微分方程3 f 2 (t) 2tf (t ) t 2 f (t) ,其中 f (t ) 为未知函数 . 按通常以 x 表示自变量 , y 表示未知函数 f (t ) , 于是上述方程可写为x 2 y3 y 2 2xy,即dy3( y) 22( y).dxxx这是一阶齐次微分方程. 令 yux , 有dyu xdu, 则上式化为x( du)dxdxu 3u 2 2u,du dx即3 ( 1).(*)x dxu u2若 u 0 , 则 y ux0, 不满足初始条件 y x 2 , 舍弃；92 若 u 1 , 则 y uxx, 也不满足初始条件 yx 2 , 舍弃； 所以 , u 0 , 且 u1 . 9由 (*) 式分离变量得du 3dx, 两边积分得u1 Cx 3 . 从而方程 (*) 的通解为u(u 1)xuy x Cx 3 y,C 为任意常数 .再代入初值 ,由y x 21 , 从而所求的解为2 , 得 C9xy x3y, 或 y ,( x 1).x 1 x 31. 对积分上限的函数的求导公式：(t )(t) , (t ) 均一【相关知识点】 若F (t)f ( x)dx ,(t )阶可导 , 则F (t )(t ) f (t ) (t ) f (t) .九、 ( 本题满分 9 分 )【解析】 (1) 对等式T0 两边取转置 , 有TTT0 , 即 T0 .T利用0及矩阵乘法的运算法则 , 有A2T2TT T TTT0 ,即 A 2 是 n 阶零矩阵 .(2)设是 A 的任一特征值,(0) 是A属于特征值的特征向量 , 即A.对上式两边左乘 A 得A2A( A )( )2, 由 (1)的结果 A20 ,得2A20 ,因0 ,故0 (n重根),即矩阵的全部特征值为零.下面求 A 的特征向量：先将 A 写成矩阵形式Aa1a1b1a1b2L a1b n Ta2 b , b ,, b a2b1a2 b2L a2b n.M 1 2 L n L L La n a n b1a n b2L a nb n不妨设 a10, b10 ,则有(0 E A)a1b1a1b2a2b1a2b2L a1b n b1b2L b nLa2bn 1行( a1 )a2 b1a2 b2L a2b n L La n b1a n b2行加到行L1a i (i 2, , n) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuurL L L LL a n b n a n b1a n b2 L a n b n b1b2L b n00L0L L L00L0于是得方程组 (0 E A) x0同解方程组b1 x1 b2 x2L b n x n0 ,这样基础解系所含向量个数为 n r (0 E A) n1.选 x2 ,L , x n为自由未知量,将它们的组值 (b1,0, L ,0),(0,b1 ,L,0), L (0,0, L , b1) 代入,可解得基础解系为1( b2 ,b1,0, L ,0),2( b3 ,0, b1,L ,0), L,n 1( b n ,0,0, L , b1 )则 A 的属于0 的全部特征向量为k1 1k2 2L k n1n1 , 其中k1, k2,L , k n 1为不全为零的任意常数 .十、 ( 本题满分7 分 )【分析】由于 B 是实对称矩阵, B 必可相似对角化, 而对角矩阵即 B 的特征值,只要求出B 的特征值即知, 又因正定的充分必要条件是特征值全大于零,k的取值亦可求出.【解析】方法 1：由101E A020(2)(2)2 ,1111101可得 A 的特征值是122, 30.那么 ,kE A 的特征值是k 2, k2, k ,而 B(kE A) 2的特征值是 (k2) 2 ,( k2) 2 , k 2.又由题设知 A 是实对称矩阵,则A T A, 故T2B T(kE A)2(kE A)T( kE A)2 B ,即 B 也是实对称矩阵,故 B 必可相似对角化, 且(k2) 200B :0(k2) 20.00k 2当 k2且k0 时, B 的全部特征值大于零, 这时B为正定矩阵 .方法 2：由10111E A020(2)(2)2,11101可得 A 的特征值是122, 30.2因为 A 是实对称矩阵,故存在可逆矩阵P 使P1AP2, 即A P P 1.2那么B(kE A)2(kPP 1P P 1) 2P(kE)P 1P(kE) P 1P(kE)P 1P(kE)2 P 1 .(k2)200即P1BP (kE) 2.故 B :0( k 2) 20.00k2当 k2且k0时 , B的全部特征值大于零, 这时B为正定矩阵 .【相关知识点】 1. 特征值的性质：若 A 有特征值, 则A的特征多项式 f ( A) 有特征值f () .2. 矩阵正定的充要条件是特征值全大于零.十一、 ( 本题满分 10 分 )y【解析】设 Z 表示商店每周所得的利润,20当 Y X 时 , 卖得利润为 Z 1000Y ( 元 ) ； D2D 1当 YX 时 , 调剂了 Y X , 总共得到利润10Z 1000X 500(Y X )500( XY) ( 元 ).1000Y, Y X ,O10 20x所以 , ZYX .500( X Y),由题设 X 与 Y 都服从区间 [10,20] 上的均匀分布 , 联合概率密度为1, 10x 20,10 y 20,0,其他 .由二维连续型随机变量的数学期望定义得E( Z )1000y f (x, y)dxdy500(xy) f ( x, y)dxdyD 1D 21000y1500( x y) 1dxdydxdyD 1 100 D 210020 20 20 yy)dx10 dy ydx 5 dy ( x 10 y 10 1020 y(20 y)dy20 3 210y50)dy105 (y10102200001500元 ).35 14166.67(十二、 ( 本题满分 9 分 )【解析】 记事件 B j“第 j 次抽到的报名表是女生表”( j 1,2) , A i“报名表是第 i 个地区的” (i1,2,3) . 易见 , A 1, A 2 , A 3 构成一个完备事件组 , 且P{ A i }1(i 1,2,3),3P{ B A }3, P{ B A }7, P{ B A }5 .1110 1 215 1 325(1)应用全概率公式 , 知31 ( 37 5 ) 29 .p P{ B 1}P{ A i } P{ B 1 A i }i1 3 10 15 25 90(2)qP{ B 1 B 2 } . 需先计算概率 P{ B 1 B 2} 与 P{ B 2 } . 对事件 B 1 B 2 再次用全概率公式：31 ( 3 7 7 8 5 20)20 ,P{ B 1 B 2}P{ A i } P{ B 1 B 2 A i } i 13 10 9 15 14 25 24 90由“抽签原理”可知 P(B 2 ) P( B 1 )61,90P( B 1 B 2 ) 20 90 20q P{ B 1 B 2 }90 61.P( B 2 )61【相关知识点】 1. 全概率公式： 如果事件 A 1 ,L , A n 构成一个完备事件组 , 即它们是两两互不 相容 , 其和为( 总体的样本空间 ) ；并且 P A i0,i 1,2,L , n , 则对任一事件 B 有nP B P( A i )P(B | A i ) .i 1。
线性代数02198自考2006年-2017年真题试题(卷)与答案(新)
2006年10月高等教育自学考试课程代码：21981．设A 是4阶矩阵，则|-A|=（ ） A ．-4|A| B ．-|A| C ．|A|D ．4|A|2．设A 为n 阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（ ） A ．（2A ）T =2A TB ．（3A ）-1=3A -1C ．[（A T ）T ]-1=[（A -1）-1]TD ．（A T ）-1=A3．设2阶方阵A 可逆，且A -1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A=（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3172C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2173 4．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ） A ．α1，α2，α1+α2 B ．α1，α2，α1-α2 C ．α1-α2，α2-α3，α3-α1D ．α1+α2，α2+α3，α3+α15．向量组α1=（1，0，0），α2=（0，0，1），下列向量中可以由α1，α2线性表出的是（ ） A ．（2，0，0） B ．（-3，2，4） C ．（1，1，0）D ．（0，-1，0）6．设A ，B 均为3阶矩阵，若A 可逆，秩（B ）=2，那么秩（AB ）=（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．37．设A 为n 阶矩阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，那么方程组Ax=b （ ） A ．无解 B ．有唯一解C ．有无穷多解D ．解的情况不能确定8．在R 3中，与向量α1=（1，1，1），α2=（1，2，1）都正交的单位向量是（ ） A ．（-1，0，1） B ．21（-1，0，1） C ．（1，0，-1）D ．21（1，0，1）9．下列矩阵中，为正定矩阵的是（ ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛003021311B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛111121111C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100021011D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10002101110．二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 8x x 2x x 4x 3x 4x ++-++的秩等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案3
α1 = (1,1, 0 ) ,
T
α 2 = ( 0, 0,1)
T
同理，当 λ2 = 0 时，得线性无关的特征向量为 α 3 = ( −1,1, 0 ) ．
T
将 α1 , α 2 , α 3 单位化得
η1 =
1 1 T T T (1,1, 0 ) ，η2 = ( 0, 0,1) ，η3 = ( −1,1, 0 ) 2 2
n
0 0
L
0 0
L L
n −1 1− n
L
三、 （12 分）问 a, b 为何值时，线性方程组
⎧ x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1; ⎪ x + 3 x + 6 x + x = 3; ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪3 x1 − x2 − ax3 + 15 x4 = 3; ⎪ ⎩ x1 − 5 x2 − 10 x3 + 12 x4 = b.
故 λ1 = −1 为 A 的三重特征值．
⎛ −3 1 −2 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 (λ1 E − A) X = 0 ．因 − E − A = −5 2 −3 → 0 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
得其基础解系中只含一个解向量 α = (−1, −1,1) ，从而属于 λ1 = −1 的线性无关的特征向
⎛1 ⎜ 0 初等行 三 解： A ⎯⎯⎯ →⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
( −1) 或
2
n −1
( n + 1)! ）
1 2 3 −1 1 2 0 2−a 2 0 0 3
1 ⎞ ⎟ 1 ⎟ = A1 4 ⎟ ⎟ b+5 ⎟ ⎠
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案1
{
x1 + x2 + x3 = 0, 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0, xi ∈ R} ，则 dim V =
3．已知向量组 α1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 线性无关，而向量组 β 1 = 4α 1 + α 2 ， β 2 = α 2 + α 3 ，
β 3 = α 3 + α 4 ， β 4 = α 4 + 2λα 1 线性相关，则 λ =
经正交变换化为标准形
2
2
2
f ( y1 , y 2 , y3 ) = 2 y1 + 5 y 2 + 5 y3
2
2
2
， 求参数 a ，b 及用的正交变换。
⎛2 ⎜ ⎜1 六、 （6 分） 已知四阶方阵 A ，X 满足关系式 AXA − 2 A = XA ， 且A=⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
2
5 3 0 0
0 0 4 7
（1） a ≠ −2 且 a ≠ 1 时，有唯一解 （2） a = −2 时，因为： R ( A) ≠ R( B) ，所以方程组无解。 （3） a = 1 时，因为： R ( A) = R( B) =1<3，所以方程组有无穷多解。
⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 其通解为 ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + k1 ⎜ 1 ⎟ + k 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
3n + 1 3 L 3 3 3n + 1 3 L 3 3 c1 + c 2 3n + 1 4 L 3 3 r2 − r1 0 1 L 0 0 c1 + c3 L L L L L r3 − r1 L L L L L = 3n + 1 二 解： Dn 3n + 1 3 L 4 3 0 0 L 1 0 M M 0 L 0 1 c1 + c n 3n + 1 3 L 3 4 rn − r1 0
考研数学历年真题(1998-2007)年数学一参考答案
分离变量,得
dy y
dx 1 x2
,
两边积分,得 ln y arctan x C ,即 y C1earctan x.
代入初始条件 y(0) , 得 y
0
C earctan 0 1
C1
.
所以,
y
earctan x
.
故
y(1) earctan x earctan1 e 4 .
(3) 若 l 0, 称在该极限过程中 (x) 是 (x) 的高阶无穷小,记为 (x) o (x) .
若
lim
( (
x) x)
不存在(不为
),称
(
x),
(
x)
不可比较.
(4)【答案】(A)
【解析】设
L1
:
x a1
a3 a2
y b3 b1 b2
z c3 c1 c2
, L2
:
x a1 a2 a3
当 x 1或 x e2 时, fX (x) 0 ；
(2, 1) 2
O
12
e2 x
当1 x e2 时, fX (x)
f (x, y)dy
1 x
1dy
1
.
0 2 2x
故
fX
(2)
1. 4
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1)【答案】(A)
【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换 u x2 t 2 ,
(x2 x 2)x(1 x2 ),
f
(x)
( x 2
(
x
2
x x
2)x(x2 1), 2)x(1 x2 ),
(x2 x 2)x(x2 1),
电子科技大学 线性代数试题
一. 填空题(21 分)： 1. 设 3 阶矩阵 A 满足| A | = 2, 则 | −(3A* )−1 |= ________.
→
→
2. 设三角形的顶点为原点 O 及 A = (1, 2, − 1), B = (1, 1, 0), 则 OA× OB = _____
___,
面积 SΔOAB = ________.
⎛ 0 1 0 ⎞2005 ⎛ 1 2 3 ⎞ ⎛ 0 0 1 ⎞2006
3.
⎜ ⎜
1
0
0
⎟ ⎟
⎜ ⎜
4
5
6
⎟ ⎟
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
=_______.
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 8 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0 0⎟⎠
4. R3 中, 方程 z − x2 − y2 = 0 所确定的曲面形状称为____ 22
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电子科技大学
学院
姓名
学号
任课老师
选课号
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
注意: 在第七、第八题中任选做一题！
七 (7 分 ). 在 R3 中 , 求 线 性 变 换 σ (x1, x2 , x3 ) = (2x1 − x2 , x2 + x3, x1) 在 基 ε1 = (1, 0, 0),
_____.
⎛k 1 1⎞
5.
设矩阵A
=
⎜ ⎜
1
k
1 ⎟⎟的秩R( A) < 3, 则 k = _________.
⎜⎝ 1 1 k ⎟⎠
6. 若二次型 2x12 + x22 + x32 + 2x1x2 + tx2 x3 是正定的, 则 t 的取值范围是________.
1998-数一真题、标准答案及解析
【详解 2】
用平面束方法，直线 l : x −1 = y = z −1 的方程可写为 1 1 −1
于是过 l 的平面方程可写成
x − y −1+ λ ( y + z −1) = 0,
⎧x − y −1= 0
⎨ ⎩
y
+
z
−1
=
0
即
x + (λ −1) y + λ z − λ −1 = 0.
在其中求出平面 π1 ，使它与 π 垂直，得
线性无关，可见此两直线既不平行，又不重合.又 (a1, b1, c1 ) 、(a3, b3, c3 ) 分别为两直线上的点，
其连线向量为: S1 = {a3 − a1, b3 − b1, c3 − c1} ,满足 S3 = S1 + S2 .可见三向量 S1, S2 , S3 共面，因此
S1, S2 必相交，即两直线肯定相交.
1− (λ −1) = 2 − λ = 0,
解得 λ = −2, 于是π1 的方程为
( x −1) − 3y − 2( z −1) = 0, 即 x − 3y − 2z +1 = 0
以下同解法一.
( ) ( ) 四、确定常数 λ, 使在右半平面 x > 0 上的向量 A( x, y) = 2xy
x4 + y2
λ i − x2
x4 + y2
λ
j为
某二元函数 u ( x, y) 的梯度，并求 u ( x, y) .
( ) ( ) 【详解】 令 P ( x, y) = 2xy
x4 + y2
λ ,Q ( x, y) = −x2
x4 + y2
λ
1998考研数学真题+答案
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 41211lim20-=--++→xx x x . (2) 设1()()z f xy y x y xϕ=++，其中ϕ,f 具有二阶连续导数，则)('')(')(''2y x y y x xy yf yx z ++++=∂∂∂ϕϕ.(3) 设L 为椭圆13422=+y x ，其周长记为a ，则a ds y x xy L 12)432(22=++⎰.(4) 设A 为n 阶矩阵，*0,A A ≠为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则E A +2*)(必有特征值2()1Aλ+.(5) 设平面区域D 由曲线y =1x及直线20,1,y x x e ===所围成，二维随机变量(X,Y)在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为14.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设)(x f 连续，则=-⎰dt t x f t dxd x )(220 (A) (A) 2()x f x (B) 2()x f x - (C) 22()x f x (D) 2()x f x -(2) 函数23()(2)f x x x x x =---的不可导点的个数是 (B)(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (3) 已知函数()y f x =在任意点x 处的增量α,0,12时且当→∆++∆=∆x a xxy y 是x ∆的高阶无穷小量，(0)y π=，则(1)y 等于 (D)(A) 2π (B)π (C) 4e π(D) 4e ππ(4) 设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333222111c b a c b a c b a 是满秩的，则直线 213a a a x -- = 213b b b y --= 213c c c z --与直线321a a a x -- = 321b b b y --= 321c c c z -- (A)(A) 相交于一点 (B) 重合 (D) 平行但不重合 (D) 异面(5) 设A 、B 是随机事件,且0<P (A )<1,P (B )>0,)()(A B P A B P =,则必有 (C)(A) ()()P A B P A B = (B) ()()P A B P A B ≠ (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()()P AB P A P B ≠ 三、(本题满分5分) 求直线 11111:--==-z y x l 在平面012:=-+-z y x π上的投影直线0l 的方程，并0l 求绕y 轴旋转一周所成的方程.解一：设经过l 且垂直于平面π的平面方程为1:(1)(1)0A x By C z π-++-=， 则由条件可知20,0A B C A B C -+=+-=，由此解得::1:3:2A B C =-. 于是1π的方程为3210x y z --+=.……2分 从而0l 的方程为0l 210:3210x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩，……3分即02:1(1)2x y l z y =⎧⎪⎨=--⎪⎩. 于是0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程为222214(1)4x z y y +=+-，即2224174210x y z y -++-=.……5分解二：由于直线l 的方程可写为1010x y y z --=⎧⎨+-=⎩，所以过l 的平面方程可设为1(1)0x y y z λ--++-=，即(1)(1)0x y z λλλ+-+-+=.由它与平面π垂直，得1(1)20λλ--+=，解得2λ=-. 于是经过l 且垂直与π的平面方程为3210x y z --+=. ……2分 从而0l 的方程为0l 210:3210x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩.……3分(下同解法一)四、(本题满分6分)确定常数λ，使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()A x y xy x y i x x y jλλ=+-+ 为某二元函数(,)u x y 的梯度，并求(,)u x y .解：令422422(),()P xy x y Q x x y λλ=+=-+. 则(,)A x y在右半平面0x >上为某二元函数(,)u x y 的梯度的充要条件是Q Px y∂∂≡∂∂. ……1分 此即444()(1)0x x y λλ++=，解之得1λ=-. ……3分于是，在右半平面内任取一点，例如（1，0）作为积分路径的起点，则得(,)242(1,0)2(,)x y xydx x dy u x y C x y -=++⎛⎜⎠ ……4分242421020yxx dx x dyC x y x y⋅=-+++⎛⎛⎜⎜⎠⎠2arctan y C x =-+. ……6分（注：不加C 不扣分.）五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y （从海平面算起）与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m ，体积为B ，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k>0).试建立y 与v 所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v),解：取沉放在原点O ，OY 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得22d ym mg B kv dt ρ=--，……1分 将22d y dy v dt dt =代入以消去t ，得v y 与之间的微分方程dy mv mg B kv dtρ=--， ……2分 即mv dy dv mg B kv ρ=--,积分得2()ln()m m mg B y v mg B kv C k kρρ-=----+. ……4分 由初始条件0|0y v ==定出2()ln()m mg B C mg B kρρ-=-，故所求的函数关系式为2()lnm m mg B mg B kvy v k k mg B ρρρ---=---. ……6分 六、(本题满分7分) 计算⎰⎰∑++++212222)()(z y x dxdy a z axdydz ，其中∑为下半球面222y x a z ---=的上侧，a 为大于零的常数．解一：212222()()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎛⎛⎜⎜⎠⎠21()axdydz z a dxdy a ∑=++⎰⎰. ……1分补一块有向曲面2220:,x y a z S -+≤=⎧⎨⎩，其法向量与z 轴正向相反，从而得到221[()()]S S I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a --∑+=++-++⎰⎰⎰⎰ ……2分 21(32)D a z dv a dxdy a Ω⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ ……4分其中Ω为S -∑+围成的空间区域，D 为0z =上的平面区域222x y a +≤. 于是22204440011222a a r I a zdv a a d rdr a a ππππθ-Ω⎡⎤⎡⎤=--+=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰32a π=-. ……7分 解二：21()I axdydz z a dxdy a ∑=++⎰⎰. ……1分记222112()yzD I axdydz a y z dydz a ∑==--+⎰⎰，其中yz D 为YOZ 平面上的半圆222,0y z a z +≤≤. 利用极坐标计算，得222310223I d a r rdr a ππθπ=--=-⎰⎰，……4分22222211()[()]xyD I z a dxdy a a x y dxdy a a ∑=+=-+⎰⎰⎰⎰222223001(22)6a d a a a r r rdr a a ππθ=--=⎰⎰，其中xy D 为XOY 平面上的圆域222x y a +≤. 因此3122I I I a π=+=-.……7分七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim 1112n n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦ . 解：2sinsinsin12sin sin sin 1112n n n n n n n n n n n n nππππππ⎛⎫+++<+++ ⎪+⎝⎭++11sinni i n nπ==∑ ……2分而10112lim sin sin n n i i xdx n n πππ→∞===∑⎰.……3分又2sinsinsin 12sin sin sin 11112n n n n n n n n n ππππππ⎛⎫+++>+++ ⎪++⎝⎭++11sin1ni n i n n nπ==⋅+∑ ……5分 而10112lim sin sin 1n n i n i xdx n n n πππ→∞=⋅==+∑⎰.故由夹逼定理知2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫ ⎪+++= ⎪+ ⎪++⎝⎭ . ……6分八、(本题满分5分)设正项数列}{n a 单减，且级数∑∞=-1)1(n n na 发散，试问级数nn n a ∑∞=+1)11(是否收敛？并说明理由.解： 级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛.……1分理由：由于正项数列{}n a 单调减少有下界，故lim n n a →∞存在，记这个极限值为a ，则0a ≥. ……2分若0a =，则由莱布尼兹定理知1(1)nn n a ∞=-∑收敛，与题设矛盾，故0a >.……3分于是11111n a a <<++，从而1111nnn a a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.而111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑是公比为111a <+的几 何级数，故收敛.因此由比较判别法知原级数收敛.……5分（注：(1) 若未说明0a >，本题至多给2分，(2) 本题也可用根植判别法）九、(本题满分6分)设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数(1) 试证：存在0(0,1)x ∈，使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积，等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积；(2) 又设)(x f 在区间(0,1)内可导，且2()()f x f x x '>-，证明(1)中的0x 是唯一的.证一：(1) 设1()()xF x xf t dt =⎰，……2分则(0)(1)0F F ==，且1()()()x F x f td t x f x '=-⎰. 对()F x 在区间[0，1]上应用罗尔定理知，存在一点0(0,1)x ∈使0()0F x '=，因而0100()()0x f t dt x f x -=⎰. 即矩形面积00()x f x 等于曲边梯形面积1()x f x dx ⎰.……4分 (2) 设1()()()xx f t dt xf x ϕ=-⎰，……5分则当(0,1)x ∈时，有()()()()0x f x f x xf x ϕ''=---<.所以()x ϕ在区间(0,1)内单调减 少，故此时(1)中的0x 是唯一的.……6分（注：在证明（1）时，若对所设辅助函数利用闭区间上连续函数的介值定理仅得出0[0,1]x ∈，但未排除端点，或者排除端点的理由不充分，则只给1分.）十、(本题满分6分) 已知二次曲面方程2222224x ay zbxy xz yz +++++=可以经过正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ζηξP z y x 化为椭圆柱面方程4422=+ζη，求,a b 的值和正交矩阵P .解：由111111b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与014⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭相似得11111114b b a λλλλλλ------=-----……1分 解之得到3,1a b ==.……2分对应于特征值10λ=的单位特征向量为122Tx =；对应于特征值21λ=的单位特征向量为2333Tx =；对应于特征值34λ=的单位特征向量为3666T x =； ……5分因此P =236036236⎛⎝. ……6分十一、(本题满分4分)设A 是n 阶矩阵，若存在正整数k ，使线性方程组0k A x =有解向量α，且10k A α-≠， 证明：向量组1,,,k A A ααα- 是线性无关的.解：设有常数12,,,k λλλ ，使得1120k k AA λαλαλα-+++= ，则有1112()0k k k A AA λαλαλα--+++= ， ……2分 从而有110k A λα-=.由于10k A α-≠，所以10λ=. 类似可证得230k λλλ==== ，因此向量组1,,,k A A ααα- 线性无关.……4分十二、(本题满分5分)已知线性方程组()I 1111221,222112222,221122,2200n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的一个基础解系为 11121,2(,,,)T n b b b ，21222,2(,,,)T n b b b ，…，12,2(,,,)T n n n n b b b试写出线性方程组 1111221,222112222,221122,2200()0n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎪+++=⎪II ⎨⎪⎪+++=⎩的通解，并说明理由.解：（II ）的通解为11112122212222122(,,,,(,,,,(,,,,T T Tn n n n n n n y c a a a c a a a c a a a =+++)))其中12,,,n c c c 为任意常数.……2分理由：方程组（I ）、（II ）的系数矩阵分别记为,A B ，则由（I ）的已知基础解系可知0T AB =，于是()0T T T BA AB ==，因此可知A 的n 个行向量的转置向量为（II ）的n 个解向量.……3分由于B 的秩为n ，故（II ）的解空间维数为2n n n -=.又A 的秩为2n 与（I ）的解空间 维数之差，即为n ，故A 的n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（II ）的一个基 础解系，于是得到（II)的上述通解.……5分十三、(本题满分6分)设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0、方差为21的正态分布，求随机变量Y X -的方差.解：令Z X Y =-.由于22(0,(),(0,(),22X N Y N ~~且X Y 和相互独立，故(0,1)Z N ~.……2分 因为2222(||)()(||)[(||)]()[(||)]D X Y D Z E Z E Z E Z E Z -==-=-， ……3分而22()()()101E Z D Z EZ =+=+=，22222(||)||22z z E Z z dz zedz πππ+∞+∞---∞===⎛⎜⎠，所以2(||)1D X Y π-=-.……6分十四、(本题满分4分)从正态总体)6,4.3(2N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4 ) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？附表：标准正态分布表 dt e z t z2221)(-∞-⎰=Φπ解：以X 3.4(0,1)6X n N -~， ……1分从而有{1.4 5.4}{2 3.42}{| 3.4|2}P X P X P X <<=-<-<=-<| 3.4|2{}6X n P n -=<2(10.95n=Φ-≥.……2分故(0.975n Φ≥ 1.96n ≥，即2(1.963)34.57n ≥⨯≈，所以n 至少应取35.……4分十五、(本题满分4分)设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.附表：t 分布表 p n t n t P p =≤})()({z1.28 1.645 1.962.33 )(z Φ0.9000.9500.9750.990解：设该次考试的考生成绩为X ，则2(,)X N μσ~. 把从X 中抽取的容量为n 的样本 均值记为X ，样本标准差记为S .本题是在显著性水平0.05α=下检验假设01:70;:70H H μμ=≠，……1分 拒绝域为12||70||-1)x t n t n s α--=≥(. 由0.97536,66.5,15,(361) 2.0301n x s t ===-=，算得|66.570|36|| 1.4 2.030115t -==<，……3分 所以接受假设0:70H μ=，即在显著性水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. ……4分数 学（试卷二）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学一 第一、（1）题 】(2) 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A=3712(3)2lnsin cot lnsin cot sin xdx x x x x C x =---+⎰.(4) 设)(x f 连续，则=-⎰dt t x f t dxd x )(2202()x f x . (5) 曲线)1ln(xe x y +=(0)x >的渐近线方程为1y x e -=+.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设数列n x 与n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下类断言正确的是 （A ）(A) 若n x 发散，则n y 必发散 (B) 若n x 无界，则n y 必有界 (C) 若n x 有界，则n y 必为无穷小(D) 若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小 (2) 【 同数学一 第二、（2）题 】 （选项的排列顺序不同） (3) 【 同数学一 第二、（3）题 】 （选项的排列顺序不同）(4) 设函数()f x 在x a =的某个领域内连续，且()f a 为极大值，则存在0δ>,当(,)x a a δδ∈-+时，必有 （A ）(A) 0)]()()[(≥--a f x f a x . (B) 0)]()()[(≤--a f x f a x .(C) )(0)()()(lim 2a x x t x f t f a t ≠≥--→. (D) )(0)()()(lim 2a x x t x f t f a t ≠≤--→. (5) 设A 是任一)3(≥n n 阶方阵，A *是其伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则必有(kA)*= (B) (A) kA * (B) k n-1A * (C) k n A * (D) k -1A 三、(本题满分5分)求函数)4tan()1()(π-+=x xx x f 在区间)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：()f x 在(0,2)π内的间断点为357,,,4444x ππππ=. ……1分在4x π=处，(0)4f π+=+∞，在54x π=处，5(0)4f π+=+∞， 故5,44x ππ=为第二类（或无穷）间断点； ……3分在34x π=处，34lim ()1x f x π→=，在74x π=处，74lim ()1x f x π→=，故37,44x ππ=为第一类（或可去）间断点； ……5分四、(本题满分5分)确定常数c b a ,,的值，使)0()1ln(sin lim20≠=+-⎰→c c dt tt xax x b x . 解：由于0x →时，sin 0ax x -→，且极限c 不为0，所以当0x →时，3ln(1)0xbt dt t +→⎛⎜⎠，故必有0b =.……1分又因为3330000sin cos (cos )lim lim lim ln(1)ln(1)ln(1)x x x x ax x a x x a x x x t dtx t →→→---==+++⎛⎜⎠ 3200(cos )cos lim lim (0)x x x a x a x c c x x →→--===≠. ……3分 故必有1a =，从而12c =.……5分五、(本题满分6分) 利用代换x e x y x y x y xuy =+-''=cos 3sin '2cos cos 将方程化简，并求出原方程的通解.解一：由cos u y x =两端对x 求导，得cos sin u y x y x ''=-，cos 2sin cos u y x y x y x '''''=--.……2分 于是原方程化为4xu u e ''+=，……3分其通解为12cos 2sin 25xe u C x C x =++，从而原方程的通解为12cos 22sin cos 5cos xx e y C C x x x=++. ……5分解二：sec y u x =，sec sec tan y u x u x x ''=+，23sec 2sec tan sec tan sec y u x u x x u x x u x '''''=+++，……2分代入原方程得4xu u e ''+=. ……3分以下同解法一.六、(本题满分6分) 计算积分⎰-232121dx x x .解：注意到被积函数内有绝对值且1x =是其无穷间断点，故31222112x x x x=--⎛⎜⎜⎠⎠原式 ……1分而1121212211()42x xx =---⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠112arcsin(21)arcsin12x π=-==， ……3分3322221111()24x xx =---⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠3221111ln ()()ln(23)224x x ⎡⎤=-+--=+⎢⎥⎣⎦.……5分因此3221ln(23)2x xπ=++-⎛⎜⎠. ……6分七、(本题满分6分)【 同数学一 第五题 】 八、(本题满分6分)【 同数学一 第九题 】 九、(本题满分8分) 设有曲线1-=x y ，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.解：设切点为00(1)x x -，则过原点的切线方程为021y x x =-. 再以点00(1)x x -代入，解得0002,11x y x ==-=，则切线方程为12y x =. ……3分 由曲线1(12)y x x =-≤≤绕x 轴一周所得到的旋转面的面积221112143(551)6S y dx x dx πππ'=+=-=⎰⎰；……6分由直线段1(12)2y x x =≤≤绕x 轴一周所得到的旋转面的面积 22015252S ππ=⋅=⎰.因此，所求旋转体的表面积为12(1151)6S S S π=+=.……8分十、(本题满分8分)设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x,y)处的曲率为211y '+，且此曲线上的点(0,1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值.解：因曲线向上凸，故0y ''<()32211y y ''='+'+， ……2分即211y y ''=-'+. 令,p y p y ''''==则，从而上述方程化为211p p '=-+，分离变量得21dpdx p =-+，解之得1arctan p C x =-.……4分因为()y y x =在点(0,1)处切线方程为1y x =+，所以00||1x x p y =='==，代入上式得14C π=，故tan()4y x π'=-.积分得2ln |cos()|4y x C π=-+.……6分因为曲线过点(0,1)，所以0|1x y ==，代入上式得211ln 22C =+，故所求曲线的方程为13ln |cos()|1ln 2,(,)4244y x x πππ=-++∈-.……7分因为cos()14x π-≤且当4x π=时，cos()14x π-=，所以当4x π=时函数取得极大值11ln 22y =+.……8分十一、(本题满分8分) 设(0,1)x ∈，证明：(1) 22)1(ln )1(x x x <++； (2)211)1ln(112ln 1<-+<-x x . 证：(1) 令22()(1)ln (1)x x x x ϕ=++-，则有(0)0ϕ=，……1分22()ln (1)2ln(1)2,(0)0x x x x ϕϕ''=+++-=.因为当(0,1)x ∈时，2()[ln(1)]01x x x xϕ''=+-<+， 所以()0x ϕ'<，从而()0x ϕ<，即22(1)ln (1)x x x ++<.……3分 (2) 令11(),(0,1]ln(1)f x x x x=-∈+，则有2222(1)ln (1)()(1)ln (1)x x x f x x x x ++-'=++. ……4分由（1）知，()0f x '<（当(0,1)x ∈）.于是在(0,1)内()f x 单调减少.又()f x 在区间(0,1]上连续，且1(1)1ln 2f =-， 故当(0,1)x ∈时，111()1ln(1)ln 2f x x x =->-+.……6分又20000ln(1)ln(1)1lim ()lim lim lim ln(1)2(1)2x x x x x x x x x f x x x x x x ++++→→→→-+-+====++， 故当(0,1)x ∈时，111()ln(1)2f x x x =-<+.……8分十二、(本题满分5分)设11(2)T E C B A C ---=，其中E 是4阶单位矩阵，TA 是4阶矩阵A 的转置矩阵，B =1232012300120001--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭，C =1201012000120001⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，求A .解： 由题设得1(2)T C E C B A E --=，即(2)T C B A E -=.……1分由于12340123001200012C B ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭-，|2|10C B -=≠，故2C B -可逆. 于是11[(2)][(2)]T T A C B C B --=-=-……3分110001000210021003210121043210121-⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=. ……5分十三、(本题满分8分)[],]4,,10,3[,],1,1,0[,]3,1,7,2[,2,0,4,1321T T T T b a a a a =-===β问：(1) b a ,取何值时, β不能由321,,ααα 线性表示?(2) b a ,取何值时, β可由321,,ααα线性表示? 并写出此表示式.解： 因120312031203471100112011201101100102340120002b b a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……2分故 (1) 当2b ≠时，线性方程组123(,,)x αααβ=无解，此时β不能由123,,ααα线性表出；……4分(2) 当2,1b a =≠时，线性方程组123(,,)x αααβ=有唯一解：123(,,)(1,2,0)T T x x x x ==-，于是β可唯一表示为122βαα=-+；……6分当2,1b a ==时，线性方程组123(,,)x αααβ=有无穷多个解：123(,,)(2,1,1)(1,2,0)T T T x x x x k ==-+-，其中k 为任意常数，这时β可由123,,ααα线性表示为123(21)(2)k k k βααα=-++++. ……8分数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设曲线()nf x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为,0n ξ()，则1lim ()n n f e ξ-→∞=.(2)⎰=-dx x x 21ln 1ln x c x-+.(3) 差分方程121050t t y y t ++-=的通解为51(5)()126t t y C t =-+-.(4) 设矩阵,A B 满足*28A BA BA E =-，其中A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100020001，E 为单位矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10020001，则B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20040002. (5) 设4321,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，243221)43()2(X X b X X a X -+-=，则当11,20100a b ==时，统计量X 服从2χ分布,其自由度为 2二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设()f x 为可导函数，且满足条件12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 (D) (A)21 (B) 0(C) 1-(D) 2-(2) 设函数nn x xx f 211lim)(++=∞→，讨论函数f (x) 的间断点,其结论为 (B)(A) 不存在间断点. (B) 存在间断点x = 1 (C) 存在间断点x = 0 (D) 存在间断点x = -1(3) 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵B ≠0，使得AB = 0，则 (C) (A) 02=-=B 且λ (B) 02≠-=B 且λ (C) 01==B 且λ (D) 01≠=B 且λ (4) 设(3)n n ≥阶矩阵A=1111aaa a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ ，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为 (B)(A) 1 (B)n-11(C) 1- (D) 11-n(5) 设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使)()(21x bF x aF x F -=）（ 是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 (A ) (A )52,53-==b a ；(B )32,32==b a ；(C )23,21=-=b a ；(D ) 23,21-==b a三、(本题满分5分)设arctan22yxz x y e -=+（）,dz 与2.zx y ∂∂∂解：arctan arctan arctan 2222212()()()(2)1y y yx x xz y xe x y e x y e y x x x---∂=-+-=+∂+，……1分arctan arctan arctan 2222112()()()(2)1y y yx x xz ye x y e y x e y y x x---∂=-+=-∂+. ……2分所以arctan[(2)(2)]y xdz ex y dx y x dy -=++-.……3分 222arctan arctan arctan 222211(2)()()1y y y x x x z y xy x e x y e e y x y x x y x---∂-+=-+=∂∂++. ……5分四、(本题满分5分)设22{(,)}D x y x y x =+≤，求.Dxdxdy解一：22{(,)|01,}D x y x x x y x x =≤≤-≤-，所以220x x x x Dxdxdy xdx --=⎰……2分 121x xdx =-⎰……3分1351220081(1)43515t t x t t t dt ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰.……5分解二：cos 202cos Dxdxdy d r rdr πθπθθ-=⎰⎰……2分 13cos 2222cos d r dr πθπθθ-=⎰⎰……3分 3204cos 5d πθθ=⎰ ……4分 815=. ……5分五、(本题满分6分)设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定0t =)就售出，总收入为0R (元)，如果窖藏起来，待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为250t R R e=.假定银行的年利率为r ，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求0.06r =时的t 值..解：根据连续复利公式，这批酒在窖藏t 年未售出总收入R 的现值为()Re rt A t -=， 而250t R R e=，所以250()t rt A t R e=. ……2分令25005t rtdA R e r dtt ⎫=-=⎪⎭，得唯一驻点02125t r =. ……3分 又2225023510t rt d A R r dt t t -⎡⎤⎫=-⎢⎪⎭⎢⎣，则有0123250212.50r t t d A R e r dt =⎡⎤=-<⎣⎦. 于是，02125t r =是极大值点即最大值点， 故窖藏2125t r =（年）售出，总收入的现值最大. ……5分当0.06r =时，100119t =≈（年）.……6分 六、(本题满分6分)设函数)(x f 在[b a ,]上连续,在(b a ,)内可导, 且0)('≠x f ，试证： 存在,(,),a b ξη∈使得'()'()b a f e e e f b aηξη--=-.证：令()x g x e =，则()()g x f x 与在[,]a b 上满足柯西中值定理条件，故由柯西中值定理， 存在(,)a b η∈，使得()()()b af b f a f e e eηη'-=-， ……2分 即()()()()b a f b f a e e e f b a b aηη---'=⋅--.……3分 又()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件，故由拉格朗日中值定理，存在(,)a b ξ∈，使得()()()f b f a f b aξ-'=-.……5分 由题设()0f x '≠知()0f η'≠，从而()()()b a f e e e f b aηξη-'-=⋅'-.……6分七、(本题满分6分)设有两条抛物线11)1(122+++=+=n x n y n nx y 和, 记它们交点的横坐标的绝对值为n a . （1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积n S ；（2）求级数∑∞=1n nn a S 的和.解：由2211(1)1y nx y n x n n =+=+++与得(1)n a n n =+. ……2分因图形关于y 轴对称，所以220112[(1)]1n a n S nx n x dx n n =+-+-+⎰2012[](1)3(1)(1)n a x dx n n n n n n =-=+++⎰.……4分 因此414113(1)31n n S a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，……5分 从而11414lim lim 1313nn k n n n k n k S S a a n ∞→∞→∞==⎡⎤⎛⎫==-= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦∑∑. ……6分八、(本题满分7分)设函数)(x f 在 [)+∞,1上连续，若由曲线)(x f y =)，直线)1(,1>==t t x x 与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为)]1()([3)(2f t f t t v -=π,试求)(x f y =所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 922==x y 的解.解：依题意得221()()[()(1)]3tV t f x dx t f t f ππ==-⎰，即2213()()(1)tf x dx t f t f =-⎰.……2分 两边对t 求导，得223()2()()f t tf t t f t '=+.……3分将上式改写为2232x y y xy '=-，即232dy y y dx x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭（*）令y u x =，则有3(1)du x u u dx=-， ……4分 当0u ≠时，1u ≠时，由3(1)du dx u u x =-两边积分得31u cx u-=.……5分 从而（*）式的通解为3()y x cx y C -=为任意常数.……6分 由已知条件，求得1c =-，从而所求的解为33()1x y x x yy x-=-=+或. ……7分九、(本题满分9分)设向量1212(,,,),(,,,)T T n n a a a b b b αβ== 都是非零向量，且满足条件0=βT a ，记n 阶矩阵T a A β=，求：(1) 2A ； (2) 矩阵A 的特征值和特征向量. 解：(1) 由T a A β=和0=βT a ，有2()()()()T T T T T T A AA αβαβαβαββααβ====……1分 即2A 为n 阶零矩阵.……3分(2) 设λ为A 的任一特征值，A 的属于特征值λ的特征向量为(0)x x ≠，则λ=Ax x ，于是22λλ==A x Ax x .……4分 因为2=A x O ，所以2λ=x O .而≠x O ，故0λ=，即矩阵A 的特征值全为零.……5分不妨设向量,αβ中分量110,0a b ≠≠，对齐次线性方程组(0)-=E A O 的系数矩阵施以初等行变换：11121122122212000000n n n n n n n a b a b a b b b b a b a b a b a b a b a b ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪--- ⎪⎪-=→ ⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭A……6分由此可得该方程组的基础解系为：32121111,1,0,,0,,0,1,,0,,,0,0,,1T T Tn n b b b b b b ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， ……8分于是，A 的属于特征值0λ=的全部特征向量为112211n n c c c ααα--+++ ，（121,,,n cc c - 是不全为0的任意常数.）……9分十、(本题满分7分)设矩阵A =101020101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵2）（A kE B +=，其中k 为实数，E 为单位阵，求对角矩Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵.解：由2||(2)E A λλλ-=-，可得A 的特征值为1232,0λλλ===. ……2分记对角矩阵200020000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，使得TP AP D =. ……4分所以11()T T A P DP PDP --==.于是22()()[()][()]T T T T B kE A kPP PDP P kE D P P kE D P =+=+=++2()T P kE D P =+222(2)(2)Tk P k P k ⎛⎫+⎪=+⎪ ⎪⎝⎭， ……5分可见222(2)(2)k k k ⎛⎫+ ⎪Λ=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ……6分因此，当2k ≠-，且0k ≠时B 的全部特征值均为正数，这时B 为正定矩阵.……7分注：考生也可直接由A 的特征值得到矩阵kE A +的特征值为2k +（二重）和k （4分）. 进而得到B 的特征值为2(2)k +（二重）和2k （5分），并得到实对称矩阵B ~Λ（6分）.十一、(本题满分10分)一商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.解：设Z 表示商品每周所得的利润，则1000,,1000500()500(),Y Y X Z X Y X X Y Y X≤⎧=⎨+-=+>⎩ ……3分 由于X 与Y 的联合概率密度为：1,1020,1020,(,)1000,x y x y ϕ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.……5分所以12111000500()100100D D EZ y dxdy x y dxdy =⨯++⨯⎰⎰⎰⎰ ……7分 202020101010105()yydy ydx dy x y dx =++⎰⎰⎰⎰……8分 202021010310(20)5(1050)2y y dy y y dy =-+--⎰⎰……9分 200005150014166.673=+⨯≈（元）.……10分十二、(本题满分9分)设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p ；(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q . 解：设i H ＝｛报名表是第i 区考生的｝（1,2,3,i ＝）j A ＝｛第j 次抽到的报名表是男生的｝（1,2j ＝）， 则1231()()()3P H P H P H ===；1112137820(|),(|),(|)101525P A H P A H P A H ===； ……1分(1) 3111137529()()(|)()310152590i i i P P A P H P A H ====++=∑.……3分 (2) 由全概率公式得2122237820(|),(|),(|)101525P A H P A H P A H ===. ……4分 121122123785(|),(|),(|)303030P A A H P A A H P A A H ===.……5分32211782061()()(|)()310152590i i i P A P H P A H ===++=∑. ……6分 31212117852()()(|)()33030309i i i P A A P H P A A H ===++=∑.……7分 因此，12122()20(|)()61P A A q P A A P A ===.……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学三 第一、（1）题 】 (2) 【 同数学三 第一、（2）题 】 (3) 【 同数学三 第一、（4）题 】(4) 设A ，B 均为n 阶矩阵，21*122,3,23n A B A B--==-=-则.(5) 设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p =12时，成功次数的标准差的值最大；其最大值为 5 .二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学三 第二、（1）题 】 (2) 【 同数学三 第二、（2）题 】(3) 若向量组 γβα，，线性无关；δβα，，线性相关，则 (C)(A)α 必可由δγβ,,线性表示 (B) β 必不可由δγα,,线性表示(C) δ 必可由γβα,,线性表示 (D) δ 必不可由γβα,,线性表示(4) 设A ，B ，C 是三个相互独立的随机事件，且0 < P （C ）<1，则在下列给定的四对事件 中不相互独立的是 (B) (A) C B A 与+ (B) C AC 与 (C) C B A 与- (D) C AB 与. (5) 【 同数学三 第二、（5）题 】三、(本题满分6分) 求21lim(tan )n n n n→∞(n 为自然数).解：因为32tan 1tan 00tan tan lim lim 1x xxx x xx x x x x x x x ++--→→⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ……2分其中23200tan sec 11lim lim 33x x x x x x x ++→→--==，……4分故21130tan lim x x x e x +→⎛⎫= ⎪⎝⎭. ……5分取1x n=，则原式13e =.……6分（注：对数列极限直接用洛必达法则，扣2分.）四、(本题满分6分)【 同数学三 第三题 分值不同】 五、(本题满分5分)【 同数学三 第四题 】 六、(本题满分6分)【 同数学三 第五题 】 七、(本题满分6分)设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(b a ,)内可导,且()()1f a f b ==,试证存在,(,)a b ξη∈，使得[]1)()(='+-ηηξηf f e .证：令()()x F x e f x =，则()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件，故存在(,)a b η∈，使得()()[()()]b a e f b e f a e f f b aηηη-'=+-.……3分 由条件()()1f a f b ==，得[()()]b ae e ef f b aηηη-'=+-. （1）……4分 再令()xx e ϕ=，则()x ϕ在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件，故存在(,)a b ξ∈，使得b ae e e b a ξ-=-. (2) ……5分 综合（1）、（2）两式，有[()()]1ef f ηξηη-'+=.……6分八、(本题满分9分)设直线y ax =与抛物线2y x =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1X =所围成的图形面积为2S ，并且1a <.(1) 试确定a 的值，使12S S +达到最小，并求出最小值；(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：(1) 当01a <<时，（如图一）122120()()a aS S S ax x dx x ax dx =+=-+-⎰⎰123323012332323aa ax x x ax a a ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……2分令2102S a '=-=，得2a =.又(202S ''=>，则(2S 是极小值，即最小值.其值为122(326222S -=+=. ……4分当0a ≤时，（如图二）122120()()aS S S ax x dx x ax dx =+=-+-⎰⎰31623a a =--+.因2211(1)0222a S a '=--=-+<，S 单调减少，故0a =时，S 取得最小值，此时13S =.综上所述，当2a =，(2S 为所求最小值，最小值为226-. ……6分(2) 1244220211())22x V x x dx x x dx ππ=-+-⎰11552331021121655630x x x x πππ⎛⎛=-+-=⎝⎝. ……9分九、(本题满分9分)【 同数学三 第九题 】 十、(本题满分9分)已知下列非齐次线性方程组 )(I 和)(II124123412326():4133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪I ---=⎨⎪--=⎩ ， 1234234345():21121x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪II --=-⎨⎪-=-+⎩(1) 求解方程组()I ，用其导出组的基础解系表示通解.(2) 当方程组()II 中的参数,,m n t 为何值时，方程组()I 与()II 同解.解：(1) 设方程组()I 的系数矩阵为1A ，增广矩阵为1A ，对1A 作初等行变换，得1110261001241111010143110300125A ⎛--⎫⎛--⎫⎪ ⎪=---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭.由于秩(1A )＝秩(1A )34=<，所以方程组有无穷多解，其通解为21415201X k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k 为任意常数）. ……3分(2) 将通解X 代入()II 的第一个方程，得(2)(4)(52)5k m k k k -++-+--+-=-，解得2m =.将通解X 代入()II 的第二个方程，得(4)(52)211n k k k -+--+-=-，解得4n =. 将通解X 代入()II 的第三个方程，得(52)21k k t -+-=-+，解得6t =. 因此，方程组()II 的参数为2m =，4n =，6t =.……5分即当2m =，4n =，6t =时，方程组()I 的全部解都是方程组()II 的解.这时，方程组()II 化为()II 12342343425,4211,25,x x x x x x x x x +--=-⎧⎪--=-⎨⎪-=-⎩.又设方程组()II 的系数矩阵为2A ，增广矩阵为2A ，对2A 施以初等行变换，得21211510012041211010140012500125A ⎛---⎫⎛--⎫⎪ ⎪=---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭……6分于是方程组()II 的通解为21415201X k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k 为任意常数）.显然，方程组()I 与()II 的解完全相同. 即方程组()I 与()II 同解.……7分十一、(本题满分7分)求某种商品每周的需求量X 是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元，为使商品所获利润期望值不小于9280元，试确定最少进货量.解：设进货数量为α，则利润为500()300,30,500()100,10X a a X M X a X X a αα+-<≤⎧=⎨--≤≤⎩300200,30,600100,10X a a X X a X a +<≤⎧=⎨-≤≤⎩……3分期望利润30301010111(600100)(300200)202020a aEM M dx x a dx x a dx αα=⋅=-++⎰⎰⎰ 3022210116001003002007.53505250202202aax x ax ax a a ⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……6分 依题意，有27.535052509280a a -++≥，……7分 即27.535040300a a -+≤，解得220263a ≤≤. ……8分 故期望利润不少于9280元的最少进货量为21单位.……9分十二、(本题满分7分)某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件、10件和10件，现在从中随机抽取一件，记)3,2,1(01=⎩⎨⎧=i i X i 他其等品若抽到，试求：(1) 随机变量X 1与X 2的联合分布； (2) 随机变量X 1与X 2的相关系数ρ.解：(1) 设事件i A =“抽到i 等品”123i （＝，，）. 由题意知123,,A A A 两两互不相容.123()0.8,()()0.1P A P A P A ===.……1分易见123{0,0}()0.1P X X P A ====，122{0,1}()0.1P X X P A ====；121{1,0}()0.8P X X P A ====，12{1,1}()0P X X P φ====.……3分故随机变量X 1与X 2的联合分布为2X1X0 1 0 0．1 0．8 10．1(2) 120.8,0.1EX EX ==.120.80.20.16,0.10.90.09DX DX =⨯==⨯=. ……4分 12000.1010.1100.81100EX X =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. ……5分 121212(,)00.80.10.08Cov X X EX X EX EX =-⋅=-⨯=-.……6分 1212230.160.09DX DX ρ===-⋅⨯.……7分。